Siç del nga teoria e serisë Furier, ajo është e zbatueshme kur kemi të bëjmë me funksione periodike dhe me funksione me një interval të kufizuar variacioni të ndryshoreve të pavarura (pasi ky interval mund të shtrihet në të gjithë boshtin duke e zgjatur periodikisht funksionin). Megjithatë, funksionet periodike janë relativisht të rralla në praktikë. Kjo situatë kërkon krijimin e një aparati matematikor më të përgjithshëm për trajtimin e funksioneve jo periodike, përkatësisht integralin Furier dhe, në bazë të tij, transformimin Furier.
Le ta konsiderojmë funksionin joperiodik f(t) si kufi të një periodiku me periodë T=2l për l®?.
Një funksion periodik me një periudhë prej 2l mund të përfaqësohet si një zgjerim i serisë Fourier (ne do të përdorim formën e tij komplekse)
ku shprehjet për koeficientët kanë formën:
Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm për frekuencat:
Le të shkruajmë zgjerimin në serinë Furier në formën e një formule, duke zëvendësuar në (1) shprehjen për koeficientët (2) dhe për frekuencën (3):
Spektri diskret i një funksioni periodik me periodë 2l
Le të shënojmë distancën minimale midis pikave të spektrit, të barabartë me frekuencën themelore të lëkundjeve për, d.m.th.
dhe futeni këtë shënim në (4):
Në këtë shënim, seria Fourier i ngjan shumës integrale për një funksion.
Do të shkosh në kufirin në T=2l®? për një funksion jo periodik, ne gjejmë se intervali i frekuencës bëhet infinit i vogël (e shënojmë si dw), dhe spektri bëhet i vazhdueshëm. Nga pikëpamja matematikore, kjo korrespondon me zëvendësimin e përmbledhjes mbi një grup diskrete me integrimin mbi variablin përkatës mbi kufijtë e pafund.
Kjo shprehje është formula integrale e Furierit.
2.2 Formulat e transformimit të Furierit.
Është e përshtatshme të paraqitet integrali Fourier si një mbivendosje e dy formulave:
Funksioni F(w), i krahasueshëm sipas formulës së parë të funksionit f(t), quhet i tij Transformimi Furier. Nga ana tjetër, quhet formula e dytë, e cila ju lejon të gjeni funksionin origjinal nga imazhi i tij transformimi i anasjelltë i Furierit. Le t'i kushtojmë vëmendje simetrisë së formulave për transformimet e drejtpërdrejta dhe të anasjellta të Furierit deri në një saktësi të një faktori konstant prej 1/2p dhe shenjës në eksponent.
Në mënyrë simbolike, transformimet e drejtpërdrejta dhe të anasjellta të Furierit do të shënohen si f(t)~F(w).
Duke tërhequr një analogji me serinë trigonometrike Furier, mund të arrijmë në përfundimin se imazhi Furier (6) është një analog i koeficientit Furier (shih (2)), dhe transformimi i anasjelltë i Furierit (7) është një analog i zgjerimit. të një funksioni në një seri Furier trigonometrike (shih (1) )).
Vini re se shumëzuesi, në vend të transformimit të anasjelltë, mund t'i atribuohet transformimit të drejtpërdrejtë të Furierit ose të bëjë faktorë simetrik për transformimet e drejtpërdrejta dhe të anasjellta. Gjëja kryesore është që të dy transformimet së bashku formojnë formulën integrale të Furierit (5), d.m.th. produkti i faktorëve konstant gjatë transformimit të drejtpërdrejtë dhe të anasjelltë duhet të jetë i barabartë.
Vini re se për qëllime të aplikuara, nuk është frekuenca këndore w ajo që është më e përshtatshme, por frekuenca n e lidhur me të parën nga relacioni w = 2pn. dhe matet në Hertz (Hz). Për sa i përket kësaj frekuence, formulat e transformimit Fourier do të duken si:
Le të formulojmë pa prova kushte të mjaftueshme për ekzistencën e transformimit Furier.
- 1) f(t) - i kufizuar në t?(-?,?);
- 2) f(t) - absolutisht i integrueshëm në t?(-?,?);
- 3) Numri i pikave të ndërprerjes, maksimumi dhe minimumi i funksionit f(t) është i fundëm.
Një kusht tjetër i mjaftueshëm është kërkesa që funksioni të jetë i integruar në mënyrë kuadratike në boshtin e tij real, i cili fizikisht korrespondon me kërkesën e fuqisë së sinjalit të fundëm.
Kështu, duke përdorur transformimin Fourier, kemi dy mënyra për të paraqitur sinjalin: kohën f(t) dhe frekuencën F(w).
- 2.3 Vetitë e transformimit të Furierit.
- 1. Lineariteti.
Nëse f(t)~F(w),g(t)~G(w),
pastaj аf(t)+bg(t) ~aF(w)+bG(w).
Vërtetimi bazohet në vetitë lineare të integraleve.
- 2. Barazi.
- 2.1 Nëse f(t) është një funksion real çift dhe f(t)~F(w), atëherë F(w) është gjithashtu një funksion real çift.
Dëshmi:
Duke përdorur përkufizimin (6), si dhe formulën e Euler-it, marrim
- -edhe funksion.
- 2.2 Nëse f(t) është një funksion real tek, atëherë F(w) është një funksion imagjinar tek.
2.3 Nëse f(t) është një funksion real arbitrar, F(w) ka një pjesë reale çift dhe një pjesë imagjinare tek.
Dëshmi:
Vetitë e paritetit 2 mund të përmblidhen në formulën:
3. Ngjashmëria
Nëse f(t)~F(w), atëherë f(at)~.
- 4. Paragjykim.
- 4.1 Nëse f(t)~F(w), atëherë f(t-a)~.
Ato. vonesa kohore korrespondon me shumëzimin me një eksponencial kompleks në domenin e frekuencës.
4.2 Nëse f(t)~F(w), atëherë~.
Ato. zhvendosja e frekuencës korrespondon me shumëzimin me një eksponencial kompleks në domenin e kohës.
- 5. Nëse f(t)~F(w), atëherë
- 5.1 f’(t)~iwF(w),~
nëse f(t) ka n derivate të vazhdueshme.
Dëshmi:
nëse F(w) ka n derivate të vazhdueshme.
Dëshmi:
- 2.4 Shembujt më të rëndësishëm të gjetjes së transformimit Furier.
ku është impulsi drejtkëndor
Në të njëjtën kohë, ne morëm parasysh se është integrali Poisson.
