Këndi ndërmjet planeve në formë koordinative. Këndi midis planeve

Madhësia e këndit ndërmjet dy rrafsheve të ndryshme mund të përcaktohet për çdo pozicion relativ të planeve.

Një rast i parëndësishëm nëse aeroplanët janë paralelë. Atëherë këndi ndërmjet tyre konsiderohet i barabartë me zero.

Një rast jo i parëndësishëm nëse aeroplanët kryqëzohen. Ky rast është objekt i diskutimit të mëtejshëm. Së pari na duhet koncepti i një këndi dihedral.

9.1 Këndi dihedral

Një kënd dihedral është dy gjysmërrafshe me një vijë të drejtë të përbashkët (e cila quhet skaji i këndit dihedral). Në Fig. 50 tregon një kënd dihedral të formuar nga gjysmërrafshe dhe; buza e këtij këndi dihedral është drejtëza a, e përbashkët për këto gjysmërrafshe.

Oriz. 50. Këndi dihedral

Këndi dihedral mund të matet në gradë ose radianë me një fjalë, shkruani vlerën këndore të këndit dihedral. Kjo bëhet si më poshtë.

Në buzë të këndit dihedral të formuar nga gjysmërrafshët dhe, marrim një pikë arbitrare M. Vizatojmë rrezet MA dhe MB, përkatësisht të shtrira në këto gjysmërrafshe dhe pingul me buzën (Fig. 51).

Oriz. 51. Këndi dykëndor linear

Këndi që rezulton AMB është këndi linear i këndit dihedral. Këndi " = \AMB është pikërisht vlera këndore e këndit tonë dihedral.

Përkufizimi. Madhësia këndore e një këndi dihedral është madhësia e këndit linear të një këndi të caktuar dihedral.

Të gjitha këndet lineare të një këndi dihedral janë të barabartë me njëri-tjetrin (në fund të fundit, ato merren nga njëri-tjetri nga një zhvendosje paralele). Prandaj, ky përkufizim është i saktë: vlera " nuk varet nga zgjedhja specifike e pikës M në skajin e këndit dihedral.

9.2 Përcaktimi i këndit ndërmjet planeve

Kur dy rrafshe kryqëzohen, fitohen katër kënde dihedrale. Nëse të gjithë kanë të njëjtën madhësi (90 secila), atëherë rrafshet quhen pingul; Këndi midis avionëve është atëherë 90.

Nëse jo të gjitha këndet dihedrale janë të njëjta (d.m.th. janë dy akute dhe dy të mpirë), atëherë këndi ndërmjet rrafsheve është vlera e këndit akut dihedral (Fig. 52).

Oriz. 52. Këndi ndërmjet planeve

9.3 Shembuj të zgjidhjes së problemeve

Le të shohim tre probleme. E para është e thjeshtë, e dyta dhe e treta janë afërsisht në nivelin C2 në Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë.

Problemi 1. Gjeni këndin midis dy faqeve të një katërkëndëshi të rregullt.

Zgjidhje. Le të jetë ABCD një katërkëndor i rregullt. Le të vizatojmë median AM dhe DM të faqeve përkatëse, si dhe lartësinë e katërkëndëshit DH (Fig. 53).

Oriz. 53. Në detyrën 1

Duke qenë mediana, AM dhe DM janë gjithashtu lartësi të trekëndëshave barabrinjës ABC dhe DBC. Prandaj, këndi " = \AMD është këndi linear i këndit dihedral të formuar nga faqet ABC dhe DBC. E gjejmë nga trekëndëshi DHM:

Përgjigje: arccos 1 3 .

Problemi 2. Në një piramidë të rregullt katërkëndore SABCD (me kulm S), buza anësore është e barabartë me anën e bazës. Pika K është mesi i skajit SA. Gjeni këndin midis planeve

Zgjidhje. Drejtëza BC është paralele me AD dhe kështu paralele me planin ADS. Prandaj, rrafshi KBC kryqëzon rrafshin ADS përgjatë vijës së drejtë KL paralel me BC (Fig. 54).

Oriz. 54. Në detyrën 2

Në këtë rast, KL do të jetë gjithashtu paralel me vijën AD; prandaj, KL është mesi i trekëndëshit ADS, dhe pika L është mesi i DS.

Le të gjejmë lartësinë e piramidës SO. Le të jetë N mesi i DO. Atëherë LN është vija e mesme e trekëndëshit DOS, dhe për rrjedhojë LN k SO. Kjo do të thotë se LN është pingul me planin ABC.

Nga pika N e ulim NM pingul në drejtëzën BC. Vija e drejtë NM do të jetë projeksioni i LM-së së pjerrët në rrafshin ABC. Nga teorema tre pingule rrjedh se LM është gjithashtu pingul me BC.

Kështu, këndi " = \LMN është këndi linear i këndit dihedral të formuar nga gjysmërrafshet KBC dhe ABC. Këtë kënd do ta kërkojmë nga trekëndëshi kënddrejtë LMN.

Lëreni skajin e piramidës të jetë i barabartë me a. Së pari gjejmë lartësinë e piramidës:

Zgjidhje. Le të jetë L pika e kryqëzimit të drejtëzave A1 K dhe AB. Pastaj rrafshi A1 KC pret rrafshin ABC përgjatë vijës së drejtë CL (Fig.55).

A C

Oriz. 55. Tek problemi 3

Trekëndëshat A1 B1 K dhe KBL janë të barabartë në këmbë dhe kënd akut. Prandaj, këmbët e tjera janë të barabarta: A1 B1 = BL.

Konsideroni trekëndëshin ACL. Në të BA = BC = BL. Këndi CBL është 120; prandaj, \BCL = 30 . Gjithashtu, \BCA = 60 . Prandaj \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Pra, LC? AC. Por linja AC shërben si një projeksion i linjës A1 C në rrafshin ABC. Nga teorema e tre pingulave arrijmë në përfundimin se LC ? A1 C.

Kështu, këndi A1 CA është këndi linear i këndit dihedral të formuar nga gjysmërrafshët A1 KC dhe ABC. Ky është këndi i dëshiruar. Nga trekëndëshi kënddrejtë dykëndësh A1 AC shohim se është i barabartë me 45.

Ky artikull ka të bëjë me këndin midis avionëve dhe si ta gjeni atë. Së pari jepet përkufizimi i këndit ndërmjet dy rrafsheve dhe jepet një ilustrim grafik. Pas kësaj, analizohet parimi i gjetjes së këndit midis dy planeve kryqëzuese duke përdorur metodën e koordinatave dhe merret një formulë që ju lejon të llogaritni këndin midis planeve kryqëzuese duke përdorur koordinatat e njohura të vektorëve normalë të këtyre planeve. Në përfundim, tregohen zgjidhje të detajuara për problemet tipike.

Navigimi i faqes.

Këndi ndërmjet planeve - përkufizim.

Le të paraqesim argumente që do të na lejojnë t'i qasemi gradualisht përcaktimit të këndit midis dy rrafsheve të kryqëzuara.

Le të na jepen dy aeroplanë kryqëzues dhe . Këta rrafshe priten përgjatë një vije të drejtë, të cilën e shënojmë me shkronjën c. Të ndërtojmë një rrafsh që kalon nga pika M e drejtëzës c dhe pingul me drejtëzën c. Në këtë rast, avioni do të kryqëzojë aeroplanët dhe. Le të shënojmë drejtëzën përgjatë së cilës rrafshet kryqëzohen si a dhe drejtëzën përgjatë së cilës rrafshet kryqëzohen si b. Natyrisht, drejtëzat a dhe b kryqëzohen në pikën M.

