Ekuacioni i drejtëzave prerëse. Gjetja e pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave duke përdorur kënde dhe dy pika të njohura (biangulimi)

Mësimi nga seria "Algoritmet gjeometrike"

Përshëndetje i dashur lexues!

Le të vazhdojmë të njihemi me algoritmet gjeometrike. Në mësimin e fundit, gjetëm ekuacionin e një drejtëze duke përdorur koordinatat e dy pikave. Ne morëm një ekuacion të formës:

Sot do të shkruajmë një funksion që, duke përdorur ekuacionet e dy drejtëzave, do të gjejë koordinatat e pikës së tyre të kryqëzimit (nëse ka një të tillë). Për të kontrolluar barazinë e numrave realë, do të përdorim funksionin special RealEq().

Pikat në aeroplan përshkruhen nga një çift numrash realë. Kur përdorni një lloj real, është më mirë të zbatoni operacione krahasimi duke përdorur funksione speciale.

Arsyeja dihet: në tipin Real në sistemin e programimit Pascal nuk ka lidhje rendi, prandaj është më mirë të mos përdoren rekorde të formës a = b, ku a dhe b janë numra realë.
Sot do të prezantojmë funksionin RealEq() për të zbatuar operacionin “=” (rreptësisht i barabartë):

Funksioni RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (rreptësisht e barabartë) fillojnë RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Detyrë. Janë dhënë ekuacionet e dy drejtëzave: dhe . Gjeni pikën e kryqëzimit të tyre.

Zgjidhje. Zgjidhja e qartë është zgjidhja e sistemit të ekuacioneve të linjave: Le ta rishkruajmë këtë sistem pak më ndryshe:
(1)

Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm: , , . Këtu D është përcaktuesi i sistemit dhe janë përcaktuesit që rezultojnë nga zëvendësimi i kolonës së koeficientëve për të panjohurën përkatëse me një kolonë me terma të lirë. Nëse , atëherë sistemi (1) është i përcaktuar, domethënë ka një zgjidhje unike. Kjo zgjidhje mund të gjendet duke përdorur formulat e mëposhtme: , të cilat quhen Formulat e kramerit. Më lejoni t'ju kujtoj se si llogaritet përcaktorja e rendit të dytë. Përcaktori dallon dy diagonale: kryesore dhe dytësore. Diagonalja kryesore përbëhet nga elementë të marrë në drejtim nga këndi i sipërm i majtë i përcaktorit në këndin e poshtëm të djathtë. Diagonalja anësore - nga e djathta e sipërme në të majtë të poshtme. Përcaktori i rendit të dytë është i barabartë me produktin e elementeve të diagonales kryesore minus produktin e elementeve të diagonales dytësore.

Kodi përdor funksionin RealEq() për të kontrolluar barazinë. Llogaritjet në numra realë kryhen me saktësi _Eps=1e-7.

Programi geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(saktësia e llogaritjes) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real;<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Funksioni RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (rreptësisht e barabartë) fillojnë RealEq:=Abs(a-b)

Ne kemi përpiluar një program me të cilin, duke ditur ekuacionet e drejtëzave, mund të gjeni koordinatat e pikave të kryqëzimit të tyre.

Kur zgjidhni disa probleme gjeometrike duke përdorur metodën e koordinatave, duhet të gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit të vijave. Më shpesh ju duhet të kërkoni për koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy vijave në një aeroplan, por ndonjëherë ekziston nevoja për të përcaktuar koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy vijave në hapësirë. Në këtë artikull do të merremi me gjetjen e koordinatave të pikës në të cilën kryqëzohen dy drejtëza.

Navigimi i faqes.

Pika e kryqëzimit të dy drejtëzave është një përkufizim.

Le të përcaktojmë fillimisht pikën e kryqëzimit të dy drejtëzave.

Në seksionin mbi pozicionin relativ të drejtëzave në një plan, tregohet se dy drejtëza në një rrafsh mund të përkojnë (dhe kanë pafundësisht shumë pika të përbashkëta), ose të jenë paralele (dhe dy drejtëza nuk kanë pika të përbashkëta), ose të kryqëzohen. , duke pasur një pikë të përbashkët. Ka më shumë opsione për pozicionin relativ të dy linjave në hapësirë ​​- ato mund të përkojnë (kanë pafundësisht shumë pika të përbashkëta), ato mund të jenë paralele (d.m.th., të shtrihen në të njëjtin plan dhe të mos kryqëzohen), ato mund të jenë të kryqëzuara (jo shtrihen në të njëjtin plan), dhe ato gjithashtu mund të kenë një pikë të përbashkët, domethënë të kryqëzohen. Pra, dy drejtëza si në rrafsh ashtu edhe në hapësirë ​​quhen të kryqëzuara nëse kanë një pikë të përbashkët. Nga përkufizimi i drejtëzave të kryqëzuara rrjedh përcaktimi i pikës së kryqëzimit të drejtëzave

: Pika në të cilën kryqëzohen dy drejtëza quhet pika e prerjes së këtyre drejtëzave. Me fjalë të tjera, pika e vetme e përbashkët e dy drejtëzave kryqëzuese është pika e kryqëzimit të këtyre drejtëzave.

Për qartësi, ne paraqesim një ilustrim grafik të pikës së kryqëzimit të dy vijave të drejta në një plan dhe në hapësirë.

Në krye të faqes

Gjetja e koordinatave të pikës së prerjes së dy drejtëzave në një rrafsh.

Përpara se të gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave në një plan duke përdorur ekuacionet e tyre të njohura, merrni parasysh një problem ndihmës. Oksi a Dhe b Oksi. Do ta supozojmë drejt Dhe korrespondon me një ekuacion të përgjithshëm të drejtëzës së formës dhe vijës së drejtë – lloji. Le të jetë një pikë në aeroplan, dhe ne duhet të zbulojmë nëse pika është M 0

pika e prerjes së drejtëzave të dhëna.

