4. Dendësia e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme

Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme mund të specifikohet duke përdorur funksionin e shpërndarjes F(x) . Kjo metodë e caktimit nuk është e vetmja. Një variabël e rastësishme e vazhdueshme mund të specifikohet gjithashtu duke përdorur një funksion tjetër të quajtur densiteti i shpërndarjes ose densiteti i probabilitetit (ndonjëherë i quajtur funksion diferencial).

Përkufizimi 4.1: Dendësia e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X thirrni funksionin f (x) - derivati ​​i parë i funksionit të shpërndarjes F(x) :

f ( x ) = F "( x ) .

Nga ky përkufizim rezulton se funksioni i shpërndarjes është një antiderivativ i densitetit të shpërndarjes. Vini re se dendësia e shpërndarjes nuk është e zbatueshme për të përshkruar shpërndarjen e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Probabiliteti që një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme të bjerë në një interval të caktuar

Duke ditur densitetin e shpërndarjes, mund të llogarisni probabilitetin që një variabël e rastësishme e vazhdueshme të marrë një vlerë që i përket një intervali të caktuar.

Teorema: Probabiliteti që një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X do të marrë vlera që i përkasin intervalit (a, b), është e barabartë me një integral të caktuar të densitetit të shpërndarjes, marrë në intervalin ngaateb :

Dëshmi: Ne përdorim raportin

P(a ≤ Xb) = F(b) – F(a).

Sipas formulës Njuton-Leibniz,

Kështu,

.

Sepse P(a ≤ X b)= P(a X b) , atëherë më në fund marrim

.

Gjeometrikisht, rezultati i marrë mund të interpretohet si më poshtë: probabiliteti që një ndryshore e rastësishme e vazhdueshme të marrë një vlerë që i përket intervalit (a, b), e barabartë me sipërfaqen e një trapezi lakor të kufizuar nga boshtikau, kurba e shpërndarjesf(x) dhe drejtx = aDhex = b.

Koment: Në veçanti, nëse f(x) – funksioni është çift dhe skajet e intervalit janë simetrike në lidhje me origjinën, atëherë

.

Shembull.Është dhënë dendësia e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme X

Gjeni probabilitetin që si rezultat i testit X do të marrë vlerat që i përkasin intervalit (0.5, 1).

Zgjidhja: Probabiliteti i kërkuar

.

Gjetja e funksionit të shpërndarjes nga një densitet i njohur i shpërndarjes

Njohja e densitetit të shpërndarjes f(x) , mund të gjejmë funksionin e shpërndarjes F(x) sipas formulës

.

Vërtet, F(x) = P(X x) = P(-∞ X x) .

Prandaj,

.

Kështu, Duke ditur densitetin e shpërndarjes, mund të gjeni funksionin e shpërndarjes. Natyrisht, nga një funksion i njohur i shpërndarjes mund të gjendet dendësia e shpërndarjes, domethënë:

f(x) = F"(x).

Shembull. Gjeni funksionin e shpërndarjes për densitetin e caktuar të shpërndarjes:

Zgjidhja: Le të përdorim formulën

Nëse x ≤ a, Kjo f(x) = 0 , pra, F(x) = 0 . Nëse a, atëherë f(x) = 1/(b-a),

prandaj,

.

Nëse x > b, Kjo

.

Pra, funksioni i kërkuar i shpërndarjes

Koment: Ne morëm funksionin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë në mënyrë uniforme (shih shpërndarjen uniforme).

Vetitë e densitetit të shpërndarjes

Prona 1: Dendësia e shpërndarjes është një funksion jo negativ:

f ( x ) ≥ 0 .

Prona 2: Integrali i papërshtatshëm i densitetit të shpërndarjes në rangun nga -∞ në ∞ është i barabartë me njësinë:

.

Koment: Grafiku i densitetit të shpërndarjes quhet kurba e shpërndarjes.

Koment: Dendësia e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme quhet gjithashtu ligji i shpërndarjes.

Shembull. Dendësia e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme ka formën e mëposhtme:

Gjeni një parametër konstant a.

Zgjidhja: Dendësia e shpërndarjes duhet të plotësojë kushtin, kështu që ne do të kërkojmë që barazia të plotësohet

.

Nga këtu
.

.

Le të gjejmë integralin e pacaktuar:

Le të llogarisim integralin e gabuar:

.

Kështu, parametri i kërkuar

Kuptimi i mundshëm i densitetit të shpërndarjes F(x) Le X– funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme f(x) = F"(x) . Sipas përkufizimit të densitetit të shpërndarjes,

, ose F(xDiferencaF(x) +∆x) - X përcakton probabilitetin që (x, xdo të marrë një vlerë që i përket intervalit+∆х) (x, xdo të marrë një vlerë që i përket intervalit. Kështu, kufiri i raportit të probabilitetit që një variabël e rastësishme e vazhdueshme do të marrë një vlerë që i përket intervalit , në gjatësinë e këtij intervali (në∆x→0 ) është e barabartë me vlerën e densitetit të shpërndarjes në pikë.

X f(x) Pra funksioni ) është e barabartë me vlerën e densitetit të shpërndarjes në pikë përcakton densitetin e shpërndarjes së probabilitetit për secilën pikë

Sepse F"(x) = f(x) . Nga llogaritja diferenciale dihet se rritja e një funksioni është afërsisht e barabartë me diferencialin e funksionit, d.m.th. Dhe = ∆ x dx F(x+∆ x) - F(x) ≈ f(x)∆ x.

, Kjo Kuptimi probabilistik i kësaj barazie është:x, x+∆ xprobabiliteti që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë që i përket intervalit (.

) është afërsisht i barabartë me produktin e densitetit të probabilitetit në pikën x dhe gjatësinë e intervalit ∆x: Gjeometrikisht, ky rezultat mund të interpretohet si më poshtëx, x+∆ xprobabiliteti që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë që i përket intervalit (f(x).

