Mbledhja dhe zbritja e thyesave algjebrike me emërues të ndryshëm. Mbledhja dhe zbritja e thyesave algjebrike me emërues të ndryshëm (klasa e 8-të)

Si të kryhet mbledhja e thyesave algjebrike (racionale)?

Për të shtuar thyesat algjebrike, ju duhet:

1) Gjeni më të voglin nga këto thyesa.

2) Gjeni një faktor shtesë për çdo thyesë (për ta bërë këtë, ndani emëruesin e ri me atë të vjetër).

3) Shumëzoni faktorin shtesë me numëruesin dhe emëruesin.

4) Shtoni thyesa me emërues të ngjashëm

(për të shtuar thyesa me emërues të njëjtë, duhet të shtoni numëruesit e tyre, por emëruesin e lini të njëjtë).

Shembuj të mbledhjes së thyesave algjebrike.

Emëruesi më i ulët i përbashkët përbëhet nga të gjithë faktorët e marrë në fuqinë e tyre më të madhe. Në këtë rast është e barabartë me ab.

Për të gjetur një faktor shtesë për çdo thyesë, ndani emëruesin e ri me atë të vjetër. ab:a=b, ab:(ab)=1.

Numëruesi ka një faktor të përbashkët a. E nxjerrim nga kllapa dhe e zvogëlojmë thyesën me një:

Emëruesit e këtyre thyesave janë polinome, kështu që ju duhet t'i provoni ato. Në emëruesin e thyesës së parë ka një faktor të përbashkët x, në të dytën - 5. I nxjerrim nga kllapat:

Emëruesi i përbashkët përbëhet nga të gjithë faktorët e përfshirë në emërues dhe është i barabartë me 5x(x-5).

Për të gjetur një faktor shtesë për çdo thyesë, ndani emëruesin e ri me atë të vjetër.

(Nëse nuk ju pëlqen ndarja, mund ta bëni ndryshe. Ne arsyetojmë kështu: me çfarë ju nevojitet për të shumëzuar emëruesin e vjetër për të marrë një të ri? Për të marrë 5x(x-5) nga x(x-5 ), ju duhet të shumëzoni shprehjen e parë me 5. Kështu që nga 5 (x-5) për të marrë 5x(x-5), duhet të shumëzoni shprehjen e parë me x. Kështu, faktori shtesë ndaj thyesës së parë është 5, tek e dyta - x).

Numëruesi është katrori i plotë i diferencës. E shembim sipas formulës dhe e zvogëlojmë thyesën me (x-5):

Emëruesi i thyesës së parë është një polinom. Nuk mund të faktorizohet, kështu që emëruesi i përbashkët i këtyre thyesave është i barabartë me produktin e emëruesve m(m+3):

Polinome në emëruesit e thyesave. Në emëruesin e thyesës së parë nxjerrim faktorin e përbashkët x, në emëruesin e thyesës së dytë - 2:

Emëruesi i thyesës së parë në kllapa është diferenca e katrorëve.

Algoritmi për mbledhjen (zbritjen) e thyesave algjebrike

1. Zvogëloni të gjitha thyesat në një emërues të përbashkët; nëse ata kishin të njëjtët emërues që në fillim, atëherë ky hap i algoritmit hiqet.
2. Mblidhni (zbrisni) thyesat që rezultojnë me emërues të njëjtë.

Shembulli 1. Ndiqni këto hapa:

A) ; b) ; .

V) Zgjidhje.

Për çdo çift thyesash algjebrike të dhëna këtu, emëruesi i përbashkët u gjet më lart, në mësimin "Vetitë themelore të thyesave algjebrike". Bazuar në shembullin e mësipërm, marrim:
Gjëja më e vështirë në algoritmin e mësipërm është, natyrisht, hapi i parë: gjetja e një emëruesi të përbashkët dhe reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët. Në shembullin 1, ju mund të mos e keni ndjerë këtë vështirësi, pasi kemi përdorur rezultate të gatshme nga § 2.

Për të zhvilluar një rregull për gjetjen e një emëruesi të përbashkët, le të analizojmë shembullin 1.

