Teorema: Nëse dy drejtëza paralele priten nga një transversal, atëherë këndet e prerjes janë të barabarta. dhe në A B = 2 s
Vërtetim: A B CD M N 1 2 A B CD M N 1 2 K O Lërini drejtëzat AB dhe CD të jenë paralele, MN sekanti i tyre. Le të vërtetojmë se këndet kryq 1 dhe 2 janë të barabartë me njëri-tjetrin. Le të supozojmë se 1 dhe 2 nuk janë të barabartë. Le të vizatojmë një vijë të drejtë KF përmes pikës O. Atëherë në pikën O është e mundur të ndërtohet KON, e shtrirë në mënyrë tërthore dhe e barabartë me 2. Por nëse KON = 2, atëherë drejtëza KF do të jetë paralele me CD. Ne zbuluam se dy drejtëza AB dhe KF janë tërhequr përmes pikës O, paralele me drejtëzën CD. Por kjo nuk mund të jetë. Arritëm në një kontradiktë sepse supozuam se 1 dhe 2 nuk janë të barabarta. Prandaj, supozimi ynë është i pasaktë dhe 1 duhet të jetë e barabartë me 2, d.m.th., këndet kryq janë të barabartë. F
Teorema: Nëse dy drejtëza paralele priten nga një transversal, atëherë këndet përkatëse janë të barabarta. dhe në A B = 2
Teorema: Nëse dy drejtëza paralele priten nga një transversal, atëherë shuma e këndeve të njëanshme është 180°. dhe në A B = 180°
Vërtetim: Le të priten drejtëzat paralele a dhe b me sekantin AB, atëherë 1 dhe 2 përkatëse do të jenë të barabarta, 2 dhe 3 do të jenë ngjitur, pra = 180°. Nga barazimet 1 = 2 dhe = 180° del se = 180°. Teorema është vërtetuar. 2 a në A B 3 1
Zgjidhje: 1. Le të jetë X 2, pastaj 1 = (X+70°), sepse shuma e këndeve 1 dhe 2 = 180°, për faktin se janë ngjitur. Le të bëjmë një ekuacion: X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (Këndi 2) 2. Gjeni 1. 55° + 70° = 125° 3. 1 = 3, sepse ato janë vertikale. 3 = 5, sepse ata janë të shtrirë kryq. 125° 5 = 7, sepse ato janë vertikale. 2 = 4, sepse ato janë vertikale. 4 = 6, sepse ata janë të shtrirë kryq. 55° 6 = 8, sepse ato janë vertikale. Problemi 1: A B Kushti: Gjeni të gjitha këndet e formuara kur dy drejtëza paralele A dhe B priten me një tërthore C, nëse njëri prej këndeve është 70° më i madh se tjetri.
Zgjidhje: 1. 1= 2, sepse ato janë vertikale, që do të thotë 2= 45° është ngjitur me 2, pra 3+ 2=180°, dhe nga kjo rezulton se 3= 180° - 45°= 135° = 180°, sepse ato janë të njëanshme. 4 = 45°. Përgjigje: 4=45°; 3=135°. Problemi 3: A B 2 Kushti: dy drejtëza paralele A dhe B priten nga një sekant C. Gjeni se me çfarë do të jenë të barabarta 4 dhe 3 nëse 1=45°
§ 1 Teorema e kundërt
Në këtë mësim do të zbulojmë se cilat teorema quhen të kundërta, do të japim shembuj të teoremave të kundërta, do të formulojmë teorema për këndet e formuara nga dy drejtëza paralele dhe një tërthore dhe do të njihemi me metodën e vërtetimit me kontradiktë.
Kur studiohen figura të ndryshme gjeometrike, zakonisht formulohen përkufizime, vërtetohen teorema dhe merren parasysh përfundimet nga teoremat. Çdo teoremë ka dy pjesë: kusht dhe përfundim.
Kushti i teoremës është ai që jepet, dhe përfundimi është ai që duhet vërtetuar. Shumë shpesh kushti i një teoreme fillon me fjalën "nëse" dhe përfundimi fillon me fjalën "atëherë". Për shembull, një teoremë për vetitë e një trekëndëshi dykëndësh mund të formulohet si më poshtë: "Nëse trekëndëshi është dykëndësh, atëherë këndet në bazën e tij janë të barabartë". Pjesa e parë e teoremës "Nëse trekëndëshi është dykëndësh" është kushti i teoremës, pjesa e dytë e teoremës "atëherë këndet në bazën e tij janë të barabarta" është përfundimi i teoremës.
Një teoremë ku këmbehen kushti dhe përfundimi quhet teorema e kundërt. Teorema e kundërt me teoremën mbi vetitë e një trekëndëshi dykëndësh do të tingëllojë si kjo: "Nëse dy kënde në një trekëndësh janë të barabartë, atëherë një trekëndësh i tillë është dykëndësh".
