teoria e Gödel-it. Fakte interesante dhe këshilla të dobishme

Teoremat e paplotësueshmërisë së Kurt Gödel ishin një pikë kthese në matematikën e shekullit të 20-të. Dhe në dorëshkrimet e tij, të botuara pas vdekjes së tij, u ruajt një provë logjike e ekzistencës së Zotit. Në leximet e fundit të Krishtlindjeve, një raport interesant për këtë trashëgimi pak të njohur u bë nga profesori i asociuar i Seminarit Teologjik Tobolsk, Kandidati i Teologjisë, Prifti Dimitry KIRYANOV. "NS" kërkoi të shpjegonte idetë kryesore të shkencëtarit.

Teoremat e paplotësueshmërisë së Gödel: Një vrimë në matematikë

- A ka ndonjë mënyrë popullore për të shpjeguar teoremat e paplotësisë së Gödel? Berberi rruan vetëm ata që nuk rruhen vetë. A rruhet vetë një berber? A ka lidhje ky paradoks i famshëm me ta?

Teza kryesore e provës logjike të ekzistencës së Zotit, e paraqitur nga Kurt Gödel: "Zoti ekziston në mendime, por ekzistenca në realitet është më shumë se ekzistenca vetëm në mendime". Në foto: autori i teoremës së paplotësisë, Kurt Gödel, me mikun e tij, autorin e teorisë së relativitetit, Albert Einstein. Priston. Amerikën. 1950

- Po, sigurisht që po. Para Gödel, ekzistonte problemi i aksiomatizimit të matematikës dhe problemi i fjalive të tilla paradoksale që mund të shkruhen zyrtarisht në çdo gjuhë. Për shembull: "Kjo deklaratë është e rreme." Cila është e vërteta e kësaj deklarate? Nëse është e vërtetë, atëherë është e rreme, nëse është e rreme, atëherë është e vërtetë; Kjo rezulton në një paradoks gjuhësor. Gödel studioi aritmetikën dhe tregoi në teoremat e tij se qëndrueshmëria e saj nuk mund të vërtetohet bazuar në parimet e saj të vetëkuptueshme: aksiomat e mbledhjes, zbritjes, pjesëtimit, shumëzimit, etj. Ne kërkojmë disa supozime shtesë për ta justifikuar atë. Kjo bazohet në teorinë më të thjeshtë, por çfarë mund të themi për ato më komplekse (ekuacionet e fizikës, etj.)! Për të justifikuar çdo sistem konkluzionesh, ne jemi gjithmonë të detyruar të drejtohemi në ndonjë përfundim shtesë, i cili nuk justifikohet brenda kornizës së sistemit.

Para së gjithash, kjo tregon kufizimet e pretendimeve të mendjes njerëzore në njohjen e realitetit. Kjo do të thotë, nuk mund të themi se do të ndërtojmë një lloj teorie gjithëpërfshirëse të universit që do të shpjegojë gjithçka - një teori e tillë nuk mund të jetë shkencore.

- Si ndihen tani matematikanët për teoremat e Gödel? A nuk përpiqet askush t'i përgënjeshtrojë apo t'i shmangë disi?

"Është si të përpiqesh të hedhësh poshtë teoremën e Pitagorës." Teoremat kanë prova strikte logjike. Në të njëjtën kohë, po bëhen përpjekje për të gjetur kufizime në zbatueshmërinë e teoremave të Gödel-it. Por kryesisht debati sillet rreth implikimeve filozofike të teoremave të Gödel-it.

- Sa është zhvilluar prova e Gödel-it për ekzistencën e Zotit? A ka mbaruar?

"U përpunua në detaje, megjithëse vetë shkencëtari nuk guxoi ta botonte deri në vdekjen e tij." Gödel zhvillon ontologjike (metafizike. - "NS") argumenti i propozuar për herë të parë nga Anselm of Canterbury. Në formë të përmbledhur, ky argument mund të paraqitet si vijon: “Zoti, sipas definicionit, është Ai se i Cili nuk mund të konceptohet asgjë më e madhe. Zoti ekziston në të menduarit. Por ekzistenca në realitet është më shumë se ekzistenca vetëm në mendim. Prandaj, Zoti duhet të ekzistojë." Argumenti i Anselmit u zhvillua më vonë nga René Descartes dhe Gottfried Wilhelm Leibniz. Kështu, sipas Dekartit, të mendosh për Qenien e Përsosur Supreme, së cilës i mungon ekzistenca, do të thotë të biesh në një kontradiktë logjike. Në kontekstin e këtyre ideve, Gödel zhvillon versionin e tij të provës që përshtatet fjalë për fjalë në dy faqe. Fatkeqësisht, paraqitja e argumentit të tij është e pamundur pa futur bazat e logjikës modale shumë komplekse.

Natyrisht, papërsosmëria logjike e përfundimeve të Gödel nuk e detyron një person të bëhet besimtar nën presionin e forcës së provave. Nuk duhet të jemi naivë dhe të besojmë se mund të bindim çdo person të arsyeshëm të besojë në Zot duke përdorur një argument ontologjik ose prova të tjera. Besimi lind kur një person del ballë për ballë me praninë e dukshme të Realitetit suprem transcendental të Zotit. Por mund të përmendim të paktën një person të cilit prova ontologjike e çoi në besim fetar - shkrimtari Clive Staples Lewis, ai vetë e pranoi këtë.

E ardhmja e largët është e kaluara e largët

— Si e trajtuan Gödel-in bashkëkohësit? A ishte ai shok me ndonjë nga shkencëtarët e mëdhenj?

- Ndihmësi i Ajnshtajnit në Princeton dëshmon se i vetmi person me të cilin ai ishte mik në vitet e fundit të jetës së tij ishte Kurt Gödel. Ata ishin të ndryshëm pothuajse në çdo gjë - Ajnshtajni ishte i shoqërueshëm dhe i gëzuar, ndërsa Gödel ishte jashtëzakonisht serioz, plotësisht i vetmuar dhe mosbesues. Por ata kishin një cilësi të përbashkët: të dy shkuan drejtpërdrejt dhe sinqerisht në çështjet qendrore të shkencës dhe filozofisë. Pavarësisht miqësisë së tij me Ajnshtajnin, Gödel kishte pikëpamjen e tij specifike për fenë. Ai hodhi poshtë idenë e Zotit si një qenie jopersonale, siç ishte Zoti për Ajnshtajnin. Me këtë rast, Gödel vërejti: “Feja e Ajnshtajnit është shumë abstrakte, si filozofia e Spinozës dhe ajo indiane. Zoti i Spinozës është më pak se një person; Perëndia im është më shumë se një person; pasi Zoti mund të luajë rolin e personalitetit.” Mund të ketë shpirtra që nuk kanë trup, por mund të komunikojnë me ne dhe të ndikojnë në botë."

- Si përfundoi Gödel në Amerikë? Ikën nga nazistët?

— Po, ai erdhi në Amerikë në vitin 1940 nga Gjermania, pavarësisht se nazistët e njohën si arian dhe shkencëtar të madh, duke e përjashtuar nga shërbimi ushtarak. Ai dhe gruaja e tij Adele bënë rrugën e tyre përmes Rusisë përgjatë Hekurudhës Trans-Siberiane. Ai nuk la kujtime nga ky rrugëtim. Adele kujton vetëm frikën e vazhdueshme gjatë natës se do ta ndalojnë dhe do ta kthejnë mbrapsht. Pas tetë vitesh jetese në Amerikë, Gödel u bë shtetas amerikan. Si të gjithë aplikantët për shtetësi, ai duhej t'u përgjigjej pyetjeve në lidhje me Kushtetutën Amerikane. Duke qenë një person skrupuloz, ai u përgatit për këtë provim me shumë kujdes. Më në fund ai tha se kishte gjetur një mospërputhje në Kushtetutë: “Kam zbuluar një mundësi logjikisht legjitime në të cilën Shtetet e Bashkuara mund të bëhen diktaturë”. Miqtë e tij e kuptuan se, pavarësisht nga meritat logjike të argumentit të Gödel-it, kjo mundësi ishte thjesht hipotetike në natyrë dhe paralajmëruan që të mos flitej gjatë për këtë temë në provim.

— A i përdorën Gödel dhe Ajnshtajni idetë e njëri-tjetrit në punën shkencore?