Gjetja e integralit të fundit mund të shpjegohet si më poshtë. Kontura e integrimit C është një vijë e drejtë në rrafshin kompleks (t,w), paralel me boshtin real (w është një numër konstant). Integrali i një funksioni skalar mbi një lak të mbyllur është zero. Ne formojmë një lak të mbyllur të përbërë nga një vijë e drejtë C dhe një bosht real t, që mbyllet në pafundësi. Sepse në pafundësi funksioni integrand tenton në zero, atëherë integralet përgjatë kurbave mbyllëse janë të barabarta me zero. Kjo do të thotë se integrali përgjatë drejtëzës C është i barabartë me integralin e marrë përgjatë boshtit real real që kalon në drejtim pozitiv.
2 .5 Parimi i pasigurisë për paraqitjen kohë-frekuencë të një sinjali.
Duke përdorur shembullin e një impulsi drejtkëndor, ne do të tregojmë vlefshmërinë parimi i pasigurisë që konsiston në faktin se është e pamundur të lokalizohet njëkohësisht një puls në kohë dhe të rritet selektiviteti i tij i frekuencës.
Sipas 5), gjerësia e një impulsi drejtkëndor në domenin kohor DT është e barabartë me 2T. Ne marrim distancën midis zerove ngjitur të gungës qendrore në domenin e frekuencës si gjerësia e imazhit Fourier të një impulsi drejtkëndor. Zerot e para të funksionit janë në.
Kështu marrim
Kështu, sa më shumë të lokalizohet një impuls në kohë, aq më shumë lyhet spektri i tij. Në të kundërt, për të reduktuar spektrin, ne jemi të detyruar të zgjasim pulsin në kohë. Ky parim është i vlefshëm për çdo formë impulsi dhe është universal.
2.6 Konvolucioni dhe vetitë e tij.
Konvolucioni është procedura kryesore gjatë filtrimit të një sinjali.
Le ta quajmë një funksion h(t) konvolucionin e funksioneve joperiodike f(t) dhe h(t) nëse përkufizohet si integrali i mëposhtëm:
Në mënyrë simbolike do ta shënojmë këtë fakt si.
Operacioni i konvolucionit ka vetitë e mëposhtme.
- 1. Komutativiteti.
Vërtetimi i komutativitetit mund të merret duke ndryshuar ndryshoren t-t=t'
- 2. Asociativiteti
Dëshmi:
- 3. Shpërndarja
Vërtetimi i kësaj vetie rrjedh drejtpërdrejt nga vetitë lineare të integraleve.
Për përpunimin e sinjalit, gjëja më e rëndësishme në metodën Fourier (pas formulave të transformimit Fourier) janë teoremat e konvolucionit. Ne do të përdorim frekuencën n në vend të w, sepse Teoremat e konvolucionit në këtë paraqitje do të jenë reciprokisht të kthyeshme.
2.7 Teoremat e konvolucionit
Teorema e parë e konvolucionit.
Transformimi Furier i një produkti të drejtpërdrejtë të funksioneve është i barabartë me konvolucionin e transformimeve
Dëshmi:
Le të jetë atëherë. Duke përdorur përkufizimin e transformimit të anasjelltë të Furierit dhe duke ndryshuar rendin e integrimit, marrim:
Për sa i përket frekuencës këndore w, kjo teoremë ka një formë më pak universale
Teorema e dytë e konvolucionit.
Transformimi Furier i konvolucionit të funksioneve është i barabartë me produktin e drejtpërdrejtë të shndërrimeve.
Dëshmi:
Për shembull, merrni parasysh konvolucionin e një impulsi drejtkëndor
Sipas kushtit f(t)=0 në t<-T и приt>T. Në mënyrë të ngjashme, f(t-t)=0 për
t-t<-T и при t-t>T, d.m.th. att>t+T dhe att në -2 T Duke kombinuar të dyja rastet, marrim shprehjen për konvolucionin: Kështu, konvolucioni i një impulsi drejtkëndor me vetveten do të jetë një puls trekëndor (nganjëherë ky funksion quhet funksioni L). Duke përdorur teoremën e konvolucionit, ne mund të marrim lehtësisht transformimin Furier të funksionit L Në praktikë, situatat fizike korrespondojnë me funksione të barabarta me zero në t<0. Это приводит к тому, что бесконечные пределы заменяются конечными. Gjeni konvolucionin e funksioneve f(t) dhe g(t) sepse f(t)=0 att<0 и g(t-t)=0 при t-t<0,т.е. приt>t. Le të prezantojmë konceptin e korrelacionit të ndërsjellë të dy funksioneve f(t) dhe g(t). ku t është një zhvendosje kohore që ndryshon vazhdimisht në intervalin (-?,?). Një koncept i rëndësishëm është korrelacioni i një funksioni me vetveten, i cili quhet autokorrelacion. Le të vazhdojmë të shqyrtojmë konceptin e fuqisë dhe energjisë së sinjalit. Rëndësia e këtyre koncepteve shpjegohet me faktin se çdo transferim informacioni është në të vërtetë një transferim energjie. Konsideroni një sinjal kompleks arbitrar f(t). Fuqia e menjëhershme e sinjalit p(t) përcaktohet nga barazia Energjia totale është e barabartë me integralin e fuqisë së menjëhershme gjatë gjithë periudhës së ekzistencës së sinjalit: Fuqia e sinjalit mund të konsiderohet gjithashtu si funksion i frekuencës. Në këtë rast, fuqia e menjëhershme e frekuencës shënohet si. Energjia totale e sinjalit llogaritet me formulë Energjia totale e sinjalit nuk duhet të varet nga përfaqësimi i zgjedhur. Vlerat totale të energjisë të llogaritura nga paraqitjet e kohës dhe frekuencës duhet të përputhen. Prandaj, duke barazuar anët e djathta, marrim barazinë: Kjo barazi përbën përmbajtjen e teoremës së Parsevalit për sinjalet jo periodike. Një vërtetim rigoroz i kësaj teoreme do të jepet gjatë studimit të temës "Funksionet e përgjithësuara". Në mënyrë të ngjashme, duke shprehur energjinë e ndërveprimit të dy sinjaleve të ndryshme f(t) dhe g(t) në paraqitjen e kohës dhe frekuencës, marrim: Le të zbulojmë kuptimin matematikor të teoremës së Parsevalit. Nga pikëpamja matematikore, integrali është prodhimi skalar i funksioneve f(t) dhe g(t), të shënuar si (f,g). Madhësia quhet normë e funksionit f(t) dhe shënohet si. Prandaj, nga teorema e Parsevalit rezulton se produkti skalar është i pandryshueshëm nën transformimin Furier, d.m.th. Fuqia e sinjalit të menjëhershëm e konsideruar si funksion i frekuencës, d.m.th. , ka një tjetër emër të pranuar përgjithësisht - spektrin e fuqisë. Spektri i