) është afërsisht e barabartë me sipërfaqen e një drejtkëndëshi me bazë ∆х dhe lartësi

5. Shpërndarjet tipike të variablave të rastësishme diskrete

5.1. Shpërndarja e Bernoulli Përkufizimi 5.1: X Ndryshore e rastësishme 1 , duke marrë dy vlera 0 Dhe me probabilitete (“sukses”) fq dhe ("dështim") q , thirri:

, Bernoullievskaya Ku=0,1.

k

5.2. Shpërndarja binomiale Le të prodhohet gjykime të pavarura, në secilën prej të cilave ngjarja A mund të shfaqet ose jo. Probabiliteti që një ngjarje të ndodhë në të gjitha sprovat është konstante dhe e barabartë me probabilitete (“sukses”)(pra probabiliteti që të mos ndodh dhe ("dështim") = 1 - me probabilitete (“sukses”)).

Merrni parasysh variablin e rastësishëm X– numri i dukurive të ngjarjes A në këto teste. Ndryshore e rastësishme X merr vlera 0,1,2,… Le të prodhohet me probabilitete të llogaritura duke përdorur formulën Bernoulli: , Ku Ku = 0,1,2,… Le të prodhohet.

Përkufizimi 5.2: Binom quhet shpërndarja e probabilitetit e përcaktuar nga formula e Bernulit.

Shembull. Tre të shtëna janë qëlluar në objektiv, dhe probabiliteti për të goditur çdo goditje është 0.8. Konsideroni një ndryshore të rastësishme X– numri i goditjeve në objektiv. Gjeni serinë e saj të shpërndarjes.

Zgjidhja: Ndryshore e rastësishme X merr vlera 0,1,2,3 me probabilitete të llogaritura duke përdorur formulën e Bernulit, ku Le të prodhohet = 3, me probabilitete (“sukses”) = 0,8 (probabiliteti i goditjes), dhe ("dështim") = 1 - 0,8 = = 0,2 (probabiliteti i mungesës).

Kështu, seria e shpërndarjes ka formën e mëposhtme:

Përdorni formulën e Bernulit për vlera të mëdha Le të prodhohet mjaft e vështirë, prandaj, për të llogaritur probabilitetet përkatëse, përdorni teoremën lokale të Laplace, e cila ju lejon të gjeni afërsisht probabilitetin e ndodhjes së një ngjarjeje saktësisht Ku një herë në çdo Le të prodhohet teste, nëse numri i testeve është mjaft i madh.

Teorema lokale e Laplasit: Nëse probabiliteti me probabilitete (“sukses”) ndodhja e një ngjarjeje A
se ngjarja A do të shfaqet në Le të prodhohet teste saktësisht Ku herë, afërsisht të barabarta (sa më e saktë, aq më shumë Le të prodhohet) vlera e funksionit
, Ku
, .

Shënim 1: Tabelat që përmbajnë vlerat e funksionit
, janë dhënë në Shtojcën 1, dhe
. Funksioni është dendësia e shpërndarjes normale standarde (shih shpërndarjen normale).

Shembull: Gjeni probabilitetin që ngjarja A do të vijë pikërisht 80 një herë në çdo 400 provat nëse probabiliteti i ndodhjes së kësaj ngjarje në çdo gjykim është i barabartë me 0,2.

Zgjidhja: Sipas kushteve Le të prodhohet = 400, Ku = 80, me probabilitete (“sukses”) = 0,2 , dhe ("dështim") = 0,8 . Le të llogarisim vlerën e përcaktuar nga të dhënat e detyrës x:
. Nga tabela në Shtojcën 1 gjejmë
. Atëherë probabiliteti i kërkuar do të jetë:

Nëse duhet të llogarisni probabilitetin që një ngjarje A do të shfaqet në Le të prodhohet teste jo më pak Ku 1 një herë dhe jo më shumë Ku 2 herë, atëherë duhet të përdorni teoremën integrale të Laplace:

Teorema integrale e Laplasit: Nëse probabiliteti me probabilitete (“sukses”) ndodhja e një ngjarjeje A në çdo provë është konstante dhe e ndryshme nga zero dhe një, atëherë probabiliteti se ngjarja A do të shfaqet në Le të prodhohet teste nga Ku 1 te Ku 2 herë, afërsisht e barabartë me një integral të caktuar

, Bernoullievskaya
Dhe
.

Me fjalë të tjera, probabiliteti që një ngjarje A do të shfaqet në Le të prodhohet teste nga Ku 1 te Ku 2 herë, afërsisht e barabartë

Bernoullievskaya
, Dhe .

Shënim 2: Funksioni
quhet funksioni Laplace (shih shpërndarjen normale). Tabelat që përmbajnë vlerat e funksionit , janë dhënë në Shtojcën 2, dhe
.

Shembull: Gjeni probabilitetin që ndër 400 Pjesët e zgjedhura në mënyrë rastësore do të rezultojnë të jenë të patestuara nga 70 në 100 pjesë, nëse probabiliteti që pjesa të mos e kalojë inspektimin e kontrollit të cilësisë është e barabartë me 0,2.

Zgjidhja: Sipas kushteve Le të prodhohet = 400, me probabilitete (“sukses”) = 0,2 , dhe ("dështim") = 0,8, Ku 1 = 70, Ku 2 = 100 . Le të llogarisim kufijtë e poshtëm dhe të sipërm të integrimit:

;
.

Kështu kemi:

Nga tabela në Shtojcën 2 gjejmë se
Dhe
. Atëherë probabiliteti i kërkuar është:

Shënim 3: Në një seri provash të pavarura (kur n është i madh, p është i vogël), formula Poisson përdoret për të llogaritur probabilitetin që një ngjarje të ndodhë saktësisht k herë (shih shpërndarjen Poisson).

5.3. Shpërndarja Poisson

Përkufizimi 5.3: Quhet një ndryshore e rastësishme diskrete Poisson, nëse ligji i shpërndarjes së tij ka formën e mëposhtme:

, Bernoullievskaya
. Nga llogaritja diferenciale dihet se rritja e një funksioni është afërsisht e barabartë me diferencialin e funksionit, d.m.th.
(vlera konstante).

Shembuj të ndryshoreve të rastit Poisson:

Numri i thirrjeve në një stacion automatik gjatë një periudhe kohore T.

Numri i grimcave të kalbjes së disa substancave radioaktive gjatë një periudhe kohore T.

