Ekuacioni i një aeroplani. Si të shkruhet një ekuacion i një rrafshi?
Rregullimi i ndërsjellë i avionëve. Detyrat

Gjeometria hapësinore nuk është shumë më e ndërlikuar se gjeometria "e sheshtë", dhe fluturimet tona në hapësirë ​​fillojnë me këtë artikull. Për të zotëruar temën, duhet të keni një kuptim të mirë të vektorët, përveç kësaj, këshillohet të njiheni me gjeometrinë e aeroplanit - do të ketë shumë ngjashmëri, shumë analogji, kështu që informacioni do të tretet shumë më mirë. Në një seri mësimesh të mia, bota 2D hapet me një artikull Ekuacioni i një vije të drejtë në një plan. Por tani Batman ka lënë ekranin e sheshtë të televizorit dhe po niset nga Kozmodromi Baikonur.

Le të fillojmë me vizatimet dhe simbolet. Skematikisht, rrafshi mund të vizatohet në formën e një paralelogrami, i cili krijon përshtypjen e hapësirës:

Aeroplani është i pafund, por ne kemi mundësinë të përshkruajmë vetëm një pjesë të tij. Në praktikë, përveç paralelogramit, vizatohet edhe një ovale apo edhe një re. Për arsye teknike, është më e përshtatshme për mua që ta përshkruaj aeroplanin pikërisht në këtë mënyrë dhe pikërisht në këtë pozicion. Aeroplanët e vërtetë, të cilët do t'i shqyrtojmë në shembuj praktikë, mund të vendosen në çdo mënyrë - merrni mendërisht vizatimin në duar dhe rrotulloni atë në hapësirë, duke i dhënë aeroplanit çdo prirje, çdo kënd.

Emërtimet: avionët zakonisht shënohen me shkronja të vogla greke, me sa duket për të mos i ngatërruar me vijë e drejtë në një aeroplan ose me vijë e drejtë në hapësirë. Jam mësuar të përdor shkronjën. Në vizatim është shkronja "sigma", dhe aspak një vrimë. Megjithëse, avioni i vrimës është sigurisht mjaft qesharak.

Në disa raste, është e përshtatshme të përdoren të njëjtat shkronja greke me nënshkrime më të ulëta për të përcaktuar aeroplanët, për shembull, .

Është e qartë se avioni përcaktohet në mënyrë unike nga tre pika të ndryshme që nuk shtrihen në të njëjtën linjë. Prandaj, përcaktimet me tre shkronja të avionëve janë mjaft të njohura - nga pikat që u përkasin, për shembull, etj. Shpesh shkronjat mbyllen në kllapa: , për të mos ngatërruar rrafshin me një figurë tjetër gjeometrike.

Për lexuesit me përvojë do të jap menyja e aksesit të shpejtë:

• Si të krijoni një ekuacion të një rrafshi duke përdorur një pikë dhe dy vektorë?
• Si të krijoni një ekuacion të një rrafshi duke përdorur një pikë dhe një vektor normal?

dhe ne nuk do të lëngojmë në pritje të gjata:

Ekuacioni i planit të përgjithshëm

Ekuacioni i përgjithshëm i rrafshit ka formën , ku koeficientët nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë.

Një sërë llogaritjesh teorike dhe probleme praktike janë të vlefshme si për bazën e zakonshme ortonormale ashtu edhe për bazën afine të hapësirës (nëse vaji është vaj, kthehu në mësim Varësia lineare (jo) e vektorëve. Baza e vektorëve). Për thjeshtësi, ne do të supozojmë se të gjitha ngjarjet ndodhin në një bazë ortonormale dhe një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian.

Tani le të praktikojmë pak imagjinatën tonë hapësinore. Është në rregull nëse e juaja është e keqe, tani do ta zhvillojmë pak. Edhe të luash me nerva kërkon stërvitje.

Në rastin më të përgjithshëm, kur numrat nuk janë të barabartë me zero, rrafshi kryqëzon të tre boshtet koordinative. Për shembull, si kjo:

E përsëris edhe një herë se avioni vazhdon pafundësisht në të gjitha drejtimet dhe ne kemi mundësinë të përshkruajmë vetëm një pjesë të tij.

