Vazhdojmë bisedën tonë për formulat më të përdorura në trigonometri. Më e rëndësishmja prej tyre janë formulat e mbledhjes.
Përkufizimi 1
Formulat e mbledhjes ju lejojnë të shprehni funksionet e diferencës ose shumës së dy këndeve duke përdorur funksionet trigonometrike këto kënde.
Për të filluar, ne do të japim listën e plotë formulat e mbledhjes, më pas do t'i vërtetojmë dhe do të analizojmë disa shembuj ilustrues.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Formulat bazë të mbledhjes në trigonometri
Janë tetë formulat bazë: sinusi i shumës dhe sinusi i ndryshimit të dy këndeve, kosinuset e shumës dhe ndryshimit, përkatësisht tangjentet dhe kotangjentet e shumës dhe ndryshimit. Më poshtë janë formulimet dhe llogaritjet e tyre standarde.
1. Sinusi i shumës së dy këndeve mund të merret si më poshtë:
Njehsojmë prodhimin e sinusit të këndit të parë dhe të kosinusit të të dytit;
Shumëzoni kosinusin e këndit të parë me sinusin e të parit;
Shtoni vlerat që rezultojnë.
Shkrimi grafik i formulës duket kështu: sin (α + β) = mëkat α · cos β + cos α · sin β
2. Sinusi i diferencës llogaritet pothuajse në të njëjtën mënyrë, vetëm produktet që rezultojnë nuk duhet të shtohen, por të zbriten nga njëri-tjetri. Kështu, llogaritim prodhimet e sinusit të këndit të parë me kosinusin e të dytit dhe kosinusit të këndit të parë me sinusin e të dytit dhe gjejmë ndryshimin e tyre. Formula është shkruar kështu: sin (α - β) = mëkat α · cos β + sin α · mëkat β
3. Kosinusi i shumës. Për të, gjejmë prodhimet e kosinusit të këndit të parë me kosinusin e të dytit dhe sinusin e këndit të parë me sinusin e të dytit, përkatësisht dhe gjejmë ndryshimin e tyre: cos (α + β) = cos α. · cos β - sin α · sin β
4. Kosinusi i diferencës: njehsoni prodhimet e sinuseve dhe kosinuseve të këtyre këndeve, si më parë, dhe shtoni ato. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Tangjentja e shumës. Kjo formulë shprehet si fraksion, numëruesi i së cilës është shuma e tangjentave të këndeve të kërkuara, dhe emëruesi është një njësi nga e cila zbritet prodhimi i tangjentave të këndeve të dëshiruara. Gjithçka është e qartë nga shënimi i saj grafik: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Tangjentja e diferencës. Ne llogarisim vlerat e diferencës dhe produktit të tangjentave të këtyre këndeve dhe vazhdojmë me to në mënyrë të ngjashme. Në emërues shtojmë një, dhe jo anasjelltas: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Kotangjente e shumës. Për të llogaritur duke përdorur këtë formulë, do të na duhet prodhimi dhe shuma e kotangjenteve të këtyre këndeve, të cilën e bëjmë si më poshtë: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Kotangjentja e diferencës . Formula është e ngjashme me atë të mëparshme, por numëruesi dhe emëruesi janë minus, jo plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Ju ndoshta keni vënë re se këto formula janë të ngjashme në çifte. Duke përdorur shenjat ± (plus-minus) dhe ∓ (minus-plus), ne mund t'i grupojmë ato për lehtësinë e regjistrimit:
sin (α ± β) = mëkat α · cos β ± cos α · mëkat β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · mëkat β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Prandaj, ne kemi një formulë regjistrimi për shumën dhe ndryshimin e secilës vlerë, vetëm në një rast i kushtojmë vëmendje shenjës së sipërme, në tjetrën - asaj më të ulët.
Përkufizimi 2
Ne mund të marrim çdo kënd α dhe β, dhe formulat e mbledhjes për kosinusin dhe sinusin do të funksionojnë për to. Nëse mund të përcaktojmë saktë vlerat e tangjentave dhe kotangjentave të këtyre këndeve, atëherë formulat e mbledhjes për tangjentën dhe kotangjenten do të vlejnë edhe për to.
Ashtu si shumica e koncepteve në algjebër, formulat e mbledhjes mund të vërtetohen. Formula e parë që do të vërtetojmë është formula e kosinusit të ndryshimit. Pjesa tjetër e provave mund të nxirret lehtësisht prej saj.
Le të sqarojmë konceptet themelore. do të na duhet rrethi njësi. Do të funksionojë nëse marrim një pikë të caktuar A dhe rrotullojmë këndet α dhe β rreth qendrës (pika O). Atëherë këndi ndërmjet vektorëve O A 1 → dhe O A → 2 do të jetë i barabartë me (α - β) + 2 π · z ose 2 π - (α - β) + 2 π · z (z është çdo numër i plotë). Vektorët që rezultojnë formojnë një kënd që është i barabartë me α - β ose 2 π - (α - β), ose mund të ndryshojë nga këto vlera me një numër të plotë revolucione të plota. Hidhini një sy fotos:
Ne përdorëm formulat e reduktimit dhe morëm rezultatet e mëposhtme:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Rezultati: kosinusi i këndit ndërmjet vektorëve O A 1 → dhe O A 2 → është i barabartë me kosinusin e këndit α - β, pra, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Le të kujtojmë përkufizimet e sinusit dhe kosinusit: sinusi është një funksion i këndit, e barabartë me raportin këmba e këndit të kundërt me hipotenuzën, kosinusi është sinus kënd shtesë. Prandaj, pikat A 1 Dhe A 2 kanë koordinata (cos α, sin α) dhe (cos β, sin β).
