Vetia e stabilitetit statistikor të frekuencës relative të një ngjarjeje. Frekuenca relative

thirrur frekuenca relative ( ose frekuenca) ngjarjet A në serinë e eksperimenteve në shqyrtim.

Frekuenca relative e ngjarjes ka si më poshtë Vetitë:

1. Frekuenca e çdo ngjarjeje qëndron ndërmjet zeros dhe një, d.m.th.

2. Frekuenca e një ngjarje të pamundur është zero, d.m.th.

3. Frekuenca e një ngjarjeje të besueshme është 1, d.m.th.

4. Frekuenca e shumës së dy ngjarjeve të papajtueshme është e barabartë me shumën e frekuencës
këto ngjarje, d.m.th. nese atehere

Frekuenca ka një veçori tjetër themelore të quajtur veti e stabilitetit statistikor: me rritjen e numrit të eksperimenteve (d.m.th. n) merr vlera afër një numri konstant (thonë: frekuenca stabilizohet, duke iu afruar një numri të caktuar, frekuenca luhatet rreth një numri të caktuar, ose vlerat e saj grupohen rreth një numri të caktuar).

Kështu, për shembull, në eksperimentin (K. Pearson) me hedhjen e një monedhe - frekuenca relative e paraqitjes së stemës me 12.000 dhe 24.000 hedhje rezultoi e barabartë me 0.5015 dhe 0.5005, përkatësisht, d.m.th. frekuenca i afrohet numrit. Frekuenca e të pasurit një djalë, siç tregojnë vëzhgimet, luhatet rreth numrit 0,515.

Vini re se teoria e probabilitetit studion vetëm ato dukuri të rastësishme masive me një rezultat të pasigurt për të cilat supozohet qëndrueshmëria e frekuencës relative.

Përkufizimi statistikor i probabilitetit

Për të studiuar matematikisht një ngjarje të rastësishme, është e nevojshme të futet një vlerësim sasior i ngjarjes. Është e qartë se disa ngjarje kanë më shumë gjasa (“më shumë gjasa”) të ndodhin se të tjerat. Ky vlerësim është probabiliteti i një ngjarjeje, ato. një numër që shpreh shkallën e mundësisë së shfaqjes së tij në përvojën në shqyrtim. Ekzistojnë disa përkufizime matematikore të probabilitetit, të gjitha ato plotësojnë dhe përgjithësojnë njëra-tjetrën.

Konsideroni një eksperiment që mund të përsëritet çdo numër herë (ata thonë: "kryhen teste të përsëritura"), në të cilin vërehet ndonjë ngjarje A.

Probabiliteti statistikor ngjarjet Aështë numri rreth të cilit luhatet frekuenca relative e ngjarjes A për një numër mjaft të madh provash (eksperimentesh).

Probabiliteti i ngjarjes A treguar nga simboli R(A). Sipas këtij përkufizimi:

Arsyetimi matematik për afërsinë e frekuencës relative dhe probabilitetit R(A) të ndonjë ngjarjeje A shërben si teorema e J. Bernoulli.

Probabilitetet R(A) vetitë e 1-4 frekuencave relative atribuohen:

1. Probabiliteti statistikor i ndonjë ngjarjeje qëndron ndërmjet zeros dhe një, d.m.th.

2. Probabiliteti statistikor i një ngjarjeje të pamundur është zero, d.m.th.

3. Probabiliteti statistikor i një ngjarjeje të besueshme është i barabartë me 1, d.m.th.

4. Probabiliteti statistikor i shumës së dy ngjarjeve të papajtueshme është i barabartë me shumën e shpeshtësisë së këtyre ngjarjeve, d.m.th. nese atehere

Metoda statistikore e përcaktimit të probabilitetit, bazuar në përvojën reale, zbulon plotësisht përmbajtjen e këtij koncepti. Disavantazhi i përkufizimit statistikor është paqartësia e probabilitetit statistikor; Pra, në shembullin e hedhjes së një monedhe, mund të merrni si probabilitet jo vetëm numrin 0.5, por edhe 0.49 ose 0.51, etj. Për të përcaktuar me besueshmëri probabilitetin, duhet të bëni një numër të madh testesh, gjë që nuk është gjithmonë e lehtë ose e lirë.