Le ta zgjidhim problemin. Nëse Oksi a Dhe M0 Oksi, atëherë sipas definicionit i takon edhe vijës Dhe, domethënë, koordinatat e tij duhet të plotësojnë si ekuacionin ashtu edhe ekuacionin. Prandaj, duhet të zëvendësojmë koordinatat e pikës – lloji. Le të jetë një pikë në aeroplan, dhe ne duhet të zbulojmë nëse pika është në ekuacionet e drejtëzave të dhëna dhe shikoni nëse kjo rezulton në dy barazi të sakta. Nëse koordinatat e pikës – lloji. Le të jetë një pikë në aeroplan, dhe ne duhet të zbulojmë nëse pika është plotësoni të dy ekuacionet dhe , atëherë është pika e kryqëzimit të vijave Oksi a Dhe, ndryshe – lloji. Le të jetë një pikë në aeroplan, dhe ne duhet të zbulojmë nëse pika është .

Është pika – lloji. Le të jetë një pikë në aeroplan, dhe ne duhet të zbulojmë nëse pika është me koordinata (2, -3) pika e kryqëzimit të vijave 5x-2y-16=0 Dhe 2x-5y-19=0?

Le ta zgjidhim problemin. – lloji. Le të jetë një pikë në aeroplan, dhe ne duhet të zbulojmë nëse pika ështëështë me të vërtetë pika e prerjes së drejtëzave të dhëna, atëherë koordinatat e saj plotësojnë ekuacionet e drejtëzave. Le ta kontrollojmë këtë duke zëvendësuar koordinatat e pikës – lloji. Le të jetë një pikë në aeroplan, dhe ne duhet të zbulojmë nëse pika është në ekuacionet e dhëna:

Ne morëm dy barazi të vërteta, prandaj, M 0 (2, -3)- pika e prerjes së vijave 5x-2y-16=0 a 2x-5y-19=0.

Për qartësi, ne paraqesim një vizatim që tregon linjat e drejta dhe koordinatat e pikave të tyre të kryqëzimit janë të dukshme.

po, perioda M 0 (2, -3)është pika e kryqëzimit të vijave 5x-2y-16=0 a 2x-5y-19=0.

A kryqëzohen vijat? 5x+3y-1=0 a 7x-2y+11=0 në pikën M 0 (2, -3)?

Le të zëvendësojmë koordinatat e pikës – lloji. Le të jetë një pikë në aeroplan, dhe ne duhet të zbulojmë nëse pika është në ekuacionet e drejtëzave, ky veprim do të kontrollojë nëse pika i përket – lloji. Le të jetë një pikë në aeroplan, dhe ne duhet të zbulojmë nëse pika është të dy linjat e drejta në të njëjtën kohë:

Që nga ekuacioni i dytë, kur zëvendësohen koordinatat e pikës në të – lloji. Le të jetë një pikë në aeroplan, dhe ne duhet të zbulojmë nëse pika është nuk u kthye në një barazi të vërtetë, atëherë pikë – lloji. Le të jetë një pikë në aeroplan, dhe ne duhet të zbulojmë nëse pika është nuk i përket linjës 7x-2y+11=0. Nga ky fakt mund të konkludojmë se pika – lloji. Le të jetë një pikë në aeroplan, dhe ne duhet të zbulojmë nëse pika është nuk është pika e prerjes së drejtëzave të dhëna.

Vizatimi gjithashtu tregon qartë se pika – lloji. Le të jetë një pikë në aeroplan, dhe ne duhet të zbulojmë nëse pika është nuk është pika e kryqëzimit të vijave 5x+3y-1=0 a 7x-2y+11=0. Natyrisht, vijat e dhëna kryqëzohen në një pikë me koordinatat (-1, 2) .

M 0 (2, -3) nuk është pika e kryqëzimit të vijave 5x+3y-1=0 a 7x-2y+11=0.

Tani mund të kalojmë në detyrën e gjetjes së koordinatave të pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave duke përdorur ekuacionet e dhëna të drejtëzave në një plan.

Le të fiksohet në plan një sistem koordinativ drejtkëndor Kartezian Përpara se të gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave në një plan duke përdorur ekuacionet e tyre të njohura, merrni parasysh një problem ndihmës. dhe jepen dy drejtëza të kryqëzuara Oksi a Dhe ekuacionet dhe përkatësisht. Le ta shënojmë pikën e prerjes së drejtëzave të dhëna si – lloji. Le të jetë një pikë në aeroplan, dhe ne duhet të zbulojmë nëse pika është dhe zgjidhni problemën e mëposhtme: gjeni koordinatat e pikës së prerjes së dy drejtëzave Oksi a Dhe sipas ekuacioneve të njohura të këtyre drejtëzave dhe .

Pika Nëse i përket secilës prej drejtëzave të kryqëzuara Oksi a Dhe a-paror. Pastaj koordinatat e pikës së kryqëzimit të vijave Oksi a Dhe plotësoni edhe ekuacionin edhe ekuacionin . Prandaj, koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave Oksi a Dhe janë zgjidhja e një sistemi ekuacionesh (shih artikullin Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare).

Kështu, për të gjetur koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy vijave të drejta të përcaktuara në një plan me ekuacione të përgjithshme, duhet të zgjidhni një sistem të përbërë nga ekuacione të drejtëzave të dhëna.

Le të shohim shembullin e zgjidhjes.

Gjeni pikën e kryqëzimit të dy drejtëzave të përcaktuara në një sistem koordinativ drejtkëndor në një plan nga ekuacionet x-9y+14=0 a 5x-2y-16=0.

Na janë dhënë dy ekuacione të përgjithshme të drejtëzave, le të bëjmë një sistem prej tyre: . Zgjidhjet për sistemin rezultues të ekuacioneve gjenden lehtësisht duke zgjidhur ekuacionin e tij të parë në lidhje me variablin x dhe zëvendësojeni këtë shprehje në ekuacionin e dytë:

Zgjidhja e gjetur e sistemit të ekuacioneve na jep koordinatat e dëshiruara të pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave.

M 0 (4, 2)– pika e prerjes së vijave x-9y+14=0 a 5x-2y-16=0.

Pra, gjetja e koordinatave të pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave, të përcaktuara me ekuacione të përgjithshme në një rrafsh, zbret në zgjidhjen e një sistemi me dy ekuacione lineare me dy ndryshore të panjohura. Por, çka nëse linjat në një rrafsh jepen jo nga ekuacione të përgjithshme, por nga ekuacione të një lloji tjetër (shih llojet e ekuacioneve të një linje në një plan)? Në këto raste, së pari mund të reduktoni ekuacionet e vijave në një formë të përgjithshme dhe vetëm pas kësaj të gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit.

