Ndryshorja e rastësishme specifikohet nga funksioni. Shembuj të zgjidhjes së problemeve me temën "Ndryshoret e rastësishme"

Në teorinë e probabilitetit, duhet të merret me ndryshore të rastësishme, vlerat e të cilave nuk mund të numërohen. Për shembull, është e pamundur të merren dhe të "përsëriten" të gjitha vlerat e ndryshores së rastësishme $X$ - koha e shërbimit të orës, pasi koha mund të matet në orë, minuta, sekonda, milisekonda, etj. Ju mund të specifikoni vetëm një interval të caktuar brenda të cilit qëndrojnë vlerat e ndryshores së rastësishme.

Ndryshore e vazhdueshme e rastësishmeështë një ndryshore e rastësishme, vlerat e së cilës plotësojnë plotësisht një interval të caktuar.

Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme

Meqenëse nuk është e mundur të numërohen të gjitha vlerat e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme, ajo mund të specifikohet duke përdorur funksionin e shpërndarjes.

Funksioni i shpërndarjes ndryshorja e rastësishme $X$ quhet një funksion $F\left(x\right)$, i cili përcakton probabilitetin që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë një vlerë më të vogël se një vlerë fikse $x$, domethënë $F\ majtas(x\djathtas)=P\majtas(X< x\right)$.

Karakteristikat e funksionit të shpërndarjes:

1 . $0\le F\majtas(x\djathtas)\le 1$.

2 . Probabiliteti që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë vlera nga intervali $\left(\alpha ;\ \beta \djathtas)$ është e barabartë me diferencën midis vlerave të funksionit të shpërndarjes në fund të këtij intervali: $P\majtas(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $F\left(x\djathtas)$ - jo në rënie.

4 . $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x \djathtas)=1\ )$.

Shembulli 1
0,\ x\le 0\\
x, \ 0< x\le 1\\
1, \ x> 1
\end (matricë)\djathtas.$. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme $X$ të bjerë në intervalin $\left(0.3;0.7\right)$ mund të gjendet si diferencë midis vlerave të funksionit të shpërndarjes $F\left(x\right)$ në skajet e këtij intervali, domethënë:

$$P\majtas(0.3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit

Funksioni $f\left(x\right)=(F)"(x)$ quhet densiteti i shpërndarjes së probabilitetit, domethënë është derivati ​​i rendit të parë i marrë nga funksioni i shpërndarjes $F\left(x\right )$ vetë.

Vetitë e funksionit $f\left(x\right)$.

1 . $f\majtas(x\djathtas)\ge 0$.

2 . $\int^x_(-\infty )(f\majtas(t\djathtas)dt)=F\majtas(x\djathtas)$.

3 . Probabiliteti që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë vlera nga intervali $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ është $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 . $\int^(+\infty )_(-\infty )(f\majtas(x\djathtas))=1$.

Shembulli 2 . Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme $X$ përcaktohet nga funksioni i mëposhtëm i shpërndarjes $F(x)=\left\(\begin(matrica)
0,\ x\le 0\\
x, \ 0< x\le 1\\
1, \ x> 1
\end (matricë)\djathtas.$. Pastaj funksioni i densitetit $f\left(x\right)=(F)"(x)=\left\(\begin(matrica)
0,\x\le 0\\
1,\ 0 < x\le 1\\
0.\x>1
\end (matricë)\djathtas.$

Pritja e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme

Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme $X$ llogaritet duke përdorur formulën

$$M\majtas(X\djathtas)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\djathtas)dx).$$

Shembulli 3 . Le të gjejmë $M\left(X\djathtas)$ për variablin e rastësishëm $X$ nga shembulli $2$.

$$M\majtas(X\djathtas)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\djathtas)\ dx)=\int^1_0(x\ dx)=(( x^2)\mbi (2))\bigg|_0^1=((1)\mbi (2)).$$

Varianca e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme

Varianca e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme $X$ llogaritet me formulë

$$D\majtas(X\djathtas)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\djathtas)\ dx)-(\majtas)^2.$$

Shembulli 4 . Le të gjejmë $D\left(X\djathtas)$ për variablin e rastësishëm $X$ nga shembulli $2$.

$$D\majtas(X\djathtas)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\djathtas)\ dx)-(\majtas)^2=\int^ 1_0(x^2\ dx)-(\majtas(((1)\mbi (2))\djathtas))^2=((x^3)\mbi (3))\bigg|_0^1-( (1)\mbi (4))=((1)\mbi (3))-((1)\mbi (4))=((1)\mbi (12)).$$

Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme (funksioni i shpërndarjes diferenciale) është derivati ​​i parë i funksionit të shpërndarjes integrale: f(x)=F’(X). Nga ky përkufizim dhe vetitë e funksionit të shpërndarjes del se

Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të vazhdueshme të rastësishme X është numri

Varianca e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X përcaktohet nga barazia

Shembulli 79. Dendësia e shpërndarjes së kohës T Montimi REA në linjën e prodhimit

Gjeni koeficientin A, funksioni i shpërndarjes së kohës së montimit REA dhe probabiliteti që koha e montimit të jetë brenda intervalit (0.1A).

Zgjidhje. Bazuar në vetinë e funksionit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme

Duke u integruar me pjesë dy herë, ne marrim

Funksioni i shpërndarjes është i barabartë me

Probabiliteti që koha e montimit të REA nuk do të kalojë kufijtë (0; 1/λ):

Shembulli 80. Dendësia e probabilitetit të devijimit të rezistencës së daljes së njësisë së pajisjeve elektronike nga vlera nominale R 0 brenda kufirit të tolerancës 2δ përshkruhet me ligj

Gjeni pritshmërinë matematikore dhe variancën e devijimit të rezistencës nga vlera nominale.

Zgjidhje.

Meqenëse integrani është tek dhe kufijtë e integrimit janë simetrik në lidhje me origjinën, integrali është i barabartë me 0.

Prandaj, M{R} = 0.

Duke bërë një zëvendësim r = a mëkat x, marrim

Shembulli 81. Dendësia e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X është dhënë:

Gjeni: 1. F(x); 2. M(X); 3. D(X).

Zgjidhje. 1. Për të gjetur F(x) përdorim formulën

Nëse
, Kjo

A

Nëse
, Kjo

Nëse
, pastaj f(x)=0, dhe

3.

Duke integruar dy herë sipas pjesëve marrim:

, Pastaj

82. Gjeni f(x), M(X), D(X) në problemat 74, 75.

83. Është dhënë dendësia e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X:

Gjeni funksionin e shpërndarjes F(x).

84. Dendësia e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X jepet në të gjithë boshtin Ox nga barazia
. Gjeni parametrin konstant C.

85. Ndryshorja e rastit X në intervalin (-3, 3) jepet nga dendësia e shpërndarjes.
; jashtë këtij intervali

a) Gjeni variancën e X;

b) cila ka më shumë gjasa: rezultati i testit do të jetë X<1 или X>1?

86. Gjeni variancën e ndryshores së rastësishme X të dhënë nga funksioni i shpërndarjes

87. Një ndryshore e rastësishme jepet nga një funksion shpërndarjeje

Gjeni pritshmërinë, variancën dhe devijimin standard të X.

§8. Shpërndarjet uniforme dhe eksponenciale

Shpërndarja e një ndryshoreje të vazhdueshme të rastësishme X quhet uniforme nëse në intervalin (a,b), i cili përmban të gjitha vlerat e mundshme të X, dendësia mbetet konstante, dhe jashtë këtij intervali është zero, d.m.th.