Numri i televizorëve që mbërrijnë në punëtori gjatë një periudhe kohore T në një qytet të madh .

Numri i makinave që do të mbërrijnë në vijën e ndalimit të një kryqëzimi në një qytet të madh .

Shënim 1: Tabelat e veçanta për llogaritjen e këtyre probabiliteteve janë dhënë në Shtojcën 3.

Shënim 2: Në një seri testesh të pavarura (kur Le të prodhohet i madh, me probabilitete (“sukses”) nuk mjafton) për të llogaritur probabilitetin që një ngjarje të ndodhë saktësisht Ku herë duke përdorur formulën e Poisson:
, Ku
, pra numri mesatar i ndodhive të ngjarjeve mbetet konstant.

Shënim 3: Nëse ka një ndryshore të rastësishme që shpërndahet sipas ligjit Poisson, atëherë ekziston domosdoshmërisht një ndryshore e rastësishme që shpërndahet sipas ligjit eksponencial dhe anasjelltas (shiko Shpërndarja eksponenciale).

Shembull. Fabrika u dërgua në bazë 5000 produkte me cilësi të mirë. Probabiliteti që produkti të dëmtohet gjatë transportit është i barabartë me 0,0002 . Gjeni probabilitetin që saktësisht tre produkte të papërdorshme të mbërrijnë në bazë.

Zgjidhja: Sipas kushteve Le të prodhohet = 5000, me probabilitete (“sukses”) = 0,0002, Ku = 3. Ne do të gjejmë λ: λ = n.p.= 5000·0.0002 = 1.

Sipas formulës Poisson, probabiliteti i dëshiruar është i barabartë me:

, ku është ndryshorja e rastësishme X– numri i produkteve të papërdorshme.

5.4. Shpërndarja gjeometrike

Le të kryhen teste të pavarura, në secilën prej të cilave është probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A e barabartë me me probabilitete (“sukses”)(0 fq

dhe ("dështim") = 1 - me probabilitete (“sukses”). Sfidat mbarojnë sapo shfaqet ngjarja A. Kështu, nëse një ngjarje A u shfaq në Ku-testi, pastaj në atë të mëparshëm Ku – 1 nuk u shfaq në teste.

Le të shënojmë me X ndryshore diskrete e rastësishme - numri i provave që duhet të kryhen përpara shfaqjes së parë të ngjarjes A. Natyrisht, vlerat e mundshme X janë numra natyrorë x 1 = 1, x 2 = 2, ...

Le të parë Ku-1 ngjarje testuese A nuk erdhi, por brenda Ku- u shfaq testi. Probabiliteti i kësaj "ngjarje komplekse", sipas teoremës së shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura, P (X = Ku) = dhe ("dështim") Ku -1 me probabilitete (“sukses”).

Përkufizimi 5.4: Një ndryshore e rastësishme diskrete ka shpërndarja gjeometrike, nëse ligji i shpërndarjes së tij ka formën e mëposhtme:

P ( X = Ku ) = dhe ("dështim") Ku -1 me probabilitete (“sukses”) , Ku
.

Shënim 1: Duke besuar Ku = 1,2,… , marrim një progresion gjeometrik me termin e parë me probabilitete (“sukses”) dhe emërues dhe ("dështim") (0dhe ("dështim"). Për këtë arsye, shpërndarja quhet gjeometrike.

Shënim 2: Rreshti
konvergon dhe shuma e tij është e barabartë me një. Në të vërtetë, shuma e serisë është e barabartë me
.

Shembull. Arma qëllohet në objektiv derisa të bëhet goditja e parë. Mundësia për të goditur objektivin me probabilitete (“sukses”) = 0,6 . Gjeni probabilitetin që një goditje të ndodhë në goditjen e tretë.

Zgjidhja: Sipas kushteve me probabilitete (“sukses”) = 0,6, dhe ("dështim") = 1 – 0,6 = 0,4, Ku = 3. Probabiliteti i kërkuar është:

P (X = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Shpërndarja hipergjeometrike

Le të shqyrtojmë problemin e mëposhtëm. Lëreni partinë jashtë N produktet në dispozicion M standarde (MN). Marrë rastësisht nga grupi Le të prodhohet produkte (çdo produkt mund të nxirret me të njëjtën probabilitet), dhe produkti i përzgjedhur nuk kthehet në grup përpara se të zgjedhë atë të radhës (prandaj formula e Bernoulli nuk është e zbatueshme këtu).

Le të shënojmë me X ndryshore e rastësishme - numër m produkte standarde ndër Le të prodhohet të zgjedhura. Pastaj vlerat e mundshme X do të jetë 0, 1, 2,…, min; Le t'i etiketojmë dhe... Nga vlerat e variablës së pavarur (Fonds) përdorin butonin ( kapitulli ...

Karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme. Le të specifikohet një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X nga funksioni i shpërndarjes f(x)

Le të specifikohet një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X nga funksioni i shpërndarjes f(x). Le të supozojmë se të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme i përkasin segmentit [ a, b].

Përkufizimi. Pritshmëria matematikore një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X, vlerat e mundshme të së cilës i përkasin segmentit, quhet një integral i caktuar.

Nëse vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme konsiderohen në të gjithë boshtin numerik, atëherë pritshmëria matematikore gjendet me formulën:

Në këtë rast, natyrisht, supozohet se integrali i papërshtatshëm konvergjon.

Përkufizimi. Varianca e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është pritshmëria matematikore e katrorit të devijimit të saj.

Për analogji me variancën e një ndryshoreje të rastësishme diskrete, për të llogaritur praktikisht variancën, përdoret formula:

Përkufizimi. Devijimi standard quhet rrënja katrore e variancës.

Përkufizimi. Moda M 0 e një ndryshoreje të rastësishme diskrete quhet vlera e saj më e mundshme. Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, modaliteti është vlera e ndryshores së rastësishme në të cilën densiteti i shpërndarjes ka një maksimum.

Nëse shumëkëndëshi i shpërndarjes për një ndryshore të rastësishme diskrete ose kurba e shpërndarjes për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme ka dy ose më shumë maksimum, atëherë një shpërndarje e tillë quhet bimodale ose multimodale. Nëse një shpërndarje ka një minimum, por jo maksimum, atëherë quhet antimodale.

