Si të llogarisni densitetin spektral. Një palë transformime të Furierit

Një sasi që karakterizon shpërndarjen e energjisë në spektrin e sinjalit dhe quhet energji dendësia spektrale, ekziston vetëm për sinjalet, energjia e të cilave në një interval kohor të pafundëm është e fundme dhe, për rrjedhojë, transformimi Furier është i zbatueshëm për to.

Për sinjalet që nuk prishen në kohë, energjia është pafundësisht e madhe dhe integrali (1.54) divergjent. Specifikimi i spektrit të amplitudës nuk është i mundur. Megjithatë, fuqia mesatare Рср, e përcaktuar nga relacioni

rezulton të jetë e fundme. Prandaj, më shumë koncept i gjerë"densiteti spektral i fuqisë". Le ta përkufizojmë atë si derivat të fuqisë mesatare të sinjalit në lidhje me frekuencën dhe ta shënojmë si Сk(п):

Indeksi k thekson se këtu ne e konsiderojmë densitetin spektral të fuqisë si një karakteristikë e një funksioni përcaktues u(t) që përshkruan zbatimin e sinjalit.

Kjo karakteristikë e sinjalit është më pak kuptimplotë se densiteti spektral i amplitudës, pasi nuk ka informacion fazor [shih. (1.38)]. Prandaj, është e pamundur të rindërtohet pa mëdyshje zbatimi origjinal i sinjalit prej tij. Megjithatë, mungesa e informacionit të fazës na lejon të zbatojmë këtë koncept për sinjalet për të cilat faza nuk është e përcaktuar.

Për të vendosur një lidhje midis densitetit spektral Сk(ш) dhe spektrit të amplitudës, ne do të përdorim sinjalin u(t) që ekziston në një interval kohor të kufizuar (-T<. t

ku është densiteti spektral i fuqisë së një sinjali të kufizuar në kohë.

Do të tregohet më vonë (shih § 1.11) se duke mesatarizuar këtë karakteristikë për shumë realizime, është e mundur të merret densiteti spektral i fuqisë për një klasë të madhe procesesh të rastësishme.

Funksioni i autokorrelacionit të një sinjali përcaktues

Tani ekzistojnë dy karakteristika në domenin e frekuencës: përgjigja spektrale dhe densiteti spektral i fuqisë. Karakteristika spektrale që përmban informacion të plotë për sinjalin u(t) korrespondon me transformimin Furier në formën e një funksioni kohor. Le të zbulojmë se çfarë korrespondon densiteti spektral i fuqisë, pa informacione fazore, në domenin kohor.

Duhet të supozohet se e njëjta densitet spektral i fuqisë korrespondon me shumë funksione kohore që ndryshojnë në fazë. Shkencëtari sovjetik L.Ya. Khinchin dhe shkencëtari amerikan N. Wiener gjetën pothuajse njëkohësisht transformimin e anasjelltë të Furierit të densitetit të fuqisë spektrale:

Le ta quajmë funksionin e përgjithësuar të kohës r(), i cili nuk përmban informacione për fazën, funksionin e autokorrelacionit të kohës. Ai tregon shkallën e korrelacionit midis vlerave të një funksioni u(t) të ndara nga një interval kohor dhe mund të nxirret nga teoria statistikore duke zhvilluar konceptin e një koeficienti korrelacioni. Vini re se në funksionin e korrelacionit kohor, mesatarizimi kryhet me kalimin e kohës brenda një realizimi me një kohëzgjatje mjaft të gjatë.

Për plotësi, ne diskutojmë shkurtimisht konceptet e spektrit dhe densitetit spektral më poshtë. Zbatimi i këtyre koncepteve të rëndësishme përshkruhet më në detaje në. Ne nuk i përdorim ato për analizën e serive kohore në këtë libër, kështu që ky seksion mund të anashkalohet në leximin tuaj të parë.

