1. Le të jepet një matricë e renditjes. Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm për minoret kryesore të njëpasnjëshme të kësaj matrice:

Le të supozojmë se kushtet për realizueshmërinë e algoritmit Gaussian vlejnë:

Le të shënojmë me matricën e koeficientëve sistemin e ekuacioneve (18), të cilit i reduktohet sistemi i ekuacioneve

Metoda e eliminimit Gaussian. Matrica ka një formë trekëndore të sipërme, dhe elementët e rreshtave të saj të parë përcaktohen nga formula (13), dhe elementët e rreshtave të fundit janë të gjithë të barabartë me zero:

Kalimi nga matrica në matricë u realizua duke përdorur një numër të caktuar operacionesh të llojit të mëposhtëm: rreshti i th i matricës u shtua në rreshtin e (të), shumëzuar më parë me një numër të caktuar. Ky operacion është i barabartë me shumëzimin e matricës që transformohet në të majtë me matricën

. (31)

Në këtë matricë, diagonalja kryesore përmban njëshe, dhe të gjithë elementët e tjerë, me përjashtim të elementit, janë të barabartë me zero.

Kështu

ku secila prej matricave ka formën (31) dhe, për rrjedhojë, është një matricë trekëndore më e ulët me elemente diagonale të barabarta me 1.

. (32)

Matrica do të quhet matrica e transformimit për matricën në metodën e eliminimit Gaussian. Të dy matricat dhe , përcaktohen në mënyrë unike duke specifikuar matricën . Nga (32) rrjedh se është një matricë trekëndore më e ulët me elemente diagonale të barabarta me 1 (shih faqen 28).

Meqenëse është një matricë jo njëjës, atëherë nga (33) gjejmë:

Ne e paraqitëm matricën si produkt i një matrice trekëndore të poshtme dhe një matrice trekëndore të sipërme. Çështja e faktorizimit të një matrice të këtij lloji sqarohet plotësisht nga teorema e mëposhtme:

Teorema 1. Çdo matricë e renditjes, në të cilën minoret e parë radhazi sy janë jozero,

, (34)

mund të përfaqësohet si prodhim i një matrice trekëndore të poshtme dhe një matrice trekëndore të sipërme

. (35)

Elementet e parë diagonale të matricave dhe mund t'u jepen vlera arbitrare që plotësojnë kushtet (36).

Specifikimi i elementeve të parë diagonale të matricave dhe përcakton në mënyrë unike elementet e kolonave të para të matricës dhe rreshtave të parë r të matricës. Për këta elementë zbatohen formulat e mëposhtme:

, (37)

Në rastin në kolonat e fundit të matricës, mund t'i vendosni të gjithë elementët në zero të ndryshme, dhe në rreshtat e fundit të matricës t'u jepni të gjithë elementëve vlera arbitrare, ose anasjelltas, të mbushni rreshtat e fundit të matricës me zero, dhe merrni kolonat e fundit të matricës arbitrare.

Dëshmi. Mundësia e paraqitjes së një kushti të kënaqshëm të matricës (34) si produkt (35) u vërtetua më lart [shih. (33")]

Tani le dhe të jenë arbitrare matrica trekëndore të ulëta dhe të sipërme produkti i të cilave është i barabartë me . Duke përdorur formulën për minoret e produktit të dy matricave, gjejmë:

Meqenëse është një matricë trekëndore e sipërme, kolonat e para të matricës përmbajnë vetëm një minore jozero të rendit të th. . Prandaj, barazia (38) mund të shkruhet si më poshtë:

Le ta vendosim këtu së pari. Pastaj marrim:

nga të cilat tashmë vijojnë relacionet (36).

Pa shkelur pabarazinë (35), ne mund të shumëzojmë matricën në të djathtë me një matricë arbitrare të veçantë diagonale, ndërsa në të njëjtën kohë shumëzojmë matricën në të majtë me . Kjo është ekuivalente me shumëzimin e kolonave të matricës me, përkatësisht, dhe rreshtat e matricës me . Prandaj, elementeve diagonale , , mund t'u jepet çdo vlerë që plotëson kushtet (36).

d.m.th., formulat e para (37). Formulat e dyta (37) për elementet e matricës janë vendosur në një mënyrë krejtësisht të ngjashme.

