Madhësia ku I janë të ardhurat e konsumatorit, p1p2 është çmimi i mallit, x2 është sasia e mallit të dytë. Në këtë rast ka përfitime një dhe dy:të këmbyeshme.

Zgjidhni atë të duhurin deklaratë në përputhje me teorinë kejnsiane të ekonomisë së tregut 1) rasti i përgjithshëm i ekuilibrit në një ekonomi tregu në prani të papunësisë, dhe punësimi i plotë është vetëm një rast i veçantë; 2) kërkesa për investime zvogëlohet me rritjen e normave të interesit.

Zgjidhni të drejtatdeklarata të forta, zbatimi i të cilave rrit besueshmërinë dhe saktësinë e përcaktimit të parametrave të modelit ekonomik dhe matematikor. 1. Metodologjia e pranuar për përcaktimin e parametrave të modelit duhet të jetë e saktë nga pikëpamja e sigurimit të besueshmërisë, 2. Duhet të ketë një sasi të mjaftueshme informacioni fillestar për treguesit hyrës dhe dalës të objektit për të gjetur modelin matematikor. 3. vektori i treguesve të hyrjes duhet të ndryshojë shumë gjatë intervalit të studiuar, 4. I pranuar apriori, modeli duhet të pasqyrojë në mënyrë domethënëse modelet aktuale të objektit që studiohet.

Ekuacioni i mostrësdmth regresioni çift y=-3+2x, atëherë koeficienti i korrelacionit të mostrës në çift mund të jetë i barabartë me..(-3,2,0.6,-2,-0.6) ...0.7 ose 0.6.

Në mënyrë selektive Ekuacioni i regresionit në çift ka formën y=-3+2x. Atëherë koeficienti i korrelacionit të çiftit të mostrës mund të jetë i barabartë me: 0,7.

ku ne - koeficienti i intensitetit të kapitalit C(t) - vëllimi i të ardhurave në cilin rast do të jetë maksimumi, dhe në cilin rast do të jetë zero; maksimumi arrihet në , dhe është e barabartë me zero në Y(0)=C(0).

Hipotezat, e përdorur në nxjerrjen e funksionit të kërkesës për punë në modelin klasik të një ekonomie tregu: Firmat janë plotësisht konkurruese në furnizimin e mallrave dhe punësimin e fuqisë punëtore. Duke qenë të barabarta, produkti margjinal i punës zvogëlohet me rritjen e përdorimit të punës.

Funksionet e dhëna kërkesës dhe ofron S=2p+1.5, ku p është çmimi i produktit. atëherë çmimi i ekuilibrit është . PËRGJIGJE: x1= 0,34+0,18+340.....x2=0;25+0,53+280.

Funksionet e dhënakërkesës dhe ofron S=2p+1.5, ku p është çmimi i produktit. atëherë çmimi ekuilibër =1 .

Funksionet e dhëna kërkesës dhe ofron S=2p+1.5, ku p është çmimi i produktit. atëherë çmimi ekuilibër = 5,5.

Funksionet e dhëna kërkesa q=(p+6)/(p+2) dhe oferta s=2p-2, ku p është çmimi i produktit. Atëherë çmimi i ekuilibrit është: 2.

Funksionet janë dhënëkërkesa q=p+6/p+2 dhe s=2p-2 e mëparshme…..2.

Nëse ruhetkushte të barabarta, pastaj me një rritje të çmimit kërkesa për mallra Giffin: ...në rritje.

Nëse në modelSolow për të marrë parasysh vonesën e investimit në formën e një vonese të përqendruar, atëherë lidhja midis investimeve I(t) dhe hyrjes së fondeve V(t) mund të pasqyrohet në formën e ekuacionit...V(t)= I(t-t)().

Nëse nga brutoprodukti vendor zbresim tarifat e amortizimit, marrim:vlerë e sapokrijuar (N.D.).

Nëse nga bruto e brendshme produkti duke zbritur tarifat e amortizimit, marrim: produkt i pastër vendas.

Nëse kryq koeficienti i elasticitetit të çmimit të kërkesës >0, atëherë...(produkti I zëvendëson j).

Nëse funksioni i prodhimity=f(x 1;x 2), atëherë vetia do të thotë që me një rritje të përdorimit të një burimi, efikasiteti marxhinal¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Nëse prodhimi funksioni është një funksion homogjen i shkallës p > 0, pastaj me p = 2 dhe një rritje të shkallës së prodhimit me 3 herë, sa herë rritet vëllimi i prodhimit... 9.

Nëse prodhimifunksioni është një funksion homogjen i shkallës p > 0, pastaj me p = 2 dhe një rritje të shkallës së prodhimit me 4 herë, sa herë rritet vëllimi i prodhimit...16.

Nëse ndodh një rritje në të ardhurat e konsumatorit, pastaj kërkesa lëviz (tregoni deklaratën e saktë): nga mallrat me elasticitet të ulët në mallrat me elasticitet të lartë. Vëllimi i konsumit të mallrave me elasticitet të ulët zvogëlohet.

Nëse PF ka pamje y=f(x 1 ;x 2), vetia që do të thotë se me një rritje të përdorimit të një burimi, rritet efikasiteti marxhinal i një burimi tjetër, i shprehur me formulën: ¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Nëse ruhet kushte të barabarta, pastaj me një rritje të çmimit kërkesa për mallra Giffin: në rritje.