Përkufizimi klasik i probabilitetit

Ekziston një mënyrë e thjeshtë për të përcaktuar probabilitetin e një ngjarjeje, bazuar në barazinë e cilësdo prej një numri të kufizuar rezultatesh të eksperimentit. Lëreni eksperimentin të kryhet me n rezultatet që mund të përfaqësohen si grup i plotë i të papajtueshmeve po aq të mundshme ngjarjet. Rezultate të tilla quhen raste, shanse, ngjarje elementare, përvojë - klasike. Ata thonë për një përvojë të tillë që zbret në skema e rastit ose skema e urnës(pasi problemi probabilistik për një eksperiment të tillë mund të zëvendësohet nga një problem ekuivalent me urna që përmbajnë topa me ngjyra të ndryshme).

Rasti w, i cili çon në ndodhjen e ngjarjes A, thirri i favorshëm(ose të favorshme) për të, d.m.th. çështja w përfshin ngjarjen A: .

Probabiliteti i ngjarjes A quhet raporti i numrave m rastet e favorshme për këtë ngjarje, në numrin total n rastet, d.m.th.

Së bashku me emërtimin R(A) për probabilitetin e një ngjarjeje A shënimi i përdorur është R, d.m.th. p=P(A).

Më poshtë vijon nga përkufizimi klasik i probabilitetit: Vetitë:

1. Probabiliteti i ndonjë ngjarjeje qëndron ndërmjet zeros dhe një, d.m.th.

2. Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero, d.m.th.

3. Probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme është 1, d.m.th.

4. Probabiliteti i shumës së ngjarjeve të papajtueshme është i barabartë me shumën e shpeshtësisë së këtyre ngjarjeve, d.m.th. nese atehere

Shembulli 1.3. Një urnë përmban 12 topa të bardhë dhe 8 të zinj. Sa është probabiliteti që një top i tërhequr rastësisht të jetë i bardhë?

Zgjidhje:

Le A– një ngjarje që konsiston në faktin se është tërhequr një top i bardhë. Është e qartë se është numri i të gjitha rasteve po aq të mundshme. Numri i rasteve që favorizojnë ngjarjen A, është e barabartë me 12, d.m.th. . Rrjedhimisht, sipas formulës (1.3) kemi: , d.m.th. .

Përkufizimi gjeometrik i probabiliteteve

Përkufizimi gjeometrik i probabilitetit përdoret në rastin kur rezultatet e eksperimentit janë po aq të mundshme, dhe PES është një grup i pafundëm i panumërueshëm. Le të shqyrtojmë në rrafsh një rajon Ω me sipërfaqe , dhe brenda rajonit Ω , Rajon D me sipërfaqe S D(shih Fig. 6).

Një pikë zgjidhet rastësisht në rajonin Ω X. Kjo zgjedhje mund të interpretohet si duke hedhur një pikë X në rajonΩ. Në këtë rast, hyrja e një pike në rajonin Ω është një ngjarje e besueshme, në D- e rastësishme. Supozohet se të gjitha pikat e rajonit Ω janë të barabarta (të gjitha ngjarjet elementare janë njësoj të mundshme), d.m.th. që një pikë e hedhur mund të godasë çdo pikë në rajonin Ω dhe probabilitetin për të hyrë në rajon Dështë proporcionale me sipërfaqen e kësaj zone dhe nuk varet nga vendndodhja dhe forma e saj. Lëreni ngjarjen, d.m.th. pika e hedhur do të bjerë në zonë D.

Përkufizimi klasik i probabilitetit

Probabiliteti - një nga konceptet bazë të teorisë së probabilitetit. Ekzistojnë disa përkufizime të këtij koncepti. Probabiliteti është një numër që karakterizon shkallën e mundësisë së ndodhjes së një ngjarjeje të caktuar.

Secili prej rezultateve të mundshme të testit quhet rezultati elementar (ngjarja elementare). Emërtimet: ...,

Ne do t'i quajmë ato rezultate elementare në të cilat ndodh ngjarja me interes për ne i favorshëm.

Shembull: Ka 10 topa identikë në një urnë, nga të cilat 4 janë të zeza dhe 6 janë të bardha. Ngjarja - një top i bardhë nxirret nga urna. Numri i rezultateve të favorshme në të cilat do të nxirren topa të bardhë nga urna është 4.