Le të shqyrtojmë ekuacionet më të thjeshta të aeroplanëve:

Si ta kuptojmë këtë ekuacion? Mendoni për këtë: "Z" është GJITHMONË e barabartë me zero, për çdo vlerë të "X" dhe "Y". Ky është ekuacioni i planit koordinativ "vendas". Në të vërtetë, zyrtarisht ekuacioni mund të rishkruhet si më poshtë: , nga ku mund të shihni qartë se nuk na intereson se çfarë vlerash marrin "x" dhe "y", është e rëndësishme që "z" të jetë e barabartë me zero.

Po kështu:
– ekuacioni i rrafshit koordinativ;
– ekuacioni i rrafshit koordinativ.

Le ta ndërlikojmë pak problemin, të shqyrtojmë një plan (këtu dhe më tej në paragrafin supozojmë se koeficientët numerikë nuk janë të barabartë me zero). E rishkruajmë ekuacionin në formën: . Si ta kuptojmë? "X" është GJITHMONË, për çdo vlerë të "Y" dhe "Z", e barabartë me një numër të caktuar. Ky plan është paralel me rrafshin koordinativ. Për shembull, një aeroplan është paralel me një plan dhe kalon nëpër një pikë.

Po kështu:
– ekuacioni i një rrafshi që është paralel me rrafshin koordinativ;
– ekuacioni i një rrafshi që është paralel me rrafshin koordinativ.

Le të shtojmë anëtarë: . Ekuacioni mund të rishkruhet si më poshtë: , domethënë, "zet" mund të jetë çdo gjë. Çfarë do të thotë? "X" dhe "Y" lidhen me relacionin, i cili vizaton një vijë të caktuar të drejtë në aeroplan (do ta zbuloni ekuacioni i një drejtëze në një rrafsh?). Meqenëse "z" mund të jetë çdo, kjo vijë e drejtë "përsëritet" në çdo lartësi. Kështu, ekuacioni përcakton një plan paralel me boshtin koordinativ

Po kështu:
– ekuacioni i një rrafshi që është paralel me boshtin koordinativ;
– ekuacioni i një rrafshi që është paralel me boshtin koordinativ.

Nëse termat e lirë janë zero, atëherë aeroplanët do të kalojnë drejtpërdrejt nëpër boshtet përkatëse. Për shembull, "proporcionaliteti i drejtpërdrejtë" klasik: . Vizatoni një vijë të drejtë në aeroplan dhe shumëzojeni mendërisht lart e poshtë (pasi "Z" është çdo). Përfundim: rrafshi i përcaktuar nga ekuacioni kalon nëpër boshtin koordinativ.

Përfundojmë rishikimin: ekuacionin e aeroplanit kalon përmes origjinës. Epo, këtu është mjaft e qartë se pika e plotëson këtë ekuacion.

Dhe së fundi, rasti i paraqitur në vizatim: – avioni është miqësor me të gjitha boshtet koordinative, ndërsa gjithmonë “pret” një trekëndësh, i cili mund të vendoset në cilindo nga tetë oktantët.

Pabarazitë lineare në hapësirë

Për të kuptuar informacionin duhet të studioni mirë pabarazitë lineare në rrafsh, sepse shumë gjëra do të jenë të ngjashme. Paragrafi do të jetë i një natyre përmbledhëse të shkurtër me disa shembuj, pasi materiali është mjaft i rrallë në praktikë.

Nëse ekuacioni përcakton një plan, atëherë pabarazitë
pyesni gjysmë hapësira. Nëse pabarazia nuk është strikte (dy të fundit në listë), atëherë zgjidhja e pabarazisë, përveç gjysmëhapësirës, ​​përfshin edhe vetë rrafshin.

Shembulli 5

Gjeni vektorin normal njësi të rrafshit .

Zgjidhje: Një vektor njësi është një vektor gjatësia e të cilit është një. Le ta shënojmë këtë vektor me . Është absolutisht e qartë se vektorët janë kolinear:

Së pari, heqim vektorin normal nga ekuacioni i rrafshit: .

Si të gjeni një vektor njësi? Për të gjetur vektorin e njësisë, ju duhet çdo pjesëtoni koordinatat e vektorit me gjatësinë e vektorit.

Le të rishkruajmë vektorin normal në formë dhe të gjejmë gjatësinë e tij:

Sipas sa më sipër:

Përgjigju:

Verifikimi: çfarë kërkohej të verifikohej.

Lexuesit që studiuan me kujdes paragrafin e fundit të mësimit ndoshta e vunë re këtë koordinatat e vektorit njësi janë pikërisht kosinuset e drejtimit të vektorit:

Le të bëjmë një pushim nga problemi në fjalë: kur ju jepet një vektor arbitrar jo zero, dhe sipas kushtit kërkohet të gjenden kosinuset e drejtimit të tij (shih problemat e fundit të mësimit Prodhimi pikash i vektorëve), atëherë ju, në fakt, gjeni një vektor njësi kolinear me këtë. Në fakt dy detyra në një shishe.