Përkufizimi. mesatare M D e një ndryshoreje të rastësishme X është vlera e saj në raport me të cilën është po aq e mundshme që të merret një vlerë më e madhe ose më e vogël e ndryshores së rastësishme.

Gjeometrikisht, mediana është abshisa e pikës në të cilën zona e kufizuar nga kurba e shpërndarjes ndahet në gjysmë. Vini re se nëse shpërndarja është njëmodale, atëherë mënyra dhe mediana përkojnë me pritshmërinë matematikore.

Përkufizimi. Momenti i fillimit urdhëroj Ku ndryshorja e rastësishme X është pritshmëria matematikore e vlerës X k.

Për një ndryshore të rastësishme diskrete: .

.

Momenti fillestar i rendit të parë është i barabartë me pritjen matematikore.

Përkufizimi. Momenti qendror urdhëroj Ku ndryshorja e rastësishme X është pritshmëria matematikore e vlerës

Për një ndryshore të rastësishme diskrete: .

Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme: .

Momenti qendror i rendit të parë është gjithmonë zero, dhe momenti qendror i rendit të dytë është i barabartë me dispersionin. Momenti qendror i rendit të tretë karakterizon asimetrinë e shpërndarjes.

Përkufizimi. Raporti i momentit qendror të rendit të tretë me devijimin standard ndaj fuqisë së tretë quhet koeficienti i asimetrisë.

Përkufizimi. Për të karakterizuar kulmin dhe rrafshimin e shpërndarjes, një sasi e quajtur teprica.

Përveç sasive të marra, përdoren edhe të ashtuquajturat momente absolute:

Momenti absolut i fillimit: . Pika qendrore absolute: . Momenti qendror absolut i rendit të parë quhet devijimi mesatar aritmetik.

Shembull. Për shembullin e diskutuar më sipër, përcaktoni pritshmërinë matematikore dhe variancën e ndryshores së rastësishme X.

Shembull. Në një urnë ka 6 topa të bardhë dhe 4 të zinj. Prej tij hiqet një top pesë herë radhazi dhe çdo herë topi i hequr kthehet prapa dhe topat përzihen. Duke marrë numrin e topave të bardhë të nxjerrë si një ndryshore të rastësishme X, hartoni një ligj të shpërndarjes për këtë vlerë, përcaktoni pritshmërinë dhe shpërndarjen e saj matematikore.

Sepse topat në secilin eksperiment kthehen mbrapsht dhe përzihen, atëherë testet mund të konsiderohen të pavarura (rezultati i eksperimentit të mëparshëm nuk ndikon në probabilitetin e ndodhjes ose të mos ndodhjes së një ngjarjeje në një eksperiment tjetër).

Kështu, probabiliteti që një top i bardhë të shfaqet në çdo eksperiment është konstant dhe i barabartë me

Kështu, si rezultat i pesë provave radhazi, topi i bardhë mund të mos shfaqet fare, ose të shfaqet një, dy, tre, katër ose pesë herë. Për të hartuar një ligj të shpërndarjes, ju duhet të gjeni probabilitetet e secilës prej këtyre ngjarjeve.

1) Topi i bardhë nuk u shfaq fare:

2) Topi i bardhë u shfaq një herë:

3) Topi i bardhë do të shfaqet dy herë: .

Shembuj të zgjidhjes së problemeve me temën "Ndryshoret e rastësishme".

Detyrë 1 . Janë 100 bileta të lëshuara për shortin. U hodh një fitore prej 50 USD. dhe dhjetë fitore nga 10 USD secila. Gjeni ligjin e shpërndarjes së vlerës X - kostoja e fitimeve të mundshme.

Zgjidhje. Vlerat e mundshme për X: x 1 = 0; x 2 = 10 dhe x 3 = 50. Meqenëse janë 89 bileta “bosh”, atëherë p 1 = 0.89, probabiliteti për të fituar 10 dollarë. (10 bileta) – f 2 = 0.10 dhe për të fituar 50 USD -fq 3 = 0.01. Kështu:

Lehtë për tu kontrolluar:.

Detyrë 2. Probabiliteti që blerësi të ketë lexuar paraprakisht reklamën e produktit është 0.6 (p=0.6). Kontrolli selektiv i cilësisë së reklamës kryhet nga anketimi i blerësve përpara të parit që ka studiuar reklamën paraprakisht. Hartoni një seri shpërndarjeje për numrin e blerësve të anketuar.

Zgjidhje. Sipas kushteve të problemit, p = 0,6. Nga: q=1 -p = 0.4. Duke zëvendësuar këto vlera, marrim: dhe ndërtoni një seri shpërndarjeje:

Detyrë 3. Një kompjuter përbëhet nga tre elementë që punojnë në mënyrë të pavarur: njësia e sistemit, monitori dhe tastiera. Me një rritje të vetme të mprehtë të tensionit, probabiliteti i dështimit të secilit element është 0.1. Bazuar në shpërndarjen e Bernoulli-t, hartoni një ligj të shpërndarjes për numrin e elementëve të dështuar gjatë një rritje të energjisë në rrjet.

Zgjidhje. Le të shqyrtojmë Shpërndarja e Bernoulli(ose binom): probabiliteti që Le të prodhohet testet, ngjarja A do të shfaqet saktësisht Ku një herë: , ose:

NË Le t'i kthehemi detyrës.

Vlerat e mundshme për X (numri i dështimeve):

x 0 =0 – asnjë nga elementët nuk dështoi;

x 1 =1 – dështimi i një elementi;

x 2 =2 – dështim i dy elementeve;

x 3 =3 – dështimi i të gjithë elementëve.

Meqenëse, sipas kushtit, p = 0.1, atëherë q = 1 - p = 0.9. Duke përdorur formulën e Bernulit, marrim

, ,

, .

Kontrolli:.

Prandaj, ligji i kërkuar i shpërndarjes:

Problemi 4. 5000 fishekë të prodhuar. Probabiliteti që një fishek është i dëmtuar . Sa është probabiliteti që të ketë saktësisht 3 fishekë me defekt në të gjithë grupin?