Varësia ndërmjet kostot e prodhimit dhe vëllimi i prodhimit shprehet me funksion janë të barabarta: 3.

Varësia mndërmjet kostove të prodhimit dhe vëllimit të prodhimit shprehet me funksion .Atëherë kostoja marxhinale e prodhimit është janë të barabarta:23.

Varësiandërmjet kostove të prodhimit C dhe vëllimit të prodhimit Q shprehet me funksion . Atëherë kostot marxhinale për vëllimin e prodhimit Q = 10 janë të barabarta me: .. 3 .

Varësia ndërmjet kostoja e prodhimit C dhe vëllimi i prodhimit Q shprehet si C = 20-0.5*Q. Atëherë elasticiteti c/c me vëllim prodhimi Q=10 është i barabartë me: -1/3.

Prodhimi i përcaktuarfunksioni i formës: Y=3 K 0,5 *L 0,5 atëherë produkti mesatar i punës është i barabartë me K=25,L=100……1.5.

Detyra e konsumatoritzgjedhja është:Gjeni numrin e mallrave nga një grup i caktuar në të cilin dobia e konsumatorit është maksimale.

Detyrë Zgjedhja e konsumatorit është: Problemi është të zgjedhësh një paketë konsumatore (x, x) që maksimizon funksionin e shërbimeve nën një kufizim të caktuar buxhetor.

Detyra e konsumatorit zgjedhja është: gjeni numrin e mallrave nga një grup i caktuar që maksimizon funksionin e dobisë së konsumatorit.

Ligji i zvogëlimit efikasiteti i prodhimit karakterizohet nga fakti se me një rritje të sasisë së burimit të përdorur... PËRGJIGJE: min volumin e mundshëm të daljes .

Ligji i zvogëlimit efikasiteti i prodhimit karakterizohet nga fakti se me një rritje të sasisë së burimit të përdorur: Çdo njësi shtesë e burimit jep një rritje gjithnjë e më të vogël të prodhimit.

Ligji i zvogëlimit efikasiteti i prodhimit karakterizohet nga fakti se me një rritje të sasisë së burimit të përdorur.. PËRGJIGJE: vëllimi maksimal i mundshëm i prodhimit (y) po rritet.

Nga barazimi. Slutsky mund të merret ( sasi mallrat, çmimi i mallrave). Kjo korrespondon me: (përgjigje të shumta të mundshme): 1) Produkt Giffin, 2) produkt me vlerë të ulët.

Cilat janë hipotezat? përdoren për të nxjerrë funksionin e kërkesës për punë në modelin klasik të një ekonomie tregu: firmat janë plotësisht konkurruese kur ofrojnë mallra dhe punësojnë fuqi punëtore; nëse gjërat e tjera janë të barabarta, produkti i punës zvogëlohet me rritjen e forcës skllevër.

Çfarë s shtesëfalsitetet e bëjnë të vështirë ndërtimin e një EMM.... vështirësia e kryerjes së një eksperimenti aktiv në ekonomi Për më tepër, praktikisht çdo objekt ose proces ekonomik është unik, gjë që e bën të pamundur replikimin e thjeshtë të modeleve të ndërtuara dikur.

Çfarë praktikeproblemet zgjidhen duke përdorur EMM. 1. Analiza e objekteve dhe proceseve ekonomike 2. Parashikimi ekonomik dhe parashikimi i zhvillimit të proceseve ekonomike 3. Zhvillimi i vendimeve të menaxhimit në të gjitha nivelet e ekonomisë.

Çfarë deklaratekorrespondon me zgjidhjen e problemit të kutisë së tejdukshme gri: Ka informacion për treguesit e hyrjes dhe daljes, dhe një model i një strukture të caktuar njihet ose pranohet si bazë. Detyra identifikuese në këtë rast është gjetja e parametrave të këtij modeli.

Çfarë deklarate korrespondon me zgjidhjen e problemit të kutisë gri: Përveç parametrave të hyrjes dhe daljes, specifikohet sistemi operativ i konvertuesit. të reduktohet në disa faqe parm-të.

Çfarë deklarate, sipas modelit të Keynes, do të jetë e vërtetë:Kur normat e interesit rriten, kërkesa e konsumatorit rritet dhe kërkesa për investime bie(Kërkesa për mallrat e konsumit rritet në mënyrë lineare me një rritje të ofertës së mallrave, Kërkesa për mallra investimi zvogëlohet në mënyrë lineare me një rritje të normës së interesit).

Produkti final në një model të balancës dinamike në krahasim me produktin përfundimtar në një model bilanci statik nuk përfshin eksporti.

Produkti final në një model ekuilibri dinamik në krahasim me produktin përfundimtar në një model balancimi statik nuk përfshin: investimet kapitale ndërsektoriale.

Koeficient elasticiteti i kërkesës në çmim E ii p<-1. Это соответствует товару с: elasticitet i lartë i kërkesës.

Ekuilibri makroekonomik modelet konsiderohen të jenë ato të cilat përshkruajnë një gjendje të ekonomisë kur rezultanta e të gjitha forcave që tentojnë të nxjerrin ekonominë nga kjo gjendje është e barabartë me 0.

Modeli Leontiev(balanca statike) përfshin një ekuacion të formës: x i -Sa ij =y j .

