Projekt algjebër “Zgjidhja e inekuacioneve trigonometrike” Përfunduar nga nxënësja e klasës 10 “B” Kazachkova Yulia Udhëheqësja: mësuesja e matematikës Kochakova N.N.
Qëllimi Të konsolidohet materiali me temën "Zgjidhja e pabarazive trigonometrike" dhe të krijohet një kujtesë për studentët që të përgatiten për provimin e ardhshëm.
Objektivat: Përmblidhni materialin për këtë temë. Sistematizoni informacionin e marrë. Konsideroni këtë temë në Provimin e Unifikuar të Shtetit.
Rëndësia Rëndësia e temës që kam zgjedhur qëndron në faktin se detyrat me temën “Zgjidhja e pabarazive trigonometrike” përfshihen në detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit.
Jobarazimet trigonometrike Mosbarazimi është një lidhje që lidh dy numra ose shprehje nëpërmjet njërës prej shenjave: (më e madhe se); ≥ (më e madhe ose e barabartë me). Një pabarazi trigonometrike është një pabarazi që përfshin funksione trigonometrike.
Pabarazitë trigonometrike Zgjidhja e inekuacioneve që përmbajnë funksione trigonometrike reduktohet, si rregull, në zgjidhjen e mosbarazimeve më të thjeshta të formës: sin x>a, sin x. a, cos x a, tg x a, ctg x
Algoritmi për zgjidhjen e mosbarazimeve trigonometrike Në boshtin që i përgjigjet një funksioni të caktuar trigonometrik, shënoni vlerën e dhënë numerike të këtij funksioni. Vizatoni një vijë përmes pikës së shënuar që pret rrethin e njësisë. Zgjidhni pikat e kryqëzimit të një vije dhe një rrethi, duke marrë parasysh shenjën e pabarazisë strikte ose jo të rreptë. Zgjidhni harkun e rrethit në të cilin ndodhen zgjidhjet e pabarazisë. Përcaktoni vlerat e këndit në pikat fillestare dhe mbaruese të harkut rrethor. Shkruani zgjidhjen e pabarazisë duke marrë parasysh periodicitetin e funksionit të dhënë trigonometrik.
Formulat për zgjidhjen e inekuacioneve trigonometrike sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). sinx a; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxa; x (arctg a + πn ; + πn). tgx a; x (πn ; arctan + πn). ctgx
Zgjidhja grafike e mosbarazimeve bazë trigonometrike sinx >a
Zgjidhja grafike e pabarazive bazë trigonometrike sinx Zgjidhja grafike e mosbarazimeve bazë trigonometrike cosx >a Zgjidhja grafike e pabarazive bazë trigonometrike cosx Zgjidhja grafike e mosbarazimeve bazë trigonometrike tgx >a Zgjidhja grafike e inekuacioneve bazë trigonometrike tgx Zgjidhja grafike e mosbarazimeve bazë trigonometrike ctgx >a
METODAT PËR ZGJIDHJEN E PABARAZISËVE TRIGONOMETRIKË
Rëndësia. Historikisht, ekuacioneve trigonometrike dhe pabarazive u është dhënë një vend i veçantë në kurrikulën shkollore. Mund të themi se trigonometria është një nga seksionet më të rëndësishme të kursit shkollor dhe të gjithë shkencës matematikore në përgjithësi.
Ekuacionet trigonometrike dhe pabarazitë zënë një nga vendet qendrore në kursin e matematikës së shkollës së mesme, si për sa i përket përmbajtjes së materialit edukativ, ashtu edhe për nga metodat e veprimtarisë edukative dhe njohëse që mund dhe duhet të formohen gjatë studimit të tyre dhe të aplikohen për zgjidhjen e një numri të madh. të problemeve të natyrës teorike dhe aplikative .
Zgjidhja e ekuacioneve dhe pabarazive trigonometrike krijon parakushtet për sistemimin e njohurive të studentëve në lidhje me të gjithë materialin arsimor në trigonometri (për shembull, vetitë e funksioneve trigonometrike, metodat e transformimit të shprehjeve trigonometrike, etj.) dhe bën të mundur vendosjen e lidhjeve efektive me materialin e studiuar. në algjebër (ekuacionet, ekuivalenca e ekuacioneve, pabarazitë, shndërrimet identike të shprehjeve algjebrike etj.).
Me fjalë të tjera, shqyrtimi i teknikave për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive trigonometrike përfshin një lloj transferimi të këtyre aftësive në përmbajtje të re.
Rëndësia e teorisë dhe aplikimet e saj të shumta janë dëshmi e rëndësisë së temës së zgjedhur. Kjo nga ana tjetër ju lejon të përcaktoni qëllimet, objektivat dhe lëndën e hulumtimit të punës së kursit.
Qëllimi i studimit: përgjithësoni llojet e disponueshme të pabarazive trigonometrike, metodat themelore dhe të veçanta për zgjidhjen e tyre, zgjidhni një grup problemesh për zgjidhjen e pabarazive trigonometrike nga nxënësit e shkollës.
Objektivat e kërkimit:
1. Bazuar në një analizë të literaturës në dispozicion për temën e kërkimit, sistematizoni materialin.
2. Jepni një sërë detyrash të nevojshme për të konsoliduar temën "Pabarazitë trigonometrike".
Objekti i studimit janë pabarazi trigonometrike në lëndën e matematikës shkollore.
Lënda e hulumtimit: llojet e pabarazive trigonometrike dhe metodat për zgjidhjen e tyre.
Rëndësia teorike është sistemimi i materialit.
Rëndësia praktike: aplikimi i njohurive teorike në zgjidhjen e problemeve; analiza e metodave kryesore të zakonshme për zgjidhjen e pabarazive trigonometrike.
Metodat e kërkimit : analiza e literaturës shkencore, sinteza dhe përgjithësimi i njohurive të marra, analiza e zgjidhjes së problemeve, kërkimi i metodave optimale për zgjidhjen e pabarazive.
§1. Llojet e pabarazive trigonometrike dhe metodat themelore për zgjidhjen e tyre
1.1. Pabarazitë më të thjeshta trigonometrike
Dy shprehje trigonometrike të lidhura me shenjën ose > quhen pabarazi trigonometrike.
Zgjidhja e një pabarazie trigonometrike nënkupton gjetjen e grupit të vlerave të të panjohurave të përfshira në pabarazinë për të cilën plotësohet pabarazia.
Pjesa kryesore e pabarazive trigonometrike zgjidhet duke i reduktuar ato në zgjidhjen më të thjeshtë:
Kjo mund të jetë një metodë faktorizimi, ndryshimi i ndryshores ( 
, 
etj.), ku fillimisht zgjidhet pabarazia e zakonshme, dhe më pas një pabarazi e formës 
etj., ose metoda të tjera.
Pabarazitë më të thjeshta mund të zgjidhen në dy mënyra: duke përdorur rrethin e njësisë ose grafikisht.
Lef(x
– një nga funksionet bazë trigonometrike. Për të zgjidhur pabarazinë 
mjafton të gjesh zgjidhjen e saj në një periudhë, d.m.th. në çdo segment gjatësia e të cilit është e barabartë me periudhën e funksionitf
x
. Atëherë zgjidhja e pabarazisë origjinale do të gjendet e gjithax
, si dhe ato vlera që ndryshojnë nga ato të gjetura nga çdo numër i plotë i periudhave të funksionit. Në këtë rast, është e përshtatshme të përdoret metoda grafike.