Është e lehtë të tregohet se këndi ndërmjet drejtëzave të kryqëzuara a dhe b nuk varet nga vendndodhja e pikës M në drejtëzën c nëpër të cilën kalon rrafshi.

Të ndërtojmë një rrafsh pingul me drejtëzën c dhe të ndryshëm nga rrafshi. Aeroplani është i prerë me rrafshe dhe përgjatë vijave të drejta, të cilat i shënojmë përkatësisht si 1 dhe b 1.

Nga metoda e ndërtimit të planeve del se drejtëzat a dhe b janë pingul me drejtëzën c, dhe drejtëzat a 1 dhe b 1 janë pingul me drejtëzën c. Meqenëse drejtëzat a dhe a 1 shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe janë pingul me drejtëzën c, atëherë ato janë paralele. Në mënyrë të ngjashme, drejtëzat b dhe b 1 shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe janë pingul me drejtëzën c, prandaj, ato janë paralele. Kështu, është e mundur të kryhet një transferim paralel i rrafshit në rrafsh, në të cilin drejtëza a 1 përkon me drejtëzën a dhe drejtëza b me drejtëzën b 1. Prandaj, këndi ndërmjet dy drejtëzave të kryqëzuara a 1 dhe b 1 është i barabartë me këndin ndërmjet drejtëzave të kryqëzuara a dhe b.

Kjo dëshmon se këndi ndërmjet drejtëzave a dhe b prerëse që shtrihen në rrafshe të kryqëzuara dhe nuk varet nga zgjedhja e pikës M nëpër të cilën kalon rrafshi. Prandaj, është logjike të merret ky kënd si kënd midis dy rrafsheve të kryqëzuara.

Tani mund të shprehni përkufizimin e këndit midis dy rrafsheve të kryqëzuara dhe.

Përkufizimi.

Këndi ndërmjet dy rrafsheve që kryqëzohen në vijë të drejtë dhe- ky është këndi ndërmjet dy drejtëzave a dhe b prerëse, përgjatë të cilave rrafshet dhe priten me rrafshin pingul me drejtëzën c.

Përkufizimi i këndit midis dy planeve mund të jepet pak më ndryshe. Nëse në vijën e drejtë c përgjatë së cilës rrafshet dhe kryqëzohen, shënoni një pikë M dhe vizatoni drejtëza a dhe b përmes saj, pingul me drejtëzën c dhe shtrirë në rrafshe dhe, përkatësisht, atëherë këndi midis drejtëzave a. dhe b është këndi ndërmjet rrafsheve dhe. Zakonisht në praktikë, vetëm ndërtime të tilla kryhen për të marrë këndin midis planeve.

Meqenëse këndi ndërmjet vijave kryqëzuese nuk e kalon , nga përkufizimi i deklaruar rrjedh se masa e shkallës së këndit ndërmjet dy rrafsheve të kryqëzuara shprehet me një numër real nga intervali. Në këtë rast quhen rrafshe të kryqëzuara pingul, nëse këndi ndërmjet tyre është nëntëdhjetë gradë. Këndi ndërmjet planeve paralele ose nuk përcaktohet fare ose konsiderohet i barabartë me zero.

Gjetja e këndit ndërmjet dy rrafsheve të kryqëzuara.

Zakonisht, kur gjeni një kënd midis dy rrafsheve të kryqëzuara, së pari duhet të kryeni ndërtime shtesë për të parë drejtëzat që kryqëzohen, këndi midis të cilave është i barabartë me këndin e dëshiruar, dhe më pas ta lidhni këtë kënd me të dhënat origjinale duke përdorur teste barazie, ngjashmëri. testet, teorema e kosinusit ose përkufizimet e sinusit, kosinusit dhe tangjentes së këndit. Në një kurs gjeometrie të shkollës së mesme, shfaqen probleme të ngjashme.

Si shembull, le të japim zgjidhjen e problemit C2 nga Provimi i Unifikuar i Shtetit në Matematikë për vitin 2012 (kushti është ndryshuar qëllimisht, por kjo nuk cenon parimin e zgjidhjes). Në të, thjesht duhej të gjeje këndin midis dy rrafsheve të kryqëzuara.

Shembull.

Zgjidhje.

Së pari, le të bëjmë një vizatim.

Le të bëjmë ndërtime shtesë për të "parë" këndin midis aeroplanëve.

Së pari, le të përcaktojmë një vijë të drejtë përgjatë së cilës kryqëzohen aeroplanët ABC dhe BED 1. Pika B është një nga pikat e tyre të përbashkëta. Le të gjejmë pikën e dytë të përbashkët të këtyre planeve. Drejtëzat DA dhe D 1 E shtrihen në të njëjtin rrafsh ADD 1, dhe ato nuk janë paralele dhe për këtë arsye priten. Nga ana tjetër, drejtëza DA shtrihet në rrafshin ABC, dhe vija D 1 E shtrihet në rrafshin BED 1, prandaj, pika e kryqëzimit të linjave DA dhe D 1 E do të jetë pika e përbashkët e planeve ABC dhe BED 1. Pra, le të vazhdojmë linjat DA dhe D 1 E në kryqëzimin e tyre, duke treguar pikën e kryqëzimit të tyre me shkronjën F. Atëherë BF është vija e drejtë përgjatë së cilës kryqëzohen aeroplanët ABC dhe BED 1.

Mbetet të ndërtohen dy linja të shtrira në aeroplanët ABC dhe BED 1, përkatësisht, duke kaluar nëpër një pikë në vijën BF dhe pingul me vijën BF - këndi midis këtyre vijave, sipas përcaktimit, do të jetë i barabartë me këndin e dëshiruar midis aeroplanët ABC dhe BED 1. Le ta bëjmë këtë.

Pika A është projeksioni i pikës E në rrafshin ABC. Le të vizatojmë një vijë të drejtë që kryqëzon drejtëzën BF në kënde të drejta në pikën M. Atëherë drejtëza AM është projeksioni i drejtëzës EM në rrafshin ABC dhe nga teorema e tre pingulave.

Kështu, këndi i kërkuar ndërmjet planeve ABC dhe BED 1 është i barabartë me .

Ne mund të përcaktojmë sinusin, kosinusin ose tangjentën e këtij këndi (dhe rrjedhimisht edhe vetë këndin) nga trekëndëshi kënddrejtë AEM nëse i dimë gjatësitë e dy brinjëve të tij. Nga kushti është e lehtë të gjesh gjatësinë AE: pasi pika E ndan anën AA 1 në raportin 4 me 3, duke llogaritur nga pika A, dhe gjatësia e anës AA 1 është 7, atëherë AE = 4. Le të gjejmë gjatësinë AM.

Për ta bërë këtë, merrni parasysh një trekëndësh kënddrejtë ABF me kënd të drejtë A, ku AM është lartësia. Sipas kushtit AB = 2. Mund ta gjejmë gjatësinë e anës AF nga ngjashmëria e trekëndëshave kënddrejtë DD 1 F dhe AEF:

Duke përdorur teoremën e Pitagorës, gjejmë nga trekëndëshi ABF. Gjejmë gjatësinë AM përmes zonës së trekëndëshit ABF: nga njëra anë sipërfaqja e trekëndëshit ABF është e barabartë me , në anën tjetër , ku .