Spektri i mostrës. Gjatë përcaktimit të periodogramit (2.2.5), supozohet se frekuencat janë harmonike të frekuencës themelore. Duke futur një spektër, ne e lehtësojmë këtë supozim dhe lejojmë që frekuenca të ndryshojë vazhdimisht në intervalin 0-0,5 Hz. Përkufizimi i një periodogrami mund të modifikohet si më poshtë:

, , (2.2.7)

ku quhet spektri i mostrës. Ashtu si një periodogram, ai mund të përdoret për të zbuluar dhe vlerësuar amplitudat e komponentit sinusoidal të një frekuence të panjohur të fshehur në zhurmë, dhe në të vërtetë është edhe më i përshtatshëm nëse nuk dihet se frekuenca lidhet në mënyrë harmonike me gjatësinë e serisë, d.m.th. Për më tepër, ajo është pika fillestare për teorinë e analizës spektrale, duke përdorur marrëdhënien e rëndësishme të dhënë në Shtojcën A2.1. Kjo marrëdhënie vendos një lidhje midis analizës së spektrit të mostrës dhe vlerësimeve të funksionit të autokovariancës:

. (2.2.8)

Kështu, spektri i kampionit është transformimi i kosinusit Furier i funksionit të autokovariancës së mostrës.

Gama. Periodogrami dhe spektri i mostrës janë koncepte të përshtatshme për analizimin e serive kohore të formuara nga një përzierje e valëve sinus dhe kosinus me frekuenca konstante të fshehura në zhurmë. Megjithatë, seritë kohore stacionare të tipit të përshkruar në Sekt. 2.1, karakterizohen nga ndryshime të rastësishme në frekuencë, amplitudë dhe fazë. Për seri të tilla, spektri i mostrës luhatet shumë dhe nuk lejon ndonjë interpretim të arsyeshëm.

Supozoni, megjithatë, se spektri i mostrës është llogaritur për një seri kohore nga vëzhgimet që është një realizim i një procesi normal të palëvizshëm. Siç u përmend më lart, një proces i tillë nuk ka asnjë përbërës përcaktues të sinusit ose kosinusit, por ne mund të kryejmë zyrtarisht një analizë Fourier dhe të marrim vlera për , për çdo frekuencë. Nëse vëzhgimet e përsëritura krijohen nga një proces stokastik, ne mund të mbledhim një popullatë vlerash dhe . Atëherë mund të gjejmë vlerën mesatare mbi realizimet e përsëritura të gjatësisë , domethënë

. (2.2.9)

Për vlera të mëdha, mund të tregohet (shih, për shembull,) se vlera mesatare e autokovariancës në zbatime të përsëritura priret në autokovariancën teorike, d.m.th.

Duke kaluar në kufirin në (2.2.9) për , ne përcaktojmë spektrin e fuqisë si

, . (2.2.10)

Vini re se që nga

atëherë që spektri të konvergjojë, ai duhet të ulet me rritjen aq shpejt sa të sigurojë konvergjencën e serisë (2.2.11). Meqenëse spektri i fuqisë është transformimi i kosinusit Furier i funksionit të autokovariancës, njohja e funksionit të autokovariancës është matematikisht ekuivalente me njohjen e spektrit të fuqisë dhe anasjelltas. Tani e tutje ne thjesht do t'i referohemi spektrit të fuqisë si spektër.

Duke integruar (2.2.10) në rangun nga 0 në 1/2, gjejmë shpërndarjen e procesit

. (2.2.12)

Prandaj, ashtu si një periodogram tregon sesi shpërndarja (2.2.6) e një serie të përbërë nga një përzierje valësh sinusi dhe kosinusi shpërndahet midis komponentëve të ndryshëm harmonikë, një spektër tregon se si shpërndahet dispersioni i një procesi stokastik në një proces të vazhdueshëm. gamën e frekuencave. Mund të interpretohet si një vlerë e përafërt e variancës së procesit në diapazonin e frekuencës nga deri në .

Spektri i normalizuar. Ndonjëherë është më e përshtatshme të përcaktohet spektri (2.2.10) duke përdorur autokorrelacione dhe jo autokovarianca. Funksioni që rezulton

, (2.2.13). Megjithatë, mund të tregohet (shih) se spektri i mostrës së një serie kohore stacionare luhatet fuqishëm rreth spektrit teorik. Shpjegimi intuitiv për këtë fakt është se spektri i kampionuar korrespondon me përdorimin e një intervali shumë të ngushtë në domenin e frekuencës. Kjo është analoge me përdorimin e një intervali shumë të ngushtë bining për një histogram kur vlerësohet një shpërndarje normale probabiliteti duke përdorur një vlerësues të modifikuar ose të zbutur.

