Teoria e probabilitetit. Shënime leksioni mbi teorinë e probabilitetit dhe statistikat matematikore

§1. Çfarë studion teoria e probabilitetit dhe kur lindi ajo? Koncepti i një eksperimenti të rastësishëm. Hapësira e rezultateve elementare. Llojet dhe shembujt. Elementet e kombinatorikës. Koncepti i një ngjarjeje.

Referenca historike:

Historikisht, teoria e probabilitetit u ngrit si një teori e lojërave të fatit (ruletë, zare, letra, etj.). në fund të shekullit të 17-të. Fillimi i zhvillimit të tij lidhet me emrat e Pascal, Bernoulli, Moivre, Laplace dhe më vonë (në fillim të shekullit të 19-të) Gauss dhe Poisson.

Studimet e para mbi teorinë e probabilitetit në Rusi datojnë në mesin e shekullit të 19-të dhe shoqërohen me emrat e matematikanëve të tillë të shquar si N.I. Lobachevsky, M.V. Ostrogradsky, V.Ya. Bunyakovsky (një nga të parët që botoi një libër shkollor me aplikime në sigurime dhe demografi).

Zhvillimi i mëtejshëm i teorisë së probabilitetit (fundi i 19-të dhe të njëzetat e shekullit të 20-të) lidhet kryesisht me emrat e shkencëtarëve rusë Chebyshev, Lyapunov dhe Makarov. Që nga vitet '30 të shekullit të 20-të, kjo degë e matematikës ka përjetuar një periudhë lulëzimi, duke gjetur aplikime në fusha të ndryshme të shkencës dhe teknologjisë. Në këtë kohë, shkencëtarët rusë Bernstein, Khinchin dhe Kolmogorov dhanë një kontribut të rëndësishëm në zhvillimin e teorisë së probabilitetit. Ishte Kolmogorov, në moshën 30-vjeçare në vitin 1933, ai që propozoi ndërtimin aksiomatik të teorisë së probabilitetit, duke vendosur lidhjen e saj me degët e tjera të matematikës (teoria e grupeve, teoria e masave, analiza funksionale).

Teoria e probabilitetit është një degë e matematikës që studion modele matematikore të eksperimenteve të rastësishme, d.m.th. eksperimente, rezultatet e të cilave nuk mund të përcaktohen pa mëdyshje nga kushtet e eksperimentit. Supozohet se vetë eksperimenti mund të përsëritet (të paktën në parim) çdo numër herë në një grup kushtesh të pandryshuara, dhe rezultatet e eksperimentit janë statistikisht të qëndrueshme.

Koncepti i një eksperimenti të rastësishëm

Shembuj të eksperimenteve të rastësishme:

1. Hidhni një monedhë një herë.

2. Hidheni zarin një herë.

3. Zgjedhja e rastësishme e një topi nga urna.

4. Matja e kohës së përdorimit të një llambë.

5. Matja e numrit të thirrjeve që vijnë në PBX për njësi kohore.

Një eksperiment është i rastësishëm nëse është e pamundur të parashikohet rezultati jo vetëm i eksperimentit të parë, por edhe gjithë të ardhmen. Për shembull, kryhet një reaksion kimik, rezultati i të cilit është i panjohur. Nëse kryhet një herë dhe merret një rezultat i caktuar, atëherë me eksperimentim të mëtejshëm në të njëjtat kushte, rastësia zhduket.

Ju mund të jepni shembuj të këtij lloji sa të doni. Cila është e përbashkëta e eksperimenteve me rezultate të rastësishme? Rezulton se përkundër faktit se është e pamundur të parashikohen rezultatet e secilit prej eksperimenteve të listuara më sipër, në praktikë një lloj i caktuar modeli është vërejtur prej kohësh për ta, domethënë: kur kryejnë një numër të madh testesh frekuencat e vëzhguara ndodhja e secilës ngjarje të rastësishme janë të stabilizuara, ato. ndryshojnë gjithnjë e më pak nga një numër i caktuar që quhet probabiliteti i një ngjarjeje.

Frekuenca e vëzhguar e ngjarjes A () është raporti i numrit të dukurive të ngjarjes A (
) në numrin total të testeve (N):

Për shembull, kur hidhet një monedhë e drejtë, fraksioni

në

(
- numri i shqiponjave, N– numri i përgjithshëm i gjuajtjeve)

Kjo veti e stabilitetit të frekuencës lejon, pa qenë në gjendje të parashikojë rezultatin e një eksperimenti të vetëm, të parashikojë me saktësi vetitë e fenomeneve që lidhen me përvojën në fjalë. Prandaj, metodat e teorisë së probabilitetit në jetën moderne kanë depërtuar në të gjitha sferat e veprimtarisë njerëzore, jo vetëm në shkencat natyrore, ekonomike, por edhe në shkencat humane, si historia, gjuhësia etj. Bazuar në këtë qasje përcaktimi statistikor i probabilitetit.

Në
(frekuenca e vëzhguar e një ngjarjeje priret në probabilitetin e saj ndërsa numri i eksperimenteve rritet, domethënë me n
).

Përkufizimi 1.1: Një rezultat elementar (ose një ngjarje elementare) quaj çdo rezultat më të thjeshtë (d.m.th. të pandashëm brenda kornizës së një përvoje të caktuar) të një eksperimenti. Ne do ta quajmë grupin e të gjitha rezultateve elementare hapësira e rezultateve elementare.

Një shembull i ndërtimit të një hapësire me rezultate elementare:

Le të shqyrtojmë eksperimentin e mëposhtëm të rastësishëm: hedhjen e një zari një herë, duke vëzhguar numrin e pikëve të rënë në anën e sipërme. Le të ndërtojmë një hapësirë ​​të rezultateve elementare për të:

Përmban të gjitha opsionet, pamja e secilit opsion përjashton pamjen e të tjerëve, të gjitha opsionet janë të pandashme.

Hapësira e rezultateve elementare (llojet dhe shembujt për secilin lloj):

Merrni parasysh diagramin e mëposhtëm

Hapësira diskrete– këto janë hapësira në të cilat mund të dallohen rezultatet individuale . Në fundme diskrete ju mund të tregoni saktë numrin e tyre.

Shembuj të hapësirave diskrete të rezultateve elementare

Eksperimentoni:hedhje e vetme e monedhës

, Ku

Mund të përfshihet në prodhimin e e.i. opsioni i rënies së një monedhe në buzë, por ne e përjashtojmë atë nga modeli si i pamundur (çdo model është një përafrim)

Nëse monedha është e saktë, d.m.th. Meqenëse ka të njëjtën densitet kudo dhe një qendër graviteti të pazhvendosur, atëherë rezultatet "stema" dhe "bishti" kanë shanse të barabarta për t'u shfaqur. Nëse qendra e gravitetit të monedhës zhvendoset, atëherë, në përputhje me rrethanat, rezultatet kanë shanse të ndryshme për të ndodhur.

Koment: Nëse një problem nuk thotë asgjë për një monedhë, atëherë supozohet se është i saktë.

Eksperimentoni:një hedhje e vetme e dy monedhave.

Shënim: Nëse monedhat janë të njëjta, atëherë rezultatet RG dhe GR janë vizualisht të padallueshme. Ju mund të shënoni një nga monedhat me bojë dhe më pas ato do të jenë vizualisht të ndryshme.

Modeli mund të ndërtohet në mënyra të ndryshme:

ose bëjmë dallimin midis rezultateve të RG, GR dhe më pas marrim 4 vars

, Ku

Në këtë rast, nëse të dyja monedhat janë të sakta, të gjitha opsionet kanë një shans të barabartë për t'u shfaqur.

ose nuk bëjmë dallimin midis opsioneve RG dhe GR dhe pastaj përfundojmë me 3 opsione.

, Ku

Në këtë rast, nëse të dyja monedhat janë të sakta, opsioni RG ka një shans më të madh të shfaqet sesa opsionet GG dhe RR, sepse ajo zbatohet në dy mënyra: një stemë në monedhën e parë dhe një bisht në të dytën dhe anasjelltas.

Eksperiment: përzgjedhje e rastësishme nga një grup studentësh i përbërë nga 20 persona, 5 personi për të udhëtuar në një konferencë. Rezultati i eksperimentit: pesë specifike. Kur zgjedhim, ne kujdesemi vetëm për përbërjen, d.m.th. nuk ka rëndësi kë zgjodhëm të parën, kë zgjodhëm të dytin, etj. Ku

(sa "pesë" me përbërje të ndryshme mund të merren nga 20 persona) (faktorial)

Përgjigjen për këtë pyetje e jep përsëri shkenca e kombinatorikës.

(

Të gjitha 15504 opsionet kanë një shans të barabartë për t'u shfaqur, sepse zgjedhja është e rastësishme.

Eksperiment: përzgjedhje e rastësishme nga një grup studentësh i përbërë nga 20 persona, 5 persona për të marrë bonuse me shuma të ndryshme. Rezultati i eksperimentit: një pesëshe e porositur specifike. Kur zgjedhim, për ne nuk është e rëndësishme vetëm përbërja, por edhe rendi i përzgjedhjes, sepse Madhësia e bonusit varet nga mënyra se si është zgjedhur personi.

1860480 ( sa "pesë" të ndryshme të porositura mund të merren nga 20 persona).

Përgjigjen për këtë pyetje e jep përsëri shkenca e kombinatorikës.

(

Të gjitha 1860480 opsionet kanë shanse të barabarta për t'u shfaqur, sepse zgjedhja është e rastësishme.