Modeli ndërindustribilanci për produktet e prodhuara të vëllimit X1 dhe X2 me një matricë të koeficientëve të kostos direkte dhe produkti përfundimtar në vëllim përkatësisht 340 dhe 280 njësi ka formën: x 1 =0,34x 1 +0,18x 2 +340; x 2 =0,25x 2 +0,53x 2 +280..

Modeli Törnqvist n lloji "kërkesë-të ardhura". (gërma të tjera): përgjigje : mallra luksi (grupi 2).

Modeli Törnqvist, “kërkesë-të ardhura” e formës Y=a 3 Z(Z-b 3)/Z+C 3:artikuj luksi.

Modeli Harrod-Domar në formën e një ekuacioni diferencial
ka zgjidhjen e mëposhtme: ).

Në një izokuant Funksioni i prodhimit Cobb-Douglas:

Në linjë

Në linjë Kompletet e konsumatorit për indiferencë kanë: të njëjtat vlera PËRGJIGJE: V(t)= I(t-τ).

Në prodhimCobb-Douglas funksionon në izokuant: tregohen kombinime të vlerave të kapitalit dhe punës, duke siguruar të njëjtin prodhim.

Përgjatë vijësgrupi konsumator i indiferencës ka:niveli i njëjtë i kënaqësisë së nevojave të individit.

Ndërsa rriteni Kërkesa për të ardhura lëviz (tregoni deklaratën e saktë): PËRGJIGJE: Me rritjen e të ardhurave, kërkesa kalon nga mallrat e grupit të parë dhe të dytë në mallra të grupit të tretë dhe të katërt, ndërsa konsumi i mallrave të grupit të parë në terma absolutë zvogëlohet.

Ndërsa rriteniKërkesa për të ardhura lëviz (tregoni deklaratën e saktë): Nga mallrat me elasticitet të ulët në mallrat me elasticitet të lartë Vëllimi i konsumit të mallrave me elasticitet të ulët.

Kufiri i shërbimeveProdukti i parë u = 8 dhe produkti i dytë u = 2. Sa duhet të rrisë një individ konsumin e 2 produkteve nëse e ka ulur me një njësi konsumin e produktit të parë...4.

Shërbimet margjinale produktin e parë , dhe produkti i dytë . Sa duhet të rrisë një individ konsumin e produktit të dytë nëse e ka ulur me një njësi konsumin e produktit të parë? përgjigje: nuk jam i sigurt:3.

Duke përdorurshënime: -pjesa e investimit bruto në PBB, a-pjesa e produktit të ndërmjetëm në prodhimin bruto, X(t)-produkti bruto në modelin Solow, vlera e fondit të konsumit joproduktiv C(t) përcaktohet me formulën :С(t)=(1- ) *(1-a)*X(t).

Kur analizonModeli i Leontiev (balanca statistikore e hyrjes) tregon se shuma e produkteve përfundimtare dhe shuma e produkteve neto me kusht:…të barabartë me njëri-tjetrin.

Duke përdorur shënim: - pjesa e investimit bruto në produktin e brendshëm bruto, a- pjesa e produktit të ndërmjetëm në prodhimin bruto, X(t) - prodhimi bruto në modelin R. Solow, vlera e fondit të konsumit joproduktiv C(t) përcaktohet me formulën: C(t)=(1-j)*(1-a)*X(t) .

Me pak rritja e vëllimit të prodhimit kostot e ndryshueshme me kusht për 1 produkt: mbeten të pandryshuara (rritje, ndoshta)

Kur përshkruani Për studimin e procesit me ndihmën e PFCD, efektet private ishin si më poshtë: për fondet E k = 2, për punën E l = 8. Në këtë rast, efikasiteti i përgjithësuar E është i barabartë me: 16.

Kur përshkruani Përgjigje: 3 (2 me fuqinë o.5 shumëzuar me 4.5 me fuqinë o.5).

Kur përshkruani 3 herë (2 jo saktësisht)

Kur përshkruaniprocesi në studim duke përdorur funksionin e prodhimit Cobb-Douglas të formularit private….efikasitetet ishin si më poshtë: për fondet Ek=2, për punë EL=4,5. Në këtë rast, treguesi i përgjithësuar i efikasitetit E është i barabartë me. .. 3( 2 me fuqinë o.5 shumëzuar me 4.5 me fuqinë o.5).

Kur përshkruaniprocesi në studim duke përdorur funksionin e prodhimit Cobb-Douglas të formularit private…..efikasitetet ishin si më poshtë: për fondet Ek=2, për punë EL=8. Në këtë rast, treguesi i përgjithësuar i efikasitetit E është i barabartë me:4 ose 16.

Kur përshkruani procesi në studim duke përdorur funksionin e prodhimit Cobb-Douglas të formularit private….efikasitetet ishin si më poshtë: për fondet Ek=2, për punë EL=4,5. Në këtë rast, treguesi i përgjithësuar i efikasitetit E është i barabartë me.

Kur përshkruani nga procesi në studim, duke përdorur funksionin e prodhimit Cobb-Douglas, u bë e ditur se treguesi i përgjithësuar i efikasitetit të prodhimit është E = 1.5, dhe shkalla e prodhimit është M = 2. Në këtë rast, prodhimi bruto u rrit 3 herë.

Gjatë ndërtimitEMM bazuar në treguesit e njohur të hyrjes dhe daljes së një objekti përdoret më shpesh si një kriter për afërsinë e pasqyrimit të modelit të vetive të kontrollit ...shuma minimale e diferencave në katror.