Një shpërndarje eksponenciale është shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje të vazhdueshme të rastësishme X, e cila përshkruhet nga dendësia

ku λ është një vlerë pozitive konstante. Funksioni i shpërndarjes së ligjit eksponencial

Pritshmëria dhe varianca matematikore janë përkatësisht të barabarta

;
;

Shembulli 88. Vlera e ndarjes së shkallës së ampermetrit është 0.10A. Leximet e ampermetrit janë të rrumbullakosura në të gjithë ndarjen më të afërt. Gjeni probabilitetin që gjatë numërimit të bëhet një gabim më i madh se 0.02A.

Zgjidhje. Gabimi i rrumbullakimit mund të konsiderohet si një ndryshore e rastësishme X, e cila shpërndahet në mënyrë uniforme në intervalin (0;0.1) ndërmjet dy ndarjeve të numrave të plotë. Prandaj,

Pastaj
.

Shembulli 89. Kohëzgjatja e funksionimit pa dështim të një elementi ka një shpërndarje eksponenciale. Gjeni probabilitetin që gjatë një periudhe kohore prej t=100 orësh: a) elementi të dështojë; b) elementi nuk do të dështojë.

Zgjidhje. a) Sipas përkufizimit
, prandaj përcakton probabilitetin e dështimit të elementit në kohën t, pra

b) Ngjarja “elementi nuk do të dështojë” është e kundërta e asaj që konsiderohet, pra probabiliteti i saj

90. Njësia radio-elektronike montohet në linjë prodhimi, cikli i montimit është 2 minuta. Blloku i përfunduar hiqet nga transportuesi për monitorim dhe rregullim në një moment arbitrar në kohë brenda ciklit të orës. Gjeni pritjen matematikore dhe devijimin standard të kohës kur blloku i përfunduar është në transportues. Koha që një bllok kalon në transportues i bindet ligjit të shpërndarjes uniforme të ndryshoreve të rastit.

91. Probabiliteti i dështimit të një REA brenda një kohe të caktuar shprehet me formulën . Përcaktoni kohën mesatare të funksionimit të pajisjes elektronike përpara dështimit.

92. Sateliti i komunikimit që po zhvillohet duhet të ketë një kohë mesatare ndërmjet dështimeve prej 5 vjetësh. Duke marrë parasysh se koha reale ndërmjet dështimeve është një vlerë e rastësishme e shpërndarë në mënyrë eksponenciale, përcaktoni probabilitetin që

a) sateliti do të funksionojë për më pak se 5 vjet,

b) sateliti do të funksionojë për të paktën 10 vjet,

c) sateliti do të dështojë brenda vitit të 6-të.

93. Një qiramarrës bleu katër llamba inkandeshente me një jetëgjatësi mesatare prej 1000 orësh, njërën prej tyre e vendosi në një llambë tavoline dhe pjesën tjetër e mbajti në rezervë në rast se llamba digjet. Përcaktoni:

a) jetëgjatësia totale e pritshme e shërbimit të katër llambave,

b) probabilitetin që katër llambat të funksionojnë për një total prej 5000 orësh ose më shumë,

c) probabiliteti që jeta totale e shërbimit të të gjitha llambave të mos kalojë 2000 orë.

94. Vlera e ndarjes së shkallës së një pajisjeje matëse është 0.2. Leximet e instrumentit janë të rrumbullakosura në pjesën më të afërt të plotë. Gjeni probabilitetin që të bëhet gabim gjatë numërimit: a) më pak se 0,04; b) i madh 0,05.

95. Autobusët në një itinerar të caktuar qarkullojnë rreptësisht sipas orarit. Intervali i lëvizjes 5 min. Gjeni probabilitetin që një pasagjer që arrin në një ndalesë të presë më pak se 3 minuta për autobusin tjetër.

96. Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme X, të shpërndarë në mënyrë uniforme në intervalin (2, 8).

97. Gjeni variancën dhe devijimin standard të një ndryshoreje të rastësishme X, të shpërndarë në mënyrë uniforme në intervalin (2, 8).

98. Janë testuar dy elementë që funksionojnë në mënyrë të pavarur. Kohëzgjatja e funksionimit pa dështim të elementit të parë ka një shpërndarje eksponenciale
, e dyta
. Gjeni probabilitetin që gjatë një kohëzgjatjeje t=6 orë: a) të dy elementët të dështojnë; b) të dy elementët nuk do të dështojnë; c) vetëm një element do të dështojë; d) të paktën një element do të dështojë.

te gjeni funksionin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete, duhet të përdorni këtë kalkulator. Ushtrimi 1. Dendësia e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X ka formën:
Gjej:
a) parametri A;
b) funksioni i shpërndarjes F(x) ;
c) probabilitetin që një ndryshore e rastësishme X të bjerë në interval;
d) pritshmëria matematikore MX dhe varianca DX.
Vizatoni një grafik të funksioneve f(x) dhe F(x).

Detyra 2. Gjeni variancën e ndryshores së rastësishme X të dhënë nga funksioni integral.

Detyra 3. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme X duke pasur parasysh funksionin e shpërndarjes.

Detyra 4. Dendësia e probabilitetit të disa ndryshoreve të rastësishme jepet si më poshtë: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Gjeni koeficientin A, funksionin e shpërndarjes F(x), pritshmërinë dhe variancën matematikore, si dhe probabilitetin që ndryshorja e rastësishme të marrë një vlerë në interval. Vizatoni grafikët f(x) dhe F(x).

Detyrë. Funksioni i shpërndarjes së disa ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme jepet si më poshtë:

Përcaktoni parametrat a dhe b, gjeni një shprehje për densitetin e probabilitetit f(x), pritshmërinë matematikore dhe variancën, si dhe probabilitetin që ndryshorja e rastësishme të marrë një vlerë në interval. Vizatoni grafikët e f(x) dhe F(x).

Le të gjejmë funksionin e densitetit të shpërndarjes si një derivat i funksionit të shpërndarjes.

Duke e ditur atë

le të gjejmë parametrin a:


ose 3a=1, prej nga a = 1/3
Parametrin b e gjejmë nga vetitë e mëposhtme:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 prej nga b = -1/3
Prandaj, funksioni i shpërndarjes ka formën: F(x) = (x-1)/3

Shembulli nr. 1. Është dhënë dendësia e shpërndarjes së probabilitetit f(x) e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X. Kërkohet:

1. Përcaktoni koeficientin A.
2. gjeni funksionin e shpërndarjes F(x) .
3. Ndërtoni në mënyrë skematike grafikë të F(x) dhe f(x).
4. Gjeni pritshmërinë matematikore dhe variancën e X.
5. gjeni probabilitetin që X të marrë një vlerë nga intervali (2;3).

Ndryshorja e rastësishme X përcaktohet nga dendësia e shpërndarjes f(x):

Kapitulli 1. Ndryshore diskrete e rastësishme

§ 1. Konceptet e një ndryshoreje të rastësishme.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Përkufizimi : E rastësishme është një sasi që, si rezultat i testimit, merr vetëm një vlerë nga një grup vlerash të mundshme, të panjohur paraprakisht dhe në varësi të arsyeve të rastësishme.

Ekzistojnë dy lloje të ndryshoreve të rastësishme: diskrete dhe të vazhdueshme.

Përkufizimi : Thirret ndryshorja e rastësishme X diskrete (i ndërprerë) nëse grupi i vlerave të tij është i fundëm ose i pafund, por i numërueshëm.

Me fjalë të tjera, vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të rinumërohen.

Një ndryshore e rastësishme mund të përshkruhet duke përdorur ligjin e saj të shpërndarjes.