Është e qartë se do të ketë më shumë "pesë" të porositura sesa të parregulluara, sepse me të njëjtën përbërje mund të ketë disa opsione porosie: në këtë rast, në secilën përbërje prej 5 personash janë të mundshme 120 opsione të ndryshme porosie.

ELEMENTET E KOMBINATORIKËS

Rregulla e përgjithësuar e shumëzimit:

Le të jetë e nevojshme të angazhohenimveprimet e pavarura dhe veprimi i parë mund të kryhet mënyra, e dyta - mënyrat etj. ….m-të veprim
mënyrat. Pastaj mund të kryhet e gjithë sekuenca e veprimeve

mënyrat

Rirregullimet.

Ndërrimi nganelementet quhet çdo grup i renditur i këtyre elementeve.

-numri i permutacioneve të n elementeve

Shpjegim: Elementi i parë mund të zgjidhet në n mënyra, i dyti në n-1 mënyra, etj. elementi i fundit bëhet në një mënyrë, dhe ato shumëzohen në bazë të rregullit të shumëzimit të përgjithësuar

Vendosjet.

Akomodimi nganNgam quajtur ndonjë set i porositur prej m elementësh të zgjedhur rastësisht nga një popullatë që përmban n elementë (m

Numri i vendosjeve të n elementeve me m (numri i opsioneve për një zgjedhje të tillë të renditur).

Shpjegim: Elementi i parë mund të zgjidhet në n mënyra, i dyti në n-1 mënyra, etj. , dhe ato shumëzohen në bazë të rregullit të shumëzimit të përgjithësuar.

Kombinimet.

Një kombinim inNgam quajtur ndonjë set i parregulluar prej m elementësh të zgjedhur rastësisht nga një popullatë që përmban n elementë.

Kombinimet dhe vendosjet lidhen si më poshtë:

(për çdo përbërje të m elementeve kemi m! grupe të renditura). Kështu,

numri i kombinimeve të n elementeve të m (numri i opsioneve për një zgjedhje të tillë të parregulluar

Shembull i një hapësire të vazhdueshme të rezultateve elementare

Eksperimentoni: dy persona caktojnë një takim në një vend të caktuar midis orës 12 dhe 13 dhe secili prej tyre mund të vijë brenda kësaj ore në çdo moment të rastësishëm. Ne gjurmojmë momentet e mbërritjes së tyre. Çdo opsion për 2 persona për të mbërritur është një pikë nga një shesh me anë 60 (pasi ka 60 minuta në një orë).

(e para mund të mbërrijë në 12:00 x minuta, e dyta në 12:00 y minuta). Të gjitha pikat në katror nuk mund të mos numërohen dhe rinumërohen. Kjo është struktura e tij e vazhdueshme dhe, për rrjedhojë, në këtë eksperiment hapësira e vazhdueshme e rezultateve elementare.

Ngjarjet dhe operacionet mbi to:

Përkufizimi 1.2

Çdo një grup rezultatesh elementare quhet ngjarje. ME ngjarjet përcaktohen me shkronja të mëdha latine A, B, C ose shkronja me indekse A 1, A 2, A 3, etj.

Shpesh përdoret terminologjia e mëposhtme: ata thonë se ngjarja A ka ndodhur (ose ka ndodhur) nëse ndonjë nga rezultatet elementare është shfaqur si rezultat i përvojës
.

Shembuj të ngjarjeve

Le t'i rikthehemi eksperimentit të hedhjes së një pete. Merrni parasysh ngjarjet e mëposhtme:

A=(rrotullimi i një numri çift pikësh)

B=(rrotullimi i një numri tek pikash)

C=(rrotullimi i një numri pikash që është shumëfish i 3)

Pastaj, sipas shënimit të paraqitur më parë,

Përkufizimi 1.3

Një ngjarje e përbërë nga të gjitha rezultatet elementare, d.m.th. një ngjarje që ndodh domosdoshmërisht në një përvojë të caktuar quhet të besueshme. Është caktuar
si dhe hapësira e rezultateve elementare.

Shembull i një ngjarjeje të besueshme: Gjatë hedhjes së një zari, nuk do të shfaqen më shumë se 6 pikë, ose kur hidhni një zar, do të shfaqet të paktën një pikë.

Përkufizimi 1.4

Një ngjarje që nuk përmban një rezultat të vetëm elementar, d.m.th. një ngjarje që nuk ndodh kurrë në një përvojë të caktuar quhet e pamundur. Përcaktohet nga simboli  .

Shembull i një ngjarje të pamundur: Kur hidhni dy zare, numri i përgjithshëm i pikëve të hedhura do të jetë 20.

Operacionet në ngjarje:

fraza, të paktën një nga ngjarjet A ose B ka ndodhur).

Përkufizimi 1.5 Ngjarjet A dhe B quhen të papajtueshme, nëse kryqëzimi i tyre është një ngjarje e pamundur, d.m.th. AB=  .

Një shembull i një detyre mbi operacionet në ngjarje:

Tre të shtëna në shënjestër. Merrni parasysh ngjarjet

(Godit me gjuajtjen e i-të), i=1..3

Duke përdorur operacionet teorike të grupeve, shprehni ngjarjet e mëposhtme në terma të ngjarjeve A i:

A=(tre goditje)=

B=(tre gabime)=

C=(të paktën një goditje)=

D=(të paktën një mungesë)=

E=(të paktën dy goditje)=
+
+
+

F=(jo më shumë se një goditje)=
++
+

G=(goditi objektivin jo më herët se gjuajtja e tretë)=

Ideja: në vazhdim do të ketë detyra të këtij lloji: probabilitetet e ngjarjeve jepen dhe kërkohet, duke ditur këto probabilitete, të gjenden probabilitetet e ngjarjeve A, B, C, D, E, F, G.

§2. KONCEPTI I PROBABILITETIT

Për të krahasuar në mënyrë sasiore shanset e ndodhjes së ngjarjeve, prezantohet koncepti i probabilitetit.

Përkufizimi 2.1 Le çdo ngjarje A dorëzuar ne perputhje me numri P(A). Funksioni numerik P quhet probabiliteti ose masa e probabilitetit, nëse plotëson aksiomat e mëposhtme:

Aksioma e jonegativitetit

Aksioma e normalizimit

Aksioma e shtimit (e zgjeruar) disa janë duke u studiuar të rastësishme ngjarje ...

KAPITULLI 1 TEORIA E PROBABILITETIT

Eksperiment probabiliteti. Lënda dhe detyrat e teorisë së probabilitetit.

Rezultatet e çdo eksperimenti varen në një shkallë ose në një tjetër nga grupi i kushteve S në të cilat kryhet eksperimenti. Këto kushte ose ekzistojnë objektivisht ose krijohen artificialisht (d.m.th., planifikohet një eksperiment).

Sipas shkallës së varësisë së rezultateve të një eksperimenti nga kushtet në të cilat është kryer, të gjitha eksperimentet mund të ndahen në dy klasa: deterministe dhe probabiliste.

o Eksperimentet përcaktuese - Këto janë eksperimente, rezultatet e të cilave mund të parashikohen paraprakisht në bazë të ligjeve të shkencës natyrore bazuar në një grup të caktuar kushtesh S.

Një shembull i një eksperimenti përcaktues është përcaktimi i nxitimit të marrë nga një trup me masë m nën ndikimin e një force F, d.m.th., vlera e dëshiruar përcaktohet në mënyrë unike nga një grup kushtesh eksperimentale (d.m.th., masa e trupit m dhe forca F).

Përcaktuese janë, për shembull, të gjitha proceset e bazuara në përdorimin e ligjeve të mekanikës klasike, sipas të cilave lëvizja e një trupi përcaktohet në mënyrë unike nga kushtet e dhëna fillestare dhe forcat që veprojnë në trup.

o Eksperimentet probabiliste (stokastike ose të rastësishme) - eksperimente që mund të përsëriten një numër arbitrar herë, duke iu nënshtruar të njëjtave kushte të qëndrueshme, por, ndryshe nga një eksperiment përcaktues, rezultati i një eksperimenti probabilistik është i paqartë dhe i rastësishëm. Ato. Është e pamundur të parashikohet paraprakisht rezultati i një eksperimenti probabilist bazuar në një grup kushtesh S. Sidoqoftë, nëse një eksperiment probabilistik përsëritet shumë herë në të njëjtat kushte, atëherë tërësia e rezultateve të eksperimenteve të tilla i bindet modeleve të caktuara. Teoria e probabilitetit është studimi i këtyre modeleve (ose më mirë, modeleve të tyre matematikore). Le të japim disa shembuj të eksperimenteve probabiliste, të cilat në të ardhmen do t'i quajmë thjesht eksperimente.

Shembulli 1

Lëreni eksperimentin të konsistojë në hedhjen e një monedhe simetrike një herë. Ky eksperiment mund të përfundojë në një nga rezultatet reciprokisht ekskluzive: stema ose grila (bishti) bie. Nëse i dini saktësisht shpejtësitë fillestare të lëvizjes përkthimore dhe rrotulluese dhe pozicionin fillestar të monedhës në momentin e hedhjes, atëherë mund të parashikoni rezultatin e këtij eksperimenti sipas ligjeve të mekanikës klasike. Ato. do të ishte përcaktuese. Megjithatë, të dhënat fillestare të eksperimentit nuk mund të rregullohen dhe po ndryshojnë vazhdimisht. Prandaj, ata thonë se rezultati i eksperimentit është i paqartë, të rastësishme. Megjithatë, nëse hedhim të njëjtën monedhë simetrike në mënyrë të përsëritur përgjatë një trajektoreje mjaft të gjatë, d.m.th. nëse është e mundur, nëse mbajmë të qëndrueshme disa kushte të eksperimentit, atëherë numri i përgjithshëm i rezultateve të tij i nënshtrohet disa modeleve: frekuenca relative e rënies së stemës, frekuenca e gjuajtjeve (n-numri i hedhjeve, m 1 - numri i stemave që bien, m 2 - bishtat).

