Një shembull i zgjidhjes së disa detyrave nga puna standarde "Gjeometria analitike në një aeroplan"
Janë dhënë kulmet, 
,
trekëndëshi ABC. Gjej:
Ekuacionet e të gjitha brinjëve të një trekëndëshi;
Sistemi i pabarazive lineare që përcaktojnë një trekëndësh ABC;
Ekuacionet e lartësisë, mesatares dhe përgjysmues të një trekëndëshi të nxjerrë nga kulmi A;
Pika e kryqëzimit të lartësive të trekëndëshit;
Pika e kryqëzimit të ndërmjetësve të trekëndëshit;
Gjatësia e lartësisë ulet anash AB;
Këndi A;
Bëni një vizatim.
Le të kenë kulmet e trekëndëshit koordinata: A (1; 4), NË (5; 3), ME(3; 6). Le të nxjerrim një vizatim menjëherë:
1. Për të shkruar ekuacionet e të gjitha brinjëve të një trekëndëshi, ne përdorim ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna me koordinata ( x 0 , y 0 ) Dhe ( x 1 , y 1 ):
=
Kështu, duke zëvendësuar në vend të ( x 0 , y 0 ) koordinatat e pikave A, dhe në vend të ( x 1 , y 1 ) koordinatat e pikave NË, marrim ekuacionin e drejtëzës AB:
Ekuacioni që rezulton do të jetë ekuacioni i vijës së drejtë AB, shkruar në formë të përgjithshme. Në mënyrë të ngjashme, gjejmë ekuacionin e drejtëzës AC:
Dhe gjithashtu ekuacioni i vijës së drejtë dielli:
2. Vini re se bashkësia e pikave të trekëndëshit ABC përfaqëson kryqëzimin e tre gjysmërrafsheve, dhe çdo gjysmëplan mund të përcaktohet duke përdorur një pabarazi lineare. Nëse marrim ekuacionin e secilës anë ∆ ABC, Për shembull AB, pastaj pabarazitë
Dhe 
përcaktoni pikat që shtrihen në anët e kundërta të një vije AB. Duhet të zgjedhim gjysmë rrafshin ku ndodhet pika C Le t'i zëvendësojmë koordinatat e saj në të dyja pabarazitë:
Pabarazia e dytë do të jetë e saktë, që do të thotë se pikët e kërkuara përcaktohen nga pabarazia
.
Ne bëjmë të njëjtën gjë me drejtëzën BC, ekuacionin e saj 
. Ne përdorim pikën A (1, 1) si pikë testimi:
Kjo do të thotë se pabarazia e kërkuar ka formën:
.
Nëse kontrollojmë vijën e drejtë AC (pika e provës B), marrim:
Kjo do të thotë se pabarazia e kërkuar do të ketë formën
Më në fund marrim një sistem pabarazish:
Shenjat "≤", "≥" nënkuptojnë se pikat që shtrihen në anët e trekëndëshit përfshihen gjithashtu në grupin e pikave që përbëjnë trekëndëshin ABC.
3. a) Për të gjetur ekuacionin e lartësisë së rënë nga kulmi A Ne anë dielli, merrni parasysh ekuacionin e anës dielli:
. Vektor me koordinata 
pingul me anën dielli dhe prandaj paralel me lartësinë. Le të shkruajmë ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër një pikë A paralel me vektorin 
:
Ky është ekuacioni për lartësinë e hequr nga t. A Ne anë dielli.
b) Gjeni koordinatat e mesit të brinjës dielli sipas formulave: 
Këtu 
– këto janë koordinatat e t. NË, A 
– koordinatat t. ME. Le të zëvendësojmë dhe të marrim:
Vija e drejtë që kalon nga kjo pikë dhe pika Aështë mesatarja e kërkuar:
c) Ekuacionin e përgjysmuesit do ta kërkojmë duke u bazuar në faktin se në një trekëndësh dykëndësh lartësia, mediana dhe përgjysmuesja e zbritur nga një kulm në bazën e trekëndëshit janë të barabarta. Le të gjejmë dy vektorë 
Dhe 
dhe gjatësitë e tyre:
Pastaj vektori 
ka të njëjtin drejtim me vektorin 
, dhe gjatësinë e saj 
Po kështu, vektori njësi 
përkon në drejtim me vektorin 
Shuma vektoriale
ka një vektor që përkon në drejtim me përgjysmuesin e këndit A. Kështu, ekuacioni i përgjysmuesit të dëshiruar mund të shkruhet si:
4) Ne kemi ndërtuar tashmë ekuacionin për një nga lartësitë. Le të ndërtojmë një ekuacion për një lartësi tjetër, për shembull, nga kulmi NË. Anësore AC dhënë nga ekuacioni 
Pra vektori 
pingul AC, dhe kështu paralel me lartësinë e dëshiruar. Pastaj ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër kulm NË në drejtim të vektorit 
(dmth pingul AC), ka formën:
Dihet se lartësitë e një trekëndëshi kryqëzohen në një pikë. Në veçanti, kjo pikë është kryqëzimi i lartësive të gjetura, d.m.th. zgjidhja e sistemit të ekuacioneve:
- koordinatat e kësaj pike.