Le t'i kushtojmë vëmendje faktit që gjatë shumëzimit të matricave, të dy elementët e kolonave të fundit të matricës dhe elementët e rreshtave të fundit të matricës shumëzohen me njëri-tjetrin. Kemi parë që të gjithë elementët e rreshtave të fundit të një matrice mund të zgjidhen si zero. Pastaj elementet e kolonave të fundit të matricës mund të zgjidhen në mënyrë arbitrare. Është e qartë se prodhimi i matricës nuk do të ndryshojë nëse i marrim kolonat e fundit të matricës si zero, dhe elementet e rreshtave të fundit të matricës të jenë arbitrare.

Teorema është vërtetuar.

Një sërë pasojash interesante rrjedhin nga teorema e provuar.

Përfundim 1. Elementet e kolonave të para të matricës dhe rreshtave të parë të matricës janë të lidhura me elementët e matricës nga marrëdhëniet e përsëritjes:

(41)

Marrëdhëniet (41) rrjedhin drejtpërdrejt nga barazia e matricës (35), ato janë të përshtatshme për t'u përdorur për llogaritjen reale të elementeve të matricave dhe .

Përfundim 2. Nëse është një matricë josingulare që plotëson kushtin (34), atëherë në paraqitjen (35) matricat dhe përcaktohen në mënyrë unike sapo elementet diagonale të këtyre matricave zgjidhen në përputhje me kushtet (36).

Përfundim 3. Nëse është një matricë simetrike e renditjes dhe

ku është matrica trekëndore e poshtme në të cilën

2. Le të jetë në paraqitjen (35) matrica elemente të kolonave të fundit të barabarta me zero. Atëherë mund të vendosni:

, , (43)

ku është matrica trekëndore e poshtme dhe e sipërme; Për më tepër, elementët e parë diagonale të matricës janë të barabartë me 1, dhe elementët e kolonave të fundit të matricës dhe rreshtave të fundit të matricës janë zgjedhur plotësisht në mënyrë arbitrare. Duke zëvendësuar në (35) shprehjet (43) për dhe duke përdorur barazitë (36), arrijmë në teoremën e mëposhtme:

Teorema 2. Çdo matricë e renditjes për të cilën

Le ta paraqesim atë si produkt i një matrice trekëndore të poshtme, një matrice diagonale dhe një matrice trekëndore të sipërme:

(44)

, (45)

a , janë arbitrare për ; .

3. Metoda e eliminimit Gaussian, duke u aplikuar në një matricë të renditjes për të cilën , na jep dy matrica: një matricë trekëndore e poshtme me elemente diagonale 1 dhe një matricë trekëndore e sipërme, elementët e parë diagonalë të së cilës janë të barabartë , dhe rreshtat e fundit janë të mbushura me zero. - Forma Gaussian e matricës, - matrica e transformimit.

Për një llogaritje specifike të elementeve të matricës, mund të rekomandohet teknika e mëposhtme.

Ne do të marrim një matricë nëse aplikojmë në matricën e identitetit të gjitha transformimet (të specifikuara nga matricat) që kemi bërë në matricë në algoritmin e Gausit (në këtë rast, në vend të një produkti të barabartë me , do të kemi një produkt të barabartë me ) . Prandaj, ne caktojmë matricën e identitetit në matricën në të djathtë:

. (46)

Duke aplikuar të gjitha transformimet e algoritmit Gaussian në këtë matricë drejtkëndore, marrim një matricë drejtkëndore të përbërë nga dy matrica katrore dhe:

Kështu, aplikimi i algoritmit Gaussian në matricën (46) jep matricën dhe matricën në të njëjtën kohë.