Le të japim një shembull të një algoritmi për zgjidhjen e pabarazive 
(
) Dhe 
.
Algoritmi për zgjidhjen e pabarazisë (
).
1. Formuloni përkufizimin e sinusit të një numrix në rrethin e njësisë.
3. Në boshtin e ordinatës shënoni pikën me koordinatëa .
4. Vizatoni një vijë paralele me boshtin OX përmes kësaj pike dhe shënoni pikat e saj të kryqëzimit me rrethin.
5. Zgjidhni një hark të një rrethi, të gjitha pikat e të cilit kanë një ordinatë më të vogël sea .
6. Tregoni drejtimin e rrotullimit (në drejtim të kundërt të akrepave të orës) dhe shkruani përgjigjen duke shtuar periudhën e funksionit në skajet e intervalit2πn
,
.
Algoritmi për zgjidhjen e pabarazisë .
1. Formuloni përkufizimin e tangjentes së një numrix në rrethin e njësisë.
2. Vizatoni një rreth njësi.
3. Vizatoni një vijë tangjente dhe shënoni një pikë me një ordinatë mbi tëa .
4. Lidheni këtë pikë me origjinën dhe shënoni pikën e kryqëzimit të segmentit që rezulton me rrethin njësi.
5. Zgjidhni një hark rrethi, të gjitha pikat e të cilit kanë një ordinatë në vijën tangjente më të vogël sea .
6. Tregoni drejtimin e kalimit dhe shkruani përgjigjen duke marrë parasysh domenin e përkufizimit të funksionit, duke shtuar një pikëπn
,
(numri në të majtë të hyrjes është gjithmonë më i vogël se numri në të djathtë).
Interpretimi grafik i zgjidhjeve të ekuacioneve më të thjeshta dhe formulave për zgjidhjen e pabarazive në formë të përgjithshme tregohen në shtojcën (Shtojcat 1 dhe 2).
Shembulli 1.
Zgjidh pabarazinë 
.
Vizatoni një vijë të drejtë në rrethin e njësisë 
, i cili pret rrethin në pikat A dhe B.
Të gjitha kuptimety
në intervalin NM është më i madh
, të gjitha pikat e harkut AMB e plotësojnë këtë pabarazi. Në të gjitha këndet e rrotullimit, të mëdha 
, por më i vogël 
,
do të marrë vlera më të mëdha
(por jo më shumë se një).
Fig.1
Kështu, zgjidhja e pabarazisë do të jenë të gjitha vlerat në interval 
, d.m.th. 
. Për të marrë të gjitha zgjidhjet e kësaj pabarazie, mjafton të shtohen në skajet e këtij intervali 
, Ku 
, d.m.th. 
,
.
Vini re se vlerat 
Dhe 
janë rrënjët e ekuacionit 
,
ato. 
;
.
Përgjigje: 
, .
1.2. Metoda grafike
Në praktikë, metoda grafike për zgjidhjen e pabarazive trigonometrike shpesh rezulton të jetë e dobishme. Le të shqyrtojmë thelbin e metodës duke përdorur shembullin e pabarazisë 
:
1. Nëse argumenti është kompleks (i ndryshëm ngaX ), më pas zëvendësojeni met .
2. Ne ndërtojmë në një plan koordinativlodër
grafikët e funksioneve 
Dhe 
.
3. Të tilla gjejmëdy pikat ngjitur të kryqëzimit të grafikëve, ndërmjet të cilavevalë sinustë vendosuramë të larta
e drejtpërdrejtë . Gjejmë abshisat e këtyre pikave.
4. Shkruani një pabarazi të dyfishtë për argumentint , duke marrë parasysh periudhën e kosinusit (t do të jetë midis abshisave të gjetura).
5. Bëni një zëvendësim të kundërt (kthehuni në argumentin origjinal) dhe shprehni vlerënX nga mosbarazimi i dyfishtë, përgjigjen e shkruajmë në formën e një intervali numerik.
Shembulli 2. Zgjidhja e pabarazisë: .
Kur zgjidhen pabarazitë duke përdorur metodën grafike, është e nevojshme të ndërtohen grafikët e funksioneve sa më saktë që të jetë e mundur. Le ta shndërrojmë pabarazinë në formën:
Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve në një sistem koordinativ 
Dhe 
(Fig. 2).
Fig.2
Grafikët e funksioneve kryqëzohen në pikëA
me koordinata 
; 
. Në mes 
pikat e grafikut 
poshtë pikave të grafikut 
. Dhe kur vlerat e funksionit janë të njëjta. Kjo është arsyeja pse në 
.
Përgjigje: 
.
1.3. Metoda algjebrike
Shumë shpesh, pabarazia origjinale trigonometrike mund të reduktohet në një pabarazi algjebrike (racionale ose irracionale) përmes një zëvendësimi të zgjedhur mirë. Kjo metodë përfshin transformimin e një pabarazie, futjen e një zëvendësimi ose zëvendësimin e një ndryshoreje.
Le të shohim shembuj specifikë të aplikimit të kësaj metode.
Shembulli 3.
Reduktimi në formën më të thjeshtë 
.
(Fig. 3)
Fig.3
, 
.
Përgjigje: 
,
Shembulli 4. Zgjidhja e pabarazisë:
ODZ: 
, 
.
Përdorimi i formulave: 
, 
Le ta shkruajmë pabarazinë në formën: 
.
Ose, duke besuar 
pas transformimeve të thjeshta marrim
,
,
.
Duke zgjidhur pabarazinë e fundit duke përdorur metodën e intervalit, marrim:
Fig.4
, respektivisht 
. Pastaj nga Fig. 4 vijon 
, Ku 
.
Fig.5
Përgjigje: 
, 
.
1.4. Metoda e intervalit
Skema e përgjithshme për zgjidhjen e pabarazive trigonometrike duke përdorur metodën e intervalit:
Faktor duke përdorur formulat trigonometrike.
Gjeni pikat e ndërprerjes dhe zerot e funksionit dhe vendosini ato në rreth.
Merrni çdo pikëTE (por nuk u gjet më herët) dhe zbuloni shenjën e produktit. Nëse produkti është pozitiv, atëherë vendosni një pikë jashtë rrethit të njësisë në rreze që korrespondon me këndin. Përndryshe, vendosni pikën brenda rrethit.
Nëse një pikë ndodh një numër çift, ne e quajmë atë një pikë shumëfishimi çift, nëse një numër tek, ne e quajmë atë një pikë shumëfishimi tek. Vizatoni harqe si më poshtë: filloni nga një pikëTE , nëse pika e radhës është me shumësi tek, atëherë harku e pret rrethin në këtë pikë, por nëse pika është me shumësi çift, atëherë ai nuk e pret.
Harqet pas rrethit janë intervale pozitive; brenda rrethit ka hapësira negative.
Shembulli 5. Zgjidhja e pabarazisë
, 
.
Pikat e serisë së parë: 
.
Pikat e serisë së dytë: 
.
Çdo pikë ndodh një numër tek herë, domethënë, të gjitha pikat janë të shumëfishta tek.
Le të zbulojmë shenjën e produktit në 
: . Le të shënojmë të gjitha pikat në rrethin e njësisë (Fig. 6):
Oriz. 6
Përgjigje: 
, 
; 
, 
; 
, 
.
Shembulli 6 . Zgjidh pabarazinë.
Zgjidhja:
Le të gjejmë zerot e shprehjes .