Le të shkruajmë shkurtimisht secilën prej tyre:
Shohim që gjendja dhe përfundimi kanë ndërruar vendet.
Secila prej këtyre pohimeve është e vërtetë.
Shtrohet pyetja: a është gjithmonë i vërtetë një pohim ku kushti ndryshon me përfundimin?
Le të shohim një shembull.
Nëse këndet janë vertikale, atëherë ato janë të barabarta. Kjo është një deklaratë e vërtetë dhe ka prova. Le të formulojmë pohimin e kundërt: nëse këndet janë të barabartë, atëherë ato janë vertikale. Ky pohim është i pasaktë, është e lehtë ta verifikosh këtë duke dhënë një shembull përgënjeshtrues: le të marrim dy kënde të drejta (shih figurën), ato janë të barabarta, por nuk janë vertikale.
Kështu, pohimet e kundërta (teoremat) në lidhje me pohimet (teoremat) tashmë të provuara kërkojnë gjithmonë provë.
§ 2 Teorema mbi këndet e formuara nga dy drejtëza paralele dhe një tërthore
Le të kujtojmë tani pohimet e vërtetuara - teorema që shprehin shenjat e paralelizmit të dy drejtëzave, të formulojmë teoremat e tyre të kundërta dhe të verifikojmë vlefshmërinë e tyre duke ofruar dëshmi.
Shenja e parë e vijave paralele.
Nëse, kur dy drejtëza kryqëzohen në mënyrë tërthore, këndet e përfshira janë të barabarta, atëherë vijat janë paralele.
Teorema e kundërt:
Nëse dy drejtëza paralele priten nga një transversal, atëherë këndet e kryqëzimit janë të barabarta.
Le ta vërtetojmë këtë deklaratë.
Jepet: drejtëzat paralele a dhe b priten me sekantin AB.
Vërtetoni: këndet e kryqëzuara 1 dhe 2 janë të barabarta. (shiko foton)
Dëshmi:
Le të supozojmë se këndet 1 dhe 2 nuk janë të barabartë.
Le të lëmë mënjanë këndin CAB nga rreze AB, e barabartë me këndin 2, në mënyrë që këndi CAB dhe këndi 2 të jenë kënde të shtrira tërthore në kryqëzimin e drejtëzave CA dhe b nga sekanti AB.
Nga ndërtimi, këto kënde tërthore janë të barabarta, që do të thotë se drejtëza CA është paralele me drejtëzën b.
Ne zbuluam se dy drejtëza a dhe CA kalojnë nëpër pikën A, paralele me drejtëzën b. Kjo bie ndesh me aksiomën e drejtëzave paralele: përmes një pike që nuk shtrihet në një drejtëz të caktuar kalon vetëm një drejtëz paralele me atë të dhënë.
Kjo do të thotë që supozimi ynë është i pasaktë, këndet 1 dhe 2 janë të barabartë.
Teorema është vërtetuar.
§ 3 Metoda e vërtetimit me kontradiktë
Në vërtetimin e kësaj teoreme, ne përdorëm një metodë arsyetimi të quajtur metoda e vërtetimit me kontradiktë. Kur filluam provën, supozuam të kundërtën e asaj që kërkohej të provohej. Duke e konsideruar të saktë këtë supozim, përmes arsyetimit arritëm në një kontradiktë me aksiomën e drejtëzave paralele. Nga kjo arritëm në përfundimin se supozimi ynë nuk është i vërtetë, por pohimi i teoremës është i vërtetë. Ky lloj prove përdoret shpesh në matematikë.
Le të shqyrtojmë përfundimin e teoremës së provuar.
Pasoja:
Nëse një drejtëz është pingul me njërën nga dy drejtëzat paralele, atëherë ajo është gjithashtu pingul me tjetrën.
Le të jetë drejtëza a paralele me drejtëzën b, drejtëza c të jetë pingul me drejtëzën a, d.m.th. këndi 1 = 90º.
Drejtëza c e pret drejtëzën a, që do të thotë se drejtëza c e pret edhe drejtëzën b.
Kur vijat paralele kryqëzohen me një tërthore, këndet e tërthorta janë të barabarta, që do të thotë këndi 1 = këndi 2.
Meqenëse këndi 1 = 90º, atëherë këndi 2 = 90º, që do të thotë se drejtëza c është pingul me drejtëzën b.
Hetimi është vërtetuar.
Teorema e anasjelltë për kriterin e dytë për paralelizmin e drejtëzave:
Nëse dy drejtëza paralele priten nga një transversal, atëherë këndet përkatëse janë të barabarta.
Teorema e kundërt për kriterin e tretë për paralelizmin e drejtëzave:
Nëse dy drejtëza paralele priten nga një transversal, atëherë shuma e këndeve të njëanshme është 180º.
