Karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme. Le të specifikohet një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X nga funksioni i shpërndarjes f(x)

Le të specifikohet një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X nga funksioni i shpërndarjes f(x). Le të supozojmë se të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme i përkasin segmentit [ a, b].

Përkufizimi. Pritshmëria matematikore një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X, vlerat e mundshme të së cilës i përkasin segmentit, quhet një integral i caktuar.

Nëse vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme konsiderohen në të gjithë boshtin numerik, atëherë pritshmëria matematikore gjendet me formulën:

Në këtë rast, natyrisht, supozohet se integrali i papërshtatshëm konvergjon.

Përkufizimi. Varianca e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është pritshmëria matematikore e katrorit të devijimit të saj.

Për analogji me variancën e një ndryshoreje të rastësishme diskrete, për të llogaritur praktikisht variancën, përdoret formula:

Përkufizimi. Devijimi standard quhet rrënja katrore e variancës.

Përkufizimi. Moda M 0 e një ndryshoreje të rastësishme diskrete quhet vlera e saj më e mundshme. Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, modaliteti është vlera e ndryshores së rastësishme në të cilën densiteti i shpërndarjes ka një maksimum.

Nëse shumëkëndëshi i shpërndarjes për një ndryshore të rastësishme diskrete ose kurba e shpërndarjes për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme ka dy ose më shumë maksimum, atëherë një shpërndarje e tillë quhet bimodale ose multimodale. Nëse një shpërndarje ka një minimum, por jo maksimum, atëherë quhet antimodale.

Përkufizimi. mesatare M D e një ndryshoreje të rastësishme X është vlera e saj në raport me të cilën është po aq e mundshme që të merret një vlerë më e madhe ose më e vogël e ndryshores së rastësishme.

Gjeometrikisht, mediana është abshisa e pikës në të cilën zona e kufizuar nga kurba e shpërndarjes ndahet në gjysmë. Vini re se nëse shpërndarja është njëmodale, atëherë mënyra dhe mediana përkojnë me pritshmërinë matematikore.

Përkufizimi. Momenti i fillimit urdhëroj k ndryshorja e rastësishme X është pritshmëria matematikore e vlerës X k.

Për një ndryshore të rastësishme diskrete: .

.

Momenti fillestar i rendit të parë është i barabartë me pritjen matematikore.

Përkufizimi. Momenti qendror urdhëroj k ndryshorja e rastësishme X është pritshmëria matematikore e vlerës

Për një ndryshore të rastësishme diskrete: .

Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme: .

Momenti qendror i rendit të parë është gjithmonë zero, dhe momenti qendror i rendit të dytë është i barabartë me dispersionin. Momenti qendror i rendit të tretë karakterizon asimetrinë e shpërndarjes.

Përkufizimi. Raporti i momentit qendror të rendit të tretë me devijimin standard ndaj fuqisë së tretë quhet koeficienti i asimetrisë.

Përkufizimi. Për të karakterizuar kulmin dhe rrafshimin e shpërndarjes, një sasi e quajtur teprica.

Përveç sasive të marra, përdoren edhe të ashtuquajturat momente absolute:

Momenti absolut i fillimit: . Pika qendrore absolute: . Momenti qendror absolut i rendit të parë quhet devijimi mesatar aritmetik.

Shembull. Për shembullin e diskutuar më sipër, përcaktoni pritshmërinë matematikore dhe variancën e ndryshores së rastësishme X.

Shembull. Ka 6 topa të bardhë dhe 4 të zinj në një urnë. Prej tij hiqet një top pesë herë radhazi, dhe çdo herë topi i hequr kthehet prapa dhe topat përzihen. Duke marrë numrin e topave të bardhë të nxjerrë si një ndryshore të rastësishme X, hartoni një ligj të shpërndarjes për këtë vlerë, përcaktoni pritshmërinë dhe shpërndarjen e saj matematikore.

Sepse topat në secilin eksperiment kthehen mbrapsht dhe përzihen, atëherë testet mund të konsiderohen të pavarura (rezultati i eksperimentit të mëparshëm nuk ndikon në probabilitetin e ndodhjes ose të mos ndodhjes së një ngjarjeje në një eksperiment tjetër).

Kështu, probabiliteti që një top i bardhë të shfaqet në çdo eksperiment është konstant dhe i barabartë me

Kështu, si rezultat i pesë provave radhazi, topi i bardhë mund të mos shfaqet fare, ose të shfaqet një, dy, tre, katër ose pesë herë. Për të hartuar një ligj të shpërndarjes, ju duhet të gjeni probabilitetet e secilës prej këtyre ngjarjeve.

1) Topi i bardhë nuk u shfaq fare:

2) Topi i bardhë u shfaq një herë:

3) Topi i bardhë do të shfaqet dy herë: .

Kapitulli 6. Variabla të rastësishme të vazhdueshme.

§ 1. Dendësia dhe funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme.

Grupi i vlerave të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është i panumërueshëm dhe zakonisht përfaqëson një interval të fundëm ose të pafund.

Një ndryshore e rastësishme x(w) e përcaktuar në një hapësirë ​​probabiliteti (W, S, P) quhet të vazhdueshme(absolutisht i vazhdueshëm) W, nëse ekziston një funksion jo negativ i tillë që për çdo x funksioni i shpërndarjes Fx(x) mund të përfaqësohet si një integral

Funksioni quhet funksion dendësia e shpërndarjes së probabilitetit.