Raporti i numrit të rezultateve elementare të favorshme për një ngjarje me numrin total të tyre quhet probabiliteti i ngjarjes; emërtimi Në shembullin tonë

Probabiliteti i ngjarjes quaj raportin e numrit të rezultateve të favorshme për këtë ngjarje me numrin total të të gjitha rezultateve elementare të papajtueshme po aq të mundshme që formojnë grupin e plotë,

ku është numri i rezultateve elementare të favorshme për ngjarjen; numri i të gjitha rezultateve të mundshme të testit elementar.

Vetitë e probabilitetit:

1. Probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme është i barabartë me një, d.m.th.

2. Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero, d.m.th. e.

3. Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme është një numër pozitiv ndërmjet zeros dhe një, d.m.th. e.

ose

Duke marrë parasysh vetitë 1 dhe 2, probabiliteti i ndonjë ngjarjeje plotëson pabarazinë

4 . Formulat themelore të kombinatorikës

Kombinatorika studion numrin e kombinimeve, në varësi të kushteve të caktuara, që mund të bëhen nga një grup i caktuar i caktuar elementësh të natyrës arbitrare. Kur llogariten drejtpërdrejt probabilitetet, shpesh përdoren formulat e kombinatorikës. Ne paraqesim më të zakonshmet prej tyre.

Permutacionet janë kombinime që përbëhen nga të njëjtat elementë të ndryshëm dhe që ndryshojnë vetëm në rendin e renditjes së tyre.

Numri i të gjitha permutacioneve të mundshme

Ku Është pranuar që

Shembull. Numri i numrave treshifrorë, kur çdo shifër shfaqet në imazhin e një numri treshifror vetëm një herë, është i barabartë me

Vendosjet janë kombinime të përbëra nga elementë të ndryshëm nga elementë që ndryshojnë ose në përbërjen e elementeve ose në renditjen e tyre. Numri i të gjitha vendosjeve të mundshme

Shembull. Numri i sinjaleve nga 6 flamuj me ngjyra të ndryshme, të marra në grupe prej 2:

Kombinimet janë kombinime të përbëra nga elementë të ndryshëm elementësh që ndryshojnë në të paktën një element. Numri i kombinimeve

Shembull. Numri i mënyrave për të zgjedhur dy pjesë nga një kuti që përmban 10 pjesë:

Numrat e vendosjeve, permutacioneve dhe kombinimeve lidhen me barazi

Kur zgjidhni problemet e kombinatorikës, përdoren rregullat e mëposhtme:

Rregulli i shumës. Nëse një objekt mund të zgjidhet nga një grup objektesh në mënyra, dhe një objekt tjetër mund të zgjidhet në mënyra, atëherë ose mund të zgjidhet ose mund të zgjidhet në mënyra.

Rregulli i produktit. Nëse një objekt mund të zgjidhet nga një koleksion objektesh në mënyra, dhe pas çdo përzgjedhjeje të tillë objekti mund të zgjidhet në mënyra, atëherë një palë objektesh në një renditje të caktuar mund të zgjidhen në mënyra.

Frekuenca relative Gjithashtu është koncepti bazë i teorisë së probabilitetit.

Frekuenca relative ngjarjet është raporti i numrit të sprovave në të cilat ndodhi ngjarja me numrin total të provave të kryera në të vërtetë dhe përcaktohet nga formula

,

ku është numri i dukurive të ngjarjes në prova, numri i përgjithshëm i provave.

Duke krahasuar përkufizimet e probabilitetit dhe frekuencës relative, arrijmë në përfundimin se përcaktimi i probabilitetit nuk kërkon testim, dhe përcaktimi i frekuencës relative kërkon testim aktual.

Vëzhgimet afatgjata tregojnë se kur eksperimentet kryhen në të njëjtat kushte, frekuenca relative ka vetinë e qëndrueshmërisë. Kjo veti konsiston në faktin se në seri të ndryshme eksperimentesh frekuenca relative e provave nga seria në seri ndryshon pak, duke u luhatur rreth një numri të caktuar konstant. Ky është një numër konstant dhe është probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes.

