Ekuacione me parametra provimi, shembuj zgjidhjesh grafikisht. Probleme me një parametër (zgjidhje grafike) Hyrje

TE detyrat me parametër Kjo mund të përfshijë, për shembull, kërkimin e zgjidhjeve për ekuacionet lineare dhe kuadratike në formë të përgjithshme, studimin e ekuacionit për numrin e rrënjëve të disponueshme në varësi të vlerës së parametrit.

Pa dhënë përkufizime të hollësishme, merrni parasysh ekuacionet e mëposhtme si shembuj:

y = kx, ku x, y janë variabla, k është një parametër;

y = kx + b, ku x, y janë variabla, k dhe b janë parametra;

ax 2 + bx + c = 0, ku x janë variabla, a, b dhe c janë një parametër.

Zgjidhja e një ekuacioni (pabarazie, sistemi) me një parametër nënkupton, si rregull, zgjidhjen e një grupi të pafund ekuacionesh (pabarazitë, sistemet).

Detyrat me një parametër mund të ndahen në dy lloje:

A) kushti thotë: zgjidhni ekuacionin (pabarazinë, sistemin) - kjo do të thotë, për të gjitha vlerat e parametrit, gjeni të gjitha zgjidhjet. Nëse të paktën një rast mbetet i pahetuar, një zgjidhje e tillë nuk mund të konsiderohet e kënaqshme.

b) kërkohet të tregohen vlerat e mundshme të parametrit në të cilin ekuacioni (pabarazia, sistemi) ka veti të caktuara. Për shembull, ka një zgjidhje, nuk ka zgjidhje, ka zgjidhje që i përkasin intervalit, etj. Në detyra të tilla, është e nevojshme të tregohet qartë se në cilën vlerë parametri plotësohet kushti i kërkuar.

Parametri, duke qenë një numër fiks i panjohur, ka një lloj dualiteti të veçantë. Para së gjithash, është e nevojshme të merret parasysh se fama e supozuar tregon që parametri duhet të perceptohet si një numër. Së dyti, liria për të manipuluar parametrin kufizohet nga paqartësia e tij. Për shembull, operacionet e pjesëtimit me një shprehje që përmban një parametër ose nxjerrja e rrënjës së një shkalle çift nga një shprehje e tillë kërkojnë kërkime paraprake. Prandaj, kërkohet kujdes gjatë trajtimit të parametrit.

Për shembull, për të krahasuar dy numra -6a dhe 3a, duhet të merrni parasysh tre raste:

1) -6a do të jetë më e madhe se 3a nëse a është një numër negativ;

2) -6a = 3a në rastin kur a = 0;

3) -6a do të jetë më e vogël se 3a nëse a është një numër pozitiv 0.

Zgjidhja do të jetë përgjigja.

Le të jepet ekuacioni kx = b. Ky ekuacion është një formë e shkurtër për një numër të pafund ekuacionesh me një ndryshore.

Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve të tilla mund të ketë raste:

1. Le të jetë k çdo numër real jo i barabartë me zero dhe b çdo numër nga R, atëherë x = b/k.

2. Le të jetë k = 0 dhe b ≠ 0, ekuacioni origjinal do të marrë formën 0 x = b. Natyrisht, ky ekuacion nuk ka zgjidhje.

3. Le të jenë k dhe b numra të barabartë me zero, atëherë kemi barazinë 0 x = 0. Zgjidhja e tij është çdo numër real.

Një algoritëm për zgjidhjen e këtij lloj ekuacioni:

1. Përcaktoni vlerat e "kontrollit" të parametrit.

2. Zgjidheni ekuacionin origjinal për x për vlerat e parametrave që u përcaktuan në paragrafin e parë.

3. Zgjidheni ekuacionin origjinal për x për vlerat e parametrave të ndryshëm nga ato të zgjedhura në paragrafin e parë.

4. Përgjigjen mund ta shkruani në formën e mëposhtme:

1) për ... (vlerat e parametrave), ekuacioni ka rrënjë ...;

2) për ... (vlerat e parametrave), nuk ka rrënjë në ekuacion.

Shembulli 1.

Zgjidheni ekuacionin me parametrin |6 – x| = a.

Zgjidhje.

Është e lehtë të shihet se një ≥ 0 këtu.

Sipas rregullit të modulit 6 – x = ±a, shprehim x:

Përgjigje: x = 6 ± a, ku a ≥ 0.

Shembulli 2.

Zgjidheni ekuacionin a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 në lidhje me ndryshoren x.

Zgjidhje.

Le të hapim kllapat: aх – а + 2х – 2 = 0

Le ta shkruajmë ekuacionin në formë standarde: x(a + 2) = a + 2.