Pra, në këtë mësim zbuluam se cilat teorema quhen të kundërta, formuluam dhe shqyrtuam teorema për këndet e formuara nga dy drejtëza paralele dhe një tërthore, si dhe u njohëm me metodën e vërtetimit me kontradiktë.
Lista e literaturës së përdorur:
- Gjeometria. Klasat 7-9: tekst shkollor. për arsimin e përgjithshëm organizatat / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al - M.: Arsimi, 2013. - 383 f.: ill.
- Gavrilova N.F. Zhvillimet e mësimit në gjeometrinë e klasës së 7-të. - M.: “VAKO”, 2004, 288 f. - (Për të ndihmuar mësuesin e shkollës).
- Belitskaya O.V. Gjeometria. klasa e 7-të. Pjesa 1. Testet. – Saratov: Liceu, 2014. – 64 f.
Një mësim video rreth teoremave mbi këndet midis dy drejtëzave paralele dhe tërthores së tyre përmban material që paraqet veçoritë strukturore të teoremës, shembuj të formimit dhe vërtetimit të teoremave të kundërta dhe përfundime prej tyre. Qëllimi i këtij mësimi video është të thellojë konceptin e një teoreme, duke e zbërthyer atë në përbërësit e saj, duke marrë parasysh konceptin e një teoreme të anasjelltë, për të zhvilluar aftësinë për të ndërtuar një teoremë të kundërt me një teoremë të dhënë, pasojat nga teorema dhe zhvillojnë aftësinë për të vërtetuar pohime.
Forma e mësimit të videos ju lejon të vendosni me sukses theksin kur demonstroni materialin, duke e bërë më të lehtë për të kuptuar dhe mbajtur mend materialin. Tema e këtij mësimi video është komplekse dhe e rëndësishme, ndaj përdorimi i një mjeti ndihmës pamor është jo vetëm i këshillueshëm, por edhe i dëshirueshëm. Ai ofron një mundësi për të përmirësuar cilësinë e të mësuarit. Efektet e animuara përmirësojnë prezantimin e materialit edukativ, afrojnë procesin mësimor me atë tradicional dhe përdorimi i videos e liron mësuesin të thellojë punën individuale.
Mësimi video fillon me shpalljen e temës së tij. Në fillim të orës së mësimit merret parasysh zbërthimi i teoremës në përbërësit e saj për të kuptuar më mirë strukturën e saj dhe mundësitë për kërkime të mëtejshme. Në ekran shfaqet një diagram që tregon se teorema përbëhet nga kushtet dhe përfundimet e saj. Koncepti i kushtit dhe përfundimit përshkruhet duke përdorur shembullin e shenjës së drejtëzave paralele, duke vënë në dukje se një pjesë e pohimit është kushti i teoremës, dhe përfundimi është përfundimi.
Duke thelluar njohuritë e marra për strukturën e teoremës, nxënësve u jepet koncepti i një teoreme të anasjelltë me një të dhënë. Formohet si rezultat i zëvendësimit - kushti bëhet përfundim, përfundimi - kusht. Për të zhvilluar aftësinë e studentëve për të ndërtuar teorema në të kundërt me të dhënat dhe aftësinë për t'i vërtetuar ato, merren parasysh teoremat që lidhen me ato të diskutuara në mësimin 25 mbi shenjat e drejtëzave paralele.
Ekrani shfaq teoremën e kundërt me teoremën e parë, e cila përshkruan shenjën e drejtëzave paralele. Duke ndërruar gjendjen dhe përfundimin, marrim pohimin se nëse ndonjë drejtëz paralele priten nga një transversal, atëherë këndet e tërthorta të formuara në këtë rast do të jenë të barabarta. Vërtetimi tregohet në figurë, e cila tregon drejtëzat a, b, si dhe një transversal që kalon nëpër këto drejtëza në pikat e tyre M dhe N. Këndet e tërthorta ∠1 dhe ∠2 janë shënuar në figurë. Është e nevojshme të vërtetohet barazia e tyre. Së pari, prova bën supozimin se këto kënde nuk janë të barabarta. Për ta bërë këtë, një vijë e caktuar P tërhiqet nëpër pikën M. Ndërtohet një kënd `∠PMN, i cili shtrihet në mënyrë tërthore me një kënd ∠2 në lidhje me MN. Këndet `∠PMN dhe ∠2 janë të barabartë nga ndërtimi, prandaj MP║b. Përfundim - dy drejtëza paralele me një pikë janë tërhequr përmes b. Megjithatë, kjo është e pamundur sepse nuk korrespondon me aksiomën e vijave paralele. Supozimi i bërë rezulton i gabuar, duke vërtetuar vlefshmërinë e deklaratës origjinale. Teorema është vërtetuar.