Merrniaem :
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
Në vlerat e serisë së rrethit njësiX
1
e përfaqësuar me pika 
. SeriaX
2
jep pikë 
. Nga serialiX
3
marrim dy pikë 
. Më në fund, seriaX
4
do të përfaqësojë pikë 
. Le të vizatojmë të gjitha këto pika në rrethin e njësisë, duke treguar shumësinë e tij në kllapa pranë secilës prej tyre.
Lëreni tani numrin 
do të jetë i barabartë. Le të bëjmë një vlerësim bazuar në shenjën:
Pra, pikëA
duhet të zgjidhet në rreze që formon këndin 
me traOh,
jashtë rrethit të njësisë. (Vini re se rrezja ndihmëseRRETH
A
Nuk është aspak e nevojshme ta përshkruani atë në një foto. PikaA
zgjidhet afërsisht.)
Tani nga pikaA
vizatoni një vijë të valëzuar të vazhdueshme në mënyrë sekuenciale në të gjitha pikat e shënuara. Dhe në pika vija jonë shkon nga një zonë në tjetrën: nëse ishte jashtë rrethit të njësisë, atëherë shkon brenda saj. Duke iu afruar pikës 
, vija kthehet në rajonin e brendshëm, pasi shumësia e kësaj pike është e barabartë. Në mënyrë të ngjashme në pikën 
(me shumëfishim të barabartë) linja duhet të kthehet në rajonin e jashtëm. Pra, ne vizatuam një pamje të caktuar të treguar në Fig. 7. Ndihmon për të theksuar zonat e dëshiruara në rrethin e njësisë. Ato janë të shënuara me një shenjë "+".
Fig.7
Përgjigja përfundimtare:
Shënim. Nëse një vijë e valëzuar, pasi ka kaluar të gjitha pikat e shënuara në rrethin e njësisë, nuk mund të kthehet në pikëA , pa kaluar rrethin në një vend "të paligjshëm", kjo do të thotë se është bërë një gabim në zgjidhje, përkatësisht, një numër tek i rrënjëve ka humbur.
Përgjigju: .
§2. Një grup problemesh për zgjidhjen e pabarazive trigonometrike
Në procesin e zhvillimit të aftësisë së nxënësve të shkollës për të zgjidhur pabarazitë trigonometrike, mund të dallohen edhe 3 faza.
1. përgatitore,
2. zhvillimi i aftësisë për zgjidhjen e mosbarazimeve të thjeshta trigonometrike;
3. prezantimi i inekuacioneve trigonometrike të llojeve të tjera.
Qëllimi i fazës përgatitore është që është e nevojshme të zhvillohet tek nxënësit e shkollës aftësia për të përdorur një rreth trigonometrik ose grafik për të zgjidhur pabarazitë, përkatësisht:
Aftësia për të zgjidhur pabarazitë e thjeshta të formës ,
, ,
,
duke përdorur vetitë e funksioneve të sinusit dhe kosinusit;
Aftësia për të ndërtuar inekuacione të dyfishta për harqet e rrethit numerik ose për harqet e grafikëve të funksioneve;
Aftësia për të kryer transformime të ndryshme të shprehjeve trigonometrike.
Rekomandohet zbatimi i kësaj faze në procesin e sistemimit të njohurive të nxënësve të shkollës për vetitë e funksioneve trigonometrike. Mjetet kryesore mund të jenë detyrat që u ofrohen studentëve dhe të kryhen ose nën drejtimin e një mësuesi ose në mënyrë të pavarur, si dhe aftësitë e zhvilluara në zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.
Këtu janë shembuj të detyrave të tilla:
1
. Shënoni një pikë në rrethin e njësisë 
, Nëse
.
2.
Në cilën çerekun e planit koordinativ ndodhet pika? , Nëse 
barazohet me: 
3.
Shënoni pikat në rrethin trigonometrik , Nëse:
4. Shndërroni shprehjen në funksione trigonometrikeIlagjet.
A) 
,
b) 
,
V) 
5. Jepet harku MR.M – mesI- tremujori iR – mesIItremujori i rë. Kufizoni vlerën e një ndryshorejet për: (bëni një pabarazi të dyfishtë) a) hark MR; b) harqet RM.
6. Shkruani pabarazinë e dyfishtë për seksionet e zgjedhura të grafikut:
Oriz. 1
7.
Zgjidh pabarazitë 
, 
, 
, 
.
8. Konvertoni shprehjen .
Në fazën e dytë të të mësuarit për zgjidhjen e pabarazive trigonometrike, mund të ofrojmë rekomandimet e mëposhtme në lidhje me metodologjinë e organizimit të aktiviteteve të nxënësve. Në këtë rast, është e nevojshme të fokusohemi në aftësitë ekzistuese të nxënësve për të punuar me një rreth trigonometrik ose grafik, të formuar gjatë zgjidhjes së ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike.
Së pari, mund të motivohet përshtatshmëria e marrjes së një metode të përgjithshme për zgjidhjen e pabarazive më të thjeshta trigonometrike duke u kthyer, për shembull, në një pabarazi të formës 
.
Duke përdorur njohuritë dhe aftësitë e fituara në fazën përgatitore, studentët do të sjellin pabarazinë e propozuar në formë 
, por mund ta ketë të vështirë të gjejë një grup zgjidhjesh për pabarazinë që rezulton, sepse Është e pamundur ta zgjidhësh atë vetëm duke përdorur vetitë e funksionit sinus. Kjo vështirësi mund të shmanget duke u kthyer në ilustrimin e duhur (zgjidhja e ekuacionit në mënyrë grafike ose duke përdorur një rreth njësi).
Së dyti, mësuesi duhet të tërheqë vëmendjen e nxënësve në mënyra të ndryshme të përmbushjes së detyrës, të japë një shembull të përshtatshëm të zgjidhjes së pabarazisë si grafikisht ashtu edhe duke përdorur një rreth trigonometrik.
Le të shqyrtojmë zgjidhjet e mëposhtme të pabarazisë .
1. Zgjidhja e inekuacionit duke përdorur rrethin njësi.
Në mësimin e parë për zgjidhjen e pabarazive trigonometrike, do t'u ofrojmë studentëve një algoritëm të detajuar të zgjidhjes, i cili në një prezantim hap pas hapi pasqyron të gjitha aftësitë bazë të nevojshme për zgjidhjen e pabarazisë.
Hapi 1.Le të vizatojmë një rreth njësi dhe të shënojmë një pikë në boshtin e ordinatave 
dhe vizatoni një vijë të drejtë përmes saj paralel me boshtin x. Kjo vijë do të presë rrethin e njësisë në dy pika. Secila prej këtyre pikave paraqet numra, sinusi i të cilëve është i barabartë me .
Hapi 2.Kjo vijë e drejtë e ndante rrethin në dy harqe. Le të zgjedhim atë që përshkruan numrat që kanë një sinus më të madh se . Natyrisht, ky hark ndodhet mbi vijën e drejtë të tërhequr.
Oriz. 2
Hapi 3.Zgjidhni një nga skajet e harkut të shënuar. Le të shkruajmë një nga numrat që përfaqësohet nga kjo pikë e rrethit njësi 
.
Hapi 4.Për të zgjedhur numrin që korrespondon me skajin e dytë të harkut të zgjedhur, ne "ecim" përgjatë këtij harku nga skaji i emërtuar në tjetrin. Në të njëjtën kohë, kujtoni se kur lëvizim në drejtim të kundërt të akrepave të orës, numrat nëpër të cilët do të kalojmë rriten (kur lëvizim në drejtim të kundërt, numrat do të zvogëlohen). Le të shkruajmë numrin që përshkruhet në rrethin e njësisë nga skaji i dytë i harkut të shënuar 
.