Zgjidhje. E aplikueshme Shpërndarja Poisson: Kjo shpërndarje përdoret për të përcaktuar probabilitetin që, për shumë të mëdha

numri i testeve (testet në masë), në secilën prej të cilave probabiliteti i ngjarjes A është shumë i vogël, ngjarja A do të ndodhë k herë: , Ku.

Këtu n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Ne gjejmë , atëherë probabilitetin e dëshiruar: .

Problemi 5. Gjatë gjuajtjes deri në goditjen e parë me probabilitet goditjeje p = 0.6 kur gjuan, duhet të gjesh probabilitetin që të ndodhë një goditje në goditjen e tretë.

Zgjidhje. Le të zbatojmë një shpërndarje gjeometrike: le të kryhen prova të pavarura, në secilën prej të cilave ngjarja A ka një probabilitet të ndodhjes p (dhe mosngjarje q = 1 – p). Testi përfundon sapo ndodh ngjarja A.

Në kushte të tilla, probabiliteti që ngjarja A të ndodhë në provën k-të përcaktohet nga formula: . Këtu p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Prandaj, .

Problemi 6. Le të jepet ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X:

Gjeni pritshmërinë matematikore.

Zgjidhje. .

Vini re se kuptimi probabilistik i pritshmërisë matematikore është vlera mesatare e një ndryshoreje të rastësishme.

Problemi 7. Gjeni variancën e ndryshores së rastësishme X me ligjin e mëposhtëm të shpërndarjes:

Zgjidhje. Këtu .

Ligji i shpërndarjes për vlerën në katror të X 2 :

Varianca e kërkuar: .

Dispersioni karakterizon masën e devijimit (dispersionit) të një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore.

Problemi 8. Le të jepet një ndryshore e rastësishme nga shpërndarja:

Gjeni karakteristikat e tij numerike.

Zgjidhja: m, m 2 ,

M 2 , m.

Për ndryshoren e rastësishme X mund të themi ose: pritshmëria e saj matematikore është 6.4 m me një variancë prej 13.04 m. 2 , ose – pritshmëria e tij matematikore është 6.4 m me një devijim prej m. Formulimi i dytë është padyshim më i qartë.

Detyrë 9. Ndryshore e rastësishme X dhënë nga funksioni i shpërndarjes:
.

Gjeni probabilitetin që si rezultat i testit vlera X të marrë vlerën që përmban intervali .

Zgjidhje. Probabiliteti që X të marrë një vlerë nga një interval i caktuar është i barabartë me rritjen e funksionit integral në këtë interval, d.m.th. . Në rastin tonë dhe për këtë arsye

.

Detyrë 10. Ndryshore diskrete e rastësishme X jepet nga ligji i shpërndarjes:

Gjeni funksionin e shpërndarjes F(x ) dhe vizatoni atë.

Zgjidhje. Që nga funksioni i shpërndarjes,

Për , Kjo

në ;

në ;

në ;

në ;

Grafiku përkatës:

Problemi 11. Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X dhënë nga funksioni i shpërndarjes diferenciale: .

Gjeni probabilitetin e goditjes X për interval

Zgjidhje. Vini re se ky është një rast i veçantë i ligjit të shpërndarjes eksponenciale.

Le të përdorim formulën: .

Detyrë 12. Gjeni karakteristikat numerike të një ndryshoreje diskrete të rastësishme X të specifikuar nga ligji i shpërndarjes:

9. Ndryshore e rastit e vazhdueshme, karakteristikat numerike të saj

Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme mund të specifikohet duke përdorur dy funksione. Funksioni integral i shpërndarjes së probabilitetit të ndryshores së rastësishme X quhet një funksion i përcaktuar nga barazia
.

Funksioni integral ofron një mënyrë të përgjithshme për të specifikuar variablat e rastësishme diskrete dhe të vazhdueshme. Në rastin e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme. Të gjitha ngjarjet: kanë të njëjtën probabilitet, të barabartë me rritjen e funksionit integral në këtë interval, d.m.th.. Për shembull, për ndryshoren diskrete të rastësishme të specifikuar në shembullin 26, kemi:

Kështu, grafiku i funksionit integral të funksionit në shqyrtim është një bashkim i dy rrezeve dhe tre segmenteve paralel me boshtin Ox.

Shembulli 27. Ndryshorja e vazhdueshme e rastësishme X përcaktohet nga funksioni integral i shpërndarjes së probabilitetit

.

Ndërtoni një grafik të funksionit integral dhe gjeni probabilitetin që, si rezultat i testit, ndryshorja e rastësishme X të marrë një vlerë në intervalin (0.5; 1.5).

Zgjidhje. Në intervalin
grafiku është drejtëza y = 0. Në intervalin nga 0 në 2 është një parabolë e dhënë nga ekuacioni
. Në intervalin
Grafiku është drejtëza y = 1.

Probabiliteti që ndryshorja e rastësishme X si rezultat i testit të marrë një vlerë në intervalin (0.5; 1.5) gjendet duke përdorur formulën.

Kështu,.

Vetitë e funksionit integral të shpërndarjes së probabilitetit:

Është i përshtatshëm për të përcaktuar ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme duke përdorur një funksion tjetër, përkatësisht, funksionet e densitetit të probabilitetit
.

Probabiliteti që vlera e marrë nga ndryshorja e rastësishme X bie brenda intervalit
, përcaktohet nga barazia
.

Thirret grafiku i funksionit kurba e shpërndarjes. Gjeometrikisht, probabiliteti që një ndryshore e rastësishme X të bjerë në interval është e barabartë me sipërfaqen e trapezoidit lakor përkatës të kufizuar nga kurba e shpërndarjes, boshti Ox dhe vijat e drejta
.

Vetitë e funksionit të densitetit të probabilitetit:

9.1. Karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme

pritje(vlera mesatare) e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X përcaktohet nga barazia
.

M(X) shënohet me A. Pritja matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme ka veti të ngjashme me ato të një ndryshoreje të rastësishme diskrete:

Varianca ndryshorja diskrete e rastësishme X është pritshmëria matematikore e devijimit në katror të ndryshores së rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore, d.m.th. . Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, varianca jepet nga formula
.