Nevoja për të gjetur vektorin normal të njësisë lind në disa probleme të analizës matematikore.

Ne kemi kuptuar se si të nxjerrim një vektor normal, tani le t'i përgjigjemi pyetjes së kundërt:

Si të krijoni një ekuacion të një rrafshi duke përdorur një pikë dhe një vektor normal?

Ky ndërtim i ngurtë i një vektori normal dhe i një pike është i njohur mirë për tabelën e shigjetës. Ju lutemi shtrini dorën përpara dhe zgjidhni mendërisht një pikë arbitrare në hapësirë, për shembull, një mace të vogël në bufe. Natyrisht, përmes kësaj pike mund të vizatoni një plan të vetëm pingul me dorën tuaj.

Ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër një pikë pingul me vektorin shprehet me formulën:

Për të marrë ekuacionin e përgjithshëm të një rrafshi, le të analizojmë rrafshin që kalon në një pikë të caktuar.

Le të ketë tre akse koordinative tashmë të njohura për ne në hapësirë ​​- kau, Oy Dhe Oz. Mbajeni fletën e letrës në mënyrë që të mbetet e sheshtë. Avioni do të jetë vetë fleta dhe vazhdimi i saj në të gjitha drejtimet.

Le P aeroplan arbitrar në hapësirë. Çdo vektor pingul me të quhet vektor normal te ky aeroplan. Natyrisht, ne po flasim për një vektor jo zero.

Nëse dihet ndonjë pikë në aeroplan P dhe një vektor normal ndaj tij, atëherë me këto dy kushte rrafshi në hapësirë ​​është plotësisht i përcaktuar(përmes një pike të caktuar mund të vizatoni një plan të vetëm pingul me vektorin e dhënë). Ekuacioni i përgjithshëm i aeroplanit do të jetë:

Pra, kushtet që përcaktojnë ekuacionin e rrafshit janë. Për të marrë veten ekuacioni i rrafshët, duke pasur formën e mësipërme, hipni në aeroplan P arbitrare pikë M me koordinata të ndryshueshme x, y, z. Kjo pikë i takon rrafshit vetëm nëse vektor pingul me vektorin(Fig. 1). Për këtë, sipas kushtit të pingulitetit të vektorëve, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që prodhimi skalar i këtyre vektorëve të jetë i barabartë me zero, d.m.th.

Vektori specifikohet me kusht. Ne gjejmë koordinatat e vektorit duke përdorur formulën :

.

Tani, duke përdorur formulën e produktit skalar të vektorëve , produktin skalar e shprehim në formë koordinative:

Që nga pika M(x; y; z) zgjidhet në mënyrë arbitrare në plan, atëherë ekuacioni i fundit plotësohet nga koordinatat e çdo pike që shtrihet në plan P. Për një pikë N, jo i shtrirë në një aeroplan të caktuar, d.m.th. cenohet barazia (1).

Shembulli 1. Shkruani një ekuacion për një plan që kalon nëpër një pikë dhe pingul me vektorin.

Zgjidhje. Le të përdorim formulën (1) dhe ta shohim përsëri:

Në këtë formulë numrat A , B Dhe C koordinatat vektoriale dhe numrat x0 , y0 Dhe z0 - koordinatat e pikës.

Llogaritjet janë shumë të thjeshta: ne i zëvendësojmë këta numra në formulë dhe marrim

Ne shumëzojmë gjithçka që duhet të shumëzohet dhe shtojmë vetëm numra (të cilët nuk kanë shkronja). Rezultati:

.

Ekuacioni i kërkuar i planit në këtë shembull doli të shprehet me një ekuacion të përgjithshëm të shkallës së parë në lidhje me koordinatat e ndryshueshme x, y, z pika arbitrare e aeroplanit.

Pra, një ekuacion i formës

thirrur ekuacioni i planit të përgjithshëm .

Shembulli 2. Ndërtoni në një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor një rrafsh të dhënë nga ekuacioni .

Zgjidhje. Për të ndërtuar një rrafsh, është e nevojshme dhe e mjaftueshme të njihen tre nga pikat e tij që nuk shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë, për shembull, pikat e kryqëzimit të planit me boshtet koordinative.