Kështu, ne e shohim atë pabarazi plotësoni numrat për të cilët pabarazia është e vërtetë 
. Ne zgjidhëm pabarazinë për numrat e vendosur në të njëjtën periudhë të funksionit sinus. Prandaj, të gjitha zgjidhjet e pabarazisë mund të shkruhen në formë 
Nxënësve u kërkohet të shqyrtojnë me kujdes vizatimin dhe të kuptojnë pse të gjitha zgjidhjet e pabarazisë mund të shkruhet në formë 
, 
.
Oriz. 3
Është e nevojshme të tërheqim vëmendjen e nxënësve për faktin se gjatë zgjidhjes së mosbarazimeve për funksionin kosinus, vizatojmë një drejtëz paralele me boshtin e ordinatave.
Metoda grafike për zgjidhjen e pabarazive.
Ne ndërtojmë grafikë 
Dhe 
, duke pasur parasysh se 
.
Oriz. 4
Pastaj shkruajmë ekuacionin 
dhe vendimin e tij 
, 
, 
, gjetur duke përdorur formulat 
, 
, 
.
(Dhënian
vlerat 0, 1, 2, gjejmë tre rrënjët e ekuacionit të përpiluar). vlerat 
janë tre abshisa të njëpasnjëshme të pikave të kryqëzimit të grafikëve Dhe . Natyrisht, gjithmonë në interval 
pabarazia qëndron 
, dhe në intervalin 
– pabarazia 
. Ne jemi të interesuar në rastin e parë, dhe më pas duke shtuar në skajet e këtij intervali një numër që është shumëfish i periudhës së sinusit, marrim një zgjidhje për pabarazinë në formën: 
, .
Oriz. 5
Le të përmbledhim. Për të zgjidhur pabarazinë , ju duhet të krijoni ekuacionin përkatës dhe ta zgjidhni atë. Gjeni rrënjët nga formula që rezulton 
Dhe 
, dhe shkruani përgjigjen e pabarazisë në formën: , .
Së treti, fakti për grupin e rrënjëve të pabarazisë trigonometrike përkatëse konfirmohet shumë qartë kur zgjidhet grafikisht.
Oriz. 6
Është e nevojshme t'u tregohet nxënësve se kthesa, e cila është zgjidhja e pabarazisë, përsëritet në të njëjtin interval, të barabartë me periudhën e funksionit trigonometrik. Ju gjithashtu mund të konsideroni një ilustrim të ngjashëm për grafikun e funksionit sinus.
Së katërti, këshillohet që të punohet për përditësimin e teknikave të nxënësve për shndërrimin e shumës (diferencës) të funksioneve trigonometrike në produkt dhe për t'u tërhequr vëmendjen nxënësve për rolin e këtyre teknikave në zgjidhjen e pabarazive trigonometrike.
Një punë e tillë mund të organizohet përmes kryerjes së pavarur nga nxënësit të detyrave të propozuara nga mësuesi, ndër të cilat veçojmë sa vijon:
Së pesti, nxënësve duhet t'u kërkohet të ilustrojnë zgjidhjen e çdo pabarazie të thjeshtë trigonometrike duke përdorur një grafik ose një rreth trigonometrik. Duhet patjetër t'i kushtoni vëmendje përshtatshmërisë së tij, veçanërisht përdorimit të rrethit, pasi kur zgjidhni pabarazitë trigonometrike, ilustrimi përkatës shërben si një mjet shumë i përshtatshëm për regjistrimin e grupit të zgjidhjeve për një pabarazi të caktuar.
Këshillohet që nxënësit të njihen me metodat për zgjidhjen e pabarazive trigonometrike që nuk janë më të thjeshtat sipas skemës së mëposhtme: duke iu drejtuar një pabarazie specifike trigonometrike duke u kthyer në kërkimin e përbashkët të ekuacionit trigonometrik (mësues - nxënës) për një zgjidhje të pavarur; metoda e gjetur ndaj pabarazive të tjera të të njëjtit lloj.
Për të sistemuar njohuritë e nxënësve për trigonometrinë, rekomandojmë që të përzgjidhen posaçërisht pabarazitë e tilla, zgjidhja e të cilave kërkon transformime të ndryshme që mund të zbatohen në procesin e zgjidhjes së saj dhe përqendrimi i vëmendjes së studentëve në veçoritë e tyre.
Si pabarazi të tilla produktive mund të propozojmë, për shembull, sa vijon:
Si përfundim, ne japim një shembull të një grupi problemesh për zgjidhjen e pabarazive trigonometrike.
1. Zgjidh pabarazitë:
2. Zgjidh pabarazitë: 3. Gjeni të gjitha zgjidhjet e pabarazive: 4. Gjeni të gjitha zgjidhjet e pabarazive:A) 
, duke plotesuar kushtin 
;
b) 
, duke plotesuar kushtin 
.
5. Gjeni të gjitha zgjidhjet e pabarazive:
A) ;
b) ;
V) 
;
G) 
;
d) 
.
6. Zgjidh pabarazitë:
A) ;
b) ;
V) ;
G) 
;
d) ;
e) ;
dhe) 
.
7. Zgjidh pabarazitë:
A) 
;
b) ;
V) ;
G) .
8. Zgjidh inekuacionet:
A) ;
b) ;
V) ;
G) 
;
d) 
;
e) ;
dhe) 
;
h) .
Këshillohet që nxënësve që studiojnë matematikë në nivel të avancuar t'u ofrohen detyrat 6 dhe 7, ndërsa nxënësit e klasave me studim të avancuar të matematikës detyra 8.
§3. Metoda të veçanta për zgjidhjen e pabarazive trigonometrike
Metoda të veçanta për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike - domethënë ato metoda që mund të përdoren vetëm për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike. Këto metoda bazohen në përdorimin e vetive të funksioneve trigonometrike, si dhe në përdorimin e formulave dhe identiteteve të ndryshme trigonometrike.
3.1. Metoda e sektorit
Le të shqyrtojmë metodën e sektorit për zgjidhjen e pabarazive trigonometrike. Zgjidhja e pabarazive të formës 
, KuP
(
x
)
DheP
(
x
)
– funksionet racionale trigonometrike (sinuset, kosinuset, tangjentet dhe kotangjentet përfshihen në to në mënyrë racionale), të ngjashme me zgjidhjen e pabarazive racionale. Është i përshtatshëm për të zgjidhur pabarazitë racionale duke përdorur metodën e intervaleve në vijën numerike. Analogu i tij për zgjidhjen e pabarazive racionale trigonometrike është metoda e sektorëve në rrethin trigonometrik, përsinx
Dhecosx
(
) ose gjysmërreth trigonometrik përtgx
Dhectgx
(
).
Në metodën e intervalit, çdo faktor linear i numëruesit dhe emëruesit të formës 
në boshtin numerik i përgjigjet një pikë 
, dhe kur kalon në këtë pikë ndryshon shenjën. Në metodën e sektorit, çdo faktor i formës 
, Ku 
- një nga funksionetsinx
osecosx
Dhe 
, në një rreth trigonometrik korrespondojnë dy kënde 
Dhe 
, të cilat e ndajnë rrethin në dy sektorë. Kur kalon nëpër Dhe funksionin ndryshon shenjën.