Për thyesat dhe emëruesi i përbashkët është numri 15 - ai është i pjesëtueshëm me 3 dhe 5, dhe është shumëfishi i tyre i përbashkët (madje shumëfishi më i vogël i përbashkët).
Për thyesat, emëruesi i përbashkët është monomi. Ajo ndahet nga të dyja dhe nga, d.m.th., nga të dy monomët, të cilët shërbejnë si emërues të thyesave. Ju lutemi vini re: numri 12 është shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave 4 dhe 6. Ndryshorja shfaqet në emëruesin e thyesës së parë me një eksponent 2, në emëruesin e fraksionit të dytë me një eksponent 3. Kjo vlerë më e madhe i eksponentit 3 shfaqet në emërues të përbashkët. Për thyesat dhe emëruesi i përbashkët është prodhimi
- pjesëtohet edhe me emërues edhe me emërues.
Gjatë gjetjes së një emëruesi të përbashkët, është e nevojshme, natyrisht, të faktorizohen të gjithë emëruesit e dhënë (nëse kjo nuk është përgatitur në kusht). Dhe më pas duhet të punoni në faza: gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët për koeficientët numerikë (po flasim për koeficientët e numrave të plotë), përcaktoni për secilin faktor shkronjash që ndodh disa herë eksponentin më të madh, mblidhni të gjitha këto në një produkt.

Tani mund të hartoni algoritmin përkatës.

Algoritmi për gjetjen e një emëruesi të përbashkët për disa thyesa algjebrike

Faktoroni të gjithë emëruesit (koeficientët numerikë, fuqitë e ndryshoreve, binomet, trinomet).

Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të koeficientëve numerikë të pranishëm në faktorizimet e përpiluara në hapin e parë.

Shtojini produktit të marrë në hapin e tretë koeficientin numerik të gjetur në hapin e dytë; rezultati përfundimtar është një emërues i përbashkët.

Komentoni. Në fakt, ju mund të gjeni aq shumë emërues të përbashkët për dy thyesa algjebrike sa të doni. Për shembull, për thyesat Dhe emëruesi i përbashkët mund të jetë numri 30, numri 60, madje edhe një monom . Fakti është se 30, dhe 60, dhe mund të pjesëtohet ose me 3 ose me 5. Për thyesat Dhe emërues i përbashkët, me përjashtim të monomit të gjetur më sipër , ndoshta Dhe . Cili është monomi më mirë se , si ? Është më e thjeshtë (në pamje). Nganjëherë quhet jo edhe emëruesi i përbashkët, por emëruesi më i ulët i përbashkët. Kështu, algoritmi i dhënë është një algoritëm për gjetjen e emëruesit më të thjeshtë të përbashkët të disa thyesave algjebrike, një algoritëm për gjetjen e emëruesit më të ulët të përbashkët.

Le të kthehemi te shembulli 1, a. Për të shtuar thyesat algjebrike dhe , ishte e nevojshme jo vetëm për të gjetur një emërues të përbashkët (numrin 15), por edhe për të gjetur faktorë shtesë për secilën nga thyesat që do të lejonin që thyesat të sillen në një emërues të përbashkët. Për një fraksion, një faktor i tillë shtesë është numri 5 (numëruesi dhe emëruesi i kësaj fraksioni shumëzohen shtesë me 5), për një fraksion - numri 3 (numëruesi dhe emëruesi i kësaj fraksioni shumëzohen shtesë me 3). Një faktor shtesë është herësi i pjesëtimit të emëruesit të përbashkët me emëruesin e një thyese të caktuar.

Zakonisht përdoret shënimi i mëposhtëm:

Le të kthehemi te shembulli 1.6. Emëruesi i përbashkët për thyesat është monomi. Faktori shtesë për thyesën e parë është i barabartë (pasi ), për thyesën e dytë është i barabartë me 2 (pasi). Kjo do të thotë që zgjidhja e Shembullit 1.6 mund të shkruhet si më poshtë:

.

Më sipër, u formulua një algoritëm për gjetjen e një emëruesi të përbashkët për disa thyesa algjebrike. Por përvoja tregon se ky algoritëm nuk është gjithmonë i qartë për studentët, ndaj do të japim një formulim pak të modifikuar.

Rregulli për reduktimin e thyesave algjebrike në një emërues të përbashkët

Faktoroni të gjithë emëruesit.