Si t'i gjeni këto pika? Për të gjetur pikën e kryqëzimit me boshtin Oz, ju duhet të zëvendësoni zero për X dhe Y në ekuacionin e dhënë në deklaratën e problemit: x = y= 0. Prandaj marrim z= 6. Kështu, rrafshi i dhënë e pret boshtin Oz në pikën A(0; 0; 6) .

Në të njëjtën mënyrë gjejmë pikën e prerjes së rrafshit me boshtin Oy. Në x = z= 0 marrim y= −3, pra pika B(0; −3; 0) .

Dhe së fundi, gjejmë pikën e kryqëzimit të planit tonë me boshtin kau. Në y = z= 0 marrim x= 2, domethënë një pikë C(2; 0; 0) . Bazuar në tre pikat e marra në zgjidhjen tonë A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) dhe C(2; 0; 0) ndërtoni planin e dhënë.

Le të shqyrtojmë tani raste të veçanta të ekuacionit të planit të përgjithshëm. Këto janë raste kur koeficientët e caktuar të ekuacionit (2) bëhen zero.

1. Kur D= 0 ekuacioni përcakton një rrafsh që kalon nga origjina, që nga koordinatat e pikës 0 (0; 0; 0) plotësojnë këtë ekuacion.

2. Kur A= 0 ekuacioni përcakton një rrafsh paralel me boshtin kau, meqenëse vektori normal i këtij rrafshi është pingul me boshtin kau(projeksioni i tij në bosht kau e barabartë me zero). Në mënyrë të ngjashme, kur B= 0 avion paralel me boshtin Oy, dhe kur C= 0 avion paralel me boshtin Oz.

3. Kur A=D= Ekuacioni 0 përcakton një plan që kalon nëpër bosht kau, meqenëse është paralel me boshtin kau (A=D= 0). Në mënyrë të ngjashme, aeroplani kalon nëpër bosht Oy, dhe avioni nëpër bosht Oz.

4. Kur A=B= Ekuacioni 0 përcakton një rrafsh paralel me rrafshin koordinativ xOy, meqenëse është paralel me boshtet kau (A= 0) dhe Oy (B= 0). Në mënyrë të ngjashme, rrafshi është paralel me rrafshin yOz, dhe avioni është aeroplan xOz.

5. Kur A=B=D= ekuacioni 0 (ose z = 0) përcakton planin koordinativ xOy, pasi është paralel me rrafshin xOy (A=B= 0) dhe kalon përmes origjinës ( D= 0). Po kështu, barazimi. y= 0 në hapësirë ​​përcakton planin koordinativ xOz, dhe ekuacioni x = 0 - plani koordinativ yOz.

Shembulli 3. Krijo një ekuacion të aeroplanit P, duke kaluar nëpër bosht Oy dhe periudha.

Zgjidhje. Pra, aeroplani kalon nëpër bosht Oy. Prandaj, në ekuacionin e saj y= 0 dhe ky ekuacion ka formën . Për të përcaktuar koeficientët A Dhe C le të përfitojmë nga fakti që pika i përket rrafshit P .

Prandaj, midis koordinatave të tij ka ato që mund të zëvendësohen në ekuacionin e planit që kemi nxjerrë tashmë (). Le të shohim përsëri koordinatat e pikës:

M0 (2; −4; 3) .

Midis tyre x = 2 , z= 3. Ne i zëvendësojmë ato në ekuacionin e përgjithshëm dhe marrim ekuacionin për rastin tonë të veçantë:

2A + 3C = 0 .

Lë 2 A në anën e majtë të ekuacionit, lëvizni 3 C në anën e djathtë dhe marrim

A = −1,5C .

Zëvendësimi i vlerës së gjetur A në ekuacion, marrim

ose .

Ky është ekuacioni i kërkuar në kushtin e shembullit.

Zgjidheni vetë problemin e ekuacionit të planit dhe më pas shikoni zgjidhjen

Shembulli 4. Përcaktoni një rrafsh (ose rrafshe, nëse ka më shumë se një) në lidhje me boshtet e koordinatave ose rrafshët e koordinatave nëse plani(et) jepet nga ekuacioni.

Zgjidhjet për problemet tipike që ndodhin gjatë testeve gjenden në librin shkollor "Problemet në një plan: paralelizmi, pinguliteti, kryqëzimi i tre planeve në një pikë".

Ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tre pika

Siç u përmend tashmë, kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për ndërtimin e një rrafshi, përveç një pike dhe vektorit normal, janë edhe tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz.