Duhet mbajtur mend sa vijon:
a) Faktorët e formës 
Dhe 
, Ku 
, ruani shenjën për të gjitha vlerat 
. Faktorë të tillë të numëruesit dhe emëruesit hidhen duke ndryshuar (nëse 
) me çdo refuzim të tillë, shenja e pabarazisë përmbyset.
b) Faktorët e formës 
Dhe 
hidhen gjithashtu. Për më tepër, nëse këta janë faktorë të emëruesit, atëherë pabarazitë e formës i shtohen sistemit ekuivalent të pabarazive 
Dhe 
. Nëse këta janë faktorë të numëruesit, atëherë në sistemin ekuivalent të kufizimeve ato korrespondojnë me pabarazitë Dhe në rastin e një pabarazie fillestare strikte dhe barazi 
Dhe 
në rastin e një pabarazie fillestare jo të rreptë. Kur hidhni shumëzuesin 
ose 
shenja e pabarazisë është e kundërt.
Shembulli 1.
Zgjidh pabarazitë: a) 
, b) 
.
kemi funksionin b) . Të zgjidhim pabarazinë që kemi,
3.2. Metoda e rrethit koncentrik
Kjo metodë është një analog i metodës së boshteve të numrave paralelë për zgjidhjen e sistemeve të pabarazive racionale.
Le të shqyrtojmë një shembull të një sistemi pabarazish.
Shembulli 5.
Zgjidh një sistem pabarazish të thjeshta trigonometrike 
Së pari, ne zgjidhim çdo pabarazi veç e veç (Figura 5). Në këndin e sipërm djathtas të figurës do të tregojmë se për cilin argument merret rrethi trigonometrik.
Fig.5
Më pas, ne ndërtojmë një sistem rrathësh koncentrikë për argumentinX . Vizatojmë një rreth dhe e hijezojmë sipas zgjidhjes së mosbarazimit të parë, më pas vizatojmë një rreth me rreze më të madhe dhe e hijezojmë sipas zgjidhjes së të dytës, më pas ndërtojmë një rreth për mosbarazimin e tretë dhe një rreth bazë. Ne tërheqim rreze nga qendra e sistemit përmes skajeve të harqeve në mënyrë që ata të kryqëzojnë të gjithë rrathët. Ne formojmë një zgjidhje në rrethin bazë (Figura 6).
Fig.6
Përgjigje:
, 
.
konkluzioni
Të gjitha objektivat e hulumtimit të kursit u plotësuan. Materiali teorik është i sistemuar: jepen llojet kryesore të mosbarazimeve trigonometrike dhe metodat kryesore për zgjidhjen e tyre (grafike, algjebrike, metoda e intervaleve, sektorët dhe metoda e rrathëve koncentrikë). Për secilën metodë është dhënë një shembull i zgjidhjes së një pabarazie. Pjesa teorike u pasua nga pjesa praktike. Ai përmban një grup detyrash për zgjidhjen e pabarazive trigonometrike.
Kjo lëndë mund të përdoret nga studentët për punë të pavarur. Nxënësit e shkollës mund të kontrollojnë nivelin e zotërimit të kësaj teme dhe të praktikojnë kryerjen e detyrave me kompleksitet të ndryshëm.
Duke studiuar literaturën përkatëse për këtë çështje, padyshim mund të konkludojmë se aftësia dhe aftësitë për të zgjidhur pabarazitë trigonometrike në kursin shkollor të algjebrës dhe analizës elementare janë shumë të rëndësishme, zhvillimi i të cilave kërkon përpjekje të konsiderueshme nga ana e mësuesit të matematikës.
Prandaj, kjo punë do të jetë e dobishme për mësuesit e matematikës, pasi bën të mundur organizimin efektiv të trajnimit të studentëve me temën "Pabarazitë trigonometrike".
Hulumtimi mund të vazhdojë duke e zgjeruar atë në një punë përfundimtare kualifikuese.
Lista e literaturës së përdorur
Bogomolov, N.V. Koleksion problemesh në matematikë [Tekst] / N.V. Bogomolov. – M.: Bustard, 2009. – 206 f.
Vygodsky, M.Ya. Manual i matematikës elementare [Tekst] / M.Ya. Vygodsky. – M.: Bustard, 2006. – 509 f.
Zhurbenko, L.N. Matematika në shembuj dhe problema [Tekst] / L.N. Zhurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 f.
Ivanov, O.A. Matematika fillore për nxënës, studentë dhe mësues [Teksti] / O.A. Ivanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 f.
Karp, A.P. Detyrat për algjebër dhe fillimet e analizës për organizimin e përsëritjes përfundimtare dhe certifikimit në klasën 11 [Teksti] / A.P. Krap. – M.: Arsimi, 2005. – 79 f.
Kulanin, E.D. 3000 problema konkurimi në matematikë [Tekst] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 f.
Leibson, K.L. Përmbledhje detyrash praktike në matematikë [Tekst] / K.L. Leibson. – M.: Bustard, 2010. – 182 f.
Bërryl, V.V. Problemet me parametrat dhe zgjidhja e tyre. Trigonometria: ekuacionet, pabarazitë, sistemet. Klasa e 10-të [Teksti] / V.V. Bërryl. – M.: ARKTI, 2008. – 64 f.
Manova, A.N. Matematika. Mësues Express për përgatitjen për Provimin e Unifikuar të Shtetit: student. manual [Tekst] / A.N. Manovën. – Rostov-on-Don: Phoenix, 2012. – 541 f.
Mordkovich, A.G. Algjebra dhe fillimet e analizës matematikore. Klasat 10-11. Libër mësuesi për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm [Tekst] / A.G. Mordkoviç. – M.: Iris-press, 2009. – 201 f.
Novikov, A.I. Funksionet trigonometrike, ekuacionet dhe pabarazitë [Teksti] / A.I. Novikov. – M.: FIZMATLIT, 2010. – 260 f.
Oganesyan, V.A. Metodat e mësimdhënies së matematikës në shkollën e mesme: Metodologji e përgjithshme. Libër mësuesi manual për studentët e fizikës - mat. false. ped. Inst. [Tekst] / V.A. Oganesyan. – M.: Arsimi, 2006. – 368 f.
Olehnik, S.N. Ekuacionet dhe pabarazitë. Metodat jo standarde të zgjidhjes [Tekst] / S.N. Olehnik. – M.: Shtëpia Botuese Factorial, 1997. – 219 f.
Sevryukov, P.F. Ekuacionet dhe pabarazitë trigonometrike, eksponenciale dhe logaritmike [Tekst] / P.F. Sevryukov. – M.: Arsimi Publik, 2008. – 352 f.
Sergeev, I.N. Provimi i Unifikuar i Shtetit: 1000 problema me përgjigje dhe zgjidhje në matematikë. Të gjitha detyrat e grupit C [Tekst] / I.N. Sergeev. – M.: Provim, 2012. – 301 f.
Sobolev, A.B. Matematika elementare [Teksti] / A.B. Sobolev. – Ekaterinburg: Institucioni Shtetëror Arsimor i Arsimit të Lartë Profesional USTU-UPI, 2005. – 81 f.
Fenko, L.M. Metoda e intervaleve në zgjidhjen e pabarazive dhe studimin e funksioneve [Tekst] / L.M. Fenko. – M.: Bustard, 2005. – 124 f.
Friedman, L.M. Bazat teorike të metodave të mësimdhënies së matematikës [Tekst] / L.M. Friedman. – M.: Shtëpia e librit “LIBROKOM”, 2009. – 248 f.