Kështu, nga trekëndëshi kënddrejtë AEM kemi .

Atëherë këndi i kërkuar midis planeve ABC dhe BED 1 është i barabartë (vini re se ).

Përgjigje:

Në disa raste, për të gjetur këndin midis dy planeve kryqëzuese, është e përshtatshme të vendosni Oxyz dhe të përdorni metodën e koordinatave. Le të ndalemi këtu.

Le të vendosim detyrën: të gjejmë këndin midis dy rrafsheve të kryqëzuara dhe . Le të shënojmë këndin e dëshiruar si .

Do të supozojmë se në një sistem të caktuar koordinativ drejtkëndor Oxyz ne i dimë koordinatat e vektorëve normalë të planeve të kryqëzuara dhe ose kemi mundësi t'i gjejmë ato. Le është vektori normal i rrafshit, dhe është vektori normal i rrafshit. Do të tregojmë se si të gjejmë këndin ndërmjet planeve të kryqëzuara dhe përmes koordinatave të vektorëve normalë të këtyre planeve.

Le të shënojmë drejtëzën përgjatë së cilës rrafshet dhe kryqëzohen si c. Nëpër pikën M në drejtëzën c vizatojmë një rrafsh pingul me drejtëzën c. Plani kryqëzon rrafshet dhe përgjatë drejtëzave a dhe b, respektivisht, drejtëzat a dhe b kryqëzohen në pikën M. Sipas përkufizimit, këndi ndërmjet rrafsheve të kryqëzuara dhe është i barabartë me këndin ndërmjet drejtëzave të kryqëzuara a dhe b.

Le të vizatojmë vektorët dhe rrafshet normale dhe nga pika M në rrafsh. Në këtë rast, vektori shtrihet në një drejtëz që është pingul me drejtëzën a dhe vektori shtrihet në një drejtëz që është pingul me drejtëzën b. Kështu, në rrafsh vektori është vektori normal i drejtëzës a, është vektori normal i drejtëzës b.

Në artikullin për gjetjen e këndit midis vijave kryqëzuese, morëm një formulë që na lejon të llogarisim kosinusin e këndit midis vijave kryqëzuese duke përdorur koordinatat e vektorëve normalë. Kështu, kosinusi i këndit midis drejtëzave a dhe b, dhe, rrjedhimisht, kosinusi i këndit ndërmjet planeve të kryqëzuara dhe gjendet me formulën, ku Dhe janë vektorët normalë të planeve dhe, përkatësisht. Pastaj llogaritet si .

Le të zgjidhim shembullin e mëparshëm duke përdorur metodën e koordinatave.

Shembull.

Jepet një paralelipiped drejtkëndor ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, në të cilin AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 dhe pika E ndan anën AA 1 në raportin 4 me 3, duke numëruar nga pika A. Gjeni këndin midis planeve ABC dhe BED 1.

Zgjidhje.

Meqenëse anët e një paralelipipedi drejtkëndor në një kulm janë pingul në çifte, është e përshtatshme të prezantohet një sistem koordinativ drejtkëndor Oxyz si më poshtë: rreshtoni fillimin me kulmin C dhe drejtoni boshtet e koordinatave Ox, Oy dhe Oz përgjatë anëve CD. , CB dhe CC 1, përkatësisht.

Këndi ndërmjet planeve ABC dhe BED 1 mund të gjendet përmes koordinatave të vektorëve normalë të këtyre planeve duke përdorur formulën , ku dhe janë vektorët normalë të planeve ABC dhe BED 1, respektivisht. Le të përcaktojmë koordinatat e vektorëve normalë.

Artikulli flet për gjetjen e këndit midis avionëve. Pas dhënies së përkufizimit, ne do të japim një ilustrim grafik dhe do të shqyrtojmë një metodë të detajuar të gjetjes së koordinatave duke përdorur metodën. Ne marrim një formulë për rrafshet kryqëzuese, e cila përfshin koordinatat e vektorëve normalë.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Materiali do të përdorë të dhëna dhe koncepte që janë studiuar më parë në artikuj rreth planit dhe vijës në hapësirë. Së pari, është e nevojshme të kalojmë në arsyetimin që na lejon të kemi një qasje të caktuar për përcaktimin e këndit midis dy rrafsheve të kryqëzuara.

Janë dhënë dy plane të kryqëzuara γ 1 dhe γ 2. Kryqëzimi i tyre do të marrë emërtimin c. Ndërtimi i rrafshit χ shoqërohet me kryqëzimin e këtyre planeve. Rrafshi χ kalon në pikën M si drejtëz c. Prerja e rrafsheve γ 1 dhe γ 2 do të bëhet duke përdorur rrafshin χ. Emërtimin e drejtëzës që pret γ 1 dhe χ e marrim si drejtëzën a, dhe që pret γ 2 dhe χ si drejtëzën b. Gjejmë se kryqëzimi i drejtëzave a dhe b jep pikën M.

Vendndodhja e pikës M nuk ndikon në këndin ndërmjet drejtëzave të kryqëzuara a dhe b, dhe pika M ndodhet në drejtëzën c nëpër të cilën kalon rrafshi χ.

Është e nevojshme të ndërtohet një rrafsh χ 1 pingul me drejtëzën c dhe i ndryshëm nga rrafshi χ. Kryqëzimi i rrafsheve γ 1 dhe γ 2 me ndihmën e χ 1 do të marrë emërtimin e drejtëzave a 1 dhe b 1.

Mund të shihet se kur ndërtohen χ dhe χ 1, drejtëzat a dhe b janë pingul me drejtëzën c, atëherë a 1, b 1 janë të vendosura pingul me drejtëzën c. Gjetja e drejtëzave a dhe a 1 në rrafshin γ 1 me pingul në drejtëzën c, atëherë ato mund të konsiderohen paralele. Në të njëjtën mënyrë, vendndodhja e b dhe b 1 në rrafshin γ 2 me pingul në drejtëzën c tregon paralelizmin e tyre. Kjo do të thotë se është e nevojshme të bëhet një transferim paralel i rrafshit χ 1 në χ, ku marrim dy drejtëza që përkojnë a dhe a 1, b dhe b 1. Konstatojmë se këndi ndërmjet drejtëzave a dhe b 1 prerëse është i barabartë me këndin e drejtëzave a dhe b prerëse.

Le të shohim figurën më poshtë.

Ky pohim vërtetohet me faktin se midis drejtëzave a dhe b prerëse ekziston një kënd që nuk varet nga vendndodhja e pikës M, domethënë nga pika e kryqëzimit. Këto linja janë të vendosura në rrafshet γ 1 dhe γ 2. Në fakt, këndi që rezulton mund të konsiderohet këndi midis dy rrafsheve të kryqëzuara.

Le të kalojmë në përcaktimin e këndit midis planeve ekzistuese kryqëzuese γ 1 dhe γ 2.

Përkufizimi 1

Këndi ndërmjet dy rrafsheve të kryqëzuara γ 1 dhe γ 2 quhet këndi i formuar nga kryqëzimi i drejtëzave a dhe b, ku rrafshet γ 1 dhe γ 2 priten me rrafshin χ pingul me drejtëzën c.

Konsideroni figurën më poshtë.