Le të jepen tre pika të ndryshme dhe , jo të shtrirë në të njëjtën linjë. Meqenëse tre pikat e treguara nuk shtrihen në të njëjtën vijë, vektorët nuk janë kolinearë, dhe për këtë arsye çdo pikë në rrafsh shtrihet në të njëjtin rrafsh me pikat, dhe nëse dhe vetëm nëse vektorët , dhe koplanare, d.m.th. atëherë dhe vetëm kur produkti i përzier i këtyre vektorëve barazohet me zero.

Duke përdorur shprehjen për produktin e përzier në koordinata, marrim ekuacionin e rrafshit

(3)

Pas zbulimit të përcaktorit, ky ekuacion bëhet ekuacion i formës (2), d.m.th. ekuacioni i përgjithshëm i aeroplanit.

Shembulli 5. Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër tre pika të dhëna që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz:

dhe të përcaktojë një rast të veçantë të ekuacionit të përgjithshëm të një drejtëze, nëse ka.

Zgjidhje. Sipas formulës (3) kemi:

Ekuacioni i rrafshit normal. Largësia nga pika në aeroplan

Ekuacioni normal i një rrafshi është ekuacioni i tij, i shkruar në formë

Ky artikull jep një ide se si të krijohet një ekuacion për një plan që kalon nëpër një pikë të caktuar në hapësirën tredimensionale pingul me një vijë të caktuar. Le të analizojmë algoritmin e dhënë duke përdorur shembullin e zgjidhjes së problemeve tipike.

Gjetja e ekuacionit të një rrafshi që kalon në një pikë të caktuar në hapësirë ​​pingul me një drejtëz të caktuar

Le të jepet në të një hapësirë ​​tredimensionale dhe një sistem koordinativ drejtkëndor O x y z. Janë dhënë edhe pika M 1 (x 1, y 1, z 1), drejtëza a dhe rrafshi α që kalon në pikën M 1 pingul me drejtëzën a. Është e nevojshme të shkruhet ekuacioni i rrafshit α.

Para se të fillojmë të zgjidhim këtë problem, le të kujtojmë teoremën e gjeometrisë nga planprogrami për klasat 10-11, e cila thotë:

Përkufizimi 1

Nëpër një pikë të caktuar në hapësirën tredimensionale kalon një rrafsh i vetëm pingul me një drejtëz të caktuar.

Tani le të shohim se si të gjejmë ekuacionin e këtij rrafshi të vetëm që kalon nëpër pikën e fillimit dhe pingul me drejtëzën e dhënë.

Është e mundur të shkruhet ekuacioni i përgjithshëm i një rrafshi nëse dihen koordinatat e një pike që i përket këtij rrafshi, si dhe koordinatat e vektorit normal të rrafshit.

Kushtet e problemës na japin koordinatat x 1, y 1, z 1 të pikës M 1 nëpër të cilën kalon rrafshi α. Nëse përcaktojmë koordinatat e vektorit normal të rrafshit α, atëherë do të mund të shkruajmë ekuacionin e kërkuar.

Vektori normal i rrafshit α, meqenëse është jo zero dhe shtrihet në drejtëzën a, pingul me rrafshin α, do të jetë çdo vektor drejtimi i drejtëzës a. Kështu, problemi i gjetjes së koordinatave të vektorit normal të rrafshit α shndërrohet në problemin e përcaktimit të koordinatave të vektorit drejtues të drejtëzës a.

Përcaktimi i koordinatave të vektorit të drejtimit të drejtëzës a mund të kryhet me metoda të ndryshme: varet nga opsioni i specifikimit të drejtëzës a në kushtet fillestare. Për shembull, nëse drejtëza a në deklaratën e problemit jepet nga ekuacionet kanonike të formës

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

ose ekuacionet parametrike të formës:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

atëherë vektori i drejtimit të drejtëzës do të ketë koordinatat a x, a y dhe një z. Në rastin kur drejtëza a përfaqësohet nga dy pika M 2 (x 2, y 2, z 2) dhe M 3 (x 3, y 3, z 3), atëherë koordinatat e vektorit të drejtimit do të përcaktohen si ( x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Përkufizimi 2

Algoritmi për gjetjen e ekuacionit të një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një drejtëz të caktuar:

Përcaktojmë koordinatat e vektorit të drejtimit të drejtëzës a: a → = (a x, a y, a z) ;

Përcaktojmë koordinatat e vektorit normal të rrafshit α si koordinatat e vektorit drejtues të drejtëzës a:

n → = (A , B , C) , ku A = a x, B = a y, C = a z;

Shkruajmë ekuacionin e rrafshit që kalon në pikën M 1 (x 1, y 1, z 1) dhe ka një vektor normal n → = (A, B, C) në formën A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. Ky do të jetë ekuacioni i kërkuar i një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar në hapësirë ​​dhe është pingul me një vijë të caktuar.