Nga emëruesi i parë shkruani prodhimin e të gjithë faktorëve të tij, nga emëruesit e mbetur shtoni faktorët që mungojnë në këtë produkt.

Produkti që rezulton do të jetë emëruesi i përbashkët (i ri).

Gjeni faktorë shtesë për secilën nga thyesat: këta do të jenë prodhimet e atyre faktorëve që janë në emëruesin e ri, por që nuk janë në emëruesin e vjetër.

Shkruani çdo thyesë me një numërues të ri dhe një emërues të ri (të përbashkët).

Shembulli 2. Thjeshtoni një shprehje .

V)
Faza e parë. Le të gjejmë emëruesin e përbashkët dhe faktorët shtesë.
ne kemi

Marrim emëruesin e parë në tërësi dhe nga i dyti shtojmë një faktor që nuk është në emëruesin e parë. Le të marrim një emërues të përbashkët.

Është i përshtatshëm për të rregulluar regjistrimet në formën e një tabele:

Faza e dytë.
Le të bëjmë transformimet:

Nëse keni pak përvojë, mund ta kaloni fazën e parë dhe ta kryeni atë njëkohësisht me fazën e dytë.
Si përfundim, le të shohim një shembull më kompleks (për të interesuarit).

Shembulli 3. Thjeshtoni një shprehje

V) Faza e parë.
Le të faktorizojmë të gjithë emëruesit:

Marrim emëruesin e parë në tërësi, nga i dyti marrim faktorët që mungojnë dhe (ose), nga i treti marrim faktorin që mungon (pasi emëruesi i tretë përmban faktorin ).

Thyesat e zakonshme.

Shtimi i thyesave algjebrike

Mbani mend!

Mund të shtoni vetëm thyesa me emërues të njëjtë!

Ju nuk mund të shtoni thyesa pa konvertime

Mund të shtoni thyesa

Kur mblidhen thyesat algjebrike me emërues të ngjashëm:

1. numëruesi i thyesës së parë i shtohet numëruesit të thyesës së dytë;
2. emëruesi mbetet i njëjtë.

Le të shohim një shembull të mbledhjes së thyesave algjebrike.

Meqenëse emëruesi i të dy thyesave është "2a", do të thotë se thyesat mund të shtohen.

Le të shtojmë numëruesin e thyesës së parë me numëruesin e thyesës së dytë dhe emëruesin e lëmë të njëjtë. Kur mbledhim thyesa në numëruesin që rezulton, paraqesim të ngjashme.

Zbritja e thyesave algjebrike

Kur zbriten thyesat algjebrike me emërues të ngjashëm:

1. Numëruesi i thyesës së dytë zbritet nga numëruesi i thyesës së parë.
2. emëruesi mbetet i njëjtë.

E rëndësishme!

Sigurohuni që të përfshini të gjithë numëruesin e thyesës që po zbritni në kllapa.

Përndryshe, do të gaboni në shenjat kur hapni kllapat e thyesës që po zbritni.

Le të shohim një shembull të zbritjes së thyesave algjebrike.

Meqenëse të dy thyesat algjebrike kanë një emërues "2c", kjo do të thotë se këto thyesa mund të zbriten.

Zbrisni numëruesin e thyesës së dytë “(a − b)” nga numëruesi i thyesës së parë “(a + d)”. Mos harroni të vendosni numëruesin e thyesës që zbritet në kllapa. Kur hapim kllapa, përdorim rregullin për hapjen e kllapave.

Reduktimi i thyesave algjebrike në një emërues të përbashkët

Le të shohim një shembull tjetër. Duhet të shtoni thyesa algjebrike.

Thyesat nuk mund të shtohen në këtë formë sepse kanë emërues të ndryshëm.

Para se të shtoni thyesat algjebrike, ato duhet të jenë sjellin në një emërues të përbashkët.

Rregullat për reduktimin e thyesave algjebrike në një emërues të përbashkët janë shumë të ngjashme me rregullat për reduktimin e thyesave të zakonshme në një emërues të përbashkët.

.