Përkufizimi klasik i probabilitetit ka disa disavantazhe:

1) numri i rezultateve të testit elementar është i kufizuar në praktikë, ky numër mund të jetë i pafund;

2) shumë shpesh rezultati i testit nuk mund të përfaqësohet si një grup ngjarjesh elementare;

Për këto arsye, së bashku me përkufizimin klasik të probabilitetit, përdoret një përkufizim statistikor: V cilësisë probabiliteti statistikor ngjarjet marrin frekuencë relative.

Dihet që një ngjarje e rastësishme për shkak të një testi mund ose nuk mund të ndodhë. Por në të njëjtën kohë, ka mundësi të ndryshme për ngjarje të ndryshme në të njëjtin gjyq. Le të shohim një shembull. Nëse ka njëqind topa identikë të përzier me kujdes në një urnë, dhe prej tyre vetëm dhjetë janë të zinj, dhe pjesa tjetër janë të bardha, atëherë kur një top tërhiqet rastësisht, ka një shans më të madh që të shfaqet një i bardhë. Mundësia e ndodhjes së një ose një ngjarjeje tjetër në një test të caktuar ka një masë numerike, e cila quhet probabiliteti i kësaj ngjarjeje, dhe sipas teorisë së probabilitetit, mund të llogaritet se sa është shansi për të parë një top të zi ose të bardhë.

Përkufizimi klasik i probabilitetit

Le të supozojmë se gjatë një testi të caktuar, ndodhja e $n$ ngjarje elementare po aq të mundshme është e mundur. Nga kjo sasi, numri $m$ është numri i atyre ngjarjeve elementare që favorizojnë shfaqjen e një ngjarjeje të caktuar $A$. Atëherë probabiliteti i ngjarjes $A$ është relacioni $P\left(A\right)=\frac(m)(n) $.

Shembulli nr. 1.

Në urnë ka 3 topa të bardhë dhe 5 të zinj, të cilët ndryshojnë vetëm në ngjyrë. Testi konsiston në tërheqjen e një topi në mënyrë të rastësishme nga një urnë. Ne e konsiderojmë ngjarjen $A$ si "shfaqja e një topi të bardhë". Llogaritni probabilitetin e ngjarjes $A$.

Gjatë provës, ndonjë nga tetë topat mund të hiqet. Të gjitha këto ngjarje janë elementare sepse janë të papajtueshme dhe përbëjnë një grup të plotë. Është gjithashtu e qartë se të gjitha këto ngjarje janë po aq të mundshme. Pra, për të llogaritur probabilitetin $P\left(A\djathtas)$ mund të aplikojmë përkufizimin e tij klasik. Si zgjidhje kemi: $n=8$, $m=3$, dhe probabiliteti i nxjerrjes së të bardhës nga topat do të jetë i barabartë me $P\left(A\right)=\frac(3)(8 ) $.

Karakteristikat e mëposhtme rrjedhin nga përkufizimi klasik i probabilitetit:

• probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme $V$ është gjithmonë e barabartë me një, domethënë $P\left(V\right)=1$; kjo shpjegohet me faktin se një ngjarje e besueshme favorizohet nga të gjitha ngjarjet elementare, pra $m=n$;
• probabiliteti i një ngjarjeje të pamundur $H$ është gjithmonë zero, pra $P\left(H\right)=0$; kjo shpjegohet me faktin se ngjarja e pamundur nuk favorizohet nga asnjë prej atyre elementare, pra $m=0$;
• probabiliteti i ndonjë ngjarjeje të rastësishme $A$ gjithmonë plotëson kushtin $0

Kështu, në rastin e përgjithshëm, probabiliteti i ndonjë ngjarjeje plotëson pabarazinë $0\le P\left(A\right)\le 1$.

Frekuenca relative dhe qëndrueshmëria e saj

Përkufizimi 1

Supozoni se janë kryer një numër mjaft i madh provash, në secilën prej të cilave një ngjarje e caktuar $A$ mund ose nuk mund të ndodhë. Teste të tilla quhen një seri testimi.