Shembulli 2

Le të supozojmë se po plotësojmë një kartë loto sportive. Para shortit fitues, është e pamundur të parashikohet se sa numra do të hamendësohen saktë. Megjithatë, përvoja e kryerjes së shorteve sportive të lotos sugjeron se përqindja mesatare e lojtarëve që kanë gjetur m (1≤m≤6) numra luhatet rreth një vlere të caktuar konstante. Këto "modele" (përqindja mesatare e supozimit të saktë të një numri të caktuar numrash) përdoren për të llogaritur fondet fituese.

Eksperimentet probabiliste kanë këto karakteristika të përbashkëta: paparashikueshmëria e rezultatit; prania e modeleve të caktuara sasiore kur ato përsëriten shumë herë në të njëjtat kushte; shumë rezultate të mundshme.

o Lënda e teorisë së probabilitetitështë një analizë sasiore dhe cilësore e modeleve matematikore të eksperimenteve probabiliste, e quajtur përpunimi statik i të dhënave eksperimentale.

o Teoria e probabilitetit - shkenca që merret me analizën e modeleve matematikore për marrjen e vendimeve në kushte pasigurie.

Ngjarjet dhe operacionet mbi to.

Frekuencat relative dhe vetitë e tyre

Koncepti primar i teorisë së probabilitetit, i pa përcaktuar përmes koncepteve të tjera, është hapësira e rezultateve elementare Ω. Zakonisht, të vetmet rezultate të mundshme të pazbërthyeshme të një eksperimenti merren si hapësira e rezultateve elementare.

Shembull

1. Supozojmë se është hedhur një monedhë simetrike. Pastaj (stemë dhe bisht).

2. Zare .

3. Hidhen dy monedha.

4. Hidhen dy zare. Numri i rezultateve elementare është 36.

5. Një pikë hidhet rastësisht në boshtin numerik w.

6. Hidhen dy pika.

y

Përkufizimi. Ngjarjeështë një nënbashkësi arbitrare A e hapësirës së rezultateve elementare Ω. Ato rezultate elementare që përbëjnë ngjarjen A quhen i favorshëm ngjarja A.

Një ngjarje A thuhet se ka ndodhur nëse, si rezultat i eksperimentit, ndodh një rezultat elementar w A, d.m.th. ngjarje e favorshme A.

Le të shohim shembullin 2. , – një ngjarje e përbërë nga një numër tek pikash; – një ngjarje e përbërë nga një numër çift pikësh.

o E gjithë hapësira e rezultateve elementare Ω, nëse merret si ngjarje quhet të besueshme ngjarje, pasi ajo ndodh në çdo eksperiment (gjithmonë).

o Një grup bosh (d.m.th. një grup që nuk përmban një rezultat të vetëm elementar) quhet e pamundur një ngjarje sepse nuk ndodh kurrë.

Të gjitha ngjarjet e tjera, përveç Ω dhe , quhen të rastësishme.

Operacionet në ngjarje

0.1 Shuma Ngjarjet A dhe B quhet bashkimi i këtyre bashkësive A B.

– një ngjarje që ndodh nëse dhe vetëm nëse ndodh të paktën një nga ngjarjet A ose B.

0.2 Puna ngjarjet A dhe B quhet kryqëzimi i bashkësive A dhe B, d.m.th. A B. Përcaktuar si AB.

AB është një ngjarje kur A dhe B ndodhin njëkohësisht.

0.3 Nga dallimi ngjarjet A dhe B quhet diferenca e bashkësive A\B.

A\B është një ngjarje që ndodh<=>kur A ndodh dhe B nuk ndodh.

o Ngjarjet A dhe B quhen të papajtueshme, Nëse . Nëse A dhe B janë të papajtueshme, atëherë do të shënojmë .

o Ngjarja A thuhet se sjell ngjarjen B nëse A është një nëngrup i B, d.m.th. (kur ndodh A, ndodh B).

o Ngjarja quhet e kundërt për ngjarjen A.

Shembulli 2. . ndodh kur A nuk ndodh.

o Thonë se ngjarjet Н 1 , Н 2 ,…, Н n formojnë një grup të plotë, nëse Н 1 +Н 2 +…+Н n =Ω (d.m.th. Н 1 , Н 2 , Н n janë të papajtueshme, d.m.th. Н i Н j = nëse i≠j).

Për shembull, A dhe formoni një grup të plotë: .

Le të supozojmë se është kryer një eksperiment i rastësishëm, rezultati i të cilit përshkruhet nga hapësira Ω. Le të kryejmë N eksperimente. Le të jetë A ndonjë ngjarje (), N(A) është numri i atyre eksperimenteve në të cilat ndodhi ngjarja A.

Pastaj numri thirrur Frekuenca relative e ngjarjes A.

Aksiomat e teorisë së probabilitetit

Le të jetë Ω hapësira e rezultateve elementare. Supozoni se F është një klasë e nëngrupeve të Ω.

o Një ngjarje është një nëngrup Ω që i përket klasës F. Çdo ngjarje shoqërohet me një numër real P(A), i quajtur probabiliteti A , kështu që aksiomat plotësohen:

Aksioma 1.

Aksioma 2., ato. probabiliteti i një ngjarje të caktuar është 1.

Aksioma 3.(aditiviteti i numërueshëm) Nëse dhe , pastaj (për ngjarje të papajtueshme).

Elementet e kombinatorikës

Lema 1. Nga m elementet a 1 ,…,a m të grupit të parë dhe n elementet b 1 ,…,b n të grupit të dytë, është e mundur të kompozohen saktësisht m∙n çifte të renditura të formës (a i , b j ), që përmbajnë një element. nga secili grup.

Dëshmi:

Në total kemi m∙n çifte.

Shembull. Ka 4 kostume në kuvertë (zemra, lopata, shkopinj, diamante), çdo kostum ka 9 letra. Gjithsej n=4∙9=36.

Lema 2. Nga n 1 elementë të grupit të parë a 1, a 2,… dhe n 1,

n 2 elementë të grupit të dytë b 1, b 2,…, b n 2,

n 3 elemente të grupit k-të x 1 , x 2 ,…, x nk

është e mundur të kompozohen saktësisht n 1 ∙ n 2 ∙…∙n k kombinime të ndryshme të renditura të formës , që përmbajnë një element nga secili grup.

1. Për k=2, pohimi është i vërtetë (Lema 1).

2. Supozoni se Lema 2 vlen për k. Le të vërtetojmë për k+1 grup elementësh. Konsideroni kombinimin si dhe . Supozimi bën të mundur llogaritjen e numrit të kombinimeve të k elementeve, n 1 n 2 n k të tyre. Sipas Lemës 1, numri i kombinimeve të elementeve k+1 është n 1 n 2 … n k +1.

Shembull. Kur hidhni dy zare N=6∙6=36. Kur hidhni tre zare N=6∙6∙6=216.

Probabilitete gjeometrike

Supozoni se ka një segment të caktuar në vijën numerike dhe një pikë hidhet rastësisht në këtë segment. Gjeni probabilitetin që kjo pikë të bjerë .

-probabiliteti gjeometrik në një vijë të drejtë.

Le të jetë një figurë e rrafshët g pjesë e një figure të rrafshët G. Një pikë hidhet në mënyrë të rastësishme në figurën G. Probabiliteti që një pikë të bjerë në figurën g përcaktohet nga barazia:

-probabiliteti gjeometrik në aeroplan.

Le të jetë një figurë v në hapësirë ​​që është pjesë e figurës V. Një pikë hidhet në mënyrë të rastësishme në figurën V. Probabiliteti që një pikë të futet në figurën v përcaktohet nga barazia:

-probabiliteti gjeometrik në hapësirë.

Disavantazhi i përkufizimit klasik të probabilitetit është se ai nuk është i zbatueshëm për provat me një numër të pafund rezultatesh. Për të eliminuar këtë pengesë, ata prezantojnë probabilitete gjeometrike.

Vetitë e probabilitetit

Prona 1. Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është 0, d.m.th. . .

Prona 2. Probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme është 1, d.m.th. , .

Prona 3. Për çdo event. , sepse , atëherë dhe prandaj .

Prona 4. Nëse ngjarjet A dhe B janë të papajtueshme, atëherë probabiliteti i shumës është i barabartë me shumën e probabiliteteve:

Variabla të rastësishme

o Ndryshorja e rastësishme Xështë një funksion X(w) që paraqet hapësirën e rezultateve elementare Ω në bashkësinë e numrave realë R.

Shembull. Lëreni një monedhë të hidhet dy herë. Pastaj .

Le të shqyrtojmë ndryshoren e rastësishme X-numrin e shfaqjeve të stemës në hapësirën e rezultateve elementare Ω. Seti i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme është: 2,1,0.

Bashkësia e vlerave të një ndryshoreje të rastësishme shënohet me Ω x. Një nga karakteristikat e rëndësishme të një ndryshoreje të rastësishme është funksioni i shpërndarjes së ndryshores së rastit.

o Funksioni i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X quhet funksioni F(x) i një ndryshoreje reale x, i cili përcakton probabilitetin që ndryshorja e rastësishme X të marrë, si rezultat i një eksperimenti, një vlerë më të vogël se një numër i caktuar fiks x.