Dispersioni ka këto karakteristika:

Vetia e fundit është shumë e përshtatshme për t'u përdorur për të gjetur variancën e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme.

Koncepti i devijimit standard është prezantuar në mënyrë të ngjashme. Devijimi standard i të vazhdueshmes ndryshorja e rastësishme X quhet rrënja katrore e variancës, d.m.th.
.

Shembulli 28. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X përcaktohet nga një funksion i densitetit të probabilitetit
në intervalin (10;12), jashtë këtij intervali vlera e funksionit është 0. Gjeni 1) vlerën e parametrit A, 2) pritshmëria matematikore M(X), varianca
, devijimi standard, 3) funksioni integral
dhe të ndërtojnë grafikët e funksioneve integrale dhe diferenciale.

1). Për të gjetur parametrin A përdorni formulën
. Do ta marrim. Kështu,
.

2). Për të gjetur pritshmërinë matematikore, përdorim formulën: , nga e cila rrjedh se
.

Variancën do ta gjejmë duke përdorur formulën:
, d.m.th. .

Le të gjejmë devijimin standard duke përdorur formulën: , nga e cila e marrim atë
.

3). Funksioni integral shprehet përmes funksionit të densitetit të probabilitetit si më poshtë:
. Prandaj,
në
, = 0 në
u = 1 në
.

Grafikët e këtyre funksioneve janë paraqitur në Fig. 4. dhe fig. 5.

Fig.4 Fig.5.

9.2. Shpërndarja uniforme e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme

Shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje të vazhdueshme të rastësishme X në mënyrë të barabartë në interval nëse dendësia e probabilitetit të tij është konstante në këtë interval dhe e barabartë me zero jashtë këtij intervali, d.m.th. . Është e lehtë të tregohet se në këtë rast
.

Nëse intervali
përmbahet në interval, atëherë
.

Shembulli 29. Një ngjarje sinjali i menjëhershëm duhet të ndodhë midis orës 1 dhe 5. Koha e pritjes së sinjalit është një ndryshore e rastësishme X. Gjeni probabilitetin që sinjali të zbulohet midis orës dy dhe tre pasdite.

Zgjidhje. Ndryshorja e rastësishme X ka një shpërndarje uniforme, dhe duke përdorur formulën gjejmë se probabiliteti që sinjali të jetë ndërmjet orës 2 dhe 3 të pasdites është i barabartë me
.

Në literaturën edukative dhe të tjera, ato shpesh shënohen në letërsi përmes
.

9.3. Shpërndarja normale e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme

Shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme quhet normale nëse ligji i shpërndarjes së probabilitetit të saj përcaktohet nga densiteti i probabilitetit
. Për sasi të tilla A- pritjet matematikore,
- devijimi standard.

Teorema. Probabiliteti që një variabël e rastësishme e vazhdueshme e shpërndarë normalisht të bjerë në një interval të caktuar
përcaktuar nga formula
, Ku
- Funksioni Laplace.

Pasojë e kësaj teoreme është rregulli tre sigma, d.m.th. Është pothuajse e sigurt që një ndryshore e rastësishme e vazhdueshme e shpërndarë normalisht X merr vlerat e saj në interval
. Ky rregull mund të rrjedh nga formula
, që është një rast i veçantë i teoremës së formuluar.

Shembulli 30. Jeta e funksionimit të televizorit është një ndryshore e rastësishme X, që i nënshtrohet ligjit të shpërndarjes normale, me një periudhë garancie 15 vjet dhe një devijim standard prej 3 vjetësh. Gjeni probabilitetin që televizori të zgjasë nga 10 deri në 20 vjet.

Zgjidhje. Sipas kushteve të problemës pritshmëria matematikore A= 15, devijimi standard.

Le të gjejmë . Kështu, probabiliteti që televizori të funksionojë nga 10 në 20 vjet është më shumë se 0.9.

9.4 Pabarazia e Chebyshev

Zhvillohet Lema e Chebyshev. Nëse një ndryshore e rastësishme X merr vetëm vlera jo negative dhe ka një pritje matematikore, atëherë për çdo pozitiv V
.

Duke marrë parasysh se si shuma e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta, marrim atë
.

Teorema e Chebyshev. Nëse ndryshorja e rastësishme X ka variancë të fundme
dhe pritshmëria matematikore M(X), pastaj për çdo pozitiv pabarazia është e vërtetë
.

Nga rrjedh se
.

Shembulli 31.Është prodhuar një grup pjesësh. Gjatësia mesatare e pjesëve është 100 cm, dhe devijimi standard është 0.4 cm. Llogaritni nga poshtë probabilitetin që gjatësia e një pjese të marrë në mënyrë të rastësishme të jetë së paku 99 cm. dhe jo më shumë se 101 cm.

Zgjidhje. Varianca. Pritshmëria matematikore është 100. Prandaj, për të vlerësuar nga poshtë probabilitetin e ngjarjes në fjalë
le të zbatojmë pabarazinë e Chebyshev, në të cilën
, Pastaj
.

10. Elemente të statistikës matematikore

Agregat statistikor emërtoni një grup sendesh ose dukurish homogjene. Numri n elementet e këtij grupi quhet vëllimi i koleksionit. Vlerat e vëzhguara tipari X quhet opsionet. Nëse opsionet janë rregulluar në sekuencë në rritje, atëherë marrim seri variacione diskrete. Në rastin e grupimit, opsioni sipas intervaleve rezulton të jetë seritë e variacionit të intervalit. Nën frekuenca t vlerat karakteristike kuptojnë numrin e anëtarëve të popullsisë me një variant të caktuar.

Raporti i frekuencës ndaj vëllimit të një popullate statistikore quhet frekuencë relative shenjë:
.

Marrëdhënia midis varianteve të një serie variacionesh dhe frekuencave të tyre quhet shpërndarja statistikore e kampionit. Një paraqitje grafike e shpërndarjes statistikore mund të jetë shumëkëndëshi frekuenca

Shembulli 32. Nga anketimi i 25 studentëve të vitit të parë, u morën këto të dhëna për moshën e tyre:
. Hartoni një shpërndarje statistikore të nxënësve sipas moshës, gjeni diapazonin e variacionit, ndërtoni një shumëkëndësh të frekuencës dhe përpiloni një seri shpërndarjesh të frekuencave relative.

