Madhësia: px

Filloni të shfaqni nga faqja:

Transkripti

1 1 Konceptet themelore të kombinatorikës 1 Shtojcë Përkufizimi Prodhimi i të gjithë numrave natyrorë nga 1 deri në n përfshirës quhet n-faktorial dhe Shembull i shkruar Llogarit 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= ! 5! Shembull Llogaritni! 7! 5! 5!! Le të jepen tri shkronja të këtyre shkronjave: 7 1! Permutacionet 5 3 A, B, C Le të bëjmë të gjitha kombinimet e mundshme të ABC / ACB / BCA / CAB / CBA / BAC (kombinimet totale) Shohim se ato ndryshojnë nga njëra-tjetra vetëm për nga renditja e shkronjave Përkufizimi Kombinimet e n elementeve që ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm sipas renditjes së elementeve, quhen permutacione Permutacionet shënohen me simbolin n, ku n është numri i elementeve të përfshira në çdo ndërrim 3 3! Numri i permutacioneve mund të llogaritet duke përdorur formulën n ose duke përdorur faktorialin: n n 1 n 3 1 n n! Pra, numri i permutacioneve të tre elementeve sipas formulës është, i cili përkon me rezultatin e shembullit të diskutuar më sipër 5 0 Shembull Llogarit,! ! !- 5! 5! -1 5! 5! 1 5 0! ! 1! Shembull Sa numra të ndryshëm pesëshifrorë mund të bëhen nga shifrat 1, 3, 4, 5, me kusht që të mos përsëritet asnjë shifër në numër?

2 5! Shembull Katër ekipe morën pjesë në konkurs Sa opsione për shpërndarjen e vendeve ndërmjet tyre janë të mundshme? 4! Vendosjet Le të jenë katër shkronja A, B, C, D Kompozoni të gjitha kombinimet nga vetëm dy shkronja, marrim: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC Ne shohim që çdo gjë kombinimet që rezultojnë ndryshojnë ose në shkronja ose sipas renditjes së tyre (kombinimet BA dhe AB konsiderohen të ndryshme) Përkufizim Kombinimet e m elementeve të n elementeve që ndryshojnë nga njëri-tjetri ose në vetë elementët ose në renditjen e elementeve quhen vendosje. Vendosjet përcaktohen nga n A m n numër elementesh në çdo kombinim , ku m është numri i të gjithë elementëve të disponueshëm, A n m m! (mn)! Shembull Sa opsione ka për shpërndarjen e tre çmimeve nëse 7 ekipe marrin pjesë në short? 3 7! 7! A! 4! 10 Shembull Sa numra të ndryshëm katërshifrorë mund të bëhen nga shifrat 0, 1, 8, 9? 4 10! 10! A!! Shembull Sa opsione orare mund të krijohen për një ditë nëse janë gjithsej 8 lëndë akademike dhe vetëm tre prej tyre mund të përfshihen në orarin ditor? 3 8! 8! A! 5! Shembull Sa opsione për shpërndarjen e tre kuponave në sanatoriume të profileve të ndryshme mund të përpilohen për pesë aplikantë? 3 5! 5! A!!

3 Kombinimet Përkufizimi Kombinimet janë të gjitha kombinimet e mundshme të m elementeve me n, të cilët ndryshojnë nga njëri-tjetri me të paktën një element (këtu m dhe n janë numra natyrorë, dhe n

4 Një fenomen i rastësishëm mund të karakterizohet nga raporti i numrit të dukurive të tij me numrin e testeve, në secilën prej të cilave, në të njëjtat kushte të të gjitha testeve, ajo mund të ndodhë ose të mos ndodhë teoria e probabilitetit cilat dukuri (ngjarje) të rastësishme studiohen dhe identifikohen modele gjatë përsëritjes së tyre në masë Për të regjistruar dhe eksploruar këto modele, do të prezantojmë disa koncepte dhe përkufizime bazë: Çdo veprim, fenomen, vëzhgim me disa rezultate të ndryshme Një grup i caktuar kushtesh, do të quhet një provë Për shembull, hedhja e përsëritur e një monedhe, procesi i prodhimit të ndonjë pjese janë teste të një numri kur hedhja e një monedhe është një ngjarje e rastësishme, pasi mund të ketë ndodhur ose jo. Të gjitha ngjarjet në shqyrtim do të konsiderohen njësoj të mundshme, ato që kanë shanse të barabarta për t'u ndodhur kështu, kur hedhin një zar, mund të shfaqen 1 pikë, 3, 4, 5 ose këto rezultate testimi janë njësoj të mundshme , mundësi të barabarta nënkupton barazinë, simetrinë e rezultateve individuale të testit, në varësi të kushteve të caktuara Ngjarjet zakonisht shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin: A, B, C, D Përkufizimi Ngjarjet quhen të papajtueshme nëse nuk mund të ndodhin dy prej tyre së bashku. Një eksperiment i caktuar, përndryshe, ngjarjet quhen të përputhshme Pra, kur hidhen monedha, pamja e numrit përjashton pamjen e njëkohshme të stemës. ky është një shembull i ngjarjeve të papajtueshme 4

5 Le të shqyrtojmë një shembull tjetër Le të vizatohen një rreth, një romb dhe një trekëndësh mbi objektivin dhe C, C dhe B janë jokonsistente Përkufizimi Ngjarja quhet e besueshme nëse ndodh domosdoshmërisht në një test të caktuar Për shembull, fitimi i një bilete llotarie fitimprurëse është një ngjarje e besueshme Ngjarjet e besueshme shënohen me shkronjën U Përkufizimi Një ngjarje quhet e pamundur nëse nuk mund të ndodhë në një eksperiment të caktuar Për shembull, kur hedh një zar është e pamundur të marrësh 7 pikë Ngjarje e pamundur e shënuar me shkronjën V Përkufizim Një sistem i plotë ngjarjesh A 1, A, A 3, A n është një grup ngjarjesh të papajtueshme , shfaqja e të paktën njërës prej të cilave është e detyrueshme gjatë një testi të caktuar Kështu, humbja e një, dy, tre, katër, pesë, gjashtë pikësh gjatë hedhjes së një zari është një sistem i plotë ngjarjesh, pasi të gjitha këto ngjarje janë. të papajtueshme dhe ndodhja e të paktën njërës prej tyre është e detyrueshme Përkufizim Nëse një sistem i plotë përbëhet nga dy ngjarje, atëherë ngjarje të tilla quhen të kundërta dhe caktohen A dhe A Shembull Ka një biletë lotarie “b nga 45” Ngjarja A është ajo ai është një fitues, dhe ngjarja B është se ai nuk është fitues A janë këto ngjarje të papajtueshme? Shembull Ka 30 topa të numëruar në një kuti. (C) është nxjerrë një top pa numër (D) Cili prej tyre përbën një grup të plotë.