Nëse e konsiderojmë X si një pikë të rastësishme në boshtin x, atëherë F(x) nga pikëpamja gjeometrike është probabiliteti që një pikë e rastësishme X si rezultat i eksperimentit të bjerë në të majtë të pikës x.

Rrjedha më e thjeshtë e ngjarjeve.

Le të shqyrtojmë ngjarjet që ndodhin në kohë të rastësishme.

o Rrjedha e ngjarjeve quaj një sekuencë ngjarjesh që ndodhin në kohë të rastësishme.

Shembuj të flukseve janë: mbërritja e thirrjeve në një central telefonik, në një stacion të ndihmës mjekësore emergjente, mbërritja e avionit në aeroport, mbërritja e klientëve në një ndërmarrje të shërbimit të konsumatorit, sekuenca e dështimeve të elementeve dhe shumë të tjera.

Ndër vetitë që mund të kenë rrjedhat, veçojmë vetitë e stacionaritetit, mungesës së pasojave dhe normalitetit.

o Rrjedha e ngjarjeve quhet stacionare, nëse probabiliteti i shfaqjes së k ngjarjeve gjatë një periudhe kohore me kohëzgjatje t varet vetëm nga k dhe t.

Kështu, vetia e stacionaritetit karakterizohet nga fakti se probabiliteti i shfaqjes së k ngjarjeve në çdo interval kohor varet vetëm nga numri k dhe nga kohëzgjatja t e intervalit dhe nuk varet nga fillimi i numërimit të tij; në këtë rast, intervale të ndryshme kohore supozohen të jenë të shkëputura. Për shembull, probabilitetet e shfaqjes së k ngjarjeve në intervalet kohore (1, 7), (10, 16), (T, T+6) të së njëjtës kohëzgjatje t=6 njësi kohore janë të barabarta me njëra-tjetrën.

o Rrjedha e ngjarjeve quhet e zakonshme, nëse nuk mund të ndodhë më shumë se një ngjarje në një periudhë pafundësisht të vogël kohore.

Kështu, vetia e zakonshme karakterizohet nga fakti se ndodhja e dy ose më shumë ngjarjeve në një periudhë të shkurtër kohore është praktikisht e pamundur. Me fjalë të tjera, probabiliteti që më shumë se një ngjarje të ndodhë në të njëjtën kohë është praktikisht zero.

o Rrjedha e ngjarjeve thuhet se ka pronën asnjë pasojë, nëse ekziston pavarësi e ndërsjellë e shfaqjes së një ose një numri tjetër ngjarjesh në intervale kohore jo të mbivendosura. Kështu, vetia e pa pasoja karakterizohet nga fakti se probabiliteti i shfaqjes së k ngjarjeve në çdo interval kohor nuk varet nga fakti nëse ngjarjet u shfaqën ose nuk u shfaqën në momentet kohore që i paraprijnë fillimit të periudhës në shqyrtim. Me fjalë të tjera, probabiliteti i kushtëzuar i ndodhjes së k ngjarjeve gjatë çdo periudhe kohore, i llogaritur sipas një supozimi arbitrar për atë që ndodhi para fillimit të periudhës në fjalë (d.m.th., sa ngjarje u shfaqën, në çfarë sekuence), është e barabartë ndaj probabilitetit të pakushtëzuar. Për rrjedhojë, historia e rrjedhës nuk ndikon në probabilitetin e ndodhjes së ngjarjeve në të ardhmen e afërt.

o Rrjedha e ngjarjeve quhet më e thjeshta ose Poisson, nëse është i palëvizshëm, i zakonshëm, pa pasoja.

o Intensiteti i rrjedhjes λështë numri mesatar i ngjarjeve që ndodhin për njësi të kohës.

Nëse dihet intensiteti konstant i rrjedhës, atëherë probabiliteti i shfaqjes së k ngjarjeve të rrjedhës më të thjeshtë gjatë një periudhe kohore të kohëzgjatjes t përcaktohet me formulën:

, . formula e Poisson-it.

Kjo formulë pasqyron të gjitha vetitë e rrjedhës më të thjeshtë, kështu që mund të konsiderohet një model matematikor i rrjedhës më të thjeshtë.

Shembull. Numri mesatar i thirrjeve të marra nga PBX në minutë është dy. Gjeni probabilitetin që në 5 minuta të merrni: a) dy telefonata; b) më pak se dy thirrje; c) të paktën dy telefonata. Rrjedha e thirrjes supozohet të jetë e thjeshtë.

Sipas kushtit λ=2, t=5, k=2. Sipas formulës së Poisson-it

A) - kjo ngjarje është praktikisht e pamundur.

B) - ngjarja është praktikisht e pamundur, sepse Ngjarjet "nuk ka marrë thirrje" dhe "një telefonatë e pranuar" janë të papajtueshme.

B) - kjo ngjarje është pothuajse e sigurt.

Vetitë e dispersionit.

Prona 1. Varianca e vlerës konstante C është 0.DC=0.

Prona 2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e dispersionit duke e kuadruar atë:

Prona 3. Varianca e shumës së dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të këtyre variablave:

Pasoja. Varianca e shumës së disa variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të këtyre variablave.

Teorema 2. Varianca e numrit të dukurive të ngjarjes A në n prova të pavarura, në secilën prej të cilave probabiliteti p i ndodhjes së ngjarjes është konstant, është i barabartë me produktin e numrit të provave dhe probabilitetit të ndodhjes dhe jo- ndodhja e ngjarjes në një gjykim: .

Variabli i rastësishëm X është numri i ndodhive të ngjarjes A në n prova të pavarura. , ku X i është numri i ndodhive të ngjarjeve në gjyqin e i-të, reciprokisht i pavarur, sepse rezultati i çdo gjykimi është i pavarur nga rezultatet e të tjerëve.

Sepse MX 1 =p. , Kjo . Natyrisht, varianca e variablave të rastësishme të mbetura është gjithashtu e barabartë me pq, prej nga .

Shembull. Janë kryer 10 prova të pavarura, në secilën prej të cilave probabiliteti për të ndodhur një ngjarje është 0.6. Gjeni variancën e ndryshores së rastësishme X - numri i ndodhive të ngjarjes në këto prova.

n=10; p=0.6; q=0.4.

o Momenti fillestar i renditjes së variablave të rastësishëm X quhet pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme X k:

. Veçanërisht, , .

Duke përdorur këto pika, formula për llogaritjen e variancës mund të shkruhet kështu: .

Përveç momenteve të ndryshores së rastësishme X, këshillohet të merren parasysh momentet e devijimit X-XM.

o Momenti qendror i rendit k ndryshorja e rastësishme X quhet pritshmëri matematikore e vlerës (X-MX) k.

. Veçanërisht

Prandaj, .

Bazuar në përcaktimin e momentit qendror dhe duke përdorur vetitë e pritjes matematikore, mund të marrim formulat:

Momentet e rendit më të lartë përdoren rrallë.

Koment. Momentet e përcaktuara më sipër quhen teorike. Në ndryshim nga momentet teorike quhen momentet që llogariten nga të dhënat e vëzhgimit empirike.

Sistemet e ndryshoreve të rastit.

o Vektor, ku -ndryshoret e rastësishme quhen n- vektor i rastësishëm dimensional.

Kështu, vektori i rastësishëm harton hapësirën e rezultateve elementare Ω→IR n në hapësirën reale n-dimensionale IR n.

o Funksioni

I thirrur funksioni i shpërndarjes së rastit të vektorit ose funksioni i shpërndarjes së përbashkët variabla të rastit.

Prona 4.

o Quhet një vektor i rastësishëm diskrete, nëse të gjithë përbërësit e tij janë variabla diskrete të rastësishme.

o Vektor i rastësishëm thirrur të vazhdueshme, nëse ka një funksion jo negativ, quhet dendësia e shpërndarjes së ndryshoreve të rastësishme të tilla që funksioni i shpërndarjes .

Vetitë e korrelacionit.

Prona 1. Vlera absolute e koeficientit të korrelacionit nuk e kalon unitetin, d.m.th. .

Prona 2. Në mënyrë që të jetë e nevojshme dhe e mjaftueshme që variablat e rastësishëm X dhe Y të lidhen me një marrëdhënie lineare. Ato. me probabilitet 1.

Prona 3. Nëse ndryshoret e rastësishme janë të pavarura, atëherë ato janë të pakorreluara, d.m.th. r=0.

Le të jenë X dhe Y të pavarura, atëherë nga vetia e pritjes matematikore

o Quhen dy ndryshore të rastësishme X dhe Y të ndërlidhura, nëse koeficienti i korrelacionit të tyre është i ndryshëm nga zero.

o Variablat e rastësishëm X dhe Y quhen të pakorreluara nëse koeficienti i korrelacionit të tyre është 0.

Koment. Korrelacioni i dy variablave të rastësishëm nënkupton varësinë e tyre, por varësia nuk nënkupton ende korrelacion. Nga pavarësia e dy variablave të rastësishëm rezulton se ato janë të pakorreluara, por nga jokorrelacioni është ende e pamundur të konkludohet se këto variabla janë të pavarur.

Koeficienti i korrelacionit karakterizon prirjen e variablave të rastësishëm ndaj varësisë lineare. Sa më e madhe të jetë vlera absolute e koeficientit të korrelacionit, aq më e madhe është tendenca drejt varësisë lineare.

o Koeficienti i asimetrisë ndryshorja e rastësishme X është numri

Shenja e koeficientit të asimetrisë tregon asimetri në anën e djathtë ose të majtë.

o Kurtoza e një ndryshoreje të rastësishme X është një numër.