— Në vitin 1949, Gödel shprehu idetë e tij kozmologjike në një ese matematikore, e cila, sipas Albert Ajnshtajnit, ishte një kontribut i rëndësishëm në teorinë e përgjithshme të relativitetit. Gödel besonte se koha - "ai entitet misterioz dhe në të njëjtën kohë vetë-kontradiktor që formon bazën e botës dhe të vetë ekzistencës sonë" - do të bëhej përfundimisht iluzioni më i madh. Ajo “një ditë” do të pushojë së ekzistuari dhe do të vijë një formë tjetër ekzistence, e cila mund të quhet përjetësi. Kjo ide e kohës e çoi logjikistin e madh në një përfundim të papritur. Ai shkroi: “Unë jam i bindur për një jetë të përtejme, pavarësisht nga teologjia. Nëse bota është projektuar në mënyrë inteligjente, atëherë duhet të ketë një jetë të përtejme."

- "Koha është një entitet vetë-kontradiktor." Tingëllon e çuditshme; a ka kjo ndonjë kuptim fizik?

— Gödel tregoi se brenda kornizës së ekuacionit të Ajnshtajnit është e mundur të ndërtohet një model kozmologjik me kohë të mbyllur, ku e kaluara e largët dhe e ardhmja e largët përkojnë. Në këtë model, udhëtimi në kohë bëhet teorikisht i mundur. Tingëllon e çuditshme, por është e shprehur matematikisht - kjo është çështja. Ky model mund të ketë ose jo implikime eksperimentale. Është një konstrukt teorik që mund të jetë i dobishëm në ndërtimin e modeleve të reja kozmologjike - ose mund të rezultojë i panevojshëm. Fizika teorike moderne, në veçanti kozmologjia kuantike, ka një strukturë matematikore kaq komplekse saqë është shumë e vështirë t'u japësh një kuptim të qartë filozofik këtyre strukturave. Për më tepër, disa nga planet e tij teorike janë deri tani të paprovueshme eksperimentalisht për arsyen e thjeshtë se verifikimi i tyre kërkon zbulimin e grimcave me energji shumë të lartë. Mos harroni se si njerëzit u alarmuan për lëshimin e Përplasësit të Madh të Hadronit: media vazhdimisht i frikësonte njerëzit se fundi i botës po afrohej. Në fakt, u krye një eksperiment serioz shkencor për të testuar modelet e kozmologjisë kuantike dhe të ashtuquajturat "teori të mëdha të unifikuara". Nëse do të ishte e mundur të zbuloheshin të ashtuquajturat grimca Higgs, ky do të ishte një hap tjetër në kuptimin tonë të fazave më të hershme të ekzistencës së Universit tonë. Por ndërsa nuk ka të dhëna eksperimentale, modelet konkurruese të kozmologjisë kuantike vazhdojnë të mbeten thjesht modele matematikore.

Besimi dhe intuita

— “...Zoti im është më shumë se një person; meqenëse Zoti mund të luajë rolin e një personi...” Megjithatë, besimi i Gödel është larg rrëfimit ortodoks?

- Shumë pak nga deklaratat e Gödel për besimin e tij kanë mbijetuar ato pak nga pak. Përkundër faktit se Gödel bëri draftet e para të versionit të tij të argumentit në vitin 1941, deri në vitin 1970, nga frika e talljeve të kolegëve të tij, ai nuk foli për këtë. Në shkurt 1970, duke ndjerë se vdekja po afrohej, ai lejoi ndihmësin e tij të kopjonte një version të provës së tij. Pas vdekjes së Gödel në 1978, një version paksa i ndryshëm i argumentit ontologjik u zbulua në letrat e tij. Gruaja e Kurt Gödel, Adele, tha dy ditë pas vdekjes së të shoqit se Gödel, “ndonëse nuk shkonte në kishë, ishte fetar dhe lexonte Biblën në shtrat çdo të dielë në mëngjes”.

Kur flasim për shkencëtarë si Gödel, Ajnshtajni ose, le të themi, Galileo apo Njutoni, është e rëndësishme të theksojmë se ata nuk ishin ateistë. Ata panë që pas Universit ka një Mendje, një lloj Fuqie më të Larte. Për shumë shkencëtarë, bindja në ekzistencën e një Mendje Supreme ishte një nga pasojat e reflektimit të tyre shkencor dhe ky reflektim jo gjithmonë çoi në shfaqjen e një lidhjeje të thellë fetare midis një personi dhe Zotit. Në lidhje me Gödelin, mund të themi se ai e ndjente nevojën për këtë lidhje, pasi theksoi se ishte teist dhe e mendonte Zotin si person. Por, sigurisht, besimi i tij nuk mund të quhet ortodoks. Ai ishte, si të thuash, një "luteran i shtëpisë".

— A mund të jepni shembuj historikë: si arrijnë të besojnë shkencëtarë të ndryshëm në Zot? Këtu është gjenetisti Francis Collins, sipas rrëfimeve të tij, studimi i strukturës së ADN-së e çoi në besimin në Zot...

— Njohja natyrore e Zotit në vetvete nuk është e mjaftueshme për njohjen e Zotit. Nuk mjafton të zbulosh Perëndinë duke studiuar natyrën, është e rëndësishme të mësosh ta njohësh Atë nëpërmjet Zbulesës që Perëndia i dha njeriut. Ardhja e një personi në besim, pavarësisht nëse ai është shkencëtar apo jo, gjithmonë mbështetet në diçka që shkon përtej argumenteve të thjeshta logjike apo shkencore. Francis Collins shkruan se ai erdhi në besim në moshën 27-vjeçare pas një debati të gjatë intelektual me veten dhe nën ndikimin e Clive Staples Lewis. Dy njerëz janë në të njëjtën situatë historike, në të njëjtat kushte fillestare: njëri bëhet besimtar, tjetri ateist. Së pari, studimi i ADN-së çon në besimin në ekzistencën e Zotit. Një tjetër studion dhe nuk del në këtë përfundim. Dy njerëz shikojnë një foto: njëri mendon se është e bukur dhe tjetri thotë: "Kështu, një foto e zakonshme!" Njëri ka shije, intuitë dhe tjetri jo. Profesori i Universitetit Ortodoks Humanitar të Shën Tikhonit, Vladimir Nikolaevich Katasonov, Doktor i Filozofisë, matematikan nga arsimi i parë, thotë: “Asnjë provë në matematikë nuk është e mundur pa intuitë: një matematikan fillimisht sheh figurën dhe më pas formulon provën”.

Çështja e ardhjes në besim të një personi është gjithmonë një pyetje që shkon përtej arsyetimit të vetëm logjik. Si mund ta shpjegoni atë që ju çoi në besim? Burri përgjigjet: Shkova në tempull, mendova, lexova këtë dhe atë, pashë harmoninë e universit; por momenti më i rëndësishëm, më i jashtëzakonshëm në të cilin një person e di papritur se ka takuar praninë e Zotit nuk mund të shprehet. Është gjithmonë një mister.

— A mund të identifikoni problemet që shkenca moderne nuk mund t'i zgjidhë?

— Në fund të fundit, shkenca është një ndërmarrje mjaft e sigurt, e pavarur dhe me përparim të mirë për të folur kaq ashpër. Është një mjet i mirë dhe shumë i dobishëm në duart e njeriut. Që nga koha e Francis Bacon, dija është bërë me të vërtetë një forcë që ka ndryshuar botën. Shkenca zhvillohet në përputhje me ligjet e saj të brendshme: shkencëtari përpiqet të kuptojë ligjet e universit dhe nuk ka dyshim se ky kërkim do të çojë në sukses. Por në të njëjtën kohë, është e nevojshme të njihen kufijtë e shkencës. Nuk duhet ngatërruar shkencën dhe ato pyetje ideologjike që mund të ngrihen në lidhje me shkencën. Problemet kryesore sot lidhen jo aq me metodën shkencore sa me orientimet e vlerave. Shkenca gjatë shekullit të gjatë të njëzetë u perceptua nga njerëzit si një e mirë absolute që kontribuon në përparimin e njerëzimit; dhe shohim se shekulli i njëzetë u bë më mizori për sa i përket viktimave njerëzore. Dhe këtu lind pyetja për vlerat e përparimit shkencor, njohurive në përgjithësi. Vlerat etike nuk rrjedhin nga vetë shkenca. Një shkencëtar i shkëlqyer mund të shpikë një armë për të shkatërruar të gjithë njerëzimin, dhe kjo ngre një pyetje për përgjegjësinë morale të shkencëtarit, të cilës shkenca nuk mund t'i përgjigjet. Shkenca nuk mund t'i tregojë njeriut kuptimin dhe qëllimin e ekzistencës së tij. Shkenca nuk do të jetë kurrë në gjendje t'i përgjigjet pyetjes, pse jemi këtu? Pse ekziston Universi? Këto pyetje zgjidhen në një nivel tjetër të njohurive, si filozofia dhe feja.