Nëse shprehja a + 2 nuk është zero, d.m.th. nëse a ≠ -2, kemi zgjidhjen x = (a + 2) / (a ​​+ 2), d.m.th. x = 1.

Nëse a + 2 është e barabartë me zero, d.m.th. a = -2, atëherë kemi barazinë e saktë 0 x = 0, pra x është çdo numër real.

Përgjigje: x = 1 për a ≠ -2 dhe x € R për a = -2.

Shembulli 3.

Zgjidheni ekuacionin x/a + 1 = a + x në lidhje me ndryshoren x.

Zgjidhje.

Nëse a = 0, atëherë e transformojmë ekuacionin në formën a + x = a 2 + sëpatë ose (a – 1)x = -a(a – 1). Ekuacioni i fundit për a = 1 ka formën 0 x = 0, prandaj x është çdo numër.

Nëse a ≠ 1, atëherë ekuacioni i fundit do të marrë formën x = -a.

Kjo zgjidhje mund të ilustrohet në vijën e koordinatave (Fig. 1)

Përgjigje: nuk ka zgjidhje për a = 0; x – çdo numër me a = 1; x = -a për një ≠ 0 dhe a ≠ 1.

Metoda grafike

Le të shqyrtojmë një mënyrë tjetër për të zgjidhur ekuacionet me një parametër - grafikisht. Kjo metodë përdoret mjaft shpesh.

Shembulli 4.

Në varësi të parametrit a, sa rrënjë ka ekuacioni ||x| – 2| = a?

Zgjidhje.

Për të zgjidhur duke përdorur metodën grafike, ndërtojmë grafikë të funksioneve y = ||x| – 2| dhe y = a (Fig. 2).

Vizatimi tregon qartë rastet e mundshme të vendndodhjes së drejtëzës y = a dhe numrin e rrënjëve në secilën prej tyre.

Përgjigje: ekuacioni nuk do të ketë rrënjë nëse a< 0; два корня будет в случае, если a >2 dhe a = 0; ekuacioni do të ketë tre rrënjë në rastin e a = 2; katër rrënjë - në 0< a < 2.

Shembulli 5.

Në çfarë a është ekuacioni 2|x| + |x – 1| = a ka një rrënjë të vetme?

Zgjidhje.

Le të paraqesim grafikët e funksioneve y = 2|x| + |x – 1| dhe y = a. Për y = 2|x| + |x – 1|, duke zgjeruar modulet duke përdorur metodën e intervalit, marrim:

(-3x + 1, në x< 0,

y = (x + 1, për 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, për x > 1.

Aktiv Figura 3 Shihet qartë se ekuacioni do të ketë një rrënjë të vetme vetëm kur a = 1.

Përgjigje: a = 1.

Shembulli 6.

Përcaktoni numrin e zgjidhjeve të ekuacionit |x + 1| + |x + 2| = a në varësi të parametrit a?

Zgjidhje.

Grafiku i funksionit y = |x + 1| + |x + 2| do të jetë një vijë e thyer. Kulmet e tij do të vendosen në pikat (-2; 1) dhe (-1; 1) (Figura 4).

Përgjigje: nëse parametri a është më i vogël se një, atëherë ekuacioni nuk do të ketë rrënjë; nëse a = 1, atëherë zgjidhja e ekuacionit është një grup i pafund numrash nga segmenti [-2; -1]; nëse vlerat e parametrit a janë më të mëdha se një, atëherë ekuacioni do të ketë dy rrënjë.

Ende keni pyetje? Nuk dini si të zgjidhni ekuacionet me një parametër?
Për të marrë ndihmë nga një mësues, regjistrohu.
Mësimi i parë është falas!

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Olga Otdelkina, nxënëse e klasës së 9-të

Kjo temë është pjesë përbërëse e kursit të algjebrës shkollore. Qëllimi i kësaj pune është ta studiojmë këtë temë më thellë, të identifikojmë zgjidhjen më racionale që të çon shpejt në një përgjigje. Kjo ese do të ndihmojë studentët e tjerë të kuptojnë përdorimin e metodës grafike për zgjidhjen e ekuacioneve me parametra, të mësojnë për origjinën dhe zhvillimin e kësaj metode.

Shkarko:

Pamja paraprake:

Hyrje2

Kapitulli 1. Ekuacionet me një parametër

Historia e shfaqjes së ekuacioneve me parametrin3

Teorema e Vietës4

Konceptet bazë5

Kapitulli 2. Llojet e ekuacioneve me parametra.

Ekuacionet lineare6

Ekuacionet kuadratike………………………………………………………………………………………

Kapitulli 3. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve me një parametër

Metoda analitike…………………………………………….8

Metoda grafike. Historia e origjinës………………………………9

Algoritmi për zgjidhjen e metodës grafike…………………………………….10

Zgjidhja e ekuacionit me modul……………………………………………………….11

Pjesa praktike……………………………………………………………12

konkluzioni………………………………………………………………………………………………………………………………………………….19

Referencat………………………………………………………………… 20

Hyrje.