6 Përkufizim Shuma e disa ngjarjeve është një ngjarje që përbëhet nga ndodhja e të paktën një prej tyre si rezultat i një testi. Shuma e ngjarjeve A dhe B shënohet me (A+ dhe do të thotë se ngjarja A, ose B, ose A dhe B kanë ndodhur së bashku Përkufizim Produkti i disa ngjarjeve është një ngjarje, që konsiston në ndodhjen e përbashkët të të gjitha këtyre ngjarjeve si rezultat i testit. Prodhimi i ngjarjeve A dhe B tregon: AB 3 Përcaktimi i probabilitetit të një ngjarjeje Ngjarjet e rastësishme janë realizohen me mundësi të ndryshme Disa ndodhin më shpesh, të tjerët më rrallë Për të përcaktuar sasinë e mundësive të zbatimit të një ngjarjeje, prezantohet koncepti i probabilitetit të ngjarjes Përkufizim Probabiliteti i ngjarjes A është raporti i numrit M të rezultateve të favorshme me numrin total. N e rezultateve po aq të mundshme, duke formuar një grup të plotë: Probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme është 1, e pamundur 0, e rastësishme: 0 (1 Ky është përkufizimi klasik i probabilitetit Frekuenca relative e një ngjarjeje A raporti i numrit m të provave në që ngjarja ka ndodhur në numrin total n provash: M N * (Shembull Një shkronjë zgjidhet rastësisht nga fjala “klinik” Sa është probabiliteti që të jetë zanore? Cila është shkronja K? Është zanore apo shkronja K? Gjithsej germa 11 Ngjarja A si rezultat i eksperimentit u shfaq një shkronjë zanore Ngjarja B u shfaq shkronja K Ngjarja A favorizohet nga pesë ngjarje (5 zanore), ngjarja B dy m 5 m (, n 11 n 11 m n 4 Teorema themelore dhe formulat e teorisë së probabilitetit Teorema e mbledhjes së probabiliteteve Probabiliteti ndodhja e një prej ngjarjeve të papajtueshme është e barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre:

7 A A A A A 1 n 1 A n Probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve të përbashkëta A A Shuma e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta (1 Përkufizim Le të jenë A dhe B dy ngjarje të rastësishme të së njëjtës provë. Probabiliteti i kushtëzuar i ngjarjes A ose probabiliteti i ngjarjes A A me kusht që ngjarja B të jetë numri Emërtimi: A B A Teorema e shumëzimit të probabilitetit Probabiliteti i ndodhjes së njëkohshme të dy ngjarjeve të pavarura është i barabartë me produktin e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve A 7

Matematikë (BkPl-100) M.P. Kharlamov viti akademik 2011/2012, semestri I Ligjërata 5. Tema: Kombinatorika, hyrje në teorinë e probabilitetit 1 Tema: Kombinatorika Kombinatorika është një degë e matematikës që studion

Departamenti i Matematikës dhe Shkencave Kompjuterike Matematikë Kompleksi arsimor dhe metodologjik për studentët e arsimit të mesëm profesional që studiojnë duke përdorur teknologjitë në distancë Moduli 6 Elementet e teorisë së probabilitetit dhe statistikave matematikore

TEMA. TEOREMA TË MBLEDHJES DHE SHUMËZIMIT TË PROBABILITETEVE Veprime në ngjarje të rastësishme. Algjebra e ngjarjeve. Koncepti i përputhshmërisë së ngjarjeve. Grupi i plotë i ngjarjeve. Varësia dhe pavarësia e ngjarjeve të rastësishme. E kushtëzuar

Ligjërata Teoria e probabilitetit Konceptet bazë Eksperimenti Frekuenca e probabilitetit Teoria e probabilitetit është një degë e matematikës që studion modelet e dukurive të rastësishme janë ngjarje që, kur

MËSIMI 3 HYRJE NË TEORINË E PROBABILITETIT REKOMANDIME METODOLOGJIKE MUND 2013 MIRATUA: D.E. Kaputkin Kryetar i Komisionit Edukativo-Metodologjik për zbatimin e Marrëveshjes me Drejtorinë e Arsimit të qyteteve.

1 PJESA I. TEORIA E PROBABILITETIT KAPITULLI 1. 1. Elementet e kombinatorikës Përkufizimi 1. Shembuj: Përkufizimi. -faktorial është një numër i shënuar me!, dhe! = 1** * për të gjithë numrat natyrorë 1, ; Përveç kësaj,

1) Sa numra natyrorë treshifrorë ka që kanë vetëm dy shifra më pak se pesë? Ka vetëm pesë shifra më pak se 5: ( 0; 1; 2; 3; 4 ) Pesë shifrat e mbetura janë të paktën 5: ( ; ; ; ; ) Metoda e parë e zgjidhjes

Leksioni 3 Tema Teoremat dhe formulat bazë të teorisë së probabilitetit Përmbajtja e temës Algjebra e ngjarjeve. Teorema e shtimit të probabilitetit. Probabiliteti i kushtëzuar. Teoremat e shumëzimit të probabilitetit. Formula e probabilitetit total.

Tema e leksionit: ALGJEBRA E NGJARJEVE TEOREMA THEMELORE RRETH PROBABILITETIT Algjebra e ngjarjeve Shuma e ngjarjeve është ngjarja S = +, e cila konsiston në ndodhjen e të paktën njërës prej tyre Prodhimi i ngjarjeve quhet

Departamenti i Matematikës së Lartë Seksioni për teorinë e probabilitetit dhe statistikat matematikore. Teoria e probabilitetit Lënda e teorisë së probabilitetit është studimi i modeleve specifike në masë homogjene

PËRMBAJTJA TEMA III. HYRJE NË TEORINË E PROBABILITETIT... 2 1. REFERENCAT... 2 1.1. KONCEPTE DHE PËRKUFIZIMET THEMELORE... 2 1.2. VEPRIMET NË NGJARJE TË RASTËSISHME... 4 1.3. PËRKUFIZIM KLASIK

Leksioni 2. Teoremat e mbledhjes dhe shumëzimit të probabiliteteve Shuma dhe prodhimi i një ngjarjeje Shuma ose bashkimi i disa ngjarjeve është një ngjarje që përbëhet nga ndodhja e të paktën njërës prej tyre.