- Përveç teoremave të Gödel-it, a ka ndonjë dëshmi tjetër që metoda shkencore ka kufijtë e saj? A e pranojnë vetë shkencëtarët këtë?

- Tashmë në fillim të shekullit të 20-të, filozofët Bergson dhe Husserl theksuan rëndësinë relative të njohurive shkencore të natyrës. Tani është bërë një besim pothuajse universal midis filozofëve të shkencës se teoritë shkencore përfaqësojnë modele hipotetike për shpjegimin e fenomeneve. Një nga krijuesit e mekanikës kuantike, Erwin Schrödinger, tha se grimcat elementare janë vetëm imazhe, por ne mund të bëjmë lehtësisht pa to. Sipas filozofit dhe logjikës Karl Popper, teoritë shkencore janë si një rrjetë përmes së cilës ne përpiqemi të kapim botën, ato nuk janë si fotografitë. Teoritë shkencore janë në zhvillim dhe ndryshim të vazhdueshëm. Krijuesit e mekanikës kuantike, si Pauli, Bohr dhe Heisenberg, folën për kufijtë e metodës shkencore. Pauli shkroi: "...Fizika dhe psikika mund të konsiderohen si aspekte shtesë të të njëjtit realitet" - dhe u përqendrua në pakësueshmërinë e niveleve më të larta të ekzistencës në ato më të ulëta. Shpjegime të ndryshme mbulojnë vetëm një aspekt të materies në një kohë, por një teori gjithëpërfshirëse nuk do të arrihet kurrë.

Bukuria dhe harmonia e universit presupozon mundësinë e njohjes së tij me metoda shkencore. Në të njëjtën kohë, të krishterët e kanë kuptuar gjithmonë pakuptueshmërinë e misterit pas këtij universi material. Universi nuk ka bazë në vetvete dhe tregon burimin e përsosur të ekzistencës - Zotin.

Çdo sistem aksiomash matematikore, duke filluar nga një nivel i caktuar kompleksiteti, është ose kontradiktor i brendshëm ose i paplotë.

Në vitin 1900, në Paris u mbajt Konferenca Botërore e Matematikanëve, në të cilën David Hilbert (1862–1943) paraqiti në formën e tezave 23 problemet më të rëndësishme, sipas mendimit të tij, që teoricienët e shekullit të njëzetë të ardhshëm duhej të zgjidhnin. Numri dy në listën e tij ishte një nga ato probleme të thjeshta, përgjigja e të cilave duket e qartë derisa të gërmoni pak më thellë. Në terma moderne, kjo ishte pyetja: a është matematika e vetë-mjaftueshme? Detyra e dytë e Hilbertit përbëhej nga nevoja për të vërtetuar rreptësisht se sistemi i aksiomave - pohime themelore të pranuara në matematikë si bazë pa prova - është i përsosur dhe i plotë, domethënë, ai lejon që dikush të përshkruajë matematikisht gjithçka që ekziston. Ishte e nevojshme të vërtetohej se ishte e mundur të përcaktohej një sistem i tillë aksiomash që ato, së pari, të ishin të qëndrueshme reciproke, dhe së dyti, prej tyre mund të nxirret një përfundim në lidhje me vërtetësinë ose falsitetin e çdo deklarate.

Le të marrim një shembull nga gjeometria e shkollës. Në planimetrinë standarde Euklidiane (gjeometria në një plan), mund të vërtetohet pa dyshim se pohimi "shuma e këndeve të një trekëndëshi është 180°" është i vërtetë, dhe pohimi "shuma e këndeve të një trekëndëshi është 137". °” është e rreme. Duke folur në thelb, në gjeometrinë Euklidiane çdo deklaratë është ose e rreme ose e vërtetë, dhe nuk ka asnjë opsion të tretë. Dhe në fillim të shekullit të njëzetë, matematikanët besonin me naivitet se e njëjta situatë duhet të vëzhgohej në çdo sistem logjikisht të qëndrueshëm.

Dhe më pas, në vitin 1931, një matematikan vjenez me syze Kurt Gödel botoi një artikull të shkurtër që thjesht tronditi të gjithë botën e të ashtuquajturës "logjikë matematikore". Pas preambulave të gjata dhe komplekse matematikore dhe teorike, ai vendosi fjalë për fjalë sa vijon. Le të marrim çdo deklaratë si: "Supozimi nr. 247 në këtë sistem aksiomash është logjikisht i paprovueshëm" dhe ta quajmë atë "pohim A". Pra, Gödel thjesht vërtetoi vetinë e mahnitshme të mëposhtme të çdo sistemi aksiomash:

"Nëse pohimi A mund të provohet, atëherë deklarata jo-A mund të provohet."

Me fjalë të tjera, nëse mund të vërtetohet vlefshmëria e pohimit “Supozimi 247 është i paprovueshëm”, atëherë mund të vërtetohet edhe vlefshmëria e pohimit “Supozimi 247 është i provueshëm”. Kjo do të thotë, duke u kthyer në formulimin e problemit të dytë të Hilbertit, nëse një sistem aksiomash është i plotë (d.m.th., çdo deklaratë në të mund të vërtetohet), atëherë është kontradiktore.

E vetmja rrugëdalje nga kjo situatë është pranimi i një sistemi jo të plotë aksiomash. Kjo do të thotë, ne duhet të durojmë faktin se në kontekstin e çdo sistemi logjik do të kemi ende pohime të tipit A që janë dukshëm të vërteta ose të rreme - dhe të vërtetën e tyre mund ta gjykojmë vetëm jashtë kornizës së aksiomatikës që kemi. pranuar. Nëse nuk ka pohime të tilla, atëherë aksiomatika jonë është kontradiktore dhe në kuadrin e saj do të ketë pashmangshmërisht formulime që mund të vërtetohen dhe të kundërshtohen.

Pra, formulimi i teoremës së parë, ose të dobët, të paplotësisë së Gödel: "Çdo sistem formal aksiomash përmban supozime të pazgjidhura." Por Gödel nuk u ndal me kaq, duke formuluar dhe vërtetuar teoremën e dytë, ose të fortë, të paplotësisë së Gödel-it: “Plotësia (ose paplotësia) logjike e çdo sistemi aksiomash nuk mund të provohet brenda kornizës së këtij sistemi. Për ta vërtetuar ose hedhur poshtë, kërkohen aksioma shtesë (forcimi i sistemit).

Do të ishte më e sigurt të mendohej se teoremat e Gödel janë abstrakte në natyrë dhe nuk na shqetësojnë ne, por vetëm fusha të logjikës sublime matematikore, por në fakt doli se ato lidhen drejtpërdrejt me strukturën e trurit të njeriut. Matematikani dhe fizikani anglez Roger Penrose (l. 1931) tregoi se teoremat e Gödel-it mund të përdoren për të vërtetuar ekzistencën e dallimeve themelore midis trurit të njeriut dhe një kompjuteri. Kuptimi i arsyetimit të tij është i thjeshtë. Kompjuteri vepron në mënyrë strikte logjike dhe nuk është në gjendje të përcaktojë nëse pohimi A është i vërtetë apo i rremë nëse shkon përtej aksiomatikës, dhe deklarata të tilla, sipas teoremës së Gödel, ekzistojnë në mënyrë të pashmangshme. Një person, i përballur me një deklaratë të tillë logjikisht të paprovueshme dhe të pakundërshtueshme A, është gjithmonë në gjendje të përcaktojë të vërtetën ose falsitetin e saj - bazuar në përvojën e përditshme. Në këtë të paktën, truri i njeriut është superior ndaj një kompjuteri të lidhur nga qarqe të pastra logjike. Truri i njeriut është i aftë të kuptojë thellësinë e plotë të së vërtetës që përmban teoremat e Gödel-it, por truri kompjuterik nuk mundet kurrë. Prandaj, truri i njeriut është gjithçka tjetër veçse një kompjuter. Ai është i aftë të marrë vendime dhe do të kalojë testin Turing.

Pyes veten nëse Hilberti kishte ndonjë ide se sa larg do të na çonin pyetjet e tij?