Përkufizimi : Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete thirrni korrespondencën midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve të tyre.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme X mund të specifikohet në formën e një tabele, në rreshtin e parë të së cilës tregohen të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme në rend rritës, dhe në rreshtin e dytë probabilitetet përkatëse të këtyre vlerat, d.m.th.

ku р1+ р2+…+ рn=1

Një tabelë e tillë quhet një seri shpërndarjeje e një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Nëse grupi i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme është i pafund, atëherë seria p1+ p2+…+ pn+… konvergjon dhe shuma e saj është e barabartë me 1.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme X mund të përshkruhet grafikisht, për të cilën ndërtohet një vijë e thyer në një sistem koordinativ drejtkëndor, duke lidhur pikat vijuese me koordinatat (xi; pi), i=1,2,…n. Vija që rezulton quhet poligonin e shpërndarjes (Fig. 1).

Kimi organike" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">kimia organike janë përkatësisht 0.7 dhe 0.8. Hartoni një ligj shpërndarjeje për ndryshoren e rastësishme X - numri i provimeve që studenti do të kalojë.

Zgjidhje. Ndryshorja e rastësishme X e konsideruar si rezultat i provimit mund të marrë një nga vlerat e mëposhtme: x1=0, x2=1, x3=2.

Le të gjejmë probabilitetin e këtyre vlerave Le të shënojmë ngjarjet:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

Pra, ligji i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X jepet nga tabela:

Kontrolli: 0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Funksioni i shpërndarjes

Një përshkrim i plotë i një ndryshoreje të rastësishme jepet gjithashtu nga funksioni i shpërndarjes.

Përkufizimi: Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme X quhet një funksion F(x), i cili përcakton për secilën vlerë x probabilitetin që ndryshorja e rastësishme X të marrë një vlerë më të vogël se x:

F(x)=P(X<х)

Gjeometrikisht, funksioni i shpërndarjes interpretohet si probabiliteti që ndryshorja e rastësishme X të marrë vlerën që përfaqësohet në vijën numerike nga një pikë që shtrihet në të majtë të pikës x.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x) është një funksion jo-zvogëlues në (-∞;+∞);

3) F(x) - e vazhdueshme në të majtë në pikat x= xi (i=1,2,...n) dhe e vazhdueshme në të gjitha pikat e tjera;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Nëse ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme X jepet në formën e një tabele:

atëherë funksioni i shpërndarjes F(x) përcaktohet nga formula:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 për x≤ x1,

р1 në x1< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 në x2< х≤ х3

1 për x>xn.

Grafiku i tij është paraqitur në Fig. 2:

§ 3. Karakteristikat numerike të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Një nga karakteristikat e rëndësishme numerike është pritshmëria matematikore.

Përkufizimi: Pritshmëria matematikore M(X) ndryshorja diskrete e rastësishme X është shuma e produkteve të të gjitha vlerave të saj dhe probabiliteteve të tyre përkatëse:

M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Pritshmëria matematikore shërben si një karakteristikë e vlerës mesatare të një ndryshoreje të rastësishme.

Vetitë e pritjes matematikore:

1)M(C)=C, ku C është një vlerë konstante;

2)M(C X)=C M(X),

3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), ku X, Y janë variabla të rastësishme të pavarura;

5)M(X±C)=M(X)±C, ku C është një vlerë konstante;

Për të karakterizuar shkallën e shpërndarjes së vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete rreth vlerës mesatare të saj, përdoret dispersioni.

Përkufizimi: Varianca D ( X ) Variabli i rastësishëm X është pritshmëria matematikore e devijimit në katror të ndryshores së rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore:

Karakteristikat e shpërndarjes:

1)D(C)=0, ku C është një vlerë konstante;

2)D(X)>0, ku X është një ndryshore e rastësishme;

3)D(C X)=C2 D(X), ku C është një vlerë konstante;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), ku X, Y janë variabla të rastësishme të pavarura;

Për të llogaritur variancën, shpesh është e përshtatshme të përdoret formula:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

ku M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

Varianca D(X) ka dimensionin e një ndryshoreje të rastësishme në katror, ​​e cila nuk është gjithmonë e përshtatshme. Prandaj, vlera √D(X) përdoret gjithashtu si një tregues i shpërndarjes së vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme.

Përkufizimi: Devijimi standard σ(X) ndryshorja e rastësishme X quhet rrënja katrore e variancës:

Detyra nr. 2. Ndryshorja diskrete e rastësishme X përcaktohet nga ligji i shpërndarjes:

Gjeni P2, funksionin e shpërndarjes F(x) dhe vizatoni grafikun e tij, si dhe M(X), D(X), σ(X).

Zgjidhja: Meqenëse shuma e probabiliteteve të vlerave të mundshme të ndryshores së rastësishme X është e barabartë me 1, atëherë

Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Le të gjejmë funksionin e shpërndarjes F(x)=P(X

Gjeometrikisht, kjo barazi mund të interpretohet si më poshtë: F(x) është probabiliteti që ndryshorja e rastësishme të marrë vlerën që përfaqësohet në boshtin e numrave nga pika që ndodhet në të majtë të pikës x.

Nëse x≤-1, atëherë F(x)=0, pasi nuk ka asnjë vlerë të vetme të kësaj ndryshoreje të rastësishme në (-∞;x);

Nëse -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Nëse 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) ka dy vlera x1=-1 dhe x2=0;

Nëse 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Nëse 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Nëse x>3, atëherë F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, sepse katër vlera x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 bien në intervalin (-∞;x) dhe x5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 në x≤-1,

0.1 në -1<х≤0,

0.2 në 0<х≤1,

F(x)= 0,5 në 1<х≤2,

0.7 në 2<х≤3,

1 në x>3

Le të paraqesim funksionin F(x) grafikisht (Fig. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. Ligji i shpërndarjes binomiale

ndryshore diskrete e rastësishme, ligji i Poisson-it.

Përkufizimi: Binom quhet ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme X - numri i shfaqjeve të ngjarjes A në n prova të pavarura të përsëritura, në secilën prej të cilave ngjarja A mund të ndodhë me probabilitet p ose të mos ndodhë me probabilitet q = 1-p. Atëherë P(X=m) - probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A saktësisht m herë në n prova llogaritet duke përdorur formulën Bernoulli:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

Pritshmëria matematikore, shpërndarja dhe devijimi standard i një ndryshoreje të rastësishme X të shpërndarë sipas një ligji binar gjenden, përkatësisht, duke përdorur formulat:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Probabiliteti i ngjarjes A - "shfaqja e pesë" në çdo provë është e njëjtë dhe e barabartë me 1/6 , d.m.th. P(A)=p=1/6, pastaj P(A)=1-p=q=5/6, ku

- "Dështimi për të marrë një A."

Ndryshorja e rastësishme X mund të marrë këto vlera: 0;1;2;3.

Ne gjejmë probabilitetin e secilës prej vlerave të mundshme të X duke përdorur formulën e Bernoulli:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Se. ligji i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X ka formën:

Kontrolli: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Le të gjejmë karakteristikat numerike të ndryshores së rastësishme X:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Detyra nr 4. Një makinë automatike stampon pjesë. Probabiliteti që një pjesë e prodhuar të jetë me defekt është 0.002. Gjeni probabilitetin që midis 1000 pjesëve të zgjedhura të ketë:

a) 5 me defekt;

b) të paktën njëri është me defekt.

Zgjidhja: Numri n=1000 është i madh, probabiliteti për të prodhuar një pjesë me defekt p=0.002 është i vogël dhe ngjarjet në shqyrtim (pjesa rezulton e dëmtuar) janë të pavarura, prandaj formula Poisson qëndron:

Рn(m)= e- λ λm

Le të gjejmë λ=np=1000 0,002=2.

a) Gjeni probabilitetin që do të ketë 5 pjesë me defekt (m=5):

Р1000(5)= e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) Gjeni probabilitetin që të ketë të paktën një pjesë të dëmtuar.