Përkufizimi nënkupton vetitë e funksionit të densitetit të shpërndarjes:

1..gif" width="97" height="51">

3. Në pikat e vazhdimësisë, dendësia e shpërndarjes është e barabartë me derivatin e funksionit të shpërndarjes: .

4. Dendësia e shpërndarjes përcakton ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme, pasi përcakton probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të bjerë në intervalin:

5. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme e vazhdueshme të marrë një vlerë specifike është zero: . Prandaj, barazitë e mëposhtme janë të vlefshme:

Grafiku i funksionit të densitetit të shpërndarjes quhet kurba e shpërndarjes, dhe zona e kufizuar nga kurba e shpërndarjes dhe boshti x është e barabartë me njësinë. Pastaj, gjeometrikisht, vlera e funksionit të shpërndarjes Fx(x) në pikën x0 është zona e kufizuar nga kurba e shpërndarjes dhe boshti x dhe e shtrirë në të majtë të pikës x0.

Detyra 1. Funksioni i densitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme ka formën:

Përcaktoni konstanten C, ndërtoni funksionin e shpërndarjes Fx(x) dhe llogarisni probabilitetin.

Zgjidhje. Konstanta C gjendet nga kushti që kemi:

prej nga C=3/8.

Për të ndërtuar funksionin e shpërndarjes Fx(x), vini re se intervali ndan gamën e vlerave të argumentit x (boshti numerik) në tre pjesë: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">

meqenëse dendësia x në gjysmëbosht është zero. Në rastin e dytë

Së fundi, në rastin e fundit, kur x>2,

Meqenëse dendësia zhduket në gjysmë-bosht. Pra, fitohet funksioni i shpërndarjes

Probabiliteti Le të llogarisim duke përdorur formulën. Kështu,

§ 2. Karakteristikat numerike të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme

pritje për variablat e rastësishme të shpërndara vazhdimisht përcaktohet me formulën https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

nëse integrali në të djathtë konvergjon absolutisht.

Dispersion x mund të llogaritet duke përdorur formulën , dhe gjithashtu, si në rastin diskrete, sipas formulës https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Të gjitha vetitë e pritjes dhe shpërndarjes matematikore të dhëna në Kapitullin 5 për variablat e rastësishme diskrete janë gjithashtu të vlefshme për variablat e rastësishme të vazhdueshme.

Problemi 2. Për variablin e rastësishëm x nga problemi 1, llogaritni pritshmërinë dhe variancën matematikore .

Zgjidhje.

Dhe kjo do të thotë

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Për një grafik të densitetit të shpërndarjes uniforme, shihni Fig. .

Fig.6.2. Funksioni i shpërndarjes dhe dendësia e shpërndarjes. ligj uniform

Funksioni i shpërndarjes Fx(x) i një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë në mënyrë uniforme është i barabartë me

Fx(x)=

Pritshmëria dhe varianca; .

Shpërndarja eksponenciale (eksponenciale). Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme x që merr vlera jo negative ka një shpërndarje eksponenciale me parametrin l>0 nëse shpërndarja e densitetit të probabilitetit të ndryshores së rastësishme është e barabartë me

рx(x)=

Oriz. 6.3. Funksioni i shpërndarjes dhe dendësia e shpërndarjes së ligjit eksponencial.

Funksioni i shpërndarjes së shpërndarjes eksponenciale ka formën

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> dhe nëse dendësia e shpërndarjes së tij është e barabartë me

.

Përmes tregon grupin e të gjitha ndryshoreve të rastësishme të shpërndara sipas një ligji normal me parametra parametra dhe .

Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë normalisht është i barabartë me

.

Oriz. 6.4. Funksioni i shpërndarjes dhe dendësia normale e shpërndarjes

Parametrat e shpërndarjes normale janë pritshmëria matematikore https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

Në rastin e veçantë kur https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> shpërndarja normale quhet standarde, dhe klasa e shpërndarjeve të tilla shënohet me https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

dhe funksionin e shpërndarjes

Një integral i tillë nuk mund të llogaritet në mënyrë analitike (nuk merret në "kuadratura"), dhe për këtë arsye janë përpiluar tabela për funksionin. Funksioni lidhet me funksionin Laplace të prezantuar në Kapitullin 4

,

nga relacioni i mëposhtëm . Në rastin e vlerave arbitrare të parametrave https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme lidhet me funksionin Laplace duke përdorur relacionin:

.

Prandaj, probabiliteti që një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht të bjerë në një interval mund të llogaritet duke përdorur formulën

.

Një ndryshore e rastësishme jo negative x quhet e shpërndarë lognormalisht nëse logaritmi i tij h=lnx i bindet ligjit normal. Vlera e pritur dhe varianca e një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë në mënyrë lognormale janë Mx= dhe Dx=.

Detyra 3. Le të jepet një ndryshore e rastësishme https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Zgjidhje. Këtu https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Shpërndarja Laplace jepet me funksionin fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> dhe kurtoza është gx=3.

Fig.6.5. Funksioni i densitetit të shpërndarjes Laplace.

Ndryshorja e rastësishme x shpërndahet mbi Ligji i Weibull-it, nëse ka një funksion të densitetit të shpërndarjes të barabartë me https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Shpërndarja Weibull rregullon kohën e funksionimit pa dështime të shumë pajisjeve teknike. Në problemat e këtij profili, një karakteristikë e rëndësishme është shkalla e dështimit (vdekshmëria) l(t) e elementeve të studiuara të moshës t, e përcaktuar nga relacioni l(t)=. Nëse a=1, atëherë shpërndarja Weibull kthehet në një shpërndarje eksponenciale, dhe nëse a=2 - në të ashtuquajturën shpërndarje Rayleigh.