Para se të gjejmë koordinatat e pikës së kryqëzimit të drejtëzave të dhëna, i reduktojmë ekuacionet e tyre në një formë të përgjithshme. Kalimi nga ekuacionet parametrike të një rreshti në ekuacionin e përgjithshëm të kësaj linje duket kështu:

Tani le të kryejmë veprimet e nevojshme me ekuacionin kanonik të vijës së drejtë:

Kështu, koordinatat e dëshiruara të pikës së kryqëzimit të vijave janë një zgjidhje për një sistem ekuacionesh të formës . Ne përdorim metodën e Cramer për ta zgjidhur atë:

M 0 (-5, 1)

Ekziston një mënyrë tjetër për të gjetur koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave në një plan. Është i përshtatshëm për t'u përdorur kur njëra nga rreshtat jepet nga ekuacionet parametrike të formës, dhe tjetra nga një ekuacion vijash i një lloji tjetër. Në këtë rast, në një ekuacion tjetër në vend të variablave x a y ju mund të zëvendësoni shprehjet dhe , nga ku mund të merrni vlerën që i përgjigjet pikës së kryqëzimit të vijave të dhëna. Në këtë rast, pika e kryqëzimit të vijave ka koordinata.

Le të gjejmë koordinatat e pikës së kryqëzimit të vijave nga shembulli i mëparshëm duke përdorur këtë metodë.

Përcaktoni koordinatat e pikës së prerjes së drejtëzave dhe .

Le të zëvendësojmë shprehjen e drejtëzës në ekuacionin:

Pasi kemi zgjidhur ekuacionin që rezulton, marrim . Kjo vlerë korrespondon me pikën e përbashkët të vijave dhe . Ne llogarisim koordinatat e pikës së kryqëzimit duke zëvendësuar një vijë të drejtë në ekuacionet parametrike:
.

M 0 (-5, 1).

Për të plotësuar figurën, duhet diskutuar edhe një pikë.

Përpara se të gjeni koordinatat e pikës së prerjes së dy drejtëzave në një plan, është e dobishme të siguroheni që linjat e dhëna në të vërtetë kryqëzohen. Nëse rezulton se linjat origjinale përkojnë ose janë paralele, atëherë nuk mund të bëhet fjalë për gjetjen e koordinatave të pikës së kryqëzimit të vijave të tilla.

Ju, natyrisht, mund të bëni pa një kontroll të tillë, por menjëherë krijoni një sistem ekuacionesh të formës dhe zgjidheni atë. Nëse një sistem ekuacionesh ka një zgjidhje unike, atëherë ai jep koordinatat e pikës në të cilën kryqëzohen vijat origjinale. Nëse sistemi i ekuacioneve nuk ka zgjidhje, atëherë mund të konkludojmë se drejtëzat origjinale janë paralele (pasi nuk ka një çift të tillë numrash realë x a y, i cili do të kënaqte njëkohësisht të dy ekuacionet e linjave të dhëna). Nga prania e një numri të pafund zgjidhjesh në një sistem ekuacionesh, rrjedh se vijat e drejta origjinale kanë pafundësisht shumë pika të përbashkëta, domethënë ato përkojnë.

Le të shohim shembuj që i përshtaten këtyre situatave.

Zbuloni nëse linjat dhe kryqëzohen, dhe nëse ato kryqëzohen, atëherë gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit.

Ekuacionet e dhëna të drejtëzave korrespondojnë me ekuacionet dhe . Le të zgjidhim sistemin e përbërë nga këto ekuacione.

Është e qartë se ekuacionet e sistemit shprehen në mënyrë lineare përmes njëri-tjetrit (ekuacioni i dytë i sistemit përftohet nga i pari duke shumëzuar të dy pjesët e tij me 4 ), pra, sistemi i ekuacioneve ka një numër të pafund zgjidhjesh. Kështu, ekuacionet përcaktojnë të njëjtën drejtëz dhe nuk mund të flasim për gjetjen e koordinatave të pikës së kryqëzimit të këtyre drejtëzave.

ekuacionet dhe përcaktohen në një sistem koordinativ drejtkëndor Përpara se të gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave në një plan duke përdorur ekuacionet e tyre të njohura, merrni parasysh një problem ndihmës. të njëjtën drejtëz, kështu që nuk mund të flasim për gjetjen e koordinatave të pikës së kryqëzimit.

Gjeni koordinatat e pikës së prerjes së drejtëzave dhe , nëse është e mundur.

Gjendja e problemit lejon që linjat të mos kryqëzohen. Le të krijojmë një sistem nga këto ekuacione. Le të zbatojmë metodën e Gausit për ta zgjidhur atë, pasi na lejon të vendosim përputhshmërinë ose papajtueshmërinë e një sistemi ekuacionesh dhe nëse është i pajtueshëm, gjejmë një zgjidhje:

Ekuacioni i fundit i sistemit pas kalimit të drejtpërdrejtë të metodës Gauss u shndërrua në një barazi të pasaktë, prandaj, sistemi i ekuacioneve nuk ka zgjidhje. Nga kjo mund të konkludojmë se drejtëzat origjinale janë paralele dhe nuk mund të flasim për gjetjen e koordinatave të pikës së kryqëzimit të këtyre drejtëzave.

Zgjidhja e dytë.

Le të zbulojmë nëse drejtëzat e dhëna kryqëzohen.

Një vektor normal është një vijë, dhe një vektor është një vektor normal i një vije. Le të kontrollojmë që kushti për kolinearitetin e vektorëve dhe : barazia është i vërtetë, pasi, pra, vektorët normalë të drejtëzave të dhëna janë kolinearë. Atëherë këto rreshta janë paralele ose të rastësishme. Kështu, ne nuk mund të gjejmë koordinatat e pikës së kryqëzimit të vijave origjinale.

është e pamundur të gjenden koordinatat e pikës së kryqëzimit të drejtëzave të dhëna, pasi këto drejtëza janë paralele.

Gjeni koordinatat e pikës së prerjes së drejtëzave 2x-1=0 dhe , nëse ato kryqëzohen.

Të hartojmë një sistem ekuacionesh që janë ekuacione të përgjithshme të drejtëzave të dhëna: . Përcaktori i matricës kryesore të këtij sistemi ekuacionesh është jozero, prandaj sistemi i ekuacioneve ka një zgjidhje unike, e cila tregon prerjen e drejtëzave të dhëna.