5. Mesi AB ka koordinata 
. Le të shkruajmë ekuacionin e medianës në anën AB. Kjo linjë kalon nëpër pika me koordinata (3, 2) dhe (3, 6), që do të thotë se ekuacioni i saj ka formën:
Vini re se një zero në emëruesin e një fraksioni në ekuacionin e një drejtëze do të thotë se kjo drejtëz shkon paralelisht me boshtin e ordinatave.
Për të gjetur pikën e kryqëzimit të medianave, mjafton të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:
Pika e kryqëzimit të ndërmjetësve të një trekëndëshi ka koordinata 
.
6. Gjatësia e lartësisë e ulur anash AB, e barabartë me distancën nga pika ME në një vijë të drejtë AB me ekuacion 
dhe gjendet me formulën:
7. Kosinusi i këndit A mund të gjendet duke përdorur formulën për kosinusin e këndit ndërmjet vektorëve 
Dhe 
, e cila është e barabartë me raportin e produktit skalar të këtyre vektorëve me produktin e gjatësisë së tyre:
.
1. Ekuacioni i brinjëve AB dhe BC dhe koeficientët këndorë të tyre.
Detyra jep koordinatat e pikave nëpër të cilat kalojnë këto drejtëza, kështu që ne do të përdorim ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1) $ $ zëvendësoni dhe merrni ekuacionet
ekuacioni i drejtëzës AB $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ pjerrësia e drejtëzës AB është e barabartë me \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
ekuacioni i drejtëzës BC $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ pjerrësia e vijës BC është e barabartë me \ (k_( BC) = -7\)
2. Këndi B në radianë me saktësi dy shifra
Këndi B është këndi midis rreshtave AB dhe BC, i cili llogaritet me formulën $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$zëvendësoni vlerat e koeficientëve këndorë nga këto rreshta dhe merrni $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \afërsisht 0,79$$
3.Gjatesia e anes AB
Gjatësia e anës AB llogaritet si distanca ndërmjet pikave dhe është e barabartë me \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. Ekuacioni i lartësisë së CD-së dhe gjatësisë së tij.
Ekuacionin e lartësisë do ta gjejmë duke përdorur formulën e një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar C(4;13) në një drejtim të caktuar - pingul me drejtëzën AB duke përdorur formulën \(y-y_0=k(x-x_0) \). Le të gjejmë koeficientin këndor të lartësisë \(k_(CD)\) duke përdorur vetinë e drejtëzave pingule \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) marrim $$k_(CD)= -\frac(1 )(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ Zëvendësojmë një vijë të drejtë në ekuacion, marrim $$y - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ Ne do të kërkojmë gjatësinë e lartësisë si distanca nga pika C(4;13) në vijën e drejtë AB duke përdorur formulën $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ në numërues është ekuacioni të drejtëzës AB, le ta zvogëlojmë në këtë formë \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , zëvendësojmë atë që rezulton ekuacioni dhe koordinatat e pikës në formulën $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt(4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = 10$$
5. Ekuacioni i medianës AE dhe koordinatave të pikës K, kryqëzimi i kësaj mediane me lartësinë CD.
Ne do të kërkojmë ekuacionin e medianës si ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna A(-6;8) dhe E, ku pika E është mesi midis pikave B dhe C dhe koordinatat e saj gjenden sipas formula \(E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) zëvendësojnë koordinatat e pikave \(E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), atëherë ekuacioni i mesatares AE do të jetë $$\frac(x+6)(5+ 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Le të gjejmë koordinatat e pikës së prerjes së lartësitë dhe medianaja, d.m.th. le të gjejmë pikën e tyre të përbashkët Për ta bërë këtë, ne do të krijojmë një ekuacion të sistemit $$\begin(rastet)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac. (4)(3)x+ \frac(23)(3)\end(rastet)=>\fillimi(rastet)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\fund(rastet)=>$$$ $\fille(rastet)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(rastet)=> \fillimi(rastet)25y =175\\3y = 4x+23\fund(rastet)=> $$ $$\begin(rastet) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(rastet)$$ Koordinatat e pikës së kryqëzimit \(K(-\frac(1)(2);7 )\)