Pritshmëria matematikore e shpërndarjes Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, ku Г(а) është Euler funksion .

Në probleme të ndryshme të statistikave të aplikuara, hasen shpesh të ashtuquajturat shpërndarje “të cunguara”. Për shembull, autoritetet tatimore janë të interesuara për shpërndarjen e të ardhurave të atyre individëve, të ardhurat vjetore të të cilëve tejkalojnë një prag të caktuar c0 të përcaktuar nga ligjet tatimore. Këto shpërndarje rezultojnë të përkojnë afërsisht me shpërndarjen Pareto. Shpërndarja Pareto dhënë nga funksionet

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> e një ndryshoreje të rastësishme x dhe një funksioni monotonik të diferencueshëm ..gif" width="200" height="51">

Këtu https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Detyra 4. Ndryshorja e rastësishme shpërndahet në mënyrë uniforme në segment. Gjeni densitetin e një ndryshoreje të rastësishme.

Zgjidhje. Nga kushtet problemore del se

Tjetra, funksioni është një funksion monoton dhe i diferencueshëm në një interval dhe ka një funksion të anasjelltë , derivati ​​i të cilit është i barabartë me Prandaj,

§ 5. Çifti i ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme

Le të jepen dy ndryshore të rastësishme të vazhdueshme x dhe h. Pastaj çifti (x, h) përcakton një pikë "të rastësishme" në plan. Quhet çifti (x, h). vektor i rastësishëm ose ndryshore e rastësishme dydimensionale.

Funksioni i përbashkët i shpërndarjes variablat e rastit x dhe h dhe funksioni quhet F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. dendësia e kyçeve Shpërndarja e probabilitetit të ndryshoreve të rastësishme x dhe h quhet një funksion i tillë që .

Kuptimi i këtij përkufizimi të densitetit të shpërndarjes së përbashkët është si më poshtë. Probabiliteti që një "pikë e rastësishme" (x, h) të bjerë në një rajon në një aeroplan llogaritet si vëllimi i një figure tre-dimensionale - një cilindri "lakor" i kufizuar nga sipërfaqja https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3 gif" width="211" height="39 src=">

Shembulli më i thjeshtë i një shpërndarjeje të përbashkët të dy ndryshoreve të rastit është ai dydimensional shpërndarje uniforme në kompletA. Le të jepet një bashkësi M e kufizuar me sipërfaqe. Përkufizohet si shpërndarja e çiftit (x, h), e përcaktuar nga dendësia e bashkimit vijues:

Detyra 5. Le të jetë një vektor i rastësishëm dydimensional (x, h) i shpërndarë në mënyrë uniforme brenda trekëndëshit. Njehsoni probabilitetin e mosbarazimit x>h.

Zgjidhje. Sipërfaqja e trekëndëshit të treguar është e barabartë me (shih Fig. Nr.?). Në bazë të përcaktimit të një shpërndarje uniforme dydimensionale, dendësia e përbashkët e variablave të rastësishëm x, h është e barabartë me

Një ngjarje korrespondon me një grup në një aeroplan, pra një gjysmë aeroplan. Pastaj probabiliteti

Në gjysmëplanin B, dendësia e bashkimit është zero jashtë grupit https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Kështu, gjysmëplani B ndahet në dy grupe dhe https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> dhe , dhe integrali i dytë është i barabartë me zero, pasi dendësia e bashkimit atje është e barabartë me zero. Kjo është arsyeja pse

Nëse është dhënë dendësia e shpërndarjes së përbashkët për një çift (x, h), atëherë dendësia e të dy komponentëve x dhe h quhen dendësi private dhe llogariten duke përdorur formulat:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Për variabla të rastësishme të shpërndara vazhdimisht me densitet рx(х), рh(у), pavarësia do të thotë që

Detyra 6. Në kushtet e problemës së mëparshme, përcaktoni nëse përbërësit e vektorit të rastit x dhe h janë të pavarur?

Zgjidhje. Le të llogarisim dendësinë e pjesshme dhe . Ne kemi:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Natyrisht, në rastin tonë https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> është dendësia e përbashkët e sasive x dhe h, dhe j( x, y) është një funksion i dy argumenteve, atëherë

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Detyra 7. Në kushtet e problemit të mëparshëm, llogarisni .

Zgjidhje. Sipas formulës së mësipërme kemi:

.

Paraqitja e trekëndëshit si

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Dendësia e shumës së dy ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme

Le të jenë x dhe h variabla të rastësishme të pavarura me dendësi https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Dendësia e ndryshores së rastësishme x + h llogaritet me formulë konvolucioni

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Llogaritni dendësinë e shumës.

Zgjidhje. Meqenëse x dhe h shpërndahen sipas ligjit eksponencial me parametrin , dendësia e tyre është e barabartë

Prandaj,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Nëse x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">është negative, dhe për këtë arsye . Prandaj, nëse https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Kështu morëm përgjigjen:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> shpërndahen normalisht me parametrat 0 dhe 1. Variablat e rastësishëm x1 dhe x2 janë të pavarura dhe kanë shpërndarje normale me parametrat a1, dhe a2, përkatësisht Vërtetoni se x1 + x2 ka një shpërndarje normale.

.

Gjeni funksionin e shpërndarjes dhe dendësinë e shpërndarjes së vlerave:

a) h1 = min (x1, x2, ...xn); b) h(2) = max (x1,x2, ... xn)

Variablat e rastësishëm x1, x2, ... xn janë të pavarura dhe të shpërndara në mënyrë uniforme në intervalin [a, b]. Gjeni funksionet e shpërndarjes dhe funksionet e densitetit të shpërndarjeve të sasive

x(1) = min (x1,x2, ... xn) dhe x(2)= max(x1, x2, ...xn).