fuqisë është mjeti kryesor matematikor i analizës spektrale, i cili ju lejon të përcaktoni përbërjen e frekuencës së një sinjali. Përveç spektrit të fuqisë së sinjalit, në praktikë përdoren spektri i amplitudës dhe i fazës, të përcaktuara përkatësisht si: Dendësia e spektrit të fuqisë së sinjalit f(t) është e barabartë me transformimin Furier të funksionit të autokorrelacionit Dendësia e sinjaleve ndër-spektrale f(t) dhe g(t) është e barabartë me transformimin Furier të funksionit të korrelacionit. Të dy pohimet mund të kombinohen në një: Dendësia spektrale është e barabartë me transformimin Furier të funksionit të korrelacionit. Prova do të jepet më vonë pas prezantimit të konceptit të një funksioni të përgjithësuar. Transformimi Furier është një transformim që lidh funksionet me një ndryshore të caktuar reale. Ky operacion kryhet sa herë që ne perceptojmë tinguj të ndryshëm. Veshi bën një "llogaritje" automatike, të cilën vetëdija jonë është në gjendje ta kryejë vetëm pasi të studiojë seksionin përkatës të matematikës më të lartë. Organi i dëgjimit të njeriut ndërton një transformim, si rezultat i të cilit tingulli (lëvizja osciluese e grimcave të kushtëzuara në një mjedis elastik që përhapen në formë valore në një mjedis të ngurtë, të lëngët ose të gaztë) paraqitet në formën e një spektri vëllimi vijues. nivelet e toneve me lartësi të ndryshme. Pas kësaj, truri e kthen këtë informacion në një tingull të njohur. Transformimi i valëve të zërit ose proceseve të tjera osciluese (nga rrezatimi i dritës dhe baticat e oqeanit në ciklet e aktivitetit yjor ose diellor) mund të kryhet gjithashtu duke përdorur metoda matematikore. Kështu, duke përdorur këto teknika, është e mundur të zgjerohen funksionet duke paraqitur proceset osciluese si një grup përbërësish sinusoidalë, domethënë kthesa të valëzuara që lëvizin nga minimumi në maksimum, pastaj kthehen në minimum, si një valë deti. Transformimi Furier është një transformim, funksioni i të cilit përshkruan fazën ose amplituda e secilit sinusoid që korrespondon me një frekuencë të caktuar. Faza përfaqëson pikën fillestare të kurbës, dhe amplituda përfaqëson lartësinë e saj. Transformimi Fourier (shembuj janë treguar në foto) është një mjet shumë i fuqishëm që përdoret në fusha të ndryshme të shkencës. Në disa raste, përdoret si një mjet për zgjidhjen e ekuacioneve mjaft komplekse që përshkruajnë procese dinamike që lindin nën ndikimin e dritës, energjisë termike ose elektrike. Në raste të tjera, ju lejon të përcaktoni përbërës të rregullt në sinjale vibruese komplekse, falë të cilave mund të interpretoni saktë vëzhgime të ndryshme eksperimentale në kimi, mjekësi dhe astronomi. Personi i parë që përdori këtë metodë ishte matematikani francez Jean Baptiste Fourier. Transformimi i quajtur më vonë pas tij u përdor fillimisht për të përshkruar mekanizmin e përçueshmërisë termike. Furieri e kaloi gjithë jetën e tij të rritur duke studiuar vetitë e nxehtësisë. Ai dha një kontribut të madh në teorinë matematikore të përcaktimit të rrënjëve të ekuacioneve algjebrike. Fourier ishte profesor i analizës në Shkollën Politeknike, sekretar i Institutit të Egjiptologjisë dhe shërbeu në shërbimin perandorak, në të cilin u dallua gjatë ndërtimit të rrugës për në Torino (nën drejtimin e tij, më shumë se 80 mijë kilometra katrorë kënetat malariale u drenazhuan). Megjithatë, i gjithë ky aktivitet i fuqishëm nuk e pengoi shkencëtarin të angazhohej në analizën matematikore. Në 1802, ai nxori një ekuacion që përshkruan përhapjen e nxehtësisë në trupat e ngurtë. Në 1807, shkencëtari zbuloi një metodë për zgjidhjen e këtij ekuacioni, i cili u quajt "Transformimi Furier". Shkencëtari përdori një metodë matematikore për të përshkruar mekanizmin e përçueshmërisë termike. Një shembull i përshtatshëm, në të cilin nuk ka vështirësi në llogaritje, është përhapja e energjisë termike përgjatë një unaze hekuri, një pjesë e zhytur në zjarr. Për të kryer eksperimente, Fourier ngrohi një pjesë të kësaj unaze të nxehtë dhe e varrosi në rërë të imët. Pas kësaj, ai bëri matje të temperaturës në pjesën e kundërt të saj. Fillimisht, shpërndarja e nxehtësisë është e parregullt: një pjesë e unazës është e ftohtë dhe tjetra është e nxehtë, mund të vërehet një gradient i mprehtë i temperaturës midis këtyre zonave. Megjithatë, ndërsa nxehtësia përhapet në të gjithë sipërfaqen e metalit, ai bëhet më uniform. Pra, së shpejti ky proces merr formën e një sinusoidi. Në fillim, grafiku rritet pa probleme dhe po aq pa probleme zvogëlohet, pikërisht sipas ligjeve të ndryshimit në funksionin kosinus ose sinus. Vala gradualisht zvogëlohet dhe si rezultat temperatura bëhet e njëjtë në të gjithë sipërfaqen e unazës. Autori i kësaj metode sugjeroi që shpërndarja fillestare e parregullt mund të zbërthehet plotësisht në një numër sinusoidesh elementare. Secila prej tyre do të ketë fazën e vet (pozicionin fillestar) dhe maksimumin e vet të temperaturës. Për më tepër, çdo komponent i tillë ndryshon nga minimumi në maksimum dhe kthehet në një rrotullim të plotë rreth unazës një numër të plotë herë. Komponenti që ka një periodë quhej harmonik themelor, dhe vlera me dy ose më shumë perioda quhej e dyta, e kështu me radhë. Kështu, funksioni matematik që përshkruan maksimumin e temperaturës, fazën ose pozicionin quhet transformimi Furier i funksionit të shpërndarjes. Shkencëtari reduktoi një komponent të vetëm, i cili është i vështirë për t'u përshkruar matematikisht, në një mjet të lehtë për t'u përdorur - seritë kosinus dhe sinus, të cilat së bashku japin shpërndarjen origjinale. Duke zbatuar këtë analizë në transformimin