Supozoni se kryhet një seri provash $n$ në të cilën ngjarje $A$ ndodh $m$ herë. Këtu numri $m$ quhet frekuencë absolute e ngjarjes $A$, dhe raporti $\frac(m)(n) $ quhet frekuencë relative e ngjarjes $A$. Për shembull, nga fikësit e zjarrit $n=20$ të përdorur gjatë zjarrit, fikësit e zjarrit $m=3$ nuk funksionuan (ngjarja $A$). Këtu $m=3$ është frekuenca absolute e ngjarjes $A$, dhe $\frac(m)(n) =\frac(3)(20) $ është frekuenca relative.

Përvoja praktike dhe sensi i shëndoshë sugjerojnë që për $n$ të vogla vlerat e frekuencës relative nuk mund të jenë të qëndrueshme, por nëse numri i testeve rritet, atëherë vlerat e frekuencës relative duhet të stabilizohen.

Shembulli nr. 2.

Trajneri zgjedh pesë djem nga dhjetë për të marrë pjesë në ekip. Në sa mënyra mund të formojë një ekip nëse dy djem të veçantë që përbëjnë bërthamën e ekipit do të jenë në ekip?

Në përputhje me kushtet e detyrës, ekipit do t'i bashkohen menjëherë dy djem. Ndaj, mbetet të përzgjidhen tre djem nga tetë. Në këtë rast, vetëm përbërja është e rëndësishme, kështu që rolet e të gjithë anëtarëve të ekipit nuk ndryshojnë. Kjo do të thotë se kemi të bëjmë me kombinime.

Kombinimet e elementeve $n$ nga $m$ janë kombinime që përbëhen nga elementë $m$ dhe që ndryshojnë nga njëri-tjetri nga të paktën një element, por jo sipas renditjes së elementeve.

Numri i kombinimeve llogaritet duke përdorur formulën $C_(n)^(m) =\frac(n{m!\cdot \left(n-m\right)!} $.!}

Kështu, numri i mënyrave të ndryshme për të formuar një ekip prej tre djemsh, duke i zgjedhur ata nga tetë djem, është numri i kombinimeve të 8 elementeve nga 3:

$C_(8)^(3) =\frac(8{3!\cdot \left(8-3\right)!} =\frac{8!}{3!\cdot 5!} =\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3} =56$!}

Shembulli nr. 3.

Në një raft në zyrë ka 15 libra të renditur në mënyrë të rastësishme, 5 prej tyre në algjebër. Mësuesi merr tre libra në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që të paktën një nga librat e marrë të jetë në algjebër.

Ngjarjet $A$ (të paktën një nga tre librat e marrë është një libër algjebër) dhe $\bar(A)$ (asnjë nga tre librat e marrë nuk është një libër algjebër) janë të kundërta, prandaj P(A) + P( $ \bar(A)$) = 1. Prandaj P(A) = 1-P($\bar(A)$). Kështu, probabiliteti i dëshiruar P(A) = 1 - $C_(10)^(3)\, /C_(15)^(3)\, $= 1 - 24/91 = 67/91.

Shembulli nr. 4.

Nga njëzet shoqëri aksionare, katër janë të huaja. Qytetari bleu një aksion nga gjashtë shoqëri aksionare. Sa është probabiliteti që dy nga aksionet e blera të jenë aksione të shoqërive aksionare të huaja?

Numri i përgjithshëm i kombinimeve për zgjedhjen e shoqërive aksionare është i barabartë me numrin e kombinimeve 20 me 6, që është $(\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) $. Numri i rezultateve të favorshme përcaktohet si produkti $(\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_((\rm 16))^(( \rm 4) ) $, ku faktori i parë tregon numrin e kombinimeve të zgjedhjes së shoqërive aksionare të huaja nga katër. Por çdo kombinim të tillë mund ta hasin shoqëri aksionare që nuk janë të huaja. Numri i kombinimeve të shoqërive të tilla aksionare do të jetë $(\rm C)_((\rm 16))^((\rm 4)) $. Prandaj, probabiliteti i dëshiruar do të shkruhet në formën $(\rm P)=\frac((\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_ ((\rm 16 ))^((\rm 4)) )((\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) =0,28$.

Shembulli nr. 5.

Në një grup prej 18 pjesësh ka 4 jo standarde. 5 pjesë zgjidhen në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që dy nga këto 5 pjesë të jenë jo standarde.

Numri i të gjitha rezultateve të papajtueshme po aq të mundshme $n$ është i barabartë me numrin e kombinimeve 18 me 5, d.m.th. $n=C_(18)^(5) =8568$.