Vërtetoni se Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Ndryshorja e rastësishme shpërndahet sipas ligjit të Cauchy-t Gjeni: a) koeficientin a; b) funksionin e shpërndarjes; c) probabilitetin e rënies në intervalin (-1, 1). Tregoni se pritshmëria matematikore e x nuk ekziston. Ndryshorja e rastësishme i nënshtrohet ligjit të Laplasit me parametrin l (l>0): Gjeni koeficientin a; të ndërtojë grafikët e densitetit të shpërndarjes dhe funksionet e shpërndarjes; gjeni Mx dhe Dx; gjeni probabilitetet e ngjarjeve (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Shkruani një formulë për densitetin e shpërndarjes, gjeni Mx dhe Dx.

Detyrat llogaritëse.

Një pikë e rastësishme A ka një shpërndarje uniforme në një rreth me rreze R. Gjeni pritjen matematikore dhe variancën e distancës r të pikës deri në qendrën e rrethit. Tregoni se vlera r2 është e shpërndarë në mënyrë uniforme në segment.

Dendësia e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme ka formën:

Llogaritni konstanten C, funksionin e shpërndarjes F(x) dhe probabilitetin Dendësia e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme ka formën:

Llogaritni konstanten C, funksionin e shpërndarjes F(x) dhe probabilitetin Dendësia e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme ka formën:
Llogaritni konstanten C, funksionin e shpërndarjes F(x), variancën dhe probabilitetin Një ndryshore e rastësishme ka një funksion të shpërndarjes

Llogaritni densitetin e një ndryshoreje të rastësishme, pritshmërinë matematikore, variancën dhe probabilitetin Kontrolloni që funksioni =
mund të jetë një funksion shpërndarjeje i një ndryshoreje të rastësishme. Gjeni karakteristikat numerike të kësaj madhësie: Mx dhe Dx. Ndryshorja e rastësishme shpërndahet në mënyrë uniforme në segment. Shkruani dendësinë e shpërndarjes. Gjeni funksionin e shpërndarjes. Gjeni probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të bjerë në segment dhe në segment. Dendësia e shpërndarjes x është e barabartë me

.

Gjeni konstanten c, dendësinë e shpërndarjes h = dhe probabilitetin

P (0.25

Koha e funksionimit pa dështime të një kompjuteri shpërndahet sipas një ligji eksponencial me parametrin l = 0.05 (dështime në orë), d.m.th., ai ka një funksion densiteti

p(x) = .

Zgjidhja e një problemi të caktuar kërkon funksionimin pa probleme të makinës për 15 minuta. Nëse ndodh një dështim gjatë zgjidhjes së një problemi, gabimi zbulohet vetëm pasi të përfundojë zgjidhja dhe problemi zgjidhet përsëri. Gjeni: a) probabilitetin që gjatë zgjidhjes së problemit të mos ndodhë asnjë dështim i vetëm; b) koha mesatare në të cilën do të zgjidhet problemi.

Një shufër 24 cm e gjatë është thyer në dy pjesë; Do të supozojmë se pika e thyerjes shpërndahet në mënyrë të barabartë përgjatë gjithë gjatësisë së shufrës. Sa është gjatësia mesatare e pjesës më të madhe të shufrës? Një copë me gjatësi 12 cm pritet rastësisht në dy pjesë. Pika e prerjes shpërndahet në mënyrë të barabartë përgjatë gjithë gjatësisë së segmentit. Sa është gjatësia mesatare e pjesës së vogël të segmentit? Ndryshorja e rastësishme shpërndahet në mënyrë uniforme në segment. Gjeni dendësinë e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = .

Tregoni se nëse x ka funksion të shpërndarjes së vazhdueshme

F(x) = P(x

Gjeni funksionin e densitetit dhe funksionin e shpërndarjes së shumës së dy madhësive të pavarura x dhe h me ligje uniforme të shpërndarjes në segmente dhe, përkatësisht. Variablat e rastësishëm x dhe h janë të pavarura dhe të shpërndara në mënyrë uniforme në segmente dhe, përkatësisht. Njehsoni dendësinë e shumës x+h. Variablat e rastësishëm x dhe h janë të pavarura dhe të shpërndara në mënyrë uniforme në segmente dhe, përkatësisht. Njehsoni dendësinë e shumës x+h. Variablat e rastësishëm x dhe h janë të pavarura dhe të shpërndara në mënyrë uniforme në segmente dhe, përkatësisht. Njehsoni dendësinë e shumës x+h. Variablat e rastësishëm janë të pavarura dhe kanë një shpërndarje eksponenciale me densitet . Gjeni dendësinë e shpërndarjes së shumës së tyre. Gjeni shpërndarjen e shumës së ndryshoreve të rastësishme të pavarura x dhe h, ku x ka një shpërndarje uniforme në interval dhe h ka një shpërndarje eksponenciale me parametrin l. Gjeni P , nëse x ka: a) shpërndarje normale me parametrat a dhe s2; b) shpërndarja eksponenciale me parametrin l; c) shpërndarje uniforme në segmentin [-1;1]. Shpërndarja e përbashkët e x, h është uniforme në katror
K = (x, y): |x| +|y|£2). Gjeni probabilitetin . A janë x dhe h të pavarur? Një palë ndryshoresh të rastësishme x dhe h janë të shpërndara në mënyrë uniforme brenda trekëndëshit K=. Njehsoni dendësinë x dhe h. A janë këto ndryshore të rastësishme të pavarura? Gjeni probabilitetin. Variablat e rastësishëm x dhe h janë të pavarura dhe të shpërndara në mënyrë uniforme në segmentet dhe [-1,1]. Gjeni probabilitetin. Një ndryshore e rastësishme dydimensionale (x, h) shpërndahet në mënyrë uniforme në një katror me kulme (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Gjeni vlerën e funksionit të shpërndarjes së përbashkët në pikën (1, -1). Një vektor i rastësishëm (x, h) shpërndahet në mënyrë uniforme brenda një rrethi me rreze 3 me qendër në origjinë. Shkruani një shprehje për densitetin e shpërndarjes së përbashkët. Përcaktoni nëse këto ndryshore të rastësishme janë të varura. Llogaritni probabilitetin. Një palë ndryshoresh të rastësishme x dhe h shpërndahen në mënyrë uniforme brenda një trapezi me kulme në pikat (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Gjeni densitetin e shpërndarjes së përbashkët për këtë çift të ndryshoreve të rastësishme dhe densitetin e komponentëve. A janë x dhe h të varur? Një çift i rastësishëm (x, h) shpërndahet në mënyrë uniforme brenda një gjysmërrethi. Gjeni dendësinë x dhe h, hulumtoni çështjen e varësisë së tyre. Dendësia e përbashkët e dy ndryshoreve të rastësishme x dhe h është e barabartë me .
Gjeni dendësinë x, h. Hetoni çështjen e varësisë së x dhe h. Një çift i rastësishëm (x, h) shpërndahet në mënyrë uniforme në grup. Gjeni dendësinë x dhe h, hulumtoni çështjen e varësisë së tyre. Gjeni M(xh). Ndryshoret e rastësishme x dhe h janë të pavarura dhe të shpërndara sipas ligjit eksponencial me parametrin Gjeni

4. Dendësia e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme

Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme mund të specifikohet duke përdorur funksionin e shpërndarjes F(x) . Kjo metodë e caktimit nuk është e vetmja. Një variabël e rastësishme e vazhdueshme mund të specifikohet gjithashtu duke përdorur një funksion tjetër të quajtur densiteti i shpërndarjes ose densiteti i probabilitetit (ndonjëherë i quajtur funksion diferencial).

Përkufizimi 4.1: Dendësia e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X thirrni funksionin f (x) - derivati ​​i parë i funksionit të shpërndarjes F(x) :

f ( x ) = F "( x ) .

Nga ky përkufizim del se funksioni i shpërndarjes është një antiderivativ i densitetit të shpërndarjes. Vini re se dendësia e shpërndarjes nuk është e zbatueshme për të përshkruar shpërndarjen e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Probabiliteti që një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme të bjerë në një interval të caktuar

Duke ditur densitetin e shpërndarjes, mund të llogarisni probabilitetin që një variabël e rastësishme e vazhdueshme të marrë një vlerë që i përket një intervali të caktuar.

Teorema: Probabiliteti që një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X do të marrë vlera që i përkasin intervalit (a, b), është e barabartë me një integral të caktuar të densitetit të shpërndarjes, marrë në intervalin ngaateb :

Dëshmi: Ne përdorim raportin

P(a ≤ Xb) = F(b) – F(a).

Sipas formulës Njuton-Leibniz,

Kështu,

.

Sepse P(a ≤ X b)= P(a X b) , atëherë më në fund marrim

.

Gjeometrikisht, rezultati i marrë mund të interpretohet si më poshtë: probabiliteti që një ndryshore e rastësishme e vazhdueshme të marrë një vlerë që i përket intervalit (a, b), e barabartë me sipërfaqen e një trapezi lakor të kufizuar nga boshtikau, kurba e shpërndarjesf(x) dhe drejtx = aDhex = b.

Koment: Në veçanti, nëse f(x) – funksioni është çift dhe skajet e intervalit janë simetrike në lidhje me origjinën, atëherë

.

Shembull.Është dhënë dendësia e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme X

Gjeni probabilitetin që si rezultat i testit X do të marrë vlerat që i përkasin intervalit (0.5, 1).

Zgjidhja: Probabiliteti i kërkuar

.

Gjetja e funksionit të shpërndarjes nga një densitet i njohur i shpërndarjes

Njohja e densitetit të shpërndarjes f(x) , mund të gjejmë funksionin e shpërndarjes F(x) sipas formulës

.

Vërtet, F(x) = P(X x) = P(-∞ X x) .

Prandaj,

.

Kështu, Duke ditur densitetin e shpërndarjes, mund të gjeni funksionin e shpërndarjes. Natyrisht, nga një funksion i njohur i shpërndarjes mund të gjendet dendësia e shpërndarjes, domethënë:

f(x) = F"(x).

Shembull. Gjeni funksionin e shpërndarjes për densitetin e caktuar të shpërndarjes:

Zgjidhja: Le të përdorim formulën

Nëse x ≤ a, Kjo f(x) = 0 , pra, F(x) = 0 . Nëse a, atëherë f(x) = 1/(b-a),

prandaj,

.

Nëse x > b, Kjo

.

Pra, funksioni i kërkuar i shpërndarjes

Koment: Ne morëm funksionin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë në mënyrë uniforme (shih shpërndarjen uniforme).

Vetitë e densitetit të shpërndarjes

Prona 1: Dendësia e shpërndarjes është një funksion jo negativ:

f ( x ) ≥ 0 .

Prona 2: Integrali jo i duhur i densitetit të shpërndarjes në rangun nga -∞ në ∞ është i barabartë me një:

.