e përhapjes së nxehtësisë përmes një objekti të ngurtë që ka një formë unaze, matematikani arsyetoi se rritja e periudhave të komponentit sinusoidal do të çonte në zbutjen e tij të shpejtë. Kjo mund të shihet qartë në harmoninë themelore dhe të dytë. Në këtë të fundit, temperatura arrin vlerat maksimale dhe minimale dy herë në një kalim, dhe në të parën - vetëm një herë. Rezulton se distanca e mbuluar nga nxehtësia në harmonikën e dytë do të jetë sa gjysma e asaj themelore. Përveç kësaj, gradienti në të dytën do të jetë gjithashtu dy herë më i pjerrët se ai i të parës. Rrjedhimisht, meqenëse rrjedha më intensive e nxehtësisë përshkon një distancë që është dy herë më e shkurtër, kjo harmonikë do të prishet katër herë më shpejt se ajo themelore në funksion të kohës. Në ato të mëvonshme, ky proces do të shkojë edhe më shpejt. Matematikani besonte se kjo metodë ju lejon të llogaritni procesin e shpërndarjes fillestare të temperaturës me kalimin e kohës. Algoritmi i transformimit të Furierit sfidoi themelet teorike të matematikës në atë kohë. Në fillim të shekullit të nëntëmbëdhjetë, shkencëtarët më të shquar, duke përfshirë Lagrange, Laplace, Poisson, Lezhandre dhe Biot, nuk e pranuan deklaratën e tij se shpërndarja fillestare e temperaturës zbërthehet në komponentë në formën e një harmonike themelore dhe frekuencave më të larta. Sidoqoftë, Akademia e Shkencave nuk mund të injoronte rezultatet e marra nga matematikani dhe i dha atij një çmim për teorinë e ligjeve të përcjelljes së nxehtësisë, si dhe krahasimin e saj me eksperimentet fizike. Në qasjen Fourier, kundërshtimi kryesor u shkaktua nga fakti se funksioni i ndërprerë përfaqësohet nga shuma e disa funksioneve sinusoidale që janë të vazhdueshme. Në fund të fundit, ata përshkruajnë thyerjen e linjave të drejta dhe të lakuara. Bashkëkohësit e shkencëtarit nuk kishin hasur kurrë në një situatë të ngjashme kur funksionet e ndërprera përshkruheshin nga një kombinim i atyre të vazhdueshme, të tilla si kuadratike, lineare, sinusoidale ose eksponenciale. Nëse matematikani kishte të drejtë në deklaratat e tij, atëherë shuma e një serie të pafundme të një funksioni trigonometrik duhet të reduktohet në një funksion të saktë hapi. Në atë kohë, një deklaratë e tillë dukej absurde. Sidoqoftë, pavarësisht dyshimeve, disa studiues (për shembull, Claude Navier, Sophie Germain) zgjeruan fushën e kërkimit të tyre dhe e çuan atë përtej analizës së shpërndarjes së energjisë termike. Ndërkohë, matematikanët vazhduan të mundoheshin nga pyetja nëse shuma e disa funksioneve sinusoidale mund të reduktohet në një paraqitje të saktë të një të ndërprerë. Kjo teori është zhvilluar gjatë dy shekujve dhe sot më në fund është formuar. Me ndihmën e tij, funksionet hapësinore ose kohore ndahen në përbërës sinusoidalë, të cilët kanë frekuencën, fazën dhe amplituda e tyre. Ky transformim përftohet me dy metoda të ndryshme matematikore. E para prej tyre përdoret në rastin kur funksioni origjinal është i vazhdueshëm, dhe i dyti në rastin kur përfaqësohet nga shumë ndryshime individuale diskrete. Nëse shprehja merret nga vlerat që përcaktohen me intervale diskrete, atëherë ajo mund të ndahet në disa shprehje sinusoidale me frekuenca diskrete - nga më e ulta dhe më pas dy herë, tre herë, e kështu me radhë mbi atë kryesore. Kjo shumë zakonisht quhet seria Fourier. Nëse shprehjes fillestare i jepet një vlerë për çdo numër real, atëherë ai mund të zbërthehet në disa sinusoidë të të gjitha frekuencave të mundshme. Zakonisht quhet integrali Fourier, dhe zgjidhja nënkupton transformime integrale të funksionit. Pavarësisht se si arrihet konvertimi, për secilën frekuencë duhet të specifikohen dy numra: amplituda dhe frekuenca. Këto vlera shprehen si një teori e vetme e shprehjeve të variablave komplekse së bashku me transformimin Furier bëri të mundur kryerjen e llogaritjeve gjatë projektimit të qarqeve të ndryshme elektrike, analizimit të dridhjeve mekanike, studimit të mekanizmit të përhapjes së valëve, etj. Në ditët e sotme, studimi i këtij procesi kryesisht zbret në gjetjen e metodave efektive për kalimin nga një funksion në formën e tij të transformuar dhe mbrapa. Kjo zgjidhje quhet transformimi i drejtpërdrejtë dhe i anasjelltë i Furierit. Çfarë do të thotë? Për të kryer një transformim të drejtpërdrejtë të Furierit, mund të përdorni metoda matematikore, ose mund të përdorni ato analitike. Përkundër faktit se lindin disa vështirësi gjatë përdorimit të tyre në praktikë, shumica e integraleve tashmë janë gjetur dhe përfshirë në librat e referencës matematikore. Duke përdorur metoda numerike, mund të llogaritni shprehje, forma e të cilave bazohet në të dhëna eksperimentale, ose funksione, integralet e të cilave mungojnë në tabela dhe janë të vështira për t'u paraqitur në formë analitike. Para ardhjes së teknologjisë kompjuterike, llogaritjet e transformimeve të tilla ishin shumë të lodhshme, ato kërkonin ekzekutimin manual të një numri të madh operacionesh aritmetike, të cilat vareshin nga numri i pikave që përshkruanin funksionin e valës. Për të lehtësuar llogaritjet, sot ekzistojnë programe speciale që bëjnë të mundur zbatimin e atyre të rinjve Kështu, në vitin 1965, James Cooley dhe John Tukey krijuan softuer që u bë i njohur si "transformimi i shpejtë i Furierit". Kjo ju lejon të kurseni kohën e llogaritjes duke zvogëluar numrin e shumëzimeve kur analizoni një kurbë. Metoda e transformimit të shpejtë të Furierit bazohet në ndarjen e një kurbë në një numër të madh vlerash uniforme të mostrës. Prandaj, numri i shumëzimeve përgjysmohet me të njëjtin reduktim të numrit të pikëve. Ky proces përdoret në fusha të ndryshme të shkencës: fizikë, përpunimi i sinjalit, kombinatorika, teoria e probabilitetit, kriptografia, statistika, oqeanologjia, optika, akustika, gjeometria dhe të tjera. Mundësitë e pasura të zbatimit të tij bazohen në një sërë veçorish të dobishme, të cilat quhen "vetitë e transformimit Furier". Le t'i shikojmë ato. 1. Transformimi i funksionit është një operator linear dhe, me normalizimin e duhur, është unitar. Kjo veti njihet si teorema e Parsevalit, ose në rastin e përgjithshëm teorema e Plancherelit, ose dualizmi i Pontryaginit. 