INSTITUTI I ENERGJISË SË MOSKËS

(Universiteti Teknik)

FAKULTETI I INXHINIERISË ELEKTRONIKE

ABSTRAKT MBI TEMA

TE EKUACIONI INETIK B OLTZMAN.

I PLOTËSUAR:

Korkin S.V.

MËSUES

Sherkunov Yu.B.

Gjysma e dytë e punës është e mbushur me matematikë mjaft komplekse. Autori ( [email i mbrojtur], [email i mbrojtur])nuk e konsideron këtë kurs ideal, ai mund të shërbejë vetëm si një pikënisje për të shkruar një punë më të përsosur (dhe të kuptueshme). Teksti nuk është kopje e librit. Shihni fundin për literaturën mbështetëse.

Lënda u pranua me notën "Shkëlqyeshëm". (Versioni përfundimtar i veprës është pak i humbur. Unë sugjeroj të përdorni "versionin" e parafundit).

Hyrje………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Simbolet………………………………………………………………………………. 4

§1 Funksioni i shpërndarjes.

§2 Përplasja e grimcave.

§3 Përcaktimi i formës së integralit të përplasjes

dhe ekuacionet Boltzmann.

§4. Ekuacioni kinetik për një gaz të dobët johomogjen.

Përçueshmëria termike e gazit.

Disa konventa:

n - përqendrimi i grimcave;

d është distanca mesatare ndërmjet grimcave;

V është një vëllim i caktuar i sistemit;

P është probabiliteti i ndonjë ngjarjeje;

f - funksioni i shpërndarjes;

Prezantimi.

Degët e fizikës termodinamika, fizika statistikore dhe kinetika fizike merren me studimin e proceseve fizike që ndodhin në sistemet makroskopike - trupa të përbërë nga një numër i madh mikrogrimcash. Në varësi të llojit të sistemit, mikrogrimca të tilla mund të jenë atome, molekula, jone, elektrone, fotone ose grimca të tjera. Sot, ekzistojnë dy metoda kryesore për studimin e gjendjeve të sistemeve makroskopike - termodinamike, e cila karakterizon gjendjen e sistemit përmes parametrave makroskopikë që maten lehtësisht (për shembull, presioni, vëllimi, temperatura, numri i moleve ose përqendrimi i një substance) dhe, në fakt, nuk merr parasysh strukturën atomiko-molekulare të substancës, dhe një metodë statistikore e bazuar në modelin atomiko-molekular të sistemit në shqyrtim. Metoda termodinamike nuk do të diskutohet në këtë punim. Bazuar në ligjet e njohura të sjelljes së grimcave të sistemit, metoda statistikore na lejon të vendosim ligjet e sjelljes së të gjithë makrosistemit në tërësi. Për të thjeshtuar problemin që zgjidhet, qasja statistikore bën një sërë supozimesh (supozimesh) në lidhje me sjelljen e mikrogrimcave dhe, për rrjedhojë, rezultatet e marra me metodën statistikore janë të vlefshme vetëm brenda kufijve të supozimeve të bëra. Metoda statistikore përdor një qasje probabiliste për zgjidhjen e problemeve për të përdorur këtë metodë, sistemi duhet të përmbajë një numër mjaft të madh të grimcave. Një nga problemet e zgjidhura me metodën statistikore është nxjerrja e ekuacionit të gjendjes së një sistemi makroskopik. Gjendja e sistemit mund të jetë konstante me kalimin e kohës (sistemi i ekuilibrit) ose mund të ndryshojë me kalimin e kohës (sistemi jo-ekuilibër). Kinetika fizike merret me studimin e gjendjeve jo ekuilibër të sistemeve dhe proceseve që ndodhin në sisteme të tilla.

Ekuacioni i gjendjes së një sistemi që zhvillohet me kalimin e kohës është një ekuacion kinetik, zgjidhja e të cilit përcakton gjendjen e sistemit në çdo kohë. Interesi për ekuacionet kinetike shoqërohet me mundësinë e aplikimit të tyre në fusha të ndryshme të fizikës: në teorinë kinetike të gazit, në astrofizikë, fizikën e plazmës dhe mekanikën e lëngjeve. Ky punim shqyrton ekuacionin kinetik të nxjerrë nga një prej themeluesve të fizikës statistikore dhe kinetikës fizike, fizikani austriak Ludwig Boltzmann në 1872 dhe që mban emrin e tij.

§1 Funksioni i shpërndarjes.

Për të nxjerrë ekuacionin kinetik të Boltzmann-it, merrni parasysh një gaz ideal monatomik, d.m.th. një gaz mjaft i rrallë i përbërë nga atome ose molekula elektrike neutrale. Lloji i vetëm i ndërveprimit midis grimcave të një gazi ideal janë përplasjet midis molekulave, të cilat ndodhin, megjithatë, aq rrallë sa çdo molekulë lëviz pothuajse gjatë gjithë kohës sikur të ishte e lirë. Duke i konsideruar grimcat e gazit si klasike, mund të argumentohet se ka një vëllim për grimcë. Numri i grimcave për njësi vëllimi është përqendrimi. Kjo do të thotë se ekziston një distancë mesatare midis grimcave (supozohet të jetë mjaft e madhe në krahasim me rrezen e veprimit të forcave ndërmolekulare d). Kur nxjerrim ekuacionin Boltzmann, ne do të bëjmë supozimet e mëposhtme:

Grimcat e gazit janë të padallueshme (identike);

Grimcat përplasen vetëm në çifte (ne neglizhojmë përplasjen e tre ose më shumë grimcave njëkohësisht);

Menjëherë para përplasjes, grimcat lëvizin në një vijë të drejtë drejt njëra-tjetrës;

Përplasja e molekulave është një ndikim i drejtpërdrejtë elastik qendror;

Përshkrimi statistikor i një gazi kryhet nga funksioni i shpërndarjes së probabilitetit (ose densiteti i probabilitetit) dhe funksioni i shpërndarjes nuk ndryshon në distanca të rendit të rajonit të përplasjes së grimcave. Dendësia e probabilitetit përcakton probabilitetin që një ndryshore e rastësishme x të ketë një vlerë brenda një intervali të vogël dx si më poshtë. Probabiliteti për të gjetur x në një interval të fundëm përcaktohet nga integrimi.

Funksioni i shpërndarjes së molekulave të gazit jepet në hapësirën e tyre fazore.

është një grup koordinatash të përgjithësuara të të gjitha molekulave; - një grup impulsesh molekulare të përgjithësuara. Përkatësisht

Dhe. Le të shënojmë me

element vëllimor i hapësirës fazore të një molekule. Në një element të caktuar të hapësirës fazore ekziston (mesatarisht) numri i grimcave të barabartë me (d.m.th., konsiderohen molekula, vlerat q dhe p të të cilave qëndrojnë në intervalet e zgjedhura dq dhe dp). Funksioni i shpërndarjes së molekulave të gazit u përcaktua më lart në hapësirën fazore, megjithatë, ai mund të shprehet në terma të variablave të tjerë përveç koordinatave të përgjithësuara dhe momenteve të grimcave. Le të zgjedhim argumentet e funksionit f.

Duke marrë parasysh një proces jo-ekuilibër të ndryshimit të gjendjes së një sistemi që ndodh me kalimin e kohës, padyshim duhet të supozojmë se funksioni i shpërndarjes varet nga koha. Gazi në fjalë është një grup grimcash që ne kemi rënë dakord t'i konsiderojmë klasike.