Për të gjetur koordinatat e pikës së kryqëzimit të vijave, duhet të zgjidhim sistemin:

Zgjidhja që rezulton na jep koordinatat e pikës së kryqëzimit të vijave, domethënë pikën e kryqëzimit të vijave 2x-1=0 Dhe .

Për qartësi, ne paraqesim një ilustrim grafik të pikës së kryqëzimit të dy vijave të drejta në një plan dhe në hapësirë.

Gjetja e koordinatave të pikës së prerjes së dy drejtëzave në hapësirë.

Në mënyrë të ngjashme gjenden koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave në hapësirën tredimensionale.

Lërini vijat e kryqëzuara Oksi a Dhe specifikuar në një sistem koordinativ drejtkëndor Oxyz ekuacionet e dy rrafsheve të kryqëzuara, domethënë një vijë e drejtë Oksi përcaktohet nga një sistem i formës dhe vijës së drejtë Dhe- . Le – lloji. Le të jetë një pikë në aeroplan, dhe ne duhet të zbulojmë nëse pika është– pika e prerjes së vijave Oksi a Dhe. Pastaj tregoni – lloji. Le të jetë një pikë në aeroplan, dhe ne duhet të zbulojmë nëse pika është sipas definicionit i përket edhe vijës Oksi dhe drejt Dhe, pra, koordinatat e tij plotësojnë ekuacionet e të dy drejtëzave. Kështu, koordinatat e pikës së kryqëzimit të vijave Oksi a Dhe paraqesin një zgjidhje të një sistemi ekuacionesh lineare të formës . Këtu do të na duhen informacione nga seksioni për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare në të cilat numri i ekuacioneve nuk përkon me numrin e ndryshoreve të panjohura.

Le të shohim zgjidhjet e shembujve.

Gjeni koordinatat e pikës së prerjes së dy drejtëzave të përcaktuara në hapësirë ​​nga ekuacionet dhe .

Le të hartojmë një sistem ekuacionesh nga ekuacionet e drejtëzave të dhëna: . Zgjidhja e këtij sistemi do të na japë koordinatat e kërkuara të pikës së kryqëzimit të drejtëzave në hapësirë. Le të gjejmë zgjidhjen e sistemit të shkruar të ekuacioneve.

Matrica kryesore e sistemit ka formën , dhe atë të zgjeruar - .

Le të përcaktojmë rangun e matricës A dhe renditja e matricës T. Ne përdorim metodën e kufirit të të miturve, por nuk do të përshkruajmë në detaje llogaritjen e përcaktuesve (nëse është e nevojshme, referojuni artikullit Llogaritja e përcaktuesit të një matrice):

Kështu, grada e matricës kryesore është e barabartë me gradën e matricës së zgjeruar dhe është e barabartë me tre.

Për rrjedhojë, sistemi i ekuacioneve ka një zgjidhje unike.

Ne do të marrim përcaktorin si bazë minor, prandaj ekuacioni i fundit duhet të përjashtohet nga sistemi i ekuacioneve, pasi nuk merr pjesë në formimin e bazës minore. Kështu që,

Zgjidhja për sistemin që rezulton është e lehtë për t'u gjetur:

Kështu, pika e kryqëzimit të vijave ka koordinata (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Duhet të theksohet se sistemi i ekuacioneve ka një zgjidhje unike nëse dhe vetëm nëse vijat e drejta Oksi a Dhe kryqëzohen. Nëse drejt A a Dhe paralele ose kryqëzuese, atëherë sistemi i fundit i ekuacioneve nuk ka zgjidhje, pasi në këtë rast drejtëzat nuk kanë pika të përbashkëta. Nëse drejt Oksi a Dhe përkojnë, atëherë ato kanë një numër të pafund pikash të përbashkëta, prandaj, sistemi i treguar i ekuacioneve ka një numër të pafund zgjidhjesh. Megjithatë, në këto raste nuk mund të flasim për gjetjen e koordinatave të pikës së prerjes së drejtëzave, pasi vijat nuk janë të kryqëzuara.

Kështu, nëse nuk e dimë paraprakisht nëse drejtëzat e dhëna kryqëzohen Oksi a Dhe apo jo, atëherë është e arsyeshme të krijohet një sistem ekuacionesh të formës dhe të zgjidhet me metodën e Gausit. Nëse marrim një zgjidhje unike, atëherë ajo do të korrespondojë me koordinatat e pikës së kryqëzimit të vijave Oksi a Dhe. Nëse sistemi rezulton i paqëndrueshëm, atëherë i drejtpërdrejtë Oksi a Dhe mos kryqëzohen. Nëse sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh, atëherë vijat e drejta Oksi a Dhe përputhen.

Ju mund të bëni pa përdorur metodën Gaussian. Përndryshe, ju mund të llogaritni radhët e matricave kryesore dhe të zgjeruara të këtij sistemi dhe bazuar në të dhënat e marra dhe teoremën Kronecker-Capelli, të konkludoni ose ekzistencën e një zgjidhjeje të vetme, ose ekzistencën e shumë zgjidhjeve, ose mungesën e Zgjidhjet. Është çështje shije.

Nëse linjat kryqëzohen, atëherë përcaktoni koordinatat e pikës së kryqëzimit.

Le të krijojmë një sistem nga ekuacionet e dhëna: . Le ta zgjidhim duke përdorur metodën Gaussian në formën e matricës:

U bë e qartë se sistemi i ekuacioneve nuk ka zgjidhje, prandaj, linjat e dhëna nuk kryqëzohen, dhe nuk mund të bëhet fjalë për gjetjen e koordinatave të pikës së kryqëzimit të këtyre vijave.

nuk mund të gjejmë koordinatat e pikës së kryqëzimit të drejtëzave të dhëna, pasi këto drejtëza nuk priten.

Kur linjat kryqëzuese jepen me ekuacione kanonike të një drejtëze në hapësirë ​​ose me ekuacione parametrike të një drejtëze në hapësirë, atëherë së pari duhet të merren ekuacionet e tyre në formën e dy rrafsheve të kryqëzuara dhe vetëm pas kësaj të gjenden koordinatat e pikës së kryqëzimit.

Dy linja kryqëzuese përcaktohen në një sistem koordinativ drejtkëndor Oxyz ekuacionet dhe . Gjeni koordinatat e pikës së prerjes së këtyre drejtëzave.