, (2.2.14)

ku - peshat e zgjedhura posaçërisht, të quajtura dritarja e korrelacionit, mund të rrisin "gjerësinë e brezit" të vlerësimit dhe të marrin një vlerësim të zbutur të spektrit.

Në Fig. Figura 2.8 tregon një vlerësim mostër të spektrit të të dhënave të grupit të produktit. Mund të shihet se shpërndarja e serisë është e përqendruar kryesisht në frekuenca të larta. Kjo është shkaktuar nga lëkundjet e shpejta të serisë origjinale të paraqitur në Fig. 2.1.

Funksioni nuk është periodik, kështu që nuk mund të zgjerohet në një seri Fourier. Nga ana tjetër, funksioni, për shkak të kohëzgjatjes së tij të pakufizuar, nuk është i integrueshëm dhe për këtë arsye nuk mund të përfaqësohet nga integrali Furier. Për të shmangur këto vështirësi, futet një funksion ndihmës, i cili përkon me funksionin në interval dhe është i barabartë me zero jashtë këtij intervali:

(5.15)

Funksioni është i integrueshëm dhe ka një transformim të drejtpërdrejtë Furier për të (integrali Fourier):

(5.16)

Dendësia spektrale e fuqisë sinjal i rastësishëm (ose thjesht dendësia spektrale ) quhet funksion i formës:

(5.17)

Dendësia spektrale është një funksion që karakterizon shpërndarjen e vlerave mesatare të amplitudave në katror të harmonikave të sinjalit. Dendësia spektrale ka këto karakteristika:

1. Sa më shpejt të ndryshojë procesi i rastësishëm i palëvizshëm, aq më i gjerë është grafiku .

2. Majat individuale në grafikun e densitetit spektral tregojnë praninë e komponentëve periodikë në një sinjal të rastësishëm.

3. Dendësia spektrale është një funksion i barabartë:

(5.18)

Dendësia spektrale lidhet me shpërndarjen e sinjalit si më poshtë:

(5.19)

Eksperimentalisht, dendësia spektrale përcaktohet (llogaritet) sipas skemës së mëposhtme:

Oriz. 5.6.

Dendësia spektrale lidhet me funksionin e korrelacionit me shprehjen e mëposhtme (sipas teoremës Khinchin-Wiener):

(5.20)

(5.21)

Nëse zgjerojmë faktorët dhe duke përdorur formulën e Euler-it dhe marrim parasysh se , dhe janë funksione çift, dhe është një funksion tek, atëherë shprehjet (5.20), (5.21) mund të shndërrohen në formën e mëposhtme:

(5.22)

(5.23)

Shprehjet (5.23), (5.24) përdoren në llogaritjet praktike. Është e lehtë të shihet se kur shprehja (5.24) përcakton shpërndarjen e një procesi të rastësishëm të palëvizshëm:

(5.24)

Marrëdhëniet që lidhin funksionin e korrelacionit dhe densitetin spektral kanë të gjitha vetitë e natyrshme në transformimin Furier dhe përcaktojnë karakteristikat krahasuese të mëposhtme: sa më i gjerë të jetë grafiku, aq më i ngushtë është grafiku dhe anasjelltas, aq më shpejt zvogëlohet funksioni, aq më ngadalë zvogëlohet funksioni. . Kjo marrëdhënie ilustrohet nga grafikët në Fig. (5.7), (5.8)

Oriz. 5.7.

Oriz. 5.8.

Linja 1 në të dy figurat korrespondon me një sinjal të rastësishëm që ndryshon ngadalë, spektri i të cilit dominohet nga harmonikë me frekuencë të ulët. Linjat 2 korrespondojnë me një sinjal që ndryshon me shpejtësi, spektri i të cilit dominohet nga harmonikë me frekuencë të lartë.

Nëse një sinjal i rastësishëm ndryshon shumë ashpër me kalimin e kohës dhe praktikisht nuk ka asnjë korrelacion midis vlerave të tij të mëparshme dhe të mëvonshme, atëherë funksioni i korrelacionit ka formën e një funksioni delta (rreshti 3). Grafiku i densitetit spektral në këtë rast paraqet një vijë horizontale në interval. Kjo tregon se amplituda harmonike është e njëjtë në të gjithë gamën e frekuencës. Ky sinjal quhet Zhurma e bardhë (për analogji me dritën e bardhë, në të cilën, siç dihet, intensiteti i të gjithë përbërësve është i njëjtë).