INSTITUCIONI ARSIMOR BUXHETAR FEDERAL I SHTETIT I ARSIMIT TË LARTË PROFESIONAL "Akademia Shtetërore e Kulturës dhe Artit në Chelyabinsk" Departamenti i Informatikës TEORIA E PROBABILITETIT

PROBABILITETI I NJË NGJARJE TË RASTËSISHME Aksiomat e Kolmogorovit Në vitin 1933, A. N. Kolmogorov në librin e tij "Konceptet themelore të teorisë së probabilitetit" dha një justifikim aksiomatik për teorinë e probabilitetit. “Kjo do të thotë se pas

PROGRAMI I PUNËS SË QARKUT VERIOR DEPARTAMENTI I ARSIMIT Ora Teoria e probabilitetit dhe statistika Mjetet mësimore të përdorura: Libër mësuesi: Tyurin Yu.N. dhe të tjera teoria dhe statistikat e probabilitetit. M., MTsNMO: SHA

Agjencia Federale e Arsimit Institucioni arsimor shtetëror i arsimit të lartë profesional "UNIVERSITETI POLITEKNIK KOMBËTAR KËRKIMOR TOMSK" LEKTORË MBI TEORINË

PROBABILITETI KOMBINATOR Tema 5 Përkthimi i kryer me mbështetjen e IT Akadeemia Përmbajtja e leksionit 1 Hyrje 2 3 4 Paragrafi tjetër 1 Hyrja 2 3 4 Problemi... Problemi... Problemi... ... dhe zgjidhja: Vajza

LEKTURA PËRCAKTIMI I PROBABILITETIT TË NJË NGJARJE Probabiliteti i një ngjarjeje i referohet koncepteve bazë të teorisë së probabilitetit dhe shpreh masën e mundësisë objektive të ndodhjes së një ngjarjeje

I Përkufizimi i probabilitetit dhe rregullat bazë për llogaritjen e tij Eksperimenti i probabilitetit Lënda e teorisë së probabilitetit Rezultatet e eksperimentit varen në një shkallë ose në një tjetër nga një grup kushtesh në të cilat

Libri i problemeve të Chudesenkos, teoria e probabilitetit, opsioni Hidhen dy zare. Përcaktoni probabilitetin që: a shuma e numrit të pikave të mos kalojë N; b prodhimi i numrit të pikëve nuk e kalon N; V

Përpiluar nga: Profesor i asociuar i Departamentit të Fizikës Mjekësore dhe Biologjike Romanova N.Yu. Teoria e probabilitetit 1 leksion Hyrje. Teoria e probabilitetit është një shkencë matematikore që studion modelet e fenomeneve të rastësishme.

MVDubatovskaya Teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore Leksion 3 Metodat për përcaktimin e probabiliteteve 0 Përcaktimi klasik i probabiliteteve Ne do ta quajmë elementar cilindo nga rezultatet e mundshme të një eksperimenti

Leksioni 3 Tema Teoremat dhe formulat bazë të teorisë së probabilitetit Përmbajtja e temës Algjebra e ngjarjeve. Teorema e shtimit të probabilitetit. Probabiliteti i kushtëzuar. Teoremat e shumëzimit të probabilitetit. Kategoritë bazë të algjebrës

Leksioni 1. Tema: QASJET THEMELORE TË PËRCAKTIMIT TË PROBABILITETIT Lënda e teorisë së probabilitetit. Sfondi historik Lënda e teorisë së probabilitetit është studimi i modeleve që lindin nën masa masive, homogjene

M.P. Kharlamov http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Shënime Teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore Shënime të shkurtra të seksionit të parë (pyetje dhe përgjigje) Doktor i fizikës dhe matematikës. Profesori i shkencave Mikhail Pavlovich Kharlamov

Teoria e probabilitetit Plani i leksionit P Rreth teorisë së probabilitetit si shkencë P Përkufizimet themelore të teorisë së probabilitetit P Frekuenca e një ngjarjeje të rastësishme Përkufizimi i probabilitetit P 4 Zbatimi i kombinatorikës në numërim

Elementet e teorisë së probabilitetit Ngjarjet e rastësishme Proceset përcaktuese Në shkencë dhe teknologji, konsiderohen proceset, rezultati i të cilave mund të parashikohet me siguri: Nëse zbatohet një ndryshim në skajet e përcjellësit

TEMA 1 Kombinatorika Llogaritja e probabiliteteve Detyra 1B 17 skuadra marrin pjesë në kupën kombëtare të futbollit. Sepse

( σ-algjebër - fusha e ngjarjeve të rastësishme - grupi i parë i aksiomave të Kolmogorov - grupi i dytë i aksiomave të Kolmogorov - formulat themelore të teorisë së probabilitetit - teorema e shtimit të probabilitetit - probabiliteti i kushtëzuar

Bazat e teorisë së probabilitetit Leksioni 2 Përmbajtja 1. Probabiliteti i kushtëzuar 2. Probabiliteti i një produkti të ngjarjeve 3. Probabiliteti i një shume të ngjarjeve 4. Formula e probabilitetit total Ngjarjet e varura dhe të pavarura Përkufizimi

N. G. TAKTAROV TEORIA E PROBABILITETIT DHE STATISTIKA MATEMATIKE: LËNDË E SHKURTËR ME SHEMBUJ DHE ZGJIDHJE Teksti është korrigjuar dhe plotësuar ABSTRAKT Libri është një libër shkollor në të cilin është shkurtimisht i thjeshtë dhe i arritshëm.

Ministria e Arsimit dhe Shkencës e Federatës Ruse Institucioni Arsimor Buxhetor Shtetëror Federal i Arsimit të Lartë Profesional "Universiteti Shtetëror Socio-Ekonomik Saratov"

Probleme në teorinë e probabilitetit dhe statistikat matematikore. Ngjarje të rastësishme Detyrë. Në një grup produktesh N, produktet kanë një defekt të fshehur. Sa është probabiliteti që nga k produkte të merren në mënyrë të rastësishme

TEORIA E PROBABILITETIT. DETYRAT. Përmbajtja (sipas temës) 1. Formula për përcaktimin klasik të probabilitetit. Elementet e kombinatorikës. Probabiliteti gjeometrik 4. Veprimet mbi ngjarjet. Teoremat e mbledhjes dhe shumëzimit

Formulat kombinuese Le të jetë një grup i përbërë nga n elementë. Le ta shënojmë U n. Një ndërrim i n elementeve është një rend i dhënë në bashkësinë U n. Shembuj permutacionesh: 1) shpërndarja

KAPITULLI 5 ELEMENTET E TEORISË SË PROBABILITETIT 5 Aksiomat e teorisë së probabilitetit Ngjarje të ndryshme mund të klasifikohen si më poshtë:) Ngjarje e pamundur, një ngjarje që nuk mund të ndodhë) Ngjarje e caktuar

PRAKTIKE Formulat bazë të kombinatorikës Llojet e ngjarjeve Veprimet në ngjarje Probabiliteti klasik Probabiliteti gjeometrik Formulat bazë të kombinatorikës Kombinatorika studion numrat e kombinimeve,

Formula e probabilitetit total. Le të jetë një grup ngjarjesh H 1, H 2,..., H n, i cili ka këto veti: 1) Të gjitha ngjarjet janë të papajtueshme në çift: H i H j =; i, j=1,2,...,n; ij 2) Format e bashkimit të tyre