Ekuacioni i përgjithshëm që rezulton i aeroplanit është: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 bën të mundur marrjen e ekuacionit të rrafshit në segmente ose ekuacionit normal të rrafshit.

Le të zgjidhim disa shembuj duke përdorur algoritmin e marrë më sipër.

Shembulli 1

Është dhënë një pikë M 1 (3, - 4, 5), nëpër të cilën kalon rrafshi dhe ky plan është pingul me drejtëzën koordinative O z.

Zgjidhje

vektori i drejtimit të vijës së koordinatave O z do të jetë vektori koordinativ k ⇀ = (0, 0, 1). Prandaj, vektori normal i rrafshit ka koordinata (0, 0, 1). Le të shkruajmë ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar M 1 (3, - 4, 5), vektori normal i së cilës ka koordinata (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Përgjigje: z – 5 = 0 .

Le të shqyrtojmë një mënyrë tjetër për të zgjidhur këtë problem:

Shembulli 2

Një plan që është pingul me drejtëzën O z do të jepet nga një ekuacion i përgjithshëm jo i plotë i formës C z + D = 0, C ≠ 0. Le të përcaktojmë vlerat e C dhe D: ato në të cilat avioni kalon nëpër një pikë të caktuar. Le t'i zëvendësojmë koordinatat e kësaj pike në ekuacionin C z + D = 0, marrim: C · 5 + D = 0. Ato. numrat, C dhe D lidhen me relacionin - D C = 5. Duke marrë C = 1, marrim D = - 5.

Le t'i zëvendësojmë këto vlera në ekuacionin C z + D = 0 dhe marrim ekuacionin e kërkuar të një rrafshi pingul me vijën e drejtë O z dhe që kalon nëpër pikën M 1 (3, - 4, 5).

Do të duket si: z – 5 = 0.

Përgjigje: z – 5 = 0 .

Shembulli 3

Shkruani një ekuacion për një plan që kalon nga origjina dhe pingul me drejtëzën x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Zgjidhje

Bazuar në kushtet e problemit, mund të argumentohet se vektori i drejtimit të një drejtëze të caktuar mund të merret si vektor normal n → i një rrafshi të caktuar. Kështu: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Le të shkruajmë ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër pikën O (0, 0, 0) dhe ka një vektor normal n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Ne kemi marrë ekuacionin e kërkuar të një rrafshi që kalon nga origjina e koordinatave pingul me një vijë të caktuar.

Përgjigje:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Shembulli 4

Një sistem koordinativ drejtkëndor O x y z është dhënë në hapësirën tredimensionale, në të ka dy pika A (2, - 1, - 2) dhe B (3, - 2, 4). Rrafshi α kalon në pikën A pingul me drejtëzën A B. Është e nevojshme të krijohet një ekuacion për rrafshin α në segmente.

Zgjidhje

Rrafshi α është pingul me drejtëzën A B, atëherë vektori A B → do të jetë vektori normal i rrafshit α. Koordinatat e këtij vektori përcaktohen si ndryshimi midis koordinatave përkatëse të pikave B (3, - 2, 4) dhe A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Ekuacioni i përgjithshëm i aeroplanit do të shkruhet si më poshtë:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Tani le të përpilojmë ekuacionin e kërkuar të rrafshit në segmente:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Përgjigje:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Duhet të theksohet gjithashtu se ka probleme, kërkesa e të cilave është të shkruhet një ekuacion i një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar dhe pingul me dy plane të dhëna. Në përgjithësi, zgjidhja e këtij problemi është ndërtimi i një ekuacioni për një plan që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një drejtëz të caktuar, sepse dy plane të kryqëzuara përcaktojnë një vijë të drejtë.

Shembulli 5

Është dhënë një sistem koordinativ drejtkëndor O x y z, në të ka një pikë M 1 (2, 0, - 5). Janë dhënë edhe ekuacionet e dy rrafsheve 3 x + 2 y + 1 = 0 dhe x + 2 z – 1 = 0, të cilët priten përgjatë drejtëzës a. Është e nevojshme të krijohet një ekuacion për një plan që kalon nëpër pikën M 1 pingul me drejtëzën a.