Le të numërojmë numrin e rezultateve $m$ të favorshme për ngjarjen A. Ndër 5 detajet e marra në mënyrë të rastësishme duhet të jenë 3 standarde dhe 2 jo standarde. Numri i mënyrave për të zgjedhur dy pjesë jo standarde nga 4 jo standarde të disponueshme është i barabartë me numrin e kombinimeve 4 me 2: $C_(4)^(2) =6$.

Numri i mënyrave për të zgjedhur tre pjesë standarde nga 14 pjesë standarde të disponueshme është $C_(14)^(3) =364$.

Çdo grup pjesësh standarde mund të kombinohet me çdo grup pjesësh jo standarde, kështu që numri i përgjithshëm i kombinimeve $m$ është $m=C_(4)^(2) \cdot C_(14)^(3) =6 \cdot 364=2184$.

Probabiliteti i dëshiruar i ngjarjes A është i barabartë me raportin e numrit të rezultateve $m$ të favorshme për ngjarjen me numrin $n$ të të gjitha ngjarjeve po aq të mundshme dhe të papajtueshme $P(A)=\frac(2184)(8568) =0.255.$

Shembulli nr. 6.

Një urnë përmban 5 topa të zinj dhe 6 të bardhë. 4 topa janë tërhequr në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që mes tyre të ketë të paktën një top të bardhë.

Le të jetë ngjarja $$ që nga topat e tërhequr të paktën një është i bardhë.

Konsideroni ngjarjen e kundërt $\bar()$ - midis topave të vizatuar nuk ka asnjë të bardhë. Kjo do të thotë që të 4 topat e tërhequr janë të zinj.

Ne përdorim formula të kombinatorikës.

Numri i mënyrave për të marrë katër topa nga njëmbëdhjetë:

$n=!_(11)^(4) =\frac(11{4!\cdot (11-4)!} =330$!}

Numri i mënyrave për të hequr katër topa të zinj nga njëmbëdhjetë:

$m=!_(5)^(4) =\frac(5{4!\cdot (5-4)!} =5$!}

Ne marrim: $\; (\bar())=\frac(m)(n) =\frac(5)(330) =\frac(1)(66) $; $P(A)=1-\; (\bar(A))=1-\frac(1)(66) =\frac(65)(66) $.

Përgjigje: probabiliteti që midis katër topave të tërhequr të mos ketë asnjë top të bardhë është $\frac(65)(66) $.

Frekuenca relative. Stabiliteti i frekuencës relative

Frekuenca relative e një ngjarjeje është raporti i numrit të sprovave në të cilat ndodhi ngjarja me numrin total të provave të kryera në të vërtetë. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, frekuenca relative e ngjarjes A përcaktohet nga formula

ku m është numri i dukurive të ngjarjes, n është numri total i provave.

Përcaktimi i probabilitetit nuk kërkon që testet të kryhen realisht; përcaktimi i frekuencës relative supozon se testet janë kryer në të vërtetë. Me fjalë të tjera, probabiliteti llogaritet para eksperimentit, dhe frekuenca relative llogaritet pas eksperimentit.

Vëzhgimet afatgjata kanë treguar se nëse eksperimentet kryhen në kushte identike, në secilën prej të cilave numri i testeve është mjaft i madh, atëherë frekuenca relative shfaq vetinë e stabilitetit. Kjo veti konsiston në faktin se në eksperimente të ndryshme frekuenca relative ndryshon pak (sa më pak, aq më shumë teste kryhen), duke u luhatur rreth një numri të caktuar konstant. Doli se ky numër konstant është probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes.

Sidoqoftë, nëse frekuenca relative përcaktohet eksperimentalisht, atëherë numri që rezulton mund të merret si një vlerë e përafërt probabiliteti.

Shembulli 1. Shumë herë u kryen eksperimente të hedhjes së monedhave, në të cilat numërohej numri i paraqitjeve të "stemës". Rezultatet e disa eksperimenteve janë dhënë në tabelë.

Frekuenca relative është e parëndësishme. Ato devijojnë nga numri 0.5, dhe sa më pak, aq më i madh është numri i testeve.

