Pyetje:

Piramida është e prerë nga një rrafsh paralel me bazën. Sipërfaqja e bazës është 1690 dm2, dhe sipërfaqja e prerjes tërthore është 10 dm2. Në çfarë raporti, duke llogaritur nga maja, rrafshi i prerjes e ndan lartësinë e piramidës?

Përgjigjet:

një plan paralel pret një piramidë të ngjashme me këtë (h1/h)²=s1/s (h1/h)²=10/1690=1/169 h1/h=√1/169= 1/13 jndtn 1/13

Pyetje të ngjashme

• Test me temën: “Drejtshkrimi i ndajfoljeve” Kontrollojmë drejtshkrimin e prapashtesave ndajfoljesh, drejtshkrimi i veçuar dhe i vazhduar jo me ndajfolje, i vazhduar, i veçuar, drejtshkrimi i ndajfoljeve Opsioni 1. 1. Hapni kllapat. Shënoni “rrotën e tretë”: a) ulur (i palëvizshëm); pa (pa)rastësisht; këndoi (jo) me zë të lartë; b) aspak (jo) vonë; aspak (jo) e bukur; shumë (e pa)denjë; c) (jo)miqësore; (jo) sipas mënyrës suaj; (e gabuar; Thekso rreshtin me ndajfolje mohuese: a) asgjë; nga askund; askund; mjaft shumë; b) aspak; nuk ka nevojë; asnjë mënyrë; askund; c) asgjë; asnje; asnje; asnje;

KAPITULLI I TRETË

POLYhedra

1. PARALELEPIPED DHE PIRAMIDA

Vetitë e seksioneve paralele në një piramidë

74. Teorema. Nëse piramida (vizatimi 83) i prerë nga një rrafsh paralel me bazën, atëherë:

1) brinjët anësore dhe lartësia ndahen nga ky plan në pjesë proporcionale;

2) në prerje tërthore rezulton të jetë një shumëkëndësh (abcde ), e ngjashme me bazën;

3) Zonat dhe bazat e prerjes tërthore lidhen si katrorët e largësive të tyre nga kulmi.

1) Drejt ab dhe AB mund të konsiderohet si drejtëza e kryqëzimit të dy rrafsheve paralele (bazë dhe sekant) me rrafshin e tretë ASB; Kjo është arsyeja pse ab||AB (§ 16). Për të njëjtën arsye p.e.s|| para Krishtit, CD||CD, ... dhe në||PAM; Rrjedhimisht

S a / a A=S b / b B=S c / c C=...=S m / m M

2) Nga ngjashmëria e trekëndëshave ASB dhe a S b, pastaj BSC dhe b S c etj. ne nxjerrim:

AB / ab= BS / bs; B.S. / bs= para Krishtit / p.e.s ,

AB / ab= para Krishtit / p.e.s

B.C. / p.e.s=CS / cs; C.S. / cs= CD / CD nga para Krishtit / p.e.s= CD / CD .

Do të vërtetojmë gjithashtu proporcionalitetin e brinjëve të mbetura të shumëkëndëshave ABCDE dhe abcde. Meqenëse, për më tepër, këta poligone kanë kënde të barabarta përkatëse (siç formohen nga brinjë paralele dhe të drejtuara në mënyrë identike), atëherë ato janë të ngjashme.

3) Zonat e shumëkëndëshave të ngjashëm lidhen si katrorët e brinjëve të ngjashme; Kjo është arsyeja pse

75. Pasoja. Një piramidë e rregullt e cunguar ka një bazë të sipërme që është një shumëkëndësh i rregullt i ngjashëm me bazën e poshtme, dhe faqet anësore janë të barabarta dhe trapezoide izosceles(vizatimi 83).

Lartësia e ndonjërit prej këtyre trapezoideve quhet apotemë piramida e rregullt e cunguar.

76. Teorema. Nëse dy piramida me lartësi të barabarta priten në të njëjtën distancë nga maja me rrafshe paralele me bazat, atëherë sipërfaqet e seksioneve janë proporcionale me sipërfaqet e bazave.

Le të jenë (Fig. 84) B dhe B 1 sipërfaqet e bazave të dy piramidave, H të jetë lartësia e secilës prej tyre, b Dhe b 1 - zonat seksionale nga aeroplanët paralel me bazat dhe të hequra nga kulmet në të njëjtën distancë h.