MINISTRIA E ARSIMIT E FEDERATISË RUSE DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS SË LARTË UNIVERSITETI SHTETËROR I ENERGJISË IVANOVSK UDHËZIME METODIKE MBI TEORINË E PROBABILITETIT Përpiluar nga:

MINISTRIA E KULTURËS SË FEDERATËS RUSE INSTITUCIONI ARSIMOR BUXHETAR SHTETËROR FEDERAL I ARSIMIT TË LARTË PROFESIONAL "UNIVERSITETI SHTETËROR I KINEMAVE DHE ST. PETERSBURG

Teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore Doktor i Fizikë-Matematikës. Profesori i Shkencave Mikhail Pavlovich Kharlamov "Faqja" me materiale mësimore http://inter.vags.ru/hmp dega Volgograd e RANEPA (FGOU

Vorobiev V.V. "Liceu" i Kalachinsk, Seminari i Rajonit Omsk për zgjidhjen e problemeve në teorinë e probabilitetit dhe statistikat matematikore luan një rol të rëndësishëm në studimin e temave në teorinë dhe statistikat e probabilitetit

Teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore Doktor i Fizikë-Matematikës. Profesori i Shkencave Mikhail Pavlovich Kharlamov "Faqja" me materiale mësimore http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp dega Volgograd e RANEPA

TEORIA E PROBABILITETIT. SHPËRNDARJA E NDRYSHOREVE TË RASTËSISHME Detyrë. Zgjidhni përgjigjen e saktë:. Frekuenca relative e një ngjarjeje të rastësishme A është një vlerë e barabartë me... a) raporti i numrit të rasteve të favorshme

KONCEPTET THEMELORE TË TEORISË TË PROBABILITETIT. 3.1. Ngjarje të rastësishme. Çdo shkencë, kur studion dukuritë e botës materiale, vepron me koncepte të caktuara, ndër të cilat ka detyrimisht ato themelore;

Arsimi i lartë profesional Diplomë universitare V. S. Mkhitaryan, V. F. Shishov, A. Yu.

PËRMBAJTJA SEKSIONI I. TEORIA E PROBABILITETIT Parathënie.......................................... ........ ......... 6 PJESA I. NGJARJE TË RASTËSISHME.......................... ........ 7 KAPITULLI 1. Analiza kombinuese e elementeve........................

Teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore Doktor i Fizikë-Matematikës. Profesor i shkencave Mikhail Pavlovich Kharlamov Burim në internet me materiale mësimore http://www.vlgr.ranepa.ru/pp/hmp dega Volgograd

Në terma të S, ngjarja që sistemi nuk mbyllet mund të shkruhet: S = A 1 A 2 +B = (A 1 + A 2)+B. 2.18. Ngjashëm me zgjidhjen e problemave 2.5, 2.6, marrim S = A(B 1 +B 2) C D; S = A + B 1 B 2 + C

Ministria e Arsimit dhe Shkencës e Federatës Ruse INSTITUCIONI ARSIMOR I BUXHETIT SHTETËROR FEDERAL I ARSIMIT TË LARTË PROFESIONAL "KAZAN NATIONAL SEARCH TECHNICAL

TEORIA E PROBABILITETIT Kombinatorika, rregullat e produktit dhe shumës Kombinatorika si shkencë Kombinatorika është një degë e matematikës që studion kombinimet e një nëngrupi elementësh të nxjerrë nga fundi.

Agjencia Federale për Arsimin Tomsk University State of Control Systems and Radioelectronic N. E. Lugina PRAKTIKUM MBI TEORINË E PROBABILITETIT Teksti mësimor Tomsk 2006 Recensues: Ph.D.

Leksion Ngjarjet e rastësishme Përkufizimi. Një rezultat elementar (ose një ngjarje elementare) është çdo rezultat më i thjeshtë (d.m.th., i pandashëm brenda një përvoje të caktuar) të një përvoje. Grupi i të gjitha rezultateve elementare

AGJENSIA FEDERALE E EDUKIMIT Institucioni shtetëror arsimor i arsimit të lartë profesional Universiteti Teknik Shtetëror Ulyanovsk S. G. Valeev S. V. Testet Kurkina

4. Teoria e probabilitetit Testi në këtë temë përfshin katër detyra. Le të paraqesim konceptet bazë të teorisë së probabilitetit të nevojshme për zbatimin e tyre. Për të zgjidhur problemat 50 50 duhet njohuri për temën

Seksioni “Probabiliteti dhe statistikat” E.M. Udalova. Distrikti Primorsky, shkolla 579 Teoria e probabilitetit është një shkencë matematikore që lejon dikë të gjejë probabilitetet e ngjarjeve të tjera të rastësishme nga probabilitetet e disa ngjarjeve të rastësishme

Problemi 1. Ka 40 topa në një urnë. Probabiliteti që 2 topa të tërhequr të jenë të bardhë është 7 60. Sa topa të bardhë ka në urnë? Numri i mënyrave në të cilat k artikuj mund të zgjidhen nga n është C k

4 Ministria e Arsimit dhe Shkencës e Federatës Ruse Institucioni shtetëror arsimor i arsimit të lartë profesional "Khabarovsk Akademia Shtetërore e Ekonomisë dhe Ligjit" Departamenti

AGJENCIA FEDERALE PËR ARSIM E MINISTRISË SË ARSIMIT DHE SHKENCËS TË FEDERATISË RUSE GOUVPO "Universiteti Shtetëror i Permit" Assoc. V.V. Morozenko UDC 59. (075.8) Departamenti i Teorisë së Matematikës së Lartë

AGJENCIA FEDERALE PËR ARSIM Institucioni shtetëror arsimor i arsimit të lartë profesional "Universiteti Politeknik Tomsk" L. I. Konstantinova TEORIA E PROBABILITETIT DHE MATEMATIKA

Agjencia Federale për Transportin Hekurudhor, dega e institucionit arsimor buxhetor federal të shtetit të arsimit të lartë profesional "Universiteti Shtetëror Siberian"

Përkufizimi i përcaktorit të një matrice Një matricë katrore përbëhet nga një element A = (a). Përcaktori i një matrice të tillë është i barabartë me A = det(a) = a. () a a Matrica katrore 2 2 përbëhet nga katër elementë A =

TOMSK TEKNIKA E TRANSPORTIT HEKURUDHOR DEGA E SGUPS MBLEDHJA E DETYRAVE INDIVIDUALE “Elementet e kombinatorikës. Bazat e teorisë së probabilitetit" disiplina Teoria e Probabilitetit dhe Statistikat Matematikore

À. Ì. Ïîïîâ, Â. Í. Ñîòíèêîâ ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ Ó ÅÁÍÈÊ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÎÂ Ïîä ðåäàêöèåé À. Ì. Ïîïîâà Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì öåíòðîì