Le të përcaktojmë drejtëzat fillestare me ekuacionet e dy rrafsheve të kryqëzuara:

Për të gjetur koordinatat e pikës së kryqëzimit të vijave, mbetet të zgjidhet sistemi i ekuacioneve. Rangu i matricës kryesore të këtij sistemi është i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar dhe është i barabartë me tre (rekomandojmë të kontrolloni këtë fakt). Le të marrim si bazë minor, pra, mund të eliminojmë ekuacionin e fundit nga sistemi. Pasi të kemi zgjidhur sistemin që rezulton duke përdorur çdo metodë (për shembull, metoda e Cramer), marrim zgjidhjen. Kështu, pika e kryqëzimit të vijave ka koordinata (-2, 3, -5) .

1. Për të gjetur koordinatat e pikës së kryqëzimit të grafikëve të funksioneve, duhet të barazoni të dy funksionet me njëri-tjetrin, të zhvendosni të gjithë termat që përmbajnë $ x $ në anën e majtë dhe pjesën tjetër në anën e djathtë dhe të gjeni rrënjët e ekuacioni që rezulton.
2. Metoda e dytë është krijimi i një sistemi ekuacionesh dhe zgjidhja e tij duke zëvendësuar një funksion në një tjetër
3. Metoda e tretë përfshin ndërtimin grafik të funksioneve dhe përcaktimin vizual të pikës së kryqëzimit.

Rasti i dy funksioneve lineare

Konsideroni dy funksione lineare $ f(x) = k_1 x+m_1 $ dhe $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Këto funksione quhen të drejtpërdrejta. Është mjaft e lehtë t'i ndërtosh ato, duhet të marrësh çdo dy vlera $ x_1 $ dhe $ x_2 $ dhe të gjesh $ f(x_1) $ dhe $ (x_2) $. Më pas përsërisni të njëjtën gjë me funksionin $g(x) $. Më pas, gjeni vizualisht koordinatat e pikës së kryqëzimit të grafikëve të funksionit.

Duhet të dini se funksionet lineare kanë vetëm një pikë kryqëzimi dhe vetëm kur $ k_1 \neq k_2 $. Përndryshe, në rastin e $ k_1=k_2 $ funksionet janë paralele me njëri-tjetrin, pasi që $ k $ është koeficienti i pjerrësisë. Nëse $ k_1 \neq k_2 $ por $ m_1=m_2 $, atëherë pika e kryqëzimit do të jetë $ M(0;m) $. Këshillohet të mbani mend këtë rregull për të zgjidhur shpejt problemet.

Rasti i dy funksioneve jolineare

Komentet 11

Detyrë

Gjeni pikën e prerjes së dy drejtëzave të vizatuara nga dy pika me koordinata dhe azimute të njohura nga këto pika.

Aplikacion

Për të studiuar sjelljen e kafshëve, shpesh përdoret metoda e radiotelemetrisë: objekti në studim shënohet me një radio transmetues, i cili lëshon një sinjal radio të një frekuence të caktuar, dhe më pas studiuesi, duke përdorur një marrës dhe antenë marrëse, monitoron lëvizjet. të këtij objekti. Një mënyrë e mundshme për të përcaktuar vendndodhjen e saktë të një objekti është metoda e biangulimit. Për ta bërë këtë, studiuesi duhet të marrë 2 azimute në objektin në studim nga pikat me koordinata të njohura. Vendndodhja e objektit do të korrespondojë me pikën e kryqëzimit të këtyre dy azimuteve. Koordinatat e pikave nga të cilat maten azimutet mund të merren duke përdorur një navigator satelitor (GPS), ose azimutet merren nga pikat e referencës, koordinatat e të cilave janë të njohura paraprakisht. Azimuth në këtë rast është drejtimi drejt burimit të sinjalit më të fortë që del nga një objekt i shënuar nga transmetuesi, i matur zakonisht në gradë.

Para llogaritjeve, është e nevojshme të konvertohen pikat e marra duke përdorur GPS në një sistem koordinativ të projektuar, për shembull zona përkatëse UTM kjo mund të bëhet duke përdorur DNRGarmin;

Në mënyrë që vendndodhja e llogaritur e objektit në studim të korrespondojë më saktë me pozicionin real, duhet të merren parasysh sa vijon:

1) duhet të përpiqeni të prisni derisa gabimi në përcaktimin e koordinatave në navigator të jetë sa më i vogël që të jetë e mundur.

2) në mënyrë që këndi midis azimuteve të priret në 90 gradë (të paktën është më shumë se 30 dhe më pak se 150 gradë).

Distanca nga e cila duhet të merret azimuti varet nga diapazoni i transmetuesit, dhe rregulli i madh është që gabimi në përcaktimin e azimutit rritet me 1 metër me distancën nga objekti në studim për çdo 10 m. kur merrni një azimut me një distancë nga një objekt prej 100 m, gabimi do të jetë 10 m, megjithatë, ky rregull është i zbatueshëm në zona të sheshta dhe të hapura. Duhet pasur parasysh se terreni i pabarabartë dhe bimësia e pemëve dhe shkurreve ekranizohen dhe pasqyrojnë sinjalin. Duhet të shmangni të qenit në afërsi të objektit që studiohet, sepse së pari, një sinjal shumë i fortë do ta bëjë të vështirë përcaktimin e azimutit të saktë dhe, së dyti, në disa raste do të jetë e pamundur të llogaritet pika e kryqëzimit për shkak të faktit se azimuti i dytë do të kalojë pas pikës ku ishte azimuti i parë marrë. Intervali kohor midis marrjes së një palë azimutesh duhet të minimizohet, por, natyrisht, varet nga lëvizshmëria e kafshës që studiohet.

Zgjidhje

Problemi zgjidhet duke përdorur gjeometrinë e thjeshtë dhe duke zgjidhur një sistem ekuacionesh.
Për të filluar, nga një pikë dhe azimut ne marrim ekuacionin e një vije të drejtë, për këtë:

Nga një ekuacion i përgjithshëm:

sëpatë + nga + c = 0

me kusht që b<>0 marrim

y = kx + d , Ku k=-(a/b) , d=-(c/b)

kështu marrim

k=tan(a)
d=y-tan(a)*x
b=1

k1x + d1 = y
k2x + d2 = y

Marrim koordinatat X dhe Y të pikës së përbashkët të dy drejtëzave (pika e kryqëzimit).