2. Transformimi është i kthyeshëm. Për më tepër, rezultati i kundërt ka pothuajse të njëjtën formë si me zgjidhjen e drejtpërdrejtë. 3. Shprehjet bazë sinusoidale janë funksionet e tyre të diferencuara. Kjo do të thotë se një paraqitje e tillë ndryshon me një faktor konstant në ato të zakonshme algjebrike. 4. Sipas teoremës së konvolucionit, ky proces e kthen një operacion kompleks në një shumëzim elementar. 5. Transformimi diskrete i Furierit mund të llogaritet shpejt në një kompjuter duke përdorur metodën "e shpejtë". 1. Më shpesh, ky term përdoret për të treguar një transformim të vazhdueshëm që siguron çdo shprehje të integrueshme në katror si një shumë e shprehjeve komplekse eksponenciale me frekuenca dhe amplituda këndore specifike. Ky lloj ka disa forma të ndryshme, të cilat mund të ndryshojnë në koeficientë konstante. Metoda e vazhdueshme përfshin një tabelë konvertimi që mund të gjendet në librat e referencës matematikore. Një rast i përgjithësuar është një transformim i pjesshëm, përmes të cilit një proces i caktuar mund të ngrihet në fuqinë reale të kërkuar. 2. Metoda e vazhdueshme është një përgjithësim i teknikës së mëparshme të serive Fourier, e përcaktuar për funksione ose shprehje të ndryshme periodike që ekzistojnë në një rajon të kufizuar dhe i paraqet ato si seri sinusoidesh. 3. Transformimi i Furierit diskret. Kjo metodë përdoret në teknologjinë kompjuterike për llogaritjet shkencore dhe përpunimin e sinjalit dixhital. Për të kryer këtë lloj llogaritjeje, kërkohet që të ketë funksione që përcaktojnë pika individuale, zona periodike ose të kufizuara në një grup diskrete në vend të integraleve të Furierit të vazhdueshëm. Transformimi i sinjalit në këtë rast paraqitet si një shumë e sinusoideve. Në të njëjtën kohë, përdorimi i metodës "të shpejtë" lejon përdorimin e zgjidhjeve diskrete për çdo problem praktik. 4. Transformimi i Furierit me dritare është një formë e përgjithësuar e metodës klasike. Ndryshe nga zgjidhja standarde, kur përdoret e cila merret në gamën e plotë të ekzistencës së një ndryshoreje të caktuar, këtu interes të veçantë është vetëm shpërndarja e frekuencës lokale, me kusht që të ruhet variabli origjinal (koha). 5. Transformimi Furier dydimensional. Kjo metodë përdoret për të punuar me grupe të dhënash dydimensionale. Në këtë rast, transformimi kryhet fillimisht në një drejtim, dhe më pas në tjetrin. Sot, metoda Fourier është vendosur fort në fusha të ndryshme të shkencës. Për shembull, në vitin 1962, forma e spirales së dyfishtë të ADN-së u zbulua duke përdorur analizën Fourier në kombinim me këtë të fundit duke u fokusuar në kristalet e fibrave të ADN-së, si rezultat i së cilës imazhi i marrë nga difraksioni i rrezatimit u regjistrua në film. Kjo fotografi jep informacion rreth vlerës së amplitudës kur përdoret transformimi Furier në një strukturë të caktuar kristalore. Të dhënat e fazës janë marrë duke krahasuar hartën e difraksionit të ADN-së me hartat e marra nga analizimi i strukturave kimike të ngjashme. Si rezultat, biologët rivendosën strukturën kristalore - funksionin origjinal. Transformimet e Furierit luajnë një rol të madh në studimin e hapësirës së jashtme, fizikën e gjysmëpërçuesve dhe plazmës, akustikën me mikrovalë, oqeanografinë, radarin, sizmologjinë dhe ekzaminimet mjekësore. Unë besoj se të gjithë janë përgjithësisht të vetëdijshëm për ekzistencën e një mjeti kaq të mrekullueshëm matematikor si transformimi i Furierit. Megjithatë, për disa arsye mësohet aq dobët në universitete sa që relativisht pak njerëz e kuptojnë se si funksionon ky transformim dhe si duhet përdorur në mënyrë korrekte. Ndërkohë, matematika e këtij transformimi është çuditërisht e bukur, e thjeshtë dhe elegante. I ftoj të gjithë të mësojnë pak më shumë rreth transformimit Fourier dhe temës përkatëse se si sinjalet analoge mund të shndërrohen në mënyrë efektive në sinjale dixhitale për përpunimin llogaritës. Pa përdorur formula komplekse dhe Matlab, do të përpiqem t'u përgjigjem pyetjeve të mëposhtme: Unë do të vazhdoj nga supozimi se lexuesi kupton se çfarë është një integral, një numër kompleks (si dhe moduli dhe argumenti i tij), konvolucioni i funksioneve, plus të paktën një ide "praktike" se çfarë funksioni delta e Diracit është. Nëse nuk e dini, nuk ka problem, lexoni lidhjet e mësipërme. Gjatë gjithë këtij teksti, me "produkt i funksioneve" do të nënkuptoj "shumëzimin në pikë" Ndoshta duhet të fillojmë me faktin se transformimi i zakonshëm i Furierit është një lloj gjëje që, siç mund ta merrni me mend nga emri, transformon një funksion në një tjetër, domethënë, lidh çdo funksion të një ndryshoreje reale x(t) me spektri ose imazhi Furier y (w): Nëse japim analogji, atëherë një shembull i një transformimi të ngjashëm në kuptim mund të jetë, për shembull, diferencimi, duke e kthyer një funksion në derivatin e tij. Kjo do të thotë, transformimi Furier është në thelb i njëjti veprim si marrja e derivatit, dhe shpesh shënohet në një mënyrë të ngjashme duke vizatuar një "kapakë" trekëndore mbi funksion. Vetëm