Shtojca 1
Interpretimi grafik i zgjidhjeve të pabarazive të thjeshta
Oriz. 1
Oriz. 2
Fig.3
Fig.4
Fig.5
Fig.6
Fig.7
Fig.8
Shtojca 2
Zgjidhje për pabarazitë e thjeshta
Pabarazitë janë marrëdhënie të formës a › b, ku a dhe b janë shprehje që përmbajnë të paktën një ndryshore. Pabarazitë mund të jenë strikte - ‹, › dhe jo të rrepta - ≥, ≤.
Pabarazitë trigonometrike janë shprehje të formës: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, në të cilat F(x) përfaqësohet nga një ose më shumë funksione trigonometrike .
Një shembull i pabarazisë më të thjeshtë trigonometrike është: sin x ‹ 1/2. Është e zakonshme që problemet e tilla të zgjidhen në mënyrë grafike, për këtë janë zhvilluar dy metoda.
Metoda 1 - Zgjidhja e pabarazive duke paraqitur grafikun e një funksioni
Për të gjetur një interval që plotëson kushtet e pabarazisë sin x ‹ 1/2, duhet të kryeni hapat e mëposhtëm:
- Në boshtin e koordinatave, ndërtoni një sinusoid y = sin x.
- Në të njëjtin bosht, vizatoni një grafik të argumentit numerik të pabarazisë, d.m.th., një drejtëz që kalon nëpër pikën ½ të ordinatës OY.
- Shënoni pikat e kryqëzimit të dy grafikëve.
- Hije segmentin që është zgjidhja e shembullit.
Kur shenjat strikte janë të pranishme në një shprehje, pikat e kryqëzimit nuk janë zgjidhje. Meqenëse periudha më e vogël pozitive e një sinusoidi është 2π, ne e shkruajmë përgjigjen si më poshtë:
Nëse shenjat e shprehjes nuk janë strikte, atëherë intervali i zgjidhjes duhet të mbyllet në kllapa katrore - . Përgjigja e problemit mund të shkruhet gjithashtu si pabarazia e mëposhtme: 
Metoda 2 - Zgjidhja e inekuacioneve trigonometrike duke përdorur rrethin njësi
Probleme të ngjashme mund të zgjidhen lehtësisht duke përdorur një rreth trigonometrik. Algoritmi për gjetjen e përgjigjeve është shumë i thjeshtë:
- Së pari ju duhet të vizatoni një rreth njësi.
- Pastaj duhet të shënoni vlerën e funksionit të harkut të argumentit të anës së djathtë të pabarazisë në harkun e rrethit.
- Është e nevojshme të vizatoni një vijë të drejtë që kalon përmes vlerës së funksionit të harkut paralel me boshtin e abshisës (OX).
- Pas kësaj, gjithçka që mbetet është të zgjedhim harkun e një rrethi, i cili është grupi i zgjidhjeve të pabarazisë trigonometrike.
- Shkruani përgjigjen në formën e kërkuar.
Le të analizojmë fazat e zgjidhjes duke përdorur shembullin e pabarazisë sin x › 1/2. Pikat α dhe β janë shënuar në rreth - vlera
Pikat e harkut të vendosura sipër α dhe β janë intervali për zgjidhjen e pabarazisë së dhënë.
Nëse keni nevojë të zgjidhni një shembull për cos, atëherë harku i përgjigjes do të vendoset në mënyrë simetrike me boshtin OX, jo OY. Ju mund të merrni parasysh ndryshimin midis intervaleve të zgjidhjes për sin dhe cos në diagramet më poshtë në tekst.
Zgjidhjet grafike për pabarazitë tangjente dhe kotangjente do të ndryshojnë si nga sinusi ashtu edhe nga kosinusi. Kjo është për shkak të vetive të funksioneve.
Arktangjenti dhe arkotangjenti janë tangjente ndaj një rrethi trigonometrik, dhe periudha minimale pozitive për të dy funksionet është π. Për të përdorur shpejt dhe saktë metodën e dytë, duhet të mbani mend se në cilin bosht janë paraqitur vlerat e sin, cos, tg dhe ctg.
Tangjentja tangjente shkon paralelisht me boshtin OY. Nëse grafikojmë vlerën e arktanit a në rrethin e njësisë, atëherë pika e dytë e kërkuar do të vendoset në tremujorin diagonal. Kënde
Ato janë pika ndërprerjeje për funksionin, pasi grafiku u drejtohet atyre, por nuk i arrin kurrë.
Në rastin e kotangjentës, tangjentja shkon paralelisht me boshtin OX dhe funksioni ndërpritet në pikat π dhe 2π.
Pabarazi trigonometrike komplekse
Nëse argumenti i funksionit të pabarazisë përfaqësohet jo vetëm nga një ndryshore, por nga një shprehje e tërë që përmban një të panjohur, atëherë ne po flasim për një pabarazi komplekse. Procesi dhe procedura për zgjidhjen e tij janë disi të ndryshme nga metodat e përshkruara më sipër. Supozoni se duhet të gjejmë një zgjidhje për pabarazinë e mëposhtme:
Zgjidhja grafike përfshin ndërtimin e një sinusoidi të zakonshëm y = sin x duke përdorur vlera të zgjedhura në mënyrë arbitrare të x. Le të llogarisim një tabelë me koordinata për pikat e kontrollit të grafikut:
Rezultati duhet të jetë një kthesë e bukur.
Për ta bërë më të lehtë gjetjen e një zgjidhjeje, le të zëvendësojmë argumentin e funksionit kompleks
1. Nëse argumenti është kompleks (i ndryshëm nga X), më pas zëvendësojeni me t.
2. Ne ndërtojmë në një plan koordinativ lodër grafikët e funksioneve y=kosto Dhe y=a.
3. Të tilla gjejmë dy pikat ngjitur të kryqëzimit të grafikëve, ndërmjet të cilit ndodhet mbi drejtëzën y=a. Gjejmë abshisat e këtyre pikave.
4. Shkruani një pabarazi të dyfishtë për argumentin t, duke marrë parasysh periudhën e kosinusit ( t do të jetë midis abshisave të gjetura).
5. Bëni një zëvendësim të kundërt (kthehuni në argumentin origjinal) dhe shprehni vlerën X nga mosbarazimi i dyfishtë, përgjigjen e shkruajmë në formën e një intervali numerik.
Shembulli 1.
Më pas, sipas algoritmit, ne përcaktojmë ato vlera të argumentit t, në të cilin ndodhet sinusoidi më të larta e drejtpërdrejtë. Le t'i shkruajmë këto vlera si një pabarazi të dyfishtë, duke marrë parasysh periodicitetin e funksionit kosinus dhe më pas të kthehemi në argumentin origjinal X.
Shembulli 2.
Zgjedhja e një sërë vlerash t, në të cilën sinusoidi është mbi vijën e drejtë.
Ne i shkruajmë vlerat në formën e pabarazisë së dyfishtë t, duke plotësuar kushtin. Mos harroni se periudha më e vogël e funksionit y=kosto barazohet 2π. Kthimi te ndryshorja X, duke thjeshtuar gradualisht të gjitha pjesët e pabarazisë së dyfishtë.
Ne e shkruajmë përgjigjen në formën e një intervali numerik të mbyllur, pasi pabarazia nuk ishte e rreptë.
Shembulli 3.
Ne do të jemi të interesuar për gamën e vlerave t, në të cilën pikat e sinusoidit do të shtrihen mbi vijën e drejtë.
vlerat t shkruajeni atë në formën e një pabarazie të dyfishtë, rishkruani të njëjtat vlera për 2x dhe shprehin X. Le ta shkruajmë përgjigjen në formën e një intervali numerik.