Kur pranohetshënimi...Dalja e kapitalit dhe shuma e investimit bruto.

Kur pranohetshënimi f(Kо) - produktiviteti i punës në një trajektore të palëvizshme, - raporti kapital-punë në një trajektore të palëvizshme duket si...().

Kur pranohet Shënimi në modelin Solow, kushti që ekonomia të arrijë një trajektore të palëvizshme ka formën e përgjigjes: k(t)=k në fuqinë 0=konst.

Me shënimin e pranuar…një nga ekuacionet në modelin e R. Solow në njësi relative do të ketë formën: dk(t)/dt=(-(g+m)k(t)/(1)+j(1 -a)f/(2) Në këtë ekuacion, termat (1) dhe (2) pasqyrojnë ndikimin në ndryshimin e raportit kapital-punë.

Përveç se kushte të barabarta me rritjen e çmimeve kërkesa për mallra Giffin kërkesa për gjithçka po rritet .

Kur vendoset ;p1x1+p2x2=I ku I=1000, p1=5, p2=10ed.. Sa është sasia e prodhimit të parë të prodhimit të dytë….100 njësi - 1 produkt dhe 50 njësi - e dyta.

Kur vendosetproblemet e zgjedhjes së konsumatorit morën një sistem ekuacionesh ;p1x1+p2x2=I ku I=1000, p1=10, p2=5ed.. Sa është sasia e prodhimit të 1-rë të prodhimit të 2-të. ….50, 100.

Kur rritettë ardhurat, kërkesa për një produkt me një çmim konstant zakonisht...Rritet (ndryshon sipas ligjit sinusoidal).

Prodhimi Unë jam një funksion , atëherë prodhimi margjinal në Kt=4, Lt=25 është i barabartë me 2,5.

Funksioni i prodhimit , atëherë prodhimi marxhinal në Kt=4, Lt=25 është i barabartë me...0.2.

Prodhimi Kt=1100, Lt=9900. Cili është kthimi margjinal i kapitalit?...1.5 (ose 10)

Funksioni i prodhimit lloji quajtur: Funksioni linear, i prodhimit të aditivëve.

Funksioni i prodhimit jepet si X t =K t 0,5 ´L t 0,5, ku K t është kapital, L t është puna. Atëherë produkti margjinal i punës ¶У/¶L në K t =16, L t =25 është i barabartë me: 0,4.

Funksioni i prodhimit të Cobb-Douglas ka pamjen ku Kt=4000, Lt=10. Cili është produktiviteti margjinal i punës? 10.

ProdhimiFunksioni Cobb-Douglas ka formën ku Kt=9000, Lt=10. Cili është produktiviteti margjinal i punës?...15.

Prodhimi Funksioni Cobb-Douglas ka formën: pritshmëria matematikore e faktorit të korrigjimit është .. = 1.

Funksioni i prodhimit Cobb-Douglas ka formën:X t =K t 0,5 ´L t 0,5;K t =900,L t =10. Cili është produktiviteti margjinal i punës ¶Х/¶L: 15.

Prodhimi Një funksion quhet dinamik nëse: 1) koha t shfaqet si një variabël i pavarur që ndikon në vëllimin e daljes 2) Parametrat e PF varen nga koha 3) Karakteristikat e PF varen nga koha.

Funksioni i prodhimit kjo- një funksion i tillë, ndryshorja e pavarur e së cilës merr vlerat e vëllimeve të burimit të përdorur (faktori i prodhimit), dhe ndryshorja e varur merr vlerat e vëllimeve të prodhimit y=f(x).

Prodhimi-tion K-D ka formën me çfarë përqindje do të rritet prodhimi Xt kur kapitali Kt rritet me 1 % (0,4).

Prodhiminjë funksion quhet dinamik nëse:Shfaqet koha t.. Parametrat e PF varen nga koha …. Karakteristikat e funksionit të prodhimit varen nga koha.

E ndërmjetmeProdukti në skemën që pasqyron marrëdhënien e treguesve makroekonomikë në një ekonomi të mbyllur të vendit është:mjetet e punës dhe mallrat e konsumit.

Procesi i themelimitçmimi ekuilibër në modelin e rrjetës së kobures...Mbeten të pandryshuara.

Lëreni funksionin dobia ka formën , çmimet fillestare të mallrave dhe . Të ardhurat e individit janë 2000 njësi, dhe grupi optimal i mallrave ; Nëse çmimi është katërfishuar, atëherë cilat do të jenë të ardhurat e kompensuara të individit dhe vlerat e grupit optimal të mallrave? :I k =2000; x 1 =50; x 2 =40.

Lëreni funksionin dobia ka formën u(x1;x2)=x1*x2, çmimet fillestare të mallrave P1 dhe P2. Të ardhurat individuale = 1000 njësi, dhe grupi optimal i mallrave x1 = 100 njësi, x2 = 20 njësi. Nëse çmimi është rritur me 4 herë, atëherë me çfarë do të jenë të barabarta të ardhurat e kompensuara të individit dhe vlerat e grupit optimal të mallrave (x1 x2)? 2000 50,40.