Lëvizja përkthimore e një grimce klasike përshkruhet nga koordinatat

qendra e gravitetit të grimcës dhe vektori i shpejtësisë ose vektori i momentit (, ku m është masa e grimcës). Për një gaz monoatomik, lëvizja përkthimore është i vetmi lloj i lëvizjes së grimcave; numri i shkallëve të lirisë është tre. Nëse grimca është një molekulë poliatomike, atëherë lindin shkallë shtesë lirie të lidhura me rrotullimin e molekulës në hapësirë ​​dhe dridhjen e atomeve në molekulë. Kushtet për aplikimin e mekanikës kuantike janë masat e ulëta dhe përqendrimet e larta të grimcave, si dhe temperaturat e ulëta. Pa marrë parasysh rajonin e temperaturave të ulëta, ne do ta konsiderojmë lëvizjen rrotulluese të molekulave të gazit si klasike. Çdo lëvizje klasike rrotulluese përshkruhet, para së gjithash, nga momenti rrotullues i forcave që veprojnë në trup. Nën ndikimin e një çift rrotullues, një molekulë diatomike fillon të rrotullohet në një plan pingul me vektorin e çift rrotullues. Përveç kësaj, pozicioni i molekulës karakterizohet nga këndi i rrotullimit të boshtit të molekulës në rrafshin e rrotullimit.

Le të shqyrtojmë një molekulë hidrogjeni (ose ndonjë molekulë tjetër diatomike) në T = 300 K. Sipas ligjit të barazndarjes, çdo shkallë lirie (përkthimore, rrotulluese ose vibruese) ka mesatarisht të njëjtën energji kinetike, të barabartë.

Le të jetë I momenti i inercisë së molekulës, m masa, d distanca mesatare ndërmjet atomeve në molekulë.

Në një sekondë, molekula bën (pra përafërsisht) rrotullime të plota. Shpejtësia e ndryshimit në këndin e rrotullimit të boshtit të një molekule diatomike është e lartë dhe të gjitha orientimet e mundshme të molekulës në rrafshin e rrotullimit do të jenë po aq të mundshme. Pastaj, kur merren parasysh problemet reale fizike, funksioni i shpërndarjes mund të konsiderohet i pavarur nga orientimi i molekulës. Ligji i barazisë vlen edhe për molekulat poliatomike, që do të thotë se supozimi i bërë për pavarësinë e funksionit të shpërndarjes nga orientimi i molekulave të gazit në hapësirë ​​mund të konsiderohet i vlefshëm për gazet poliatomike.

Lëvizja vibruese e atomeve brenda një molekule është pothuajse gjithmonë e kuantizuar dhe gjendja e molekulës si sistem kuantik duhet të përcaktohet nga parametrat kuantikë. Në kushte normale (në temperatura jo shumë të larta), molekula e gazit është në një gjendje të pangacmuar që korrespondon me nivelin e vibrimit të tokës (zero). Prandaj, efektet kuantike në gazet reale në kushte të zakonshme mund të neglizhohen. Rrjedhimisht, funksioni i shpërndarjes së një gazi ideal klasik në një gjendje joekuilibri varet jo vetëm nga koha, por edhe nga koordinatat e grimcave.

Le të shënojmë me simbolin Г bashkësinë e të gjitha ndryshoreve nga të cilat varet funksioni i shpërndarjes, me përjashtim të koordinatave të molekulës dhe kohës. Në elementin e vëllimit fazor, ne zgjedhim vëllimin elementar të hapësirës tredimensionale, dhe pjesën tjetër të tij e shënojmë me simbolin dГ. Sasitë dГ janë integrale të lëvizjes që mbeten konstante për çdo molekulë gjatë lëvizjes së saj të lirë ndërmjet dy përplasjeve të njëpasnjëshme. Lëvizja e lirë e molekulës kryhet pa ndikim të jashtëm nga ndonjë trup ose fushë e jashtme. Si rezultat i ndërveprimit të molekulave me njëra-tjetrën (në rast përplasjeje) ose nën ndikimin e një fushe

këto vlera mund të ndryshojnë. Koordinatat e molekulës në tërësi ndryshojnë gjatë lëvizjes së lirë të saj.

Përqendrimi ose dendësia e shpërndarjes hapësinore të grimcave të gazit mund të shprehet me një integral, dhe numri mesatar i grimcave në një element vëllimor përcaktohet nga produkti. Me element vëllimi nënkuptojmë një vëllim fizikisht të vogël, d.m.th. një zonë hapësire, dimensionet e së cilës janë të vogla në krahasim me dimensionet e konsideruara në problem. Në të njëjtën kohë, dimensionet e një vëllimi të vogël janë të mëdha në krahasim me dimensionet e molekulave. Deklarata për vendndodhjen e një molekule në një element vëllimi të caktuar përcakton pozicionin e molekulës, në rastin më të mirë, vetëm në një saktësi distancash që tejkalojnë madhësinë e vetë molekulës. Përcaktimi i saktë i koordinatave të dy grimcave klasike bën të mundur përcaktimin e saktë të trajektoreve të tyre para dhe pas një përplasjeje, nëse njëra ka ndodhur. Pasiguria e pozicionit të saktë relativ të grimcave bën të mundur përdorimin e një qasjeje probabiliste për zgjidhjen e problemit të përplasjes së tyre. Konsiderimi i një gazi klasik nënkupton se dendësia

është një sasi makroskopike. Makroskopiteti ndodh vetëm në rastin kur vëllimi elementar përmban një numër mjaftueshëm të madh grimcash (vetëm atëherë ndryshimi i numrit të grimcave në vëllimin elementar është i vogël gjatë procesit në shqyrtim); në këtë rast, dimensionet lineare të zonës së zënë nga gazi duhet të jenë dukshëm më të mëdha se distanca mesatare ndërmolekulare.

§2 Përplasja e grimcave.

Le të shqyrtojmë një përplasje molekulash, disa prej të cilave kanë vlerat e Γ që shtrihen në një interval të caktuar, dhe të tjerët - në intervalin. Si rezultat i përplasjes, molekulat fitojnë vlerat e Γ në intervale dhe, përkatësisht. Më tej, për shkurtim, do të flasim për përplasjen e molekulave dhe me tranzicionin

Produkti i numrit të molekulave për njësi vëllimi nga probabiliteti që secila molekulë të përjetojë një përplasje me tranzicionin e treguar do të japë numrin total të përplasjeve të tilla për njësi vëllimi për njësi të kohës. Probabiliteti i një ngjarjeje të tillë (e shënojmë përmes një funksioni të caktuar) është në përpjesëtim me numrin e molekulave për njësi vëllimi dhe intervalet e vlerave të secilës prej molekulave pas përplasjes. Kështu, ne do të supozojmë se numri i përplasjeve me një tranzicion që ndodh për njësi vëllimi për njësi të kohës do të marrë formën

(një vizë tregon gjendjet përfundimtare, pa një prizë gjendjet fillestare). Probabiliteti i një përplasjeje ka një veti të rëndësishme, që rrjedh nga ligjet e mekanikës, në lidhje me përmbysjen e shenjës së kohës. Nëse me mbishkrimin T shënojmë vlerat e të gjitha sasive të marra duke përmbysur shenjën e kohës, atëherë barazia do të ndodhë.

