Kthejeni shenjën e ekuacionit. Pabarazitë

Ne mësuam për pabarazitë në shkollë, ku përdorim pabarazitë numerike. Në këtë artikull do të shqyrtojmë vetitë e pabarazive numerike, nga të cilat ndërtohen parimet e punës me to.

Vetitë e pabarazive janë të ngjashme me vetitë e pabarazive numerike. Vetitë, justifikimi i saj do të merren parasysh dhe do të jepen shembuj.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pabarazitë numerike: përkufizimi, shembuj

Me rastin e prezantimit të konceptit të pabarazive, kemi se përkufizimi i tyre bëhet sipas llojit të regjistrimit. Ka shprehje algjebrike që kanë shenja ≠,< , >, ≤ , ≥ . Le të japim një përkufizim.

Përkufizimi 1

Pabarazi numerike quhet pabarazi në të cilën të dyja palët kanë numra dhe shprehje numerike.

Ne konsiderojmë pabarazitë numerike në shkollë pas studimit të numrave natyrorë. Operacione të tilla krahasimi studiohen hap pas hapi. Ato fillestare duken si 1< 5 , 5 + 7 >3. Pas së cilës rregullat plotësohen, dhe pabarazitë bëhen më të ndërlikuara, atëherë marrim pabarazitë e formës 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0. 73 - 17 2< 0 .

Vetitë e mosbarazimeve numerike

Për të punuar saktë me pabarazitë, duhet të përdorni vetitë e pabarazive numerike. Ato vijnë nga koncepti i pabarazisë. Ky koncept përcaktohet duke përdorur një deklaratë, e cila përcaktohet si "më shumë" ose "më pak".

Përkufizimi 2

numri a është më i madh se b kur diferenca a - b është numër pozitiv;
numri a është më i vogël se b kur ndryshimi a - b është numër negativ;
numri a është i barabartë me b kur ndryshimi a - b është zero.

Përkufizimi përdoret kur zgjidhen pabarazitë me marrëdhëniet "më pak se ose e barabartë me", "më e madhe se ose e barabartë me". Ne e kuptojmë atë

Përkufizimi 3

a është më i madh ose i barabartë me b kur a - b është një numër jo negativ;
a është më e vogël ose e barabartë me b kur a - b është një numër jo pozitiv.

Përkufizimet do të përdoren për të vërtetuar vetitë e pabarazive numerike.

Vetitë themelore

Le të shohim 3 pabarazitë kryesore. Përdorimi i shenjave< и >karakteristikë e vetive të mëposhtme:

Përkufizimi 4

antirefleksiviteti, që thotë se çdo numër a nga pabarazitë a< a и a >a konsiderohet e pasaktë. Dihet se për çdo a vlen barazia a − a = 0, pra marrim se a = a. Pra a< a и a >a është e pasaktë. Për shembull, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 janë të pasakta.
asimetri. Kur numrat a dhe b janë të tillë që aa, dhe nëse a > b, atëherë b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a a. Pjesa e dytë e tij vërtetohet në mënyrë të ngjashme.

Shembulli 1

Për shembull, duke pasur parasysh pabarazinë 5< 11 имеем, что 11 >5, që do të thotë pabarazia e tij numerike − 0, 27 > − 1, 3 do të rishkruhet si − 1, 3< − 0 , 27 .

Para se të kaloni te vetia tjetër, vini re se me ndihmën e asimetrisë mund të lexoni pabarazinë nga e djathta në të majtë dhe anasjelltas. Në këtë mënyrë, pabarazitë numerike mund të modifikohen dhe ndërrohen.

Përkufizimi 5

kalimtare. Kur numrat a, b, c plotësojnë kushtin ab dhe b > c , pastaj a > c .

Dëshmia 1

Deklarata e parë mund të vërtetohet. Kushti a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Në mënyrë të ngjashme vërtetohet pjesa e dytë me vetinë kalimtare.

Shembulli 2

Ne e konsiderojmë vetinë e analizuar duke përdorur shembullin e pabarazive − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 dhe 1 8 > 1 32 rrjedh se 1 2 > 1 32.

Pabarazitë numerike, të cilat shkruhen duke përdorur shenja të dobëta të pabarazisë, kanë vetinë e refleksivitetit, sepse a ≤ a dhe a ≥ a mund të kenë rastin e barazisë a = a. Ato karakterizohen nga asimetria dhe kalueshmëria.