Koncepti i "zhurmës së bardhë" është një abstraksion matematikor. Fizikisht, sinjalet në formën e zhurmës së bardhë nuk janë të realizueshme, pasi një spektër pafundësisht i gjerë korrespondon me një shpërndarje pafundësisht të madhe, dhe për rrjedhojë një fuqi pafundësisht të madhe. Megjithatë, shpesh sistemet reale me një spektër të kufizuar mund të konsiderohen përafërsisht si zhurmë e bardhë. Ky thjeshtim është i vlefshëm në rastet kur spektri i sinjalit është shumë më i gjerë se gjerësia e brezit të sistemit të prekur nga sinjali.

Lëreni sinjalin s(t) është specifikuar si një funksion jo periodik dhe ekziston vetëm në intervalin ( t 1 ,t 2) (shembull - puls i vetëm). Le të zgjedhim një periudhë kohore arbitrare T, duke përfshirë intervalin ( t 1 ,t 2) (shih Fig. 1).

Le të shënojmë sinjalin periodik të marrë nga s(t), si ( t). Pastaj mund të shkruajmë serinë Fourier për të

Për të shkuar te funksioni s(t) vijon në shprehjen ( t) drejtojnë periudhën në pafundësi. Në këtë rast, numri i komponentëve harmonikë me frekuenca w=n 2fq/T do të jetë pafundësisht e madhe, distanca midis tyre do të priret në zero (në një vlerë infiniteminale:

amplituda e komponentëve do të jetë gjithashtu pafundësisht e vogël. Prandaj, nuk është më e mundur të flitet për spektrin e një sinjali të tillë, pasi spektri bëhet i vazhdueshëm.

Integrali i brendshëm është një funksion i frekuencës. Quhet densiteti spektral i sinjalit, ose përgjigja e frekuencës së sinjalit dhe caktohet d.m.th.

Për përgjithësi, kufijtë e integrimit mund të vendosen në pafundësi, pasi është e njëjtë ku s(t) është e barabartë me zero, dhe integrali është i barabartë me zero.

Shprehja për dendësinë spektrale quhet transformimi i drejtpërdrejtë i Furierit. Transformimi i anasjelltë i Furierit përcakton funksionin kohor të një sinjali nga dendësia e tij spektrale

Transformimet e drejtpërdrejta (*) dhe të anasjellta (**) të Furierit quhen së bashku një çift transformimesh Furiere. Moduli i densitetit spektral

përcakton përgjigjen amplitudë-frekuencë (AFC) të sinjalit dhe argumentin e tij quhet përgjigja e frekuencës fazore (PFC) e sinjalit. Përgjigja e frekuencës së sinjalit është një funksion çift, dhe përgjigja fazore është tek.

Kuptimi i modulit S(w) përkufizohet si amplituda e një sinjali (rrymë ose tension) për 1 Hz në një brez frekuencash pafundësisht të ngushtë që përfshin frekuencën në fjalë w. Dimensioni i tij është [sinjal/frekuencë].

Spektri energjetik i sinjalit. Nëse funksioni s(t) ka një densitet të fuqisë së sinjalit Furier ( dendësia spektrale e energjisë së sinjalit) përcaktohet nga shprehja:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

Spektri i fuqisë është një funksion W()-real jo-negativ çift, i cili zakonisht quhet spektri i energjisë. Spektri i fuqisë, si katrori i modulit të densitetit spektral të sinjalit, nuk përmban informacione fazore për përbërësit e tij të frekuencës, dhe për këtë arsye, rindërtimi i sinjalit nga spektri i fuqisë është i pamundur. Kjo gjithashtu do të thotë se sinjalet me karakteristika të ndryshme fazore mund të kenë të njëjtat spektra të fuqisë. Në veçanti, zhvendosja e sinjalit nuk reflektohet në spektrin e tij të fuqisë. Kjo e fundit na lejon të marrim një shprehje për spektrin e energjisë drejtpërdrejt nga shprehjet (5.2.7). Në kufi, për sinjalet identike u(t) dhe v(t) me një zhvendosje t 0, pjesa imagjinare e spektrit Wuv () tenton në vlera zero, dhe pjesa reale tenton në vlerat e modulit të spektrit . Me kombinimin e plotë të përkohshëm të sinjaleve kemi:

ato. energjia e sinjalit është e barabartë me integralin e modulit në katror të spektrit të tij të frekuencës - shuma e energjisë së përbërësve të tij të frekuencës dhe është gjithmonë një vlerë reale.