Kthimi i kohës rirregullon gjendjet "para" dhe "pas", që do të thotë se është e nevojshme të riorganizohen argumentet e funksionit të probabilitetit. Në veçanti, kjo barazi vlen në rastin e ekuilibrit të sistemit, d.m.th. mund të argumentohet se në ekuilibër numri i përplasjeve me tranzicionin është i barabartë me numrin e përplasjeve me tranzicionin (*). Le të shënojmë me funksionin e shpërndarjes së ekuilibrit dhe të shkruajmë

Produkti i diferencialeve është një element i hapësirës fazore që nuk ndryshon kur koha kthehet mbrapsht (diferencat në të dy anët e barazisë mund të hiqen). Energjia potenciale e molekulave gjithashtu nuk ndryshon, dhe, për rrjedhojë, funksioni i shpërndarjes së ekuilibrit (Boltzmann), i cili varet vetëm nga energjia:

(2)

V është shpejtësia makroskopike e lëvizjes së gazit në tërësi. Për shkak të ligjit të ruajtjes së energjisë kur dy molekula përplasen. Prandaj mund të shkruajmë (3)

Le të vërejmë gjithashtu faktin se vetë funksioni i probabilitetit, në parim, mund të përcaktohet vetëm duke zgjidhur problemin mekanik të përplasjeve të grimcave. Barazitë e mësipërme (1), (2) dhe (3) do të jepen pas shkurtesave në (1)

I nënshtrohet miratimit (*)

Duke integruar barazinë e fundit (për përdorim të mëtejshëm) marrim relacionin:

§3 Nxjerrja e ekuacionit kinetik.

Le të shqyrtojmë derivatin e funksionit të shpërndarjes së kohës:

Kur molekulat e gazit lëvizin në mungesë të një fushe të jashtme, vlerat e Γ, si integrale të lëvizjes, nuk ndryshojnë.

Shprehja për derivatin do të marrë formën: (6)

Le të jetë tani gazi në një fushë potenciale të jashtme që vepron në koordinatat e qendrës së gravitetit të molekulave (për shembull, në një fushë gravitacionale). Dhe le të jetë F forca që vepron nga fusha në grimcë.

Ne shënojmë anën e djathtë të barazisë (6) me. Simboli do të thotë

shpejtësia e ndryshimit të funksionit të shpërndarjes për shkak të përplasjeve, dhe madhësia

është ndryshimi për njësi të kohës për shkak të përplasjeve të numrit të molekulave në vëllimin fazor. Ndryshimi i plotë në funksionin e shpërndarjes në një pikë të caktuar në hapësirën fazore do të shkruhet si:

(8)

Sasia quhet integral i përplasjes dhe ekuacioni i formës (8) quhet ekuacion kinetik. Ekuacioni kinetik (8) do të marrë kuptim real vetëm pasi të përcaktohet forma e integralit të përplasjes.

§3 Përcaktimi i formës së integralit të përplasjes dhe ekuacionit të Boltzmann-it.

Gjatë përplasjes së molekulave, ndodh një ndryshim në sasitë nga të cilat varet funksioni i shpërndarjes. Duke marrë parasysh faktin se koha e vëzhgimit të gjendjes së sistemit dhe koordinatave të grimcave ndryshojnë, pavarësisht nëse ka ndodhur apo jo një përplasje grimcash (që ndikon vetëm në natyrën e ndryshimit të koordinatave), mund të argumentohet që vlerat e G të molekulave të përplasjes ndryshojnë. Duke marrë parasysh një interval mjaft të vogël, ne gjejmë se molekulat hiqen nga ky interval pas përplasjes, d.m.th. ndodhin aktet e "përkujdesjes". Le të korrespondojnë dy molekulat përplasëse, si më parë, me vlerat para përplasjes dhe pas përplasjes (për shkurtim, ne po flasim për një tranzicion).

Numri total i përplasjeve në tranzicionin e mësipërm me të gjitha vlerat e mundshme

Për një ngjarje të caktuar që ndodh për njësi të kohës në një vëllim përcaktohet nga integrali

Në të njëjtën kohë, ndodhin përplasje të një lloji tjetër (të quajtura "arritja"), si rezultat i të cilave molekulat që para përplasjes kishin vlera jashtë intervalit të caktuar bien në këtë interval. Tranzicione të tilla mund të caktohen si më poshtë: (me të gjitha vlerat e mundshme të dhëna). Ngjashëm me llojin e parë të tranzicionit, numri i përgjithshëm i përplasjeve të tilla për njësi të kohës në vëllim është i barabartë me:

Si rezultat i të gjitha përplasjeve, ndryshimi në numrin e molekulave për njësi të kohës në një vëllim elementar përcaktohet nga diferenca midis numrit të akteve të largimit dhe numrit të akteve të mbërritjes:

(9), ku

Integrali i përplasjes mund të përkufizohet si:

(ndryshimi në numrin e grimcave për njësi të kohës në vëllimin fazor dVdГ)

Nga relacionet (8) dhe (9) marrim formën e integralit të përplasjes

Vini re se në termin e dytë të integrandit, integrimi mbi ka

lidhur vetëm me funksionin. Shumëzues dhe nuk varen nga variablat. Duke e transformuar këtë pjesë të integralit duke përdorur relacionin (4), marrim formën përfundimtare të integralit të përplasjes

dhe ekuacioni kinetik

Ekuacioni integral-diferencial që rezulton quhet ekuacioni Boltzmann.

Le të shqyrtojmë një shpërndarje të pavarur nga koha në gjendjen e ekuilibrit të sistemit në mungesë të ndikimeve të jashtme. Kjo shpërndarje është e palëvizshme (nuk varet nga koha) dhe homogjene (nuk ndryshon në rajonin e hapësirës së zënë nga sistemi). Kushtet e vendosura rivendosin derivatin e funksionit të shpërndarjes në lidhje me kohën dhe tre koordinatat; ana e majtë e ekuacionit kinetik zhduket. Integrandi shkon në zero për shkak të barazisë (3). Rrjedhimisht, shpërndarja e ekuilibrit në mungesë të fushave të jashtme plotëson ekuacionin kinetik në mënyrë identike. Nëse gazi është në një gjendje ekuilibri nën ndikimin e një fushe potenciale të jashtme (për shembull, gravitacionale), atëherë funksioni i shpërndarjes në këtë rast plotëson ekuacionin kinetik. Në të vërtetë, shpërndarja e ekuilibrit shprehet përmes integralit të lëvizjes - energjisë totale të molekulës. Ana e majtë e ekuacionit kinetik është derivati ​​total, i cili është i barabartë me zero si derivat i një funksioni që varet vetëm nga integralet e lëvizjes. Ana e djathtë e ekuacionit, siç është treguar tashmë, është zero. Kështu, funksioni i shpërndarjes së një gazi në ekuilibër në një fushë potenciale të jashtme plotëson gjithashtu ekuacionin kinetik.

Supozimeve të treguara në "Hyrje" do t'i shtojmë edhe një: përplasjet e molekulave konsiderohen si akte të menjëhershme që ndodhin në një "pikë" të hapësirës. Ekuacioni kinetik përshkruan një proces që ndodh në një interval kohor shumë më të madh se kohëzgjatja e përplasjeve. Në të njëjtën kohë, rajoni i sistemit në shqyrtim duhet të tejkalojë ndjeshëm rajonin e përplasjes së grimcave, i cili ka dimensione në rendin e rrezes së veprimit të forcave molekulare d. Koha e përplasjes sipas madhësisë mund të përkufizohet si (është shpejtësia mesatare e lëvizjes së molekulave në gaz). Vlerat e marra paraqesin kufirin e poshtëm të distancës dhe kohës kur merret parasysh se cilat mund të përdoren ekuacioni kinetik. Problemet reale fizike nuk kërkojnë një përshkrim kaq të detajuar të procesit; Madhësia e sistemit dhe koha e vëzhgimit tejkalojnë ndjeshëm minimumin e kërkuar.