Zgjodha këtë temë sepse është pjesë përbërëse e kursit të algjebrës shkollore. Në përgatitjen e kësaj pune, vendosa synimin për një studim më të thellë të kësaj teme, duke identifikuar zgjidhjen më racionale që të çon shpejt në një përgjigje. Eseja ime do t'i ndihmojë studentët e tjerë të kuptojnë përdorimin e metodës grafike për zgjidhjen e ekuacioneve me parametra, të mësojnë rreth origjinës dhe zhvillimit të kësaj metode.

Në jetën moderne, studimi i shumë proceseve fizike dhe modeleve gjeometrike shpesh çon në zgjidhjen e problemeve me parametrat.

Për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla, metoda grafike është shumë efektive kur duhet të përcaktoni se sa rrënjë ka ekuacioni në varësi të parametrit α.

Problemet me parametrat janë me interes thjesht matematikor, kontribuojnë në zhvillimin intelektual të nxënësve dhe shërbejnë si material i mirë për praktikimin e aftësive. Ato kanë vlerë diagnostike, pasi mund të përdoren për të testuar njohuritë e degëve kryesore të matematikës, nivelin e të menduarit matematikor dhe logjik, aftësitë fillestare të kërkimit dhe mundësitë premtuese për të zotëruar me sukses një kurs matematike në institucionet e arsimit të lartë.

Eseja ime diskuton llojet e ekuacioneve të hasura shpesh dhe shpresoj se njohuritë që kam marrë në procesin e punës do të më ndihmojnë gjatë dhënies së provimeve shkollore, sepseekuacionet me parametrakonsiderohen me të drejtë një nga problemet më të vështira të matematikës shkollore. Janë pikërisht këto detyra që përfshihen në listën e detyrave në Provimin e Bashkuar të Shtetit.

Historia e shfaqjes së ekuacioneve me një parametër

Problemet mbi ekuacionet me një parametër tashmë janë hasur në traktatin astronomik "Aryabhattiam", të përpiluar në 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta (shekulli VII), përshkroi një rregull të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike:

αx 2 + bx = c, α>0

Koeficientët në ekuacion, përveç parametrit, mund të jetë edhe negative.

Ekuacionet kuadratike nga al-Khwarizmi.

Në traktatin algjebrik el-Kuarizmi jep një klasifikim të ekuacioneve lineare dhe kuadratike me parametrin a. Autori numëron 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:

1) "Katroret janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. αx 2 = bx.

2) "Katroret janë të barabartë me numrat", d.m.th. αx 2 = c.

3) "Rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. αx = c.

4) "Katroret dhe numrat janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. αx 2 + c = bx.

5) "Katroret dhe rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. αx 2 + bx = c.

6) "Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë", d.m.th. bx + c = αx 2 .

Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike sipas al-Khuarizmit në Evropë u parashtruan për herë të parë në "Librin e Abacus", shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci.

Derivimi i formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik me një parametër në formë të përgjithshme është i disponueshëm nga Vieta, por Vieta njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 12-të. Përveç pozitiveve, merren parasysh edhe rrënjët negative. Vetëm në shekullin e 17-të. Falë punës së Girardit, Dekartit, Njutonit dhe shkencëtarëve të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike mori formën e saj moderne.

Teorema e Vietës

Një teoremë që shpreh marrëdhënien midis parametrave, koeficientëve të një ekuacioni kuadratik dhe rrënjëve të tij, të emërtuar sipas Vieta, u formulua për herë të parë prej tij në 1591 si më poshtë: "Nëse b + d shumëzuar me α minus α 2 , është e barabartë me bc, atëherë α është e barabartë me b dhe e barabartë me d.”

Për të kuptuar Vietën, duhet të kujtojmë se α, si çdo shkronjë zanore, nënkuptonte të panjohurën (x-në tonë), ndërsa zanoret b, d janë koeficientë për të panjohurën. Në gjuhën e algjebrës moderne, formulimi i mësipërm Vieta do të thotë:

Nëse ka

(α + b)x - x 2 = αb,

Kjo do të thotë, x 2 - (α -b)x + αb =0,

atëherë x 1 = α, x 2 = b.

Duke shprehur marrëdhënien midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacioneve me formula të përgjithshme të shkruara duke përdorur simbole, Vieta vendosi uniformitet në metodat për zgjidhjen e ekuacioneve. Sidoqoftë, simbolika e Vietit është ende larg nga forma e saj moderne. Ai nuk i njihte numrat negativë dhe për këtë arsye, gjatë zgjidhjes së ekuacioneve, ai merrte parasysh vetëm rastet kur të gjitha rrënjët ishin pozitive.