Kurt GÖDEL
Kurt Godel, 1906–78

Matematikan austriak, më pas amerikan. Lindur në Brünn (tani Brno, Republika Çeke). U diplomua në Universitetin e Vjenës, ku mbeti mësues në departamentin e matematikës (që nga viti 1930 - profesor). Në vitin 1931 ai botoi një teoremë që më vonë mori emrin e tij. Duke qenë një person thjesht apolitik, ai pati një kohë jashtëzakonisht të vështirë me vrasjen e shokut dhe kolegut të tij nga një student nazist dhe ra në një depresion të thellë, rikthimet e të cilit e ndoqën atë gjatë gjithë jetës së tij. Në vitet 1930 emigroi në SHBA, por u kthye në vendlindjen e tij në Austri dhe u martua. Në vitin 1940, në kulmin e luftës, ai u detyrua të ikte në Amerikë me tranzit përmes BRSS dhe Japonisë. Ai punoi për disa kohë në Institutin për Studime të Avancuara në Princeton. Fatkeqësisht, psikika e shkencëtarit nuk mund ta duronte dhe ai vdiq në një klinikë psikiatrike nga uria, duke refuzuar të hante, sepse ishte i bindur se do ta helmonin.

Si zhvillohet një model shkencor në shkencat natyrore? Përvoja e përditshme ose shkencore është akumuluar, piketa e saj formulohen me kujdes në formën e postulateve dhe përbëjnë bazën e modelit: një grup pohimesh të pranuara nga të gjithë ata që punojnë në kuadrin e këtij modeli.

Anatoly Wasserman

Në vitin 1930, Kurt Gödel vërtetoi dy teorema që, të përkthyera nga gjuha matematikore në gjuhën njerëzore, do të thotë afërsisht sa vijon: Çdo sistem aksiomash mjaft i pasur për t'u përdorur për të përcaktuar aritmetikën do të jetë ose i paplotë ose kontradiktor. Jo një sistem i plotë - kjo do të thotë se në sistem mund të formulohet një deklaratë, e cila me anë të këtij sistemi nuk mund të provohet dhe as të hidhet poshtë. Por Zoti, sipas përkufizimit, është shkaku përfundimtar i të gjitha shkaqeve. Nga pikëpamja e matematikës, kjo do të thotë se futja e aksiomës për Zotin e bën të plotë aksiomën tonë. Nëse ekziston një Zot, atëherë çdo deklaratë ose mund të provohet ose të kundërshtohet, duke iu referuar, në një mënyrë ose në një tjetër, Zotit. Por sipas Gödel, sistemi i plotë i aksiomave është në mënyrë të pashmangshme kontradiktor. Kjo do të thotë, nëse besojmë se Zoti ekziston, atëherë jemi të detyruar të arrijmë në përfundimin se kontradiktat janë të mundshme në natyrë. Dhe duke qenë se nuk ka kontradikta, përndryshe e gjithë bota jonë do të shkërmoqej nga këto kontradikta, ne duhet të arrijmë në përfundimin se ekzistenca e Zotit është e papajtueshme me ekzistencën e natyrës.

Sosinsky A.B.

Teorema e Gödel, së bashku me zbulimet e relativitetit, mekanikës kuantike dhe ADN-së, konsiderohet përgjithësisht si arritja më e madhe shkencore e shekullit të 20-të. Pse? Cili është thelbi i tij? Cila është rëndësia e saj? Këto pyetje janë adresuar në leksionin e tij në kuadër të projektit "Leksione publike "Polit.ru" nga Alexey Bronislavovich Sosinsky, matematikan, profesor në Universitetin e Pavarur të Moskës, oficer i Urdhrit të Palmave Akademike të Republikës Franceze, laureat i Çmimi i Qeverisë Ruse në fushën e arsimit në 2012. Në veçanti, u dhanë disa formulime të ndryshme të tij, u përshkruan tre qasje për vërtetimin e tij (Kolmogorov, Chaitin dhe vetë Gödel) dhe u shpjegua rëndësia e tij për matematikën, fizikën, shkencat kompjuterike dhe filozofinë.

Uspensky V. A.

Ligjërata në shkollën verore “Matematika Moderne”, Dubna.

Uspensky V. A.

Leksioni i kushtohet versionit sintaksor të Teoremës së Paplotësisë së Gödel-it. Vetë Gödel vërtetoi versionin sintaksor duke përdorur një supozim më të fortë se konsistenca, domethënë të ashtuquajturën konsistencë omega.

Ekologjia e jetës. Shkenca dhe zbulimi: Teorema e paplotësueshmërisë së Gödel-it, një nga teoremat më të famshme të logjikës matematikore, është me fat dhe pa fat. Në këtë është e ngjashme me teorinë speciale të relativitetit të Ajnshtajnit. Nga njëra anë, pothuajse të gjithë kanë dëgjuar diçka për ta. Nga një interpretim tjetër, teoria e Ajnshtajnit "thotë se gjithçka në botë është relative".

Teorema Gödel për paplotësinë, një nga teoremat më të famshme të logjikës matematikore, është me fat dhe pa fat në të njëjtën kohë. Në këtë është e ngjashme me teorinë speciale të relativitetit të Ajnshtajnit.

Nga njëra anë, pothuajse të gjithë kanë dëgjuar diçka për ta. Nga ana tjetër, në interpretimin popullor teoria e Ajnshtajnit, siç dihet, " thotë se gjithçka në botë është relative" A Teorema e paplotesise se Gödel(në tekstin e mëtejmë thjesht TGN), afërsisht në të njëjtin formulim të lirë popullor, " vërteton se ka gjëra të pakuptueshme për mendjen e njeriut».

Dhe kështu disa po përpiqen ta përshtatin atë si një argument kundër sharjes eerializmit , ndërsa të tjerët, përkundrazi, vërtetojnë me ndihmën e tij, se nuk ka zot . Gjëja qesharake nuk është vetëm se të dyja palët nuk mund të kenë të drejtë në të njëjtën kohë, por edhe se asnjëra dhe as tjetra nuk shqetësohen të kuptojnë se çfarë thotë në të vërtetë kjo teoremë.

Pra, çfarë? Më poshtë do të përpiqem t'ju tregoj për këtë në gishtat e mi. Prezantimi im, natyrisht, do të jetë jo rigoroz dhe intuitiv, por do t'u kërkoj matematikanëve të mos më gjykojnë rreptësisht. Është e mundur që për jo-matematicienët (nga të cilët, në fakt, unë jam një), do të ketë diçka të re dhe të dobishme në atë që përshkruhet më poshtë.

Logjika matematikore është me të vërtetë një shkencë mjaft komplekse, dhe më e rëndësishmja, jo shumë e njohur. Kërkon manovra të kujdesshme dhe strikte, në të cilat është e rëndësishme të mos ngatërrohet ajo që është vërtetuar në të vërtetë me atë që është "tashmë e qartë". Megjithatë, shpresoj që për të kuptuar "përvijimin e një prove të TGN" në vijim lexuesit do t'i nevojiten vetëm njohuri të matematikës/shkencës kompjuterike të shkollës së mesme, aftësi të të menduarit logjik dhe 15-20 minuta kohë.

Për ta thjeshtuar disi, TGN argumenton se në gjuhët mjaft komplekse ka deklarata të paprovueshme. Por në këtë frazë pothuajse çdo fjalë ka nevojë për shpjegim.

Le të fillojmë duke u përpjekur të kuptojmë se çfarë është një provë. Le të marrim një problem aritmetik shkollor. Për shembull, supozoni se ju duhet të provoni korrektësinë e formulës së mëposhtme të thjeshtë: "∀x(x−1)(x−2)−2=x(x−3)" (më lejoni t'ju kujtoj se simboli ∀ lexohet "për cilindo" dhe quhet "kuantifikues universal"). Ju mund ta provoni atë duke e transformuar në mënyrë identike, të themi, si kjo:

∀x(x−1)(x−2)−2=x(x−3)

∀xx2−3x+2−2=x2−3x

∀xx2−3x–x2+3x=0

∀x0=0

E VËRTETË

Kalimi nga një formulë në tjetrën ndodh sipas disa rregullave të njohura. Kalimi nga formula e 4-të në të 5-tën ndodhi, le të themi, sepse çdo numër është i barabartë me vetveten - kjo është një aksiomë e aritmetikës. Dhe e gjithë procedura e provës, kështu, e përkthen formulën në vlerën Boolean TRUE. Rezultati mund të jetë gjithashtu një gënjeshtër - nëse do të hedhim poshtë ndonjë formulë. Në këtë rast, ne do të vërtetonim mohimin e saj. Dikush mund të imagjinojë një program (dhe programe të tilla në fakt janë shkruar) që do të provonte deklarata të ngjashme (dhe më komplekse) pa ndërhyrjen njerëzore.