MINISTRIA E ARSIMIT DHE SHKENCËS E Institutit Buxhetor të Arsimit të Lartë Profesional të Federatës Ruse "Universiteti Teknik Shtetëror Ukhta" (USTU) Punëtori mbi disiplinën

MVDubatovskaya Teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore Leksion 4 Teoremat e mbledhjes dhe shumëzimit të probabiliteteve Formula e probabilitetit total Formula e Bayes Le dhe B të jenë ngjarje dhe probabilitete të papajtueshme

DETYRA: 1. Me anë të kllapave kaçurrelë shkruani bashkësinë e numrave natyrorë të vendosur në rreze ndërmjet numrave 10 dhe 15. Cilët nga numrat janë 0; 10; 11; 12; 15; A i përket 50 këtij grupi? 2. Shkruani grupin

AGJENCIA FEDERALE E ARSIMIT Institucioni arsimor shtetëror i arsimit të lartë profesional "UNIVERSITETI POLITEKNIK KOMBËTAR KËRKIMOR TOMSK" L.I. KONSTANTINOV

Leksioni 5 Tema Skema Bernoulli. Përmbajtja e temës Skema Bernoulli. formula e Bernulit. Numri më i mundshëm i sukseseve në skemën e Bernoulli. Ndryshore binomiale e rastësishme. Kategoritë bazë të binomit të Njutonit, diagrami

Konceptet themelore të kombinatorikës

Në degën e matematikës të quajtur kombinatorikë, zgjidhen probleme që lidhen me shqyrtimin e bashkësive dhe përbërjen e kombinimeve të ndryshme të elementeve të këtyre bashkësive. Për shembull, nëse marrim 10 numra të ndryshëm 0, 1, 2, 3, ..., 9 dhe bëjmë kombinime të tyre, do të marrim numra të ndryshëm, për shembull 345, 534, 1036, 45, etj.

Ne shohim se disa nga këto kombinime ndryshojnë vetëm në renditjen e shifrave (për shembull, 345 dhe 534), të tjerët në shifrat që përmbajnë (për shembull, 1036 dhe 5671), dhe të tjerët ndryshojnë gjithashtu në numrin e shifrave (për shembull, 345 dhe 45).

Kështu, kombinimet që rezultojnë plotësojnë kushte të ndryshme. Në varësi të rregullave të përbërjes, mund të dallohen tre lloje kombinimesh: permutacione, vendosje, kombinime. Le t'i shqyrtojmë ato veçmas. Sidoqoftë, së pari njihuni me konceptin e faktorialit.

1. Koncepti i faktorialit

Prodhimi i të gjithë numrave natyrorë nga 1 në n të quajtura përfshirëse n-faktorial dhe shkruani n! = 1 · 2 · 3 · ... · (n – 1) · n.

Shembulli 1. Llogaritni:

a) 3!; b) 7! – 5!; V)

Zgjidhje. a) 3! = 1 · 2 · 3 = 6.

b) Që nga 7! = 1 2 3 4 5 6 7 dhe 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5, atëherë mund të vendosim 5 nga kllapat!. Pastaj marrim 5! (6 · 7 – 1) = 5! · 41 = 120 · 41 = 4920.

V)

Shembulli 2. Thjeshtoni:

Zgjidhje. a) Duke marrë parasysh se (n + 1)! = 1 · 2 · 3 · … · n · (n + 1), dhe n! = 1 · 2 · 3 ... · n, zvogëloni thyesën;

b) Që nga (n + 1)! = 1 · 2 · 3 · ... · (n – 1) · n · (n + 1), pastaj pas reduktimit marrim

(n+1)! = 1 · 2 · 3 · ... · n · (n + 1), n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

Le ta sjellim thyesën në një emërues të përbashkët, për të cilin marrim (n + 1)!. Pastaj marrim

1 – 3. Llogaritni:

1. 2. 3.

4 – 9. Thjeshtoni shprehjet:

4. 6. 8.

5. 7. 9. -

2. Rirregullimet

Le të jepen tre shkronja A, B, C Le të bëjmë të gjitha kombinimet e mundshme të këtyre shkronjave: ABC, ASV, BSA, BAC, CAB, CBA (gjithsej 6 kombinime). Shohim se ato ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm për nga renditja e shkronjave.

Quhen kombinime të n elementeve që ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm për nga renditja e elementeve permutacionet.

Permutacionet shënohen me simbolin Рn, ku n është numri i elementeve të përfshira në çdo ndërrim.

Numri i permutacioneve mund të llogaritet duke përdorur formulën

Рn = n (n – 1) (n – 2) · ... · 3 · 2 · 1 (1)

ose duke përdorur faktorial:

Pn = n!. (2)

Kështu, numri i permutacioneve të tre elementeve sipas formulës (2) është

P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6, që përkon me rezultatin e shembullit të diskutuar më sipër.

Në të vërtetë, tre shkronja mund të vendosen në radhë të parë në një kombinim (përmutacion). Vetëm dy nga tre shkronjat mund të vendosen në vendin e dytë (njëra zuri vendin e parë), dhe vetëm një nga ato të mbetura do të jetë në vendin e tretë. Kjo do të thotë 3 · 2 · 1 = 6 = P3.

10. Sa numra të ndryshëm pesëshifrorë mund të bëhen nga shifrat 1, 2, 3, 4, 5, me kusht që të mos përsëritet asnjë shifër në numër?

11. Në garë morën pjesë katër skuadra. Sa opsione për shpërndarjen e vendeve ndërmjet tyre janë të mundshme?

12 – 14. Llogaritni:

12. 13. 14.

Le të jenë katër shkronja A, B, C, D. Duke kompozuar të gjitha kombinimet e vetëm dy shkronjave, marrim:

Shohim që të gjitha kombinimet që rezultojnë ndryshojnë ose në shkronja ose sipas renditjes së tyre (kombinimet BA dhe AB konsiderohen të ndryshme).

Kombinimet e m elementeve të n elementeve që ndryshojnë nga njëri-tjetri ose nga vetë elementët quhen rregullime.

Vendosjet tregohen me simbolin A, ku m është numri i të gjithë elementëve të disponueshëm, n është numri i elementeve në secilin kombinim. Në këtë rast, supozohet se n m. Numri i vendosjeve mund të llogaritet duke përdorur formulën

n faktorë

A = (3)

domethënë, numri i të gjitha rregullimeve të mundshme të m elementeve me n është i barabartë me prodhimin e n numrave të plotë të njëpasnjëshëm, nga të cilët më i madhi është m.

Pra, A = 4 · 3 = 12, që përkon me rezultatin e shembullit të mësipërm: meqenëse numri i rreshtave korrespondon me numrin e të gjitha shkronjave të disponueshme, d.m.th. m = 4, dhe numri i kolonave është 3, ka 12 kombinime të ndryshme në total.