Për një shqyrtim cilësor të fenomeneve kinetike që ndodhin në një gaz, përdoren vlerësime të përafërta të integralit të përplasjes përmes dy parametrave: shtegu mesatar i lirë dhe koha e lirë e udhëtimit. Lëreni molekulën të lëvizë nëpër një gjatësi njësi, duke u përplasur me molekulat e vendosura në vëllimin e një cilindri të drejtë me gjatësi njësi dhe sipërfaqe bazë (seksioni kryq efektiv i molekulës). Në këtë vëllim ka molekula.

- distanca mesatare ndërmjet molekulave;

Vlera është koha e funksionimit të lirë. Për të vlerësuar përafërsisht integralin e përplasjes, mund të përdorni:

Diferenca e shkruar në numërues merr parasysh faktin që integrali i përplasjes zhduket për funksionin e shpërndarjes së ekuilibrit, dhe shenja minus tregon se përplasjet janë një mekanizëm për vendosjen e ekuilibrit statistikor, d.m.th. përpiquni të zvogëloni devijimin e funksionit të shpërndarjes nga ai i ekuilibrit (me fjalë të tjera, çdo sistem i nxjerrë nga një gjendje ekuilibri që korrespondon me energjinë minimale të brendshme të sistemit dhe i lënë në vetvete ka tendencë të kthehet në një gjendje ekuilibri).

§3 Kalimi në ekuacionet makroskopike. Ekuacioni i vazhdimësisë hidrodinamike.

Ekuacioni kinetik i Boltzmann-it jep një përshkrim mikroskopik të evolucionit të gjendjes së një gazi. Por në praktikë, shpesh nuk është e nevojshme të përshkruhen proceset në detaje të tilla, prandaj, kur merren parasysh problemet e hidrodinamikës, problemet e shfaqjes së proceseve në gazrat johomogjenë ose shumë të rrallë, problemet e përçueshmërisë termike dhe difuzioni i gazeve dhe një sërë të tjerash. , ka kuptim të kalojmë në ekuacionet më pak të detajuara (dhe për rrjedhojë më të thjeshta) makroskopike. Ky përshkrim është i zbatueshëm për një gaz nëse vetitë e tij makroskopike (temperatura, dendësia, përqendrimi i grimcave, presioni, etj.) ndryshojnë mjaft ngadalë përgjatë çdo drejtimi të zgjedhur arbitrarisht në gaz. Distancat në të cilat ndodh një ndryshim i rëndësishëm në parametrat makroskopikë duhet të tejkalojnë ndjeshëm rrugën e lirë të molekulave.

Si shembull, merrni parasysh një metodë për marrjen e një ekuacioni hidrodinamik.

Shprehja përcakton densitetin e shpërndarjes së molekulave të gazit në hapësirë ​​(përqendrimi i molekulave të gazit). Prodhimi i masës së një molekule (supozohet se gazi përbëhet nga grimca identike) nga dendësia e shpërndarjes së molekulave jep dendësinë e masës së gazit: . Le të shënojmë me shpejtësinë makroskopike të lëvizjes së gazit në tërësi dhe me shpejtësinë mikroskopike të molekulave. Shpejtësia makroskopike (shpejtësia e lëvizjes së qendrës së masës) mund të përkufizohet si mesatare e shpejtësisë mikroskopike të molekulave

Përplasjet nuk ndryshojnë as numrin e grimcave që përplasen, as energjinë ose momentin e tyre total (përplasja e molekulave konsiderohet një përplasje absolutisht elastike). Pjesa e përplasjes së ndryshimit në funksionin e shpërndarjes nuk mund të çojë në një ndryshim në densitetin, energjinë e brendshme, shpejtësinë dhe çdo parametër tjetër makroskopik të gazit në secilin element të vëllimit të tij. Në të vërtetë, pjesa përplasëse e ndryshimit në numrin total të molekulave për njësi vëllimi të gazit jepet nga integrali i barabartë me zero:

Le të verifikojmë vlefshmërinë e kësaj barazie në mënyrën e mëposhtme:

Integrimi kryhet mbi secilën prej variablave, që do të thotë se është e mundur, pa ndryshuar integralin, të ripërcaktohen variablat, për shembull, në integralin e dytë:

Shprehja e fundit është padyshim e barabartë me zero dhe, për rrjedhojë, barazia (14) është e vlefshme.

Le të shkruajmë ekuacionin kinetik dhe, pasi të kemi shumëzuar më parë të dy pjesët e tij me masën e grimcës m, ta integrojmë atë sipas:

Nga këtu marrim menjëherë ekuacionin e vazhdimësisë hidrodinamike:

Duke specifikuar ndryshimin në densitetin e lëngut në këtë ekuacion diferencial dhe duke e konsideruar lëngun të jetë i pakompresueshëm, mund të merret një fushë vektoriale e drejtimeve të shpejtësisë në çdo pikë të lëngut.

§4. Gaz pak johomogjen. Përçueshmëria termike e gazit.

Të gjitha proceset reale fizike ndodhin domosdoshmërisht me disa humbje energjie (d.m.th., ndodh shpërndarja e energjisë - kalimi i energjisë së lëvizjes së urdhëruar në energjinë e lëvizjes kaotike, për shembull, në lëvizjen termike të molekulave të gazit). Për të marrë në konsideratë proceset shpërhapëse (përçueshmëria termike ose viskoziteti) në një gaz johomogjen të dobët, është e nevojshme të përdoret përafrimi i mëposhtëm: funksioni i shpërndarjes në një pjesë të vogël të gazit duhet të konsiderohet jo ekuilibër lokal, si në rastin e një gazi homogjen. , por që ndryshon nga ekuilibri një nga një vlerë mjaft të vogël (pasi gazi është pak johomogjen). Funksioni i shpërndarjes do të marrë formën, dhe vetë korrigjimi do të shkruhet në formë. Funksioni duhet të plotësojë disa kushte. Nëse jepen dendësitë e numrit të grimcave, energjisë dhe momentit të gazit

ato. integralet korrespondojnë me funksionin e ekuilibrit, atëherë funksioni joekuilibër duhet të çojë në të njëjtat vlera të këtyre sasive (integralet me dhe duhet të përkojnë), gjë që ndodh vetëm kur

Le ta transformojmë integralin e përplasjes në ekuacionin kinetik (13): zëvendësimi i shprehjeve për funksionin e shpërndarjes dhe korrigjimet, zerimi i integraleve të përplasjes që përmbajnë funksionin e shpërndarjes së ekuilibrit, reduktimi i termave që nuk përmbajnë një korrigjim të vogël. Kushtet e rendit të parë do të japin. Simboli u prezantua për të treguar operatorin integral linear

Le të shkruajmë (pa derivim) ekuacionin kinetik për një gaz të dobët johomogjen, duke mbajtur për shqyrtimin e problemit të përçueshmërisë termike në anën e majtë të ekuacionit vetëm një term me gradientin e temperaturës.