Le të themi të njëjtën gjë pak më formalisht. Le të kemi një grup të përbërë nga vargje karakteresh të ndonjë alfabeti, dhe ka rregulla me të cilat nga këto vargje mund të zgjedhim një nëngrup S të ashtuquajturat pohime - domethënë fraza me kuptim gramatikor, secila prej të cilave është e vërtetë ose e rreme. Mund të themi se ekziston një funksion P që cakton pohime nga S një nga dy vlerat: TRUE ose FALSE (d.m.th., i harton ato në një grup Boolean B të dy elementeve).

Le ta quajmë këtë çift- bashkësia e pohimeve S dhe funksioni P nga >S në B - "gjuha e deklaratave". Vini re se në kuptimin e përditshëm koncepti i gjuhës është disi më i gjerë. Për shembull, shprehja ruse " Ejani këtu!"Nuk është as e vërtetë as e rreme, domethënë nga pikëpamja e logjikës matematikore, nuk është një deklaratë.

Për të vazhduar më tej do të na duhet koncepti i një algoritmi. Unë nuk do të jap një përkufizim zyrtar të tij këtu - kjo do të na çonte shumë larg. Unë do të kufizohem në joformale: "algoritmi" është një sekuencë udhëzimesh të paqarta ("program") që, në një numër të caktuar hapash, i shndërron të dhënat fillestare në rezultat.

Ajo që është në kursive është thelbësisht e rëndësishme - nëse programi lidhet me disa të dhëna fillestare, atëherë ai nuk përshkruan algoritmin. Për thjeshtësi dhe zbatim në rastin tonë, lexuesi mund të konsiderojë se një algoritëm është një program i shkruar në çdo gjuhë programimi të njohur për të, i cili, për çdo të dhënë hyrëse nga një klasë e caktuar, është e garantuar të përfundojë punën e tij duke prodhuar një rezultat Boolean.

Le të pyesim veten: për çdo funksion P ekziston një "algoritëm vërtetues" (ose, shkurt, " deduktive"), ekuivalente me këtë funksion, domethënë, duke e transformuar çdo deklaratë në të njëjtën vlerë Boolean si ajo? E njëjta pyetje mund të formulohet më shkurt: A është i llogaritshëm çdo funksion mbi një grup deklaratash?

Siç e keni marrë me mend tashmë, nga vlefshmëria e TGN rrjedh se jo, jo çdo funksion - ka funksione të pallogaritshme të këtij lloji. Me fjalë të tjera, Jo çdo deklaratë e vërtetë mund të vërtetohet.

Ka shumë mundësi që kjo deklaratë të shkaktojë një protestë të brendshme tek ju. Kjo është për shkak të disa rrethanave. Së pari, kur na mësohet matematika shkollore, ndonjëherë kemi përshtypjen e rreme se frazat "Teorema X është e vërtetë" dhe "Teorema X mund të vërtetohet ose verifikohet" janë pothuajse plotësisht identike.

Por, nëse mendoni për këtë, kjo nuk është aspak e qartë. Disa teorema vërtetohen mjaft thjesht (për shembull, duke provuar një numër të vogël opsionesh), ndërsa të tjerat janë shumë të vështira. Le të kujtojmë, për shembull, të famshmin e Madh Teorema e Fermatit:

Nuk ka numra natyrorë x,y,z dhe n>2 të tillë që xn+yn=zn,

prova e së cilës u gjet vetëm tre shekuj e gjysmë pas formulimit të parë (dhe është larg të qenit elementar). ME Duhet bërë dallimi ndërmjet vërtetësisë së një deklarate dhe vërtetueshmërisë së tij. Nga askund nuk rezulton se nuk ka deklarata të vërteta, por të paprovueshme (dhe jo plotësisht të verifikueshme).

Argumenti i dytë intuitiv kundër TGN është më delikate. Le të themi se kemi një deklaratë të paprovueshme (në kuadër të kësaj deduktive). Çfarë na pengon ta pranojmë atë si një aksiomë të re? Kështu, ne do ta komplikojmë pak sistemin tonë të provave, por kjo nuk është e frikshme.

Ky argument do të ishte plotësisht i saktë nëse do të kishte një numër të kufizuar pohimesh të paprovueshme. Në praktikë, mund të ndodhë si më poshtë: pasi të postulosh një aksiomë të re, ndeshesh me një deklaratë të re të paprovueshme. Nëse e pranoni si një aksiomë tjetër, do të pengoheni te e treta. Dhe kështu me radhë ad infinitum.

Ata thonë se zbritja do të mbetet e paplotë. Ne gjithashtu mund ta detyrojmë algoritmin e vërtetimit të përfundojë në një numër të caktuar hapash me një rezultat për çdo shqiptim të gjuhës. Por në të njëjtën kohë, ai do të fillojë të gënjejë - duke çuar në të vërtetën për deklarata të pasakta, ose në gënjeshtra - për besimtarët.

Në raste të tilla ata thonë se zbritja është kontradiktore. Kështu, një formulim tjetër i TGN tingëllon si ky: " Ka gjuhë propozicionale për të cilat një proces i plotë deduktiv i qëndrueshëm është i pamundur." - prandaj emri i teoremës.

Nganjëherë quhet "teorema e Gödel", pohimi është se çdo teori përmban probleme që nuk mund të zgjidhen brenda vetë teorisë dhe kërkojnë përgjithësimin e saj. Në një farë kuptimi kjo është e vërtetë, megjithëse ky formulim tenton të errësojë çështjen në vend që ta sqarojë atë.

Do të vërej gjithashtu se nëse do të flisnim për funksione të njohura që hartojnë një grup numrash realë në të, atëherë "mosllogaritshmëria" e funksionit nuk do të befasonte askënd (thjesht mos ngatërroni "funksionet e llogaritshme" dhe "numrat e llogaritshëm" ” - këto janë gjëra të ndryshme).

Kurt Gödel

Çdo nxënës shkolle e di se, të themi, në rastin e funksionit sin⁡x, duhet të jesh shumë me fat me argumentin në mënyrë që procesi i llogaritjes së paraqitjes së saktë dhjetore të vlerës së këtij funksioni të përfundojë në një numër të fundëm. të hapave.

Por ka shumë të ngjarë që ju do ta llogaritni atë duke përdorur një seri të pafundme, dhe kjo llogaritje nuk do të çojë kurrë në një rezultat të saktë, megjithëse mund të afrohet sa të doni - thjesht sepse vlera sinus e shumicës së argumenteve është irracionale. TGN thjesht na tregon se edhe midis funksioneve, argumentet e të cilëve janë vargje dhe vlerat e të cilave janë zero ose një, ka edhe funksione jo të llogaritshme, megjithëse ato kanë një strukturë krejtësisht të ndryshme.

Për qëllime të mëtejshme, ne do të përshkruajmë "gjuhën e aritmetikës formale". Konsideroni një klasë vargjesh teksti me gjatësi të kufizuar të përbërë nga numra arabë, variabla (shkronja të alfabetit latin) që marrin vlera natyrore, hapësira, shenja aritmetike, barazi dhe pabarazi, kuantifikues ∃ ("ekziston") dhe ∀ ("për çdo") dhe, ndoshta disa simbole të tjera (numri dhe përbërja e tyre e saktë janë të parëndësishme për ne).

Është e qartë se jo të gjitha rreshtat e tillë janë kuptimplotë (për shembull, "12=+∀x>" është e pakuptimtë). Nëngrupi i shprehjeve kuptimplote nga kjo klasë (d.m.th., vargjet që janë të vërteta ose të rreme nga pikëpamja e aritmetikës së zakonshme) do të jetë grupi ynë i pohimeve.

Shembuj të deklaratave aritmetike formale:

1=1

2×2=5

∃xx>3

∀y∀zy×z>y+ z

etj. Tani le të quajmë një "formulë me një parametër të lirë" (FSP) një varg që bëhet një deklaratë nëse një numër natyror zëvendësohet në të si ky parametër. Shembuj të FSP (me parametrin x):

x=0

2×2=x

∃yx+y>x

etj. Me fjalë të tjera, FSP-të janë ekuivalente me funksionet e argumentit natyror me vlera Boolean.

Le të shënojmë grupin e të gjitha FSP-ve me shkronjën F. Është e qartë se mund të renditet (për shembull, fillimisht shkruajmë formulat me një shkronjë të renditura sipas alfabetit, të ndjekura nga formulat me dy shkronja, etj.; nuk është e rëndësishme tek ne me cilin alfabet do të bëhet renditja). Kështu, çdo FSP korrespondon me numrin e tij k në listën e renditur, dhe ne do ta shënojmë atë Fk.