Sipas teoremës së mëparshme do të kemi:

77. Pasoja. Nëse B = B 1, atëherë b = b 1, d.m.th. Nëse dy piramida me lartësi të barabarta kanë baza të barabarta, atëherë seksionet e barabarta nga maja janë gjithashtu të barabarta.

); showPlots(;0 noAxes0 );

Oriz. 1.10: Paralelepiped drejtkëndor

1.3 Vetitë e seksioneve paralele në një piramidë

1.3.1 Teorema mbi prerjet në një piramidë

Nëse piramida (1.11) pritet nga një rrafsh paralel me bazën, atëherë:

1) brinjët anësore dhe lartësia ndahen nga ky plan në pjesë proporcionale;

2) në prerje tërthore fitohet një shumëkëndësh (abcde) i ngjashëm me bazën;

3) Zonat dhe bazat e prerjes tërthore lidhen si katrorët e largësive të tyre nga kulmi.

1) Drejtëzat ab dhe AB mund të konsiderohen si drejtëza të kryqëzimit të dy rrafsheve paralele (bazë dhe sekant) me rrafshin e tretë ASB; prandaj abkAB. Për të njëjtën arsye bckBC, cdkCD.... dhe amkAM; Rrjedhimisht

aA Sa = bB Sb = cC Sc = ::: = mM Sm:

2) Nga ngjashmëria e trekëndëshave ASB dhe aSb, pastaj BSC dhe bSc, etj., nxjerrim:

AB ab = BS bS; BS bS = BC p.e.s.;

AB ab = BC p.e.s.

BC bc = CS cS; CS cS = CD cd ;

BC bc = CD cd

Do të vërtetojmë gjithashtu proporcionalitetin e brinjëve të mbetura të shumëkëndëshave ABCDE dhe abcde Meqenëse, përveç kësaj, këta shumëkëndësha kanë kënde të barabarta përkatëse (siç formohen nga brinjët paralele dhe të drejtuara në mënyrë identike), atëherë ato janë të ngjashme. Zonat e shumëkëndëshave të ngjashëm lidhen si katrorë të brinjëve të ngjashme; Kjo është arsyeja pse

AB ab = AS si = M msS;

[0A 0; 0 B 0; 0 C 0; 0 D 0; 0 E 0; 0 a 0; 0 b 0; 0 c 0; 0 d 0; 0 M 0; 0 m 0; 0 S 0];

); showPlots(;0 noAxes0 );

1.3.2 Pasoja

Një piramidë e rregullt e cunguar ka një bazë të sipërme që është një shumëkëndësh i rregullt i ngjashëm me bazën e poshtme, dhe faqet anësore janë të barabarta dhe trapezoide izoscelulare (1.11).

Lartësia e secilit prej këtyre trapezoideve quhet apotema e një piramide të rregullt të cunguar.

1.3.3 Teorema e seksionit paralel në një piramidë

Nëse dy piramida me lartësi të barabarta priten në të njëjtën distancë nga maja me rrafshe paralele me bazat, atëherë sipërfaqet e seksioneve janë proporcionale me sipërfaqet e bazave.

Le të jenë (1.12) B dhe B1 sipërfaqet e bazave të dy piramidave, H lartësia e secilës prej tyre, b dhe b1 sipërfaqet e seksioneve sipas planeve paralele me bazat dhe të hequra nga kulmet në të njëjtën distancë h.

Sipas teoremës së mëparshme do të kemi:

Si mund të ndërtoni një piramidë? Në sipërfaqe R Le të ndërtojmë një shumëkëndësh, për shembull pesëkëndëshin ABCDE. Jashtë aeroplanit R Le të marrim pikën S. Duke e lidhur pikën S me segmente me të gjitha pikat e shumëkëndëshit, marrim piramidën SABCDE (Fig.).

Pika S quhet krye, dhe shumëkëndëshi ABCDE është bazë këtë piramidë. Kështu, një piramidë me majën S dhe bazën ABCDE është bashkimi i të gjithë segmenteve ku M ∈ ABCDE.

Quhen trekëndëshat SAB, SBC, SCD, SDE, SEA fytyrat anësore piramidat, anët e përbashkëta të faqeve anësore SA, SB, SC, SD, SE - brinjë anësore.