Karakterizon butësinë e kurbës së shpërndarjes në raport me lakoren e shpërndarjes normale.

Gjenerimi i funksioneve

o Nën numër i plotë Me ndryshore të rastësishme nënkuptojmë një ndryshore të rastësishme diskrete që mund të marrë vlerat 0,1,2,...

Kështu, nëse një ndryshore e rastësishme X është një numër i plotë, atëherë ajo ka një seri shpërndarjeje

Funksioni i tij gjenerues quhet funksion

Shpërndarja me katrorë x

Le të jenë X i ndryshore normale të rastësishme të pavarura, dhe pritshmëria matematikore e secilës prej tyre është e barabartë me zero, dhe devijimi standard (ose varianca) është i barabartë me një. Pastaj shuma e katrorëve të këtyre sasive shpërndahet sipas ligjit X 2 me k=n shkallë lirie. Nëse këto vlera X i lidhen me një lidhje lineare, për shembull, atëherë numri i shkallëve të lirisë k=n-1.

Dendësia e kësaj shpërndarjeje është , ku -funksioni gama; në veçanti, Г(n+1)=n!

Kjo tregon se shpërndarja "x dhe katror" përcaktohet nga një parametër - numri i shkallëve të lirisë k. Ndërsa numri i shkallëve të lirisë rritet, shpërndarja ngadalë i afrohet normales.

Shpërndarja e nxënësve

Le të jetë një Z-masë e shpërndarë normalisht, dhe M(Z)=0, G 2 =1, d.m.th. Z~N(0,1), dhe V është një sasi e pavarur nga Z, e cila shpërndahet sipas ligjit X 2 me k shkallë lirie. Atëherë sasia ka një shpërndarje, e cila quhet shpërndarja t ose shpërndarja Student (pseudonimi i statisticienit anglez W. Gosset), me k shkallë lirie. Ndërsa numri i shkallëve të lirisë rritet, shpërndarja e Studentëve i afrohet shpejt normales.

Dendësia e shpërndarjes së ndryshores së rastit t ka formën , .

Variabla e rastësishme t ka një pritshmëri matematikore Mt=0, (k>2).

Shpërndarja e Fisher

Nëse U dhe V janë variabla të rastësishme të pavarura të shpërndara sipas ligjit X 2 me shkallë lirie k 1 dhe k 2 , atëherë vlera ka një shpërndarje Fisher F me shkallë lirie k 1 dhe k 2 . Dendësia e kësaj shpërndarjeje , Ku

.

Shpërndarja e Fisher F përcaktohet nga dy parametra - numri i shkallëve të lirisë.

Funksionet karakteristike

0. 1 Ndryshorja e rastësishme , ku i është njësia imagjinare, d.m.th. , dhe X dhe Y janë ndryshore reale të rastit, quhet me vlera komplekse ndryshore e rastësishme. (i 2 = –1).

0. 2 Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme me vlerë komplekse Z quhet. Të gjitha vetitë e pritshmërisë matematikore mbeten të vlefshme për variablat e rastësishme me vlerë komplekse.

0. 3 Ndryshoret e rastësishme me vlerë komplekse Z 1 =X 1 +iY 1 dhe Z 2 =X 2 +iY 2 quhen të pavarura nëse janë përkatësisht të pavarura.

Ligjet e numrave të mëdhenj

Karakteristikat e rastësishme

o Funksioni i rastësishëmështë një funksion X(t), vlera e të cilit për çdo vlerë të argumentit t është një ndryshore e rastësishme.

Me fjalë të tjera, një funksion i rastësishëm është një funksion që, si rezultat i eksperimentit, mund të marrë një ose një formë tjetër specifike, ndërsa nuk dihet paraprakisht se cili.

o Forma specifike e marrë nga një ndryshore e rastësishme si rezultat i eksperimentit quhet zbatimi i një funksioni të rastësishëm.

Sepse në praktikë, argumenti t është më së shpeshti i përkohshëm, atëherë funksioni i rastësishëm quhet ndryshe proces i rastësishëm.

Figura tregon disa zbatime të një procesi të rastësishëm.

Nëse rregullojmë vlerën e argumentit t, atëherë funksioni i rastësishëm X(t) do të kthehet në një ndryshore të rastësishme, e cila quhet seksion kryq i një funksioni të rastit, që korrespondon me kohën t. Do të supozojmë se shpërndarja e prerjes tërthore është e vazhdueshme. Atëherë X(t) për një t të caktuar përcaktohet nga dendësia e shpërndarjes p(x; t).

Natyrisht, p(x; t) nuk është një karakteristikë shteruese e funksionit të rastësishëm X(t), pasi nuk shpreh varësinë midis seksioneve të X(t) në kohë të ndryshme t. Një përshkrim më i plotë jepet nga funksioni - dendësia e përbashkët e shpërndarjes së një sistemi variablash të rastësishëm , ku t 1 dhe t 2 janë vlera arbitrare të argumentit t të funksionit të rastit. Një karakterizim edhe më i plotë i funksionit të rastësishëm X(t) do të jepet nga dendësia e shpërndarjes së pajtueshme të një sistemi prej tre ndryshoresh të rastit, etj.

o Ata thonë se një proces i rastësishëm ka urdhër n, nëse përcaktohet plotësisht nga dendësia e shpërndarjes së pajtueshme të n seksioneve arbitrare të procesit, d.m.th. sistemi i n variablave të rastësishëm, ku X(t i) është seksion kryq i procesit që korrespondon me momentin e kohës t i, por nuk përcaktohet duke specifikuar shpërndarjen e përbashkët të një numri më të vogël seksionesh se n.

o Nëse dendësia e shpërndarjes së përbashkët të dy seksioneve tërthore arbitrare të një procesi e përcakton plotësisht atë, atëherë një proces i tillë quhet Markovsky.

Le të ketë një funksion të rastësishëm X(t). Detyra lind për ta përshkruar atë duke përdorur një ose më shumë karakteristika jo të rastësishme. Si i pari prej tyre, është e natyrshme të marrësh funksionin -pritja matematikore e një procesi të rastësishëm. E dyta merret si devijimi standard i procesit të rastësishëm.

Këto karakteristika janë disa funksione të t. E para prej tyre është trajektorja mesatare për të gjitha zbatimet e mundshme. E dyta karakterizon përhapjen e mundshme të realizimeve të një funksioni të rastësishëm rreth trajektores mesatare. Por këto karakteristika nuk janë të mjaftueshme. Është e rëndësishme të dihet varësia e madhësive X(t 1) dhe X(t 2). Kjo varësi mund të karakterizohet duke përdorur një funksion korrelacioni ose një moment korrelacioni.

Le të jenë dy procese të rastësishme, disa zbatime të të cilave tregohen në figura.

Këto procese të rastësishme kanë afërsisht të njëjtat pritshmëri matematikore dhe devijime standarde. Megjithatë, këto janë procese të ndryshme. Çdo zbatim për një funksion të rastësishëm X 1 (t) ndryshon ngadalë vlerat e tij me një ndryshim në t, gjë që nuk mund të thuhet për funksionin e rastësishëm X 2 (t). Për procesin e parë, varësia ndërmjet seksioneve tërthore X 1 (t) dhe do të jetë më e madhe se varësia për seksionet tërthore X 2 (t) dhe procesi i dytë, d.m.th. zvogëlohet më ngadalë se , me rritjen Δt. Në rastin e dytë, procesi "harron" të kaluarën e tij më shpejt.

Le të ndalemi te vetitë e funksionit të korrelacionit, të cilat rrjedhin nga vetitë e momentit të korrelacionit të një çifti ndryshoresh të rastit.

Prona 1. Vetia e simetrisë.

Prona 2. Nëse një term jo i rastësishëm i shtohet funksionit të rastësishëm X(t), atëherë funksioni i korrelacionit nuk do të ndryshojë, d.m.th. .

Zbatimi i veprimit të synuar, që çon në një rezultat të caktuar, quhet eksperiment (përvojë). Nëse, bazuar në kushtet që përshkruajnë eksperimentin, rezultati i tij është i parashikueshëm, atëherë një eksperiment i tillë është përcaktuese. (Shembull: një gur i hedhur lart patjetër do të bjerë. Një rritje e standardeve të jetesës shkakton një rritje të konsumit të mallrave. Një prishje e njësisë së sistemit çaktivizon kompjuterin.)

Eksperimenti konsiderohet të rastësishme, nëse mund të përfundojë në ndonjë nga një grup të caktuar rezultatesh të njohura, por përpara se të kryhet eksperimenti është e pamundur të thuhet se cili. TV eksploron saktësisht eksperimente të rastësishme, ose më mirë modele eksperimente me rezultate të rastësishme. Në këtë rast, konsiderohen vetëm ato eksperimente që mund të përsëriten (riprodhohen) në një grup kushtesh të pandryshuara një numër arbitrar herë (të paktën teorikisht). Ne do të shqyrtojmë ngjarje si rezultat i testit. Shembuj:1. Qitësi gjuan në një objektiv të ndarë në disa pjesë. Një gjuajtje është një provë, goditja e një zone të caktuar të objektivit është një ngjarje. 2. Heqja e një topi nga një urnë është një provë shfaqja e një topi të një ngjyre të caktuar. 3. Kalimi i një provimi është një test (një eksperiment i rastësishëm), marrja e një note është një ngjarje.