Nëse është një matricë jo njëjës, d.m.th., atëherë dhe . Në këtë rast, rrjedh nga (33). Meqenëse matricat përcaktohen duke përdorur algoritmin e Gausit, gjetja e matricës së kundërt reduktohet në përcaktimin dhe shumëzimin me ., d.m.th., kolonat e matricës, matrica përkon me dhe matrica përkon me matricën, dhe për rrjedhojë formulat ( 53) dhe (54) marrin formën

Në këtë temë do të shqyrtojmë konceptin e një matrice, si dhe llojet e matricave. Meqenëse ka shumë terma në këtë temë, unë do të shtoj një përmbledhje të shkurtër për ta bërë më të lehtë lundrimin në material.

Përkufizimi i një matrice dhe elementi i saj. Shënimi.

Matricëështë një tabelë me rreshta $m$ dhe kolona $n$. Elementet e një matrice mund të jenë objekte të një natyre krejtësisht të ndryshme: numra, ndryshore ose, për shembull, matrica të tjera. Për shembull, matrica $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ përmban 3 rreshta dhe 2 kolona; elementet e tij janë numra të plotë. Matrica $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \djathtas)$ përmban 2 rreshta dhe 4 kolona.

Mënyra të ndryshme për të shkruar matrica: shfaq/fsheh

Matrica mund të shkruhet jo vetëm në formë të rrumbullakët, por edhe në kllapa të drejta katrore ose të dyfishta. Kjo do të thotë, hyrjet e mëposhtme nënkuptojnë të njëjtën matricë:

$$ \left(\fillim(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \djathtas);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end (array) \djathtas]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \djathtas \Vert $$

Produkti $m\herë n$ quhet madhësia e matricës. Për shembull, nëse një matricë përmban 5 rreshta dhe 3 kolona, atëherë flasim për një matricë me madhësi $5 \ herë 3 $. Matrica $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ ka madhësi $3 \herë 2$.

Në mënyrë tipike, matricat shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin: $A$, $B$, $C$ dhe kështu me radhë. Për shembull, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \djathtas)$. Numërimi i rreshtave shkon nga lart poshtë; kolonat - nga e majta në të djathtë. Për shembull, rreshti i parë i matricës $B$ përmban elementet 5 dhe 3, dhe kolona e dytë përmban elementet 3, -87, 0.

Elementet e matricave zakonisht shënohen me shkronja të vogla. Për shembull, elementët e matricës $A$ shënohen me $a_(ij)$. Indeksi i dyfishtë $ij$ përmban informacion për pozicionin e elementit në matricë. Numri $i$ është numri i rreshtit dhe numri $j$ është numri i kolonës, në kryqëzimin e së cilës gjendet elementi $a_(ij)$. Për shembull, në kryqëzimin e rreshtit të dytë dhe kolonës së pestë të matricës $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \\end(array) \djathtas)$ $a_(25)= 59 $:

Në të njëjtën mënyrë, në kryqëzimin e rreshtit të parë me kolonën e parë kemi elementin $a_(11)=51$; në kryqëzimin e rreshtit të tretë dhe kolonës së dytë - elementi $a_(32)=-15$ dhe kështu me radhë. Vini re se hyrja $a_(32)$ lexon "a tre dy", por jo "një tridhjetë e dy".

Për të shkurtuar matricën $A$, madhësia e së cilës është $m\herë n$, përdoret shënimi $A_(m\times n)$. Mund ta shkruani pak më hollësisht:

$$ A_(m\herë n)=(a_(ij)) $$

ku shënimi $(a_(ij))$ tregon elementet e matricës $A$. Në formën e saj plotësisht të zgjeruar, matrica $A_(m\times n)=(a_(ij))$ mund të shkruhet si më poshtë:

$$ A_(m\herë n)=\majtas(\fillimi(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \lddots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \fund (array) \djathtas) $$

Le të prezantojmë një term tjetër - matrica të barabarta.

Dy matrica të së njëjtës madhësi $A_(m\herë n)=(a_(ij))$ dhe $B_(m\herë n)=(b_(ij))$ quhen të barabartë, nëse elementet përkatëse të tyre janë të barabarta, d.m.th. $a_(ij)=b_(ij)$ për të gjitha $i=\overline(1,m)$ dhe $j=\overline(1,n)$.