Për një sinjal arbitrar s(t) barazia

zakonisht quhet barazia e Parsevalit (në matematikë - teorema e Plancherelit, në fizikë - formula e Rayleigh). Barazia është e qartë, pasi përfaqësimet e koordinatave dhe frekuencave janë në thelb vetëm paraqitje të ndryshme matematikore të të njëjtit sinjal. Në mënyrë të ngjashme për energjinë e bashkëveprimit të dy sinjaleve:

Nga barazia e Parseval-it rezulton se produkti skalar i sinjaleve dhe normës në lidhje me transformimin Furier është i pandryshueshëm:

Në një numër problemesh thjesht praktike të regjistrimit dhe transmetimit të sinjaleve, spektri i energjisë i sinjalit është shumë domethënës. Sinjalet periodike përkthehen në rajonin spektral në formën e serive Fourier. Le të shkruajmë një sinjal periodik me periudhë T në formën e një serie Furier në formë komplekse:

Intervali 0-T përmban një numër të plotë periodash të të gjithë eksponentëve të integrandit dhe është i barabartë me zero, me përjashtim të eksponencialit në k = -m, për të cilin integrali është i barabartë me T. Prandaj, fuqia mesatare e një sinjali periodik është i barabartë me shumën e moduleve në katror të koeficientëve të serisë së tij Fourier:

Spektri energjetik i sinjalit – kjo është shpërndarja e energjisë së sinjaleve bazë që përbëjnë sinjalin joharmonik në boshtin e frekuencës. Matematikisht, spektri i energjisë i sinjalit është i barabartë me katrorin e modulit të funksionit spektral:

Prandaj, spektri amplitudë-frekuencë tregon grupin e amplitudave të përbërësve të sinjaleve bazë në boshtin e frekuencës, dhe spektri i frekuencës së fazës tregon grupin e fazave

Moduli i funksionit spektral shpesh quhet spektri i amplitudës, dhe argumenti i tij është spektri fazor.

Për më tepër, ekziston një transformim i anasjelltë i Furierit që ju lejon të rivendosni sinjalin origjinal, duke ditur funksionin e tij spektral:

Për shembull, merrni një impuls drejtkëndor:

Një shembull tjetër i spektrit:

Frekuenca e Nyquist, teorema e Kotelnikov .

Frekuenca e Nyquist - në përpunimin e sinjalit dixhital, një frekuencë e barabartë me gjysmën e frekuencës së kampionimit. Me emrin Harry Nyquist. Nga teorema e Kotelnikov rrjedh se gjatë mostrimit të një sinjali analog, nuk do të ketë humbje informacioni vetëm nëse spektri (densiteti spektral) i sinjalit është i barabartë ose më i ulët se frekuenca e Nyquist. Përndryshe, kur rivendosni një sinjal analog, do të ketë një mbivendosje të "bishtave" spektrale (zëvendësimi i frekuencës, maskimi i frekuencës) dhe forma e sinjalit të rivendosur do të shtrembërohet. Nëse spektri i sinjalit nuk ka përbërës mbi frekuencën Nyquist, atëherë ai (teorikisht) mund të merret kampion dhe më pas të rindërtohet pa shtrembërim. Në fakt, "dixhitalizimi" i një sinjali (konvertimi i një sinjali analog në një dixhital) shoqërohet me kuantizimin e mostrave - çdo mostër shkruhet në formën e një kodi dixhital me thellësi bit të fundme, si rezultat i të cilit Gabimet e kuantizimit (rrumbullakimit) i shtohen mostrave, në kushte të caktuara që konsiderohen si "zhurmë kuantizimi".