Fundi i punës -

Kjo temë i përket seksionit:

Shënime leksioni mbi teorinë e probabilitetit dhe statistikat matematikore

Dhe statistikat matematikore.. Për specialitetin Menaxhimi i Burimeve të Informacionit..

Nëse keni nevojë për materiale shtesë për këtë temë, ose nuk keni gjetur atë që po kërkoni, ju rekomandojmë të përdorni kërkimin në bazën e të dhënave tona të veprave:

Çfarë do të bëjmë me materialin e marrë:

Nëse ky material ishte i dobishëm për ju, mund ta ruani në faqen tuaj në rrjetet sociale:

Të gjitha temat në këtë seksion:

Lënda e teorisë së probabilitetit dhe statistikave matematikore dhe roli i tyre në ekonomi dhe menaxhim
Teoria e probabilitetit është një seksion i veçantë i lëndës së lartë të matematikës që merret me studimin e modeleve matematikore të dukurive të rastësishme homogjene në masë. Duhet

Hapësira e ngjarjeve elementare
Le të ndodhë një dhe vetëm një nga ngjarjet e Ngjarjes si rezultat i testit

Ngjarje të përbashkëta dhe jo të përbashkëta
Dy ngjarje quhen të përbashkëta në një përvojë të caktuar nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk e përjashton shfaqjen e tjetrës. Shembuj: goditja e një objektivi të pathyeshëm d

Vetitë e Operacioneve të Ngjarjes
Disa veti të operacioneve në ngjarje janë postuluar, të tjera mund të merren lehtësisht duke përdorur diagramet e Venit. Ne paraqesim pa prova kryesore të këtyre pronave.

Algjebra dhe algjebra sigma e ngjarjeve
Le të jetë hapësira e të gjitha rezultateve elementare për disa eksperimente të rastësishme, secili rezultat i të cilit korrespondon

Teorema. Ngjarjet ekuivalente kanë të njëjtat probabilitete, d.m.th. nese atehere
Dëshmi. Në të vërtetë, çdo rezultat elementar i një ngjarjeje është po aq elementar

Përcaktimi statistikor i probabilitetit të një ngjarjeje. Rastet me rezultate të pabarabarta
Përkufizimi klasik i probabilitetit ka zbatueshmëri të kufizuar. Kështu, është e papranueshme nëse rezultatet e testit nuk janë njësoj të mundshme. Në shumë raste është më i përshtatshëm

Probabilitete gjeometrike
Për të kapërcyer disavantazhin e përkufizimit klasik të probabilitetit lidhur me moszbatueshmërinë e tij në teste me një numër të pafund rezultatesh, është prezantuar koncepti i probabilitetit gjeometrik.

Ndërtimi aksiomatik i teorisë së probabilitetit
Ndërtimi i një teorie logjikisht të plotë të probabilitetit bazohet në përkufizimin aksiomatik të një ngjarjeje të rastësishme dhe probabilitetit të saj. Në sistemin e aksiomave të propozuar nga A.N. Kolmogorov, arsimi fillor

Grupi i plotë i ngjarjeve
Një grup ngjarjesh të papajtueshme në çift quhet një grup i plotë ngjarjesh nëse, për ndonjë rezultat të një eksperimenti të rastësishëm, një nga ngjarjet e përfshira në këtë grup sigurisht që do të ndodhë.

Probabiliteti i kushtëzuar
Në shumë raste, gjasat që disa ngjarje të ndodhin varen nga fakti nëse një ngjarje tjetër ka ndodhur apo jo. Probabiliteti i një ngjarjeje, llogarit

Formula për shtimin e probabiliteteve
Teorema: Probabiliteti i shumës së një numri të fundëm ngjarjesh të papajtueshme është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve

Teorema: Probabiliteti i prodhimit të një numri të fundëm ngjarjesh që janë të pavarura në një grup është i barabartë me produktin e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve.
. Le të ilustrojmë ndryshimin në zbatimin e formulave për probabilitetin e ndodhjes së ngjarjeve për të varur dhe jo të varur

Formula e probabilitetit total
Le të ndodhë një ngjarje vetëm me një nga ngjarjet e papajtueshme

Formula e Bayes
Lëreni që ngjarja të ndodhë njëkohësisht me një nga ngjarjet e papajtueshme

Rregullat e shumës dhe produktit
Rregulli i shumës - nëse elementi a mund të zgjidhet në mënyra, dhe elementi b mund të zgjidhet në m mënyra, atëherë një nga këto

Rasti i probabilitetit të paqëndrueshëm që një ngjarje të ndodhë në eksperimente
Ne supozuam se probabiliteti që një ngjarje të ndodhte në çdo eksperiment ishte konstante. Në praktikë, shpesh haset një rast më kompleks, kur eksperimentet kryhen në neodymium.

Koncepti i rrjedhës së ngjarjeve
Formula e Poisson-it gjen zbatim në teorinë e radhës. Mund të konsiderohet si një model matematikor i rrjedhës më të thjeshtë të ngjarjeve me intensitet

Ngjarjet duke përdorur funksionet dhe dendësinë e shpërndarjes
Një nga konceptet më të rëndësishme në teorinë e probabilitetit është koncepti i një ndryshoreje të rastësishme. Një vlerë e rastësishme është një vlerë që, si rezultat i testimit, do të marrë një

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete
Korrespondenca midis të gjitha vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete dhe probabiliteteve të tyre, d.m.th. mbledhja e çifteve të numrave ()

Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dhe vetitë e saj
Siç është përmendur tashmë, një ndryshore e rastësishme diskrete mund të specifikohet nga një listë e të gjitha vlerave të saj të mundshme dhe probabiliteteve të tyre. Kjo metodë nuk është e zbatueshme për variabla të rastësishme të vazhdueshme, pasi është e pamundur

Vetitë e funksionit të shpërndarjes
Le të paraqesim një numër karakteristikash të funksionit të shpërndarjes që rrjedhin drejtpërdrejt nga përkufizimi i tij. 1. Funksioni i shpërndarjes merr vlera nga intervali

Vetitë e densitetit të probabilitetit
1. Në të vërtetë, meqenëse funksioni i shpërndarjes është një funksion jo-zvogëlues, atëherë

Pritja e një ndryshoreje të rastësishme
Pritja matematikore karakterizon vlerën mesatare të pritur të një ndryshoreje të rastësishme, d.m.th. afërsisht e barabartë me vlerën mesatare të saj (kuptimi probabilistik i pritjes matematikore). Ndonjëherë njohja e këtij x

Vetitë e pritjes matematikore
Para se të formulohen vetitë e pritjes matematikore, është e nevojshme të sqarohet kuptimi i veprimeve aritmetike,

Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme dhe vetitë e saj
Në praktikë, shpesh është e nevojshme të vlerësohet shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme rreth vlerës së saj mesatare. Për shembull, aksionet e dy kompanive mund të paguajnë të njëjtat dividentë mesatarisht, por

Devijimi standard
Për të vlerësuar shpërndarjen e vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme rreth vlerës mesatare të saj, përveç shpërndarjes, përdoren edhe disa karakteristika të tjera. Këto përfshijnë devijimin mesatar katror

Shpërndarja binomiale, pritshmëria dhe varianca e saj matematikore
Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme për numrin e dukurive të një ngjarjeje në skemën e Bernoulli është

Shpërndarja Poisson
U vu re më herët se nëse produkti mbetet konstant ndërsa numri i provave rritet, atëherë shpërndarja binomiale n

Shpërndarja gjeometrike
Një ndryshore e rastësishme diskrete ka një shpërndarje gjeometrike nëse merr vlerat

Shpërndarja uniforme
Një variabël i rastësishëm i vazhdueshëm konsiderohet i shpërndarë në mënyrë uniforme në segmentin (a,b) nëse densiteti i probabilitetit të tij ka formën:

Shpërndarja eksponenciale
Shpërndarja eksponenciale e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme quhet

Shpërndarja normale dhe vetitë e saj
Një ndryshore e rastësishme e vazhdueshme ka një ligj të shpërndarjes normale me parametra

Vetitë e funksionit Gaussian
Grafiku i densitetit të një shpërndarjeje normale quhet kurbë normale Gaussian. Le të studiojmë sjelljen e funksionit të densitetit të probabilitetit

Probabiliteti që një ndryshore normale e rastësishme të bjerë në një interval të caktuar
Shpesh është e nevojshme të përcaktohet probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të bjerë në një interval të caktuar. Ky probabilitet mund të shprehet si ndryshim në funksionin e shpërndarjes së probabilitetit në pikat kufitare:

Devijimi i një ndryshoreje normale të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore. Rregulla tre Sigma
Shpesh është e nevojshme të llogaritet probabiliteti që devijimi i një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë normalisht në vlerë absolute nga vlera e saj matematikore

Variabla të rastësishme me shumë variabla
Deri më tani, ne kemi marrë në konsideratë variabla të rastësishme, vlerat e mundshme të të cilave përcaktohen nga një numër i vetëm (ndryshore të rastësishme njëdimensionale). Për shembull, numri i pikave që mund të rrotullohen

Ligji i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale
Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale diskrete është lista e vlerave të mundshme të kësaj sasie, d.m.th. avulli

Funksioni i përbashkët i shpërndarjes së dy ndryshoreve të rastit
Një funksion që përcakton për çdo çift numrash probabilitetin që

Vetitë e funksionit të shpërndarjes së përbashkët të dy ndryshoreve të rastit
1. Vlerat e funksionit të përbashkët të shpërndarjes plotësojnë pabarazinë: . 2.