6. Ekuacioni i drejtëzës që kalon në pikën K paralelisht me anën AB.
Nëse drejtëza është paralele, atëherë koeficientët këndorë të tyre janë të barabartë, d.m.th. \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\), njihen edhe koordinatat e pikës \(K(-\frac(1)(2);7)\). , dmth. për të gjetur ekuacionin e një drejtëze, zbatojmë formulën për ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar në një drejtim të caktuar \(y - y_0=k(x-x_0)\), zëvendësojmë të dhënat dhe marrim $ $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $
8. Koordinatat e pikës M e cila është simetrike me pikën A në lidhje me drejtëzën CD.
Pika M shtrihet në vijën AB, sepse CD është lartësia në këtë anë. Le të gjejmë pikën e kryqëzimit të CD dhe AB për ta bërë këtë, zgjidhim sistemin e ekuacioneve $$\begin(rastet)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = -; \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(rastet) =>\fillimi(rastet)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\fund(rastet) => $$$$\fillimi(rastet)12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\fund(rastet) =>
\fillimi(rastet)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\fund(rastet) => $$$$\fillimi(rastet)x=-2\\y=5 \fund(rastet)$$ Koordinatat e pikës D(-2;5). Sipas kushtit AD=DK, kjo distancë ndërmjet pikave gjendet me formulën e Pitagorës \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\), ku AD dhe DK janë hipotenuset e trekëndëshave të barabartë kënddrejtë, dhe \(Δx =x_2-x_1\) dhe \(Δy=y_2-y_1\) janë këmbët e këtyre trekëndëshave, d.m.th. le të gjejmë këmbët dhe të gjejmë koordinatat e pikës M. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), dhe \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), pastaj koordinatat e pikës M do të jetë e barabartë \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), dhe \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \), gjetëm se koordinatat e pikës \( M(2;2)\)
1. Jepen kulmet e një trekëndëshi ABC.A(–9; –2), NË(3; 7), ME(1; –7).
1) gjatësia anësore AB;
2) ekuacionet e anëve AB Dhe AC dhe koeficientët e tyre këndorë;
3) kënd A në radianë;
4) ekuacioni i lartësisë MED dhe gjatësia e saj;
5) ekuacioni i një rrethi për të cilin lartësia MED ka një diametër;
6) një sistem pabarazish lineare që përcaktojnë një trekëndësh ABC.
Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim.
1. Le të gjejmë gjatësinë e anës AB. Distanca midis dy pikave përcaktohet nga formula
2. Le të gjejmë ekuacionet e brinjëveAB DheAC dhe koeficientët këndorë të tyre.
Le të shkruajmë ekuacionin e një drejtëze që kalon nga dy pika.
Ky është ekuacioni i përgjithshëm i një linje. Le ta zgjidhim në lidhje me y, marrim
, pjerrësia e drejtëzës është e barabartë me 
Në mënyrë të ngjashme për AC anësore kemi.
pjerrësia e drejtëzës është e barabartë me 
3. Ne do të gjejmëqosheA
në radianë.
Ky është këndi midis dy vektorëve 
Dhe 
. Le të shkruajmë koordinatat e vektorëve. Kosinusi i këndit ndërmjet vektorëve është i barabartë me
4. Ne do të gjejmëekuacioni i lartësisëME
D
dhe gjatësinë e saj.
, pra, koeficientët këndorë të tyre lidhen me relacionin 
.
Le të shkruajmë ekuacionin e lartësisë përmes koeficientit këndor
Pika 
i takon drejtëzës CD, prandaj koordinatat e saj plotësojnë ekuacionin e drejtëzës, pra kemi 
Së fundi 
ose
Gjatësinë e lartësisë e llogarisim si distancë nga pika C në drejtëzën AB
5. Le të gjejmë ekuacionin e një rrethi, për cilën lartësiME D ka një diametër.
Koordinatat e pikës D i gjejmë pikëprerjen e dy drejtëzave AB dhe CD, ekuacionet e të cilave janë të njohura.
Le të gjejmë koordinatat e pikës O - qendra e rrethit. Ky është mesi i seksionit të CD-së.
Rrezja e rrethit është 
Le të shkruajmë ekuacionin e një rrethi.