Shembulli 3. Njehsoni: a) A; b)

Zgjidhje. a) A = 6 5 4 = 120.

b) Meqenëse A = 15 14 13, A = 15 14 13 12, A = 15 14 13 12 11, atëherë

Shembulli 4. Sa numra dyshifrorë mund të bëhen nga pesë shifrat 1, 2, 3, 4, 5, me kusht që asnjëra prej tyre të mos përsëritet?

Zgjidhje. Meqenëse numrat dyshifrorë ndryshojnë nga njëri-tjetri ose në vetë numrat ose sipas renditjes së tyre, sasia e kërkuar është e barabartë me numrin e vendosjeve të pesë elementeve në dyshe: A = 5 · 4 = 20. Pra, mund të bëni 20 të ndryshëm numra dyshifrorë.

Kur gjejmë numrin e vendosjeve, ne shumëzojmë n numra të plotë në rënie të njëpasnjëshme, d.m.th., nuk ka mjaftueshëm (m – n) faktorë të plotë në rënie të njëpasnjëshme për të arritur faktorialin e plotë.

m faktorë

Prandaj, formula për numrin e vendosjeve mund të shkruhet si

A =

Prandaj, duke marrë parasysh që numëruesi është i barabartë me m!, dhe emëruesi është i barabartë me (m – n)!, ne e shkruajmë këtë formulë në formë faktoriale:

A = (4)

Shembulli 5. Njehsoni A në formë faktoriale.

Zgjidhje. A =

15-20. Llogaritni në çdo mënyrë:

15. A; 16. A; 17. A; 18. A; 19. A; 20.

21. Sa opsione ka për shpërndarjen e tre çmimeve nëse 7 ekipe marrin pjesë në short?

22. Sa numra të ndryshëm katërshifrorë mund të bëhen nga shifrat 0, 1, 2, ..., 8, 9?

23. Sa opsione orare mund të krijohen për një ditë nëse janë gjithsej 8 lëndë akademike dhe vetëm tre prej tyre mund të përfshihen në orarin ditor?

24. Sa opsione për shpërndarjen e tre kuponave në sanatoriume të profileve të ndryshme mund të përpilohen për pesë aplikantë?

4. Kombinimet

Kombinimet janë të gjitha kombinimet e m elementeve të n që ndryshojnë nga njëri-tjetri me të paktën një element (këtu m dhe n janë numra natyrorë dhe n është m).

Pra, nga katër shkronja të ndryshme A, B, C, D, mund të bëni kombinimet e mëposhtme që ndryshojnë nga njëra-tjetra në të paktën një element: AB, AC, AD, BC, BD, CD. Kjo do të thotë se numri i kombinimeve të katër elementeve nga dy është 6. Kjo shkruhet shkurtimisht si më poshtë: C = 6.

Në çdo kombinim ne do të riorganizojmë elementet:

AB, AC, AD, BC, BD, CD;

BA, CA, DA, CB, DB, DC.

Si rezultat, ne morëm një marrëveshje prej katër elementësh, nga dy secila. Prandaj, CP2 = A, prej nga C =

1. Sa numra të ndryshëm pesëshifrorë mund të bëhen nga shifrat 1, 3, 5, 7, 9, me kusht që të mos përsëritet asnjë shifër në numër?

2. Sa opsione ka për shpërndarjen e tre çmimeve nëse 7 ekipe marrin pjesë në short?

3. Në sa mënyra mund të zgjidhni dy studentë për një konferencë nëse ka 33 persona në grup?

4. Zgjidh ekuacione

5. Sa numra katërshifrorë të pjesëtueshëm me 5 mund të bëhen nga shifrat 0, 1, 2, 5, 7, nëse secili numër nuk duhet të përmbajë të njëjtat shifra?

6. Nga një grup prej 15 personash, duhet të zgjidhet një përgjegjës dhe 4 anëtarë të ekipit. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

7. Shkronjat e kodit Morse përbëhen nga simbole (pika dhe viza). Sa shkronja mund të vizatohen nëse kërkon që secila shkronjë të përmbajë jo më shumë se pesë karaktere?

8. Në sa mënyra mund të bëhen shirita me katër ngjyra nga shtatë shirita me ngjyra të ndryshme?

9. Në sa mënyra mund të zgjidhen katër persona nga nëntë kandidatë për katër pozicione të ndryshme?

10. Në sa mënyra mund të zgjidhni 3 nga 6 kartolina?

11. Para diplomimit, një grup prej 30 studentësh shkëmbyen foto. Sa kartolina fotografike u shpërndanë?

12. Në sa mënyra mund të ulen 10 të ftuar në dhjetë vende në një tryezë festive?

13. Sa ndeshje duhet të luajnë 20 ekipe futbolli në një kampionat me një raund?

14. Në sa mënyra mund të shpërndahen 12 persona midis ekipeve nëse secili ekip ka 6 persona?

Teoria e probabilitetit

1. Urna përmban 7 topa të kuq dhe 6 blu. Nga urna nxirren dy topa në të njëjtën kohë. Sa është probabiliteti që të dy topat të jenë të kuq (ngjarja A)?

2. Nëntë libra të ndryshëm janë renditur rastësisht në një raft. Gjeni probabilitetin që katër libra të caktuar të vendosen pranë njëri-tjetrit (ngjarja C).

3. Nga 10 bileta, 2 janë fituese.

4. 3 letra tërhiqen në mënyrë të rastësishme nga një kuvertë letrash (52 letra). Gjeni probabilitetin që të jetë një tre, një shtatë, një ACE.

5. Një fëmijë luan me pesë shkronjat e alfabetit të ndarë A, K, R, Sh, Y. Sa është probabiliteti që nëse shkronjat renditen rastësisht në një rresht, ai do të marrë fjalën "Çati".

6. Ka 6 topa të bardhë dhe 4 të kuq në kuti. Dy topa merren rastësisht. Sa është probabiliteti që ato të kenë të njëjtën ngjyrë?

7. Urna e parë përmban 6 topa të zinj dhe 4 të bardhë, urna e dytë përmban 5 topa të zinj dhe 7 topa të bardhë. Nga çdo urnë nxirret një top. Sa është probabiliteti që të dy topat të jenë të bardhë?

Ndryshorja e rastësishme, pritshmëria matematikore dhe varianca e një ndryshoreje të rastësishme

1. Hartoni një ligj të shpërndarjes për numrin e goditjeve në një objektiv me gjashtë goditje, nëse probabiliteti i një goditjeje me një goditje është 0.4.

2. Probabiliteti që një student të gjejë librin që i nevojitet në bibliotekë është 0.3. Të hartojë një ligj shpërndarjeje për numrin e bibliotekave që ai do të vizitojë nëse ka katër biblioteka në qytet.

3. Gjuetari qëllon në lojë deri në goditjen e parë, por arrin të gjuajë jo më shumë se katër të shtëna. Gjeni variancën e numrit të gabimeve nëse probabiliteti për të goditur objektivin me një goditje është 0.7.

4. Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme X , nëse ligji i shpërndarjes së tij jepet nga tabela:

5. Fabrika operon me katër linja automatike. Probabiliteti që gjatë një ndërrimi pune rreshti i parë të mos kërkojë rregullim është 0.9, i dyti - 0.8, i treti - 0.75, i katërti - 0.7. gjeni pritshmërinë matematikore të numrit të rreshtave që nuk do të kërkojnë rregullim gjatë një ndërrimi pune.

Probleme për të zgjidhur për konsolidimin e materialit të ri

Detyra nr. 1. Në sa mënyra mund të renditen 5 pjesëmarrësit në finale?

gara në 5 rutine?

Zgjidhje: P 5 = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 mënyra.

Detyra nr. 2. Sa numra treshifrorë mund të bëhen nga shifrat 1,2,3, nëse secili

a shfaqet një shifër në imazhin e një numri vetëm një herë?

Zgjidhje: Numri i të gjitha permutacioneve të tre elementeve është i barabartë me P 3 =3!, ku 3!=1 * 2 * 3=6

Kjo do të thotë se janë gjashtë numra treshifrorë të përbërë nga numrat 1,2,3.

Detyra nr. 3. Në sa mënyra mund të ftojnë katër të rinj katër nga gjashtë

vajzat për të kërcyer?

Zgjidhje: dy djem nuk mund të ftojnë të njëjtën vajzë në të njëjtën kohë. DHE

opsione në të cilat të njëjtat vajza kërcejnë me djem të ndryshëm,

konsiderohen të ndryshme, prandaj:

Problemi nr. 4. Sa numra të ndryshëm treshifrorë mund të bëhen nga numrat 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9, me kusht që në shkrimin e numrit të përdoret vetëm çdo shifër

dikur?

Zgjidhje: Në deklaratën e problemit propozohet të numërohet numri i kombinimeve të mundshme nga

tre shifra të marra nga nëntë shifrat e supozuara dhe rendi

renditja e numrave në një kombinim ka rëndësi (për shembull, numri 132)

dhe 231 të ndryshme). Me fjalë të tjera, ju duhet të gjeni numrin e vendosjeve nga nëntë

tre elementë secili.

Duke përdorur formulën për numrin e vendosjeve gjejmë:

Përgjigje: 504 numra treshifrorë.

Problemi numër 5 Në sa mënyra mund të zgjidhet një komision prej 3 vetash nga 7 persona?

Zgjidhja: Për të marrë në konsideratë të gjitha komisionet e mundshme, duhet të merrni parasysh të gjitha

nënbashkësi të mundshme me 3 elementë të një grupi të përbërë nga 7

Njerëzore. Numri i kërkuar i mënyrave është

Detyra nr. 6. Në garë marrin pjesë 12 ekipe. Sa opsione ka?

shpërndarja e vendeve të çmimeve (1, 2, 3)?

Zgjidhje: A 12 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 opsione për shpërndarjen e vendeve të çmimeve.

Përgjigje: 1320 opsione.

Detyra nr 7. Në garën e atletikës shkolla jonë u përfaqësua nga një ekip nga

10 sportistë. Në sa mënyra mund të përcaktojë trajneri se cilën prej tyre

do të vrapojë në stafetën 4x100m në fazën e parë, të dytë, të tretë dhe të katërt?

Zgjidhja: Zgjedhja nga 10 në 4, duke marrë parasysh renditjen:
mënyrat.

Përgjigje: 5040 mënyra.

Detyra nr 8. Në sa mënyra mund të kuqja, e zeza, bluja dhe

topa jeshile?

Zgjidhja: Ju mund të vendosni cilindo nga katër topat në radhë të parë (4 mënyra).

e dyta - ndonjë nga tre të mbeturat (3 metoda), vendi i tretë - ndonjë nga

dy të mbetura (2 mënyra), për vendin e katërt - topi i fundit i mbetur.

Gjithsej 4 · 3 · 2 · 1 = 24 mënyra.

P 4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Përgjigje: 24 mënyra.

Problemi nr. 9. Nxënësve iu dha një listë me 10 libra që rekomandohen të lexohen

koha e pushimeve. Në sa mënyra mund të zgjedhë një nxënës 6 libra prej tyre?

Zgjidhja: Zgjedhja 6 nga 10, pavarësisht renditjes:
mënyrat.

Përgjigje: 210 mënyra.

Problemi nr. 10. Në klasën e 9-të janë 7 nxënës, në klasën e 10-të 9 dhe në klasën e 11-të 8 nxënës. Për

punoni në sitin e shkollës, është e nevojshme të ndani dy nxënës nga klasa e 9-të,

tre nga 10 dhe një nga 11. Sa mënyra ka për të zgjedhur?

nxënësit të punojnë në zonën e shkollës?

Zgjidhja: Zgjedhja nga tre grupe pa marrë parasysh porosinë, çdo zgjedhje nga

grupi i parë (C 7 2) mund të kombinohet me çdo zgjedhje nga

e dyta (C 9 3)) dhe me secilën zgjedhje të së tretës (C 8 1) sipas rregullit

shumëzim marrim:

Përgjigje: 14112 mënyra.

Detyra nr. 11. Nxënësit e klasës së nëntë Zhenya, Seryozha, Kolya, Natasha dhe Olya vrapuan te

pushim në tavolinën e tenisit, ku loja ishte tashmë në zhvillim. Sa shumë

mënyrat që mund të marrin pesë nxënës të klasës së nëntë që vrapojnë drejt tryezës

radhë për pingpong?

Zgjidhje: Çdo nxënës i klasës së nëntë mund të ishte i pari në radhë dhe çdo nxënës mund të ishte i dyti.

tre të mbeturit, i treti - ndonjë nga dy të tjerët dhe i katërti -

një nxënës i klasës së nëntë që vrapoi nga e dyta në të fundit dhe një nxënës i klasës së pestë që vrapoi i fundit. Nga

Rregulli i shumëzimit për pesë nxënës ka 5 4321=120 mënyra

Metodat për zgjidhjen e problemeve të kombinuara

Numërimi i opsioneve të mundshme

Problemet e thjeshta zgjidhen nga një kërkim i zakonshëm shterues i opsioneve të mundshme pa hartuar tabela dhe diagrame të ndryshme.

Detyra 1.
Cilët numra dyshifrorë mund të bëhen nga numrat 1, 2, 3, 4, 5?

Përgjigje: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.

Detyra 2.
Në garën e fundit të 100 metrave marrin pjesë Ivanov, Gromov dhe Orlov. Emërtoni opsionet e mundshme për shpërndarjen e çmimeve.