Ndryshore e vazhdueshme dydimensionale e rastësishme
Një ndryshore e vazhdueshme dydimensionale e rastësishme mund të specifikohet duke përdorur densitetin e shpërndarjes. Dendësia e probabilitetit të përbashkët

Variabla të rastësishme të pavarura
Dy ndryshore të rastësishme quhen të pavarura nëse ligji i shpërndarjes së njërës prej tyre nuk varet nga vlerat e mundshme që mori ndryshorja tjetër.

Momenti i korrelacionit
Karakteristikë e varësisë ndërmjet ndryshoreve të rastit është ekuacioni matematik.

Vetitë e koeficientit të korrelacionit
1. 2. Nëse, atëherë

Pabarazia e Chebyshev
Probabiliteti që devijimi i një variabli të rastësishëm X nga pritshmëria e tij matematikore në vlerë absolute është më i vogël se një numër pozitiv e nuk është më i vogël se

Teorema e Chebyshev
Nëse janë variabla të rastësishme të pavarura në çift, dhe variancat e tyre janë të kufizuara (mos e tejkaloni një numër konstant C), atëherë sado i vogël qoftë

Teorema e kufirit qendror
Arsyeja e prevalencës jashtëzakonisht të gjerë të variablave të rastësishme të përshkruara nga një shpërndarje normale shpjegohet nga teorema e kufirit qendror, e provuar nga A.M. Lyapunov.

Metoda e kampionimit për analizimin e vetive të një popullate
Lënda e statistikave matematikore është studimi i ngjarjeve të rastësishme dhe variablave të rastësishëm bazuar në rezultatet e vëzhgimit. Një grup objektesh ose dukurish të bashkuara në një farë mënyre

Metodat e përzgjedhjes
Në praktikë përdoren metoda të ndryshme përzgjedhjeje, të cilat mund të ndahen në dy lloje: · Përzgjedhje që nuk kërkon ndarjen e popullsisë së përgjithshme në pjesë. Kjo perfshin

Seritë e variacioneve për ndryshoret e rastësishme diskrete dhe të vazhdueshme
Le të nxirret një kampion nga popullata e përgjithshme, dhe vlera e parametrit që studiohet u vëzhgua

Shumëkëndëshi dhe histogrami
Grafikisht, shpërndarja statistikore përfaqësohet, në veçanti, duke përdorur një poligon dhe një histogram. Shumëkëndëshi i frekuencës

Funksioni empirik i shpërndarjes
Le të dihet shpërndarja statistikore e frekuencës së një karakteristike sasiore X Le të shënojmë me numrin e vëzhgimeve në të cilat

Vetitë më të rëndësishme të vlerësimeve statistikore
Le të jetë e nevojshme të studiojmë disa karakteristika sasiore të popullsisë së përgjithshme. Le të supozojmë se nga konsideratat teorike ishte e mundur të përcaktohet se çfarë shpërndarje ka n

Mesatarja dhe varianca e mostrës
Le të nxirret një kampion me madhësi n për të studiuar popullatën e përgjithshme në lidhje me një karakteristikë sasiore X. Mesatarja e mostrës

Intervali i besueshmërisë dhe besimit
Deri më tani kemi marrë në konsideratë vlerësimet pikë, d.m.th. vlerësime të tilla që përcaktohen nga një numër i vetëm. Për një madhësi të vogël kampioni, vlerësimi i pikëve mund

Intervali i besimit për pritshmërinë matematikore të një shpërndarjeje normale me variancë të njohur
Le të shpërndahet normalisht karakteristika sasiore X e popullatës së përgjithshme dhe dihet devijimi standard s i kësaj shpërndarjeje. Kërkohet të vlerësohet

Intervali i besimit për pritshmërinë matematikore të një shpërndarjeje normale me variancë të panjohur
Le të shpërndahet normalisht karakteristika sasiore X e popullatës së përgjithshme dhe devijimi standard s i kësaj shpërndarjeje është i panjohur. Tre

Intervali i besimit për vlerësimin e devijimit standard s të një shpërndarjeje normale
Le të shpërndahet normalisht një karakteristikë sasiore X e popullatës dhe kërkohet të vlerësohet devijimi standard i përgjithshëm i panjohur s nga mesatarja k e mostrës së korrigjuar

Testimi i hipotezave statistikore
Në leksionin e fundit, ne pamë problemin e ndërtimit të intervaleve të besimit për parametrat e panjohur të një popullate. Sot do të vazhdojmë të studiojmë problemet kryesore të statistikave matematikore

Pikat kritike
Pas zgjedhjes së një kriteri të caktuar, grupi i të gjitha vlerave të tij të mundshme ndahet në dy nëngrupe të ndara, njëra prej të cilave përmban vlerat e kriterit, në të cilin

Testi i përshtatshmërisë së Pearson për llojin e shpërndarjes
Nëse ligji i shpërndarjes është i panjohur, por ka arsye për të supozuar se ka një formë të caktuar, atëherë kontrolloni zero r

(UIR). Koncepti i analizës së regresionit
Dy ose më shumë variabla të rastësishëm mund të lidhen ose funksionalisht ose statistikisht (stokastikisht)

Koncepti i analizës së regresionit
Kur merren parasysh marrëdhëniet, si rregull, njëra nga madhësitë (X) konsiderohet e pavarur (shpjeguese), dhe tjetra (Y) si e varur (e shpjeguar). Në këtë rast, ndryshimi në të parën e

Regresionit linear
Nëse funksioni i regresionit është linear, atëherë flasim për regresion linear. Regresioni linear (ekuacioni linear) është një lloj i zakonshëm (dhe i thjeshtë) i varësisë

Modeli përfaqësues
Funksioni eksponencial mund të përdoret kur analizohen ndryshimet në ndryshoren Y me një normë konstante rritjeje

(UIR). Koncepti i analizës së korrelacionit
Dukuritë dhe proceset ekonomike janë të ndërlidhura ngushtë dhe studimi i kësaj marrëdhënieje luan një rol të rëndësishëm në kërkimin ekonomik. Njohuri për ndërlidhjet e ekonomive individuale

A. Korrelacioni në çift
Ekuacioni i regresionit linear dhe jolinear gjithmonë plotësohet me një tregues të afërsisë së lidhjes. Kur përdoret regresioni linear si

Vlerësimi i rëndësisë së ekuacionit të regresionit në tërësi
Vlerësimi i rëndësisë (cilësisë) së ekuacionit të regresionit në tërësi kryhet duke përdorur Fisher F-test (F-test). Në këtë rast, parashtrohet hipoteza zero se koeficienti

Vlerësimi i rëndësisë së parametrave individualë të regresionit
Për çdo parametër përcaktohet gabimi standard i tij. Gabim standard i koeficientit të regresionit linear o

B. Korrelacion i shumëfishtë
Regresioni i shumëfishtë përdoret gjerësisht në studimin e funksionit të kostos së prodhimit, në llogaritjet makroekonomike, etj. Qëllimi kryesor i analizës së korrelacionit në këtë rast është ndërtimi

(UIR). Zinxhirët Markov në kohë diskrete
Zinxhirët Markov përdoren gjerësisht në kërkimet ekonomike, veçanërisht në studimin e sistemeve të radhës. Shembuj të proceseve të radhës përfshijnë:

Zinxhirët homogjenë Markov
Një zinxhir Markov quhet homogjen nëse probabiliteti i kushtëzuar i kalimit nga një gjendje është

Probabilitetet e tranzicionit. Matrica e Tranzicionit
Probabiliteti i tranzicionit është probabiliteti i kushtëzuar që nga gjendja

Barazia Markov
Le të shënojmë me probabilitetin që si rezultat i n hapave (provave) sistemi do të lëvizë nga gjendja

Zinxhirët Markov në kohë të vazhdueshme
Një proces i rastësishëm Markov quhet një zinxhir Markov me kohë të vazhdueshme nëse kalimi i sistemit nga gjendja në gjendje nuk ndodh në kohë fikse.

ekuacionet e Kolmogorovit
Lëreni që sistemi të ketë një numër të kufizuar gjendjesh dhe procesi i rastësishëm që ndodh në të të karakterizohet nga probabilitete të caktuara që sistemi të jetë në secilën prej gjendjeve. Në rastin e Markovianit

Probabilitetet përfundimtare të gjendjeve të sistemit
Nëse procesi që ndodh në sistem zgjat mjaftueshëm, atëherë ka kuptim të flasim për sjelljen kufizuese të probabiliteteve në

Sistemet e radhës
Një proces i rastësishëm Markov me kohë të vazhdueshme është tipik për sistemet e radhës (QS). Kërkesat e shërbimit që mbërrijnë në kohë të rastësishme në QS

A. Model me një kanal me dështime
Modeli më i thjeshtë QS me një kanal karakterizohet nga një shpërndarje eksponenciale e kohëzgjatjes së intervaleve midis marrjes së kërkesave dhe kohëzgjatjes së shërbimit. Dendësia e shpërndarë

B. Model me një kanal me pritje
Lëreni QS-në të ketë ende një kanal, por një kërkesë që arrin kur kanali është i zënë qëndron në radhë dhe pret shërbimin. Le të supozojmë se ky sistem (radhë + shërbim

Modele me shumë kanale
Le të kufizohemi në shqyrtimin e rastit të një QS me shumë kanale me dështime. Në shumë kanale

Hapësira e probabilitetit është një model matematikor i një eksperimenti (përvoje) të rastësishme në aksiomatikën e A. N. Kolmogorov. Hapësira e probabilitetit përmban të gjithë informacionin rreth vetive të një eksperimenti të rastësishëm të nevojshëm për analizën e tij matematikore duke përdorur mjetet e teorisë së probabilitetit. Çdo problem në teorinë e probabilitetit zgjidhet brenda kornizës së një hapësire të caktuar probabiliteti, plotësisht të specifikuar fillimisht. Problemet në të cilat hapësira e probabilitetit nuk është plotësisht e specifikuar dhe informacioni që mungon duhet të merret nga rezultatet e vëzhgimit, i përkasin fushës së statistikave matematikore.