Koment: Grafiku i densitetit të shpërndarjes quhet kurba e shpërndarjes.

Koment: Dendësia e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme quhet gjithashtu ligji i shpërndarjes.

Shembull. Dendësia e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme ka formën e mëposhtme:

Gjeni një parametër konstant a.

Zgjidhja: Dendësia e shpërndarjes duhet të plotësojë kushtin, kështu që ne do të kërkojmë që barazia të plotësohet

.

Nga këtu
.

.

Le të gjejmë integralin e pacaktuar:

Le të llogarisim integralin e gabuar:

.

Kështu, parametri i kërkuar

Kuptimi i mundshëm i densitetit të shpërndarjes F(x) Le X– funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme f(x) = F"(x) . Sipas përkufizimit të densitetit të shpërndarjes,

, ose F(xDiferencaF(x) +∆x) - X përcakton probabilitetin që (x, xdo të marrë një vlerë që i përket intervalit+∆х) (x, xdo të marrë një vlerë që i përket intervalit, në gjatësinë e këtij intervali (në ∆х→0) është e barabartë me vlerën e densitetit të shpërndarjes në pikë X.

Pra funksioni f(x) përcakton densitetin e shpërndarjes së probabilitetit për secilën pikë X. Nga llogaritja diferenciale dihet se rritja e një funksioni është afërsisht e barabartë me diferencialin e funksionit, d.m.th.

Sepse F"(x) = f(x) Dhe dx = ∆ x, Kjo F(x+∆ x) - F(x) ≈ f(x)∆ x.

Kuptimi probabilistik i kësaj barazie është: probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë që i përket intervalit (x, x+∆ x) është afërsisht i barabartë me produktin e densitetit të probabilitetit në pikën x dhe gjatësinë e intervalit ∆x.

Gjeometrikisht, ky rezultat mund të interpretohet si më poshtë: probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë që i përket intervalit (x, x+∆ x) është afërsisht e barabartë me sipërfaqen e një drejtkëndëshi me bazë ∆х dhe lartësif(x).

5. Shpërndarjet tipike të variablave të rastësishme diskrete

5.1. Shpërndarja e Bernoulli

Përkufizimi 5.1: Ndryshore e rastësishme X, duke marrë dy vlera 1 Dhe 0 me probabilitete (“sukses”) fq dhe ("dështim") q, thirri Bernoullievskaya:

, Ku k=0,1.

5.2. Shpërndarja binomiale

Le të prodhohet n gjykime të pavarura, në secilën prej të cilave ngjarja A mund të shfaqet ose jo. Probabiliteti që një ngjarje të ndodhë në të gjitha sprovat është konstante dhe e barabartë fq(pra probabiliteti që të mos ndodh q = 1 - fq).

Merrni parasysh variablin e rastësishëm X– numri i dukurive të ngjarjes A në këto teste. Ndryshore e rastësishme X merr vlera 0,1,2,… n me probabilitete të llogaritura duke përdorur formulën Bernoulli: , Ku k = 0,1,2,… n.

Përkufizimi 5.2: Binom quhet shpërndarja e probabilitetit e përcaktuar nga formula e Bernulit.

Shembull. Tre të shtëna janë qëlluar në objektiv, dhe probabiliteti për të goditur çdo goditje është 0.8. Duke marrë parasysh një ndryshore të rastësishme X– numri i goditjeve në objektiv. Gjeni serinë e shpërndarjes së saj.

Zgjidhja: Ndryshore e rastësishme X merr vlera 0,1,2,3 me probabilitete të llogaritura duke përdorur formulën e Bernulit, ku n = 3, fq = 0,8 (probabiliteti i goditjes), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (probabiliteti i mungesës).

Kështu, seria e shpërndarjes ka formën e mëposhtme:

Përdorni formulën e Bernulit për vlera të mëdha n mjaft e vështirë, prandaj, për të llogaritur probabilitetet përkatëse, përdorni teoremën lokale të Laplace, e cila ju lejon të gjeni afërsisht probabilitetin e ndodhjes së një ngjarjeje saktësisht k një herë në çdo n teste, nëse numri i testeve është mjaft i madh.

Teorema lokale e Laplasit: Nëse probabiliteti fq ndodhja e një ngjarjeje A
se ngjarja A do të shfaqet në n teste saktësisht k herë, afërsisht të barabarta (sa më e saktë, aq më shumë n) vlera e funksionit
, Ku
, .

Shënim 1: Tabelat që përmbajnë vlerat e funksionit
, janë dhënë në Shtojcën 1, dhe
. Funksioni është dendësia e shpërndarjes normale standarde (shih shpërndarjen normale).

Shembull: Gjeni probabilitetin që ngjarja A do të vijë pikërisht 80 një herë në çdo 400 provat nëse probabiliteti i ndodhjes së kësaj ngjarje në çdo gjykim është i barabartë me 0,2.

Zgjidhja: Sipas kushteve n = 400, k = 80, fq = 0,2 , q = 0,8 . Le të llogarisim vlerën e përcaktuar nga të dhënat e detyrës x:
. Nga tabela në Shtojcën 1 gjejmë
. Atëherë probabiliteti i kërkuar do të jetë:

Nëse duhet të llogarisni probabilitetin që një ngjarje A do të shfaqet në n teste jo më pak k 1 një herë dhe jo më shumë k 2 herë, atëherë duhet të përdorni teoremën integrale të Laplace:

Teorema integrale e Laplasit: Nëse probabiliteti fq ndodhja e një ngjarjeje A në çdo provë është konstante dhe e ndryshme nga zero dhe një, atëherë probabiliteti se ngjarja A do të shfaqet në n teste nga k 1 te k 2 herë, afërsisht e barabartë me një integral të caktuar

, Ku
Dhe
.