Dhe përsëri formulë kosto>a.
Nëse kosto>a, (-1≤A≤1), atëherë - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.
Aplikoni formula për të zgjidhur pabarazitë trigonometrike dhe do të kurseni kohë në testimin e provimit.
Dhe tani formulë
, të cilin duhet ta përdorni në UNT ose Provimin e Unifikuar të Shtetit kur zgjidhni një pabarazi trigonometrike të formës kosto
Nëse kosto , (-1≤A≤1), atëherë arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.
Aplikoni këtë formulë për të zgjidhur pabarazitë e diskutuara në këtë artikull dhe do ta merrni përgjigjen shumë më shpejt dhe pa asnjë grafik!
Duke marrë parasysh periodicitetin e funksionit sinus, ne shkruajmë një pabarazi të dyfishtë për vlerat e argumentit t, duke kënaqur pabarazinë e fundit. Le të kthehemi te ndryshorja origjinale. Le të transformojmë pabarazinë e dyfishtë që rezulton dhe të shprehim ndryshoren X. Le ta shkruajmë përgjigjen në formën e një intervali.
Le të zgjidhim pabarazinë e dytë:
Kur zgjidhim pabarazinë e dytë, ne duhej të transformonim anën e majtë të kësaj pabarazie duke përdorur formulën e argumentit të dyfishtë sinus për të marrë një pabarazi të formës: sint≥a. Më pas ndoqëm algoritmin.
Ne zgjidhim pabarazinë e tretë:
Të dashur maturantë dhe aplikantë! Mbani parasysh se metodat për zgjidhjen e pabarazive trigonometrike, siç është metoda grafike e dhënë më sipër dhe, ndoshta e njohur për ju, metoda e zgjidhjes duke përdorur një rreth trigonometrik njësi (rrethi trigonometrik) janë të zbatueshme vetëm në fazat e para të studimit të seksionit të trigonometrisë. "Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike dhe pabarazive." Mendoj se do të mbani mend që fillimisht keni zgjidhur ekuacionet më të thjeshta trigonometrike duke përdorur grafikët ose një rreth. Megjithatë, tani nuk do të mendonit të zgjidhnit ekuacionet trigonometrike në këtë mënyrë. Si i zgjidhni ato? Kjo është e drejtë, sipas formulave. Pra, pabarazitë trigonometrike duhet të zgjidhen duke përdorur formula, veçanërisht gjatë testimit, kur çdo minutë është i çmuar. Pra, zgjidhni tre pabarazitë e këtij mësimi duke përdorur formulën e duhur.
Nëse sint>a, ku -1≤ a≤1, atëherë harksin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.
Mësoni formulat!
Dhe së fundi: a e dini se matematika është përkufizime, rregulla dhe FORMULA?!
Sigurisht që po! Dhe më kureshtarët, pasi kishin studiuar këtë artikull dhe kishin parë videon, bërtitën: "Sa e gjatë dhe e vështirë! A ka ndonjë formulë që ju lejon të zgjidhni pabarazi të tilla pa asnjë grafik apo rreth?” Po, sigurisht që ka!
PËR ZGJIDHJEN E PABARAZIVE TË FORMËS: mëkat (-1≤A≤1) formula është e vlefshme:
— π — harksin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.
Zbatojeni në shembujt e diskutuar dhe do ta merrni përgjigjen shumë më shpejt!
konkluzioni: MËSONI FORMULAT, MOK!
Faqja 1 nga 1 1
Gjatë mësimit praktik, ne do të përsërisim llojet kryesore të detyrave nga tema "Trigonometria", do të analizojmë gjithashtu problemet me kompleksitet të shtuar dhe do të shqyrtojmë shembuj të zgjidhjes së pabarazive të ndryshme trigonometrike dhe sistemeve të tyre.
Ky mësim do t'ju ndihmojë të përgatiteni për një nga llojet e detyrave B5, B7, C1 dhe C3.
Le të fillojmë duke shqyrtuar llojet kryesore të detyrave që trajtuam në temën "Trigonometria" dhe të zgjidhim disa probleme jo standarde.
Detyra nr. 1. Shndërroni këndet në radiane dhe gradë: a) ; b) .
a) Le të përdorim formulën për shndërrimin e shkallëve në radiane
Le të zëvendësojmë vlerën e specifikuar në të.
b) Zbatoni formulën për shndërrimin e radianeve në gradë
Le të bëjmë zëvendësimin 
.
Përgjigju. A) ; b) .
Detyra nr. 2. Njehsoni: a) ; b) .
a) Meqenëse këndi shkon shumë përtej tabelës, ne do ta zvogëlojmë atë duke zbritur periodën e sinusit. Sepse Këndi tregohet në radianë, atëherë ne do ta konsiderojmë periudhën si .
b) Në këtë rast situata është e ngjashme. Meqenëse këndi tregohet në gradë, ne do ta konsiderojmë periodën e tangjentes si .
Këndi që rezulton, megjithëse më i vogël se perioda, është më i madh, që do të thotë se nuk i referohet më pjesës kryesore, por pjesës së zgjatur të tabelës. Për të mos stërvitur përsëri kujtesën tuaj duke memorizuar tabelën e zgjeruar të vlerave të trigofunksionit, le të zbresim përsëri periudhën tangjente:
Shfrytëzuam çuditshmërinë e funksionit tangjentë.
Përgjigju. a) 1; b) .
Detyra nr. 3. Llogaritni 
, Nëse .
Le ta zvogëlojmë të gjithë shprehjen në tangjente duke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin e thyesës me . Në të njëjtën kohë, ne nuk mund të kemi frikë se, sepse në këtë rast, vlera tangjente nuk do të ekzistonte.
Detyra nr 4. Thjeshtoni shprehjen.
Shprehjet e specifikuara konvertohen duke përdorur formulat e reduktimit. Ato janë shkruar në mënyrë të pazakontë duke përdorur gradë. Shprehja e parë në përgjithësi përfaqëson një numër. Le të thjeshtojmë të gjitha trigofunksionet një nga një:
Sepse , atëherë funksioni ndryshon në një bashkëfunksion, d.m.th. në kotangjent, dhe këndi bie në tremujorin e dytë, në të cilin tangjentja origjinale ka një shenjë negative.
Për të njëjtat arsye si në shprehjen e mëparshme, funksioni ndryshon në një bashkëfunksion, d.m.th. në kotangjent, dhe këndi bie në tremujorin e parë, në të cilin tangjentja origjinale ka një shenjë pozitive.
Le të zëvendësojmë gjithçka në një shprehje të thjeshtuar:
Problemi numër 5. Thjeshtoni shprehjen.
Le të shkruajmë tangjentën e këndit të dyfishtë duke përdorur formulën e duhur dhe të thjeshtojmë shprehjen:
Identiteti i fundit është një nga formulat universale të zëvendësimit të kosinusit.
Problemi numër 6. Llogaritni.
Gjëja kryesore është të mos bëni gabimin standard dhe të mos jepni përgjigjen që shprehja është e barabartë me . Ju nuk mund të përdorni vetinë bazë të arktangjentes për sa kohë që ka një faktor në formën e dyve pranë tij. Për ta hequr qafe, shprehjen do ta shkruajmë sipas formulës për tangjenten e një këndi të dyfishtë, duke e trajtuar , si një argument të zakonshëm.
Tani mund të zbatojmë vetinë bazë të arktangjentes, mos harroni se nuk ka kufizime në rezultatin numerik.