*************************************************

§4. Llogaritja e koeficientit të përçueshmërisë termike të një gazi monoatomik

Për të llogaritur koeficientin e përçueshmërisë termike të një gazi, është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni i shkruar më sipër me një gradient të temperaturës.

Le të jetë vetëm një funksion vektorial i sasive. Pastaj do të kërkojmë një zgjidhje për ekuacionin () në formë. Kur e zëvendësojmë këtë zgjidhje në ekuacionin (), marrim një faktor. Ekuacioni () është i vlefshëm për vlera krejtësisht arbitrare të vektorit të gradientit të temperaturës, atëherë koeficientët në të dy anët e barazisë duhet të jenë të barabartë. Si rezultat, marrim ekuacionin

Ekuacioni nuk përmban një gradient të temperaturës dhe për këtë arsye nuk ka një varësi të qartë nga koordinatat. Funksioni duhet të plotësojë kushtet e specifikuara më parë (). Dy kushtet e para janë padyshim të plotësuara (ekuacioni () nuk përmban asnjë parametër vektorial përgjatë të cilit mund të drejtohen integrale vektoriale konstante

DHE). Integrali i tretë është një kusht shtesë për funksionin g. Nëse zgjidhet ekuacioni kinetik dhe funksioni

të përcaktuara, atëherë është e mundur të përcaktohet koeficienti i përçueshmërisë termike duke llogaritur rrjedhën e energjisë, ose më saktë, pjesën shpërndarëse të saj, e cila nuk shoqërohet me transferimin konvektiv të energjisë (këtë pjesë të rrjedhës së energjisë e shënojmë me). Në mungesë të lëvizjes makroskopike në gaz, Q përkon me fluksin total të energjisë Q, i cili mund të shprehet përmes integralit

Nëse sistemi është në ekuilibër, atëherë ky integral është i barabartë me zero për shkak të integrimit në të gjitha drejtimet e mundshme në gaz. Kur zëvendësohet në () mbetet

Në komponentë

Për shkak të izotropisë së mjedisit të gazit ekuilibër, nuk ka drejtime të zgjedhura në të dhe tensori mund të shprehet vetëm në termat e tensorit të njësisë, d.m.th. reduktohet në një shkallë

Kështu, rrjedha e energjisë shprehet si, ku sasia është koeficienti skalar i përçueshmërisë termike

Rrjedha Q duhet të drejtohet në drejtim të kundërt me gradientin e temperaturës, dhe vlera duhet të jetë në përputhje me rrethanat pozitive, e cila sigurohet automatikisht nga ekuacioni kinetik (). Në gazet monoatomike, shpejtësia v është i vetmi vektor nga i cili varet funksioni g (në gazet poliatomike, g varet jo vetëm nga shpejtësia v, por edhe nga çift rrotullimi M). Për gazet monoatomike, funksioni g ka formën:

.

§5.Një shembull i zgjidhjes së një ekuacioni kinetik

Molekulat e gazit ndërveprojnë sipas ligjeve mjaft komplekse. Kjo është veçanërisht e vërtetë për gazrat e vërtetë poliatomikë. Supozimet e bëra në lidhje me natyrën e sjelljes së molekulave të gazit bëjnë të mundur thjeshtimin e arsyetimit (apo edhe ta bëjnë të mundur në parim), por disi na largojnë nga realiteti. Ligjet komplekse të bashkëveprimit molekular që përcaktojnë funksionin në integralin e përplasjes nuk na lejojnë as të shkruajmë ekuacionin e Boltzmann-it për gaze specifike në një formë të saktë. Edhe nëse natyra e ndërveprimit molekular është thjeshtuar, struktura matematikore e ekuacionit kinetik mbetet mjaft komplekse dhe gjetja e zgjidhjes së tij në formë analitike është e vështirë. Në teorinë kinetike të gazeve përdoren metoda të veçanta për zgjidhjen e përafërt të ekuacionit të Boltzmann-it, më efektive se sa një përpjekje për një zgjidhje analitike. Si shembull, merrni parasysh një gaz monoatomik dhe problemin e përçueshmërisë termike.

dhe funksioni i shpërndarjes së ekuilibrit do të marrë formën

Një metodë efektive për zgjidhjen e përafërt të ekuacionit () bazohet në zgjerimin e funksioneve të dëshiruara në një sistem të plotë funksionesh reciproke ortogonale. Si funksione të tilla, merrni parasysh polinomet Sonin të përcaktuara nga format:

Në këtë formulë, r është arbitrar, dhe s është një numër i plotë pozitiv ose zero. Me ndershmëri

Vetia e ortogonalitetit të këtyre polinomeve për një indeks të caktuar r dhe indekse të ndryshëm s duket kështu:

Ne kërkojmë një zgjidhje për ekuacionin në formën e zgjerimit të mëposhtëm

Duke hequr termin me s=0 në zgjerim, marrim shprehjen e kënaqshme () (integrali vendoset në zero për shkak të ortogonalitetit të polinomeve me s të ndryshëm). Shprehja në kllapa në anën e majtë ()

ka. Ekuacioni () merr formën

Për shprehjen e fundit është futur shënimi

Nuk ka ekuacion me l=0, pasi për shkak të ruajtjes së momentit

Koeficienti i përçueshmërisë termike llogaritet duke zëvendësuar shprehjen () në integrale (). Duke marrë parasysh kushtin (), integrali (c) mund të paraqitet në formë

Si rezultat, ne gjejmë.

Efektiviteti i metodës numerike duke përdorur zgjerimin polinomial Sonon mund të gjykohet nga thjeshtësia e anës së djathtë () dhe shprehjes përfundimtare (). Sistemi i pafundëm i ekuacioneve algjebrike lineare i marrë gjatë zgjidhjes zgjidhet pas shkurtimit artificial.

konkluzioni.

Metoda e shqyrtuar për nxjerrjen e ekuacionit kinetik të Boltzmann-it është mjaft e kënaqshme nga pikëpamja fizike. Megjithatë, ekuacioni kinetik mund të merret edhe nga aparati matematikor i përdorur për të përshkruar lëvizjen e grimcave të gazit. Në vitin 1946, një përfundim i tillë, i quajtur dinamik, u dha nga N. N. Bogolyubov. Metoda Bogolyubov lejon jo vetëm marrjen e ekuacionit Boltzmann, por edhe korrigjimet e tij, d.m.th. termat e urdhrave të mëposhtëm në parametrin e përmbajtjes së gazit të vogël. Për shembull, derivimi i mësipërm merr parasysh përplasjen e njëkohshme të vetëm dy molekulave dhe supozon se përplasjet ndodhin në një pikë, d.m.th. janë lokale dhe nuk ka asnjë recetë pak a shumë të dukshme për të marrë parasysh përplasjet e grupeve prej tre, katër ose më shumë grimcash. Ndërkohë, është e qartë se marrja parasysh e përplasjeve të tilla është thelbësisht e rëndësishme kur merren parasysh gazrat e dendur. Në këtë drejtim, këshillohet që të merret një qasje më rigoroze për nxjerrjen e ekuacionit kinetik dhe përgjithësimet e tij të mundshme. Metoda e Bogolyubov na lejon të marrim parasysh

“jolokaliteti” i përplasjes dhe përplasja e më shumë se dy grimcave me ndihmën e termave të caktuar korrigjues që lindin gjatë derivimit. Neglizhimi i korrigjimeve e çon ekuacionin kinetik në formën e marrë në rastin më të thjeshtë.