Përkufizimi 6

Pabarazitë që kanë shenjat ≤ dhe ≥ në shkrimin e tyre kanë këto veti:

refleksiviteti a ≥ a dhe a ≤ a konsiderohen pabarazi të vërteta;
antisimetria, kur a ≤ b, atëherë b ≥ a, dhe nëse a ≥ b, atëherë b ≤ a.
kalueshmëria, kur a ≤ b dhe b ≤ c, atëherë a ≤ c, dhe gjithashtu, nëse a ≥ b dhe b ≥ c, atëherë a ≥ c.

Prova kryhet në një mënyrë të ngjashme.

Veti të tjera të rëndësishme të pabarazive numerike

Për të plotësuar vetitë themelore të pabarazive, përdoren rezultate që kanë rëndësi praktike. Parimi i metodës përdoret për të vlerësuar vlerat e shprehjeve, mbi të cilat bazohen parimet e zgjidhjes së pabarazive.

Ky paragraf zbulon vetitë e pabarazive për një shenjë të pabarazisë strikte. E njëjta gjë bëhet për ato jo strikte. Le të shohim një shembull, duke formuluar pabarazinë nëse a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

nëse a > b, atëherë a + c > b + c;
nëse a ≤ b, atëherë a + c ≤ b + c;
nëse a ≥ b, atëherë a + c ≥ b + c.

Për një prezantim të përshtatshëm, ne japim deklaratën përkatëse, e cila shkruhet dhe jepen prova, tregohen shembuj të përdorimit.

Përkufizimi 7

Shtimi ose llogaritja e një numri në të dy anët. Me fjalë të tjera, kur a dhe b korrespondojnë me pabarazinë a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Dëshmia 2

Për ta vërtetuar këtë, ekuacioni duhet të plotësojë kushtin a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Shembulli 3

Për shembull, nëse rrisim të dy anët e pabarazisë 7 > 3 me 15, atëherë marrim atë 7 + 15 > 3 + 15. Kjo është e barabartë me 22 > 18.

Përkufizimi 8

Kur të dy anët e pabarazisë shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër c, marrim një pabarazi të vërtetë. Nëse merrni një numër negativ, shenja do të ndryshojë në të kundërtën. Përndryshe duket kështu: për a dhe b pabarazia vlen kur ab·c.

Dëshmia 3

Kur ka një rast c > 0, është e nevojshme të ndërtohet diferenca midis anës së majtë dhe të djathtë të pabarazisë. Atëherë marrim se a · c − b · c = (a − b) · c . Nga kushti a0, atëherë prodhimi (a − b) · c do të jetë negativ. Nga kjo rrjedh se a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Kur provoni, pjesëtimi me një numër të plotë mund të zëvendësohet me shumëzim me inversin e atij të dhënë, domethënë 1 c. Le të shohim një shembull të një prone në numra të caktuar.

Shembulli 4

Të dyja anët e pabarazisë 4 janë të lejuara< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Tani le të formulojmë dy rezultatet e mëposhtme, të cilat përdoren në zgjidhjen e pabarazive:

Përfundimi 1. Kur ndryshohen shenjat e pjesëve të një pabarazie numerike, vetë shenja e pabarazisë ndryshon në të kundërtën, si një− b. Kjo ndjek rregullin e shumëzimit të të dy anëve me - 1. Është i zbatueshëm për tranzicion. Për shembull, - 6< − 2 , то 6 > 2 .
Përfundimi 2. Kur zëvendësohen pjesët e një pabarazie numerike me numra të kundërt, shenja e tij gjithashtu ndryshon, dhe pabarazia mbetet e vërtetë. Nga kjo kemi se a dhe b janë numra pozitivë, a1 b .

Kur pjesëtohen të dyja anët e pabarazisë a3 2 kemi atë 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a 1 b mund të jetë i pasaktë.

Shembulli 5

Për shembull, - 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 janë një ekuacion i pasaktë.

Të gjitha pikat bashkohen nga fakti se veprimet në pjesë të pabarazisë japin pabarazinë e saktë në dalje. Le të shqyrtojmë vetitë ku fillimisht ka disa pabarazi numerike dhe rezultati i tij merret duke shtuar ose shumëzuar pjesët e tij.