Problemi nr. 7. Zgjidhe ekuacionin.
Kur zgjidhet një ekuacion thyesor që është i barabartë me zero, gjithmonë tregohet se numëruesi është i barabartë me zero, por emëruesi jo, sepse Ju nuk mund të pjesëtoni me zero.
Ekuacioni i parë është një rast i veçantë i ekuacionit më të thjeshtë që mund të zgjidhet duke përdorur një rreth trigonometrik. Mos harroni këtë zgjidhje vetë. Pabarazia e dytë zgjidhet si ekuacioni më i thjeshtë duke përdorur formulën e përgjithshme për rrënjët e tangjentes, por vetëm me shenjën jo të barabartë me.
Siç e shohim, një familje rrënjësh përjashton një familje tjetër të të njëjtit lloj rrënjësh që nuk plotësojnë ekuacionin. Ato. nuk ka rrënjë.
Përgjigju. Nuk ka rrënjë.
Problemi nr. 8. Zgjidhe ekuacionin.
Le të vërejmë menjëherë se mund të heqim faktorin e përbashkët dhe le ta bëjmë atë:
Ekuacioni është reduktuar në një nga format standarde, ku prodhimi i disa faktorëve është i barabartë me zero. Ne tashmë e dimë se në këtë rast, ose njëri prej tyre është i barabartë me zero, ose tjetri, ose i treti. Le ta shkruajmë këtë në formën e një grupi ekuacionesh:
Dy ekuacionet e para janë raste të veçanta të atyre më të thjeshtave që tashmë i kemi hasur shumë herë ekuacionet e ngjashme, ndaj do të tregojmë menjëherë zgjidhjet e tyre. Ne e reduktojmë ekuacionin e tretë në një funksion duke përdorur formulën e sinusit me kënd të dyfishtë.
Le të zgjidhim veçmas ekuacionin e fundit:
Ky ekuacion nuk ka rrënjë, sepse vlera sinus nuk mund të shkojë përtej 
.
Kështu, zgjidhja është vetëm dy familjet e para të rrënjëve, ato mund të kombinohen në një, gjë që është e lehtë për t'u treguar në rrethin trigonometrik;
 |
Kjo është një familje e të gjitha gjysmave, d.m.th.
Le të kalojmë në zgjidhjen e pabarazive trigonometrike. Së pari, ne do të analizojmë qasjen për zgjidhjen e shembullit pa përdorur formula për zgjidhjet e përgjithshme, por duke përdorur rrethin trigonometrik.
Problemi nr. 9. Zgjidhja e pabarazisë.
Le të vizatojmë një vijë ndihmëse në rrethin trigonometrik që korrespondon me një vlerë sinusi të barabartë me , dhe të tregojmë gamën e këndeve që plotësojnë pabarazinë.
 |
Është shumë e rëndësishme të kuptohet saktësisht se si të tregohet intervali që rezulton i këndeve, d.m.th. cili është fillimi dhe cili është fundi i tij. Fillimi i intervalit do të jetë këndi që i përgjigjet pikës që do të futemi në fillim të intervalit nëse lëvizim në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Në rastin tonë, kjo është pika që është në të majtë, sepse duke lëvizur në drejtim të kundërt dhe duke kaluar pikën e duhur, ne, përkundrazi, lëmë gamën e kërkuar të këndeve. Prandaj, pika e duhur do të korrespondojë me fundin e hendekut.
Tani duhet të kuptojmë këndet e fillimit dhe të fundit të intervalit tonë të zgjidhjeve të pabarazisë. Një gabim tipik është të tregosh menjëherë se pika e duhur korrespondon me këndin, të majtën dhe të japësh përgjigjen. Kjo nuk është e vërtetë! Ju lutemi vini re se ne sapo kemi treguar intervalin që korrespondon me pjesën e sipërme të rrethit, megjithëse ne jemi të interesuar në pjesën e poshtme, me fjalë të tjera, ne kemi përzier fillimin dhe fundin e intervalit të zgjidhjes që na nevojitet.
Në mënyrë që intervali të fillojë nga këndi i pikës së djathtë dhe të përfundojë me këndin e pikës së majtë, është e nevojshme që këndi i parë i specifikuar të jetë më i vogël se i dyti. Për ta bërë këtë, do të duhet të matim këndin e pikës së duhur në drejtimin negativ të referencës, d.m.th. në drejtim të akrepave të orës dhe do të jetë e barabartë me . Pastaj, duke filluar të lëvizim prej tij në një drejtim pozitiv në drejtim të akrepave të orës, do të arrijmë në pikën e duhur pas pikës së majtë dhe do të marrim vlerën e këndit për të. Tani fillimi i intervalit të këndeve është më i vogël se fundi, dhe ne mund të shkruajmë intervalin e zgjidhjeve pa marrë parasysh periudhën:
Duke marrë parasysh që intervale të tilla do të përsëriten një numër të pafundëm herë pas çdo numri të plotë rrotullimesh, marrim një zgjidhje të përgjithshme duke marrë parasysh periudhën e sinusit:
Vendosim kllapa sepse pabarazia është e rreptë dhe zgjedhim pikat në rreth që korrespondojnë me skajet e intervalit.
Krahasoni përgjigjen që merrni me formulën për zgjidhjen e përgjithshme që dhamë në leksion.
Përgjigju. 
.
Kjo metodë është e mirë për të kuptuar se nga vijnë formulat për zgjidhjet e përgjithshme të pabarazive më të thjeshta të trigoneve. Përveç kësaj, është e dobishme për ata që janë shumë dembel të mësojnë të gjitha këto formula të rënda. Sidoqoftë, vetë metoda nuk është gjithashtu e lehtë, zgjidhni se cila qasje ndaj zgjidhjes është më e përshtatshme për ju.
Për të zgjidhur pabarazitë trigonometrike, mund të përdorni edhe grafikët e funksioneve mbi të cilët është ndërtuar një vijë ndihmëse, e ngjashme me metodën e treguar duke përdorur një rreth njësi. Nëse jeni të interesuar, përpiquni ta kuptoni vetë këtë qasje ndaj zgjidhjes. Në vijim do të përdorim formula të përgjithshme për të zgjidhur pabarazitë e thjeshta trigonometrike.
Problemi nr. 10. Zgjidhja e pabarazisë.
Le të përdorim formulën për zgjidhjen e përgjithshme, duke marrë parasysh faktin se pabarazia nuk është e rreptë:
Në rastin tonë marrim:
Përgjigju. 
Problemi nr. 11. Zgjidhja e pabarazisë.
Le të përdorim formulën e përgjithshme të zgjidhjes për pabarazinë rreptësisht përkatëse:
Përgjigju. 
.
Problemi nr. 12. Zgjidh inekuacionet: a) ; b) .
Në këto pabarazi, nuk ka nevojë të nxitoni për të përdorur formulat për zgjidhjet e përgjithshme ose rrethin trigonometrik, mjafton thjesht të mbani mend gamën e vlerave të sinusit dhe kosinusit.
a) Që nga viti 
, atëherë pabarazia nuk ka kuptim. Prandaj nuk ka zgjidhje.
b) Sepse në mënyrë të ngjashme, sinusi i çdo argumenti gjithmonë plotëson pabarazinë e specifikuar në kusht. Prandaj, të gjitha vlerat reale të argumentit plotësojnë pabarazinë.
Përgjigju. a) nuk ka zgjidhje; b) .
Problemi 13. Zgjidhja e pabarazisë 
.