Piramidat quhen trekëndësh, katërkëndësh, p-këndor në varësi të numrit të anëve të bazës. Në Fig. Janë dhënë pamjet e piramidave trekëndore, katërkëndore dhe gjashtëkëndore.

Rrafshi që kalon nga maja e piramidës dhe diagonalen e bazës quhet diagonale, dhe seksioni që rezulton është diagonale. Në Fig. 186 një nga seksionet diagonale të piramidës gjashtëkëndore është e hijezuar.

Segmenti pingul i tërhequr përmes majës së piramidës në rrafshin e bazës së saj quhet lartësia e piramidës (skajet e këtij segmenti janë maja e piramidës dhe baza e pingules).

Piramida quhet e saktë, nëse baza e piramidës është një shumëkëndësh i rregullt dhe kulmi i piramidës është projektuar në qendër të saj.

Të gjitha faqet anësore të një piramide të rregullt janë trekëndësha izoscelorë kongruentë. Në një piramidë të rregullt, të gjitha skajet anësore janë kongruente.

Lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt të nxjerrë nga kulmi i saj quhet apotemë piramidat. Të gjitha apotemat e një piramide të rregullt janë kongruente.

Nëse anën e bazës e caktojmë si A, dhe apotema përmes h, atëherë sipërfaqja e njërës faqe anësore të piramidës është 1/2 ah.

Shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore të piramidës quhet sipërfaqja anësore piramidale dhe është caktuar nga ana S.

Meqenëse sipërfaqja anësore e një piramide të rregullt përbëhet nga n fytyrat kongruente, pra

Ana S = 1/2 ahn=P h / 2 ,

ku P është perimetri i bazës së piramidës. Prandaj,

Ana S =P h / 2

d.m.th. Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt është e barabartë me gjysmën e produktit të perimetrit të bazës dhe apotemës.

Sipërfaqja totale e piramidës llogaritet me formulë

S = S ocn. + ana S. .

Vëllimi i piramidës është i barabartë me një të tretën e produktit të sipërfaqes së bazës së saj S ocn. në lartësinë H:

V = 1 / 3 S kryesore. N.

Derivimi i kësaj dhe disa formulave të tjera do të jepet në një nga kapitujt vijues.

Tani le të ndërtojmë një piramidë në një mënyrë tjetër. Le të jepet një kënd poliedrik, për shembull, pesëkëndor, me kulm S (Fig.).

Le të vizatojmë një aeroplan R në mënyrë që të presë të gjitha skajet e një këndi të caktuar shumëedral në pika të ndryshme A, B, C, D, E (Fig.). Atëherë piramida SABCDE mund të konsiderohet si kryqëzimi i një këndi poliedrik dhe një gjysmë hapësire me kufirin R, në të cilën shtrihet kulmi S.

Natyrisht, numri i të gjitha fytyrave të piramidës mund të jetë arbitrar, por jo më pak se katër. Kur një kënd trekëndor kryqëzohet me një rrafsh, fitohet një piramidë trekëndore, e cila ka katër brinjë. Çdo piramidë trekëndore quhet ndonjëherë katërkëndësh, që do të thotë katërkëndësh.

Piramida e cunguar mund të merret nëse piramida është e prerë me një rrafsh paralel me rrafshin e bazës.

Në Fig. Jepet një imazh i një piramide të cunguar katërkëndëshe.

Quhen edhe piramidat e cunguara trekëndësh, katërkëndor, n-këndor në varësi të numrit të anëve të bazës. Nga ndërtimi i një piramide të cunguar rezulton se ajo ka dy baza: e sipërme dhe e poshtme. Bazat e një piramide të cunguar janë dy shumëkëndësha, anët e të cilave janë paralele në çifte. Faqet anësore të piramidës së cunguar janë trapezoide.

Lartësia një piramidë e cunguar është një segment pingul i tërhequr nga çdo pikë e bazës së sipërme në rrafshin e asaj të poshtme.

Piramida e rregullt e cunguarështë pjesa e një piramide të rregullt e mbyllur midis bazës dhe një rrafshi të seksionit paralel me bazën. Lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt të cunguar (trapezoidi) quhet apotemë.

Mund të vërtetohet se një piramidë e rregullt e cunguar ka skaje anësore kongruente, të gjitha faqet anësore janë kongruente dhe të gjitha apotemat janë kongruente.