Sinjalet reale me kohëzgjatje të kufizuar kanë gjithmonë një spektër pafundësisht të gjerë, i cili zvogëlohet pak a shumë shpejt me rritjen e frekuencës. Prandaj, kampionimi i sinjalit çon gjithmonë në humbje informacioni (shtrembërim i formës së sinjalit gjatë marrjes së mostrave dhe rindërtimit), pa marrë parasysh sa e lartë është frekuenca e kampionimit. Në shkallën e përzgjedhur të kampionimit, shtrembërimi mund të reduktohet duke shtypur komponentët spektralë të sinjalit analog (para marrjes së mostrave) mbi frekuencën Nyquist, gjë që kërkon një filtër të rendit shumë të lartë për të shmangur aliasing të bishtave. Zbatimi praktik i një filtri të tillë është shumë i ndërlikuar, pasi karakteristikat e amplitudës-frekuencës së filtrave nuk janë drejtkëndëshe, por të lëmuara, dhe një brez i caktuar i frekuencës së tranzicionit formohet midis brezit të kalimit dhe brezit të shtypjes. Prandaj, frekuenca e kampionimit zgjidhet me një diferencë, për shembull, në CD-të audio përdoret një frekuencë kampionimi prej 44,100 Hz, ndërsa frekuenca më e lartë në spektrin e sinjaleve audio konsiderohet të jetë 20,000 Hz. Marzhi i frekuencës Nyquist prej 44100 / 2 - 20000 = 2050 Hz ju lejon të shmangni zëvendësimin e frekuencës kur përdorni filtrin e zbatuar të rendit të ulët.

Teorema e Kotelnikovit

Për të rikthyer sinjalin e vazhdueshëm origjinal nga ai i kampionuar me shtrembërime (gabime) të vogla, është e nevojshme të zgjidhni në mënyrë racionale hapin e kampionimit. Prandaj, kur konvertohet një sinjal analog në një diskret, lind domosdoshmërisht pyetja në lidhje me madhësinë e hapit të kampionimit Intuitivisht, nuk është e vështirë të kuptohet ideja e mëposhtme. Nëse një sinjal analog ka një spektër me frekuencë të ulët të kufizuar nga një frekuencë e lartë e caktuar Fe (d.m.th., funksioni u(t) ka formën e një kurbë të ndryshueshme pa probleme, pa ndryshime të mprehta në amplitudë), atëherë nuk ka gjasa që ky funksion të mund të ndryshojnë ndjeshëm gjatë një intervali të vogël kohor të kampionimit. Është mjaft e qartë se saktësia e rindërtimit të një sinjali analog nga sekuenca e mostrave të tij varet nga madhësia e intervalit të marrjes së mostrave, aq më pak do të ndryshojë funksioni u(t) nga një kurbë e qetë që kalon nëpër kampion pikë. Megjithatë, me zvogëlimin e intervalit të marrjes së mostrave, kompleksiteti dhe vëllimi i pajisjeve të përpunimit rritet ndjeshëm. Nëse intervali i marrjes së mostrave është mjaft i madh, gjasat e shtrembërimit ose humbjes së informacionit gjatë rindërtimit të një sinjali analog rritet. Vlera optimale e intervalit të kampionimit përcaktohet nga teorema e Kotelnikovit (emrat e tjerë janë teorema e kampionimit, teorema e K. Shannon, teorema e X. Nyquist: teorema u zbulua fillimisht në matematikën e O. Cauchy, dhe më pas u përshkrua përsëri nga D. Carson dhe R. Hartley), e vërtetuar prej tij në 1933, teorema e V. A. Kotelnikov ka një rëndësi të rëndësishme teorike dhe praktike: bën të mundur marrjen e saktë të një sinjali analog dhe përcakton mënyrën optimale për ta rikthyer atë në fundin marrës nga vlerat e mostrës.

Sipas një prej interpretimeve më të famshme dhe të thjeshta të teoremës së Kotelnikov, një sinjal arbitrar u(t), spektri i të cilit është i kufizuar nga një frekuencë e caktuar Fe, mund të rindërtohet plotësisht nga sekuenca e vlerave të tij referuese, duke ndjekur një kohë. intervali

Intervali i kampionimit dhe frekuenca Fe(1) në inxhinierinë radio shpesh quhen respektivisht intervali dhe frekuenca Nyquist. Në mënyrë analitike, teorema e Kotelnikov është paraqitur pranë

ku k është numri i mostrës; - vlera e sinjalit në pikat e referencës - frekuenca e sipërme e spektrit të sinjalit.

Paraqitja e frekuencës së sinjaleve diskrete .