Zgjidhje

Të përcaktojmë koordinatat e vektorit drejtues të drejtëzës a. Është pingul si me vektorin normal n 1 → (3, 2, 0) të rrafshit n → (1, 0, 2) dhe me vektorin normal 3 x + 2 y + 1 = 0 të x + 2 z - 1 = 0 aeroplan.

Pastaj, si vektor drejtues α → rreshti a, marrim produktin vektorial të vektorëve n 1 → dhe n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Kështu, vektori n → = (4, - 6, - 2) do të jetë vektori normal i rrafshit pingul me drejtëzën a. Le të shkruajmë ekuacionin e kërkuar të aeroplanit:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Përgjigje: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Vetitë e një vije të drejtë në gjeometrinë Euklidiane.

Një numër i pafund i drejtëzave mund të vizatohen nëpër çdo pikë.

Përmes çdo dy pikash që nuk përputhen mund të vizatohet një vijë e vetme e drejtë.

Dy drejtëza divergjente në një rrafsh ose kryqëzohen në një pikë të vetme ose janë

paralele (rrjedh nga ajo e mëparshmja).

Në hapësirën tre-dimensionale, ekzistojnë tre opsione për pozicionin relativ të dy linjave:

• linjat kryqëzohen;

• vijat janë paralele;

• vijat e drejta kryqëzohen.

Drejt linjë— kurba algjebrike e rendit të parë: një vijë e drejtë në sistemin koordinativ kartezian

jepet në aeroplan nga një ekuacion i shkallës së parë ( ekuacioni linear).

Ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze.

Përkufizimi. Çdo vijë e drejtë në aeroplan mund të specifikohet nga një ekuacion i rendit të parë

Ax + Wu + C = 0,

dhe konstante A, B nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë. Ky ekuacion i rendit të parë quhet të përgjithshme

ekuacioni i një vije të drejtë. Në varësi të vlerave të konstanteve A, B Dhe ME Rastet e mëposhtme të veçanta janë të mundshme:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- një vijë e drejtë kalon nëpër origjinë

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Me + C = 0)- vijë e drejtë paralele me boshtin Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- vijë e drejtë paralele me boshtin OU

. B = C = 0, A ≠0- vija e drejtë përkon me boshtin OU

. A = C = 0, B ≠0- vija e drejtë përkon me boshtin Oh

Ekuacioni i një drejtëze mund të paraqitet në forma të ndryshme në varësi të çdo të dhënë

kushtet fillestare.

Ekuacioni i një drejtëze nga një pikë dhe një vektor normal.

Përkufizimi. Në një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian vektor me komponentë (A, B)

pingul me drejtëzën e dhënë nga ekuacioni

Ax + Wu + C = 0.

Shembull. Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon në një pikë A(1, 2) pingul me vektorin (3, -1).

Zgjidhje. Me A = 3 dhe B = -1, le të hartojmë ekuacionin e drejtëzës: 3x - y + C = 0. Për të gjetur koeficientin C

Le t'i zëvendësojmë koordinatat e pikës së dhënë A në shprehjen që rezulton: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Totali: ekuacioni i kërkuar: 3x - y - 1 = 0.

Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika.

Le të jepen dy pikë në hapësirë M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Dhe M2 (x 2, y 2, z 2), Pastaj ekuacioni i një vije,

duke kaluar nëpër këto pika:

Nëse ndonjë prej emërtuesve është zero, numëruesi përkatës duhet të vendoset i barabartë me zero. Aktiv

plani, ekuacioni i drejtëzës së shkruar më sipër është thjeshtuar:

Nëse x 1 ≠ x 2 Dhe x = x 1, Nëse x 1 = x 2 .

Fraksioni = k thirrur shpat drejt.

Shembull. Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pikat A(1, 2) dhe B(3, 4).

Zgjidhje. Duke zbatuar formulën e shkruar më sipër, marrim:

Ekuacioni i një vije të drejtë duke përdorur një pikë dhe pjerrësi.

Nëse ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës Ax + Wu + C = 0çojnë në:

dhe caktoni , atëherë thirret ekuacioni që rezulton

ekuacioni i drejtëzës me pjerrësi k.

Ekuacioni i një drejtëze nga një pikë dhe një vektor i drejtimit.

Për analogji me pikën duke marrë parasysh ekuacionin e një vije të drejtë përmes vektorit normal, mund të futni detyrën

një vijë e drejtë përmes një pike dhe një vektor drejtues i një drejtëze.