Modelet e ekuilibritkonsiderohen...Modele që përshkruajnë një gjendje të tillë të ek-ki, kur rezultante e të gjitha forcave. (përgjigja është e barabartë me 0)

Pozicioni në rendin e duhur fazat e ndërtimit të FUI: 1. Paraqitja e problemit ekonomik dhe analiza cilësore e tij 2. Ndërtimi i një modeli matematik 3. Analiza matematikore e modelit 4. Përgatitja e informacionit fillestar 5. Zgjidhja numerike 6. Analiza e rezultateve numerike dhe zbatimi i tyre.

Pozicioninë rendin e duhur fazat e ndërtimit të një EMM: 1. Paraqitja e problemit ekonomik dhe analiza cilësore e tij 2. Ndërtimi i një modeli matematik 3. Analiza matematikore e modelit 4. Përgatitja e informacionit fillestar 5. Zgjidhja numerike 6. Analiza e rezultateve numerike dhe zbatimi i tyre.

Me ndihmën e të cilave modeli (në formën e një formule) është e mundur të pasqyrohet prodhimi bruto, produkti i ndërmjetëm, produkti i brendshëm bruto në nivelin e ekonomisë së vendit: Modeli i bilancit të Leontiev.

Duke përdorurcili model mund të pasqyrojë varësinë e prodhimit bruto dhe burimeve të përdorura në nivelin e ekonomisë së vendit: ...Modeli Cobb-Douglas (PFKD)

Duke përdorurçfarë modeli (në formën e një formule).. lidhja ndërmjet treguesve të VP, produktit të ndërmjetëm, GDP….Modeli i bilancit të Leontiev.

Sistemi i ekuacioneve në modelin Leontief quhet produktiv nëse është i zgjidhshëm. përgjigje: në jo-negative Xi>0, me i=1÷n.

Sipas Në modelin klasik të një ekonomie tregu, oferta e mallrave përcaktohet nga: niveli i punësimit të plotë.

Sipasmodeli klasik i një ekonomie tregu, me të njëjtin GDP, rritja e ofertës monetare do të çojë në...Rritja e çmimit të një njësie të PBB-së.

Sipas modelitRregulli "i artë" i akumulimit i Solow korrespondon me një normë akumulimi të barabartë me koeficientin e elasticitetit α për kapitalin fizik.phi=1.

Sipas modelit Harrord-Domar, me çfarë...r rritje të vëllimit të konsumit do të jetë e barabartë me shkallën e rritjes së të ardhurave: PËRGJIGJE: r< 1/в, r=p .

Sipas modelit Harrord-Domar, në çfarë…..r rritje të vëllimit të konsumit do të jetë e barabartë me shkallën e rritjes së të ardhurave: PËRGJIGJE: nëse r = р0, р0 = а0 /В, а0 është shkalla e akumulimit në fillim. momenti i kohës.

Sipas statike Modeli Leontief, nëse produkti përfundimtar i industrisë së parë është y1 = 1000 njësi, dhe prodhimi bruto x1 = 2500 njësi, sa është vëllimi i prodhimit të industrisë së parë të konsumuar nga industritë e tjera? 1.5.(1500 ose 3500).

Sipas statike Modeli Leontief, nëse produkti përfundimtar i industrisë së parë është y1 = 1500 njësi, dhe prodhimi bruto x1 = 3500 njësi, sa është vëllimi i prodhimit të industrisë së parë të konsumuar nga industritë e tjera? 2000 njësi .

Modeli statikLeontiev përfshin ekuacione të formës…. .

Kushtisht e pastër pprodhimi në bilancin ndërindustri përfshin...Amortizimi, puna dhe të ardhurat neto.

Funksioni i shërbimeve konsumi ka formën .Çmimi për të mirën x është i barabartë me 10, për të mirën y është i barabartë me 5, të ardhurat e konsumatorit janë të barabartë me 200. Atëherë grupi optimal i mallrave të konsumit ka formën: 10,20.

Funksioni i shërbimevekonsumi ka formën .Çmimi për të mirën x është 5, për të mirën y është 10, të ardhurat e konsumatorit janë 200. Atëherë grupi optimal i mallrave të konsumit ka formën...20.10.(200 ose 400)

Funksioni i shërbimevekonsumatori ka prona... dobia marxhinale zvogëlohet nëse konsumi zvogëlohet; një rritje në konsumin e një produkti çon në një rritje të dobisë; (dobia marxhinale e çdo produkti rritet nëse rritet sasia e një produkti tjetër).

Çmimi i shitjes një produkt është i barabartë me 7 njësi. Kostot fikse janë të barabarta me 8000 njësi. Kostot variabile janë të barabarta me 5 njësi. për 1 copë Cili është vëllimi i prodhimit në normë? 4000 njësi

Me çfarë është e barabartë në model Kërkesa e Keynes për obligacione nëse oferta monetare = 1000 njësi. , shpejtësia e qarkullimit të parasë në tregun real është k=0,1, çmimi i një njësie të PBB-së është p=0,5 njësi, vlera e PBB-së është 10,000 njësi... 500.

Çfarë është e barabartë me në modelin e Keynes, kërkesa për obligacione nëse oferta e parasë = 1000 njësi. , shpejtësia e qarkullimit të parasë në tregun real është k=0,1, çmimi i një njësie të PBB-së është p=0,2 njësi, vlera e PBB-së është 10,000 njësi... 800.