Shpjegim për hyrjen $i=\overline(1,m)$: show\hide

Shënimi "$i=\overline(1,m)$" do të thotë se parametri $i$ ndryshon nga 1 në m. Për shembull, shënimi $i=\overline(1,5)$ tregon se parametri $i$ merr vlerat 1, 2, 3, 4, 5.

Pra, që matricat të jenë të barabarta, duhet të plotësohen dy kushte: koincidenca e madhësive dhe barazia e elementeve përkatës. Për shembull, matrica $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ nuk është e barabartë me matricën $B=\left(\ start(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ sepse matrica $A$ ka madhësi $3\herë 2$ dhe matrica $B$ ka madhësi $2\herë $2. Gjithashtu, matrica $A$ nuk është e barabartë me matricën $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ , pasi $a_( 21)\neq c_(21)$ (d.m.th. $0\neq 98$). Por për matricën $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ ne mund të shkruajmë me siguri $A= F$ sepse të dyja madhësitë dhe elementët përkatës të matricave $A$ dhe $F$ përkojnë.

Shembulli nr. 1

Përcaktoni madhësinë e matricës $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \fund (array) \djathtas)$. Tregoni me çfarë janë të barabartë elementët $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Kjo matricë përmban 5 rreshta dhe 3 kolona, kështu që madhësia e saj është $5\herë 3 $. Ju gjithashtu mund të përdorni shënimin $A_(5\herë 3)$ për këtë matricë.

Elementi $a_(12)$ është në kryqëzimin e rreshtit të parë dhe kolonës së dytë, pra $a_(12)=-2$. Elementi $a_(33)$ është në kryqëzimin e rreshtit të tretë dhe kolonës së tretë, kështu që $a_(33)=23$. Elementi $a_(43)$ është në kryqëzimin e rreshtit të katërt dhe kolonës së tretë, pra $a_(43)=-5$.

Përgjigju: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Llojet e matricave në varësi të madhësisë së tyre. Diagonalet kryesore dhe dytësore. Gjurmë matricë.

Le të jepet një matricë e caktuar $A_(m\herë n)$. Nëse $m=1$ (matrica përbëhet nga një rresht), atëherë matrica e dhënë quhet matricë-rresht. Nëse $n=1$ (matrica përbëhet nga një kolonë), atëherë një matricë e tillë quhet matricë-kolona. Për shembull, $\left(\begin(array) (cccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ është një matricë rreshti dhe $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ është një matricë kolone.

Nëse matrica $A_(m\herë n)$ plotëson kushtin $m\neq n$ (d.m.th., numri i rreshtave nuk është i barabartë me numrin e kolonave), atëherë shpesh thuhet se $A$ është një formë drejtkëndëshe matricë. Për shembull, matrica $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ ka madhësi $2\herë 4 $, ato. përmban 2 rreshta dhe 4 kolona. Meqenëse numri i rreshtave nuk është i barabartë me numrin e kolonave, kjo matricë është drejtkëndore.

Nëse matrica $A_(m\herë n)$ plotëson kushtin $m=n$ (d.m.th., numri i rreshtave është i barabartë me numrin e kolonave), atëherë $A$ thuhet se është një matricë katrore e rendit $ n$. Për shembull, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ është një matricë katrore e rendit të dytë; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \djathtas)$ është një matricë katrore e rendit të tretë. Në përgjithësi, matrica katrore $A_(n\herë n)$ mund të shkruhet si më poshtë:

$$ A_(n\herë n)=\majtas(\fillimi(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end (array) \djathtas) $$

Elementet $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ thuhet se janë në diagonale kryesore matricat $A_(n\herë n)$. Këta elementë quhen elementet kryesore diagonale(ose thjesht elemente diagonale). Elementet $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ janë aktive diagonale anësore (të vogla).; ato quhen elementet diagonale anësore. Për shembull, për matricën $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( grup) \right)$ kemi:

Elementet $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ janë elementet kryesore diagonale; elementet $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ janë elemente diagonale anësore.