Zgjidhje. Duke përdorur të dhënat e marra nga anketa, ne do të krijojmë një shpërndarje statistikore të kampionit

Gama e mostrës së variacionit është 23 – 17 = 6. Për të ndërtuar një poligon të frekuencës, ndërtoni pika me koordinata
dhe i lidhni ato në seri.

Seria e shpërndarjes së frekuencës relative ka formën:

10.1.Karakteristikat numerike të serisë së variacionit

Le të jepet kampioni nga një seri shpërndarjesh frekuencash të veçorisë X:

Shuma e të gjitha frekuencave është e barabartë fq.

Mesatarja aritmetike e kampionit emërtoni sasinë
.

Varianca ose masa e shpërndarjes së vlerave të një karakteristike X në lidhje me mesataren aritmetike të saj quhet vlerë
. Devijimi standard është rrënja katrore e variancës, d.m.th. .

Raporti i devijimit standard me mesataren aritmetike të kampionit, i shprehur në përqindje, quhet koeficienti i variacionit:
.

Funksioni empirik i shpërndarjes së frekuencës relative thirrni një funksion që përcakton për secilën vlerë frekuencën relative të ngjarjes
, d.m.th.
, Ku - numri i opsioneve, më i vogël ) është e barabartë me vlerën e densitetit të shpërndarjes në pikë, A n- madhësia e mostrës.

Shembulli 33. Në kushtet e shembullit 32, gjeni karakteristikat numerike
.

Zgjidhje. Le të gjejmë mesataren aritmetike të mostrës duke përdorur formulën, pastaj .

Varianca e tiparit X gjendet me formulën: , d.m.th. Devijimi standard i kampionit është
. Koeficienti i variacionit është
.

10.2. Vlerësimi i probabilitetit sipas frekuencës relative. Intervali i besimit

Le të kryhet n prova të pavarura, në secilën prej të cilave probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A është konstant dhe i barabartë me r. Në këtë rast, probabiliteti që frekuenca relative të ndryshojë nga probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A në çdo provë në vlerë absolute nuk është afërsisht i barabartë me dyfishin e vlerës së funksionit integral Laplace:
.

Vlerësimi i intervalit thirrni një vlerësim të tillë, i cili përcaktohet nga dy numra që janë skajet e intervalit që mbulon parametrin e vlerësuar të popullatës statistikore.

Intervali i besimitështë një interval që, me një probabilitet besimi të dhënë mbulon parametrin e vlerësuar të popullsisë statistikore. Duke marrë parasysh formulën në të cilën zëvendësojmë sasinë e panjohur r në vlerën e saj të përafërt të marra nga të dhënat e mostrës, marrim:
. Kjo formulë përdoret për të vlerësuar probabilitetin sipas frekuencës relative. Numrat
, duke marrë dy vlera
i quajtur i poshtëm dhe, përkatësisht, i sipërm kufijtë e besimit, - gabimi maksimal për një probabilitet të caktuar besimi
.

Shembulli 34. Punëtoria e fabrikës prodhon llamba. Gjatë kontrollit të 625 llambave, 40 rezultuan me defekt. Gjeni, me një probabilitet besimi prej 0,95, kufijtë brenda të cilëve qëndron përqindja e llambave me defekt të prodhuara nga punishtja e fabrikës.

Zgjidhje. Sipas kushteve të detyrës. Ne përdorim formulën
. Duke përdorur tabelën 2 të shtojcës, gjejmë vlerën e argumentit, në të cilin vlera e funksionit integral Laplace është e barabartë me 0.475. Ne e kuptojmë atë
. Kështu,. Prandaj, me një probabilitet prej 0,95 mund të themi se përqindja e defekteve të prodhuara nga punishtja është e lartë, përkatësisht varion nga 6,2% në 6,6%.

10.3. Vlerësimi i parametrave në statistika

Le të ketë një shpërndarje normale karakteristika sasiore X e të gjithë popullsisë në studim (popullsia e përgjithshme).

Nëse dihet devijimi standard, atëherë intervali i besimit që mbulon pritshmërinë matematikore A

, Ku n- madhësia e mostrës, - mostra mesatare aritmetike, tështë argumenti i funksionit integral të Laplasit, në të cilin
. Në këtë rast numri
quhet saktësi e vlerësimit.

Nëse devijimi standard është i panjohur, atëherë nga të dhënat e mostrës është e mundur të ndërtohet një ndryshore e rastësishme që ka një shpërndarje Studenti me n– 1 shkallë lirie, e cila përcaktohet nga vetëm një parametër n dhe nuk varet nga të panjohurat A Dhe . Shpërndarja e t studentit edhe për mostra të vogla
jep vlerësime mjaft të kënaqshme. Pastaj intervali i besimit që mbulon pritshmërinë matematikore A i këtij tipari me një probabilitet të caktuar besimi gjendet nga kushti

, ku S është katrori mesatar i korrigjuar, - Koeficienti i nxënësit, i gjetur nga të dhënat
nga tabela 3 e shtojcës.

Intervali i besimit që mbulon devijimin standard të kësaj karakteristike me një probabilitet besimi gjendet duke përdorur formulat: dhe , ku
gjetur nga tabela e vlerave dhe ("dështim") sipas të dhënave.

10.4. Metodat statistikore për studimin e varësive ndërmjet variablave të rastit

Varësia e korrelacionit të Y nga X është varësia funksionale e mesatares së kushtëzuar nga X. Ekuacioni
paraqet ekuacionin e regresionit të Y në X, dhe
- ekuacioni i regresionit të X në Y.

Varësia e korrelacionit mund të jetë lineare ose lakuar. Në rastin e një varësie korrelacioni linear, ekuacioni i vijës së drejtë të regresionit ka formën:
, ku shpati A drejtëza e regresionit Y në X quhet koeficienti i regresionit të mostrës Y në X dhe shënohet
.