Shumica e sinjaleve mund të përfaqësohen si një seri Fourier:

Në inxhinierinë statistikore të radios dhe fizikën, kur studiohen sinjalet përcaktuese dhe proceset e rastësishme, përdoret gjerësisht paraqitja e tyre spektrale në formën e densitetit spektral, i cili bazohet në transformimin Furier.

Nëse procesi $x(t)$ ka energji të kufizuar dhe është i integrueshëm në mënyrë kuadratike (dhe ky është një proces jo-stacionar), atëherë për një zbatim të procesit transformimi Furier mund të përkufizohet si një funksion kompleks i rastësishëm i frekuencës:

Funksioni $S\_x(f)=|X(f)|^2$ kështu karakterizon shpërndarjen e energjisë së zbatimit përgjatë boshtit të frekuencës dhe quhet dendësia spektrale e zbatimit. Duke mesatarizuar këtë funksion mbi të gjitha implementimet, mund të merret densiteti spektral i procesit.

Le t'i drejtohemi tani një procesi të rastësishëm të palëvizshëm, në një kuptim të gjerë, të përqendruar $x(t)$, realizimet e të cilave me probabilitetin 1 kanë energji të pafundme dhe, për rrjedhojë, nuk kanë një transformim Furier. Dendësia spektrale e fuqisë e një procesi të tillë mund të gjendet bazuar në teoremën Wiener-Khinchin si transformimi Furier i funksionit të korrelacionit:

Nëse supozojmë përkatësisht në formulat (3) dhe (4). $f=0$ Dhe $\backslash tau=0$, ne kemi

Formula (6), duke marrë parasysh (2), tregon se dispersioni përcakton energjinë totale të një procesi të rastësishëm të palëvizshëm, i cili është i barabartë me sipërfaqen nën lakoren e densitetit spektral. Vlera dimensionale $S\_x(f)df$ mund të interpretohet si fraksion i energjisë i përqendruar në një gamë të vogël frekuence nga $f-df/2$ përpara $f+df/2$. Nëse nënkuptojmë me $x(t)$ rrymë e rastësishme (luhatje) ose tension, pastaj vlera $S\_x(f)$ do të ketë dimensionin e energjisë [V 2 /Hz] = [V 2 s]. Kjo është arsyeja pse $S\_x(f)$ ndonjëherë quhet spektri i energjisë. Në literaturë shpesh mund të gjesh një interpretim tjetër: $\backslash sigma\_x^2$– konsiderohet si fuqia mesatare e lëshuar nga rryma ose voltazhi në një rezistencë prej 1 ohm. Në të njëjtën kohë, vlera $S\_x(f)$ thirrur spektri i fuqisë proces i rastësishëm.

Vetitë e densitetit spektral

• Spektri i energjisë i një procesi të palëvizshëm (material ose kompleks) është një sasi jo negative:

• Funksioni i korrelacionit $k\_x(\backslash tau)$ dhe spektrit të energjisë $S\_x(f)$ i palëvizshëm në një kuptim të gjerë procesi i rastësishëm kanë të gjitha vetitë karakteristike të një çifti transformimesh të ndërsjella Furier. Në veçanti, spektri "më i gjerë". $S\_x(f)$ aq më i ngushtë është funksioni i korrelacionit $k\_x(\backslash tau)$, dhe anasjelltas. Ky rezultat llogaritet si një lidhje parimore ose pasigurie.

Shiko gjithashtu

Shkruani një përmbledhje në lidhje me artikullin "Densiteti spektral"

Letërsia

1. Zyuko, A. G. Teoria e transmetimit të sinjalit / A. G. Zyuko [et al.]. - M.: Komunikimi, 1980. - 288 f.
2. Tikhonov, V.I. Analiza statistikore dhe sinteza e pajisjeve dhe sistemeve inxhinierike radio / V. I. Tikhonov, V. N. Kharisov. - M.: Radio dhe komunikim, 2004. - 608 f. - ISBN 5-256-01701-2.
3. Tikhonov, V.I. Teoria statistikore e pajisjeve të inxhinierisë radio / V. I. Tikhonov, Yu N. Bakaev. - M.: Akademia me emrin. prof. N. E. Zhukovsky, 1978. - 420 f.

Një fragment që karakterizon dendësinë spektrale