Ngjarja A - "të paktën një nga pjesët e zgjedhura është me defekt" është e kundërta e ngjarjes - "të gjitha pjesët e zgjedhura nuk janë me të meta, prandaj, P(A) = 1-P(). Prandaj probabiliteti i dëshiruar është i barabartë me: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2 20 = 1- e-2=1-0,13534≈0,865.

Detyrat për punë të pavarur.

1.1

1.2. Ndryshorja e rastësishme e shpërndarë X është e specifikuar nga ligji i shpërndarjes:

Gjeni p4, funksionin e shpërndarjes F(X) dhe vizatoni grafikun e tij, si dhe M(X), D(X), σ(X).

1.3. Ka 9 shënues në kuti, 2 prej të cilëve nuk shkruajnë më. Merrni 3 shënues në mënyrë të rastësishme. Ndryshorja e rastësishme X është numri i shënuesve të shkrimit midis atyre që merren. Hartoni një ligj të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme.

1.4. Ka 6 tekste të renditura rastësisht në një raft bibliotekë, 4 prej të cilëve janë të lidhur. Bibliotekarja merr rastësisht 4 tekste shkollore. Ndryshorja e rastësishme X është numri i teksteve të lidhura midis atyre të marra. Hartoni një ligj të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme.

1.5. Ka dy detyra në biletë. Probabiliteti për të zgjidhur saktë problemin e parë është 0.9, i dyti është 0.7. Ndryshorja e rastësishme X është numri i problemeve të zgjidhura saktë në biletë. Hartoni një ligj të shpërndarjes, llogaritni pritshmërinë matematikore dhe variancën e kësaj ndryshoreje të rastësishme dhe gjeni gjithashtu funksionin e shpërndarjes F(x) dhe ndërtoni grafikun e tij.

1.6. Tre gjuajtës qëllojnë në një objektiv. Probabiliteti për të goditur objektivin me një gjuajtje është 0.5 për gjuajtësin e parë, 0.8 për të dytin dhe 0.7 për të tretën. Ndryshorja e rastësishme X është numri i goditjeve në objektiv nëse gjuajtësit gjuajnë një herë në të njëjtën kohë. Gjeni ligjin e shpërndarjes, M(X),D(X).

1.7. Një basketbollist e hedh topin në kosh me një probabilitet për të goditur çdo goditje prej 0.8. Për çdo goditje, ai merr 10 pikë dhe nëse mungon, nuk i jepen pikë. Hartoni një ligj të shpërndarjes për ndryshoren e rastësishme X - numri i pikëve të marra nga një basketbollist në 3 goditje. Gjeni M(X),D(X), si dhe probabilitetin që ai të marrë më shumë se 10 pikë.

1.8. Në letra shkruhen shkronja, gjithsej 5 zanore dhe 3 bashkëtingëllore. 3 letra zgjidhen në mënyrë të rastësishme dhe çdo herë letra e marrë kthehet mbrapsht. Ndryshorja e rastësishme X është numri i zanoreve midis atyre të marra. Hartoni një ligj të shpërndarjes dhe gjeni M(X),D(X),σ(X).

1.9. Mesatarisht, nën 60% të kontratave, kompania e sigurimit paguan shumat e sigurimit në lidhje me ndodhjen e një ngjarje të siguruar. Hartoni një ligj shpërndarjeje për variablin e rastësishëm X - numri i kontratave për të cilat është paguar shuma e sigurimit midis katër kontratave të zgjedhura në mënyrë të rastësishme. Gjeni karakteristikat numerike të kësaj sasie.

1.10. Stacioni radio dërgon shenja thirrjesh (jo më shumë se katër) në intervale të caktuara derisa të vendoset komunikimi i dyanshëm. Probabiliteti për të marrë një përgjigje për një shenjë thirrjeje është 0.3. Ndryshorja e rastësishme X është numri i shenjave të thirrjes të dërguara. Hartoni një ligj të shpërndarjes dhe gjeni F(x).

1.11. Ka 3 çelësa, nga të cilët vetëm njëri i përshtatet kyçit. Hartoni një ligj për shpërndarjen e ndryshores së rastësishme X-numri i përpjekjeve për të hapur bllokimin, nëse çelësi i provuar nuk merr pjesë në përpjekjet e mëvonshme. Gjeni M(X),D(X).

1.12. Testet e njëpasnjëshme të pavarura të tre pajisjeve kryhen për besueshmërinë. Çdo pajisje pasuese testohet vetëm nëse e mëparshmja doli e besueshme. Probabiliteti për të kaluar testin për secilën pajisje është 0.9. Hartoni një ligj të shpërndarjes për variablin e rastësishëm X-numri i pajisjeve të testuara.

1.13 Variabla e rastësishme diskrete X ka tre vlera të mundshme: x1=1, x2, x3 dhe x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Blloku i pajisjeve elektronike përmban 100 elementë identikë. Probabiliteti i dështimit të secilit element gjatë kohës T është 0,002. Elementet funksionojnë në mënyrë të pavarur. Gjeni probabilitetin që jo më shumë se dy elementë të dështojnë gjatë kohës T.

1.15. Teksti shkollor u botua në një tirazh prej 50.000 kopjesh. Probabiliteti që teksti shkollor të jetë i lidhur gabimisht është 0,0002. Gjeni probabilitetin që qarkullimi të përmbajë:

a) katër libra me defekt,

b) më pak se dy libra me defekt.

1 .16. Numri i thirrjeve që vijnë në PBX çdo minutë shpërndahet sipas ligjit të Poisson-it me parametrin λ=1.5. Gjeni probabilitetin që në një minutë të arrijë sa vijon:

a) dy thirrje;

b) të paktën një telefonatë.

1.17.

Gjeni M(Z),D(Z) nëse Z=3X+Y.

1.18. Janë dhënë ligjet e shpërndarjes së dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura:

Gjeni M(Z),D(Z) nëse Z=X+2Y.

Përgjigjet:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0.4; 0 në x≤-2,

0.3 në -2<х≤0,

F(x)= 0,5 në 0<х≤2,

0.9 në 2<х≤5,

1 në x>5

1.2. p4=0.1; 0 në x≤-1,

0.3 në -1<х≤0,

0.4 në 0<х≤1,

F(x)= 0,6 në 1<х≤2,

0.7 në 2<х≤3,

1 në x>3

M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1.612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 në x≤0,

0.03 në 0<х≤1,

F(x)= 0,37 në 1<х≤2,

1 për x>2

M(X)=2; D(X)=0,62

M(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈

M(X)=2.4; D(X)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1,22 e-0,2≈0,999

1.15. a)0.0189; b) 0,00049

1.16. a) 0.0702; b)0.77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Kapitulli 2. Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme

Përkufizimi: E vazhdueshme është një sasi, të gjitha vlerat e mundshme të së cilës plotësojnë plotësisht një hapësirë ​​të fundme ose të pafundme të vijës numerike.

Natyrisht, numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është i pafund.

Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme mund të specifikohet duke përdorur një funksion shpërndarjeje.

Përkufizimi: F funksioni i shpërndarjes një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X quhet funksion F(x), i cili përcakton për secilën vlerë xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R

Funksioni i shpërndarjes nganjëherë quhet funksioni i shpërndarjes kumulative.

Karakteristikat e funksionit të shpërndarjes:

1)1≤ F(x) ≤1

2) Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, funksioni i shpërndarjes është i vazhdueshëm në çdo pikë dhe i diferencueshëm kudo, përveç, ndoshta, në pikat individuale.

3) Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme X të bjerë në një nga intervalet (a;b), [a;b], [a;b], është e barabartë me diferencën midis vlerave të funksionit F(x) në pikat a dhe b, d.m.th. R(a)<Х

4) Probabiliteti që një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X të marrë një vlerë të veçantë është 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Specifikimi i një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme duke përdorur një funksion shpërndarjeje nuk është mënyra e vetme. Le të prezantojmë konceptin e densitetit të shpërndarjes së probabilitetit (densiteti i shpërndarjes).

Përkufizimi : Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit f ( x ) i një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X është derivati ​​i funksionit të shpërndarjes së tij, d.m.th.

Funksioni i densitetit të probabilitetit nganjëherë quhet funksioni i shpërndarjes diferenciale ose ligji i shpërndarjes diferenciale.

Grafiku i shpërndarjes së densitetit të probabilitetit f(x) quhet kurba e shpërndarjes së probabilitetit .

Vetitë e shpërndarjes së densitetit të probabilitetit:

1) f(x) ≥0, në xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" lartësi ="62 src="> 0 në x≤2,

f(x)= c(x-2) në 2<х≤6,

0 për x>6.

Gjeni: a) vlerën e c; b) funksionin e shpërndarjes F(x) dhe vizatoni atë; c) P(3≤x<5)

Zgjidhja:

+ ∞

a) Vlerën e c-së e gjejmë nga kushti i normalizimit: ∫ f(x)dx=1.

Prandaj, -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x

nëse 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" width="14" height="62"> 0 në x≤2,

F(x)= (x-2) 2/16 në 2<х≤6,

1 për x>6.

Grafiku i funksionit F(x) është paraqitur në figurën 3

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 në x≤0,

F(x)= (3 arktan x)/π në 0<х≤√3,

1 për x>√3.

Gjeni funksionin e shpërndarjes diferenciale f(x)

Zgjidhja: Meqë f(x)= F’(x), atëherë

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Të gjitha vetitë e pritjes dhe shpërndarjes matematikore, të diskutuara më parë për variablat e rastësishme të shpërndara, janë gjithashtu të vlefshme për ato të vazhdueshme.

Detyra nr. 3. Ndryshorja e rastësishme X specifikohet nga funksioni diferencial f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Problemet për zgjidhje të pavarur.

2.1. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X përcaktohet nga funksioni i shpërndarjes:

0 në x≤0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 për x≤ π/6,

F(x)= - cos 3x në π/6<х≤ π/3,

1 për x> π/3.

Gjeni funksionin e shpërndarjes diferenciale f(x), dhe gjithashtu

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 në x≤2,

f(x)= c x në 2<х≤4,

0 për x>4.

2.4. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X përcaktohet nga dendësia e shpërndarjes:

0 në x≤0,

f(x)= c √x në 0<х≤1,

0 për x>1.

Gjeni: a) numrin c; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> në x,

0 në x.

Gjeni: a) F(x) dhe ndërtoni grafikun e tij; b) M(X),D(X), σ(X); c) probabiliteti që në katër prova të pavarura vlera e X do të marrë saktësisht 2 herë vlerën që i përket intervalit (1;4).

2.6. Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të vazhdueshme të rastësishme X është dhënë:

f(x)= 2(x-2) në x,

0 në x.

Gjeni: a) F(x) dhe ndërtoni grafikun e tij; b) M(X),D(X), σ (X); c) probabiliteti që në tre prova të pavarura vlera e X do të marrë saktësisht 2 herë vlerën që i përket segmentit.

2.7. Funksioni f(x) jepet si:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. Funksioni f(x) jepet si:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4].

Gjeni: a) vlerën e konstantës c në të cilën funksioni do të jetë dendësia e probabilitetit të disa ndryshoreve të rastësishme X; b) funksioni i shpërndarjes F(x).

2.9. Ndryshorja e rastësishme X, e përqendruar në intervalin (3;7), specifikohet nga funksioni i shpërndarjes F(x)= . Gjeni probabilitetin që

Ndryshorja e rastësishme X do të marrë vlerën: a) më pak se 5, b) jo më pak se 7.

2.10. Ndryshorja e rastësishme X, e përqendruar në intervalin (-1;4),

jepet me funksionin e shpërndarjes F(x)= . Gjeni probabilitetin që

Ndryshorja e rastësishme X do të marrë vlerën: a) më pak se 2, b) jo më pak se 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Gjeni: a) numrin c; b) M(X); c) probabiliteti P(X> M(X)).

2.12. Ndryshorja e rastësishme specifikohet nga funksioni i shpërndarjes diferenciale:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Gjeni: a) M(X); b) probabiliteti P(X≤M(X))

2.13. Shpërndarja Rem jepet nga densiteti i probabilitetit:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> për x ≥0.

Vërtetoni se f(x) është me të vërtetë një funksion i densitetit të probabilitetit.

2.14. Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të vazhdueshme të rastësishme X është dhënë:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(Fig. 4) (Fig.5)

2.16. Ndryshorja e rastësishme X shpërndahet sipas ligjit të “trekëndëshit kënddrejtë” në intervalin (0;4) (Fig. 5). Gjeni një shprehje analitike për densitetin e probabilitetit f(x) në të gjithë vijën numerike.

Përgjigjet

0 në x≤0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 për x≤ π/6,

F(x)= 3sin 3x në π/6<х≤ π/3,

0 për x> π/3. Një ndryshore e rastësishme e vazhdueshme X ka një ligj të njëtrajtshëm shpërndarjeje në një interval të caktuar (a;b), i cili përmban të gjitha vlerat e mundshme të X, nëse densiteti i shpërndarjes së probabilitetit f(x) është konstant në këtë interval dhe i barabartë me 0 jashtë tij. , d.m.th.

0 për x≤a,

f(x)= për a<х

0 për x≥b.

Grafiku i funksionit f(x) është paraqitur në Fig. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 për x≤a,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=.

Detyra nr. 1. Ndryshorja e rastësishme X shpërndahet në mënyrë uniforme në segment. Gjej:

a) dendësia e shpërndarjes së probabilitetit f(x) dhe vizatoni atë;

b) funksionin e shpërndarjes F(x) dhe vizatoni atë;

c) M(X),D(X), σ(X).

Zgjidhja: Duke përdorur formulat e diskutuara më sipër, me a=3, b=7, gjejmë:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> në 3≤х≤7,

0 për x>7

Le të ndërtojmë grafikun e tij (Fig. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 në x≤3,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Fig. 4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 në x<0,

f(x)= λε-λх për x≥0.

Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X, i shpërndarë sipas ligjit eksponencial, jepet me formulën:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)=

Kështu, pritshmëria matematikore dhe devijimi standard i shpërndarjes eksponenciale janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Probabiliteti që X të bjerë në intervalin (a;b) llogaritet me formulën:

P(a<Х

Detyra nr. 2. Koha mesatare e funksionimit pa dështim të pajisjes është 100 orë Duke supozuar se koha e funksionimit pa dështime të pajisjes ka një ligj të shpërndarjes eksponenciale, gjeni:

a) dendësia e shpërndarjes së probabilitetit;

b) funksionin e shpërndarjes;

c) probabiliteti që koha e funksionimit pa dështim të pajisjes të kalojë 120 orë.

Zgjidhja: Sipas kushtit, shpërndarja matematikore M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 në x<0,

a) f(x)= 0,01e -0,01x për x≥0.

b) F(x)= 0 në x<0,

1-e -0,01x në x≥0.

c) Ne gjejmë probabilitetin e dëshiruar duke përdorur funksionin e shpërndarjes:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3.