Ekuacioni duhet të parashikojë dy raste të veçanta kur drejtëzat janë paralele (k1=k2).

Meqenëse nuk kemi të bëjmë me vektorë apo rreze, pra vijat nuk kanë fillim dhe fund, është e nevojshme të parashikohet edhe rasti i kryqëzimit të vijave jashtë zonës së interesit, i ashtuquajturi. kryqëzim i rremë. Zgjidhja e këtij problemi arrihet duke matur azimutin nga pika e rreme a3 në pikën 2, nëse azimuti a3 = a2, atëherë kryqëzimi është i rremë, azimuti i kthimit nga pika që rezulton përsëri në 2 origjinale nuk duhet të jetë i barabartë me një nga azimutet origjinale.

Procedura e kërkuar në gjuhën Avenue duket si kjo:

Oh-oh-oh-oh-oh... mirë, është e vështirë, sikur po lexonte një fjali për vete =) Megjithatë, relaksimi do të ndihmojë më vonë, veçanërisht pasi sot bleva aksesorët e duhur. Prandaj, le të vazhdojmë në pjesën e parë, shpresoj që deri në fund të artikullit të ruaj një humor të gëzuar.

Pozicioni relativ i dy vijave të drejta

Ky është rasti kur publiku këndon së bashku në kor. Dy vija të drejta mund:

1) ndeshje;

2) të jetë paralel: ;

3) ose kryqëzohen në një pikë të vetme: .

Ndihmë për bedelët : Ju lutemi mbani mend shenjën matematikore të kryqëzimit, ajo do të shfaqet shumë shpesh. Shënimi do të thotë që vija kryqëzohet me vijën në pikën .

Si të përcaktohet pozicioni relativ i dy rreshtave?

Le të fillojmë me rastin e parë:

Dy rreshta përkojnë nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre përkatës janë proporcional, pra ka një numër “lambda” i tillë që barazitë plotësohen

Le të shqyrtojmë drejtëzat dhe të krijojmë tre ekuacione nga koeficientët përkatës: . Nga secili ekuacion rezulton se, pra, këto rreshta përkojnë.

Në të vërtetë, nëse të gjithë koeficientët e ekuacionit shumëzo me –1 (shenjat e ndryshimit), dhe të gjithë koeficientët e ekuacionit prerë me 2, ju merrni të njëjtin ekuacion: .

Rasti i dytë, kur linjat janë paralele:

Dy drejtëza janë paralele nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre të variablave janë proporcionalë: , Por.

Si shembull, merrni parasysh dy vija të drejta. Ne kontrollojmë proporcionalitetin e koeficientëve përkatës për variablat:

Megjithatë, është mjaft e qartë se.

Dhe rasti i tretë, kur linjat kryqëzohen:

Dy drejtëza kryqëzohen nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre të variablave NUK janë proporcionalë dmth NUK ka një vlerë të tillë të "lambda" që të plotësohen barazitë

Pra, për linjat e drejta do të krijojmë një sistem:

Nga ekuacioni i parë rrjedh se , dhe nga ekuacioni i dytë: , që do të thotë sistemi është i paqëndrueshëm(pa zgjidhje). Kështu, koeficientët e variablave nuk janë proporcionalë.

Përfundim: vijat kryqëzohen

Në problemet praktike, mund të përdorni skemën e zgjidhjeve të sapo diskutuar. Nga rruga, ajo të kujton shumë algoritmin për kontrollimin e vektorëve për kolinearitet, të cilin e shikuam në klasë Koncepti i (pa)varësisë lineare të vektorëve. Baza e vektorëve. Por ka një paketim më të civilizuar:

Shembulli 1

Gjeni pozicionet relative të rreshtave:

Zgjidhje bazuar në studimin e vektorëve drejtues të drejtëzave:

a) Nga ekuacionet gjejmë vektorët e drejtimit të drejtëzave: .

, që do të thotë se vektorët nuk janë kolinear dhe vijat ndërpriten.

Për çdo rast, do të vendos një gur me shenja në udhëkryq:

Pjesa tjetër hidhen mbi gur dhe ndjekin më tej, drejt në Kashchei i Pavdekshëm =)

b) Gjeni vektorët e drejtimit të drejtëzave:

Vijat kanë të njëjtin vektor drejtimi, që do të thotë se ato janë ose paralele ose të rastësishme. Këtu nuk ka nevojë të numërohet përcaktorja.

Është e qartë se koeficientët e të panjohurave janë proporcionale, dhe .

Le të zbulojmë nëse barazia është e vërtetë:

Kështu,

c) Gjeni vektorët e drejtimit të drejtëzave:

Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat e këtyre vektorëve:
, pra, vektorët e drejtimit janë kolinearë. Linjat janë ose paralele ose të rastësishme.

Koeficienti i proporcionalitetit "lambda" është i lehtë për t'u parë drejtpërdrejt nga raporti i vektorëve të drejtimit kolinear. Megjithatë, mund të gjendet edhe përmes koeficientëve të vetë ekuacioneve: .

Tani le të zbulojmë nëse barazia është e vërtetë. Të dy termat e lirë janë zero, kështu që:

Vlera që rezulton e plotëson këtë ekuacion (çdo numër në përgjithësi e plotëson atë).

Kështu, linjat përkojnë.

Përgjigju:

Shumë shpejt do të mësoni (ose madje keni mësuar tashmë) ta zgjidhni problemin e diskutuar fjalë për fjalë fjalë për fjalë në disa sekonda. Në këtë drejtim, nuk shoh asnjë pikë për të ofruar asgjë për një zgjidhje të pavarur, është më mirë të vendosni një tullë tjetër të rëndësishme në themelin gjeometrik:

Si të ndërtohet një drejtëz paralele me një të dhënë?

Për injorancën e kësaj detyre më të thjeshtë, Bilbili grabitës ndëshkon ashpër.

Shembulli 2

Vija e drejtë jepet nga ekuacioni. Shkruani një ekuacion për një drejtëz paralele që kalon nëpër pikë.

Zgjidhje: Vijën e panjohur ta shënojmë me shkronjën . Çfarë thotë gjendja për të? Vija e drejtë kalon nëpër pikë. Dhe nëse vijat janë paralele, atëherë është e qartë se vektori i drejtimit të vijës së drejtë "tse" është gjithashtu i përshtatshëm për ndërtimin e vijës së drejtë "de".