Bibliografi.

1. E.M.Lifshits, L.P.Pitaevsky. Kinetika fizike. Nauka, M., 1979

2. Yu.B.Rumer, M.Sh.Ryvkin. Termodinamika, fizika statistikore dhe kinetika.

ekuacioni Boltzmann (Ekuacioni kinetik i Boltzmann-it) është një ekuacion i emëruar sipas Ludwig Boltzmann-it, i cili i pari e konsideroi atë dhe përshkruan shpërndarjen statistikore të grimcave në një gaz ose lëng. Është një nga ekuacionet më të rëndësishme të kinetikës fizike (fusha e fizikës statistikore që përshkruan sisteme larg ekuilibrit termodinamik, për shembull, në prani të gradientëve të temperaturës dhe fushave elektrike). Ekuacioni i Boltzmann-it përdoret për të studiuar transportin e nxehtësisë dhe ngarkesës elektrike në lëngje dhe gazra dhe prej tij rrjedhin vetitë e transportit si përçueshmëria elektrike, efekti Hall, viskoziteti dhe përçueshmëria termike. Ekuacioni është i zbatueshëm për sistemet e rralluara, ku koha e ndërveprimit ndërmjet grimcave është e shkurtër (hipoteza e kaosit molekular).

Formulimi

Ekuacioni Boltzmann përshkruan evolucionin me kalimin e kohës ( t) funksionet e shpërndarjes së dendësisë f(x, fq, t) në hapësirën fazore me një grimcë, ku x Dhe fq- koordinata dhe momenti, përkatësisht. Shpërndarja është përcaktuar në mënyrë që

proporcionale me numrin e grimcave në vëllimin fazor d³x d³p në një moment në kohë t. ekuacioni Boltzmann

Këtu F(x, t) është fusha e forcave që veprojnë mbi grimcat në një lëng ose gaz, dhe m- masa e grimcave. Termi në anën e djathtë të ekuacionit shtohet për të llogaritur përplasjet midis grimcave dhe quhet integrali i përplasjes. Nëse është zero, atëherë grimcat nuk përplasen fare. Ky rast quhet shpesh ekuacioni i Liouville me një grimcë. Nëse fusha e forcave F(x, t) zëvendësohet me një fushë të përshtatshme vetë-konsistente në varësi të funksionit të shpërndarjes f (\displaystyle f), atëherë marrim ekuacionin Vlasov, i cili përshkruan dinamikën e grimcave të ngarkuara të plazmës në një fushë vetë-konsistente. Ekuacioni klasik Boltzmann përdoret në fizikën e plazmës, si dhe në fizikën e gjysmëpërçuesve dhe metaleve (për të përshkruar fenomenet kinetike, domethënë transferimin e ngarkesës ose nxehtësisë në një lëng elektronik).

Integrali i përplasjes

Përplasjet midis grimcave çojnë në ndryshime në shpejtësinë e tyre. Nëse W (v , v ′) d 3 v ′ d t (\displaystyle W(\mathbf (v) ,\mathbf (v) ^(\prime ))d^(3)v^(\prime )dt) specifikon probabilitetin që një grimcë të shpërndahet nga një gjendje me një shpejtësi v (\displaystyle \mathbf (v) ) në një gjendje me shpejtësi v ′ (\displaystyle \mathbf (v) ^(\prime )), atëherë integrali i përplasjes për grimcat klasike shkruhet në formë

Në rastin e natyrës kuantike të statistikave të grimcave, kjo shprehje ndërlikohet nga pamundësia që dy grimca të jenë në një gjendje me numra kuantikë të njëjtë, dhe për këtë arsye është e nevojshme të merret parasysh pamundësia e shpërndarjes në gjendjet e okupuara.

Koha e relaksimit po afron

Ekuacionet e Boltzmann-it janë ekuacione diferenciale të pjesshme integro-diferenciale komplekse. Për më tepër, integrali i përplasjes varet nga sistemi specifik, nga lloji i ndërveprimit midis grimcave dhe faktorëve të tjerë. Gjetja e karakteristikave të përgjithshme të proceseve jo-ekuilibër nuk është një detyrë e lehtë. Megjithatë, dihet se në një gjendje të ekuilibrit termodinamik integrali i përplasjes është i barabartë me zero. Në të vërtetë, në një gjendje ekuilibri në një sistem homogjen në mungesë të fushave të jashtme, të gjithë derivatet në anën e majtë të ekuacionit Boltzmann janë të barabartë me zero, prandaj integrali i përplasjes duhet gjithashtu të jetë i barabartë me zero. Për devijime të vogla nga ekuilibri, funksioni i shpërndarjes mund të përfaqësohet si

Ku f 0 (v) (\style ekrani f_(0)(\mathbf (v)))- Funksioni i shpërndarjes së ekuilibrit, varet vetëm nga shpejtësia e grimcave dhe njihet nga termodinamika, dhe f 1 (\displaystyle f_(1))- devijim i lehtë.

Përshkrimi statistikor i një gazi kryhet nga funksioni i shpërndarjes së molekulave të gazit në hapësirën e tyre fazore, ku është grupi i koordinatave të përgjithësuara të molekulës, është grupi i impulseve të përgjithësuara që korrespondojnë me koordinatat, është koha (funksioni i shpërndarjes varet në kohë në një gjendje jo-stacionare). Shumë shpesh, simboli Г tregon grupin e të gjitha ndryshoreve nga të cilat varet funksioni i shpërndarjes, me përjashtim të koordinatave të molekulës dhe kohës. Sasitë kanë një veti të rëndësishme: ato janë lëvizje që mbeten konstante për secilën molekulë gjatë lëvizjes së lirë të saj.

Kështu, për një gaz monoatomik, sasitë janë tre përbërësit e atomit. Për një molekulë diatomike, kjo përfshin momentin dhe çift rrotullues.

Ekuacioni themelor kinetik

Ekuacioni bazë i teorisë kinetike të gazeve (ose ekuacioni kinetik) është ekuacioni që përcakton funksionin e shpërndarjes.

Ekuacioni:

ku është integrali i përplasjes, ekuacioni (1) quhet ekuacion kinetik. Simboli nënkupton shkallën e ndryshimit të funksionit të shpërndarjes për shkak të përplasjeve të molekulave. Ekuacioni kinetik merr kuptim real vetëm pasi të vendoset integrali i përplasjes. Atëherë ekuacioni kinetik merr formën (2). Ky ekuacion integro-diferencial quhet edhe ekuacioni Boltzmann:

Është e nevojshme të shpjegohet se cila është ana e djathtë e ekuacionit (2).

Kur dy molekula përplasen, vlerat e tyre ndryshojnë. Prandaj, çdo përplasje e përjetuar nga një molekulë e nxjerr atë nga intervali i caktuar d. Numri total i përplasjeve me tranzicione me të gjitha vlerat e mundshme për një G të caktuar, që ndodhin për njësi të kohës në një vëllim dV, është e barabartë me integralin:

(grimcat që dalin)

Disa molekula, për shkak të përplasjeve, bien në intervalin dG (përplasjet me tranzicionet ). Numri i përgjithshëm i përplasjeve të tilla (për njësi të kohës në vëllim dV) është i barabartë me:

(grimcat hyrëse).