Si rezultat, duhet të marrim një polinom që do të ndahet pa mbetje në secilin prej emëruesve të mëparshëm të thyesave. te zvogëloni thyesat algjebrike në një emërues të përbashkët

1. ju duhet të bëni sa më poshtë.
2. Ne punojmë me koeficientë numerikë. Ne përcaktojmë LCM (shumëfishi më i vogël i zakonshëm) për të gjithë koeficientët numerikë.
3. Ne punojmë me polinome. Ne përcaktojmë të gjitha polinomet e ndryshme në fuqitë më të mëdha.
4. Prodhimi i koeficientit numerik dhe i të gjithë polinomeve të ndryshëm në fuqitë më të mëdha do të jetë emëruesi i përbashkët.

Përcaktoni me çfarë ju nevojitet për të shumëzuar çdo thyesë algjebrike për të marrë një emërues të përbashkët.

Le të kthehemi te shembulli ynë.

1. Merrni parasysh emëruesit "15a" dhe "3" të të dy thyesave dhe gjeni një emërues të përbashkët për to.
2. Ne punojmë me koeficientë numerikë. Gjeni LCM (shumëfishi më i vogël i përbashkët është një numër që pjesëtohet me çdo koeficient numerik pa mbetje).
   Për "15" dhe "3" është "15".
3. Ne punojmë me polinome. Është e nevojshme të renditen të gjithë polinomet në fuqitë më të mëdha.
4. Në emëruesit "15a" dhe "5" ka vetëm

një monom - "a".

Le të shumëzojmë LCM nga hapi 1 "15" dhe monomin "a" nga hapi 2. Ne marrim "15a". Ky do të jetë emëruesi i përbashkët.

Për çdo thyesë, i bëjmë vetes pyetjen: "Me çfarë duhet të shumëzojmë emëruesin e kësaj thyese për të marrë "15a"? Le të shohim thyesën e parë. Ky fraksion tashmë ka një emërues "15a", që do të thotë se nuk ka nevojë të shumëzohet me asgjë..

Le të shohim thyesën e dytë. Le të bëjmë pyetjen: "Me çfarë ju nevojitet për të shumëzuar "3" për të marrë "15a"?"

Përgjigja është "5a".

Kur zvogëloni një thyesë në një emërues të përbashkët, shumëzojeni me "5a"

si numërues ashtu edhe emërues

Një formë e shkurtuar e reduktimit të një thyese algjebrike në një emërues të përbashkët mund të shkruhet duke përdorur "shtëpi".

Për ta bërë këtë, mbani në mend emëruesin e përbashkët. Mbi çdo thyesë në krye "në shtëpi" shkruajmë me çfarë shumëzojmë secilën nga thyesat.

Tani që thyesat kanë emërues të njëjtë, thyesat mund të shtohen.

Në disa shembuj, formulat e shkurtuara të shumëzimit duhet të përdoren për të reduktuar thyesat algjebrike në një emërues të përbashkët.

Le të shohim një shembull të mbledhjes së thyesave algjebrike, ku do të duhet të përdorim formulën e diferencës së katrorëve.

Në thyesën e parë algjebrike, emëruesi është “(p 2 − 36)”. Natyrisht, formula e ndryshimit të katrorëve mund të zbatohet për të.

Pas zbërthimit të polinomit “(p 2 − 36)” në prodhimin e polinomeve
“(p + 6)(p − 6)” është e qartë se polinomi “(p + 6)” përsëritet në thyesa.

Kjo do të thotë se emëruesi i përbashkët i thyesave do të jetë prodhimi i polinomeve "(p + 6) (p - 6)".

SHTIMI DHE ZBRITJA E THYESAVE ALGJEBRIK ME EMERUES TE NDRYSHEM
Mbledhja dhe zbritja e thyesave algjebrike me emërues të ndryshëm kryhet duke përdorur të njëjtin algoritëm që përdoret për mbledhjen dhe zbritjen e thyesave të zakonshme me emërues të ndryshëm: së pari, thyesat sillen në një emërues të përbashkët duke përdorur faktorët shtesë përkatës.

tel, dhe më pas shtoni ose zbritni thyesat që rezultojnë me emërues të njëjtë sipas rregullit nga § 3. Mund të formulohet një algoritëm që mbulon çdo rast të mbledhjes (zbritjes) të thyesave algjebrike.