Përkufizimi

Hapësira e probabilitetitështë një treshe, ku:

Vini re se vetia e fundit e sigma-aditivitetit të një mase është ekuivalente (në varësi të përmbushjes së të gjitha vetive të tjera, duke përfshirë shtesën e fundme) me ndonjë nga vetitë e mëposhtme vazhdimësia e masës:

Shembuj të hapësirave të probabilitetit më të përdorura

Hapësirat diskrete të probabilitetit

Nëse grupi i rezultateve elementare është i fundëm ose i numërueshëm: , atëherë hapësira përkatëse e probabilitetit quhet diskrete. Në rastin e hapësirave diskrete të probabilitetit, të gjitha nëngrupet e mundshme zakonisht konsiderohen si ngjarje. Në këtë rast, për të vendosur probabilitetin, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që çdo rezultati elementar t'i caktohet një numër në mënyrë që shuma e tyre të jetë e barabartë me 1. Atëherë probabiliteti i ndonjë ngjarjeje përcaktohet si më poshtë:

Një rast i rëndësishëm i veçantë i një hapësire të tillë është mënyra klasike e specifikimit të probabiliteteve, kur numri i rezultateve elementare është i fundëm dhe të gjitha kanë të njëjtën probabilitet. Atëherë probabiliteti i ndonjë ngjarjeje përcaktohet si raporti i fuqisë së tij (d.m.th. numri i rezultateve elementare, i favorshëm ngjarje e dhënë) në numrin total të rezultateve elementare:

Megjithatë, është gjithmonë e nevojshme të mbani mend se për të aplikuar këtë metodë, është e nevojshme të siguroheni që rezultatet elementare të jenë vërtet po aq të mundshme. Kjo ose duhet të formulohet si kusht fillestar, ose ky fakt duhet të nxirret rreptësisht nga kushtet fillestare ekzistuese.

Hapësirat e probabilitetit në linjë

Hapësirat e probabilitetit në vijën () lindin natyrshëm në studimin e ndryshoreve të rastit. Në këtë rast, në rastin e përgjithshëm, nuk është më e mundur të konsiderohen ndonjë nënbashkësi të linjës si ngjarje, pasi në një klasë kaq të gjerë zakonisht është e pamundur të specifikohet një masë probabiliteti që plotëson aksiomat e nevojshme. Një algjebër sigma universale e ngjarjeve të mjaftueshme për të funksionuar është algjebra sigma e grupeve Borel: algjebra sigma më e vogël që përmban të gjitha grupet e hapura. Përkufizimi ekuivalent është algjebra më e vogël sigma që përmban të gjitha intervalet. Një mënyrë universale për të specifikuar një masë probabiliteti në një algjebër të caktuar sigma është përmes funksionit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme.

Hapësirat e probabilitetit në hapësirën me dimensione të fundme

Hapësirat e probabilitetit me shumë rezultate elementare lindin natyrshëm nga studimi i vektorëve të rastit. Në këtë rast, algjebra universale sigma e ngjarjeve është gjithashtu algjebra sigma Borel e gjeneruar nga të gjitha grupet e hapura. Në thelb, ky rast nuk është shumë i ndryshëm nga rasti i një vije të drejtë.

Konceptet bazë 1 TV

1. 
   Modeli i eksperimentit të rastësishëm.
2. 
   Ngjarjet (ngjarje të rastësishme) dhe vetitë e tyre.
3. 
   Probabiliteti dhe vetitë e tij.
4. 
   Probabiliteti i kushtëzuar.
5. 
   Pavarësia e ngjarjeve.
6. 
   Formula e probabilitetit total.
7. 
   Formula e Bayes.

1. 
   Modeli i eksperimentit të rastësishëm , hapësirë ​​probabiliteti.

Modeli i një eksperimenti të tillë është me rënë dakord për treshe objektesh (Ω , A ,R):

Ω = { ω } - hapësira e rezultateve elementare, grupi i të gjitha rezultateve të mundshme elementare të një eksperimenti . Rezultatet e ndryshme elementare nuk kryqëzohen, ato nuk mund të ndodhin njëkohësisht në një eksperiment.

A = { A, B,...} - klasa e ngjarjes, një grup i plotë ngjarjesh që na interesojnë .
Secili ngjarjeështë një nëngrup i caktuar i rezultateve të mundshme elementare të eksperimentit.

R - masë probabiliteti ngjarjet eksperiment .
Për çdo ngjarje A përcaktohet probabiliteti i tij R(A), llogaritet sipas një rregulli të vetëm .

1. 
   Vetitë e ngjarjes :

Plotësia klasë ngjarje A do të thotë:

A) me çdo ngjarje A po e konsiderojmë edhe ne shtesë- një ngjarje që përbëhet nga të gjitha rezultatet e mundshme elementare të një eksperimenti që nuk përfshihet në ngjarje A;

B) së bashku me dy ngjarje A Dhe NË ne po i shqyrtojmë ato Bashkimi
, Dhe kryqëzim
.

Pasojat:



thirrur të besueshme ngjarje, dhe thirrur e pamundur ngjarje.

Nëse = , atëherë ngjarjet A Dhe NË thirrur të papajtueshme.

1. 
   Vetitë e probabiliteteve :

• 
  Probabiliteti klasik. Nëse

B) Të gjitha rezultatet elementare  ngjarjet ( ngjarje elementare), ω  A .

C) Probabilitetet e të gjitha ngjarjeve elementare janë të barabarta ( masë e njëtrajtshme e probabilitetit), R(ω ) = 1 / n .

Pastaj probabiliteti i ndonjë ngjarjeje A përkufizohet si proporcioni i numrit të rezultateve elementare në A( A) mbi numrin e rezultateve elementare në Ω . R(A) =  A ⁄  Ω  .

• 
  Probabiliteti gjeometrik. Nëse në hapësirën e rezultateve elementare Ω jepet një masë e fundme jo negative s (· ), atëherë probabiliteti i ndonjë ngjarjeje A përkufizohet si raport i masës A,s (A), në masën e Ω , s (Ω ). R(A) = s (A) ⁄ s (Ω ).
• 
  Dendësia e shpërndarjes. Nëse

B) Është dhënë një funksion jo negativ R (ω ), (R (ω ) ≥ 0 ), me sipërfaqe ( s (· )) shifra V Ω , i kufizuar nga orari R (ω ) dhe boshti numerik Ω , e barabartë me 1 (s (V Ω ) = 1).

A) Funksioni R (ω ) quhet dendësia e shpërndarjes.

B) Probabiliteti i ndonjë ngjarjeje A⊆ Ω dhënë sipas zonës s (V A) figura e kufizuar nga grafiku R (ω ) në pjesë A boshti numerik dhe boshti numerik Ω . R(A) = s (V A).

1. 
   Probabiliteti i kushtëzuar .

1. 
   Pavarësia e ngjarjeve .

Tre ngjarje kolektivisht të pavarur Nëse:
a) çdo dy prej tyre janë të pavarur, dhe
b) duke kombinuar çdo dy ngjarje në mënyrë të pavarur me një ngjarje të tretë.

Koncepti i pavarësisë në total shtrihet në një numër më të madh ngjarjesh në mënyrë të ngjashme.

1. 
   Grupi i plotë i ngjarjeve .

1. 
   Formula e probabilitetit total.

R(A)) = ∑ i [P(N i)· R(A N i)].

Probabiliteti i një ngjarjeje mund të llogaritet si një shumë e ponderuar e probabiliteteve të kushtëzuara të kësaj ngjarjeje, me kusht që të ndodhin ngjarje nga grupi i plotë i ngjarjeve, ku probabilitetet e ngjarjeve përkatëse nga grupi i plotë merren si koeficientë peshimi.

1. 
   Formula e Bayes .

R A (N për të) = (R(AN për të)) ⁄ (R(A)) = (R(AN për të)) ⁄ (∑ i [P(N i)· R(A N i)]).

1. 
   Modele tipike të një eksperimenti të rastësishëm.

U(2). Modeli më i thjeshtë Urn.

Marrja e një topi nga një urnë me dy topa. Modeli është ekuivalent me modelin Bernoulli NË (½).

U(n) ose R(n). Modeli klasik i urnës.

Marrja e një topi nga një urnë n topa të rinumëruar. Rezultati elementar - ngjarja elementare - numri i topit të tërhequr. Probabiliteti klasik me një shpërndarje uniforme probabiliteti të ngjarjeve elementare.

U(n; m) . Model urne.
Marrja e një topi nga një urnë m e bardhe dhe ( n – m) topa të zinj.
Modeli është ekuivalent me modelin Bernoulli NË (m / n).

1. 
   Sekuenca e eksperimenteve të rastësishme .

U(n *n). Nxjerrja sekuenciale dhe kthimi i dy topave nga një urnë me n topa.

U(2 * 2). Nxjerrja dhe kthimi sekuencial i dy topave nga një urnë me dy topa. Modeli është ekuivalent me modelin Binomial NË (2; fq).

U(n *(n -1)). Nxjerrja e njëpasnjëshme pa kthyer dy topa nga një urnë me n topa.