Le të shqyrtojmë një lidhje të formës F(x, y)=0, variablat lidhëse x Dhe në. Ne do ta quajmë barazi (1) ekuacioni me dy ndryshore x, y, nëse kjo barazi nuk është e vërtetë për të gjitha çiftet e numrave X Dhe në. Shembuj ekuacionesh: 2x + 3y = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0,

sin x + sin y – 1 = 0.

Nëse (1) është e vërtetë për të gjitha çiftet e numrave x dhe y, atëherë thirret identiteti. Shembuj të identiteteve: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 = 0.

Ne do të quajmë ekuacionin (1) ekuacioni i një grupi pikash (x; y), nëse ky ekuacion plotësohet nga koordinatat X Dhe nëçdo pikë të grupit dhe nuk kënaqen nga koordinatat e asnjë pike që nuk i përket kësaj bashkësie.

Një koncept i rëndësishëm në gjeometrinë analitike është koncepti i ekuacionit të një drejtëze. Le të jepet një sistem koordinativ drejtkëndor dhe një vijë e caktuar në rrafsh α.

Përkufizimi. Ekuacioni (1) quhet ekuacion i linjës α (në sistemin e krijuar koordinativ), nëse ky ekuacion plotësohet nga koordinatat X Dhe nëçdo pikë që shtrihet në vijë α , dhe mos plotësoni koordinatat e asnjë pike që nuk shtrihet në këtë vijë.

Nëse (1) është ekuacioni i drejtëzës α, atëherë do të themi se ekuacioni (1) përcakton (vendos) linjë α.

Linjë α mund të përcaktohet jo vetëm nga një ekuacion i formës (1), por edhe nga një ekuacion i formës

F (P, φ) = 0 që përmban koordinata polare.

• ekuacioni i një drejtëze me një koeficient këndor;

Le të jepet një vijë e drejtë, jo pingule, me boshtin Oh. Le të thërrasim këndi i prirjes jepet një vijë e drejtë në bosht Oh qoshe α , në të cilin duhet të rrotullohet boshti Oh në mënyrë që drejtimi pozitiv të përputhet me një nga drejtimet e drejtëzës. Tangjentja e këndit të prirjes së drejtëzës me boshtin Oh thirrur shpat këtë rresht dhe shënohet me shkronjë TE.

Le të nxjerrim ekuacionin e kësaj drejtëze nëse e dimë atë TE dhe vlerën në segment OB, të cilën e pret në bosht OU.

Ekuacioni (2) quhet ekuacioni i një drejtëze me një koeficient këndor. Nëse K=0, atëherë drejtëza është paralele me boshtin Oh dhe ekuacioni i tij është y = b.

• ekuacioni i drejtëzës që kalon nga dy pika;

Nëse y 1 = y 2, atëherë ekuacioni i vijës së dëshiruar ka formën y = y 1. Në këtë rast, vija e drejtë është paralele me boshtin Oh. Nëse x 1 = x 2, pastaj vija e drejtë që kalon nëpër pika M 1 Dhe M 2, paralel me boshtin OU, ekuacioni i tij ka formën x = x 1.

• ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar me një pjerrësi të caktuar;

dhe, anasjelltas, ekuacioni (5) për koeficientët arbitrarë A, B, C (A Dhe B ≠ 0 njëkohësisht) përcakton një vijë të caktuar të drejtë në një sistem koordinativ drejtkëndor Oh.

Dëshmi.

Së pari, le të vërtetojmë deklaratën e parë. Nëse drejtëza nuk është pingule Oh, atëherë përcaktohet nga ekuacioni i shkallës së parë: y = kx + b, d.m.th. ekuacioni i formës (5), ku

A = k, B = -1 Dhe C = b. Nëse drejtëza është pingul Oh, atëherë të gjitha pikat e saj kanë të njëjtën abshisë, të barabartë me vlerën α segment i prerë nga një vijë e drejtë në bosht Oh.

Ekuacioni i kësaj drejtëze ka formën x = α, ato. është gjithashtu një ekuacion i shkallës së parë të formës (5), ku A = 1, B = 0, C = - α. Kjo dëshmon deklaratën e parë.

Le të vërtetojmë pohimin e kundërt. Le të jepet ekuacioni (5) dhe të paktën një nga koeficientët A Dhe B ≠ 0.

Nëse B ≠ 0, atëherë (5) mund të shkruhet në formën . E sheshtë , marrim ekuacionin y = kx + b, d.m.th. një ekuacion i formës (2) që përcakton një vijë të drejtë.

Nëse B = 0, Kjo A ≠ 0 dhe (5) merr formën . Duke treguar me α, marrim

x = α, d.m.th. ekuacioni i një drejtëze pingul Oh.

Vijat e përcaktuara në një sistem koordinativ drejtkëndor nga një ekuacion i shkallës së parë quhen linjat e rendit të parë.

Ekuacioni i formës Ax + Wu + C = 0është e paplotë, d.m.th. Disa nga koeficientët janë të barabartë me zero.

1) C = 0; Ah + Wu = 0 dhe përcakton një vijë të drejtë që kalon përmes origjinës.

2) B = 0 (A ≠ 0); ekuacionin Ax + C = 0 OU.

3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 dhe përcakton një vijë të drejtë paralele Oh.

Ekuacioni (6) quhet ekuacioni i një drejtëze "në segmente". Numrat A Dhe b janë vlerat e segmenteve që i pret vija e drejtë në boshtet koordinative. Kjo formë e ekuacionit është e përshtatshme për ndërtimin gjeometrik të një vije të drejtë.