Shuma e elementeve kryesore diagonale quhet e ndjekur nga matrica dhe shënohet me $\Tr A$ (ose $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Për shembull, për matricën $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\djathtas)$ kemi:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Koncepti i elementeve diagonale përdoret gjithashtu për matricat jo katrore. Për shembull, për matricën $B=\left(\begin(array) (cccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ elementet kryesore diagonale do të jenë $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Llojet e matricave në varësi të vlerave të elementeve të tyre.

Nëse të gjithë elementët e matricës $A_(m\herë n)$ janë të barabartë me zero, atëherë një matricë e tillë quhet i pavlefshëm dhe zakonisht shënohet me shkronjën $O$. Për shembull, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \djathtas)$, $\left(\fille(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \fund (array) \djathtas)$ - matrica zero.

Le të matrica $A_(m\herë n)$ të ketë formën e mëposhtme:

Atëherë kjo matricë quhet trapezoidale. Mund të mos përmbajë zero rreshta, por nëse ekzistojnë, ato ndodhen në fund të matricës. Në një formë më të përgjithshme, një matricë trapezoidale mund të shkruhet si më poshtë:

Përsëri, vijat e pavlefshme pasuese nuk kërkohen. Ato. Formalisht, ne mund të dallojmë kushtet e mëposhtme për një matricë trapezoidale:

Të gjithë elementët nën diagonalen kryesore janë zero.
Të gjithë elementët nga $a_(11)$ në $a_(rr)$ të shtrirë në diagonalen kryesore nuk janë të barabartë me zero: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
Ose të gjithë elementët e rreshtave të fundit $m-r$ janë zero, ose $m=r$ (d.m.th. nuk ka fare rreshta zero).

Shembuj të matricave trapezoidale:

Le të kalojmë në përkufizimin tjetër. Matrica $A_(m\herë n)$ thirret shkeli, nëse plotëson kushtet e mëposhtme:

Për shembull, matricat e hapave do të ishin:

Për krahasim, matrica $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ nuk është eshelon sepse rreshti i tretë ka të njëjtën pjesë zero si rreshti i dytë. Kjo është, parimi "sa më i ulët të jetë vija, aq më e madhe është pjesa zero". Unë do të shtoj se një matricë trapezoidale është një rast i veçantë i një matrice me shkallë.

Le të kalojmë në përkufizimin tjetër. Nëse të gjithë elementët e një matrice katrore të vendosur nën diagonalen kryesore janë të barabartë me zero, atëherë një matricë e tillë quhet matrica e sipërme trekëndore. Për shembull, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ është një matricë trekëndore e sipërme. Vini re se përkufizimi i një matrice trekëndore të sipërme nuk thotë asgjë për vlerat e elementeve të vendosura mbi diagonalen kryesore ose në diagonalen kryesore. Ato mund të jenë zero ose jo - nuk ka rëndësi. Për shembull, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ është gjithashtu një matricë trekëndore e sipërme.

Nëse të gjithë elementët e një matrice katrore të vendosur mbi diagonalen kryesore janë të barabartë me zero, atëherë një matricë e tillë quhet matrica trekëndore e poshtme. Për shembull, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - matrica trekëndore e poshtme. Vini re se përkufizimi i një matrice trekëndore më të ulët nuk thotë asgjë për vlerat e elementeve të vendosura nën ose në diagonalen kryesore. Ato mund të jenë zero ose jo - nuk ka rëndësi. Për shembull, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \djathtas)$ dhe $\left(\ fill (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ janë gjithashtu matrica trekëndore më të ulëta.

Matrica katrore quhet diagonale, nëse të gjithë elementët e kësaj matrice që nuk shtrihen në diagonalen kryesore janë të barabartë me zero. Shembull: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ fund(array)\djathtas)$. Elementet në diagonalen kryesore mund të jenë çdo gjë (e barabartë me zero ose jo) - nuk ka rëndësi.

Matrica diagonale quhet beqare, nëse të gjithë elementët e kësaj matrice të vendosur në diagonalen kryesore janë të barabartë me 1. Për shembull, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\djathtas)$ - matrica e identitetit të rendit të katërt; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ është matrica e identitetit të rendit të dytë.