Le të kalojmë tani në një skicë të provës së TGN në formulimin e mëposhtëm:

Për gjuhën propozicionale të aritmetikës formale nuk ka një sistem të plotë deduktiv të qëndrueshëm.

Do ta vërtetojmë me kontradiktë.

Pra, le të supozojmë se ekziston një sistem i tillë deduktiv. Le të përshkruajmë algoritmin e mëposhtëm ndihmës A, i cili i cakton një vlerë Boolean një numri natyror k si më poshtë:

1. Gjeni formulën k-të në listën F.

2. Zëvendësoni numrin k në të si argument.

3. Ne aplikojmë algoritmin tonë të provës në deklaratën që rezulton (sipas supozimit tonë, ekziston), e cila e përkthen atë në TË VËRTETË ose FALSE.

4. Zbatoni mohimin logjik në rezultatin e marrë.

E thënë thjesht, algoritmi rezulton në vlerën TRUE nëse dhe vetëm nëse rezultati i zëvendësimit të numrit të tij në FSP në listën tonë jep një deklaratë të rreme.

Këtu kemi ardhur në të vetmin vend ku do t'i kërkoj lexuesit të mbajë fjalën time për këtë.

Është e qartë se, sipas supozimit të bërë më sipër, çdo FSP nga F mund të shoqërohet me një algoritëm që përmban një numër natyror në hyrje dhe një vlerë Boolean në dalje.

E kundërta është më pak e dukshme:

Lema: Çdo algoritëm që konverton një numër natyror në një vlerë Boolean korrespondon me disa FSP nga bashkësia F.

Vërtetimi i kësaj leme do të kërkonte, së paku, një përkufizim formal dhe jo intuitiv të konceptit të një algoritmi. Megjithatë, nëse e mendoni pak, është mjaft e besueshme.

Në fakt, algoritmet janë shkruar në gjuhë algoritmike, ndër të cilat ka të tilla ekzotike si, për shembull, Brainfuck, i përbërë nga tetë fjalë me një karakter, në të cilat, megjithatë, mund të zbatohet çdo algoritëm. Do të ishte e çuditshme nëse gjuha më e pasur e formulave të aritmetikës formale që përshkruam do të ishte më e varfër - megjithëse, pa dyshim, nuk është shumë e përshtatshme për programim të zakonshëm.

Pasi kaluam këtë vend të rrëshqitshëm, arrijmë shpejt në fund.

Pra, më lart përshkruam Algoritmin A. Sipas lemës që ju kërkova të besoni, ekziston një FSP ekuivalente. Ka një numër në listën F - të themi, n. Le të pyesim veten, çfarë është Fn(n)? Le të jetë kjo E VËRTETA. Më pas, sipas ndërtimit të algoritmit A (pra dhe funksionit ekuivalent Fn), kjo do të thotë se rezultati i zëvendësimit të numrit n në funksionin Fn është FALSE.

E kundërta kontrollohet në të njëjtën mënyrë: nga Fn(n)=FALSE del se Fn(n)=TRUE. Kemi arritur në një kontradiktë, që do të thotë se supozimi fillestar është i pasaktë. Kështu, nuk ka një sistem të plotë deduktiv të qëndrueshëm për aritmetikën formale. Q.E.D.

Këtu është me vend të kujtojmë Epimenidin, i cili, siç dihet, deklaroi se të gjithë Kretasit janë gënjeshtarë, duke qenë edhe vetë Kretan. Në një formulim më të përmbledhur të deklaratës së tij (i njohur si "paradoksi gënjeshtar") mund të formulohet si më poshtë: “ po gënjej" Pikërisht këtë lloj deklarate, që vetë shpall falsitetin e saj, ne përdorëm për provë.

Si përfundim, dua të vërej se TGN nuk pretendon asgjë veçanërisht befasuese. Në fund të fundit, të gjithë janë mësuar prej kohësh me faktin se jo të gjithë numrat mund të përfaqësohen si një raport prej dy numrash të plotë (mos harroni, kjo deklaratë ka një provë shumë elegante që është më shumë se dy mijë vjet e vjetër?).Dhe rrënjët e polinomeve me koeficientë racionalë jo të gjithë numrat janë as . Dhe tani rezulton se jo të gjitha funksionet e një argumenti natyror janë të llogaritshëm.

Skica e provës së dhënë ka të bëjë me aritmetikën formale, por është e lehtë të shihet se TGN është e zbatueshme për shumë gjuhë të tjera propozicionale. Sigurisht, jo të gjitha gjuhët janë të tilla. Për shembull, le të përcaktojmë një gjuhë si më poshtë:

"Çdo frazë në gjuhën kineze është një deklaratë e vërtetë nëse gjendet në librin e citimeve të shokut Mao Ce Dun dhe e pasaktë nëse nuk përmbahet."

Pastaj algoritmi përkatës i plotë dhe i qëndrueshëm i vërtetimit (dikush mund ta quajë atë "deduktiv dogmatik") duket diçka si kjo:

“Shfletoni librin e citateve të shokut Mao Ce Dun derisa të gjeni thënien që po kërkoni. Nëse gjendet, atëherë është e vërtetë, por nëse libri i citateve ka mbaruar dhe deklarata nuk gjendet, atëherë është e pasaktë.”

Ajo që na shpëton këtu është se çdo libër citate është padyshim i fundëm, kështu që procesi i "provës" do të përfundojë në mënyrë të pashmangshme. Kështu, TGN nuk është e zbatueshme për gjuhën e deklaratave dogmatike. Por ne po flisnim për gjuhë komplekse, apo jo? botuar

Teoremat e paplotesise se Gödel

Teoremat e paplotesise se Gödel

Teoremat e paplotesise se Gödel- dy teorema të logjikës matematikore në lidhje me kufizimet themelore të aritmetikës formale dhe, si pasojë, të çdo teorie mjaftueshëm të fortë të rendit të parë.

Teorema e parë thotë se nëse aritmetika formale është konsistente, atëherë ajo përmban një formulë të pareduktueshme dhe të pakundërshtueshme.

Teorema e dytë thotë se nëse aritmetika formale është konsistente, atëherë ajo përmban një formulë jo të derivueshme që në mënyrë kuptimplote pohon konsistencën e kësaj teorie.

Teorema e parë e paplotësësisë së Gödel

Deklarata e teoremës së parë të paplotësisë së Gödel mund të thuhet si më poshtë:

Gjatë vërtetimit të teoremës, Gödel ndërtoi formulën G në mënyrë eksplicite, nganjëherë quhet formula e pavendosur Gödelian. Në interpretimin standard, fjalia G pohon pakësueshmërinë e vet në S. Prandaj, nga teorema e Gödel-it, nëse një teori S është konsistente, atëherë kjo formulë është me të vërtetë e pareduktueshme në S dhe për këtë arsye e vërtetë në interpretimin standard. Kështu, për numrat natyrorë, formula Gështë e vërtetë, por jo e derivueshme në S.

Vërtetimi i Gödel mund të kryhet për çdo teori të marrë nga S duke shtuar aksioma të reja, për shembull, formulën G si aksiomë. Prandaj, çdo teori konsistente që është një shtrirje e aritmetikës formale do të jetë e paplotë.

Për të vërtetuar teoremën e parë të paplotësisë, Gödel caktoi një numër specifik për çdo simbol, shprehje dhe sekuencë shprehjesh në aritmetikën formale. Meqenëse formulat dhe teoremat janë fjali aritmetike, dhe derivimet formale të teoremave janë sekuenca formulash, është bërë e mundur të flitet për teorema dhe prova në terma të numrave natyrorë. Për shembull, le të formulën e pavendosur Gödelian G ka një numër m, atëherë është ekuivalente me pohimin e mëposhtëm në gjuhën e aritmetikës: “nuk ka një numër të tillë natyror n, Çfarë n ka një numër të prodhimit të formulës me numër m Një krahasim i tillë i formulave dhe numrave natyrorë quhet aritmetizimi i matematikës dhe u krye për herë të parë nga Gödel. Kjo ide më pas u bë çelësi për zgjidhjen e shumë problemeve të rëndësishme të logjikës matematikore.

Skica e provës

Le të rregullojmë disa sisteme formale PM në të cilat mund të përfaqësohen konceptet elementare matematikore.