• ekuacioni normal i një drejtëze;

Аx + Вy + С = 0 është ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze të caktuar, dhe (5) x cos α + y sin α – p = 0(7)

ekuacioni i tij normal.

Meqenëse ekuacionet (5) dhe (7) përcaktojnë të njëjtën drejtëz, atëherë ( A 1x + B 1y + C 1 = 0 Dhe

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) koeficientët e këtyre ekuacioneve janë proporcional. Kjo do të thotë se duke shumëzuar të gjitha termat e ekuacionit (5) me një faktor të caktuar M, marrim ekuacionin MA x + MV y + MS = 0, që përkon me ekuacionin (7) d.m.th.

MA = cos α, MB = mëkat α, MC = - P(8)

Për të gjetur faktorin M, ne katrorojmë dy të parat e këtyre barazive dhe shtojmë:

M 2 (A 2 + B 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1

Synimi: Konsideroni konceptin e një vije në një aeroplan, jepni shembuj. Bazuar në përkufizimin e një drejtëze, prezantoni konceptin e një ekuacioni të një drejtëze në një rrafsh. Konsideroni llojet e vijave të drejta, jepni shembuj dhe metoda të përcaktimit të një vije të drejtë. Forconi aftësinë për të përkthyer ekuacionin e një vije të drejtë nga një formë e përgjithshme në një ekuacion të një vije të drejtë "në segmente", me një koeficient këndor.

1. Ekuacioni i një drejtëze në një rrafsh.
2. Ekuacioni i një vije të drejtë në një plan. Llojet e ekuacioneve.
3. Metodat për përcaktimin e një vije të drejtë.

1. Le të jenë x dhe y dy ndryshore arbitrare.

Përkufizimi: Quhet një relacion i formës F(x,y)=0 ekuacioni , nëse nuk është e vërtetë për asnjë çift numrash x dhe y.

Shembull: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

Nëse barazia F(x,y)=0 vlen për çdo x, y, atëherë, pra, F(x,y) = 0 është një identitet.

Shembull: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Ata thonë se numrat x janë 0 dhe y janë 0 plotësojnë ekuacionin , nëse me zëvendësimin e tyre në këtë ekuacion ai kthehet në një barazi të vërtetë.

Koncepti më i rëndësishëm i gjeometrisë analitike është koncepti i ekuacionit të një drejtëze.

Përkufizimi: Ekuacioni i një drejtëze të caktuar është ekuacioni F(x,y)=0, i cili plotësohet nga koordinatat e të gjitha pikave që shtrihen në këtë drejtëz dhe nuk plotësohet nga koordinatat e asnjërës prej pikave që nuk shtrihen në këtë drejtëz.

Vija e përcaktuar me ekuacionin y = f(x) quhet grafiku i f(x). Variablat x dhe y quhen koordinata aktuale, sepse ato janë koordinatat e një pike të ndryshueshme.

Disa shembuj përkufizimet e linjave.

1) x – y = 0 => x = y. Ky ekuacion përcakton një vijë të drejtë:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => pikat duhet të plotësojnë ose ekuacionin x - y = 0, ose ekuacionin x + y = 0, që korrespondon në rrafshin me një çift drejtëzash të kryqëzuara që janë përgjysmues të këndeve koordinative:

3) x 2 + y 2 = 0. Ky ekuacion plotësohet vetëm me një pikë O(0,0).

2. Përkufizimi: Çdo vijë e drejtë në aeroplan mund të specifikohet nga një ekuacion i rendit të parë

Ax + Wu + C = 0,

Për më tepër, konstantet A dhe B nuk janë të barabarta me zero në të njëjtën kohë, d.m.th. A 2 + B 2 ¹ 0. Ky ekuacion i rendit të parë quhet ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze.

Në varësi të vlerave të konstanteve A, B dhe C, rastet e mëposhtme të veçanta janë të mundshme:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - vija e drejtë kalon përmes origjinës

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - vijë e drejtë paralele me boshtin Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) - vijë e drejtë paralele me boshtin Oy

B = C = 0, A ¹ 0 - vija e drejtë përkon me boshtin Oy

A = C = 0, B ¹ 0 - vija e drejtë përkon me boshtin Ox

Ekuacioni i një vije të drejtë mund të paraqitet në forma të ndryshme në varësi të kushteve fillestare të dhëna.

Ekuacioni i një drejtëze me një koeficient këndor.

Nëse ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës Ax + By + C = 0 reduktohet në formën:

dhe shënojmë , atëherë thirret ekuacioni që rezulton ekuacioni i drejtëzës me pjerrësi k.

Ekuacioni i një drejtëze në segmente.

Nëse në ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, atëherë, duke e pjesëtuar me –С, marrim: ose , ku

Kuptimi gjeometrik i koeficientëve është se koeficienti Aështë koordinata e pikës së prerjes së drejtëzës me boshtin Ox, dhe b– koordinata e pikës së prerjes së drejtëzës me boshtin Oy.

Ekuacioni normal i një drejtëze.

Nëse të dyja anët e ekuacionit Ax + By + C = 0 pjesëtohen me një numër të quajtur faktori normalizues, atëherë marrim

xcosj + ysinj - p = 0 – ekuacion normal i drejtëzës.

Shenja ± e faktorit normalizues duhet të zgjidhet në mënyrë që m×С< 0.

p është gjatësia e pingules së rënë nga origjina në drejtëz, dhe j është këndi i formuar nga kjo pingul me drejtimin pozitiv të boshtit Ox.