Vendimi mund të paraqitet në një formë tjetër. Kur rrafshet γ 1 dhe γ 2 priten, ku c është drejtëza në të cilën ata kryqëzohen, shënoni një pikë M përmes së cilës vizatoni drejtëzat a dhe b pingul me drejtëzën c dhe shtrihen në rrafshet γ 1 dhe γ 2, atëherë këndi ndërmjet drejtëzat a dhe b do të jenë këndi ndërmjet rrafsheve. Në praktikë, kjo është e zbatueshme për ndërtimin e këndit midis planeve.

Kur kryqëzohen, formohet një kënd me vlerë më të vogël se 90 gradë, domethënë, masa e shkallës së këndit është e vlefshme në një interval të këtij lloji (0, 90]. Në të njëjtën kohë, këto plane quhen pingul nëse në kryqëzim formohet një kënd i drejtë. Këndi ndërmjet rrafsheve paralele konsiderohet i barabartë me zero.

Mënyra e zakonshme për të gjetur këndin midis planeve të kryqëzuara është të kryhen ndërtime shtesë. Kjo ndihmon për ta përcaktuar atë me saktësi, dhe kjo mund të bëhet duke përdorur shenjat e barazisë ose ngjashmërisë së një trekëndëshi, sinusi dhe kosinusi i një këndi.

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e problemeve duke përdorur një shembull nga problemet e Provimit të Bashkuar të Shtetit të bllokut C 2.

Shembulli 1

Jepet një paralelipiped drejtkëndor A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, ku brinja A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, pika E ndan anën A A 1 në raportin 4: 3. Gjeni këndin midis rrafsheve A B C dhe B E D 1.

Zgjidhje

Për qartësi, është e nevojshme të bëni një vizatim. Ne e kuptojmë atë

Një paraqitje vizuale është e nevojshme për ta bërë më të përshtatshëm punën me këndin midis planeve.

Përcaktojmë vijën e drejtë përgjatë së cilës ndodh kryqëzimi i planeve A B C dhe B E D 1. Pika B është një pikë e zakonshme. Duhet gjetur një pikë tjetër e përbashkët kryqëzimi. Le të shqyrtojmë drejtëzat D A dhe D 1 E, të cilat ndodhen në të njëjtin rrafsh A D D 1. Vendndodhja e tyre nuk tregon paralelizëm, kjo do të thotë se ata kanë një pikë të përbashkët kryqëzimi.

Sidoqoftë, vija e drejtë D A ndodhet në rrafshin A B C dhe D 1 E në B E D 1. Nga kjo marrim se vijat e drejta D A Dhe D 1 E kanë një pikë të përbashkët kryqëzimi, e cila është e zakonshme për aeroplanët A B C dhe B E D 1. Tregon pikën e kryqëzimit të vijave D A dhe D 1 E shkronja F. Nga kjo marrim se B F është drejtëza përgjatë së cilës kryqëzohen rrafshet A B C dhe B E D 1.

Le të shohim figurën më poshtë.

Për të marrë përgjigjen, është e nevojshme të ndërtohen drejtëza të vendosura në rrafshet A B C dhe B E D 1 që kalojnë nëpër një pikë të vendosur në drejtëzën B F dhe pingul me të. Pastaj këndi që rezulton midis këtyre vijave të drejta konsiderohet këndi i dëshiruar midis planeve A B C dhe B E D 1.

Nga kjo mund të shohim se pika A është projeksioni i pikës E në rrafshin A B C. Është e nevojshme të vizatoni një vijë të drejtë që kryqëzon drejtëzën B F në një kënd të drejtë në pikën M. Mund të shihet se drejtëza A M është projeksioni të drejtëzës E M në rrafshin A B C, bazuar në teoremën rreth atyre pingulave A M ⊥ B F . Konsideroni foton më poshtë.

∠ A M E është këndi i dëshiruar i formuar nga rrafshet A B C dhe B E D 1. Nga trekëndëshi rezultues A E M mund të gjejmë sinusin, kosinusin ose tangjenten e këndit dhe më pas vetë këndin, vetëm nëse dihen dy brinjët e tij. Me kusht kemi që gjatësia A E të gjendet në këtë mënyrë: drejtëza A A 1 pjesëtohet me pikën E në raport 4:3, që do të thotë gjatësia e përgjithshme e drejtëzës është 7 pjesë, pastaj A E = 4 pjesë. Ne gjejmë A M.

Është e nevojshme të merret në konsideratë një trekëndësh kënddrejtë A B F. Kemi një kënd të drejtë A me lartësi A M. Nga kushti A B = 2, atëherë mund të gjejmë gjatësinë A F me ngjashmërinë e trekëndëshave D D 1 F dhe A E F. Marrim se A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Është e nevojshme të gjendet gjatësia e brinjës B F të trekëndëshit A B F duke përdorur teoremën e Pitagorës. Marrim se B F  = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Gjatësia e brinjës A M gjendet përmes sipërfaqes së trekëndëshit A B F. Kemi që zona mund të jetë e barabartë me të dy S A B C = 1 2 · A B · A F dhe S A B C = 1 2 · B F · A M .

Marrim se A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Atëherë mund të gjejmë vlerën e tangjentes së këndit të trekëndëshit A E M. Marrim:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Këndi i dëshiruar i marrë nga kryqëzimi i rrafsheve A B C dhe B E D 1 është i barabartë me një rc t g 5, pastaj me thjeshtim marrim një rc t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6.

Përgjigje: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Disa raste të gjetjes së këndit ndërmjet drejtëzave të kryqëzuara specifikohen duke përdorur planin koordinativ O x y z dhe metodën e koordinatave. Le të hedhim një vështrim më të afërt.

Nëse jepet një problem ku është e nevojshme të gjendet këndi midis planeve të kryqëzuara γ 1 dhe γ 2, ne e shënojmë këndin e dëshiruar si α.

Atëherë sistemi i koordinatave të dhëna tregon se kemi koordinatat e vektorëve normalë të rrafsheve të kryqëzuara γ 1 dhe γ 2. Pastaj shënojmë se n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z është vektori normal i rrafshit γ 1, dhe n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - për rrafshi γ 2. Le të shqyrtojmë përcaktimin e detajuar të këndit të vendosur ndërmjet këtyre planeve sipas koordinatave të vektorëve.

Është e nevojshme të caktohet vija e drejtë përgjatë së cilës aeroplanët γ 1 dhe γ 2 kryqëzohen me shkronjën c. Në drejtëzën c kemi një pikë M nëpër të cilën vizatojmë një rrafsh χ pingul me c. Rrafshi χ përgjatë drejtëzave a dhe b pret rrafshet γ 1 dhe γ 2 në pikën M. nga përkufizimi del se këndi ndërmjet rrafsheve prerëse γ 1 dhe γ 2 është i barabartë me këndin e drejtëzave prerëse a dhe b që u përkasin përkatësisht këtyre rrafsheve.

Në rrafshin χ vizatojmë vektorë normalë nga pika M dhe i shënojmë n 1 → dhe n 2 → . Vektori n 1 → ndodhet në një drejtëz pingul me drejtëzën a, dhe vektori n 2 → ndodhet në një drejtëz pingul me drejtëzën b. Nga këtu marrim se rrafshi i dhënë χ ka një vektor normal të drejtëzës a, të barabartë me n 1 → dhe për drejtëzën b, të barabartë me n 2 →. Konsideroni figurën më poshtë.