në ndryshim nga diferencimi, i cili mund të përcaktohet edhe për numrat realë, transformimi Furier "punon" gjithmonë me numra komplekse më të përgjithshëm. Për shkak të kësaj, vazhdimisht lindin probleme me shfaqjen e rezultateve të këtij transformimi, pasi numrat kompleks përcaktohen jo nga një, por nga dy koordinata në një grafik që vepron me numra realë. Mënyra më e përshtatshme, si rregull, është të paraqisni numrat kompleks në formën e një moduli dhe një argumenti dhe t'i vizatoni ato veçmas si dy grafikë të veçantë: Grafiku i argumentit të vlerës komplekse shpesh quhet në këtë rast "spektri i fazës", dhe grafiku i modulit shpesh quhet "spektri i amplitudës". Spektri i amplitudës është zakonisht me interes shumë më të madh, dhe për këtë arsye pjesa "fazore" e spektrit shpesh anashkalohet. Në këtë artikull do të përqendrohemi edhe në gjërat e "amplitudës", por nuk duhet të harrojmë ekzistencën e pjesës së fazës që mungon në grafik. Përveç kësaj, në vend të modulit të zakonshëm të një vlere komplekse, logaritmi i tij dhjetor i shumëzuar me 10 vizatohet shpesh. Rezultati është një grafik logaritmik, vlerat e të cilit shfaqen në decibel (dB). Ju lutemi vini re se numrat jo shumë negativë në grafikun logaritmik (-20 dB ose më pak) korrespondojnë me pothuajse zero numra në grafikun "normal". Prandaj, "bishtet" e gjata dhe të gjera të spektrave të ndryshëm në grafikë të tillë, kur shfaqen në koordinata "të zakonshme", si rregull, praktikisht zhduken. Komoditeti i një përfaqësimi kaq të çuditshëm në shikim të parë lind nga fakti se imazhet Furier të funksioneve të ndryshme shpesh duhet të shumëfishohen mes tyre. Me një shumëzim të tillë pikësor të imazheve Furier me vlerë komplekse, spektrat e tyre fazor shtohen dhe spektri i amplitudës së tyre shumëzohet. E para është e lehtë për t'u bërë, ndërsa e dyta është relativisht e vështirë. Megjithatë, logaritmet e amplitudës mblidhen kur shumëzohen amplituda, kështu që grafikët e amplitudës logaritmike mund të shtohen, si grafikët e fazës, thjesht në drejtim të pikës. Për më tepër, në problemet praktike shpesh është më i përshtatshëm të operohet jo me "amplitudën" e sinjalit, por me "fuqinë" e tij (katrori i amplitudës). Në një shkallë logaritmike, të dy grafikët (amplituda dhe fuqia) duken identike dhe ndryshojnë vetëm në koeficient - të gjitha vlerat në grafikun e fuqisë janë saktësisht dy herë më të mëdha se në shkallën e amplitudës. Prandaj, për të vizatuar shpërndarjen e energjisë sipas frekuencës (në decibel), nuk mund të vendosni asgjë në katror, por të llogaritni logaritmin dhjetor dhe ta shumëzoni atë me 20. A je i mërzitur? Vetëm prisni edhe pak, së shpejti do të mbarojmë me pjesën e mërzitshme të artikullit që shpjegon se si të interpretoni grafikët :). Por para kësaj, ka një gjë jashtëzakonisht të rëndësishme për t'u kuptuar: megjithëse të gjithë grafikët e spektrit të mësipërm janë tërhequr për disa vargje të kufizuara vlerash (në veçanti numrat pozitivë), të gjithë këta grafikë në të vërtetë vazhdojnë në pafundësi plus dhe minus. Grafikët thjesht përshkruajnë një pjesë "më kuptimplote" të grafikut, e cila zakonisht pasqyrohet për vlerat negative të parametrit dhe shpesh përsëritet periodikisht me një hap të caktuar kur shihet në një shkallë më të madhe. Pasi të kemi vendosur se çfarë vizatohet në grafikë, le të kthehemi te transformimi i Furierit dhe vetitë e tij. Ka disa mënyra të ndryshme për të përcaktuar këtë transformim, që ndryshojnë në detaje të vogla (normalizime të ndryshme). Për shembull, në universitetet tona, për disa arsye, ata shpesh përdorin normalizimin e transformimit Fourier, i cili përcakton spektrin në terma të frekuencës këndore (radianët për sekondë). Unë do të përdor një formulim më të përshtatshëm perëndimor që përcakton spektrin në terma të frekuencës së zakonshme (herc). Transformimet e drejtpërdrejta dhe të anasjellta të Furierit në këtë rast përcaktohen nga formulat në të majtë, dhe disa veti të këtij transformimi që do të na duhen përcaktohen nga një listë me shtatë pika në të djathtë: E para nga këto veti është lineariteti. Nëse marrim një kombinim linear funksionesh, atëherë transformimi Furier i këtij kombinimi do të jetë i njëjti kombinim linear i imazheve Furier të këtyre funksioneve. Kjo veti lejon që funksionet komplekse dhe imazhet e tyre Furier të reduktohen në më të thjeshta. Për shembull, transformimi Furier i një funksioni sinusoidal me frekuencë f dhe amplitudë a është një kombinim i dy funksioneve delta të vendosura në pikat f dhe -f dhe me koeficientin a/2: Nëse marrim një funksion të përbërë nga shuma e një grupi sinusoidësh me frekuenca të ndryshme, atëherë sipas vetive të linearitetit, transformimi Furier i këtij funksioni do të përbëhet nga një bashkësi përkatëse funksionesh delta. Kjo na lejon të japim një interpretim naiv, por vizual të spektrit sipas parimit "nëse në spektrin e një funksioni frekuenca f korrespondon me amplituda a, atëherë funksioni origjinal mund të përfaqësohet si një shumë e sinusoideve, njëri prej të cilëve do të jetë një sinusoid me frekuencë f dhe amplitudë 2a. Në mënyrë të rreptë, ky interpretim është i pasaktë, pasi funksioni delta dhe pika në grafik janë gjëra krejtësisht të ndryshme, por siç do të shohim më vonë, për transformimet diskrete të Furierit nuk do të jetë aq larg nga e vërteta. Vetia e dytë e transformimit Furier është pavarësia e spektrit të amplitudës nga zhvendosja kohore e sinjalit. Nëse lëvizim një funksion majtas ose djathtas përgjatë boshtit x, atëherë vetëm spektri i tij fazor do të ndryshojë. Vetia e tretë është se shtrirja (ngjeshja) e