Me fjalë të tjera, probabiliteti që një ngjarje A do të shfaqet në n teste nga k 1 te k 2 herë, afërsisht e barabartë

Ku
, Dhe .

Shënim 2: Funksioni
quhet funksioni Laplace (shih shpërndarjen normale). Tabelat që përmbajnë vlerat e funksionit , janë dhënë në Shtojcën 2, dhe
.

Shembull: Gjeni probabilitetin që ndër 400 Pjesët e zgjedhura në mënyrë rastësore do të rezultojnë të jenë të patestuara nga 70 në 100 pjesë, nëse probabiliteti që pjesa të mos e kalojë inspektimin e kontrollit të cilësisë është e barabartë me 0,2.

Zgjidhja: Sipas kushteve n = 400, fq = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Le të llogarisim kufijtë e poshtëm dhe të sipërm të integrimit:

;
.

Kështu kemi:

Nga tabela në Shtojcën 2 gjejmë se
Dhe
. Atëherë probabiliteti i kërkuar është:

Shënim 3: Në një seri provash të pavarura (kur n është i madh, p është i vogël), formula Poisson përdoret për të llogaritur probabilitetin që një ngjarje të ndodhë saktësisht k herë (shih shpërndarjen Poisson).

5.3. Shpërndarja Poisson

Përkufizimi 5.3: Quhet një ndryshore e rastësishme diskrete Poisson, nëse ligji i shpërndarjes së tij ka formën e mëposhtme:

, Ku
Dhe
(vlera konstante).

Shembuj të ndryshoreve të rastit Poisson:

Numri i thirrjeve në një stacion automatik gjatë një periudhe kohore T.

Numri i grimcave të kalbjes së disa substancave radioaktive gjatë një periudhe kohore T.

Numri i televizorëve që mbërrijnë në punëtori gjatë një periudhe kohore T në një qytet të madh .

Numri i makinave që do të mbërrijnë në vijën e ndalimit të një kryqëzimi në një qytet të madh .

Shënim 1: Tabelat e veçanta për llogaritjen e këtyre probabiliteteve janë dhënë në Shtojcën 3.

Shënim 2: Në një seri testesh të pavarura (kur n i madh, fq nuk mjafton) për të llogaritur probabilitetin që një ngjarje të ndodhë saktësisht k herë duke përdorur formulën e Poisson:
, Ku
, pra numri mesatar i ndodhive të ngjarjeve mbetet konstant.

Shënim 3: Nëse ka një ndryshore të rastësishme që shpërndahet sipas ligjit Poisson, atëherë ekziston domosdoshmërisht një ndryshore e rastësishme që shpërndahet sipas ligjit eksponencial dhe anasjelltas (shiko Shpërndarja eksponenciale).

Shembull. Fabrika u dërgua në bazë 5000 produkte me cilësi të mirë. Probabiliteti që produkti të dëmtohet gjatë transportit është i barabartë me 0,0002 . Gjeni probabilitetin që saktësisht tre produkte të papërdorshme të mbërrijnë në bazë.

Zgjidhja: Sipas kushteve n = 5000, fq = 0,0002, k = 3. Ne do të gjejmë λ: λ = n.p.= 5000·0.0002 = 1.

Sipas formulës Poisson, probabiliteti i dëshiruar është i barabartë me:

, ku është ndryshorja e rastësishme X– numri i produkteve të papërdorshme.

5.4. Shpërndarja gjeometrike

Le të kryhen teste të pavarura, në secilën prej të cilave është probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A e barabartë me fq(0 fq

q = 1 - fq. Sfidat mbarojnë sapo shfaqet ngjarja A. Kështu, nëse një ngjarje A u shfaq në k-testi, pastaj në atë të mëparshëm k – 1 nuk u shfaq në teste.

Le të shënojmë me X ndryshore diskrete e rastësishme - numri i provave që duhet të kryhen përpara shfaqjes së parë të ngjarjes A. Natyrisht, vlerat e mundshme X janë numra natyrorë x 1 = 1, x 2 = 2, ...

Le të parë k-1 ngjarje testuese A nuk erdhi, por brenda k- u shfaq testi. Probabiliteti i kësaj "ngjarje komplekse", sipas teoremës së shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura, P (X = k) = q k -1 fq.

Përkufizimi 5.4: Një ndryshore e rastësishme diskrete ka shpërndarja gjeometrike, nëse ligji i shpërndarjes së tij ka formën e mëposhtme:

P ( X = k ) = q k -1 fq , Ku
.

Shënim 1: Duke besuar k = 1,2,… , marrim një progresion gjeometrik me termin e parë fq dhe emërues q (0q. Për këtë arsye, shpërndarja quhet gjeometrike.

Shënim 2: Rreshti
konvergon dhe shuma e tij është e barabartë me një. Në të vërtetë, shuma e serisë është e barabartë me
.

Shembull. Arma qëllon në objektiv derisa të bëhet goditja e parë. Mundësia për të goditur objektivin fq = 0,6 . Gjeni probabilitetin që një goditje të ndodhë në goditjen e tretë.