6) Le të përcaktojmë një trekëndëshABC sistemi i pabarazive lineare.
Le të gjejmë ekuacionin e drejtëzës CB.
Sistemi i pabarazive lineare do të duket kështu.
2. Zgjidheni këtë sistem ekuacionesh duke përdorur formulat e Cramer-it. Kontrolloni zgjidhjen që rezulton.
Zgjidhje. Le të llogarisim përcaktuesin e këtij sistemi:
.
Le të gjejmë përcaktuesit 
dhe zgjidhni sistemin:
Ekzaminimi:
Përgjigje:
3. Shkruani sistemin e ekuacioneve në formë matrice dhe zgjidhni atë duke përdorur
matricë e anasjelltë. Kontrolloni zgjidhjen që rezulton
Zgjidhje.
Le të gjejmë përcaktorin e matricës A
matrica është jo njëjës dhe ka një të anasjelltë. Le të gjejmë të gjitha plotësimet algjebrike dhe të krijojmë një matricë bashkimi. 
Matrica e anasjelltë ka formën: 
Le të bëjmë shumëzimin 
dhe gjeni vektorin e zgjidhjeve.
Ekzaminimi
. 
Përgjigje: 
Zgjidhje.
N = (2, 1). Vizatoni një vijë të nivelit pingul me vektorin normal dhe lëvizeni atë në drejtim të normales,
Funksioni objektiv arrin minimumin e tij në pikën A, dhe maksimumin e tij në pikën B. Koordinatat e këtyre pikave i gjejmë duke zgjidhur bashkërisht ekuacionet e drejtëzave në kryqëzimin e të cilave ndodhen.
5. Një kompani udhëtimi nuk kërkon më shumë A autobusë tretonësh dhe jo më shumë V
autobusë pesë tonësh. Çmimi i shitjes së autobusëve të markës së parë është 20 000 USD, i markës së dytë
40000 USD Një kompani udhëtimi mund të ndajë jo më shumë se Me c.u.
Sa autobusë të secilës markë duhet të blihen veçmas në mënyrë që totali i tyre
Kapaciteti (gjithsej) i ngarkesës ishte maksimal. Zgjidheni problemin në mënyrë grafike.
A= 20 V= 18 Me= 1000000
Zgjidhje.
Le të krijojmë një model matematikor të problemit .
Le të shënojmë me 
- numrin e autobusëve të çdo tonazhi që do të blihen. Qëllimi i prokurimit është që të ketë kapacitetin maksimal mbajtës të makinerive të blera, të përshkruar nga funksioni i qëllimit
Kufizimet e detyrës përcaktohen nga numri i autobusëve të blerë dhe kostoja e tyre.
Le ta zgjidhim problemin grafikisht. . Ne ndërtojmë rajonin e zgjidhjeve të realizueshme të problemit dhe linjat normale në nivel N = (3, 5). Vizatoni një vijë të nivelit pingul me vektorin normal dhe lëvizeni atë në drejtim të normales.
Funksioni i qëllimit arrin maksimumin e tij në pikë 
, funksioni i qëllimit merr vlerën .
Zgjidhje. 1. Fusha e përcaktimit të funksionit është i gjithë boshti numerik.
2, Funksioni nuk është as çift dhe as tek.
3. Kur x=0, y=20
4. Shqyrtojmë funksionin për monotoni dhe ekstreme.
Le të gjejmë zerot e derivatit
Pikat stacionare të një funksioni.
Le të vizatojmë pikat e palëvizshme në boshtin Ox dhe të kontrollojmë shenjat e derivatit në çdo seksion të boshtit.
- pikë maksimale 
; 
- pikë minimale 
5. Shqyrtojmë grafikun e funksionit për konveksitet dhe konkavitet. Le të marrim derivatin e 2-të
Pika e lakimit të grafikut të funksionit.
Në 
- funksioni është konveks; në 
- funksioni është konkav.
Grafiku i funksionit duket si
6. Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit në intervalin [-1; 4]
Le të llogarisim vlerën e funksionit në skajet e segmentit 
Në pikën minimale, funksioni merr vlerat, pra vlerën më të vogël në segmentin [-1; 4] funksioni merr në pikën minimale dhe maksimumin në kufirin e majtë të intervalit.
7. Gjeni integrale të pacaktuara dhe kontrolloni rezultatet e integrimit
diferencimi.
Zgjidhje.
Ekzaminimi.
Këtu prodhimi i kosinusit është zëvendësuar me një shumë, sipas formulave trigonometrike.