Algoritmi për mbledhjen (zbritjen) e thyesave algjebrike Shembulli 1.

Ndiqni këto hapa:

Zgjidhje. Për çdo çift thyesash algjebrike të dhëna këtu, emëruesi i përbashkët u gjet më lart, në shembullin nga § 2. Bazuar në shembullin e mësipërm, marrim:

Gjëja më e vështirë në algoritmin e mësipërm është, natyrisht, hapi i parë: gjetja e një emëruesi të përbashkët dhe reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët. Në shembullin 1, ju mund të mos e keni ndjerë këtë vështirësi, pasi kemi përdorur rezultate të gatshme nga § 2.
Për të zhvilluar një rregull për gjetjen e një emëruesi të përbashkët, le të analizojmë shembullin 1.
Për thyesat, emëruesi i përbashkët është numri 15, ai është i pjesëtueshëm me 3 dhe 5, dhe është shumëfishi i tyre i përbashkët (madje edhe shumëfishi më i vogël i përbashkët).

Për thyesat, emëruesi i përbashkët është monomi 12b 3. Ai është i pjesëtueshëm me 4b 2 dhe 6b 3, d.m.th., me të dy monomët që shërbejnë si emërues të thyesave.
Ju lutemi vini re se numri 12 është shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave 4 dhe 6. Ndryshorja b përfshihet në emëruesin e thyesës së parë me eksponent 2, në emërues
thyesa e dytë - me eksponent 3. Kjo vlerë më e lartë e eksponentit 3 shfaqet në emëruesin e përbashkët.

Për thyesat

Gjatë gjetjes së një emëruesi të përbashkët, është e nevojshme, natyrisht, të faktorizohen të gjithë emëruesit e dhënë (nëse kjo nuk është përgatitur në kusht). Dhe më pas duhet të punoni në faza: gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët për koeficientët numerikë (po flasim për koeficientët e numrave të plotë), përcaktoni për secilin faktor shkronjash që ndodh disa herë eksponentin më të madh, mblidhni të gjitha këto në një produkt.

Tani mund të hartoni algoritmin përkatës.

Algoritmi për gjetjen e një emëruesi të përbashkët për disa thyesa algjebrike

Përpara se të vazhdoni, provoni ta zbatoni këtë algoritëm në arsyetimin e emëruesit të përbashkët për thyesat algjebrike në Shembullin 1.
Komentoni. Në fakt, ju mund të gjeni aq shumë emërues të përbashkët për dy thyesa algjebrike sa të doni. Për shembull, për thyesat e zakonshme
emëruesi mund të jetë numri 30, ose numri 60, ose edhe monomi 15a2b. Fakti është se 30, 60 dhe 15a 2 b mund të ndahet ose me 3 ose me 5. Për
thyesa -
emëruesi i përbashkët, përveç monomit 12b të gjetur më sipër, mund të jetë 24b 3 dhe 48a 2 b 4. Pse monomi 12b 3 është më i mirë se 24b 3, se 48a 2 b 4? Është më e thjeshtë (në pamje). Nganjëherë quhet jo edhe emëruesi i përbashkët, por emëruesi më i ulët i përbashkët. Kështu, algoritmi i dhënë është algoritmi
gjetja e emëruesit më të thjeshtë të përbashkët të disa thyesave algjebrike, një algoritëm për gjetjen e emëruesit më të ulët të përbashkët.

Le të kthehemi te shembulli 1, a. Për të shtuar thyesat algjebrike, ishte e nevojshme jo vetëm për të gjetur një emërues të përbashkët (numrin 15), por edhe për të gjetur faktorë shtesë për secilën nga thyesat që do të lejonin që thyesat të sillen në një emërues të përbashkët. Për një fraksion, një shumë i tillë shtesë
banori është numri 5 (numëruesi dhe emëruesi i kësaj thyese shumëzohen shtesë me 5), për thyesën numri është 3 (numëruesi dhe emëruesi i kësaj thyese shumëzohen shtesë me 3).