Shprehjet e një sistemi formal, të parë nga jashtë, janë sekuenca të fundme simbolesh primitive (ndryshore, konstante logjike dhe kllapa ose pika), dhe nuk është e vështirë të specifikosh rreptësisht se cilat sekuenca simbolesh primitive janë formula dhe cilat jo. Në mënyrë të ngjashme, nga një këndvështrim formal, provat nuk janë gjë tjetër veçse sekuenca të fundme formulash (me veti të përcaktuara rreptësisht). Për konsideratë matematikore, nuk ka rëndësi se cilat objekte i marrim si simbole primitive dhe vendosim të përdorim numra natyrorë për këto qëllime. Prandaj, formula është një sekuencë e fundme e numrave natyrorë, përfundimi i formulës është një sekuencë e fundme e sekuencave të fundme të numrave natyrorë. Konceptet matematikore (pohimet) bëhen kështu koncepte (pohime) për numrat natyrorë ose sekuencat e tyre, dhe për këtë arsye mund të shprehen vetë në simbolikën e sistemit PM (të paktën pjesërisht). Mund të tregohet, në veçanti, se konceptet "formula", "derivimi", "formula e derivueshme" janë të përcaktueshme brenda sistemit PM, domethënë është e mundur të rivendoset, për shembull, formula. F(v) në PM me një ndryshore të lirë v(lloji i së cilës është një varg numrash) i tillë që F(v), në një interpretim intuitiv, do të thotë: v- formula e prejardhur. Tani le të ndërtojmë një fjali të pavendosur të sistemit PM, domethënë fjalinë A, për të cilën as A, as jo-A e pa derivueshme, si më poshtë:

Një formulë në PM me saktësisht një ndryshore të lirë, lloji i së cilës është një numër natyror (një klasë klasash) do të quhet klasë shprehjeje. Le t'i rregullojmë shprehjet e klasës në një sekuencë në një farë mënyre, shënojmë n-e përmes R(n), dhe vini re se koncepti i "klasë-shprehje", si dhe relacioni i renditjes R mund të përcaktohet në sistemin PM. Le të jetë α një shprehje arbitrare e klasës; përmes [α; n] shënoni formulën që formohet nga shprehja e klasës α duke zëvendësuar ndryshoren e lirë me simbolin e një numri natyror n. Marrëdhënie treshe x = [y;z] gjithashtu rezulton të jetë i përcaktueshëm në PM. Tani do të përcaktojmë klasën K numrat natyrorë si më poshtë:

(ku Bew x do të thotë: x- formula e prejardhur). Meqenëse të gjitha konceptet e gjetura në këtë përkufizim mund të shprehen në PM, e njëjta gjë vlen edhe për konceptin K, e cila është ndërtuar prej tyre, domethënë ekziston një klasë e tillë shprehjeje S, që formula [ S;n], e interpretuar në mënyrë intuitive, do të thotë se një numër natyror n i takon K. Si klasë shprehjeje, S identike me disa specifike R(q) në numërimin tonë, pra

vlen për një numër specifik natyror q. Tani do të tregojmë se fjalia [ R(q);q] i pavendosur në PM. Pra, nëse fjalia [ R(q);q] supozohet të jetë e derivueshme, atëherë rezulton e vërtetë, domethënë në përputhje me atë që u tha më sipër, q do të përkasin K, domethënë në përputhje me (*), ¬Bew[ R(q);q] do të ekzekutohet, gjë që bie ndesh me supozimin tonë. Nga ana tjetër, nëse mohimi [ R(q);q] ishte e konkludueshme, atëherë ¬ n ∈ K, që është, Bew[ R(q);q] do të jetë e vërtetë. Prandaj, [ R(q);q] së bashku me mohimin e tij do të jetë i deduktueshëm, gjë që është përsëri e pamundur.

Forma polinomiale

Teorema e dytë e paplotësisë së Gödel-it

Në aritmetikën formale S, mund të ndërtohet një formulë që, në interpretimin standard, është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse teoria S është konsistente. Për këtë formulë, pohimi i teoremës së dytë të Gödel është i vërtetë:

Me fjalë të tjera, konsistenca e aritmetikës formale nuk mund të vërtetohet me anë të kësaj teorie. Megjithatë, ka prova të konsistencës së aritmetikës formale duke përdorur mjete që nuk janë të shprehura në të.

Skica e provës

Fillimisht ndërtohet formula Kon, që shpreh kuptimisht pamundësinë e nxjerrjes së ndonjë formule në teorinë S së bashku me mohimin e saj. Pastaj pohimi i teoremës së parë të Gödel shprehet me formulën Kon ⊃ G, Ku G- Formula e pazgjidhshme e Gödel-it. I gjithë arsyetimi për të vërtetuar teoremën e parë mund të shprehet dhe kryhet me anë të S, domethënë formula është e deduktueshme në S Kon ⊃ G. Prandaj, nëse në S është e derivueshme Kon, atëherë është e deduktueshme dhe G. Megjithatë, sipas teoremës së parë të Gödel, nëse S është konsistent, atëherë G nuk është e deduktueshme në të. Rrjedhimisht, nëse S është konsistente, atëherë formula në të është gjithashtu e pareduktueshme Kon.

Shënime

Shihni gjithashtu

Lidhjet

• V. A. Uspensky Teorema e paplotesise se Gödel. - M.: Nauka, 1982. - 110 f. - (Ligjërata popullore për matematikën).
• Akademiku Yu. L. Ershov "Dëshmi në matematikë", programi A. Gordon i datës 16 qershor 2003
• A. B. Sosinsky Teorema e Gödel // Shkolla verore "Matematika moderne". - Dubna: 2006.
• P. J. Cohen Mbi bazat e teorisë së grupeve // Përparimet në shkencat matematikore. - 1974. - T. 29. - Nr.5(179). - fq 169–176.
• M. Kordonsky Fundi i së vërtetës. - ISBN 5-946448-001-04
• V. A. Uspensky Teorema e Gödel mbi paplotësinë dhe katër rrugët që çojnë në të // Shkolla verore "Matematika moderne". - Dubna: 2007.
• Zenkin A. A. Parimi i ndarjes së kohës dhe analizës së një klase të arsyetimit të besueshëm pothuajse të fundëm (duke përdorur shembullin e teoremës së G. Cantor mbi panumërueshmërinë) // DAN. - 1997. - T. 356. - Nr 6. - F. 733-735.
• Chechulin V.L. Mbi një version të shkurtër të vërtetimit të teoremave të Gödel // “Problemet themelore të matematikës dhe shkencave të informacionit”, materialet e Shkollës-Seminari Matematikor XXXIV të Lindjes së Largët me emrin Akademik E.V. Zolotova. - Khabarovsk, Rusi: 2009. - F. 60-61.

Fondacioni Wikimedia.

2010.

Shihni se çfarë janë "Teoremat e Gödel-it mbi paplotësinë" në fjalorë të tjerë:

Ky term ka kuptime të tjera, shih teoremën e Gödel. Teorema e Gödel-it mbi paplotësinë dhe teorema e dytë e Gödel-it [1] dy teorema të logjikës matematikore rreth kufizimeve themelore të aritmetikës formale dhe, si pasojë, çdo ... ... Wikipedia

Teoremat e paplotësisë së Gödel janë dy teorema të logjikës matematikore në lidhje me paplotësinë e sistemeve formale të një lloji të caktuar. Përmbajtja 1 Teorema e parë e paplotësisë së Gödelit 2 Teorema e dytë e paplotësisë së Gödelit ... Wikipedia

Ky term ka kuptime të tjera, shih teoremën e Gödel. Teorema e Gödel mbi plotësinë e llogaritjes së kallëzuesit është një nga teoremat themelore të logjikës matematikore: ajo vendos një lidhje të paqartë midis së vërtetës logjike... ... Wikipedia Emri i përbashkët për dy teorema të krijuara nga K. Gödel. Së pari G. t. thekson se në çdo sistem formal të qëndrueshëm që përmban një minimum aritmetike (shenjat dhe rregullat e zakonshme për trajtimin e tyre), ekziston një zyrtarisht i pavendosur... ...