Nëse në të saktë të cunguar n-piramida e qymyrit përmes A Dhe b n tregoni gjatësitë e anëve të bazave të sipërme dhe të poshtme, dhe përmes hështë gjatësia e apotemës, atëherë sipërfaqja e secilës faqe anësore të piramidës është e barabartë me

1 / 2 (A + b n) h

Shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore të piramidës quhet sipërfaqja e sipërfaqes së saj anësore dhe caktohet ana S. . Natyrisht, për një prerje të saktë n-piramida e qymyrit

Ana S = n 1 / 2 (A + b n) h.

Sepse pa= P dhe nb n= P 1 - perimetrat e bazave të piramidës së cunguar, atëherë

Ana S = 1 / 2 (P + P 1) h,

domethënë, sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt të cunguar është e barabartë me gjysmën e produktit të shumës së perimetrave të bazave të saj dhe apotemës.

Seksioni paralel me bazën e piramidës

1) brinjët anësore dhe lartësia do të ndahen në pjesë proporcionale;

2) në seksion kryq do të merrni një poligon të ngjashëm me bazën;

3) zonat dhe bazat e prerjes tërthore lidhen si katrorët e distancave të tyre nga lart.

Mjafton të vërtetohet teorema për një piramidë trekëndore.

Meqenëse planet paralele priten nga një rrafsh i tretë përgjatë vijave paralele, atëherë (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (fig.).

Vijat paralele presin anët e një këndi në pjesë proporcionale, dhe për këtë arsye

$$ \frac(\majtas|(SA)\djathtas|)(\majtas|(SA_1)\djathtas|)=\frac(\majtas|(SB)\djathtas|)(\majtas|(SB_1)\djathtas| )=\frac(\majtas|(SC)\djathtas|)(\majtas|(SC_1)\djathtas|) $$

Prandaj, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 dhe

$$ \frac(\majtas|(AB)\djathtas|)(\majtas|(A_(1)B_1)\djathtas|)=\frac(\majtë|(SB)\djathtas|)(\majtas|(SB_1 )\djathtas|) $$

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 dhe

$$ \frac(\majtas|(BC)\djathtas )\djathtas|)=\frac(\majtas|(SC)\djathtas|)(\majtas|(SC_1)\djathtas|) $$

Kështu,

$$ \frac(\majtas|(AB)\djathtas|)(\majtas|(A_(1)B_1)\djathtas|)=\frac(\majtë|(BC)\djathtas|)(\majtas|(B_ (1)C_1)\djathtas|)=\frac(\majtas|(AC)\djathtas|)(\majtas|(A_(1)C_1)\djathtas|) $$

Këndet përkatëse të trekëndëshave ABC dhe A 1 B 1 C 1 janë kongruentë, si kënde me brinjë paralele dhe identike. Kjo është arsyeja pse

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

Zonat e trekëndëshave të ngjashëm lidhen si katrorët e brinjëve përkatëse:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\majtas|(AB)\djathtas|^2)(\majtas|(A_(1)B_1)\djathtas|^2 ) $$

$$ \frac(\majtas|(AB)\djathtas|)(\majtas|(A_(1)B_1)\djathtas|)=\frac(\majtë|(SH)\djathtas|)(\majtas|(SH_1 )\djathtas|) $$

Prandaj,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\majtas|(SH)\djathtas|^2)(\majtas|(SH_1)\djathtas|^2) $$

Teorema. Nëse dy piramida me lartësi të barabarta priten në të njëjtën distancë nga maja me rrafshe paralele me bazat, atëherë sipërfaqet e seksioneve janë proporcionale me sipërfaqet e bazave.

Le të jenë (Fig. 84) B dhe B 1 sipërfaqet e bazave të dy piramidave, H të jetë lartësia e secilës prej tyre, b Dhe b 1 - zonat seksionale nga aeroplanët paralel me bazat dhe të hequra nga kulmet në të njëjtën distancë h.

Sipas teoremës së mëparshme do të kemi:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: dhe \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
ku
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: ose \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Pasoja. Nëse B = B 1, atëherë b = b 1, d.m.th. Nëse dy piramida me lartësi të barabarta kanë baza të barabarta, atëherë seksionet e barabarta nga maja janë gjithashtu të barabarta.