Një faktor shtesë është herësi i pjesëtimit të emëruesit të përbashkët me emëruesin e një thyese të caktuar.
Zakonisht përdoret shënimi i mëposhtëm:

Le të kthehemi te shembulli 1.6. Emëruesi i përbashkët për thyesat është monomi 12b 3. Faktori shtesë për fraksionin e parë është i barabartë me 3b (pasi 12b 3: 4b 2 = 3 b), për fraksionin e dytë është i barabartë me 2 (pasi 12b 3: 6b 3 = 2). Kjo do të thotë që zgjidhja e Shembullit 1.6 mund të shkruhet si më poshtë:

Më sipër, u formulua një algoritëm për gjetjen e një emëruesi të përbashkët për disa thyesa algjebrike. Por përvoja tregon se ky algoritëm nuk është gjithmonë i qartë për studentët, ndaj do të japim një formulim pak të modifikuar.

Rregulli për reduktimin e thyesave algjebrike në një emërues të përbashkët

Shembulli 2. Thjeshtoni një shprehje

Zgjidhje.
Faza e parë. Le të gjejmë emëruesin e përbashkët dhe faktorët shtesë.

ne kemi
4a 2 - 1 = (2a - 1) (2a + 1),
2a 2 + a = a (2a + 1).
Marrim në tërësi emëruesin e parë dhe nga i dyti shtojmë faktorin a, i cili nuk është në emëruesin e parë. Le të marrim një emërues të përbashkët

a (2a - 1) (2a +1).

Është i përshtatshëm për të rregulluar regjistrimet në formën e një tabele:

Faza e dytë.
Le të bëjmë transformimet:

Nëse keni pak përvojë, mund ta kaloni fazën e parë dhe ta kryeni atë njëkohësisht me fazën e dytë.

Si përfundim, le të shohim një shembull më kompleks (për të interesuarit).

Shembulli 3 . Thjeshtoni një shprehje

Zgjidhje.
Faza e parë.
Le të faktorizojmë të gjithë emëruesit:

1) 2a 4 + 4a 3 b + 2a 2 b 2 = 2a 2 (a 2 + 2ab + b 2) = 2a 2 (a + b) 2;

2) 3ab 2 - Për 3 = Për (b 2 - a 2) = Për (b - a) (b + a);

3) 6a 4 -6a 3 b = 6a 3 (a-b).

Marrim emëruesin e parë në tërësi, nga i dyti marrim faktorët që mungojnë 3 dhe b - a (ose a - b), nga i treti marrim faktorin që mungon a (pasi emëruesi i tretë përmban faktorin a 3).

Thyesat algjebrike

Vini re se nëse një faktor shtesë ka një shenjë "-", ai zakonisht vendoset përpara të gjithë fraksionit, d.m.th., shenja do të duhet të ndryshohet përpara fraksionit të dytë.

Faza e dytë.
Le të bëjmë transformimet:

Vini re se zëvendësimi i shprehjes së dhënë në shembullin 3 me fraksionin algjebrik që rezulton është një transformim identik për vlerat e pranueshme të variablave. Në këtë rast, çdo vlerë e variablave a dhe b është e pranueshme, përveç a = 0, a = b, a = - b (në këto
rastet, emëruesit shkojnë në zero).

Video mësimi “Mbledhja dhe zbritja e thyesave algjebrike me emërues të ndryshëm” është një mjet pamor që ofron material teorik, shpjegon në detaje algoritmet dhe veçoritë e kryerjes së veprimeve të zbritjes dhe mbledhjes së thyesave me emërues të ndryshëm. Me ndihmën e manualit mësuesi e ka më të lehtë të zhvillojë aftësinë e nxënësve për të kryer veprime me thyesat algjebrike. Gjatë mësimit të videos shqyrtohen një sërë shembujsh, zgjidhja e të cilave përshkruhet në detaje, duke i kushtuar vëmendje detajeve të rëndësishme.

Përdorimi i një video mësimi në një mësim matematike i lejon mësuesit të arrijë shpejt qëllimet arsimore dhe të rrisë efektivitetin e mësimdhënies. Qartësia e demonstrimit i ndihmon studentët të kujtojnë materialin dhe ta përvetësojnë atë më thellë, kështu që videoja mund të përdoret për të shoqëruar shpjegimin e mësuesit. Nëse kjo video përdoret si pjesë e një mësimi, atëherë koha e mësuesit lirohet për të përmirësuar punën individuale dhe për të përdorur mjete të tjera mësimore për të përmirësuar efikasitetin e mësimdhënies.