Enciklopedia Matematikore
E pranoj se lexova vetë idenë e shqyrtimit të çështjes së ekzistencës së Zotit nga kjo anë nga Anatoly Aleksandrovich Wasserman:

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%B9_%D0%90%D0 %BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87_%D0%92 %D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD#.D0.A0.D0.B5.D0.BB.D0.B8. D0.B3.D0.B8.D0.BE.D0.B7.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B7.D0.B3.D0.BB.D1.8F.D0. B4.D1.8B
Në fe (si dhe në jofetar) ekziston një aksiomatikë e caktuar e ndërtimit. Të paktën në një rast ideal, nëse ky nuk është thjesht një besim i verbër, por një zgjedhje e vetëdijshme dhe e informuar. Për shembull, një aksiomë e fizikës mund të konsiderohet "natyra është e njohur përmes arsyes dhe përfundimeve logjike, të gjitha ligjet e fizikës janë të njëjta në të gjitha pikat e hapësirës dhe në çdo kohë". Për shembull, aksioma e fesë mund të konsiderohet thënia "Zoti ekziston dhe është shkaku i parë i të gjitha gjërave". Me fjalë të tjera, nuk ka dyshim se të gjitha veçoritë dhe degët e shumta mund të reduktohen në disa pohime të rëndësishme, të paprovueshme, të cilat janë pikërisht ato aksioma.

Le të shqyrtojmë besimet fetare nga këto pozicione. Aksioma më e rëndësishme e fesë: "Zoti ekziston dhe është shkaku i parë i të gjitha gjërave."
Tani le të kujtojmë një nga teoremat më të rëndësishme matematikore, teoremën e Gödel-it.
http://elementy.ru/trefil/21142
Teorema e dobët e Gödel-it: "Çdo sistem formal aksiomash përmban supozime të pazgjidhura" ose "nëse një sistem aksiomash është i plotë, atëherë ai është i paqëndrueshëm".
Teorema e fortë e Gödel-it: "Plotësia (ose paplotësia) logjike e çdo sistemi aksiomash nuk mund të vërtetohet brenda kornizës së këtij sistemi. Për ta vërtetuar ose hedhur poshtë atë, kërkohen aksioma shtesë (forcimi i sistemit).

Le të kujtojmë disa përkufizime. Një sistem aksiomash është i plotë nëse ndonjë pohim i formuluar për një sistem të caktuar aksiomash është i provueshëm (d.m.th., ai është ose i vërtetë ose i rremë). Një supozim i pazgjidhur është një pohim për të cilin nuk mund të vërtetohet as e vërteta dhe as falsiteti i tij, domethënë pohimi nuk është logjikisht i vërtetueshëm. Një sistem aksiomash është kontradiktor nëse i njëjti pohim mund të vërtetohet se është i vërtetë dhe i rremë.

Nga teorema e Gödel-it del se nëse koncepti i Zotit përfshihet në një sistem aksiomatik, atëherë ky sistem nuk është i plotë, domethënë ka pasoja (dukuri) që nuk janë të provueshme, domethënë mund të ekzistojnë ose të mos ekzistojnë, kjo. nuk është e provueshme.
Por kjo bie ndesh me dy dispozitat e mëposhtme (zgjidhni cilëndo që është më bindëse): natyra nuk përmban dukuri që mund të konsiderohen si ekzistuese dhe inekzistente, ose ekziston ose nuk ekziston; Pozicioni i dytë thotë se, sipas definicionit, Zoti është shkaku rrënjësor i gjithçkaje, prandaj Zoti ose çon në ekzistencën e disa gjërave (thënieve) ose në mosekzistencën e tyre, duke iu referuar Zotit ose mund të vërtetojë ose të hedhë poshtë çdo deklaratë. Kjo bie ndesh me paplotesine e sistemit.

Ose ndryshe. Nëse e përfshijmë konceptin e Zotit në sistemin aksiomatik dhe supozojmë se është i plotë (çdo pohim në një sistem të plotë aksiomash është i provueshëm), atëherë sipas teoremës së Gödel një sistem i tillë aksiomash do të jetë kontradiktor, domethënë do të ketë fenomene. për të cilat mund të vërtetohet se të dyja ekzistojnë dhe nuk ekzistojnë.

Nuk ka kuptim përfshirja e Zotit në një sistem kontradiktor aksiomash, pasi ai është kontradiktor, domethënë përmban dukuri që mund të vërtetohet se ekzistojnë dhe nuk ekzistojnë, gjë që, siç u tha, bie ndesh me natyrën dhe konceptin e Zotit.

Së fundi, nëse koncepti i Zotit nuk përfshihet në sistemin aksiomatik, atëherë ai nuk mund të konsiderohet baza themelore e universit, nga e cila rrjedh gjithçka që ekziston, gjë që në thelb bie ndesh me përkufizimin e Zotit.

Për vlefshmërinë e kësaj prove, është e nevojshme të njihet vlefshmëria e ligjeve të logjikës matematikore (logjika propozicionale + llogaritja e kallëzuesit), të cilat bëjnë të mundur vendosjen e ligjeve të pasojës, së vërtetës, falsitetit, mospërputhjes, konsistencës së pohimeve dhe të tjera. vetitë dhe marrëdhëniet ndërmjet deklaratave.

Nëse supozojmë se logjika matematikore nuk është e zbatueshme për studimin e çështjes së ekzistencës së Zotit, atëherë pasoja do të jetë se nuk është e mundur të studiohet kjo pyetje me ndihmën e arsyetimit, me ndihmën e arsyes. Me fjalë të tjera, arsyeja e qëndrueshme gjithmonë vjen në një përgjigje negative për pyetjen e ekzistencës së Zotit.

Çfarë ndodh në fund… çdo person edhe nga distanca racional, natyrisht, e njeh vlefshmërinë e ligjeve të logjikës, që do të thotë se ai vazhdimisht arrin në përfundimin se Zoti në përkufizimin e "shkakut të të gjitha gjërave" nuk ekziston. . Një person joracional që pretendon se Zoti mund të njihet vetëm përmes ndjenjave (dhe jo arsyes), natyrisht, mund të thotë kështu, por nuk ka asnjë mënyrë për të bindur tjetrin për këtë ndjenja; Për më tepër, koncepti i Zotit është një koncept i formuluar nga arsyeja. Nuk është e qartë se si propozohet përkthimi i konceptit të arsyes në ndjesi, madje edhe në atë mënyrë që të mund t'i përcillet një personi tjetër. Përsëri, edhe një person disi racional do të thotë se kjo nuk është e mundur: të përkthehet koncepti abstrakt i arsyes në ndjenjë dhe ta ndjejë atë.

Së fundi, ekziston një mundësi tjetër: "Zoti nuk është shkaku i parë i gjithçkaje". Atëherë nuk lindin kontradikta të tilla, megjithatë, ky është një dobësim domethënës i pozitës së fesë, pasi është pikërisht fakti që Zoti krijoi gjithçka, se Zoti është fillimi i të gjitha parimeve, ai është themeli për deklaratat e shumta të fesë dhe arsyetimet në mosmarrëveshje.

P.S. Vlen të përmendet edhe një gjë kurioze, interesante për fizikantët. Ky përkufizim i Zotit nuk thotë asgjë për racionalitetin e tij. Kjo do të thotë, mund të shtohet "Zoti është shkaku racional i të gjitha gjërave", por ky është një ngushtim i përkufizimit, i cili fillimisht nuk kërkohet për provë. Pa racionalitet, koncepti i "zotit" mund të zëvendësohet lehtësisht me "singulariteti dhe shpërthimi i madh janë shkaku i të gjitha gjërave". Dhe përgjigja do të jetë e njëjtë: singulariteti dhe shpërthimi i madh nuk janë shkaku kryesor i gjithçkaje që ekziston.
Duke kryer një abstragim edhe më të madh, mund të themi se asnjë fenomen apo shkak i vetëm nuk mund të jetë shkaku kryesor i të gjitha gjërave, domethënë shkaku kryesor nuk ekziston në parim. Duke arsyetuar brenda kornizës së çdo aksiomatike, mund të arrihet në përfundimin se shkaku kryesor i gjithçkaje nuk ekziston. E thënë shumë thjesht, pavarësisht se sa rrënjësisht e kuptojmë universin, pyetjet do të mbeten gjithmonë në frymën e: “nga erdhi Big Bang-u, nga erdhi singulariteti, nga erdhi universi pulsues, nga erdhi nga vjen multiversi, pse universi ekziston gjithmonë?” etj. Shkaku kryesor i gjithçkaje nuk mund të gjendet në parim, ai nuk përmbahet në asnjë objekt, fenomen apo koncept. Prandaj, për një person kjo është e barabartë me mungesën e tij. Teorikisht, mund të supozohet ekzistenca e një vëzhguesi të jashtëm jashtë universit tonë, i cili do t'i përgjigjet pyetjes se nga erdhi gjithçka (e njëjta aksiomë shtesë, një shtrirje në teoremën e Gödel-it), por atëherë do të lindë pyetja se ku vëzhguesi i jashtëm, i tij universi dhe shkaku kryesor i gjithë kësaj erdhi nga.