Ne nxjerrim vektorin e drejtimit nga ekuacioni:

Përgjigju:

Shembulli i gjeometrisë duket i thjeshtë:

Testimi analitik përbëhet nga hapat e mëposhtëm:

1) Kontrollojmë që vijat të kenë të njëjtin vektor drejtimi (nëse ekuacioni i vijës nuk është thjeshtuar siç duhet, atëherë vektorët do të jenë kolinear).

2) Kontrolloni nëse pika plotëson ekuacionin që rezulton.

Në shumicën e rasteve, testimi analitik mund të kryhet lehtësisht me gojë. Shikoni dy ekuacionet dhe shumë prej jush do të përcaktojnë shpejt paralelizmin e vijave pa ndonjë vizatim.

Shembujt për zgjidhje të pavarura sot do të jenë krijues. Sepse ju ende do të duhet të konkurroni me Baba Yaga, dhe ajo, ju e dini, është një dashnore e të gjitha llojeve të gjëegjëzave.

Shembulli 3

Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon nëpër një pikë paralele me drejtëzën nëse

Ekziston një mënyrë racionale dhe jo aq racionale për ta zgjidhur atë. Rruga më e shkurtër është në fund të mësimit.

Kemi punuar pak me linjat paralele dhe do t'u kthehemi më vonë. Rasti i rreshtave që përputhen është me pak interes, prandaj le të shqyrtojmë një problem që është shumë i njohur për ju nga kurrikula shkollore:

Si të gjeni pikën e kryqëzimit të dy drejtëzave?

Nëse drejt kryqëzohen në pikën , atëherë koordinatat e tij janë zgjidhja sistemet e ekuacioneve lineare

Si të gjeni pikën e kryqëzimit të vijave? Zgjidheni sistemin.

Ja ku shkoni kuptimi gjeometrik i një sistemi me dy ekuacione lineare me dy të panjohura- këto janë dy linja kryqëzuese (më shpesh) në një aeroplan.

Shembulli 4

Gjeni pikën e prerjes së drejtëzave

Zgjidhje: Ekzistojnë dy mënyra për të zgjidhur - grafike dhe analitike.

Metoda grafike është thjesht të vizatoni linjat e dhëna dhe të zbuloni pikën e kryqëzimit direkt nga vizatimi:

Këtu është pika jonë: . Për të kontrolluar, ju duhet të zëvendësoni koordinatat e saj në çdo ekuacion të vijës, ato duhet të përshtaten si atje, ashtu edhe atje. Me fjalë të tjera, koordinatat e një pike janë një zgjidhje për sistemin. Në thelb, ne shikuam një zgjidhje grafike sistemet e ekuacioneve lineare me dy ekuacione, dy të panjohura.

Metoda grafike, natyrisht, nuk është e keqe, por ka disavantazhe të dukshme. Jo, çështja nuk është se nxënësit e klasës së shtatë vendosin në këtë mënyrë, çështja është se do të duhet kohë për të krijuar një vizatim të saktë dhe të SAKTË. Për më tepër, disa vija të drejta nuk janë aq të lehta për t'u ndërtuar dhe vetë pika e kryqëzimit mund të jetë diku në mbretërinë e tridhjetë jashtë fletës së fletores.

Prandaj, është më e përshtatshme për të kërkuar pikën e kryqëzimit duke përdorur metodën analitike. Le të zgjidhim sistemin:

Për zgjidhjen e sistemit është përdorur metoda e mbledhjes term pas termi të ekuacioneve. Për të zhvilluar aftësitë përkatëse, merrni një mësim Si të zgjidhim një sistem ekuacionesh?

Përgjigju:

Kontrolli është i parëndësishëm - koordinatat e pikës së kryqëzimit duhet të plotësojnë çdo ekuacion të sistemit.

Shembulli 5

Gjeni pikën e prerjes së drejtëzave nëse ato kryqëzohen.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Është e përshtatshme për të ndarë detyrën në disa faza. Analiza e gjendjes sugjeron që është e nevojshme:
1) Shkruani ekuacionin e drejtëzës.
2) Shkruani ekuacionin e drejtëzës.
3) Gjeni pozicionin relativ të vijave.
4) Nëse linjat kryqëzohen, atëherë gjeni pikën e kryqëzimit.

Zhvillimi i një algoritmi veprimi është tipik për shumë probleme gjeometrike, dhe unë do të fokusohem vazhdimisht në këtë.

Zgjidhja e plotë dhe përgjigja në fund të mësimit:

As edhe një palë këpucë nuk ishin konsumuar para se të shkonim në pjesën e dytë të mësimit:

Vija pingule. Largësia nga një pikë në një vijë.
Këndi midis vijave të drejta

Le të fillojmë me një detyrë tipike dhe shumë të rëndësishme. Në pjesën e parë, mësuam se si të ndërtojmë një vijë të drejtë paralele me këtë, dhe tani kasolle në këmbët e pulës do të kthehet 90 gradë:

Si të ndërtohet një drejtëz pingul me një të dhënë?

Shembulli 6

Vija e drejtë jepet nga ekuacioni. Shkruani një ekuacion pingul me drejtëzën që kalon nëpër pikë.

Zgjidhje: Me kusht dihet se . Do të ishte mirë të gjeje vektorin drejtues të linjës. Meqenëse vijat janë pingule, truku është i thjeshtë:

Nga ekuacioni “heqim” vektorin normal: , i cili do të jetë vektori drejtues i drejtëzës.

Le të hartojmë ekuacionin e një drejtëze duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi:

Përgjigju:

Le të zgjerojmë skicën gjeometrike:

Hmmm... Qiell portokalli, det portokalli, deve portokalli.

Verifikimi analitik i zgjidhjes:

1) Ne nxjerrim vektorët e drejtimit nga ekuacionet dhe me ndihmën prodhim skalar i vektorëve arrijmë në përfundimin se drejtëzat janë vërtet pingule: .

Nga rruga, ju mund të përdorni vektorë normalë, është edhe më e lehtë.

2) Kontrolloni nëse pika plotëson ekuacionin që rezulton .

Testi, përsëri, është i lehtë për t'u kryer me gojë.

Shembulli 7

Gjeni pikën e prerjes së drejtëzave pingule nëse ekuacioni është i njohur dhe periudha.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Ka disa veprime në problem, kështu që është e përshtatshme të formulohet zgjidhja pikë për pikë.