Nëse zbresim numrin e akteve të nisjes nga numri i akteve të mbërritjes, është e qartë se si rezultat i të gjitha përplasjeve, numri i molekulave në fjalë rritet me 1c.

Për një shqyrtim cilësor të fenomeneve kinetike në një gaz, përdoret një vlerësim i përafërt i integralit të përplasjes duke përdorur konceptin e shtegut mesatar të lirë l (një distancë mesatare e caktuar e përshkuar nga një molekulë midis dy përplasjeve të njëpasnjëshme). Raporti quhet koha e funksionimit të lirë. Për një vlerësim të përafërt të integralit të përplasjes, supozohet:

Diferenca në numëruesin (3) merr parasysh që integrali i përplasjes kthehet në 0 për funksionin e shpërndarjes së ekuilibrit. Shenja minus shpreh faktin se përplasjet janë një mekanizëm për vendosjen e ekuilibrit statistikor.

Ekuacioni kinetik i Boltzmann-it

Ekuacioni kinetik i Boltzmann-it jep një përshkrim mikroskopik të evolucionit të gjendjes së një gazi të vogël. Ekuacioni kinetik është një ekuacion i rendit të parë në kohë, ai përshkruan kalimin e pakthyeshëm të një sistemi nga një gjendje fillestare joekuilibri me një funksion shpërndarjeje në një gjendje ekuilibri përfundimtar me funksionin më të mundshëm të shpërndarjes.

Zgjidhja e ekuacionit kinetik është shumë e vështirë nga pikëpamja matematikore. Vështirësitë në zgjidhjen e tij janë për shkak të shumëdimensionalitetit të funksionit, i cili varet nga shtatë ndryshore skalare, dhe formës komplekse të anës së djathtë të ekuacionit.

Nëse funksioni i shpërndarjes varet vetëm nga koordinata x dhe komponenti i shpejtësisë, ekuacioni kinetik i Boltzmann-it ka formën:

ku dhe janë funksionet e shpërndarjes së molekulave para dhe pas përplasjes; – shpejtësia e molekulave; është seksioni kryq i shpërndarjes efektive diferenciale për kënd të ngurtë dW, në varësi të bashkëveprimit të molekulave. — ndryshimi i funksionit të shpërndarjes si rezultat i përplasjeve. -ndryshimi i densitetit të numrit të grimcave. është forca që vepron në grimcë.

Nëse gazi përbëhet nga grimca të të njëjtit lloj, ekuacioni kinetik mund të shkruhet si:

Ku - numri mesatar i grimcave në një element të vëllimit fazor afër pikës ( - ndryshimi në densitetin e numrit të grimcave afër pikës ( në kohën t për njësi të kohës.

Ekuacioni i Boltzmann-it është i vlefshëm nëse:

Nëse sistemi është në një gjendje ekuilibri statistikor, atëherë integrali i përplasjes zhduket dhe zgjidhja e ekuacionit të Boltzmann-it është shpërndarja. Zgjidhja e ekuacionit të Boltzmann-it për kushte të përshtatshme lejon llogaritjen e koeficientëve kinetikë dhe marrjen e ekuacioneve makroskopike për procese të ndryshme transporti (, viskozitet, ). Në fushën gravitacionale të tokës, zgjidhja e ekuacionit të Boltzmann-it është formula e njohur barometrike.

Bazuar në zgjidhjet e ekuacionit të Boltzmann-it, shpjegohet sjellja makroskopike e gazit, llogaritja e viskozitetit dhe koeficientët e përçueshmërisë termike.

Ekuacioni kinematik është ekuacioni bazë për dinamikën e gazrave të rralluar dhe përdoret për llogaritjet aerodinamike të avionëve në lartësi të mëdha fluturimi.

Shembuj të zgjidhjes së problemeve

SHEMBULL 1

Tani le të kalojmë në nxjerrjen e ekuacionit bazë të teorisë kinetike të gazeve - ekuacioni që përcakton funksionin e shpërndarjes.

Nëse përplasjet e molekulave mund të neglizhohen fare, atëherë çdo molekulë gazi do të përfaqësonte një nënsistem të mbyllur dhe teorema e Liouville do të ishte e vlefshme për funksionin e shpërndarjes së molekulave, sipas së cilës

(shih V, § 3). Derivati ​​total këtu nënkupton diferencimin përgjatë trajektores së fazës së molekulës, e përcaktuar nga ekuacionet e saj të lëvizjes. Kujtojmë se teorema e Liouville vlen për një funksion shpërndarjeje të përcaktuar saktësisht si dendësi në hapësirën fazore (d.m.th., në hapësirën e ndryshoreve që janë të konjuguara kanonikisht koordinatat dhe momentet e përgjithësuara).

Kjo rrethanë nuk ndërhyn. Natyrisht, fakti që vetë funksioni f mund të shprehet më pas përmes çdo ndryshoreje tjetër.

Në mungesë të një fushe të jashtme, sasitë Γ të një molekule që lëviz lirshëm mbeten konstante dhe ndryshojnë vetëm koordinatat e saj; ku

Nëse gazi është, për shembull, në një fushë të jashtme që vepron në koordinatat e qendrës së inercisë së molekulës (të themi, në fushën gravitacionale), atëherë

ku është forca që vepron në molekulë nga fusha.

Marrja parasysh e përplasjeve cenon barazinë (3.1); funksioni i shpërndarjes pushon së qeni konstant përgjatë trajektoreve fazore. Në vend të (3.1) ne duhet të shkruajmë

ku simboli nënkupton shpejtësinë e ndryshimit të funksionit të shpërndarjes për shkak të përplasjeve: ka një ndryshim për njësi të kohës për shkak të përplasjeve në numrin e molekulave në vëllimin fazor Shkruar në formë

ekuacioni (3.4) (nga (3.2)) përcakton ndryshimin total në funksionin e shpërndarjes në një pikë të caktuar në hapësirën fazore; termi është një rënie (në 1 s) në numrin e molekulave në një element të caktuar të hapësirës fazore, e shoqëruar me lëvizjen e lirë të tyre.

Sasia quhet integral i përplasjes dhe ekuacionet e formës (3.4) në përgjithësi quhen ekuacione kinetike. Natyrisht, ekuacioni kinetik merr kuptim real vetëm pasi të vendosë formën e integralit të përplasjes. Tani do t'i drejtohemi kësaj çështjeje.

Kur dy molekula përplasen, vlerat e vlerave të tyre Γ ndryshojnë. Prandaj, çdo përplasje e përjetuar nga një molekulë e nxjerr atë nga një interval i caktuar, për përplasje të tilla flitet si akte ikjeje.

Numri i përgjithshëm i përplasjeve me tranzicione me të gjitha vlerat e mundshme; sepse një Γ e dhënë që ndodh për njësi të kohës në një vëllim dV është e barabartë me integralin

Sidoqoftë, ndodhin edhe përplasje të tilla ("arritja"), si rezultat i të cilave molekulat që fillimisht kishin vlerat e vlerave të Γ që shtriheshin jashtë intervalit të caktuar bien në këtë interval. Këto janë përplasje me tranzicione përsëri me të gjitha të mundshmet për një G të dhënë. Numri i përgjithshëm i përplasjeve të tilla (për njësi të kohës në vëllimin dV) është i barabartë me

Duke zbritur numrin e akteve të nisjes nga numri i akteve të mbërritjes, gjejmë se si rezultat i të gjitha përplasjeve numri i molekulave në fjalë rritet me 1 s.

ku për shkurtim shënojmë

Kështu, gjejmë shprehjen e mëposhtme për integralin e përplasjes:

Në termin e dytë në integrand, integrimi mbi zbatohet vetëm për funksionin w, faktorët nuk varen nga këto variabla. Prandaj, kjo pjesë e integralit mund të transformohet duke përdorur relacionin e unitaritetit (2.9). Si rezultat, integrali i përplasjes merr formën

në të cilin të dy termat hyjnë me të njëjtin koeficient.