Konceptet themelore

Parametri - një ndryshore e pavarur, vlera e së cilës konsiderohet një numër fiks ose arbitrar, ose një numër që i përket intervalit të përcaktuar nga gjendja e problemit.

Ekuacioni me parametër- matematikoreekuacioni, pamja dhe zgjidhja e të cilave varet nga vlerat e një ose më shumë parametrave.

Vendosni ekuacioni me mesataren e parametrave për secilën vlerëgjeni vlerat e x që plotësojnë këtë ekuacion dhe gjithashtu:

1. 1. Hulumtoni se në cilat vlera parametrash ka rrënjë ekuacioni dhe sa ka për vlera të ndryshme parametrash.
2. 2. Gjeni të gjitha shprehjet për rrënjët dhe tregoni për secilën prej tyre ato vlera të parametrave në të cilat kjo shprehje në të vërtetë përcakton rrënjën e ekuacionit.

Merrni parasysh ekuacionin α(x+k)= α +c, ku α, c, k, x janë madhësi të ndryshueshme.

Sistemi vlerat e pranueshme variablat α, c, k, xështë çdo sistem vlerash të ndryshueshme në të cilin të dyja anët e majta dhe të djathta të këtij ekuacioni marrin vlera reale.

Le të jetë A bashkësia e të gjitha vlerave të pranueshme të α, K bashkësia e të gjitha vlerave të pranueshme të k, X bashkësia e të gjitha vlerave të pranueshme të x, C bashkësia e të gjitha vlerave të pranueshme të c. Nëse për secilën nga bashkësitë A, K, C, X zgjedhim dhe rregullojmë, përkatësisht, një vlerë α, k, c dhe i zëvendësojmë në ekuacion, atëherë marrim një ekuacion për x, d.m.th. ekuacion me një të panjohur.

Ndryshoret α, k, c, të cilat konsiderohen konstante gjatë zgjidhjes së një ekuacioni, quhen parametra dhe vetë ekuacioni quhet ekuacion që përmban parametra.

Parametrat shënohen me shkronjat e para të alfabetit latin: α, b, c, d, ..., k, l, m, n, kurse të panjohurat me shkronjat x, y, z.

Quhen dy ekuacione që përmbajnë të njëjtat parametra ekuivalente nëse:

a) kanë kuptim për vlerat e njëjta të parametrave;

b) çdo zgjidhje e ekuacionit të parë është zgjidhje e ekuacionit të dytë dhe anasjelltas.

Llojet e ekuacioneve me parametra

Ekuacionet me parametra janë: lineare dhe katror.

1) Ekuacioni linear. Pamje e përgjithshme:

α x = b, ku x është i panjohur;α, b - parametrat.

Për këtë ekuacion, vlera speciale ose e kontrollit të parametrit është ajo në të cilën koeficienti i të panjohurës zhduket.

Kur zgjidhet një ekuacion linear me një parametër, merren parasysh rastet kur parametri është i barabartë me vlerën e tij të veçantë dhe i ndryshëm nga ai.

Një vlerë e veçantë e parametrit α është vleraα = 0.

1.Nëse, dhe ≠0, pastaj për çdo çift parametrashα dhe b ka një zgjidhje unike x = .

2.Nëse, dhe =0, atëherë ekuacioni merr formën:0 x = b . Në këtë rast vlera b = 0 është një vlerë e veçantë e parametrit b.

2.1. Në b ≠ 0 ekuacioni nuk ka zgjidhje.

2.2. Në b =0 ekuacioni do të marrë formën:0 x =0.

Zgjidhja e këtij ekuacioni është çdo numër real.

Ekuacioni kuadratik me parametër.

Pamje e përgjithshme:

α x 2 + bx + c = 0

ku parametri α ≠0, b dhe c - numra arbitrar

Nëse α =1, atëherë ekuacioni quhet ekuacion kuadratik i reduktuar.

Rrënjët e një ekuacioni kuadratik gjenden duke përdorur formulat

Shprehja D = b 2 - 4 α c quhet diskriminues.

1. Nëse D> 0, ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme.

2. Nëse D< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Nëse D = 0, ekuacioni ka dy rrënjë të barabarta.

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve me një parametër:

1. Analitike - një metodë e zgjidhjes së drejtpërdrejtë, duke përsëritur procedurat standarde për gjetjen e përgjigjes në një ekuacion pa parametra.
2. Grafik - në varësi të kushteve të problemit merret parasysh pozicioni i grafikut të funksionit kuadratik përkatës në sistemin koordinativ.