funksionit origjinal përgjatë boshtit të kohës (x) ngjesh në mënyrë proporcionale (zgjat) imazhin e tij Furier përgjatë shkallës së frekuencës (w). Në veçanti, spektri i një sinjali me kohëzgjatje të kufizuar është gjithmonë pafundësisht i gjerë dhe, anasjelltas, spektri i gjerësisë së fundme korrespondon gjithmonë me një sinjal me kohëzgjatje të pakufizuar. Karakteristikat e katërt dhe të pestë janë ndoshta më të dobishmet nga të gjitha. Ato bëjnë të mundur reduktimin e konvolucionit të funksioneve në një shumëzim pikësor të imazheve të tyre Furier, dhe anasjelltas - shumëzimin pikësor të funksioneve në konvolucionin e imazheve të tyre Furier. Pak më tej do të tregoj se sa i përshtatshëm është kjo. Vetia e gjashtë flet për simetrinë e imazheve të Furierit. Në veçanti, nga kjo veti rrjedh se në transformimin Furier të një funksioni me vlerë reale (d.m.th., çdo sinjal "real"), spektri i amplitudës është gjithmonë një funksion i barabartë, dhe spektri i fazës (nëse sillet në intervalin -pi ...pi) është një tek . Është për këtë arsye që pjesa negative e spektrit pothuajse kurrë nuk vizatohet në grafikët e spektrit - për sinjalet me vlerë reale nuk jep ndonjë informacion të ri (por, e përsëris, nuk është as zero). Së fundi, vetia e fundit, e shtatë, thotë se transformimi Furier ruan "energjinë" e sinjalit. Është kuptimplotë vetëm për sinjalet me kohëzgjatje të kufizuar, energjia e të cilave është e fundme, dhe sugjeron që spektri i sinjaleve të tilla në pafundësi i afrohet shpejt zeros. Është pikërisht për shkak të kësaj vetie që grafikët e spektrit zakonisht përshkruajnë vetëm pjesën "kryesore" të sinjalit, e cila mbart pjesën e luanit të energjisë - pjesa tjetër e grafikut thjesht tenton në zero (por, përsëri, nuk është zero). Të armatosur me këto 7 veti, le të shohim matematikën e "dixhitalizimit" të sinjalit, e cila ju lejon të shndërroni një sinjal të vazhdueshëm në një sekuencë numrash. Për ta bërë këtë, ne duhet të marrim një funksion të njohur si "krehja Dirac": Një krehër Dirac është thjesht një sekuencë periodike funksionesh delta me koeficient uniteti, duke filluar nga zero dhe duke vazhduar me hapin T. Për dixhitalizimin e sinjaleve, T zgjidhet një numër sa më i vogël, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации: Në vend të një funksioni të vazhdueshëm, pas shumëzimit të tillë, fitohet një sekuencë pulsesh delta me një lartësi të caktuar. Për më tepër, sipas vetive 5 të transformimit Furier, spektri i sinjalit diskret që rezulton është një konvolucion i spektrit origjinal me krehën përkatëse të Dirakut. Është e lehtë të kuptohet se, bazuar në vetitë e konvolucionit, spektri i sinjalit origjinal, si të thuash, "kopjohet" një numër i pafundëm herë përgjatë boshtit të frekuencës me një hap 1/T, dhe më pas përmblidhet. Vini re se nëse spektri origjinal kishte një gjerësi të kufizuar dhe ne kemi përdorur një frekuencë mjaft të lartë të marrjes së mostrave, atëherë kopjet e spektrit origjinal nuk do të mbivendosen dhe për këtë arsye nuk do të përmblidhen me njëra-tjetrën. Shtë e lehtë të kuptohet se nga një spektër i tillë "i shembur" do të jetë e lehtë të rivendosni origjinalin - do të mjaftojë thjesht të merrni përbërësin e spektrit në rajonin zero, duke "prerë" kopjet shtesë që shkojnë në pafundësi. Mënyra më e thjeshtë për ta bërë këtë është të shumëzoni spektrin me një funksion drejtkëndor të barabartë me T në intervalin -1/2T...1/2T dhe zero jashtë këtij diapazoni. Një transformim i tillë i Furierit korrespondon me funksionin sinc(Tx) dhe sipas vetive 4, një shumëzim i tillë është ekuivalent me konvolucionin e sekuencës origjinale të funksioneve delta me funksionin sinc(Tx) Kjo do të thotë, duke përdorur transformimin Fourier, ne kemi një mënyrë për të rindërtuar lehtësisht sinjalin origjinal nga ai i kampionuar me kohë, duke punuar me kusht që të përdorim një frekuencë kampionimi që është të paktën dy herë (për shkak të pranisë së frekuencave negative në spektër) më e lartë se frekuenca maksimale e pranishme në sinjalin origjinal. Ky rezultat është i njohur gjerësisht dhe quhet "teorema Kotelnikov/Shannon-Nyquist". Megjithatë, siç është e lehtë të vërehet tani (duke kuptuar provën), ky rezultat, në kundërshtim me keqkuptimin e përhapur, përcakton mjaftueshëm, por jo e nevojshme kusht për rivendosjen e sinjalit origjinal. Gjithçka që na duhet është të sigurohemi që pjesa e spektrit që na intereson pas marrjes së mostrave të sinjalit të mos mbivendoset me njëra-tjetrën, dhe nëse sinjali është mjaft i ngushtë (ka një "gjerësi" të vogël të pjesës jozero të spektrit), atëherë ky rezultat shpesh mund të arrihet në një frekuencë kampionimi shumë më të ulët se dyfishi i frekuencës maksimale të sinjalit. Kjo teknikë quhet "nënmostrim" (nën-kampionimi, kampionimi i brezit) dhe përdoret mjaft gjerësisht në përpunimin e të gjitha llojeve të sinjaleve radio. Për shembull, nëse marrim një radio FM që funksionon në brezin e frekuencave nga 88 në 108 MHz, atëherë për ta dixhitalizuar atë mund të përdorim një ADC me një frekuencë prej vetëm 43,5 MHz në vend të 216 MHz të supozuar nga teorema e Kotelnikov. Sidoqoftë, në këtë rast, do t'ju duhet një ADC me cilësi të lartë dhe një filtër i mirë. Më lejoni të vërej se "dyfishimi" i frekuencave të larta me frekuencat e rendit më të ulët (aliasing) është një veti e menjëhershme e kampionimit të sinjalit që "prish" në mënyrë të pakthyeshme rezultatin. Prandaj, nëse sinjali, në parim, mund të përmbajë frekuenca të rendit të lartë (domethënë pothuajse gjithmonë), një filtër analog vendoset përpara ADC, duke "prerë" gjithçka të panevojshme