Nga këtu marrim një formulë me të cilën mund të llogarisim sinusin e këndit të drejtëzave të kryqëzuara duke përdorur koordinatat e vektorëve. Ne zbuluam se kosinusi i këndit midis drejtëzave a dhe b është i njëjtë me kosinusin midis planeve kryqëzuese γ 1 dhe γ 2 rrjedh nga formula cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, ku kemi se n 1 → = ( n 1 x , n 1 y , n 1 z) dhe n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) janë koordinatat e vektorëve të planeve të paraqitura.

Këndi midis vijave të kryqëzuara llogaritet duke përdorur formulën

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Shembulli 2

Sipas kushtit jepet paralelepipedi A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. , ku A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, dhe pika E ndan anën A A 1 4: 3. Gjeni këndin midis planeve A B C dhe B E D 1.

Zgjidhje

Nga kushti është e qartë se anët e tij janë pingul në çift. Kjo do të thotë se është e nevojshme të futet një sistem koordinativ O x y z me kulmin në pikën C dhe boshtet e koordinatave O x, O y, O z. Është e nevojshme të vendosni drejtimin në anët e duhura. Konsideroni figurën më poshtë.

Planet kryqëzuese A B C Dhe B E D 1 formoni një kënd që mund të gjendet me formulën α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, në të cilin n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) dhe n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z ) janë vektorë normalë të këta avionë. Është e nevojshme të përcaktohen koordinatat. Nga figura shohim se boshti i koordinatave O x y përkon me rrafshin A B C, kjo do të thotë se koordinatat e vektorit normal k → janë të barabarta me vlerën n 1 → = k → = (0, 0, 1).

Vektori normal i rrafshit B E D 1 merret si prodhim vektorial B E → dhe B D 1 →, ku koordinatat e tyre gjenden nga koordinatat e pikave ekstreme B, E, D 1, të cilat përcaktohen në bazë të kushteve të problem.

Marrim se B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7). Sepse A E E A 1 = 4 3, nga koordinatat e pikave A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 gjejmë E 2, 3, 4. Gjejmë se B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Është e nevojshme të zëvendësohen koordinatat e gjetura në formulën për llogaritjen e këndit përmes kosinusit të harkut. marrim

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Metoda e koordinatave jep një rezultat të ngjashëm.

Përgjigje: a r c cos 6 6 .

Problemi përfundimtar është konsideruar me qëllimin e gjetjes së këndit midis planeve të kryqëzuara duke pasur parasysh ekuacionet ekzistuese të njohura të planeve.

Shembulli 3

Njehsoni sinusin, kosinusin e këndit dhe vlerën e këndit të formuar nga dy drejtëza të kryqëzuara, të cilat përcaktohen në sistemin koordinativ O x y z dhe jepen me ekuacionet 2 x - 4 y + z + 1 = 0 dhe 3 y - z. - 1 = 0.

Zgjidhje

Gjatë studimit të temës së ekuacionit të përgjithshëm drejtvizor të formës A x + B y + C z + D = 0, u zbulua se A, B, C janë koeficientë të barabartë me koordinatat e vektorit normal. Kjo do të thotë se n 1 → = 2, - 4, 1 dhe n 2 → = 0, 3, - 1 janë vektorë normalë të vijave të dhëna.

Është e nevojshme të zëvendësohen koordinatat e vektorëve normalë të planeve në formulën për llogaritjen e këndit të dëshiruar të planeve të kryqëzimit. Atëherë e marrim atë

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Nga këtu kemi se kosinusi i këndit merr formën cos α = 13 210. Atëherë këndi i vijave të kryqëzuara nuk është i mpirë. Duke zëvendësuar identitetin trigonometrik, gjejmë se vlera e sinusit të këndit është e barabartë me shprehjen. Le ta llogarisim dhe ta gjejmë atë

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13,210 = 41,210

Përgjigje: sin α = 41,210, cos α = 13,210, α = a r c cos 13,210 = a r c sin 41,210.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Qëllimet:

• të zhvillojë aftësinë për të shqyrtuar qasje të ndryshme për zgjidhjen e problemeve dhe të analizojë "efektin" e përdorimit të këtyre metodave të zgjidhjes;
• të zhvillojë aftësinë e studentit për të zgjedhur një metodë për zgjidhjen e një problemi në përputhje me preferencat e tij matematikore, bazuar në njohuri më solide dhe aftësi të sigurta;
• të zhvillojë aftësinë për të hartuar një plan të fazave të njëpasnjëshme për të arritur rezultate;
• të zhvillojë aftësinë për të justifikuar të gjitha hapat dhe llogaritjet e ndërmarra;
• të përsërisë dhe të konsolidojë tema dhe çështje të ndryshme të stereometrisë dhe planimetrisë, struktura tipike stereometrike që lidhen me zgjidhjen e problemeve aktuale;
• zhvillojnë të menduarit hapësinor.

• analiza e metodave të ndryshme për zgjidhjen e problemës: metoda koordinative-vektoriale, zbatimi i teoremës së kosinusit, zbatimi i teoremës së tre pingulave;
• krahasimi i avantazheve dhe disavantazheve të secilës metodë;
• përsëritja e vetive të një kubi, prizmi trekëndor, gjashtëkëndëshi i rregullt;
• përgatitjen për dhënien e Provimit të Unifikuar të Shtetit;
• zhvillimi i pavarësisë në vendimmarrje.

Skica e mësimit

Në një kub ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 me buzë 1 pikë O – qendra e fytyrës ABCD.

a) këndi ndërmjet vijave të drejta A 1 D Dhe B.O.;

b) largësia nga pika B deri në mes të segmentit A 1 D.

Zgjidhja për pikën a).

Le ta vendosim kubin tonë në një sistem koordinativ drejtkëndor siç tregohet në figurë, kulmet A 1 (1; 0; 1), D (1; 1; 0), B 1 (0; 0; 1), O (½; ½; 0).

Vektorët e drejtimit të drejtëzave A 1 D Dhe B 1 O:

(0; 1; -1) dhe (½; ½; -1);

gjejmë këndin e dëshiruar φ ndërmjet tyre duke përdorur formulën:

cos∠φ = ,
prej nga ∠φ = 30°.

Metoda 2. Ne përdorim teoremën e kosinusit.

1) Le të vizatojmë një vijë të drejtë B 1 C paralel me vijën A 1 D. Këndi CB 1 O do të jetë ajo që ju kërkoni.

2) Nga një trekëndësh kënddrejtë BB 1 O sipas teoremës së Pitagorës:

3) Nga teorema e kosinuseve nga një trekëndësh CB 1 O llogarit këndin CB 1 O:

cos CB 1 O = , këndi i kërkuar është 30°.

Komentoni. Kur e zgjidhni problemin në mënyrën e dytë, mund të vëreni se sipas teoremës së tre pingulave COB 1 = 90°, pra nga drejtkëndëshi ∆ CB 1 OËshtë gjithashtu e lehtë për të llogaritur kosinusin e këndit të dëshiruar.

Zgjidhja e pikës b).

1 mënyrë. Le të përdorim formulën për distancën midis dy pikave

Lëreni pikën E– mes A 1 D, pastaj koordinatat E (1; 1/2; ½), B (0; 0; 0).

BE = .

Metoda 2. Sipas teoremës së Pitagorës

Nga drejtkëndëshi ∆ B.A.E. me direkt B.A.E. gjejmë BËHET = .

Në një prizëm të rregullt trekëndor ABCA 1 B 1 C 1 të gjitha skajet janë të barabarta a. Gjeni këndin midis vijave AB Dhe A 1 C.