Nëse marrim parasysh se probabiliteti i shfaqjes së ʼʼГʼʼ gjatë hedhjes së një monedhe = 0,5, atëherë përsëri bindemi se ka të bëjë. Frekuenca luhatet rreth majës.

Ana më e dobët e klasikes. Ideja kryesore është se është shumë shpesh e pamundur të paraqitet rezultati i një testi në formën e ngjarjeve thjesht elementare. Është edhe më e vështirë të tregohen arsyet që na lejojnë t'i konsiderojmë elementët sa më të mundshëm. Për këtë arsye, së bashku me klasiken. Përdoret përkufizimi i ver-ti, etj.
Postuar në ref.rf
përkufizimi i ver-ti Në veçanti, statistikore: Ngjarjet merren si vërtetësi statistikore. frekuenca ose një numër afër saj.

Në të njëjtën kohë, përkufizimi i ver-ti statistikor ka ʼʼ-ʼʼ e tij. Për shembull, paqartësia e ver-ti statistikore. Pra, në shembullin e marrë, cilësia e vërtetësisë së ngjarjes mund të merret jo vetëm 0,5, por edhe 0,5069, dhe 0,5016, etj.

Koncepti i ʼʼ ver. gjeometrik.ʼʼ komp. tjetër:

Rruga për në zonën G hidhet rastësisht nga një pikë. Shprehja "hedhur në mënyrë të rastësishme" zakonisht kuptohet në kuptimin që një pikë e hedhur mund të godasë çdo pikë në zonën G. Besohet se godet në një pikë. pjesa e rajonit G është proporcionale me masën e kësaj pjese (gjatësia, sipërfaqja, vëllimi) dhe nuk varet nga vendndodhja dhe forma e saj.

Se. nëse g është pjesë e rajonit G, atëherë probabiliteti për të hyrë në rajonin g sipas përkufizimit = P(g) = matja g/masë G. Vini re se këtu rregulli Ω i të gjitha rezultateve elementare përfaqëson tërësinë e të gjitha pikave të zonës G dhe për këtë arsye përbëhet nga një grup i pafund ngjarjesh elementare => koncepti i "gjeom". Ver-t' mund të konsiderohet si një përgjithësim i konceptit 'klasik'. Besoni në rastin e eksperimenteve me një numër të pafund rezultatesh.

Detyra e takimit. Zgjidhje: Le të shënojmë me x dhe y momentet e mbërritjes së personave A dhe B. Takimi do të bëhet nëse |x-y|≤10.

Nëse përshkruani x dhe y si koordinata karteziane në një katror, ​​atëherë të gjitha rezultatet e mundshme do të përfaqësohen nga një pikë në një katror me brinjë 60.

10≤y-x≤10

Problemi i Bufonit. Zgjidhje: le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm: x – distanca nga mesi i gjilpërës deri në paralelen më të afërt;

φ është këndi që bën kjo paralele me gjilpërën.

Pozicioni i gjilpërës përcaktohet plotësisht nga vlerat specifike të dhëna x dhe φ. Për më tepër, x Є(0;a), φЄ(0;π). Me fjalë të tjera, mesi i gjilpërës mund të bjerë në cilëndo nga pikat e një drejtkëndëshi me brinjë a dhe π.

Se. ky drejtkëndësh mund të konsiderohet si një figurë G, pikat e së cilës përfaqësojnë të gjitha pozicionet e mundshme të mesit të gjilpërës. Natyrisht, kjo zonë e figurës = πα.

Le të gjejmë një figurë g, secila pikë e së cilës favorizon ngjarjen që na intereson, ᴛ.ᴇ. Çdo pikë e figurës mund të shërbejë si mesi i gjilpërës, skajet e së cilës kryqëzohen nga një paralele.

Gjilpëra do të presë paralelen më të afërt me të me kusht: x≤l·sinφ

ato. nëse mesi i gjilpërës godet ndonjë nga pikat e figurës së hijezuar në Fig (2). Se. figura e hijezuar mund të mendohet si g. Le të gjejmë zonën e saj:

Përgjigje: 2l/aπ

Frekuenca relative. Stabiliteti i frekuencës relative - koncepti dhe llojet. Klasifikimi dhe veçoritë e kategorisë "Frekuenca relative. Stabiliteti i frekuencës relative" 2017, 2018.