drejtpërdrejt në sinjalin origjinal (që pas marrjes së mostrës së tij do të jetë shumë vonë për ta bërë këtë). Karakteristikat e këtyre filtrave, si pajisje analoge, nuk janë ideale, kështu që ende ndodh një "dëmtim" i sinjalit, dhe në praktikë rrjedh se frekuencat më të larta në spektër janë, si rregull, jo të besueshme. Për të reduktuar këtë problem, sinjali shpesh ekzaminohet, duke vendosur filtrin analog të hyrjes në një gjerësi bande më të ulët dhe duke përdorur vetëm pjesën e poshtme të diapazonit të frekuencës teorikisht të disponueshme të ADC. Një tjetër keqkuptim i zakonshëm, nga rruga, është kur sinjali në daljen DAC tërhiqet në "hapa". "Hapat" korrespondojnë me konvolucionin e një sekuence sinjali të mostrës me një funksion drejtkëndor të gjerësisë T dhe lartësisë 1: Spektri i sinjalit me këtë transformim shumëzohet me imazhin Furier të këtij funksioni drejtkëndor, dhe për një funksion të ngjashëm drejtkëndor ai përsëri është sinc(w), "shtrihet" sa më shumë, aq më e vogël është gjerësia e drejtkëndëshit përkatës. Spektri i sinjalit të kampionuar me një "DAC" të tillë shumëzohet pikë për pikë me këtë spektër. Në këtë rast, frekuencat e panevojshme të larta me "kopje shtesë" të spektrit nuk janë prerë plotësisht, por pjesa e sipërme e pjesës "të dobishme" të spektrit, përkundrazi, zbutet. Në praktikë, natyrisht, askush nuk e bën këtë. Ka shumë qasje të ndryshme për ndërtimin e një DAC, por edhe në DAC-të më të afërta të tipit të peshimit, impulset drejtkëndëshe në DAC, përkundrazi, zgjidhen të jenë sa më të shkurtër që të jetë e mundur (duke përafruar sekuencën reale të funksioneve delta) në mënyrë për të shmangur shtypjen e tepërt të pjesës së dobishme të spektrit. Frekuencat "shtesë" në sinjalin broadband që rezulton anulohen pothuajse gjithmonë duke kaluar sinjalin përmes një filtri analog me kalim të ulët, në mënyrë që të mos ketë "hapa dixhitalë" as "brenda" konvertuesit ose, veçanërisht, në daljen e tij. Megjithatë, le të kthehemi te transformimi Fourier. Transformimi i Furierit i përshkruar më sipër i aplikuar në një sekuencë sinjali të para-kampionuar quhet transformim Furier në kohë diskrete (DTFT). Spektri i marrë nga një transformim i tillë është gjithmonë 1/T-periodik, prandaj spektri DTFT përcaktohet plotësisht nga vlerat e tij në segmentin dt = = (1/2p)s(t)H(w") exp(-j(w-w")t) dw"dt = (1/2p)H(w") dw"s(t) exp(-j(w-w")t) dt = = (1/2p)H(w") S(w-w") dw" = (1/2p) H(w) * S(w) (4.29) Kështu, produkti i funksioneve në formë koordinative shfaqet në paraqitjen e frekuencës me anë të konvolucionit të imazheve Furier të këtyre funksioneve, me një faktor normalizues (1/2p), duke marrë parasysh asimetrinë e transformimeve të drejtpërdrejta dhe të anasjellta të Furierit të funksioneve s(t) dhe h(t) kur përdoren frekuenca këndore .
9. Derivati i konvolucionit dy funksione s"(t) = d/dt. Duke përdorur shprehjet (4.26) dhe (4.28), marrim: s"(t) = jw = (jw X(w)) Y(w) = X(w) (jw Y(w). s"(t) = x"(t) * y(t) = x(t) * y"(t). Kjo shprehje ju lejon të llogaritni derivatin e një sinjali duke e zbutur njëkohësisht atë me një funksion peshimi që është derivati i një funksioni zbutës (për shembull, një Gaussian).
10. Spektrat e fuqisë.
Funksioni kohor i fuqisë së sinjalit në formë të përgjithshme përcaktohet nga shprehja: w(t) = s(t) s * (t) = |s(t)| 2. Dendësia e fuqisë spektrale, në përputhje me rrethanat, është e barabartë me transformimin Furier të produktit s(t) s * (t), i cili do të shfaqet në paraqitjen spektrale me konvolucionin e imazheve Furier të këtyre funksioneve: W(f) = S(f) * S * (f) =S(f) S * (f-v) dv. (4.30) Por për të gjitha vlerat aktuale të frekuencës f, integrali në anën e djathtë të kësaj shprehjeje është i barabartë me produktin S(f)·S * (f), pasi për të gjitha vlerat e zhvendosjes v ≠ 0, për shkak ndaj ortogonalitetit të harmonikave S(f) dhe S * (f-v), vlerat prodhimet e tyre janë të barabarta me zero. Nga këtu: W(f) = S(f) * S * (f) = |S(f)| 2. (4.31) Spektri i fuqisë është një funksion real, madje jo negativ, i cili shpesh quhet spektri i energjisë. Spektri i fuqisë, si katrori i modulit të spektrit të sinjalit, nuk përmban informacione fazore në lidhje me komponentët e frekuencës, dhe, për rrjedhojë, rindërtimi i sinjalit nga spektri i fuqisë është i pamundur. Kjo gjithashtu do të thotë se sinjalet me karakteristika të ndryshme fazore mund të kenë të njëjtat spektra të fuqisë. Në veçanti, zhvendosja e sinjalit nuk ndikon në spektrin e tij të fuqisë. Për funksionet e fuqisë së ndërveprimit të sinjalit në domenin e frekuencës, kemi përkatësisht spektrat e frekuencës së fuqisë së ndërveprimit të sinjalit: W xy (f) = X(f) Y*(f), W yx (f) = Y(f) X*(f), W xy (f) = W* yx (f). Funksionet e fuqisë së ndërveprimit të sinjalit janë komplekse, edhe nëse të dy funksionet x(t) dhe y(t) janë realë, ku Re është një funksion çift dhe Im është një tek. Prandaj, energjia totale e ndërveprimit të sinjalit kur integrohen funksionet e fuqisë së ndërveprimit përcaktohet vetëm nga pjesa reale e spektrit: X(f) Y*(f) df. Nga barazia e Parseval-it rezulton se produkti skalar i sinjaleve dhe normës në lidhje me transformimin Furier është i pandryshueshëm: áx(t),y(t)ñ = áX(f),Y(f)ñ, ||x(t)|| 2 = ||X(f)|| 2. Nuk duhet të harrojmë se kur përfaqësojmë spektrat në frekuenca rrethore (në w), ana e djathtë e barazive të dhëna duhet të përmbajë faktorin 1/2p.
Transformimi matematikor i Furierit
Referencë historike
Analiza e përçueshmërisë termike
Thelbi i analizës
Sfidë për bashkëkohësit
Histori 200 vjeçare
Transformimi i Furierit sot
Zbatimi i transformimit Furier
Varietetet e transformimit të Furierit
konkluzioni