1 mënyrë. Metoda e vektorit të koordinatave

Koordinatat e kulmeve të prizmit në një sistem drejtkëndor kur prizmi pozicionohet si në figurë: A (0; 0; 0), B (a; ; 0), A 1 (0; 0; a), C (0; a; 0).

Vektorët e drejtimit të drejtëzave A 1 C Dhe AB:

(0; a; -a) Dhe (a; ; 0} ;

cos φ = ;

Metoda 2. Ne përdorim teoremën e kosinusit

Ne konsiderojmë ∆ A 1 B 1 C, në të cilën A 1 B 1 || AB. ne kemi

cos φ = .

(Nga koleksioni i Provimit të Unifikuar të Shtetit 2012. Matematika: opsionet standarde të provimit redaktuar nga A.L. Semenov, I.V. Yashchenko)

Në një prizëm të rregullt gjashtëkëndor ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, të gjitha skajet e së cilës janë të barabarta me 1, gjeni distancën nga pika E në një vijë të drejtë B 1 C 1.

1 mënyrë. Metoda e vektorit të koordinatave

1) Vendosni prizmin në një sistem koordinativ drejtkëndor, duke vendosur boshtet e koordinatave siç tregohet në figurë. SS 1, NE Dhe SE janë pingul në çifte, kështu që ju mund të drejtoni boshtet e koordinatave përgjatë tyre. Ne marrim koordinatat:

C 1 (0; 0; 1), E (; 0; 0), B 1 (0; 1; 1).

2) Gjeni koordinatat e vektorëve të drejtimit për vijat Nga 1 në 1 Dhe C 1 E:

(0;1;0), (;0;-1).

3) Gjeni kosinusin e këndit ndërmjet Nga 1 në 1 Dhe C 1 E, duke përdorur produktin skalar të vektorëve dhe :

cos β = = 0 => β = 90° => C 1 E – distanca e kërkuar.

4)C 1 E = = 2.

Përfundim: njohja e qasjeve të ndryshme për zgjidhjen e problemeve stereometrike ju lejon të zgjidhni metodën që është e preferueshme për çdo student, d.m.th. ai që studenti e zotëron me besim, ndihmon në shmangien e gabimeve, çon në zgjidhjen e suksesshme të problemit dhe marrjen e një rezultati të mirë në provim. Metoda e koordinatave ka një avantazh ndaj metodave të tjera në atë që kërkon më pak konsiderata dhe vizion stereometrik dhe bazohet në përdorimin e formulave që kanë shumë analogji planimetrike dhe algjebrike që janë më të njohura për studentët.

Forma e mësimit është një ndërthurje e shpjegimit të mësuesit me punën kolektive ballore të nxënësve.

Polyedrat në fjalë shfaqen në ekran duke përdorur një videoprojektor, i cili ju lejon të krahasoni metoda të ndryshme zgjidhjeje.

Detyrë shtëpie: zgjidh problemin 3 në një mënyrë tjetër, për shembull duke përdorur teoremën tre pingule .

Letërsia

1. Ershova A.P., Goloborodko V.V. Punë e pavarur dhe testuese për gjeometrinë për klasën 11. – M.: ILEKSA, – 2010. – 208 f.

2. Gjeometria, 10-11: libër shkollor për institucionet arsimore: nivelet bazë dhe të specializuara / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al - M.: Arsimi, 2007. - 256 f.

3. Provimi i Unifikuar i Shtetit-2012. Matematika: opsionet standarde të provimit: 10 opsione / ed. A.L. Semenova, I.V. Yashchenko. – M.: Arsimi Kombëtar, 2011. – 112 f. – (USE-2012. FIPI - shkolla).

\(\trekëndëshi i zi\) Këndi dyhedral është një kënd i formuar nga dy gjysmërrafshe dhe një drejtëz \(a\), e cila është kufiri i tyre i përbashkët.

\(\blacktreangleright\) Për të gjetur këndin midis planeve \(\xi\) dhe \(\pi\) , duhet të gjeni këndin linear (dhe pikante ose e drejtpërdrejtë) këndi dihedral i formuar nga rrafshet \(\xi\) dhe \(\pi\) :

Hapi 1: le të \(\xi\cap\pi=a\) (vija e kryqëzimit të planeve). Në rrafshin \(\xi\) shënojmë një pikë arbitrare \(F\) dhe vizatojmë \(FA\perp a\) ;

Hapi 2: kryeni \(FG\perp \pi\) ;

Hapi 3: sipas TTP (\(FG\) – pingul, \(FA\) – i zhdrejtë, \(AG\) – projeksion) kemi: \(AG\perp a\) ;

Hapi 4: Këndi \(\këndi FAG\) quhet këndi linear i këndit dihedral të formuar nga rrafshet \(\xi\) dhe \(\pi\) .

Vini re se trekëndëshi \(AG\) është kënddrejtë.
Vini re gjithashtu se rrafshi \(AFG\) i ndërtuar në këtë mënyrë është pingul me të dy rrafshet \(\xi\) dhe \(\pi\) . Prandaj, mund të themi ndryshe: këndi ndërmjet planeve\(\xi\) dhe \(\pi\) është këndi midis dy drejtëzave të kryqëzuara \(c\in \xi\) dhe \(b\in\pi\) që formojnë një plan pingul me \(\xi\ ) , dhe \(\pi\) .

Detyra 1 #2875

Niveli i detyrës: Më i vështirë se Provimi i Unifikuar i Shtetit

Jepet një piramidë katërkëndore, të gjitha skajet e së cilës janë të barabarta, dhe baza është një katror. Gjeni \(6\cos \alpha\) , ku \(\alpha\) është këndi midis faqeve anësore të tij ngjitur.

Le të jetë \(SABCD\) një piramidë e dhënë (\(S\) është një kulm) skajet e së cilës janë të barabarta me \(a\) . Rrjedhimisht, të gjitha faqet anësore janë trekëndësha barabrinjës të barabartë. Le të gjejmë këndin midis fytyrave \(SAD\) dhe \(SCD\) .

Le të bëjmë \(CH\perp SD\) . Sepse \(\trekëndësh SAD=\trekëndësh SCD\), atëherë \(AH\) do të jetë gjithashtu lartësia e \(\trekëndëshit SAD\) . Prandaj, sipas përkufizimit, \(\këndi AHC=\alfa\) është këndi linear i këndit dihedral midis faqeve \(SAD\) dhe \(SCD\) .
Meqenëse baza është katror, ​​atëherë \(AC=a\sqrt2\) . Vini re gjithashtu se \(CH=AH\) është lartësia e një trekëndëshi barabrinjës me brinjën \(a\), pra, \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Pastaj, nga teorema e kosinusit nga \(\trekëndëshi AHC\) : \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Përgjigje: -2

Detyra 2 #2876

Niveli i detyrës: Më i vështirë se Provimi i Unifikuar i Shtetit

Planet \(\pi_1\) dhe \(\pi_2\) kryqëzohen në një kënd kosinusi i të cilit është i barabartë me \(0.2\). Planet \(\pi_2\) dhe \(\pi_3\) kryqëzohen në kënde të drejta, dhe vija e kryqëzimit të planeve \(\pi_1\) dhe \(\pi_2\) është paralele me vijën e kryqëzimit të planet \(\pi_2\) dhe \(\ pi_3\) . Gjeni sinusin e këndit midis rrafsheve \(\pi_1\) dhe \(\pi_3\) .