Ekzistojnë disa përkufizime të konceptit të probabilitetit. Le të japim përkufizimin klasik. Ajo shoqërohet me konceptin e një rezultati të favorshëm. Ato rezultate elementare (d.m.th.), në cat. ndodh ngjarja që na intereson, do ta quajmë të favorshme për këtë ngjarje. Def.: Besoj ngjarja A quhet. raporti i numrit të rezultateve të favorshme për këtë ngjarje me numrin total të të gjitha të papajtueshmeve po aq të mundshme e. i., duke formuar një grup të plotë. P(A) = m/n, ku m është numri i e. i., i favorshëm për ngjarjen A; n – numri i të gjitha të mundshmeve e. Dhe. testet. Nga përkufizimi i probabilitetit rrjedhin vetitë e tij:1) ver.(c) e një ngjarjeje të besueshme është gjithmonë e barabartë me 1. Sepse. ngjarja është e besueshme, atëherë gjithçka është e. Dhe.

gjyqet favorizojnë këtë ngjarje, d.m.th. m=n. P(A)=n/n = 1; 2) V. e pamundur personale. është e barabartë me 0. Sepse ngjarja është e pamundur, atëherë nuk ka e. i., i favorshëm për këtë ngjarje, do të thotë m=0. P(A) = 0/n = 0; 3) Vlera e një ngjarjeje të rastësishme është një vlerë jo negative që përmbahet midis 0 dhe 1, d.m.th. 0

4. Frekuenca relative. Stabiliteti i frekuencës relative.

Frekuenca relative (RF) e një ngjarjeje është raporti i numrit të provave në të cilat ka ndodhur ngjarja me numrin total të provave të kryera në të vërtetë. (JO omega!!!). W(A) = m/n, ku m është numri i dukurive të ngjarjes A, n është numri total i provave. Përcaktimi i probabilitetit nuk kërkon që testet të kryhen realisht. Përkufizimi i OC supozon se testet janë kryer në të vërtetë, d.m.th. ver. llogaritur para eksperimentit dhe OC pas eksperimentit. Nëse eksperimentet kryhen në të njëjtat kushte, në secilën prej maceve. numri i testeve është mjaft i madh, atëherë OC shfaq stabilitet. Kjo veti qëndron në faktin se në eksperimente të ndryshme OC ndryshon pak, aq më pak bëhen teste, duke u luhatur rreth një numri të caktuar konstant. Ky numër është ver. ndodhja e ngjarjes. Se. Është vërtetuar eksperimentalisht se OR mund të merret si një vlerë e përafërt probabiliteti.

5.Probabiliteti statistikor. Përkufizimi klasik i probabilitetit supozon se numri i rezultateve elementare të një prove është i kufizuar. Në praktikë, shpesh ka teste, numri i rezultateve të mundshme është mace. pafundësisht. Në raste të tilla, përkufizimi klasik nuk është i zbatueshëm. Së bashku me klasiken def. përdorin statistikat. stat. ver. (r.v.) ngjarje - frekuenca relative (RF) ose një numër afër saj. Probabilitete të shenjta që dalin nga klasikja. përcaktimet ruhen edhe në rastet statistikore. Nëse ngjarja është e besueshme, atëherë PR e saj = 1, d.m.th. st.v. gjithashtu = 1. Nëse ngjarja është e pamundur, atëherë OCH = 0, d.m.th. st.v. gjithashtu = 0. Për çdo ngjarje 0W(A) 1, në vijim. st.v. përmbahet ndërmjet 0 dhe 1. Për ekzistimin e st.v. kërkohet: 1) aftësia për të kryer, të paktën në parim, është e pakufizuar. numri i testeve në çdo mace. ngjarja ndodh ose nuk ndodh; 2) qëndrueshmëria e shpeshtësisë së shfaqjes së një ngjarjeje në seri të ndryshme të një numri mjaft të madh testesh. Disavantazhi i statistikave përkufizimi është paqartësia e Artit. Për shembull, nëse, si rezultat i një numri mjaft të madh testesh, rezulton se OC është shumë afër 0.6, atëherë ky numër mund të merret si st.v. Por si probabilitet i një ngjarjeje, mund të merrni jo vetëm 0.6, por edhe 0.59 dhe 0.61.