Për mostrat e vogla, të dhënat nuk janë të grupuara, parametrat
gjenden duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël nga sistemi i ekuacioneve normale:

, Ku n- numri i vëzhgimeve të vlerave të çifteve të sasive të ndërlidhura.

Shembull i koeficientit të korrelacionit linear tregon lidhjen e ngushtë ndërmjet Y dhe X. Koeficienti i korrelacionit gjendet duke përdorur formulën
, dhe
, domethënë:

Ekuacioni i mostrës së vijës së drejtë të regresionit Y në X ka formën:

.

Me një numër të madh vëzhgimesh të karakteristikave X dhe Y, përpilohet një tabelë korrelacioni me dy hyrje, me të njëjtën vlerë. ) është e barabartë me vlerën e densitetit të shpërndarjes në pikë vëzhguar herë, me të njëjtin kuptim në vëzhguar herë, i njëjti çift
vëzhguar një herë.

Shembulli 35.Është dhënë një tabelë e vëzhgimeve të shenjave X dhe Y.

Gjeni ekuacionin kampion të vijës së drejtë të regresionit Y në X.

Zgjidhje. Marrëdhënia midis karakteristikave të studiuara mund të shprehet me ekuacionin e një vije të drejtë regresioni të Y në X: . Për të llogaritur koeficientët e ekuacionit, le të krijojmë një tabelë llogaritëse:

Siç dihet, ndryshore e rastësishme quhet një sasi e ndryshueshme që mund të marrë vlera të caktuara në varësi të rastit. Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin (X, Y, Z), dhe vlerat e tyre shënohen me shkronjat përkatëse të vogla (x, y, z). Variablat e rastësishëm ndahen në të ndërprerë (diskrete) dhe të vazhdueshme.

Ndryshore diskrete e rastësishme është një ndryshore e rastësishme që merr vetëm një grup vlerash të fundme ose të pafundme (të numërueshme) me probabilitete të caktuara jo zero.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete është një funksion që lidh vlerat e një ndryshoreje të rastësishme me probabilitetet e tyre përkatëse. Ligji i shpërndarjes mund të specifikohet në një nga mënyrat e mëposhtme.

1 . Ligji i shpërndarjes mund të jepet nga tabela:

ku λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) duke përdorur funksionet e shpërndarjes F(x) , e cila përcakton për secilën vlerë x probabilitetin që ndryshorja e rastësishme X të marrë një vlerë më të vogël se x, d.m.th. F(x) = P(X< x).

Vetitë e funksionit F(x)

3 . Ligji i shpërndarjes mund të specifikohet grafikisht – poligonin e shpërndarjes (poligonin) (shih problemin 3).

Vini re se për të zgjidhur disa probleme nuk është e nevojshme të njihni ligjin e shpërndarjes. Në disa raste, mjafton të njohësh një ose disa numra që pasqyrojnë tiparet më të rëndësishme të ligjit të shpërndarjes. Ky mund të jetë një numër që ka kuptimin e "vlerës mesatare" të një ndryshoreje të rastësishme, ose një numër që tregon madhësinë mesatare të devijimit të një ndryshoreje të rastësishme nga vlera e saj mesatare.

Numrat e këtij lloji quhen karakteristika numerike të një ndryshoreje të rastësishme. :

• Karakteristikat themelore numerike të një ndryshoreje të rastësishme diskrete Pritshmëria matematikore (vlera mesatare) e një ndryshoreje të rastësishme diskrete.
  M(X)=Σ x i p i
• Për shpërndarjen binomiale M(X)=np, për shpërndarjen Poisson M(X)=λ Dispersion ndryshore diskrete e rastësishme D(X)=M2 ose D(X) = M(X 2)- 2
  . Diferenca X–M(X) quhet devijimi i një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore.
• Për shpërndarjen binomiale D(X)=npq, për shpërndarjen Poisson D(X)=λ Devijimi standard (devijimi standard).

σ(X)=√D(X)

Shembuj të zgjidhjes së problemeve me temën "Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete"

Detyra 1.

Zgjidhje. Janë lëshuar 1000 bileta lotarie: 5 prej tyre do të fitojnë 500 rubla, 10 do të fitojnë 100 rubla, 20 do të fitojnë 50 rubla, 50 do të fitojnë 10 rubla. Përcaktoni ligjin e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshores së rastësishme X - fitimet për biletë.

Sipas kushteve të problemit, vlerat e mëposhtme të ndryshores së rastësishme X janë të mundshme: 0, 10, 50, 100 dhe 500.

Numri i biletave pa fituar është 1000 – (5+10+20+50) = 915, pastaj P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Në mënyrë të ngjashme, gjejmë të gjitha probabilitetet e tjera: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Le të paraqesim ligjin që rezulton në formën e një tabele:

Le të gjejmë pritjen matematikore të vlerës X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Detyra 3.

Zgjidhje. 1. Ndryshorja diskrete e rastësishme X = (numri i elementeve të dështuar në një eksperiment) ka këto vlera të mundshme: x 1 = 0 (asnjë nga elementët e pajisjes nuk dështoi), x 2 = 1 (një element dështoi), x 3 = 2 ( dy elementë dështuan ) dhe x 4 =3 (tre elementë dështuan).

Dështimet e elementeve janë të pavarura nga njëra-tjetra, probabilitetet e dështimit të secilit element janë të barabarta, prandaj është e zbatueshme formula e Bernulit . Duke marrë parasysh se sipas kushtit n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 përcaktojmë probabilitetet e vlerave:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Kontrollo: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Kështu, ligji i dëshiruar i shpërndarjes binomiale të X ka formën:

Ne grafikojmë vlerat e mundshme të x i përgjatë boshtit të abshisës dhe probabilitetet përkatëse p i përgjatë boshtit të ordinatave. Le të ndërtojmë pikat M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Duke i lidhur këto pika me segmente drejtvizore, fitojmë poligonin e dëshiruar të shpërndarjes.

3. Le të gjejmë funksionin e shpërndarjes F(x) = Р(Х

Grafiku i funksionit F(x)

4. Për shpërndarjen binomiale X:
- pritshmëria matematikore M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- varianca D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- devijimi standard σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.