§ 3.Ligji i shpërndarjes normale

Përkufizimi: Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X ka ligji i shpërndarjes normale (ligji i Gausit), nëse dendësia e shpërndarjes së tij ka formën:

,

ku m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Kurba e shpërndarjes normale quhet kurba normale ose Gaussian (Fig. 7)

Kurba normale është simetrike në lidhje me drejtëzën x=m, ka një maksimum në x=a, të barabartë me .

Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X, i shpërndarë sipas ligjit normal, shprehet përmes funksionit Laplace Ф (x) sipas formulës:

,

ku është funksioni Laplace.

Koment: Funksioni Ф(x) është tek (Ф(-х)=-Ф(х)), përveç kësaj, për x>5 mund të supozojmë Ф(х) ≈1/2.

Grafiku i funksionit të shpërndarjes F(x) është paraqitur në Fig. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Probabiliteti që vlera absolute e devijimit të jetë më e vogël se një numër pozitiv δ llogaritet me formulën:

Në veçanti, për m=0 vlen barazia e mëposhtme:

"Rregulli i tre sigmave"

Nëse një ndryshore e rastësishme X ka një ligj të shpërndarjes normale me parametrat m dhe σ, atëherë është pothuajse e sigurt që vlera e saj qëndron në intervalin (a-3σ; a+3σ), sepse

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

b) Le të përdorim formulën:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

Nga tabela e vlerave të funksionit Ф(х) gjejmë Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413.

Pra, probabiliteti i dëshiruar:

P (28

Detyrat për punë të pavarur

3.1. Ndryshorja e rastësishme X shpërndahet në mënyrë uniforme në intervalin (-3;5). Gjej:

b) funksioni i shpërndarjes F(x);

c) karakteristikat numerike;

d) probabiliteti P(4<х<6).

3.2. Ndryshorja e rastësishme X shpërndahet në mënyrë uniforme në segment. Gjej:

a) dendësia e shpërndarjes f(x);

b) funksioni i shpërndarjes F(x);

c) karakteristikat numerike;

d) probabiliteti P(3≤х≤6).

3.3. Në autostradë ka një semafor automatik, në të cilin drita jeshile ndizet për 2 minuta, e verdhë për 3 sekonda, e kuqe për 30 sekonda, etj. Një makinë lëviz përgjatë autostradës në një moment të rastësishëm. Gjeni probabilitetin që një makinë të kalojë në semafor pa u ndalur.

3.4. Trenat e metrosë qarkullojnë rregullisht në intervale prej 2 minutash. Një pasagjer hyn në platformë në një kohë të rastësishme. Sa është probabiliteti që një pasagjer do të duhet të presë më shumë se 50 sekonda për një tren? Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme X - koha e pritjes për trenin.

3.5. Gjeni variancën dhe devijimin standard të shpërndarjes eksponenciale të dhënë nga funksioni i shpërndarjes:

F(x)= 0 në x<0,

1-8x për x≥0.

3.6. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X përcaktohet nga dendësia e shpërndarjes së probabilitetit:

f(x)= 0 në x<0,

0,7 e-0,7x në x≥0.

a) Emërtoni ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme në shqyrtim.

b) Gjeni funksionin e shpërndarjes F(X) dhe karakteristikat numerike të ndryshores së rastësishme X.

3.7. Ndryshorja e rastësishme X shpërndahet sipas ligjit eksponencial të specifikuar nga densiteti i shpërndarjes së probabilitetit:

f(x)= 0 në x<0,

0,4 e-0,4 x në x≥0.

Gjeni probabilitetin që si rezultat i testit X të marrë një vlerë nga intervali (2.5; 5).

3.8. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X shpërndahet sipas ligjit eksponencial të specifikuar nga funksioni i shpërndarjes:

F(x)= 0 në x<0,

1-0,6x në x≥0

Gjeni probabilitetin që, si rezultat i testit, X të marrë një vlerë nga segmenti.

3.9. Vlera e pritur dhe devijimi standard i një variabli të rastësishëm të shpërndarë normalisht janë 8 dhe 2, përkatësisht.

a) dendësia e shpërndarjes f(x);

b) probabilitetin që si rezultat i testit X të marrë një vlerë nga intervali (10;14).

3.10. Ndryshorja e rastësishme X zakonisht shpërndahet me një pritshmëri matematikore prej 3.5 dhe një variancë prej 0.04. Gjej:

a) dendësia e shpërndarjes f(x);

b) probabilitetin që si rezultat i testit X të marrë një vlerë nga segmenti .

3.11. Ndryshorja e rastësishme X zakonisht shpërndahet me M(X)=0 dhe D(X)=1. Cila nga ngjarjet: |X|≤0.6 ose |X|≥0.6 ka më shumë gjasa?

3.12. Variabli i rastësishëm X shpërndahet normalisht me M(X)=0 dhe D(X)=1 Nga cili interval (-0.5;-0.1) ose (1;2) ka më shumë gjasa të marrë një vlerë gjatë një testi?

3.13. Çmimi aktual për aksion mund të modelohet duke përdorur ligjin e shpërndarjes normale me M(X)=10 den. njësive dhe σ (X)=0,3 den. njësive Gjej:

a) probabiliteti që çmimi aktual i aksionit të jetë prej 9,8 den. njësive deri në 10.4 ditë njësi;

b) duke përdorur “rregullin tre sigma”, gjeni kufijtë brenda të cilëve do të vendoset çmimi aktual i aksionit.

3.14. Substanca peshohet pa gabime sistematike. Gabimet e rastësishme të peshimit i nënshtrohen ligjit normal me raportin katror mesatar σ=5g. Gjeni probabilitetin që në katër eksperimente të pavarura një gabim në tre peshime nuk do të ndodhë në vlerën absolute 3r.

3.15. Ndryshorja e rastësishme X zakonisht shpërndahet me M(X)=12.6. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të bjerë në intervalin (11.4;13.8) është 0.6826. Gjeni devijimin standard σ.

3.16. Ndryshorja e rastësishme X shpërndahet normalisht me M(X)=12 dhe D(X)=36 Gjeni intervalin në të cilin do të bjerë ndryshorja e rastësishme X si rezultat i testit me probabilitet 0,9973.

3.17. Një pjesë e prodhuar nga një makinë automatike konsiderohet e dëmtuar nëse devijimi X i parametrit të tij të kontrolluar nga vlera nominale tejkalon modulin 2 njësi matëse. Supozohet se ndryshorja e rastësishme X është e shpërndarë normalisht me M(X)=0 dhe σ(X)=0.7. Sa përqind e pjesëve me defekt prodhon makina?

3.18. Parametri X i pjesës shpërndahet normalisht me një pritje matematikore prej 2 të barabartë me vlerën nominale dhe një devijim standard prej 0.014. Gjeni probabilitetin që devijimi i X nga vlera nominale të mos kalojë 1% të vlerës nominale.

Përgjigjet

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

b) 0 për x≤-3,

F(x)= majtas">

3.10. a)f(x)= ,

b) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0.6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1.2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

9. Ndryshore e rastit e vazhdueshme, karakteristikat numerike të saj

Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme mund të specifikohet duke përdorur dy funksione. Funksioni integral i shpërndarjes së probabilitetit të ndryshores së rastësishme X quhet një funksion i përcaktuar nga barazia
.

Funksioni integral ofron një mënyrë të përgjithshme për të specifikuar variablat e rastësishme diskrete dhe të vazhdueshme. Në rastin e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme. Të gjitha ngjarjet: kanë të njëjtën probabilitet, të barabartë me rritjen e funksionit integral në këtë interval, d.m.th.. Për shembull, për ndryshoren diskrete të rastësishme të specifikuar në shembullin 26, kemi:

Kështu, grafiku i funksionit integral të funksionit në shqyrtim është një bashkim i dy rrezeve dhe tre segmenteve paralel me boshtin Ox.