Udhëtimi ynë emocionues vazhdon:

Largësia nga pika në vijë

Ne kemi një rrip të drejtë lumi përpara dhe detyra jonë është të arrijmë në të me rrugën më të shkurtër. Nuk ka pengesa, dhe rruga më optimale do të jetë lëvizja përgjatë pingulit. Kjo do të thotë, distanca nga një pikë në një vijë është gjatësia e segmentit pingul.

Distanca në gjeometri tradicionalisht shënohet me shkronjën greke "rho", për shembull: - distanca nga pika "em" në vijën e drejtë "de".

Largësia nga pika në vijë shprehur me formulën

Shembulli 8

Gjeni distancën nga një pikë në një vijë

Zgjidhje: gjithçka që duhet të bëni është të zëvendësoni me kujdes numrat në formulë dhe të kryeni llogaritjet:

Përgjigju:

Le të bëjmë vizatimin:

Distanca e gjetur nga pika në vijë është saktësisht gjatësia e segmentit të kuq. Nëse vizatoni një vizatim në letër me kuadrate në një shkallë prej 1 njësi. = 1 cm (2 qeliza), atëherë distanca mund të matet me një vizore të zakonshme.

Le të shqyrtojmë një detyrë tjetër bazuar në të njëjtin vizatim:

Detyra është të gjejmë koordinatat e një pike që është simetrike me pikën në lidhje me drejtëzën . Unë sugjeroj të kryeni vetë hapat, por unë do të përshkruaj një algoritëm zgjidhjeje me rezultate të ndërmjetme:

1) Gjeni një vijë që është pingul me drejtëzën.

2) Gjeni pikën e kryqëzimit të drejtëzave: .

Të dy veprimet diskutohen në detaje në këtë mësim.

3) Pika është mesi i segmentit. Ne i dimë koordinatat e mesit dhe njërit nga skajet. Nga formulat për koordinatat e mesit të një segmenti ne gjejme .

Do të ishte mirë të kontrolloni që distanca të jetë gjithashtu 2.2 njësi.

Këtu mund të lindin vështirësi në llogaritjet, por një mikrollogaritës është një ndihmë e madhe në kullë, duke ju lejuar të llogaritni fraksionet e zakonshme. Ju kam këshilluar shumë herë dhe do t'ju rekomandoj përsëri.

Si të gjeni distancën midis dy drejtëzave paralele?

Shembulli 9

Gjeni distancën midis dy drejtëzave paralele

Ky është një shembull tjetër që ju të vendosni vetë. Unë do t'ju jap një sugjerim të vogël: ka pafundësisht shumë mënyra për ta zgjidhur këtë. Debriefing në fund të mësimit, por është më mirë të përpiqeni të merrni me mend vetë, mendoj se zgjuarsia juaj ishte zhvilluar mirë.

Këndi ndërmjet dy vijave të drejta

Çdo cep është një bllokim:


Në gjeometri, këndi ndërmjet dy vijave të drejta merret si këndi MË I VOGËL, nga i cili automatikisht rezulton se nuk mund të jetë i mpirë. Në figurë, këndi i treguar nga harku i kuq nuk konsiderohet këndi ndërmjet vijave të kryqëzuara. Dhe fqinji i tij "e gjelbër" ose të orientuar në të kundërt këndi i "mjedrës".

Nëse vijat janë pingule, atëherë secili nga 4 këndet mund të merret si kënd ndërmjet tyre.

Si ndryshojnë këndet? Orientim. Së pari, drejtimi në të cilin këndi "lëviz" është thelbësisht i rëndësishëm. Së dyti, një kënd i orientuar negativisht shkruhet me një shenjë minus, për shembull nëse .

Pse të thashë këtë? Duket se mund t'ia dalim me konceptin e zakonshëm të një këndi. Fakti është se formulat me të cilat do të gjejmë kënde mund të rezultojnë lehtësisht në një rezultat negativ dhe kjo nuk duhet t'ju habisë. Një kënd me një shenjë minus nuk është më i keq dhe ka një kuptim gjeometrik shumë specifik. Në vizatim, për një kënd negativ, sigurohuni që të tregoni orientimin e tij me një shigjetë (në drejtim të akrepave të orës).

Si të gjeni këndin midis dy vijave të drejta? Ekzistojnë dy formula pune:

Shembulli 10

Gjeni këndin midis vijave

Zgjidhje a Metoda e parë

Le të shqyrtojmë dy drejtëza të përcaktuara nga ekuacionet në formë të përgjithshme:

Nëse drejt jo pingul, Kjo i orientuar Këndi midis tyre mund të llogaritet duke përdorur formulën:

Le t'i kushtojmë vëmendje emëruesit - kjo është saktësisht produkt skalar vektorët drejtues të drejtëzave:

Nëse , atëherë emëruesi i formulës bëhet zero, dhe vektorët do të jenë ortogonalë dhe vijat do të jenë pingul. Për këtë arsye u bë një rezervë për mosperpendikularitetin e drejtëzave në formulim.

Bazuar në sa më sipër, është i përshtatshëm për të zyrtarizuar zgjidhjen në dy hapa:

1) Le të llogarisim produktin skalar të vektorëve të drejtimit të vijave:
, që do të thotë se vijat nuk janë pingule.

2) Gjeni këndin midis vijave të drejta duke përdorur formulën:

Duke përdorur funksionin e anasjelltë, është e lehtë të gjesh vetë këndin. Në këtë rast, ne përdorim çuditshmërinë e arktangjentës (shih. Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare):

Përgjigju:

Në përgjigjen tuaj, ne tregojmë vlerën e saktë, si dhe një vlerë të përafërt (mundësisht në të dy shkallët dhe radianët), të llogaritur duke përdorur një kalkulator.

Epo, minus, minus, nuk ka punë të madhe. Këtu është një ilustrim gjeometrik:

Nuk është për t'u habitur që këndi doli të jetë me orientim negativ, sepse në deklaratën e problemit numri i parë është një vijë e drejtë dhe "zhvidhosja" e këndit filloi pikërisht me të.

Nëse vërtet dëshironi të merrni një kënd pozitiv, duhet të ndërroni linjat, domethënë të merrni koeficientët nga ekuacioni i dytë , dhe merrni koeficientët nga ekuacioni i parë. Me pak fjalë, duhet të filloni me një direktivë .