Demonstrimi fillon me prezantimin e temës së mësimit video. Vihet re se kryerja e veprimeve të zbritjes dhe mbledhjes së thyesave algjebrike është e ngjashme me kryerjen e veprimeve me thyesat e zakonshme. Mekanizmi për zbritjen dhe mbledhjen për thyesat e zakonshme të kujton - thyesat sillen në një emërues të përbashkët, dhe më pas vetë veprimet kryhen drejtpërdrejt.

Algoritmi për zbritjen dhe shtimin e thyesave algjebrike shprehet dhe përshkruhet në ekran. Ai përbëhet nga dy hapa - zvogëlimi i thyesave në emërues të ngjashëm dhe më pas shtimi (ose zbritja) e thyesave me emërues të barabartë. Aplikimi i algoritmit konsiderohet duke përdorur shembullin e gjetjes së vlerave të shprehjeve a/4b 2 -a 2 /6b 3, si dhe x/(x+y)-x/(x-y). Vihet re se për të zgjidhur shembullin e parë është e nevojshme të zvogëlohen të dy thyesat në të njëjtin emërues. Ky emërues do të jetë 12b 3. Reduktimi i këtyre thyesave në emëruesin 12b 3 u diskutua në detaje në mësimin e mëparshëm video. Si rezultat i transformimit fitohen dy thyesa me emërues të barabartë 3ab/12b 3 dhe 2a 2 /12b 3. Këto thyesa mblidhen sipas rregullit të mbledhjes së thyesave me emërues të barabartë. Pas mbledhjes së numëruesve të thyesave, rezulton thyesa (3ab+2a 2)/12b 3. Më poshtë përshkruan zgjidhjen e shembullit x/(x+y)-x/(x-y). Pas reduktimit të thyesave në të njëjtin emërues, thyesat që rezultojnë janë (x 2 -xy)/(x 2 -y 2) dhe (x 2 +xy)/(x 2 -y 2). Sipas rregullit për zbritjen e thyesave me emërues të barabartë, kryejmë veprimin me numëruesit, pas së cilës fitojmë thyesën -2xy/(x 2 -y 2).

Vihet re se hapi më i vështirë në zgjidhjen e problemeve që përfshijnë mbledhjen dhe zbritjen e thyesave me emërues të ndryshëm është sjellja e tyre në një emërues të përbashkët. Janë dhënë këshilla se si të zhvillohen më lehtë aftësitë në zgjidhjen e këtyre problemeve. Analizohet emëruesi i përbashkët i një thyese. Ai përbëhet nga një koeficient numerik me një ndryshore të ngritur në një fuqi. Mund të shihet se shprehja mund të ndahet në emëruesit e thyesës së parë dhe të dytë. Në këtë rast, koeficienti numerik 12 është shumëfishi më i vogël i përbashkët i koeficientëve numerik të thyesave 4 dhe 6. Dhe ndryshorja b përmban të dy emëruesit 4b 2 dhe 6b 3. Në këtë rast, emëruesi i përbashkët përmban variablin në masën më të madhe midis emëruesve të thyesave origjinale. Gjithashtu merret parasysh gjetja e emëruesit të përbashkët për x/(x+y) dhe x/(x-y). Vihet re se emëruesi i përbashkët (x+y)(x-y) ndahet me secilin emërues. Pra, zgjidhja e problemit zbret në gjetjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët të koeficientëve numerikë të disponueshëm, si dhe gjetjen e eksponentit më të lartë për një variabël shkronjash që ndodh disa herë. Pastaj, pas grumbullimit të këtyre pjesëve në një produkt të përgjithshëm, fitohet një emërues i përbashkët.