Shembulli 27. Ndryshorja e vazhdueshme e rastësishme X specifikohet nga funksioni integral i shpërndarjes së probabilitetit

.

Ndërtoni një grafik të funksionit integral dhe gjeni probabilitetin që, si rezultat i testit, ndryshorja e rastësishme X të marrë një vlerë në intervalin (0.5; 1.5).

Zgjidhje. Në intervalin
grafiku është drejtëza y = 0. Në intervalin nga 0 në 2 është një parabolë e dhënë nga ekuacioni
. Në intervalin
Grafiku është drejtëza y = 1.

Probabiliteti që ndryshorja e rastësishme X si rezultat i testit të marrë një vlerë në intervalin (0.5; 1.5) gjendet duke përdorur formulën.

Kështu,.

Vetitë e funksionit integral të shpërndarjes së probabilitetit:

Është e përshtatshme të specifikoni ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme duke përdorur një funksion tjetër, përkatësisht, funksionet e densitetit të probabilitetit
.

Probabiliteti që vlera e marrë nga ndryshorja e rastësishme X bie brenda intervalit
, përcaktohet nga barazia
.

Thirret grafiku i funksionit kurba e shpërndarjes. Gjeometrikisht, probabiliteti që një ndryshore e rastësishme X të bjerë në interval është e barabartë me sipërfaqen e trapezoidit lakor përkatës të kufizuar nga kurba e shpërndarjes, boshti Ox dhe vijat e drejta
.

Vetitë e funksionit të densitetit të probabilitetit:

9.1. Karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme

Vlera e pritshme(vlera mesatare) e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X përcaktohet nga barazia
.

M(X) shënohet me A. Pritja matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme ka veti të ngjashme me ato të një ndryshoreje të rastësishme diskrete:

Varianca ndryshorja diskrete e rastësishme X është pritshmëria matematikore e devijimit në katror të ndryshores së rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore, d.m.th. . Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, varianca jepet nga formula
.

Dispersioni ka këto karakteristika:

Vetia e fundit është shumë e përshtatshme për t'u përdorur për të gjetur variancën e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme.

Koncepti i devijimit standard është prezantuar në mënyrë të ngjashme. Devijimi standard i të vazhdueshmes ndryshorja e rastësishme X quhet rrënja katrore e variancës, d.m.th.
.

Shembulli 28. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X përcaktohet nga një funksion i densitetit të probabilitetit
në intervalin (10;12), jashtë këtij intervali vlera e funksionit është 0. Gjeni 1) vlerën e parametrit A, 2) pritshmëria matematikore M(X), varianca
, devijimi standard, 3) funksioni integral
dhe të ndërtojnë grafikët e funksioneve integrale dhe diferenciale.

1). Për të gjetur parametrin A përdorni formulën
. Do ta marrim. Kështu,
.

2). Për të gjetur pritshmërinë matematikore, përdorim formulën: , nga e cila rrjedh se
.

Ne do të gjejmë variancën duke përdorur formulën:
, d.m.th. .

Le të gjejmë devijimin standard duke përdorur formulën: , nga e cila e marrim atë
.

3). Funksioni integral shprehet përmes funksionit të densitetit të probabilitetit si më poshtë:
. Prandaj,
në
, = 0 në
u = 1 në
.

Grafikët e këtyre funksioneve janë paraqitur në Fig. 4. dhe fig. 5.

Fig.4 Fig.5.

9.2. Shpërndarja uniforme e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme

Shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje të vazhdueshme të rastësishme X në mënyrë të barabartë në interval nëse dendësia e probabilitetit të tij është konstante në këtë interval dhe e barabartë me zero jashtë këtij intervali, d.m.th. . Është e lehtë të tregohet se në këtë rast
.

Nëse intervali
përmbahet në interval, atëherë
.

Shembulli 29. Një ngjarje sinjali i menjëhershëm duhet të ndodhë ndërmjet orës 1 dhe 5. Koha e pritjes së sinjalit është një ndryshore e rastësishme X. Gjeni probabilitetin që sinjali të zbulohet midis orës dy dhe tre pasdite.

Zgjidhje. Ndryshorja e rastësishme X ka një shpërndarje uniforme dhe duke përdorur formulën gjejmë se probabiliteti që sinjali të jetë ndërmjet orës 2 dhe 3 të pasdites është i barabartë me
.

Në literaturën arsimore dhe në literaturën tjetër ajo shpesh shënohet në letërsi përmes
.

9.3. Shpërndarja normale e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme

Shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme quhet normale nëse ligji i shpërndarjes së probabilitetit të tij përcaktohet nga densiteti i probabilitetit
. Për sasi të tilla A- vlera e pritur,
- devijimi standard.

Teorema. Probabiliteti që një variabël e rastësishme e vazhdueshme e shpërndarë normalisht të bjerë në një interval të caktuar
përcaktuar nga formula
, Ku
- Funksioni Laplace.

Pasojë e kësaj teoreme është rregulli tre sigma, d.m.th. Është pothuajse e sigurt që një ndryshore e rastësishme e vazhdueshme e shpërndarë normalisht X merr vlerat e saj në interval
. Ky rregull mund të rrjedh nga formula
, që është një rast i veçantë i teoremës së formuluar.

Shembulli 30. Jeta e funksionimit të televizorit është një ndryshore e rastësishme X, që i nënshtrohet ligjit të shpërndarjes normale, me një periudhë garancie 15 vjet dhe një devijim standard prej 3 vjetësh. Gjeni probabilitetin që televizori të zgjasë nga 10 deri në 20 vjet.

Zgjidhje. Sipas kushteve të problemës pritshmëria matematikore A= 15, devijimi standard.

Le të gjejmë . Kështu, probabiliteti që televizori të funksionojë nga 10 në 20 vjet është më shumë se 0.9.

9.4 Pabarazia e Chebyshev

Ndodh Lema e Chebyshev. Nëse një ndryshore e rastësishme X merr vetëm vlera jo negative dhe ka një pritje matematikore, atëherë për çdo pozitiv V
.

Duke marrë parasysh se si shuma e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta, marrim atë
.

Teorema e Chebyshev. Nëse ndryshorja e rastësishme X ka variancë të fundme
dhe pritshmëria matematikore M(X), pastaj për çdo pozitiv pabarazia është e vërtetë
.

Nga rrjedh se
.

Shembulli 31.Është prodhuar një grup pjesësh. Gjatësia mesatare e pjesëve është 100 cm, dhe devijimi standard është 0.4 cm. Llogaritni nga poshtë probabilitetin që gjatësia e një pjese të marrë në mënyrë të rastësishme të jetë së paku 99 cm. dhe jo më shumë se 101 cm.

Zgjidhje. Varianca. Pritshmëria matematikore është 100. Prandaj, për të vlerësuar nga poshtë probabilitetin e ngjarjes në fjalë
le të zbatojmë pabarazinë e Chebyshev, në të cilën
, Pastaj
.

10. Elemente të statistikës matematikore

Agregat statistikor emërtoni një grup sendesh ose dukurish homogjene. Numri P elementet e këtij grupi quhet vëllimi i koleksionit. Vlerat e vëzhguara tipari X quhet opsione. Nëse opsionet janë rregulluar në sekuencë në rritje, atëherë marrim seri variacione diskrete. Në rastin e grupimit, opsioni sipas intervaleve rezulton të jetë seritë e variacionit të intervalit. Nën frekuenca t vlerat karakteristike kuptojnë numrin e anëtarëve të popullsisë me një variant të caktuar.

Raporti i frekuencës ndaj vëllimit të një popullate statistikore quhet frekuencë relative shenjë:
.