Përkufizimi 9

Kur numrat a, b, c, d janë të vlefshëm për pabarazitë a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Prova 4

Le të vërtetojmë se (a + c) − (b + d) është një numër negativ, atëherë marrim se a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Vetia përdoret për mbledhjen term pas termi të tre, katër ose më shumë pabarazive numerike. Numrat a 1 , a 2 , … , a n dhe b 1 , b 2 , … , b n plotësojnë pabarazitë a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Shembulli 6

Për shembull, jepen tre pabarazi numerike të së njëjtës shenjë − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Përkufizimi 10

Shumëzimi termik i të dy anëve rezulton në një numër pozitiv. Kur a< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Dëshmia 5

Për ta vërtetuar këtë, na duhen të dyja anët e pabarazisë a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Kjo veti konsiderohet e vlefshme për numrin e numrave me të cilët duhet të shumëzohen të dyja anët e pabarazisë. Pastaj a 1, a 2, …, a n Dhe b 1, b 2, …, b n janë numra pozitivë, ku një 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Vini re se kur shkruani pabarazi ka numra jo pozitivë, atëherë shumëzimi i tyre term pas termi çon në pabarazi të pasakta.

Shembulli 7

Për shembull, pabarazia 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Pasoja: Shumëzimi termik i pabarazive a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Vetitë e mosbarazimeve numerike

Le të shqyrtojmë vetitë e mëposhtme të pabarazive numerike.

a< a , a >a - pabarazitë e pasakta,
a ≤ a, a ≥ a janë pabarazi të vërteta.
Nese njea - antisimetria.
Nese nje< b и b < c то a < c - транзитивность.
Nese nje< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
Nese njeb·c.

Përfundimi 1: nese nje-b.

Përfundimi 2: nëse a dhe b janë numra pozitivë dhe a1 b .

Nëse një 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
Nëse një 1, një 2,. . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n janë numra pozitivë dhe a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Përfundimi 1: Nëse a< b , a Dhe b janë numra pozitivë, atëherë a n< b n .

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, të tilla si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Bashkësia e të gjithë numrave realë mund të përfaqësohet si bashkim i tre grupeve: bashkësia e numrave pozitivë, bashkësia e numrave negativë dhe bashkësia e përbërë nga një numër - numri zero. Për të treguar se numri A pozitive, përdorni regjistrimin a > 0, për të treguar një numër negativ përdorni një shënim tjetër a< 0 .

Shuma dhe prodhimi i numrave pozitivë janë gjithashtu numra pozitivë. Nëse numri A negative, pastaj numri -A pozitive (dhe anasjelltas). Për çdo numër pozitiv a ka një numër racional pozitiv r, Çfarë r< а . Këto fakte qëndrojnë në themel të teorisë së pabarazive.

Sipas përkufizimit, pabarazia a > b (ose, çfarë është e njëjtë, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, pra nëse numri a - b është pozitiv.

Konsideroni, në veçanti, pabarazinë A< 0 . Çfarë do të thotë kjo pabarazi? Sipas përkufizimit të mësipërm do të thotë se 0 - a > 0, d.m.th. -a > 0 ose, me fjalë të tjera, cili është numri -A pozitivisht. Por kjo ndodh nëse dhe vetëm nëse numri A negativ. Pra pabarazi A< 0 do të thotë se numri por negative.

Shënimi përdoret gjithashtu shpesh ab(ose, çfarë është e njëjta, ba).
Regjistro ab, sipas përkufizimit, do të thotë se ose a > b, ose a = b. Nëse marrim parasysh rekordin ab si pohim i pacaktuar, atëherë në shënimin e logjikës matematikore mund të shkruajmë

(a b) [(a > b) V (a = b)]

Shembulli 1. A janë të vërteta pabarazitë 5 0, 0 0?

Pabarazia 5 0 është një pohim kompleks i përbërë nga dy pohime të thjeshta të lidhura me lidhësin logjik "ose" (ndarje). Ose 5 > 0 ose 5 = 0. Pohimi i parë 5 > 0 është i vërtetë, pohimi i dytë 5 = 0 është i gabuar. Me përkufizimin e një ndarjeje, një deklaratë e tillë komplekse është e vërtetë.

Hyrja 00 diskutohet në mënyrë të ngjashme.