Le të jetë vija e kryqëzimit të \(\pi_1\) dhe \(\pi_2\) një vijë e drejtë \(a\), vija e kryqëzimit të \(\pi_2\) dhe \(\pi_3\) të jetë e drejtë vija \(b\), dhe vija e kryqëzimit \(\pi_3\) dhe \(\pi_1\) – drejtëza \(c\) . Meqenëse \(a\paralel b\) , atëherë \(c\paralel a\paralel b\) (sipas teoremës nga seksioni i referencës teorike "Gjeometria në hapësirë" \(\arrow djathtas\) "Hyrje në stereometri, paralelizëm”).

Le të shënojmë pikat \(A\in a, B\in b\) në mënyrë që \(AB\perp a, AB\perp b\) (kjo është e mundur pasi \(a\paralel b\) ). Le të shënojmë \(C\në c\) në mënyrë që \(BC\perp c\) , pra, \(BC\perp b\) . Pastaj \(AC\perp c\) dhe \(AC\perp a\) .
Në të vërtetë, meqenëse \(AB\perp b, BC\perp b\) , atëherë \(b\) është pingul me rrafshin \(ABC\) . Meqenëse \(c\paralel a\paralel b\), atëherë drejtëzat \(a\) dhe \(c\) janë gjithashtu pingul me rrafshin \(ABC\), dhe për rrjedhojë me çdo vijë nga ky plan, në veçanti , rreshti \ (AC\) .

Nga kjo rrjedh se \(\këndi BAC=\kënd (\pi_1, \pi_2)\), \(\kënd ABC=\kënd (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\këndi BCA=\kënd (\pi_3, \pi_1)\). Rezulton se \(\trekëndëshi ABC\) është drejtkëndor, që do të thotë \[\sin \këndi BCA=\cos \këndi BAC=0.2.\]

Përgjigje: 0.2

Detyra 3 #2877

Niveli i detyrës: Më i vështirë se Provimi i Unifikuar i Shtetit

Jepen drejtëza \(a, b, c\) që kryqëzohen në një pikë, dhe këndi ndërmjet çdo dy prej tyre është i barabartë me \(60^\circ\) . Gjeni \(\cos^(-1)\alpha\) , ku \(\alfa\) është këndi ndërmjet rrafshit të formuar nga vijat \(a\) dhe \(c\) dhe rrafshit të formuar nga vijat \( b\ ) dhe \(c\) . Jepni përgjigjen tuaj në shkallë.

Le të priten drejtëzat në pikën \(O\) . Meqenëse këndi ndërmjet çdo dy prej tyre është i barabartë me \(60^\circ\), atëherë të tre drejtëzat nuk mund të shtrihen në të njëjtin rrafsh. Le të shënojmë pikën \(A\) në vijën \(a\) dhe të vizatojmë \(AB\perp b\) dhe \(AC\perp c\) . Pastaj \(\trekëndësh AOB=\trekëndësh AOC\) si drejtkëndëshe përgjatë hipotenuzës dhe këndit akut. Prandaj, \(OB=OC\) dhe \(AB=AC\) .
Le të bëjmë \(AH\perp (BOC)\) . Pastaj nga teorema rreth tre pingulave \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Meqenëse \(AB=AC\) , atëherë \(\trekëndësh AHB=\trekëndësh AHC\) si drejtkëndëshe përgjatë hipotenuzës dhe këmbës. Prandaj, \(HB=HC\) . Kjo do të thotë se \(OH\) ​​është përgjysmues i këndit \(BOC\) (pasi pika \(H\) është e barabartë nga anët e këndit).

Vini re se në këtë mënyrë ndërtuam edhe këndin linear të këndit dihedral të formuar nga rrafshi i formuar nga drejtëzat \(a\) dhe \(c\) dhe rrafshi i formuar nga vijat \(b\) dhe \(c \) . Ky është këndi \(ACH\) .

Le të gjejmë këtë kënd. Meqenëse kemi zgjedhur pikën \(A\) në mënyrë arbitrare, le ta zgjedhim atë në mënyrë që \(OA=2\) . Pastaj në \(\trekëndësh AOC\) drejtkëndëshe: \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Meqenëse \(OH\) ​​është një përgjysmues, atëherë \(\këndi HOC=30^\circ\) , pra, në një \(\trekëndësh HOC\) drejtkëndëshe: \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Pastaj nga drejtkëndëshi \(\trekëndëshi ACH\): \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Përgjigje: 3

Detyra 4 #2910

Niveli i detyrës: Më i vështirë se Provimi i Unifikuar i Shtetit

Planet \(\pi_1\) dhe \(\pi_2\) kryqëzohen përgjatë vijës së drejtë \(l\) në të cilën shtrihen pikat \(M\) dhe \(N\). Segmentet \(MA\) dhe \(MB\) janë pingul me vijën e drejtë \(l\) dhe shtrihen në rrafshin \(\pi_1\) dhe \(\pi_2\) përkatësisht, dhe \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Gjeni \(3\cos\alpha\) , ku \(\alpha\) është këndi midis planeve \(\pi_1\) dhe \(\pi_2\) .

Trekëndëshi \(AMN\) është kënddrejtë, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), prej nga \ Trekëndëshi \(BMN\) është drejtkëndësh, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), nga i cili \Ne shkruajmë teoremën e kosinusit për trekëndëshin \(AMB\): \ Pastaj \ Meqenëse këndi \(\alfa\) midis planeve është një kënd i mprehtë, dhe \(\këndi AMB\) doli të ishte i mpirë, atëherë \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Pastaj \

Përgjigje: 1.25

Detyra 5 #2911

Niveli i detyrës: Më i vështirë se Provimi i Unifikuar i Shtetit

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) është një paralelipiped, \(ABCD\) është një katror me brinjë \(a\), pika \(M\) është baza e pingulit të rënë nga pika \(A_1\) në rrafshin \ ((ABCD)\) , përveç kësaj, \(M\) është pika e prerjes së diagonaleve të katrorit \(ABCD\) . Dihet se \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Gjeni këndin ndërmjet rrafsheve \((ABCD)\) dhe \((AA_1B_1B)\) . Jepni përgjigjen tuaj në shkallë.

Le të ndërtojmë \(MN\) pingul me \(AB\) siç tregohet në figurë.

Meqenëse \(ABCD\) është një katror me brinjë \(a\) dhe \(MN\perp AB\) dhe \(BC\perp AB\) , atëherë \(MN\paralele BC\) . Meqenëse \(M\) është pika e kryqëzimit të diagonaleve të katrorit, atëherë \(M\) është mesi i \(AC\), prandaj, \(MN\) është vija e mesme dhe \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) është projeksioni i \(A_1N\) në rrafshin \((ABCD)\), dhe \(MN\) është pingul me \(AB\), pastaj, nga teorema e tre pingulave, \ (A_1N\) është pingul me \(AB \) dhe këndi midis planeve \((ABCD)\) dhe \(AA_1B_1B)\) është \(\këndi A_1NM\) .
\[\ mathrm(tg)\, \këndi A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\kënd A_1NM = 60^(\circ)\]

Përgjigje: 60

Detyra 6 #1854

Niveli i detyrës: Më i vështirë se Provimi i Unifikuar i Shtetit

Në katror \(ABCD\) : \(O\) – pika e prerjes së diagonaleve; \(S\) – nuk shtrihet në rrafshin e katrorit, \(SO \perp ABC\) . Gjeni këndin midis planeve \(ASD\) dhe \(ABC\) nëse \(SO = 5\) dhe \(AB = 10\) .