Përgjigje:
Opsioni 1: 1) Ivanov, 2) Gromov, 3) Orlov.
Opsioni 2: 1) Ivanov, 2) Orlov, 3) Gromov.
Opsioni 3: 1) Orlov, 2) Ivanov, 3) Gromov.
Opsioni 4: 1) Orlov, 2) Gromov, 3) Ivanov.
Opsioni 5: 1) Gromov, 2) Orlov, 3) Ivanov.
Opsioni 6: 1) Gromov, 2) Ivanov, 3) Orlov.

Detyra 3.
Petya, Kolya, Vitya, Oleg, Tanya, Olya, Natasha, Sveta u regjistruan në klubin e vallëzimit të sallës së ballit. Çfarë çiftesh vallëzimi mund të formojnë një vajzë dhe një djalë?

Përgjigje:
1) Tanya - Petya, 2) Tanya - Kolya, 3) Tanya - Vitya, 4) Tanya - Oleg, 5) Olya - Petya, 6) Olya - Kolya, 7) Olya - Vitya, 8) Olya - Oleg, 9) Natasha - Petya, 10) Natasha - Kolya, 11) Natasha - Vitya, 12) Natasha - Oleg, 13) Sveta - Petya, 14) Sveta - Kolya, 15) Sveta - Vitya, 16) Sveta - Oleg.

Pema e opsioneve të mundshme

Një sërë problemesh kombinuese zgjidhen duke hartuar qarqe speciale. Nga pamja e jashtme, kjo skemë i ngjan një peme, prandaj emri i metodës - pema e opsioneve të mundshme.

Detyra 4.
Cilët numra treshifrorë mund të bëhen nga numrat 0, 2, 4?

Zgjidhje.Le të ndërtojmë një pemë të opsioneve të mundshme, duke marrë parasysh që 0 nuk mund të jetë shifra e parë në numër.

Përgjigje: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.

Detyra 5.
Turistët e shkollës vendosën të bëjnë një udhëtim në një liqen malor. Faza e parë e udhëtimit mund të mbulohet me tren ose autobus. Faza e dytë është me kajakë, biçikleta ose në këmbë. Dhe faza e tretë e udhëtimit është në këmbë ose duke përdorur një teleferik. Çfarë mundësish të mundshme udhëtimi kanë turistët e shkollave?

Zgjidhje.Le të ndërtojmë një pemë të opsioneve të mundshme, duke treguar udhëtimin me tren P, me autobus - A, me kajak - B, me biçikletë - B, në këmbë - X, me teleferik - K.

Përgjigje:Figura rendit të gjitha 12 opsionet e mundshme të udhëtimit për turistët e shkollave.

Detyra 6.
Shkruani të gjitha opsionet e mundshme për caktimin e pesë mësimeve në ditë nga lëndët: matematikë, rusisht, histori, anglisht, edukim fizik dhe matematika duhet të jetë mësimi i dytë.

Zgjidhje.Le të ndërtojmë një pemë të opsioneve të mundshme, duke treguar M - matematikë, R - Rusisht, I - histori, A - Anglisht, F - edukim fizik.

Përgjigje:Ekzistojnë 24 opsione të mundshme në total:

Detyra 7.
Sasha shkon në shkollë me pantallona ose xhinse, vesh me to këmisha gri, blu, jeshile ose me kuadrate dhe si ndërrim këpucësh merr këpucë ose atlete.
a) Sa ditë do të jetë në gjendje të duket Sasha e re?
b) Sa ditë do të veshë atlete?
c) Sa ditë do të veshë këmishë me kuadrate dhe xhinse?

Zgjidhje.Le të ndërtojmë një pemë të opsioneve të mundshme, duke treguar B - pantallona, ​​D - xhinse, C - këmishë gri, G - këmishë blu, Z - këmishë jeshile, P - këmishë me kuadrate, T - këpucë, K - atlete.

Përgjigje:a) 16 ditë; b) 8 ditë; c) 2 ditë.

Përpilimi i tabelave

Ju mund të zgjidhni probleme kombinuese duke përdorur tabela. Ata, si pema e opsioneve të mundshme, përfaqësojnë qartë zgjidhjen e problemeve të tilla.

Detyra 8.
Sa numra tek dyshifrorë mund të bëhen nga shifrat 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?

Zgjidhje.Le të bëjmë një tabelë: kolona e parë në të majtë janë shifrat e para të numrave të kërkuar, rreshti i parë në krye është shifrat e dyta.

Përgjigje: 28.

Detyra 9.
Masha, Olya, Vera, Ira, Andrey, Misha dhe Igor po përgatiteshin të bëheshin prezantues në festën e Vitit të Ri. Emërtoni opsionet e mundshme nëse mund të udhëheqin vetëm një vajzë dhe një djalë.

Zgjidhje.Le të bëjmë një tabelë: kolona e parë në të majtë janë emrat e vajzave, rreshti i parë në krye janë emrat e djemve.

Përgjigje:Të gjitha opsionet e mundshme janë renditur në rreshtat dhe kolonat e tabelës.

Rregulli i shumëzimit

Kjo metodë e zgjidhjes së problemeve kombinuese përdoret kur nuk është e nevojshme të renditni të gjitha opsionet e mundshme, por duhet t'i përgjigjeni pyetjes - sa prej tyre ekzistojnë.

Problemi 10.
Në turneun e futbollit marrin pjesë disa skuadra. Doli se të gjithë përdornin ngjyrat e bardha, të kuqe, blu dhe jeshile për pantallonat e shkurtra dhe bluzat e tyre dhe u prezantuan të gjitha opsionet e mundshme. Sa skuadra morën pjesë në turne?

Zgjidhje.
Pantallonat e shkurtra mund të jenë të bardha, të kuqe, blu ose jeshile, d.m.th. Ka 4 opsione. Secila prej këtyre opsioneve ka 4 opsione ngjyrash jersey.

4 x 4 = 16.

Përgjigje: 16 ekipe.

Problemi 11.
6 nxënës i nënshtrohen testit në matematikë. Në sa mënyra mund të renditen ato në listë?

Zgjidhje.
I pari në listë mund të jetë ndonjë nga 6 studentët,
i dyti në listë mund të jetë ndonjë nga 5 studentët e mbetur,
e treta - ndonjë nga 4 studentët e mbetur,
i katërti - ndonjë nga 3 studentët e mbetur,
i pesti - ndonjë nga 2 studentët e mbetur,
i gjashti - 1 studenti i fundit.

6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.

Përgjigje: 720 mënyra.

Problemi 12.
Sa numra çift dyshifrorë mund të bëhen nga shifrat 0, 2, 3, 4, 6, 7?

Zgjidhje.
E para në një numër dyshifror mund të jetë 5 shifror (shifra 0 nuk mund të jetë e para në numër), e dyta në një numër dyshifror mund të jetë 4 shifrore (0, 2, 4, 6, pasi numri duhet të jetë madje).
5 x 4 = 20.

Përgjigje: 20 numra.