Ne marrim sa vijon:
O A 1 → = (cos α, sin α) dhe O A 2 → = (cos β, sin β)
Nëse nuk është e qartë, shikoni koordinatat e pikave të vendosura në fillim dhe në fund të vektorëve.
Gjatësitë e vektorëve janë të barabartë me 1, sepse Ne kemi një rreth njësi.
Le ta shohim tani produkt skalar vektorët O A 1 → dhe O A 2 → . Në koordinata duket kështu:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + mëkat α · mëkat β
Nga kjo mund të nxjerrim barazinë:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Kështu, formula e kosinusit të diferencës vërtetohet.
Tani do të vërtetojmë formulën e mëposhtme– kosinusi i shumës. Kjo është më e lehtë sepse ne mund të përdorim llogaritjet e mëparshme. Le të marrim paraqitjen α + β = α - (- β) . Ne kemi:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Kjo është vërtetimi i formulës së shumës së kosinusit. Rreshti i fundit përdor vetinë e sinusit dhe kosinusit qoshet e kundërta.
Formula për sinusin e një shume mund të rrjedh nga formula për kosinusin e një ndryshimi. Le të marrim formulën e reduktimit për këtë:
lloj mëkati(α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Kështu që
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = mëkat α cos β + cos α sin β
Dhe këtu është prova e formulës së ndryshimit sinus:
sin (α - β) = mëkat (α + (- β)) = mëkat α cos (- β) + cos α sin (- β) = = mëkat α cos β - cos α sin β
Vini re përdorimin e vetive të sinusit dhe kosinusit të këndeve të kundërta në llogaritjen e fundit.
Më pas na duhen vërtetime të formulave të mbledhjes për tangjentën dhe kotangjenten. Le të kujtojmë përkufizimet bazë (tangjentja është raporti i sinusit me kosinusin, dhe kotangjenti është anasjelltas) dhe të marrim formulat e nxjerra tashmë paraprakisht. Ne e bëmë atë:
t g (α + β) = mëkat (α + β) cos (α + β) = mëkat α cos β + cos α sin β cos α cos β - mëkat α sin β
Ne e beme ate fraksion kompleks. Më pas, ne duhet të ndajmë numëruesin dhe emëruesin e tij me cos α · cos β, duke pasur parasysh se cos α ≠ 0 dhe cos β ≠ 0, marrim:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - mëkat α · sin β cos α · cos β = mëkat α · cos β cos α · cos β + cos α · mëkat β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - mëkat α · mëkat β cos α · cos β
Tani i zvogëlojmë thyesat dhe marrim formulën e mëposhtme: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Morëm t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Kjo është prova e formulës së mbledhjes tangjente.
Formula tjetër që do të vërtetojmë është tangjentja e formulës së diferencës. Gjithçka tregohet qartë në llogaritjet:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Formulat për kotangjent vërtetohen në mënyrë të ngjashme:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - mëkat α · mëkat β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - mëkat α · mëkat β mëkat α · mëkat β mëkat α · cos β + cos α · mëkat β mëkat α · mëkat β = cos α · cos β mëkat α · mëkat β - 1 mëkat α · cos β mëkat α · mëkat β + cos α · mëkat β sin α · mëkat β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Me tutje:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β
Nuk do të përpiqem t'ju bind të mos shkruani fletë mashtrimi. Shkruaj! Përfshirë fletët e mashtrimit në trigonometri. Më vonë planifikoj të shpjegoj pse duhen fletët e mashtrimit dhe pse fletët e mashtrimit janë të dobishme. Dhe këtu ka informacion se si të mos mësoni, por mbani mend disa formulat trigonometrike. Pra - trigonometria pa një fletë mashtrimi Ne përdorim shoqata për memorizimin.
1. Formulat e shtimit:
Kosinuset gjithmonë "vijnë në çift": kosinus-kosinus, sinus-sinus.
Dhe një gjë tjetër: kosinuset janë "të papërshtatshëm". "Gjithçka nuk është në rregull" për ta, kështu që ata ndryshojnë shenjat: "-" në "+", dhe anasjelltas.
Sinuset - "përzierje": sinus-kosinus, kosinus-sinus.
2. Formulat e shumës dhe diferencës:
kosinuset gjithmonë "vijnë në çift". Duke shtuar dy kosinus - "koloboks", marrim një palë kosinus - "koloboks". Dhe duke zbritur, ne definitivisht nuk do të marrim asnjë koloboks. Ne marrim disa sinus. Gjithashtu me një minus përpara.
Sinuset - "përzierje" :
3. Formulat për shndërrimin e një produkti në shumë dhe diferencë.
Kur marrim një çift kosinus? Kur shtojmë kosinus. Kjo është arsyeja pse
Kur marrim disa sinus? Kur zbriten kosinuset. Nga këtu:
"Përzierja" fitohet si me mbledhjen ashtu edhe me zbritjen e sinuseve. Çfarë është më argëtuese: shtimi apo zbritja? Kjo është e drejtë, palos. Dhe për formulën ata marrin shtesë:
Në formulat e parë dhe të tretë, shuma është në kllapa. Rirregullimi i vendeve të termave nuk e ndryshon shumën. Rendi është i rëndësishëm vetëm për formulën e dytë. Por, për të mos u ngatërruar, për lehtësinë e kujtimit, në të tre formulat në kllapat e para marrim ndryshimin
dhe së dyti - shuma
Fletët e mashtrimit në xhepin tuaj ju japin paqe mendore: nëse harroni formulën, mund ta kopjoni atë. Dhe ato ju japin besim: nëse nuk arrin të përdorësh fletën e mashtrimit, mund t'i kujtosh lehtësisht formulat.