Metoda analitike

Algoritmi i zgjidhjes:

1. Para se të filloni të zgjidhni një problem me parametrat duke përdorur metodën analitike, duhet të kuptoni situatën për një vlerë numerike specifike të parametrit. Për shembull, merrni vlerën e parametrit α =1 dhe përgjigjuni pyetjes: a është vlera e parametrit α =1 e nevojshme për këtë detyrë.

Shembulli 1. Zgjidh relativisht X ekuacioni linear me parametrin m:

Sipas kuptimit të problemës (m-1)(x+3) = 0, pra m= 1, x = -3.

Duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit me (m-1)(x+3), marrim ekuacionin

marrim

Pra, në m= 2.25.

Tani duhet të kontrollojmë nëse ka ndonjë vlerë të m për të cilën

vlera e x-it të gjetur është -3.

duke zgjidhur këtë ekuacion, gjejmë se x është e barabartë me -3 me m = -0.4.

Përgjigje: me m=1, m =2,25.

Metoda grafike. Historia e origjinës

Studimi i varësive të përbashkëta filloi në shekullin e 14-të. Shkenca mesjetare ishte skolastike. Me këtë natyrë, nuk mbetej vend për studimin e varësive sasiore, bëhej fjalë vetëm për cilësitë e objekteve dhe lidhjet e tyre me njëra-tjetrën. Por midis studiuesve u ngrit një shkollë që argumentonte se cilësitë mund të jenë pak a shumë intensive (veshja e një personi që ka rënë në lumë është më e lagësht se ajo e dikujt që sapo është zënë nga shiu)

Shkencëtari francez Nikolai Oresme filloi të përshkruante intensitetin me gjatësitë e segmenteve. Kur ai vendosi këto segmente pingul me një vijë të caktuar, skajet e tyre formuan një vijë, të cilën ai e quajti "vija e intensitetit" ose "vija e skajit të sipërm" (grafiku i varësisë funksionale përkatëse Oresme madje studioi "planare). ” dhe cilësitë “fizike”, pra funksionet, në varësi të dy ose tre ndryshoreve.

Arritja e rëndësishme e Oresmes ishte përpjekja e tij për të klasifikuar grafikët që rezultojnë. Ai identifikoi tre lloje cilësish: uniforme (me intensitet konstant), uniform-pabarabartë (me një shkallë konstante ndryshimi në intensitet) dhe të pabarabartë-pabarabartë (të gjitha të tjerat), si dhe vetitë karakteristike të grafikëve të cilësive të tilla.

Për të krijuar një aparat matematikor për studimin e grafikëve të funksioneve, nevojitej koncepti i një ndryshoreje. Ky koncept u fut në shkencë nga filozofi dhe matematikani francez Rene Descartes (1596-1650). Ishte Dekarti ai që doli me idetë për unitetin e algjebrës dhe gjeometrisë dhe rolin e variablave, Dekarti prezantoi një segment njësi fikse dhe filloi të marrë në konsideratë marrëdhëniet e segmenteve të tjera me të.

Kështu, grafikët e funksioneve gjatë gjithë periudhës së ekzistencës së tyre kanë kaluar nëpër një sërë transformimesh themelore, të cilat i çuan në formën me të cilën jemi mësuar. Çdo fazë ose fazë në zhvillimin e grafikëve të funksioneve është një pjesë integrale e historisë së algjebrës dhe gjeometrisë moderne.

Metoda grafike e përcaktimit të numrit të rrënjëve të një ekuacioni në varësi të parametrit të përfshirë në të është më e përshtatshme se ajo analitike.

Zgjidhja e algoritmit me metodën grafike

Grafiku i një funksioni - një grup pikash në të cilatabshissajanë vlera të vlefshme argumenti, A ordinatat- vlerat përkatësefunksionet.

Algoritmi për zgjidhjen grafike të ekuacioneve me një parametër:

1. Gjeni domenin e përkufizimit të ekuacionit.
2. Ne shprehim α në funksion të x.
3. Në sistemin e koordinatave ndërtojmë një grafik të funksionitα (x) për ato vlera të x që përfshihen në fushën e përkufizimit të këtij ekuacioni.
4. Gjetja e pikave të kryqëzimit të një drejtëzeα =с, me grafikun e funksionit

α(x). Nëse drejtëza α =с kalon grafikunα (x), pastaj përcaktojmë abshisat e pikave të kryqëzimit. Për ta bërë këtë, mjafton të zgjidhet ekuacioni c = α (x) në lidhje me x.

1. Shkruani përgjigjen

Zgjidhja e ekuacioneve me modul

Kur zgjidhen ekuacionet me një modul që përmban një parametër grafikisht, është e nevojshme të ndërtohen grafikët e funksioneve dhe të merren parasysh të gjitha rastet e mundshme për vlera të ndryshme të parametrit.

Për shembull, │x│= a,

Përgjigje: nëse a < 0, то нет корней, a > 0, atëherë x = a, x = - a, nëse a = 0, atëherë x = 0.

Zgjidhja e problemeve.

Problemi 1. Sa rrënjë ka ekuacioni?| | x | - 2 | = a në varësi të parametrit a?

Zgjidhje. Në sistemin koordinativ (x; y) do të ndërtojmë grafikë të funksioneve y = | | x | - 2 | dhe y = a . Grafiku i funksionit y = | | x | - 2 | treguar në figurë.

Grafiku i funksionit y =α a = 0).

Nga grafiku shihet se:

Nëse a = 0, atëherë drejtëza y = a përkon me boshtin Ox dhe ka grafikun e funksionit y = | | x | - 2 | dy pika të përbashkëta; kjo do të thotë se ekuacioni origjinal ka dy rrënjë (në këtë rast, rrënjët mund të gjenden: x 1,2 = + 2).
Nëse 0< a < 2, то прямая y = α ka me grafikun e funksionit y = | | x | - 2 | katër pika të përbashkëta dhe, për rrjedhojë, ekuacioni origjinal ka katër rrënjë.
Nëse a = 2, atëherë drejtëza y = 2 ka tre pika të përbashkëta me grafikun e funksionit. Atëherë ekuacioni origjinal ka tre rrënjë.
Nëse a > 2, pastaj drejtëza y = a do të ketë dy pika me grafikun e funksionit origjinal, pra ky ekuacion do të ketë dy rrënjë.

Përgjigje: nëse a < 0, то корней нет;
nëse a = 0, a > 2, atëherë ka dy rrënjë;
nëse a = 2, atëherë ka tre rrënjë;
nëse 0< a < 2, то четыре корня.

Problemi 2. Sa rrënjë ka ekuacioni?| x 2 - 2| x | - 3 | = a në varësi të parametrit a?

Zgjidhje. Në sistemin koordinativ (x; y) do të ndërtojmë grafikë të funksioneve y = | x 2 - 2| x | - 3 | dhe y = a.

Grafiku i funksionit y = | x 2 - 2| x | - 3 | treguar në figurë. Grafiku i funksionit y =α është një vijë e drejtë paralele me Ox ose që përkon me të (kur a = 0).

Nga grafiku mund të shihni:

Nëse a = 0, atëherë drejtëza y = a përkon me boshtin Ox dhe ka grafikun e funksionit y = | x2 - 2| x | - 3 | dy pika të përbashkëta, si dhe drejtëza y = a do të ketë me grafikun e funksionit y = | x 2 - 2| x | - 3 | dy pika të përbashkëta në a > 4. Pra, për a = 0 dhe a > 4 ekuacioni origjinal ka dy rrënjë.
Nëse 0< a< 3, то прямая y = a ka me grafikun e funksionit y = | x 2 - 2| x | - 3 | katër pika të përbashkëta, si dhe drejtëza y= a do të ketë katër pika të përbashkëta me grafikun e funksionit të ndërtuar në a = 4. Pra, në 0< a < 3, a = 4 ekuacioni origjinal ka katër rrënjë.
Nëse a = 3, pastaj drejtëza y = a pret grafikun e një funksioni në pesë pika; prandaj, ekuacioni ka pesë rrënjë.
Nëse 3< a< 4, прямая y = α pret grafikun e funksionit të ndërtuar në gjashtë pika; Kjo do të thotë që për këto vlera parametrash ekuacioni origjinal ka gjashtë rrënjë.
Nëse a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α nuk e pret grafikun e funksionit y = | x 2 - 2| x | - 3 |.

Përgjigje: nëse a < 0, то корней нет;
nëse a = 0, a > 4, atëherë ka dy rrënjë;
nëse 0< a < 3, a = 4, atëherë ka katër rrënjë;

nëse a = 3, pastaj pesë rrënjë;
nëse 3< a < 4, то шесть корней.

Problemi 3. Sa rrënjë ka ekuacioni?

në varësi të parametrit a?

Zgjidhje. Le të ndërtojmë një grafik të funksionit në sistemin koordinativ (x; y)

por fillimisht le ta paraqesim në formën:

Drejtëzat x = 1, y = 1 janë asimptota të grafikut të funksionit. Grafiku i funksionit y = | x | + a përftohet nga grafiku i funksionit y = | x | zhvendosja nga një njësi përgjatë boshtit Oy.

Grafikët e funksioneve kryqëzohen në një pikë në a > - 1; Kjo do të thotë që ekuacioni (1) për këto vlera parametrash ka një zgjidhje.

Kur a = - 1, a = - 2 grafikë kryqëzohen në dy pika; Kjo do të thotë se për këto vlera parametrash, ekuacioni (1) ka dy rrënjë.
Në - 2< a< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Përgjigje: nëse a > - 1, pastaj një zgjidhje;
nëse a = - 1, a = - 2, atëherë ka dy zgjidhje;
nëse - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Koment. Me rastin e zgjidhjes së ekuacionit të problemit, vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet rastit kur a = - 2, pasi pika (- 1; - 1) nuk i përket grafikut të funksionitpor i përket grafikut të funksionit y = | x | + a.

Problemi 4. Sa rrënjë ka ekuacioni?

x + 2 = a | x - 1 |

në varësi të parametrit a?

Zgjidhje. Vini re se x = 1 nuk është një rrënjë e këtij ekuacioni, pasi barazia 3 = a 0 nuk mund të jetë e vërtetë për asnjë vlerë parametri a . Le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me | x - 1 |(| x - 1 |0), atëherë ekuacioni merr formënNë sistemin koordinativ xOy do të vizatojmë funksionin

Grafiku i këtij funksioni është paraqitur në figurë. Grafiku i funksionit y = a është një vijë e drejtë paralele me boshtin Ox ose që përkon me të (nëse a = 0).

Ekuacionet me parametra konsiderohen me të drejtë një nga problemet më të vështira në matematikën shkollore. Janë pikërisht këto detyra që përfundojnë vit pas viti në listën e detyrave të tipit B dhe C në provimin e unifikuar të shtetit të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Megjithatë, në mesin e numrit të madh të ekuacioneve me parametra, ka nga ato që mund të zgjidhen lehtësisht grafikisht. Le ta shqyrtojmë këtë metodë duke përdorur shembullin e zgjidhjes së disa problemeve.

Gjeni shumën e vlerave të plota të numrit a për të cilin barazimi |x 2 – 2x – 3| = a ka katër rrënjë.

Zgjidhje.

Për t'iu përgjigjur pyetjes së problemit, le të ndërtojmë grafikët e funksioneve në një plan koordinativ

y = |x 2 – 2x – 3| dhe y = a.

Grafiku i funksionit të parë y = |x 2 – 2x – 3| do të merret nga grafiku i parabolës y = x 2 – 2x – 3 duke shfaqur në mënyrë simetrike në lidhje me boshtin x atë pjesë të grafikut që është nën boshtin Ox. Pjesa e grafikut e vendosur mbi boshtin x do të mbetet e pandryshuar.

Le ta bëjmë këtë hap pas hapi. Grafiku i funksionit y = x 2 – 2x – 3 është një parabolë, degët e së cilës janë të drejtuara lart. Për të ndërtuar grafikun e tij, gjejmë koordinatat e kulmit. Kjo mund të bëhet duke përdorur formulën x 0 = -b/2a. Kështu, x 0 = 2/2 = 1. Për të gjetur koordinatën e kulmit të parabolës përgjatë boshtit të ordinatave, ne e zëvendësojmë vlerën që rezulton për x 0 në ekuacionin e funksionit në fjalë. Marrim se y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. Kjo do të thotë se kulmi i parabolës ka koordinata (1; -4).

Tjetra, ju duhet të gjeni pikat e kryqëzimit të degëve të parabolës me boshtet e koordinatave. Në pikat e kryqëzimit të degëve të parabolës me boshtin e abshisës, vlera e funksionit është zero. Prandaj, zgjidhim ekuacionin kuadratik x 2 – 2x – 3 = 0. Rrënjët e tij do të jenë pikat e kërkuara. Nga teorema e Vieta-s kemi x 1 = -1, x 2 = 3.

Në pikat e kryqëzimit të degëve të parabolës me boshtin e ordinatave, vlera e argumentit është zero. Kështu, pika y = -3 është pika e prerjes së degëve të parabolës me boshtin y. Grafiku që rezulton është paraqitur në Figurën 1.

Për të marrë një grafik të funksionit y = |x 2 – 2x – 3|, le të shfaqim pjesën e grafikut që ndodhet nën boshtin x në mënyrë simetrike në raport me boshtin x. Grafiku që rezulton është paraqitur në Figurën 2.

Grafiku i funksionit y = a është një drejtëz paralele me boshtin e abshisave. Është paraqitur në figurën 3. Duke përdorur figurën, ne gjejmë se grafikët kanë katër pika të përbashkëta (dhe ekuacioni ka katër rrënjë) nëse a i përket intervalit (0; 4).

Vlerat e plota të numrit a nga intervali që rezulton: 1; 2; 3. Për t'iu përgjigjur pyetjes së problemit, le të gjejmë shumën e këtyre numrave: 1 + 2 + 3 = 6.

Përgjigje: 6.

Gjeni mesataren aritmetike të vlerave të plota të numrit a për të cilin barazimi |x 2 – 4|x| – 1| = a ka gjashtë rrënjë.

Le të fillojmë me vizatimin e funksionit y = |x 2 – 4|x| – 1|. Për ta bërë këtë, ne përdorim barazinë a 2 = |a| 2 dhe zgjidhni katrorin e plotë në shprehjen nënmodulare të shkruar në anën e djathtë të funksionit:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

Atëherë funksioni origjinal do të ketë formën y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Për të ndërtuar një grafik të këtij funksioni, ne ndërtojmë grafikët sekuencialë të funksioneve:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – parabolë me kulm në pikën me koordinata (2; -5); (Fig. 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – pjesa e parabolës e ndërtuar në hapin 1, e cila ndodhet në të djathtë të boshtit të ordinatave, paraqitet në mënyrë simetrike në të majtë të boshtit Oy; (Fig. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – pjesa e grafikut e ndërtuar në pikën 2, e cila ndodhet poshtë boshtit x, shfaqet në mënyrë simetrike në raport me boshtin x lart. (Fig. 3).

Le të shohim vizatimet që rezultojnë:

Grafiku i funksionit y = a është një drejtëz paralele me boshtin e abshisave.

Duke përdorur figurën, arrijmë në përfundimin se grafikët e funksioneve kanë gjashtë pika të përbashkëta (ekuacioni ka gjashtë rrënjë) nëse a i përket intervalit (1; 5).

Kjo mund të shihet në figurën e mëposhtme:

Le të gjejmë mesataren aritmetike të vlerave të numrit të plotë të parametrit a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Përgjigje: 3.

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

2. Përcaktimi i parametrave të panjohur të shpërndarjes.

Duke përdorur një histogram, mund të vizatojmë përafërsisht densitetin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme. Shfaqja e këtij grafiku shpesh na lejon të bëjmë një supozim rreth shpërndarjes së densitetit të probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme. Shprehja e kësaj densiteti të shpërndarjes zakonisht përfshin disa parametra që duhet të përcaktohen nga të dhënat eksperimentale.
Le të ndalemi në rastin e veçantë kur densiteti i shpërndarjes varet nga dy parametra.
Pra le x 1, x 2, ..., x n- vlerat e vëzhguara të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme dhe le që dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të saj të varet nga dy parametra të panjohur A Dhe B, d.m.th. duket si. Një nga metodat për gjetjen e parametrave të panjohur A Dhe B konsiston në faktin se ato janë zgjedhur në atë mënyrë që pritshmëria matematikore dhe varianca e shpërndarjes teorike të përkojë me mesataren dhe variancën e mostrës:

(66)

(67)

Nga dy ekuacionet e marra () gjenden parametrat e panjohur A Dhe B. Kështu, për shembull, nëse një ndryshore e rastësishme i bindet ligjit normal të shpërndarjes së probabilitetit, atëherë densiteti i shpërndarjes së probabilitetit të tij

varet nga dy parametra a Dhe . Këta parametra, siç e dimë, janë, përkatësisht, pritshmëria matematikore dhe devijimi standard i një ndryshoreje të rastësishme; prandaj barazitë () do të shkruhen si kjo:

Prandaj, dendësia e shpërndarjes së probabilitetit ka formën

Shënim 1. Ne e kemi zgjidhur tashmë këtë problem në. Rezultati i matjes është një ndryshore e rastësishme që i bindet ligjit të shpërndarjes normale me parametra a Dhe . Për vlerën e përafërt a ne zgjodhëm vlerën, dhe për vlerën e përafërt - vlerën.

Shënim 2. Me një numër të madh eksperimentesh, gjetja e sasive dhe përdorimi i formulave () shoqërohet me llogaritje të rënda. Prandaj, ata e bëjnë këtë: secila nga vlerat e vëzhguara të sasisë, që bien në i intervali i th ] X i-1 , X i [ seri statistikore, konsiderohet afërsisht e barabartë me mesin c i ky interval, d.m.th. c i =(X i-1 +X i)/2. Konsideroni intervalin e parë ] X 0 , X 1 [. E goditi atë m 1 vlerat e vëzhguara të ndryshores së rastësishme, secilën prej të cilave e zëvendësojmë me një numër nga 1. Prandaj, shuma e këtyre vlerave është afërsisht e barabartë me m 1 s 1. Në mënyrë të ngjashme, shuma e vlerave që bien në intervalin e dytë është afërsisht e barabartë me m 2 me 2 etj. Kjo është arsyeja pse

Në mënyrë të ngjashme marrim barazinë e përafërt

Pra, le ta tregojmë atë

(71)