Pabarazitë e formës a > b, a< b do t'i quajmë strikte, dhe pabarazi të formës ab, ab- jo i rreptë.

Pabarazitë a > b Dhe c > d(ose A< b Dhe Me< d ) do të quhen inekuacione me të njëjtin kuptim, dhe inekuacione a > b Dhe c< d - pabarazitë me kuptim të kundërt. Vini re se këto dy terma (pabarazi me kuptim të njëjtë dhe të kundërt) i referohen vetëm formës së shkrimit të pabarazive, dhe jo vetë fakteve të shprehura nga këto pabarazi. Pra, në lidhje me pabarazinë A< b pabarazia Me< d është një pabarazi me të njëjtin kuptim, dhe në shënim d>c(që do të thotë e njëjta gjë) - një pabarazi e kuptimit të kundërt.

Së bashku me pabarazitë e formës a>b, ab përdoren të ashtuquajturat pabarazi të dyfishta, d.m.th., pabarazi të formës A< с < b , ac< b , a< cb ,
acb. Sipas përkufizimit, një rekord

A< с < b (1)
do të thotë që të dyja pabarazitë janë:

A< с Dhe Me< b.

Pabarazitë kanë një kuptim të ngjashëm acb, ac< b, а < сb.

Pabarazia e dyfishtë (1) mund të shkruhet si më poshtë:

(a< c < b) [(a < c) & (c < b)]

dhe pabarazi e dyfishtë a ≤ c ≤ b mund të shkruhet në formën e mëposhtme:

(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Le të vazhdojmë tani me paraqitjen e vetive themelore dhe rregullave të veprimit për pabarazitë, pasi kemi rënë dakord që në këtë artikull shkronjat a, b, c qëndrojnë për numra realë, dhe n do të thotë numër natyror.

1) Nëse a > b dhe b > c, atëherë a > c (kalim).

Dëshmi.

Që nga kushti a > b Dhe b > c, pastaj numrat a - b Dhe b - c janë pozitive, prandaj edhe numri a - c = (a - b) + (b - c), si shuma e numrave pozitivë, është gjithashtu pozitive. Kjo do të thotë, me përkufizim, se a > c.

2) Nëse a > b, atëherë për çdo c vlen pabarazia a + c > b + c.

Dëshmi.

Sepse a > b, pastaj numri a - b pozitivisht. Prandaj, numri (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - bështë gjithashtu pozitive, d.m.th.
a + c > b + c.

3) Nëse a + b > c, atëherë a > b - c, dmth çdo term mund të bartet nga një pjesë e pabarazisë në tjetrën duke ndryshuar shenjën e këtij termi në të kundërtën.

Vërtetimi rrjedh nga vetia 2) është e mjaftueshme për të dyja anët e pabarazisë a + b > c shtoni numrin - b.

4) Nëse a > b dhe c > d, atëherë a + c > b + d, pra me rastin e mbledhjes së dy inekuacioneve me të njëjtin kuptim, fitohet një pabarazi me të njëjtin kuptim.

Dëshmi.

Në bazë të përkufizimit të pabarazisë, mjafton të tregohet se ndryshimi
(a + c) - (b + c) pozitive. Ky ndryshim mund të shkruhet si më poshtë:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Meqë sipas kushtit të numrit a - b Dhe c - d janë pozitive, atëherë (a + c) - (b + d) ka edhe një numër pozitiv.

Pasoja. Nga rregullat 2) dhe 4) rrjedh Rregulli i mëposhtëm për zbritjen e pabarazive: nëse a > b, c > d, Kjo a - d > b - c(për vërtetim mjafton të zbatohen të dyja anët e pabarazisë a + c > b + d shtoni numrin - c - d).

5) Nëse a > b, atëherë për c > 0 kemi ac > bc, dhe për c< 0 имеем ас < bc.

Me fjalë të tjera, kur shumëzohen të dyja anët e një pabarazie me një numër pozitiv, shenja e pabarazisë ruhet (d.m.th., fitohet një pabarazi me të njëjtin kuptim), por kur shumëzohet me një numër negativ, shenja e pabarazisë ndryshon në të kundërtën. (d.m.th., fitohet një pabarazi e kuptimit të kundërt.

Dëshmi.