3. Ekuacioni i një drejtëze duke përdorur një pikë dhe pjerrësi.

Le të jetë koeficienti këndor i drejtëzës së barabartë me k, drejtëza kalon nëpër pikën M(x 0, y 0). Atëherë ekuacioni i drejtëzës gjendet me formulën: y – y 0 = k(x – x 0)

Ekuacioni i drejtëzës që kalon nga dy pika.

Le të jepen në hapësirë ​​dy pika M 1 (x 1, y 1, z 1) dhe M 2 (x 2, y 2, z 2), atëherë ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër këto pika është:

Nëse ndonjë prej emërtuesve është zero, numëruesi përkatës duhet të vendoset i barabartë me zero.

Në plan, ekuacioni i vijës së drejtë të shkruar më sipër është thjeshtuar:

nëse x 1 ¹ x 2 dhe x = x 1, nëse x 1 = x 2.

Thyehet thyesa = k shpat drejt.

Le të rishikojmë * Cili ekuacion quhet kuadratik? * Cilat ekuacione quhen ekuacione kuadratike jo të plota? * Cili ekuacion kuadratik quhet i reduktuar? * Si quhet rrënja e ekuacionit kuadratik? * Çfarë do të thotë të zgjidhësh një ekuacion kuadratik? Cili ekuacion quhet kuadratik? Cilat ekuacione quhen ekuacione kuadratike jo të plota? Cili ekuacion kuadratik quhet i reduktuar? Cila është rrënja e një ekuacioni kuadratik? Çfarë do të thotë të zgjidhësh një ekuacion kuadratik? Cili ekuacion quhet kuadratik? Cilat ekuacione quhen ekuacione kuadratike jo të plota? Cili ekuacion kuadratik quhet i reduktuar? Cila është rrënja e një ekuacioni kuadratik? Çfarë do të thotë të zgjidhësh një ekuacion kuadratik?

Algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik: 1. Përcaktoni mënyrën më racionale për të zgjidhur një ekuacion kuadratik 2. Zgjidhni mënyrën më racionale për të zgjidhur një ekuacion kuadratik 3. Përcaktimi i numrit të rrënjëve të një ekuacioni kuadratik 4. Gjetja e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik Për më mirë memorizimi, plotësoni tabelën... Për memorizimin më të mirë, plotësoni tabelën... Për memorizimin më të mirë, plotësoni tabelën...

Kushti shtesë Rrënjët e ekuacionit Shembuj 1. c = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, b 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c = 0, a 0, c 0 ax 2 + c = 0 a) x 1.2 = ±(c/a), ku c/a 0. b) nëse c/a 0, atëherë nuk ka zgjidhje 4. a 0 ax 2 + bx + c = 0 x 1.2 =(-b±D)/2 a, ku D = b 2 – 4 ac, D0 5. c – numër çift (b = 2k), a 0, në 0, c 0 х 2 + 2kx + c = 0 x 1.2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, ku k = 6. Teorema e anasjelltë e teoremës së Vietës x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q

II. Metoda të veçanta 7. Metoda e izolimit të katrorit të një binomi. Qëllimi: Reduktoni një ekuacion të përgjithshëm në një ekuacion kuadratik jo të plotë. Shënim: metoda është e zbatueshme për çdo ekuacion kuadratik, por nuk është gjithmonë e përshtatshme për t'u përdorur. Përdoret për të vërtetuar formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Shembull: zgjidhni ekuacionin x 2 -6 x+8=0 8. Mënyra e “transferimit” të koeficientit më të lartë. Rrënjët e ekuacioneve kuadratike ax 2 + bx + c = 0 dhe y 2 +nga+ac=0 lidhen me relacionet: dhe Shënim: metoda është e mirë për ekuacionet kuadratike me koeficientë "të përshtatshëm". Në disa raste, ju lejon të zgjidhni një ekuacion kuadratik me gojë. Shembull: zgjidhni ekuacionin 2 x 2 -9 x-5=0 Bazuar në teorema: Shembull: zgjidhni ekuacionin 157 x x-177=0 9. Nëse në një ekuacion kuadratik a+b+c=0, atëherë një nga rrënjët janë 1, dhe e dyta, sipas teoremës së Vietës, është e barabartë me c / a 10. Nëse në një ekuacion kuadratik a + c = b, atëherë njëra prej rrënjëve është e barabartë me -1, dhe e dyta, sipas Vietës teorema, është e barabartë me -c / a Shembull: zgjidhni ekuacionin 203 x x + 17 = 0 x 1 =y 1 /a, x 2 =y 2 /a

III. Metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve 11. Metoda e faktorizimit. Qëllimi: Zvogëloni një ekuacion të përgjithshëm kuadratik në formën A(x)·B(x)=0, ku A(x) dhe B(x) janë polinome në lidhje me x. Metodat: Nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave; Përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit; Metoda e grupimit. Shembull: zgjidhni ekuacionin 3 x 2 +2 x-1=0 12. Mënyra e prezantimit të një ndryshoreje të re. Zgjedhja e mirë e një ndryshoreje të re e bën strukturën e ekuacionit më transparent Shembull: zgjidhni ekuacionin (x 2 +3 x-25) 2 -6 (x 2 +3 x-25) = - 8