Zgjidhja: Sipas kushteve fq = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Probabiliteti i kërkuar është:

P (X = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Shpërndarja hipergjeometrike

Le të shqyrtojmë problemin e mëposhtëm. Lëreni partinë jashtë N produktet në dispozicion M standarde (MN). Marrë rastësisht nga grupi n produkte (çdo produkt mund të nxirret me të njëjtën probabilitet), dhe produkti i përzgjedhur nuk kthehet në grup përpara se të zgjedhë atë të radhës (prandaj, formula e Bernoulli nuk zbatohet këtu).

Le të shënojmë me X ndryshore e rastësishme - numër m produkteve standarde ndër n të zgjedhura. Pastaj vlerat e mundshme X do të jetë 0, 1, 2,…, min; Le t'i etiketojmë dhe... Nga vlerat e variablës së pavarur (Fonds) përdorin butonin ( kapitulli ...

Ndryshe nga një ndryshore e rastësishme diskrete, ndryshoret e rastësishme të vazhdueshme nuk mund të specifikohen në formën e një tabele të ligjit të shpërndarjes së tij, pasi është e pamundur të renditni dhe shkruani të gjitha vlerat e tij në një sekuencë të caktuar. Një mënyrë e mundshme për të specifikuar një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme është përdorimi i një funksioni shpërndarjeje.

PËRKUFIZIM. Funksioni i shpërndarjes është një funksion që përcakton probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të marrë vlerën që përfaqësohet në boshtin e numrave nga një pikë që shtrihet në të majtë të pikës x, d.m.th.

Ndonjëherë në vend të termit "funksioni i shpërndarjes" përdoret termi "funksion integral".

Karakteristikat e funksionit të shpërndarjes:

1. Vlerat e funksionit të shpërndarjes i përkasin segmentit: 0F(x)1
2. F(x) është një funksion që nuk zvogëlohet, d.m.th. F(x 2) F(x 1), nëse x 2 > x 1

Përfundim 1. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë të përmbajtur në intervalin (a,b) është e barabartë me rritjen e funksionit të shpërndarjes në këtë interval:

P(aX

Shembulli 9. Ndryshorja e rastësishme X jepet nga funksioni i shpërndarjes:

Gjeni probabilitetin që si rezultat i testit X të marrë një vlerë që i përket intervalit (0;2): P(0

Zgjidhje: Meqenëse në intervalin (0;2) sipas kushtit, F(x)=x/4+1/4, atëherë F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Pra P(0

Përfundim 2. Probabiliteti që një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X të marrë një vlerë specifike është zero.

Përfundim 3. Nëse vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme i përkasin intervalit (a;b), atëherë: 1) F(x)=0 për xa; 2) F(x)=1 në xb.
Marrëdhëniet kufitare të mëposhtme janë të vlefshme:

Grafiku i funksionit të shpërndarjes ndodhet në brezin e kufizuar nga drejtëzat y=0, y=1 (vetia e parë). Ndërsa x rritet në intervalin (a;b), i cili përmban të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme, grafiku "ngjitet lart". Në xa, ordinatat e grafikut janë të barabarta me zero; në xb ordinatat e grafikut janë të barabarta me një:

Figura-1

Shembulli 10. Një ndryshore diskrete e rastësishme X jepet nga një tabelë e shpërndarjes:

Gjeni funksionin e shpërndarjes dhe vizatoni atë.
Zgjidhje: Funksioni i shpërndarjes mund të shkruhet në mënyrë analitike si më poshtë:

Figura-2

PËRKUFIZIM: Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X është funksioni f(x) - derivati ​​i parë i funksionit të shpërndarjes F(x): f(x)=F"(x)

Nga ky përkufizim del se funksioni i shpërndarjes është një antiderivativ i densitetit të shpërndarjes.

Teorema. Probabiliteti që një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X të marrë një vlerë që i përket intervalit (a;b) është e barabartë me një integral të caktuar të densitetit të shpërndarjes, marrë në intervalin nga a në b:

(8)

Vetitë e shpërndarjes së densitetit të probabilitetit:

1. Dendësia e probabilitetit është një funksion jo negativ: f(x)0.
2. Integrali i caktuar nga -∞ në +∞ i densitetit të probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është i barabartë me 1: f(x)dx=1.
3. Integrali i caktuar nga -∞ në x i densitetit të probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është i barabartë me funksionin e shpërndarjes së kësaj ndryshoreje: f(x)dx=F(x)

Shembulli 11. Është dhënë dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme X

Gjeni probabilitetin që si rezultat i testit X të marrë një vlerë që i përket intervalit (0.5;1).

Zgjidhja: Probabiliteti i kërkuar:

Le të zgjerojmë përkufizimin e karakteristikave numerike të sasive diskrete në sasi të vazhdueshme. Le të specifikohet një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X nga dendësia e shpërndarjes f(x).

PËRKUFIZIM. Pritja matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X, vlerat e mundshme të së cilës i përkasin segmentit, quhet një integral i caktuar:

M(x)=xf(x)dx (9)

Nëse vlerat e mundshme i përkasin të gjithë boshtit Ox, atëherë:

M(x)=xf(x)dx (10)

Modaliteti M 0 (X) i një ndryshoreje të vazhdueshme të rastësishme X është vlera e tij e mundshme të cilës i korrespondon maksimumi lokal i densitetit të shpërndarjes.

Mesatarja M e (X) e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X është vlera e saj e mundshme, e cila përcaktohet nga barazia:

P(X e (X))=P(X>M e (X))

PËRKUFIZIM. Varianca e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është pritshmëria matematikore e katrorit të devijimit të saj. Nëse vlerat e mundshme të X i përkasin segmentit, atëherë:

D(x)= 2 f(x)dx (11)
ose
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Nëse vlerat e mundshme i përkasin të gjithë boshtit x, atëherë.