Përkufizimi. Çdo vektor jozero (α 1 , α 2), komponentët e të cilit plotësojnë kushtin

Aα 1 + Bα 2 = 0 thirrur vektori drejtues i një vije të drejtë.

Ax + Wu + C = 0.

Shembull. Gjeni ekuacionin e një drejtëze me vektor drejtimi (1, -1) dhe që kalon në pikën A(1, 2).

Zgjidhje. Ne do të kërkojmë ekuacionin e vijës së dëshiruar në formën: Ax + By + C = 0. Sipas përcaktimit,

koeficientët duhet të plotësojnë kushtet e mëposhtme:

1 * A + (-1) * B = 0, d.m.th. A = B.

Atëherë ekuacioni i drejtëzës ka formën: Ax + Ay + C = 0, ose x + y + C / A = 0.

në x = 1, y = 2 marrim C/A = -3, d.m.th. ekuacioni i kërkuar:

x + y - 3 = 0

Ekuacioni i një drejtëze në segmente.

Nëse në ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës Ах + Ву + С = 0 С≠0, atëherë, duke e pjesëtuar me -С, marrim:

ose ku

Kuptimi gjeometrik i koeficientëve është se koeficienti a është koordinata e pikës së kryqëzimit

drejt me bosht Oh, A b- koordinata e pikës së prerjes së drejtëzës me boshtin OU.

Shembull. Është dhënë ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës x - y + 1 = 0. Gjeni ekuacionin e kësaj drejtëze në segmente.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Ekuacioni normal i një drejtëze.

Nëse të dyja anët e ekuacionit Ax + Wu + C = 0 pjesëto me numër që quhet

faktori normalizues, atëherë marrim

xcosφ + ysinφ - p = 0 -ekuacioni normal i një drejtëze.

Shenja ± e faktorit normalizues duhet zgjedhur në mënyrë që μ*C< 0.

R- gjatësia e pingulit të rënë nga origjina në vijën e drejtë,

A φ - këndi i formuar nga kjo pingul me drejtimin pozitiv të boshtit Oh.

Shembull. Është dhënë ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës 12x - 5y - 65 = 0. Kërkohet për të shkruar lloje të ndryshme ekuacionesh

këtë vijë të drejtë.

Ekuacioni i kësaj drejtëze në segmente:

Ekuacioni i kësaj linje me pjerrësinë: (pjestojeni me 5)

Ekuacioni i një drejtëze:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Duhet të theksohet se jo çdo vijë e drejtë mund të përfaqësohet nga një ekuacion në segmente, për shembull, drejtëza,

paralel me akset ose duke kaluar nga origjina.

Këndi ndërmjet vijave të drejta në një plan.

Përkufizimi. Nëse jepen dy rreshta y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, pastaj këndi akut ndërmjet këtyre vijave

do të përkufizohet si

Dy drejtëza janë paralele nëse k 1 = k 2. Dy drejtëza janë pingul

Nëse k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

Direkt Ax + Wu + C = 0 Dhe A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralele kur koeficientët janë proporcional

A 1 = λA, B 1 = λB. Nëse gjithashtu С 1 = λС, atëherë rreshtat përkojnë. Koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave

gjenden si zgjidhje e sistemit të ekuacioneve të këtyre drejtëzave.

Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një drejtëz të caktuar.

Përkufizimi. Vija që kalon nëpër një pikë M 1 (x 1, y 1) dhe pingul me drejtëzën y = kx + b

përfaqësohet nga ekuacioni:

Largësia nga një pikë në një vijë.

Teorema. Nëse jepet një pikë M(x 0, y 0), pastaj distanca në vijën e drejtë Ax + Wu + C = 0 përcaktuar si:

Dëshmi. Lëreni pikën M 1 (x 1, y 1)- baza e një pingule të rënë nga një pikë M për një të dhënë

e drejtpërdrejtë. Pastaj distanca midis pikave M Dhe M 1:

(1)

Koordinatat x 1 Dhe në 1 mund të gjendet si zgjidhje për sistemin e ekuacioneve:

Ekuacioni i dytë i sistemit është ekuacioni i një drejtëze që kalon në një pikë të caktuar M 0 pingul

dhënë vijë të drejtë. Nëse e transformojmë ekuacionin e parë të sistemit në formën:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Nga 0 + C = 0,

atëherë, duke zgjidhur, marrim:

Duke i zëvendësuar këto shprehje në ekuacionin (1), gjejmë:

Teorema është e vërtetuar.