Pasi vendosëm formën e integralit të përplasjes, ne patëm mundësinë për të shkruar ekuacionin kinetik

Ky ekuacion integro-diferencial quhet edhe ekuacioni Boltzmann. Ajo u themelua për herë të parë nga themeluesi i teorisë kinetike, Ludwig Boltzmann, në 1872.

Shpërndarja statistikore e ekuilibrit duhet të plotësojë ekuacionin kinetik në mënyrë identike. Ky kusht është vërtet i plotësuar. Shpërndarja e ekuilibrit është e palëvizshme dhe (në mungesë të një fushe të jashtme) homogjene; prandaj ana e majtë e ekuacionit (3.8) zhduket në mënyrë identike. Integrali i përplasjes është gjithashtu i barabartë me zero: në bazë të barazisë (2.5), integrani bëhet zero. Natyrisht, shpërndarja e ekuilibrit për një gaz në një fushë të jashtme gjithashtu plotëson ekuacionin kinetik. Mjafton të kujtojmë se ana e majtë e ekuacionit kinetik është derivati ​​total df/dt, i cili në mënyrë identike zhduket për çdo funksion në varësi vetëm të integraleve të lëvizjes; shpërndarja e ekuilibrit shprehet vetëm përmes integralit të lëvizjes - energjisë totale të molekulës.

Në nxjerrjen e ekuacionit kinetik të paraqitur, përplasjet e molekulave konsideroheshin në thelb si ngjarje të menjëhershme që ndodhin në një pikë të hapësirës. Prandaj është e qartë se ekuacioni kinetik lejon, në parim, të monitorohet ndryshimi në funksionin e shpërndarjes vetëm në intervale kohore që janë të mëdha në krahasim me kohëzgjatjen e përplasjeve dhe në distanca që janë të mëdha në krahasim me madhësinë e rajonit të përplasjes. . Këto të fundit janë të rendit të madhësisë së rrezes së veprimit të forcave molekulare d (për molekulat neutrale që përkojnë me madhësitë e tyre); koha e përplasjes është e rendit të madhësisë. Këto vlera vendosin kufirin e poshtëm të distancave dhe kohëzgjatjeve, shqyrtimi i të cilave lejohet nga ekuacioni kinetik (ne do të kthehemi në origjinën e këtyre kufizimeve në § 16). Por në fakt, zakonisht nuk ka nevojë (ose as mundësi) për një përshkrim kaq të detajuar të sjelljes së sistemit; kjo do të kërkonte, në veçanti, specifikimin e kushteve fillestare (shpërndarja hapësinore e molekulave të gazit) me të njëjtën saktësi, gjë që është praktikisht e pamundur. Në pyetjet reale fizike, ekzistojnë parametra karakteristikë të gjatësisë L dhe kohës T, të imponuara në sistem nga kushtet e problemit (gjatësitë karakteristike të gradientëve të sasive makroskopike të një gazi, gjatësitë dhe periudhat e valëve zanore që përhapen në të, etj. ). Në probleme të tilla, mjafton të monitorohet sjellja e sistemit në distanca dhe kohë që janë të vogla vetëm në krahasim me këto L dhe T. Me fjalë të tjera, elementet fizikisht infinitimale të vëllimit dhe kohës duhet të jenë të vogla vetëm në krahasim me L dhe T. T. Kushtet fillestare të problemit janë gjithashtu të specifikuara si mesatare mbi elementë të tillë.

Për një gaz monatomik, sasitë Γ reduktohen në tre komponentë të momentit atomik , dhe sipas (2.8) funksioni w në integralin e përplasjes mund të zëvendësohet nga funksioni

Pasi e kemi shprehur më pas këtë funksion përmes seksionit kryq të përplasjes diferenciale sipas shih (2.2)), marrim

Funksioni i tij dhe seksioni kryq i përcaktuar sipas (2.2) përmbajnë -faktorë funksionalë që shprehin ligjet e ruajtjes së momentit dhe energjisë, për shkak të të cilave variablat (për një të dhënë ) në fakt nuk janë të pavarura. Por pasi integrali i përplasjes shprehet në formën (3.9), mund të supozojmë se këto -funksione tashmë janë eliminuar nga integrimet përkatëse; atëherë do të jetë prerja tërthore e zakonshme e shpërndarjes, në varësi (për një ir të caktuar) vetëm nga këndi i shpërndarjes.

ekuacioni Boltzmann

Ludwig Boltzmann, fizikan teorik austriak, anëtar i Akademisë Austriake të Shkencave, një nga themeluesit e teorisë klasike kinetike.

Le të marrim tani parasysh se dy gazra të nxehur ndryshe me temperatura T 1 dhe T 2 sillen në mënyrë të ngjashme kur bien në kontakt. > T 1 . Njëra prej tyre nxehet, tjetra ftohet dhe pas një kohe temperaturat e tyre bëhen të barabarta (T). Gazrat vijnë në një gjendje ekuilibri termik dhe shkëmbimi i nxehtësisë ndalon. Le të ilustrojmë atë që është thënë me një diagram.

Kështu që, W Dhe T sillen pikërisht në të njëjtën mënyrë: kur gazrat vijnë në kontakt, të dyja këto karakteristika ndryshojnë në të njëjtën mënyrë dhe më pas krahasohen, gjë që korrespondon me gjendjet e energjisë ose të ekuilibrit termik. Siç tregojnë llogaritjet rigoroze, këto karakteristika lidhen me njëra-tjetrën nga një marrëdhënie proporcionale: T ~ W.

Madje do të ishte e mundur të matej temperatura e një gazi me energjinë kinetike të molekulave të tij. Sidoqoftë, kjo do të ishte e papërshtatshme, pasi atëherë do të ishte e nevojshme të matej temperatura në xhaul, e cila, së pari, është e pazakontë dhe, së dyti, do të shprehte temperaturën në një numër shumë të vogël. Për shembull, temperatura e shkrirjes së akullit e barabartë me 273 K do të shprehet si 5.7 10 -21 Lz. Për të ruajtur temperaturën në Kelvinin e zakonshëm (ose °C), më i përshtatshëm për t'u pranuar

ku është faktori dimensional k ([k] - J/K) siguron matjen e temperaturës në njësi K, dhe koeficienti numerik 2/3 futet sepse qëndron në W te në ekuacionin Clausius. Temperatura e matur në këtë mënyrë do të shënohet me T dhe telefononi temperatura termodinamike:

Nga shprehja e fundit rrjedh Ekuacioni Boltzmann:

Ku k = 1,38 10 -23 J/K është konstanta e Boltzmann-it (vlera e saj numerike do të merret teorikisht më vonë). Kuptimi fizik i temperaturës termodinamike zero (0 K) rrjedh nga ekuacioni Boltzmann: në T= 0 do të jetë W k = 0, ato. në zero Kelvin, lëvizja e molekulave ndalon (d.m.th. lëvizja termike).