Trekëndëshat kënddrejtë \(\trekëndësh SAO\) dhe \(\trekëndëshi SDO\) janë të barabartë në dy brinjë dhe këndi ndërmjet tyre (\(SO \perp ABC\) \(\Djathtasshi\) \(\këndi SOA = \këndi SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , sepse \(O\) – pika e prerjes së diagonaleve të katrorit, \(SO\) – faqe e përbashkët) \(\Djathtas\) \(AS = SD\) \(\Djathtas\) \(\trekëndësh ASD\ ) – dykëndësh. Pika \(K\) është mesi i \(AD\), pastaj \(SK\) është lartësia në trekëndëshin \(\trekëndësh ASD\), dhe \(OK\) është lartësia në trekëndësh \( AOD\) \(\ Rightarrow\) plani \(SOK\) është pingul me rrafshet \(ASD\) dhe \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\këndi SKO\) - kënd linear i barabartë me atë të dëshiruar kënd dihedral.

Në \(\trekëndësh SKO\) : \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Djathtas\) \(\trekëndëshi SOK\) – trekëndëshi kënddrejtë dykëndësh \(\Djathtas\) \(\këndi SKO = 45^\circ\) .

Përgjigje: 45

Detyra 7 #1855

Niveli i detyrës: Më i vështirë se Provimi i Unifikuar i Shtetit

Në katror \(ABCD\) : \(O\) – pika e prerjes së diagonaleve; \(S\) – nuk shtrihet në rrafshin e katrorit, \(SO \perp ABC\) . Gjeni këndin ndërmjet planeve \(ASD\) dhe \(BSC\) nëse \(SO = 5\) dhe \(AB = 10\) .

Trekëndëshat kënddrejtë \(\trekëndësh SAO\) , \(\trekëndësh SDO\) , \(\trekëndësh SOB\) dhe \(\trekëndësh SOC\) janë të barabartë në dy brinjë dhe këndi ndërmjet tyre (\(SO \perp ABC \) \(\Shigjeta djathtas\) \(\këndi SOA = \këndi SOD = \këndi SOB = \këndi SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), sepse \(O\) – pika e prerjes së diagonaleve të katrorit, \(SO\) – brinjë e përbashkët) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \( \trekëndëshi ASD\) dhe \(\trekëndëshi BSC\) janë dykëndësh. Pika \(K\) është mesi i \(AD\), pastaj \(SK\) është lartësia në trekëndëshin \(\trekëndësh ASD\), dhe \(OK\) është lartësia në trekëndësh \( AOD\) \(\ Rightarrow\) plani \(SOK\) është pingul me planin \(ASD\) . Pika \(L\) është mesi i \(BC\), pastaj \(SL\) është lartësia në trekëndëshin \(\trekëndësh BSC\), dhe \(OL\) është lartësia në trekëndësh \( BOC\) \(\ Rightarrow\) plani \(SOL\) (aka plani \(SOK\)) është pingul me rrafshin \(BSC\) . Kështu, marrim se \(\këndi KSL\) është një kënd linear i barabartë me këndin dihedral të dëshiruar.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Djathtas\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – lartësitë në trekëndësha të barabartë izoscelorë, të cilat mund të gjenden duke përdorur teoremën e Pitagorës: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Mund të vërehet se \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) për një trekëndësh \(\trekëndësh KSL\) teorema e anasjelltë e Pitagorës vlen \(\Rightarrow\) \(\trekëndësh KSL\) – trekëndësh kënddrejtë \(\Rightarrow\) \(\këndi KSL = 90 ^\ rreth\) .

Përgjigje: 90

Përgatitja e studentëve për të marrë Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë, si rregull, fillon me përsëritjen e formulave bazë, përfshirë ato që ju lejojnë të përcaktoni këndin midis planeve. Përkundër faktit se kjo pjesë e gjeometrisë është e mbuluar me hollësi të mjaftueshme brenda kurrikulës shkollore, shumë maturantë duhet të përsërisin materialin bazë. Duke kuptuar se si të gjejnë këndin midis avionëve, nxënësit e shkollave të mesme do të jenë në gjendje të llogarisin shpejt përgjigjen e saktë kur zgjidhin një problem dhe të llogarisin në marrjen e rezultateve të mira për rezultatet e kalimit të provimit të unifikuar të shtetit.

Nuancat kryesore

Për të siguruar që pyetja se si të gjeni një kënd dihedral nuk shkakton vështirësi, ju rekomandojmë të ndiqni një algoritëm zgjidhjeje që do t'ju ndihmojë të përballeni me detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit.

Së pari ju duhet të përcaktoni vijën e drejtë përgjatë së cilës kryqëzohen aeroplanët.

Pastaj ju duhet të zgjidhni një pikë në këtë vijë dhe të vizatoni dy pingul me të.

Hapi tjetër është gjetja e funksionit trigonometrik të këndit dihedral të formuar nga pingulët. Mënyra më e përshtatshme për ta bërë këtë është me ndihmën e trekëndëshit që rezulton, pjesë e të cilit është edhe këndi.

Përgjigja do të jetë vlera e këndit ose funksioni i tij trigonometrik.

Përgatitja për testin e provimit me Shkolkovo është çelësi i suksesit tuaj

Gjatë orëve të mësimit në prag të dhënies së Provimit të Unifikuar të Shtetit, shumë nxënës të shkollës përballen me problemin e gjetjes së përkufizimeve dhe formulave që u lejojnë atyre të llogarisin këndin midis 2 planeve. Një tekst shkollor nuk është gjithmonë në dorë pikërisht kur nevojitet. Dhe për të gjetur formulat dhe shembujt e nevojshëm të zbatimit të tyre të saktë, përfshirë gjetjen e këndit midis avionëve në internet në internet, ndonjëherë duhet të shpenzoni shumë kohë.

Portali matematikor Shkolkovo ofron një qasje të re për përgatitjen për provimin e shtetit. Klasat në faqen tonë të internetit do t'i ndihmojnë studentët të identifikojnë seksionet më të vështira për veten e tyre dhe të plotësojnë boshllëqet në njohuri.

Ne kemi përgatitur dhe prezantuar qartë të gjithë materialin e nevojshëm. Përkufizimet dhe formulat bazë janë paraqitur në seksionin "Informacioni Teorik".

Për të kuptuar më mirë materialin, ne sugjerojmë të praktikoni edhe ushtrimet e duhura. Një përzgjedhje e madhe e detyrave me shkallë të ndryshme kompleksiteti, për shembull, është paraqitur në seksionin "Katalog". Të gjitha detyrat përmbajnë një algoritëm të detajuar për gjetjen e përgjigjes së saktë. Lista e ushtrimeve në faqen e internetit plotësohet dhe përditësohet vazhdimisht.

Ndërsa praktikojnë zgjidhjen e problemeve që kërkojnë gjetjen e këndit midis dy planeve, studentët kanë mundësinë të ruajnë çdo detyrë në internet si "Të preferuarat". Falë kësaj, ata do të jenë në gjendje t'i kthehen asaj numrin e kërkuar herë dhe të diskutojnë përparimin e zgjidhjes së tij me një mësues ose mësues shkolle.