Një algoritëm për gjetjen e një emëruesi të përbashkët për disa thyesa shpallet dhe formulohet në ekran. Ky algoritëm përbëhet nga katër faza, në të parën prej të cilave faktorizohen emëruesit. Në fazën e dytë të algoritmit, gjendet shumëfishi më i vogël i përbashkët i koeficientëve të disponueshëm të përfshirë në emëruesit e thyesave. Në fazën e tretë, përpilohet një produkt, i cili përfshin faktorë shkronjash të zbërthimit të emëruesit, ndërsa në masën më të madhe zgjidhet eksponenti i shkronjave i pranishëm në disa emërues. Në fazën e katërt, faktorët numerikë dhe shkronja të gjetura në fazat e mëparshme mblidhen në një produkt. Ky do të jetë emëruesi i përbashkët. Bëhet një shënim për algoritmin e konsideruar. Në shembullin e gjetjes së emëruesit të përbashkët të thyesave a/4b 2 dhe a 2 /6b 3, vihet re se përveç 12b 3 ka edhe emërues të tjerë 24b 3 dhe 48a 2 b 3. Dhe për çdo grup thyesash mund të gjeni shumë emërues të përbashkët. Sidoqoftë, emëruesi 12b 3 është më i thjeshtë dhe më i përshtatshëm, kështu që quhet edhe emëruesi më i vogël i përbashkët i thyesave origjinale. Faktorët shtesë janë rezultat i emëruesit të përbashkët të pjesshëm dhe emëruesit origjinal të thyesës. Është demonstruar në detaje duke përdorur animacion se si numëruesi dhe emëruesi i thyesave shumëzohen me një faktor shtesë.

Më pas, propozohet të merret parasysh algoritmi për reduktimin e thyesave algjebrike në një emërues të përbashkët në një formë më të thjeshtë, në mënyrë që të jetë më i kuptueshëm për studentët. Ai gjithashtu përbëhet nga katër hapa, i pari prej të cilëve është faktorizimi i emëruesve. Më pas propozohet të shkruhen të gjithë faktorët nga emëruesi i parë, dhe produkti të plotësohet me faktorët që mungojnë nga emëruesit e mbetur. Në këtë mënyrë gjendet emëruesi i përbashkët. Për çdo thyesë gjenden faktorë shtesë nga ata faktorë të emëruesit që nuk bien në emëruesin e përbashkët. Hapi i katërt është të përcaktohet për çdo thyesë një numërues i ri, i cili është prodhimi i numëruesit të vjetër dhe një faktor shtesë. Pastaj çdo thyesë shkruhet me një numërues dhe emërues të ri.

Shembulli i mëposhtëm përshkruan një thjeshtim të shprehjes 3a/(4a 2 -1)-(a+1)/(2a 2 +a). Në fazën e parë të zgjidhjes, faktorizohen emëruesit e secilës thyesë. Për produktet, faktori i përbashkët është (2a+1). Duke plotësuar produktin me faktorët e mbetur (2a-1) dhe a, marrim një emërues të përbashkët të formës a(2a-1)(2a+1). Është ndërtuar një tabelë ndihmëse në të cilën tregohen emëruesi i përbashkët, emëruesit dhe faktorët shtesë. Në fazën e dytë të zgjidhjes, çdo numërues shumëzohet me një faktor shtesë dhe kryhet zbritja. Rezultati është thyesa (a 2 -a+1)/a(2a-1)(2a+1).

Shembulli 3 shqyrton një thjeshtim të shprehjes b/(2a 4 +4a 3 b+2a 2 b 2)-1/(3ab 2 -3a 3)+b/(6a 4 -6a 3 b). Zgjidhja gjithashtu analizohet hap pas hapi, tërhiqet vëmendja në veçoritë thelbësore të kryerjes së veprimeve, reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët dhe kryerja e veprimeve me numërues përshkruhen në detaje. Si rezultat i llogaritjeve dhe pas transformimit fitohet thyesa (2a 3 +6a 2 b-ab 2 +b 3)/6a 3 (a-b)(a+b) 2.

Mësimi video "Shtimi dhe zbritja e thyesave algjebrike me emërues të ndryshëm" mund të shërbejë si një mjet për të rritur efektivitetin e një mësimi matematike për këtë temë. Manuali do të jetë i dobishëm për një mësues që ofron mësim në distancë për një prezantim vizual të materialit edukativ. Për studentët, video-mësimi mund të rekomandohet për vetë-studim, pasi shpjegon në detaje dhe qartë veçoritë e kryerjes së operacioneve që studiohen.