Më pas, vëmendja e studentëve tërhiqet nga metoda e provës që është përdorur gjatë arsyetimit. Një provë në të cilën pohimi që provohet supozohet të jetë i rremë quhet provë me kontradiktë në gjeometri. Kjo metodë përdoret shpesh për të vërtetuar pohime të ndryshme gjeometrike. Në këtë rast, duke supozuar pabarazinë e këndeve të kryqëzuara, në rrjedhën e arsyetimit u shfaq një kontradiktë, e cila mohon vlefshmërinë e një kontradikte të tillë.
Nxënësve u kujtohet se një metodë e ngjashme është përdorur më parë në prova. Një shembull i kësaj është vërtetimi i teoremës në mësimin 12 që dy drejtëza që janë pingule me një të tretën nuk kryqëzohen, si dhe vërtetimi i pasojave në mësimin 28 nga aksioma e drejtëzave paralele.
Një tjetër përfundim i provueshëm thotë se një drejtëz është pingul me të dy drejtëzat paralele nëse është pingul me njërën prej tyre. Figura tregon drejtëzat a dhe b dhe drejtëzën c pingul me to. Perpendikulariteti i drejtëzës c me a do të thotë që këndi i formuar me të është i barabartë me 90°. Paralelizmi i a dhe b dhe prerja e tyre me drejtëzën c do të thotë se drejtëza c pret b. Këndi ∠2 i formuar me drejtëzën b është në mënyrë tërthore me këndin ∠1. Dhe meqenëse, sipas kushtit, drejtëzat janë paralele, atëherë këto kënde janë të barabarta. Prandaj, këndi ∠2 do të jetë gjithashtu i barabartë me 90°. Kjo do të thotë se drejtëza c është pingul me drejtëzën b. Teorema në shqyrtim është vërtetuar.
Më pas vërtetojmë teoremën e kundërt me kriterin e dytë për drejtëzat paralele. Teorema e kundërt thotë se nëse dy drejtëza janë paralele, këndet përkatëse të formuara do të jenë të barabarta. Vërtetimi fillon me ndërtimin e një sekanti c dhe drejtëzave paralele a dhe b. Këndet e krijuara në këtë rast janë shënuar në figurë. Ka një çift këndesh përkatëse të quajtura ∠1 dhe ∠2, si dhe të shënuar këndin ∠3, i cili shtrihet në mënyrë tërthore me këndin ∠1. Paralelizmi i a dhe b nënkupton barazinë ∠3=∠1 si shtrirë në mënyrë tërthore. Duke marrë parasysh që ∠3, ∠2 janë vertikale, ato janë gjithashtu të barabarta. Pasojë e barazive të tilla është pohimi se ∠1=∠2. Teorema në shqyrtim është vërtetuar.
Teorema e fundit që provohet në këtë mësim është anasjellta e kriterit të fundit për drejtëzat paralele. Teksti i tij thotë se nëse një transversal kalon nëpër vija paralele, shuma e këndeve të njëanshme të formuara është e barabartë me 180°. Ecuria e vërtetimit tregohet në figurë, e cila tregon drejtëzat a dhe b që presin sekantin c. Është e nevojshme të vërtetohet se shuma e këndeve të njëanshme do të jetë e barabartë me 180°, pra ∠4+∠1 = 180°. Nga paralelizmi i drejtëzave a dhe b del barazia e këndeve përkatëse ∠1 dhe ∠2. Fqinjësia e këndeve ∠4, ∠2 do të thotë se ato mblidhen deri në 180°. Në këtë rast, këndet ∠1= ∠2 - kjo do të thotë se ∠1 e shtuar në këndin ∠4 do të jetë 180°. Teorema është vërtetuar.
Për një kuptim më të thellë se si formohen dhe vërtetohen teoremat e anasjellta, vihet re veçmas se nëse një teoremë është e vërtetuar dhe e vërtetë, kjo nuk do të thotë se edhe teorema e anasjelltë do të jetë e vërtetë. Për ta kuptuar këtë, jepet një shembull i thjeshtë. Ekziston një teoremë që të gjitha këndet vertikale janë të barabarta. Teorema e kundërt tingëllon sikur të gjitha këndet e barabarta janë vertikale, gjë që nuk është e vërtetë. Në fund të fundit, ju mund të ndërtoni dy kënde të barabarta që nuk janë vertikale. Kjo mund të shihet në foton e treguar.
Mësimi video "Teorema mbi këndet e formuara nga dy drejtëza paralele dhe një tërthore" është një ndihmë vizuale që mund të përdoret nga një mësues në një mësim gjeometrie, dhe gjithashtu mund të formojë me sukses një ide për teoremat dhe konkluzionet e anasjellta, si dhe provën e tyre kur studiojnë materialin në mënyrë të pavarur dhe të jenë të dobishme në trajnimin e mësimit në distancë.