Marrëdhënia midis varianteve të një serie variacionesh dhe frekuencave të tyre quhet shpërndarja statistikore e kampionit. Një paraqitje grafike e shpërndarjes statistikore mund të jetë shumëkëndëshi frekuenca

Shembulli 32. Nga anketimi i 25 studentëve të vitit të parë, u morën këto të dhëna për moshën e tyre:
. Hartoni një shpërndarje statistikore të nxënësve sipas moshës, gjeni diapazonin e variacionit, ndërtoni një shumëkëndësh të frekuencës dhe përpiloni një seri shpërndarjesh të frekuencave relative.

Zgjidhje. Duke përdorur të dhënat e marra nga anketa, ne do të krijojmë një shpërndarje statistikore të kampionit

Gama e mostrës së variacionit është 23 – 17 = 6. Për të ndërtuar një poligon të frekuencës, ndërtoni pika me koordinata
dhe lidhini ato në seri.

Seria e shpërndarjes së frekuencës relative ka formën:

10.1.Karakteristikat numerike të serisë së variacionit

Le të jepet kampioni nga një seri shpërndarjesh frekuencash të veçorisë X:

Shuma e të gjitha frekuencave është e barabartë P.

Mesatarja aritmetike e kampionit emërtoni sasinë
.

Varianca ose masa e shpërndarjes së vlerave të një karakteristike X në lidhje me mesataren aritmetike të saj quhet vlerë
. Devijimi standard është rrënja katrore e variancës, d.m.th. .

Raporti i devijimit standard me mesataren aritmetike të kampionit, i shprehur në përqindje, quhet koeficienti i variacionit:
.

Funksioni empirik i shpërndarjes së frekuencës relative thirrni një funksion që përcakton për secilën vlerë frekuencën relative të një ngjarjeje
, d.m.th.
, Ku - numri i opsioneve, më i vogël X, A P- Madhësia e mostrës.

Shembulli 33. Në kushtet e shembullit 32, gjeni karakteristikat numerike
.

Zgjidhje. Le të gjejmë mesataren aritmetike të mostrës duke përdorur formulën, pastaj .

Varianca e tiparit X gjendet me formulën: , d.m.th. Devijimi standard i kampionit është
. Koeficienti i variacionit është
.

10.2. Vlerësimi i probabilitetit sipas frekuencës relative. Intervali i besimit

Le të kryhet P prova të pavarura, në secilën prej të cilave probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A është konstant dhe i barabartë me R. Në këtë rast, probabiliteti që frekuenca relative të ndryshojë nga probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A në çdo provë në vlerë absolute nuk është më shumë se me , është afërsisht i barabartë me dyfishin e vlerës së funksionit integral Laplace:
.

Vlerësimi i intervalit thirrni një vlerësim të tillë, i cili përcaktohet nga dy numra që janë skajet e intervalit që mbulon parametrin e vlerësuar të popullatës statistikore.

Intervali i besimitështë një interval që, me një probabilitet besimi të dhënë mbulon parametrin e vlerësuar të popullsisë statistikore. Duke marrë parasysh formulën në të cilën zëvendësojmë sasinë e panjohur R në vlerën e saj të përafërt të marra nga të dhënat e mostrës, marrim:
. Kjo formulë përdoret për të vlerësuar probabilitetin sipas frekuencës relative. Numrat
Dhe
i quajtur i poshtëm dhe, përkatësisht, i sipërm kufijtë e besimit, - gabimi maksimal për një probabilitet të caktuar besimi
.

Shembulli 34. Punëtoria e fabrikës prodhon llamba. Gjatë kontrollit të 625 llambave, 40 rezultuan me defekt. Gjeni, me një probabilitet besimi prej 0,95, kufijtë brenda të cilëve qëndron përqindja e llambave me defekt të prodhuara nga punishtja e fabrikës.

Zgjidhje. Sipas kushteve të detyrës. Ne përdorim formulën
. Duke përdorur tabelën 2 të shtojcës, gjejmë vlerën e argumentit, në të cilin vlera e funksionit integral Laplace është e barabartë me 0,475. Ne e kuptojmë atë
. Kështu,. Prandaj, me një probabilitet prej 0,95 mund të themi se përqindja e defekteve të prodhuara nga punishtja është e lartë, përkatësisht varion nga 6,2% në 6,6%.

10.3. Vlerësimi i parametrave në statistika

Le të ketë një shpërndarje normale karakteristika sasiore X e të gjithë popullsisë në studim (popullsia e përgjithshme).

Nëse dihet devijimi standard, atëherë intervali i besimit që mbulon pritshmërinë matematikore A

, Ku P- Madhësia e mostrës, - mostra mesatare aritmetike, tështë argumenti i funksionit integral të Laplasit, në të cilin
. Në këtë rast numri
quhet saktësi e vlerësimit.

Nëse devijimi standard është i panjohur, atëherë nga të dhënat e mostrës është e mundur të ndërtohet një ndryshore e rastësishme që ka një shpërndarje Studenti me P– 1 shkallë lirie, e cila përcaktohet nga vetëm një parametër P dhe nuk varet nga të panjohurat A Dhe . Shpërndarja e t studentit edhe për mostra të vogla
jep vlerësime mjaft të kënaqshme. Pastaj intervali i besimit që mbulon pritshmërinë matematikore A i këtij tipari me një probabilitet të caktuar besimi gjendet nga kushti

, ku S është katrori mesatar i korrigjuar, - Koeficienti i nxënësit, i gjetur nga të dhënat
nga tabela 3 e shtojcës.

Intervali i besimit që mbulon devijimin standard të kësaj karakteristike me një probabilitet besimi gjendet duke përdorur formulat: dhe , ku
gjetur nga tabela e vlerave q sipas .

10.4. Metodat statistikore për studimin e varësive ndërmjet variablave të rastit

Varësia e korrelacionit të Y nga X është varësia funksionale e mesatares së kushtëzuar nga X. Ekuacioni
paraqet ekuacionin e regresionit të Y në X, dhe
- ekuacioni i regresionit të X në Y.

Varësia e korrelacionit mund të jetë lineare ose lakuar. Në rastin e një varësie korrelacioni linear, ekuacioni i vijës së drejtë të regresionit ka formën:
, ku shpati A drejtëza e regresionit Y në X quhet koeficienti i regresionit të mostrës Y në X dhe shënohet
.

Për mostrat e vogla, të dhënat nuk janë të grupuara, parametrat
gjenden duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël nga sistemi i ekuacioneve normale:

, Ku P– numri i vëzhgimeve të vlerave të çifteve të sasive të ndërlidhura.

Shembull i koeficientit të korrelacionit linear tregon lidhjen e ngushtë ndërmjet Y dhe X. Koeficienti i korrelacionit gjendet duke përdorur formulën
, dhe
, domethënë:

Ekuacioni i mostrës së vijës së drejtë të regresionit Y në X ka formën:

.

Me një numër të madh vëzhgimesh të karakteristikave X dhe Y, përpilohet një tabelë korrelacioni me dy hyrje, me të njëjtën vlerë. X vëzhguar herë, me të njëjtin kuptim në vëzhguar herë, i njëjti çift
vëzhguar një herë.

Shembulli 35.Është dhënë një tabelë e vëzhgimeve të shenjave X dhe Y.

Gjeni ekuacionin kampion të vijës së drejtë të regresionit Y në X.

Zgjidhje. Marrëdhënia midis karakteristikave të studiuara mund të shprehet me ekuacionin e një regresioni drejtvizor të Y në X: . Për të llogaritur koeficientët e ekuacionit, ne do të krijojmë një tabelë llogaritëse: