Ekuacionet me ndryshim të ndryshores. Integrimi me ndryshim të metodës së variablave

Matematika është një vrimë përmes së cilës mendja logjike mund të shikojë botën ideale.

Krotov Victor

Në shkollë, ekuacionet racionale zënë një vend kryesor në kursin e algjebrës. Më shumë kohë i kushtohet studimit të tyre sesa çdo teme tjetër. Kjo është kryesisht për shkak të faktit se ekuacionet kanë jo vetëm rëndësi të rëndësishme teorike, por shërbejnë edhe për shumë qëllime praktike. Një numër i madh problemesh në botën reale zbresin në zgjidhjen e ekuacioneve të ndryshme, dhe vetëm pasi të keni zotëruar metodat e zgjidhjes së tyre, do të gjeni përgjigje për pyetje të ndryshme të shkencës dhe teknologjisë.

Për të zhvilluar aftësinë për të zgjidhur ekuacionet racionale, puna e pavarur e studentit ka një rëndësi të madhe. Sidoqoftë, përpara se të kaloni në punë të pavarur, duhet të dini qartë dhe të jeni në gjendje të aplikoni në praktikë të gjitha metodat e mundshme për zgjidhjen e ekuacioneve racionale.

Le ta shohim në detaje duke përdorur shembuj. metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm për zgjidhjen e ekuacioneve racionale.

Shembulli 1.

Zgjidheni ekuacionin (2x 2 – 3x + 1) 2 = 22x 2 – 33x + 1.

Zgjidhje.

Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë

(2x 2 – 3x + 1) 2 = 11(2x 2 – 3x) + 1. Le të bëjmë një zëvendësim. Le të jetë 2x 2 – 3x = t, atëherë ekuacioni do të marrë formën:

(t + 1) 2 = 11t + 1.

Tani le të hapim kllapat dhe të japim të ngjashme, marrim:

t 2 + 2t + 1 = 11t + 1;

Në ekuacionin kuadratik jo të plotë që rezulton, ne nxjerrim faktorin e përbashkët jashtë kllapave dhe kemi:

t = 0 ose t = 9.

Tani ju duhet të bëni një zëvendësim të kundërt dhe të zgjidhni secilin prej ekuacioneve që rezultojnë:

2x 2 – 3x = 0 ose 2x 2 – 3x = 9

x(2x – 3) = 0 2x 2 – 3x – 9 = 0

x = 0 ose x = 3/2 x = 3 ose x = -3/2

Përgjigje: -1,5; 0; 1,5; 3.

Shembulli 2.

Zgjidheni ekuacionin (x 2 – 6x) 2 – 2 (x – 3) 2 = 81.

Zgjidhje.

Le të zbatojmë formulën për diferencën në katror (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 . Le të shkruajmë ekuacionin origjinal në formë

(x 2 – 6x) 2 – 2(x 2 – 6x + 9) = 81. Tani mund të bëni një zëvendësim.

Le të jetë x 2 – 6x = t, atëherë ekuacioni do të duket si ky:

t 2 – 2 (t + 9) = 81.

t 2 – 2t – 18 – 81 = 0;

t 2 – 2t – 99 = 0.

Sipas teoremës së Vietës, rrënjët e ekuacionit që rezulton do të jenë numrat -9 dhe 11.

Le të bëjmë një zëvendësim të kundërt:

x 2 – 6x = -9 ose x 2 – 6x = 11

x 2 – 6x + 9 = 0 x 2 – 6x – 11 = 0

(x – 3) 2 = 0 D = 80

x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 = 3 – 2√5.

Përgjigje: 3 – 2√5; 3; 3 + 2√5.

Shembulli 3.

Zgjidheni ekuacionin (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 dhe gjeni prodhimin e rrënjëve të tij.

Zgjidhje.

Le të gjejmë një mënyrë "fitimprurëse" për të grupuar faktorët dhe për të hapur çiftet e kllapave:

((x – 1)(x + 5))((x – 3)(x + 7)) = 297;

(x 2 + 5x – x – 5)(x 2 + 7x – 3x – 21) = 297;

(x 2 + 4x - 5) (x 2 + 4x - 21) = 297.

Le të bëjmë zëvendësimin x 2 + 4x = t, atëherë ekuacioni do të duket si ky:

(t – 5) (t – 21) = 297.

Le të hapim kllapat dhe të paraqesim terma të ngjashëm:

t 2 – 21t – 5t + 105 = 297;

t 2 – 26t – 192 = 0.

Duke përdorur teoremën e Vietës, ne përcaktojmë se rrënjët e ekuacionit që rezulton do të jenë numrat -6 dhe 32.

Pas zëvendësimit të kundërt do të kemi:

x 2 + 4x = -6 ose x 2 + 4x = 32

x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x – 32 = 0

D = 16 - 24< 0 D = 16 + 128 > 0

Nuk ka rrënjë x 1 = -8; x 2 = 4

Të gjejmë prodhimin e rrënjëve: -8 · 4 = -32.

Përgjigje: -32.

Shembulli 4.

Gjeni shumën e rrënjëve të ekuacionit (x 2 – 2x + 2) 2 + 3x(x 2 – 2x + 2) = 10x 2.

Zgjidhje.

Le të x 2 – 2x + 2 = t, atëherë ekuacioni do të marrë formën:

t 2 + 3xt – 10x 2 = 0.

Le ta konsiderojmë ekuacionin që rezulton si kuadratik në lidhje me t.

D = (3x) 2 – 4 · (-10x 2) = 9x 2 + 40x 2 = 49x 2 ; ≥≤

t 1 = (-3x – 7x) / 2 dhe t 2 = (-3x + 7x) / 2;

t 1 = -5x dhe t 2 = 2x.

Meqenëse t = x 2 – 2x + 2, atëherë

x 2 – 2x + 2 = -5x ose x 2 – 2x + 2 = 2x. Le të zgjidhim secilin nga ekuacionet që rezultojnë.

x 2 + 3x + 2 = 0 ose x 2 – 4x + 2 = 0.

Të dy ekuacionet kanë rrënjë, sepse D > 0.

Duke përdorur teoremën e Vietës, mund të konkludojmë se shuma e rrënjëve të ekuacionit të parë është -3, dhe ekuacioni i dytë është 4. Gjejmë se shuma e rrënjëve të ekuacionit origjinal është -3 + 4 = 1

Përgjigje: 1.

Shembulli 5.

Gjeni rrënjën e ekuacionit (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32, që i përket intervalit [-5; 10].

Zgjidhje.

Le të jetë x = t – 3, pastaj x + 1 = t – 2; x + 5 = t + 2 dhe ekuacioni origjinal merr formën:

(t – 2) 4 + (t + 2) 4 = 32. Për të ngritur shprehjet në fuqinë e katërt, mund të përdorni trekëndëshin e Paskalit (Fig. 1);

(t – 2) 4 = t 4 – 4t 3 2 + 6t 2 2 2 – 4t 2 3 + 2 4 ;

(t + 2) 4 = t 4 + 4t 3 2 + 6t 2 2 2 + 4t 2 3 + 2 4.

Pas reduktimit të termave të ngjashëm marrim:

2t 4 – 2 6t 2 2 2 + 2 2 4 = 32;

t 4 + 6t 2 2 2 + 2 4 = 16;

t 4 + 24t 2 + 16 = 16;

t 4 + 24t 2 = 0;

t 2 (t 2 + 24) = 0;

t = 0 ose t 2 = -24.

Ekuacioni i dytë nuk ka rrënjë, që do të thotë t = 0 edhe pas zëvendësimit të kundërt

x = t – 3 = 0 – 3 = -3. Rrënja e ekuacionit -3 i përket intervalit [-5; 10].

Përgjigje: -3.

Siç mund ta shihni, kur zgjidhni ekuacione racionale, duhet të dini formulat e mësipërme dhe të jeni në gjendje të numëroni saktë. Gabimet më shpesh ndodhin kur zgjidhni një zëvendësim dhe gjatë zëvendësimit të kundërt. Për të shmangur këtë, ju duhet të përshkruani çdo veprim në detaje, atëherë nuk do të ketë gabime në vendimet tuaja.

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur metodën e ndryshimit të ndryshoreve

Shumica e detyrave të jetës

zgjidhen si ekuacione algjebrike:

duke i sjellë në formën e tyre më të thjeshtë.

L.N. Tolstoi.

Qëllimi i mësimit: organizoni aktivitetet edukative të studentëve për të zotëruar metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të tëra të gradave më të larta me metodën e zëvendësimit të një ndryshoreje; njohin nxënësit me konceptet dhe teknikat për zgjidhjen e ekuacioneve reciproke dhe simetrike.

Detyrat:arsimore: vazhdoni të zhvilloni aftësinë për të përdorur metodën e zëvendësimit

ndryshore gjatë zgjidhjes së ekuacioneve; zhvillimi i aftësisë për të parë të njëjtën metodë për zgjidhjen e ekuacioneve në situata të ndryshme; për të formuar një ide për metodat dhe teknikat për zgjidhjen e problemeve jo standarde dhe ekuacioneve algjebrike në një nivel që tejkalon nivelin e standardeve arsimore shtetërore;

duke zhvilluar: zhvillimi i të menduarit të nxënësve; zhvillimi i kujtesës; zhvillimin

të menduarit logjik, aftësia për të formuluar qartë mendimet tuaja; zhvillimi i imagjinatës së nxënësve; zhvillimi i të folurit gojor.

arsimore: edukimi i aftësive vëzhguese; edukimi i rregullsisë

kur bën shënime në tabelë dhe në një fletore; nxitja e pavarësisë gjatë kryerjes së punës praktike.

Gjatë orëve të mësimit

Koha e organizimit.

Përditësimi dhe sistemimi i njohurive.

Detyra nr. 1. Zgjidh fjalëkryqin. Shkruani përgjigjet tuaja vetëm në rasën nominative.

4.Cila është shprehja për një ekuacion kuadratik? (diskriminues)

6. Vlera e ndryshores në të cilën ekuacioni kthehet në një barazi të vërtetë. (rrënjë)

8.Ekuacioni i formës
, Ku
. (bikuadratike)

9.Matematikan francez lidhur me ekuacionet kuadratike. (Viet)

10. Një ekuacion në të cilin ana e majtë dhe e djathtë janë shprehje me numra të plotë. (e tere)

11. Ekuacionet me një ndryshore që kanë të njëjtën bashkësi rrënjësh. (ekuivalente)

Vertikalisht:

1. Shumë rrënjë të ekuacionit. (zgjidhje)

2. Zgjidhja e ekuacionit
. (zero)

3. Barazi që përmban një ndryshore. (ekuacioni)

5. Ekuacioni kuadratik në të cilin njëri nga koeficientët b ose c është i barabartë me 0. (i paplotë)

7. Ekuacioni kuadratik në të cilin koeficienti i parë është i barabartë me një. (e dhënë)

Çfarë do t'i kushtojmë mësimin tonë sot? ( Zgjidhja e ekuacioneve )

Detyra nr. 2. Si do t'i zgjidhnit ekuacionet për secilin grup?

PËRGJIGJE: Shembujt e grupit 1) zgjidhen më së miri duke faktorizuar duke vendosur faktorin e përbashkët jashtë kllapave ose duke përdorur formula të shkurtuara të shumëzimit.

Shembujt e grupit 2) zgjidhen më mirë me grupim dhe faktorizim.

Shembujt e grupit 3) zgjidhen më mirë duke futur një ndryshore të re dhe duke kaluar në një ekuacion kuadratik.

1 Çfarë faktori do të vendosnit jashtë kllapave në shembujt e grupit 1?

PËRGJIGJE:

Si do t'i gruponi termat në shembujt e grupit 2?

PËRGJIGJE:

Çfarë do të kuptonit me variablin e ri në shembujt e grupit 3?

PËRGJIGJE:

Si mund të faktorizoni një polinom?
?

PËRGJIGJE: .

Sot në mësim do të tregoni njohuritë tuaja mbi temën "Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur metodën e zëvendësimit të ndryshoreve"

Shkruani temën e mësimit në fletoret tuaja.

Sot në klasë do të shikojmë një nga mënyrat për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallëve më të larta - metodën e zëvendësimit të ndryshoreve; Le të njihemi me konceptet dhe teknikat e zgjidhjes së ekuacioneve reciproke dhe simetrike.

Arti i bërjes së zëvendësimeve të variablave është të shihet se cili zëvendësim ka më shumë kuptim dhe çon drejt suksesit më shpejt.

Detyra nr. 3.

Zgjidhe ekuacionin.(2 nxënës zgjidhin detyrën në tabelë në të njëjtën kohë.)

A) (Nxënësi i parë zgjidh në tabelë me një shpjegim.)

b) (Nxënësi i dytë zgjidh ekuacionin në heshtje, më pas shpjegon zgjidhjen, klasa dëgjon dhe bën pyetje nëse diçka nuk është e qartë.)

1 student Zëvendësimi:
.

2 student Zëvendësimi:
.

(Shtesë për ata që kanë zotëruar më parë ekuacionet e mëparshme).

. .

3 student

(Studentët komentojnë ecurinë e zgjidhjes nga vendi.)

ZGJIDHJE: Le të shtojmë një faktor të përbashkët: ,

ku
ose
, d.m.th.

Përgjigje:

Thellimi dhe zgjerimi i njohurive

Ne vazhdojmë të punojmë. Ju shihni ekuacionin në rrëshqitje: x 4 -5x 3 +6x 2 -5x+1=0.

Si do të propozonit për ta zgjidhur atë? Cfare duhet te bejme?

A është e mundur të zgjidhet në kuadër të programeve të matematikës shkollore? Përgjigja është jo. Në fund të fundit, metodat standarde për zgjidhjen e ekuacioneve në shkollë përfshijnë zgjidhjen e ekuacioneve jo më të larta se shkalla e dytë. Por ne mund të kujtojmë se ekuacionet individuale të gradave më të larta zgjidheshin ende në shkollë. Vërtetë, metodat për zgjidhjen e tyre janë aplikimi krijues i metodave të njohura, duke i reduktuar ato në zgjidhjen e një ose disa ekuacioneve të shkallës jo më të lartë se e dyta.

Shikoni nga afër këtë ekuacion? Çfarë keni vënë re ?(në këtë ekuacion koeficientët në distancë të barabartë nga skajet janë të barabartë)

Djema, një ekuacion i këtij lloji, kur koeficientët në distancë të barabartë nga skajet përkojnë, quhet e kthyeshme. Ky ekuacion mund të reduktohet në një ekuacion kuadratik duke përdorur zëvendësimin.

Unë ju ofroj algoritmin e mëposhtëm për zgjidhjen e tyre:

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve reciproke.

1. Ndani të dyja anët e ekuacionit me x 2.

2.Gruponi termat (i pari me të fundit, i dyti me të katërtin).

Zvogëloni ekuacionin për të formuar A + c = 0

3.Prezantoni një ndryshore të re t = ,pastaj plotesohet t 2 = , d.m.th. = t 2 – 2.

4. Zëvendësoni dhe zgjidhni ekuacionin kuadratik.

5.Kthehuni te zëvendësimi dhe zgjidhni ekuacionet që rezultojnë.

6. Shkruani përgjigjen.

Djemtë po studiojnë algoritmin.

Nxënësi në dërrasën e zezë zgjidh ekuacionin sipas algoritmit dhe me ndihmën e mësuesit pjesa tjetër shkruajnë në fletore.

6x 4 - 5x 3 - 38x 2 – 5x + 6 = 0.

Zgjidhje.

6x 2 – 5x – 38 – 5/x + 6/x 2 = 0.

6 (x 2 + 1 / x 2) - 5 (x + 1 / x) - 38 = 0.

Shkruani t: zëvendësim (x + 1/x) = t. Zëvendësimi: (x 2 + 1/x 2) = t 2 – 2, kemi:

6t 2 – 5t – 50 = 0.

t = -5/2 ose t = 10/3.

Le të kthehemi te ndryshorja x. Pas zëvendësimit të kundërt, ne zgjidhim dy ekuacionet që rezultojnë:

1) x + 1/x = -5/2;

x 2 + 5/2 x +1 = 0;

x = -2 ose x = -1/2.

2) x + 1/x = 10/3;

x 2 – 10/3 x + 1 = 0;

x = 3 ose x = 1/3.

Përgjigje: -2; -1/2; 1/3; 3.

Një kontribut të madh në problemin e ekuacioneve të shkallës 3 dhe 4 dhanë matematikanët italianë të shekullit të 16-të N. Tartaglia, A. Fiore, D. Cardano dhe të tjerë. Tartaglia, në të cilën fitoi kjo e fundit. Në 2 orë ai zgjidhi 30 probleme të propozuara nga Fiore dhe vetë Fiore nuk mundi të zgjidhte një të vetme që i kishte dhënë Tartaglia.

Djema, unë dua t'ju ofroj një ekuacion më shumë sot e mora atë nga një koleksion problemesh për t'u përgatitur për OGE.

. ((x + 1)(x + 4))((x + 2)(x + 3)) = 24,

(x 2 + 5x + 4) (x 2 + 5x + 6) = 24.

Duke bërë zëvendësimin x 2 + 5x + 4 = t, kemi ekuacionin

t(t + 2) = 24, është katror:

t 2 + 2t - 24 = 0.

t = -6 ose t = 4.

Pas kryerjes së zëvendësimit të kundërt, ne gjejmë lehtësisht rrënjët e ekuacionit origjinal.

Përgjigje: -5; 0.

Transferimi kreativ i njohurive dhe aftësive në kushte të reja.

Në fillim të mësimit, folëm për faktin se nëse ka elementë të përsëritur në një ekuacion, atëherë mund të përdorni metodën e zëvendësimit të ndryshoreve. Ne ende nuk dimë të zgjidhim ekuacionet trigonometrike dhe iracionale. Le të shohim nëse mund ta zbatojmë këtë metodë për ta nëse dimë të zgjidhim ekuacione të thjeshta trigonometrike dhe iracionale.

Ushtrimi 1: Emërtoni ndryshimin e ndryshores në ekuacionet e mëposhtme.

Detyra 2: Hartoni disa ekuacione, zgjidhja e të cilave bazohet në metodën e zëvendësimit të ndryshoreve.

Duke përmbledhur.

Pra, djema, mësimi ynë ka marrë fund. Le të përmbledhim mësimin tonë.

Çfarë synimesh vendosëm në fillim të mësimit?

A janë arritur qëllimet tona?

Çfarë të re mësuam në mësim?

Detyre shtepie.

4x 4 – 8x 3 + 3x 2 – 8x + 4 = 0

(x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 40

. (ekuacioni i matematikanëve italianë)

Dhe unë do të doja ta mbyllja mësimin me fjalët e shkencëtarit të madh Einstein A.:

“Më duhet ta ndaj kohën time mes politikës dhe ekuacioneve. Megjithatë, ekuacioni, për mendimin tim, është shumë më i rëndësishëm, sepse politika ekziston vetëm për këtë moment, dhe ekuacioni do të ekzistojë përgjithmonë.”

Faleminderit për mësimin! Mirupafshim!

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Prezantimi

Edukimi matematikor i marrë në një shkollë gjithëpërfshirëse është një komponent thelbësor i arsimit të përgjithshëm dhe kulturës së përgjithshme të njeriut modern. Pothuajse gjithçka që rrethon njeriun modern është disi e lidhur me matematikën. Dhe përparimet e fundit në fizikë, inxhinieri dhe teknologjinë e informacionit nuk lënë asnjë dyshim se në të ardhmen gjendja e punëve do të mbetet e njëjtë. Prandaj, zgjidhja e shumë problemeve praktike zbret në zgjidhjen e llojeve të ndryshme të ekuacioneve që duhet të mësoni se si t'i zgjidhni.

Në matematikën elementare, ekzistojnë dy lloje ekuacionesh: ekuacionet algjebrike dhe transcendentale.

10. ekuacionet algjebrike thyesore, d.m.th. ekuacionet që përmbajnë polinome dhe thyesa algjebrike (fraksione të formës

11. ekuacionet irracionale, d.m.th. ekuacionet që përmbajnë radikale, nën të cilat janë polinomet dhe thyesat algjebrike;

12. ekuacionet që përmbajnë një modul, nën modulin e të cilit përfshihen polinomet dhe thyesat algjebrike.

Ekuacionet që përmbajnë funksione transcendentale, të tilla si funksionet logaritmike, eksponenciale ose trigonometrike, quhen transcendental. Në punën tonë do të shqyrtojmë më në detaje ekuacionet algjebrike.

Literatura edukative dhe metodologjike tradicionalisht diskuton teknika të veçanta për zgjidhjen e ekuacioneve. Ndërkohë, specifikat e zgjidhjes së ekuacioneve të çdo seksioni janë çështje dytësore. Në thelb ekzistojnë katër metoda kryesore:

Zëvendësimi i ekuacionit h (f(x))=h (g(x)) me ekuacionin f(x)=g(x);

Metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm;

Metoda e faktorizimit;

Metoda funksionale-grafike dhe modifikimet e ndryshme të tyre.

Më e zakonshme prej tyre është metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm.

Bazuar në këtë, ne formulojmë qëllimin e punës sonë: të studiojmë mundësitë e metodës së zëvendësimit të të panjohurës gjatë zgjidhjes së ekuacioneve algjebrike dhe të demonstrojmë zbatimin e tyre në situata standarde dhe jo standarde. Për të arritur këtë qëllim, është e nevojshme të zgjidhen detyrat e mëposhtme:

1. Zbuloni përmbajtjen e koncepteve dhe pohimeve bazë që lidhen me teorinë e zgjidhjes së ekuacioneve: zgjidhja e një ekuacioni, ekuivalenca dhe përfundimi, metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve.

2. Identifikoni mundësitë e përdorimit të metodës së zëvendësimit të së panjohurës gjatë zgjidhjes së ekuacioneve algjebrike në situata standarde dhe jostandarde.

3. Të tipizojë metodat për futjen e të panjohurave të reja gjatë zgjidhjes së ekuacioneve algjebrike dhe të identifikojë kriteret për zbatueshmërinë e tyre

4. Hartoni një grup problemash tipike që përfundojnë në përdorimin e metodës së zëvendësimit gjatë zgjidhjes së ekuacioneve dhe demonstroni zgjidhjen e tyre.

1. Konceptet dhe pohimet bazë që lidhen me teorinë e zgjidhjes së ekuacioneve

Në kapitullin e parë të punës sonë, do të zbulojmë përmbajtjen e koncepteve dhe pohimeve bazë që lidhen me teorinë e zgjidhjes së ekuacioneve.

Ne njihemi me konceptin e "ekuacionit" në mësimet e matematikës tashmë në shkollën fillore dhe detyra e "zgjidhjes së një ekuacioni" është ndoshta problemi që haset më shpesh. Megjithatë, ne nuk mund të japim një përkufizim të saktë të konceptit "ekuacion", të përcaktojmë saktësisht se çfarë do të thotë "të zgjidhësh një ekuacion" pa shkuar shumë përtej fushëveprimit të një kursi në matematikën elementare. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të përfshihen kategori shumë serioze logjike, madje edhe filozofike. Njohja me këto koncepte në nivelin e "mendimit të shëndoshë" është mjaft e mjaftueshme për ne.

Konsideroni dy ekuacione A dhe B me të njëjtën të panjohur. Do të themi se ekuacioni B është pasojë ekuacioni A nëse ndonjë rrënjë e ekuacionit A është një rrënjë e ekuacionit B.

Ekuacionet quhen ekuivalente, nëse ndonjë rrënjë e njërës prej tyre është rrënja e tjetrës dhe anasjelltas. Kështu, ekuacionet janë ekuivalente nëse secila prej tyre është pasojë e tjetrës.

Nga këto përkufizime rezulton, për shembull, se dy ekuacione që nuk kanë zgjidhje janë ekuivalente. Nëse A nuk ka zgjidhje, atëherë B është pasojë A, cilido qoftë ekuacioni B.

Le të përcaktojmë konceptin e "zgjidhjes së një ekuacioni". Zgjidhe ekuacionin- nënkupton gjetjen e të gjitha vlerave të të panjohurave të përfshira në të që e kthejnë ekuacionin në një identitet. Këto vlera quhen rrënjët e ekuacionit.

Procesi i zgjidhjes së ekuacioneve konsiston kryesisht në zëvendësimin e një ekuacioni të dhënë me një tjetër që është ekuivalent me të.

Siç u përmend më parë, ekzistojnë katër metoda më të zakonshme të përdorura në zgjidhjen e ekuacioneve të çdo lloji. Le të hedhim një vështrim më të afërt në secilën metodë.

Metoda e zëvendësimit të ekuacionit h (f(x))=h (g(x)) me ekuacionin f(x)=g(x) mund të përdoret vetëm kur

Thelbi i metodës së faktorizimit është si vijon: ekuacioni

Pasi të keni zgjidhur ekuacionet e këtij grupi, duhet të merrni ato rrënjë që i përkasin domenit të përkufizimit të ekuacionit origjinal dhe të hidhni poshtë si të jashtëzakonshëm idenë e një metode grafike për zgjidhjen e ekuacionit

Le të zbulojmë thelbin e metodës së zëvendësimit të ndryshoreve: nëse ekuacioni

Mësim dhe prezantim me temën: "Metoda e zëvendësimit të variablave. Shembuj"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Mjete mësimore dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën e 11-të
1C: Shkolla. Ne zgjidhim probleme në gjeometri. Detyra ndërvepruese për ndërtimin në hapësirë ​​për klasat 10-11
Probleme algjebrike me parametra, klasat 9–11

Kjo metodë është mjaft e zakonshme kur zgjidhim ekuacione, dhe ne e kemi përdorur atë më shumë se një herë.

• Nëse ekuacioni origjinal $f(x)=0$ ka një formë komplekse, por ishte e mundur që të transformohej në një ekuacion të formës $h(g(x))=0$.
• Është e nevojshme të bëhet një ndryshim i variablave $u=g(x)$.
• Zgjidheni ekuacionin $h(u)=0$, gjeni rrënjët $u_1$, $u_2$, … $u_n$.
• Futni zëvendësimin e kundërt $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$.
• Zgjidheni secilin nga ekuacionet $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, …, $g(x)=u_n$. Rrënjët e çdo ekuacioni do të jenë zgjidhjet e ekuacionit origjinal.

Shembull.
Zgjidheni ekuacionin: $8x^6+7x^3-1=0$.

Zgjidhje.
Le të prezantojmë zëvendësimin $y=x^3$. Atëherë ekuacioni ynë reduktohet në një ekuacion kuadratik:
$8y^2+7y-1=0$,
$(8vj-1)(y+1)=0$,
$y_1=\frac(1)(8)$ dhe $y_2=-1$.

Në këtë fazë, kur zgjidhni ekuacione më komplekse, duhet të kontrolloni rrënjët e marra.
Le të prezantojmë zëvendësimin e kundërt: $x^3=\frac(1)(8)$ dhe $x^3=-1$.
Rrënjët e këtyre ekuacioneve janë të lehta për t'u gjetur: $x_1=\frac(1)(2)$ dhe $x_2=-1$.

Përgjigje: $x=0,5$ dhe $x=-1$.

Shembull.
Zgjidheni ekuacionin: $\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))+4\sqrt(\frac(2x-1)(2x+3))=4$.

Zgjidhje.
Le të bëjmë transformime ekuivalente:
$\sqrt(\frac(2x-1)(2x+3))=(\frac(2x-1)(2x+3))^(\frac(1)(2))=(\frac(2x+ 3 )(2x-1))^(-\frac(1)(2))=((\frac(2x+3)(2x-1))^(\frac(1)(2)))^( - 1)=\frac(1)(\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1)))$.

Le të prezantojmë zëvendësimin: $u=\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))$, atëherë ekuacioni ynë zvogëlohet në $u+\frac(4)(u)=4$. $u^2-4u+4=0$, prej nga $u=2$.

Le të prezantojmë ndryshimin e kundërt: $\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))=2$.

$2x+3=4(2x-1)$ duke zgjidhur ekuacionin linear $x=1\frac(1)(6)$.

Shembull.
Zgjidheni ekuacionin: $2^x+2^(1-x)=3$.

Zgjidhje.
Ekuacioni ynë reduktohet në një ekuacion ekuivalent: $2^x+\frac(2)(2^x)=3$.

Le të prezantojmë zëvendësimin: $t=2^x$.
$t+\frac(2)(t)=3$,
$t^2-3t+2=0$,
$(t-2)(t-1)=0$,
$t_1=2$ dhe $t_2=1$.

Le të prezantojmë zëvendësimin e kundërt: $2^x=2$ dhe $2^x=1$. Nga: $x=1$ dhe $x=0$.

Përgjigje: $x=1$ dhe $x=0$.

Shembull.
Zgjidheni ekuacionin: $lg^2(x^2)+lg(10x)-6=0$.

Zgjidhje.
Le të transformojmë ekuacionin tonë.
$lg^2(x^2)=(lg(x^2))^2=(2lg(x))^2=4lg^2x$.
$lg(10x)=lg10+lgx=1+lgx$.

Ekuacioni origjinal është i barabartë me ekuacionin: $4lg^2x+lgx-5=0$.

Le të prezantojmë zëvendësimin: $u=lg(x)$.
$4u^2+u-5=0$,
$(4u+5)(u-1)=0$.

Le të prezantojmë zëvendësimin e kundërt: $lgx=-1.25$ dhe $lgx=1$.
Përgjigje: $x=10^(-\frac(5)(4))$ dhe $x=10$.

Shembull.
Zgjidheni ekuacionin: $sin(x)cos(x)-6sin(x)+6cos(x)+6=0$.

Zgjidhje.
Le të prezantojmë zëvendësimin: $cos(x)-sin(x)=y$.

Atëherë: $(cos(x)-sin(x))^2=1-2sin(x)cos(x)$.
$sin(x)cos(x)=\frac(1-y^2)(2)$.

Ekuacioni origjinal është i barabartë me:
$\frac(1-y^2)(2)+6y+6=0$,
$1-v^2+12v+12=0$,
$y^2-12y-13=0$,
$(y-13)(y+1)=0$.

Le të prezantojmë zëvendësimin e anasjelltë: $cos(x)-sin(x)=13$ - është e qartë se nuk ka zgjidhje, pasi kosinusi dhe sinusi janë të kufizuar në modul me një.

$cos(x)-sin(x)=-1$ - shumëzo të dyja anët e ekuacionit me $\frac(\sqrt(2))(2)$.
$\frac(\sqrt(2))(2)cos(x)-\frac(\sqrt(2))(2)sin(x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$sin(\frac(π)(4)-x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$\fillojnë (rastet) \frac(π)(4)-x=-\frac(π)(4)+2πn, \\ \frac(π)(4)-x=-\frac(3π)(4 )+2πn. \fund (rastet)$
$\fillojnë (rastet) x=\frac(π)(2)+2πn, \\ x=π+2πn. \fund (rastet)$

Përgjigje: $x=\frac(π)(2)+2πn$ dhe $π+2πn$.

Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur

2. $\sqrt(\frac(5x-1)(x+3))+5\sqrt(\frac(x+3)(5x-1))=6$.

3. $5^x+5^(2x+1)=-4$.
4. $2cos^2(x)-7cos-4=0$.
5. $5sin(2x)-11sin(x)=11cos(x)-7$.