Nëse a > b, Kjo a - bështë një numër pozitiv. Prandaj, shenja e ndryshimit ac-bc = c(a - b) përputhet me shenjën e numrit Me: Nëse Meështë një numër pozitiv, atëherë diferenca ac - p.e.sështë pozitive dhe për këtë arsye ac > bс, dhe nëse Me< 0 , atëherë ky ndryshim është negativ dhe prandaj bc - ac pozitive, d.m.th. bc > ac.

6) Nëse a > b > 0 dhe c > d > 0, atëherë ac > bd, d.m.th., nëse të gjithë termat e dy pabarazive me të njëjtin kuptim janë pozitive, atëherë kur shumëzohen këto pabarazi term për term, fitohet një pabarazi me të njëjtin kuptim.

Dëshmi.

Ne kemi ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Sepse c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, pastaj ac - bd > 0, d.m.th. ac > bd.

Koment. Nga prova del qartë se kushti d > 0 në formulimin e pasurisë 6) është e parëndësishme: për vlefshmërinë e kësaj pasurie mjafton të plotësohen kushtet. a > b > 0, c > d, c > 0. Nëse (nëse plotësohen pabarazitë a > b, c > d) numrat a, b, c nuk do të jenë të gjitha pozitive, atëherë pabarazia ac > bd mund të mos përmbushet. Për shembull, kur A = 2, b =1, c= -2, d= -3 kemi a > b, c > d, por pabarazi ac > bd(d.m.th. -4 > -3) dështoi. Kështu, kërkesa që numrat a, b, c të jenë pozitivë në formulimin e vetive 6) është thelbësore.

7) Nëse a ≥ b > 0 dhe c > d > 0, atëherë (pjestimi i pabarazive).

Dëshmi.

Ne kemi Numëruesi i thyesës në anën e djathtë është pozitiv (shih vetitë 5), 6)), edhe emëruesi është pozitiv. Prandaj,. Kjo dëshmon pronësinë 7).

Koment. Le të shënojmë një rast të rëndësishëm të veçantë të rregullit 7), i marrë me a = b = 1: nëse c > d > 0, atëherë. Kështu, nëse termat e pabarazisë janë pozitive, atëherë kur kalojmë në reciproke fitojmë një pabarazi me kuptim të kundërt. I ftojmë lexuesit të kontrollojnë nëse ky rregull vlen edhe në 7) Nëse ab > 0 dhe c > d > 0, atëherë (ndarja e pabarazive).

Dëshmi. Se.

Më sipër kemi vërtetuar disa veti të pabarazive të shkruara duke përdorur shenjën > (më shumë). Megjithatë, të gjitha këto veti mund të formulohen duke përdorur shenjën < (më pak), pasi pabarazia b< а do të thotë, sipas përkufizimit, njësoj si pabarazia a > b. Përveç kësaj, siç është e lehtë për t'u verifikuar, vetitë e provuara më sipër ruhen gjithashtu për pabarazi jo të rrepta. Për shembull, vetia 1) për pabarazitë jo strikte do të ketë formën e mëposhtme: nëse ab dhe bc, Kjo ac.

Natyrisht, sa më sipër nuk kufizon vetitë e përgjithshme të pabarazive. Ekziston gjithashtu një seri e tërë pabarazish të përgjithshme që lidhen me marrjen në konsideratë të fuqisë, funksioneve eksponenciale, logaritmike dhe trigonometrike. Qasja e përgjithshme për shkrimin e këtij lloji të pabarazive është si më poshtë. Nëse ndonjë funksion y = f(x) rritet në mënyrë monotone në segment [a, b], atëherë për x 1 > x 2 (ku x 1 dhe x 2 i përkasin këtij segmenti) kemi f (x 1) > f(x 2). Po kështu, nëse funksioni y = f(x) zvogëlohet në mënyrë monotone në interval [a, b], atehere kur x 1 > x 2 (ku x 1 Dhe X 2 i përkasin këtij segmenti) kemi f(x 1)< f(x 2 ). Natyrisht, ajo që u tha nuk ndryshon nga përkufizimi i monotonitetit, por kjo teknikë është shumë e përshtatshme për memorizimin dhe shkrimin e pabarazive.

Kështu, për shembull, për çdo numër natyror n funksioni y = xn po rritet në mënyrë monotone përgjatë rrezes {0} {0} }