Matricat trekëndore dhe ekuacioni karakteristik

Një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët e vendosur poshtë ose mbi diagonalen kryesore janë të barabartë me zero quhet trekëndësh. Matrica trekëndore mund të jetë e strukturës së sipërme dhe të poshtme. Format e sipërme dhe të poshtme janë përkatësisht:

, .

Matricat trekëndore kanë një numër karakteristikash praktikisht të rëndësishme:

1) Përcaktori i një matrice trekëndore është i barabartë me produktin e elementeve të saj diagonale:

Prandaj, një matricë trekëndore është jo njëjës vetëm nëse të gjithë elementët e diagonales së saj kryesore janë jo zero.

2) Shuma dhe prodhimi i matricave trekëndore të së njëjtës strukturë është gjithashtu një matricë trekëndore e së njëjtës strukturë.

3) Një matricë trekëndore jo njëjës përmbyset lehtësisht, dhe matrica e saj e kundërt përsëri ka një strukturë trekëndore të së njëjtës strukturë.

4) Çdo matricë jo njëjës mund të reduktohet në një matricë trekëndore duke përdorur transformime elementare vetëm mbi rreshta ose vetëm mbi kolona. Si shembull, merrni parasysh matricën Hurwitz të njohur në teorinë e stabilitetit

Për të kaluar në formën e sipërme trekëndore, ne kryejmë transformimet elementare të mëposhtme. Nga secili element i rreshtit të dytë, zbritni elementin e rreshtit të parë mbi të, shumëzuar më parë me . Në vend të një vargu me elemente, marrim një varg me elemente ku , , , ... etj.

Le të kryejmë operacione të ngjashme në linjat e mbetura themelore. Pastaj ne zbresim nga secili element i rreshtit të tretë të matricës së transformuar elementët e rreshtit mbi të, shumëzuar me , dhe përsërisim veprime të ngjashme në rreshtat e mbetur. Ne vazhdojmë procesin sipas kësaj procedure derisa në hapin e m-të të marrim matricën e sipërme trekëndore

Transformime të tilla në thelb janë ekuivalente me shumëzimin e matricës në të djathtë (ose majtas) me një matricë tjetër ndihmëse.

Përcaktori i matricës Hurwitz

Ekziston një teoremë për zbërthimin e çdo matrice katrore në produktin e dy matricave trekëndore. Sipas kësaj teoreme, çdo matricë katrore mund të përfaqësohet si produkt i një matrice trekëndore të poshtme dhe të sipërme:

me kusht që të voglat e tij diagonale të jenë jo zero:

, , .

Ky zbërthim është unik nëse rregullojmë elementet diagonale të njërës prej matricave trekëndore (për shembull, i vendosim ato të barabarta me një). Zbërthimi i çdo matrice katrore në produktin e dy atyre trekëndore me elemente diagonale të përcaktuara përdoret gjerësisht në metodat llogaritëse për zgjidhjen e problemeve duke përdorur një kompjuter.

Paraqitja unike e një matrice si produkt i dy atyre trekëndore mund të përgjithësohet në matricat qelizore. Në matrica të tilla, vetë elementët janë matrica. Në këtë rast, matrica mund të zbërthehet në produktin e matricave thuajse trekëndore të poshtme dhe të sipërme.

Përcaktori i një matrice thuajse trekëndore është i barabartë me produktin e qelizave të saj diagonale.

Ndryshe nga matricat diagonale, operacioni i shumëzimit të matricave trekëndore në përgjithësi nuk është komutativ.

Në metodat llogaritëse të teorisë së kontrollit, jo vetëm matricat trekëndore, por edhe të ashtuquajturat matrica pothuajse trekëndore luajnë një rol të rëndësishëm. Shumë metoda përdorin zbërthimin e matricës si produkt i dy matricave, njëra prej të cilave ka një strukturë trekëndore. Matrica A quhet një matricë e djathtë (majtas) pothuajse trekëndore ose Hessenberg nëse elementët e saj a ij plotësojnë marrëdhëniet e mëposhtme:

Për shembull, matrica Hessenberg e formës së djathtë pothuajse trekëndore të dimensionit (4x4) ka formën

Le të vëmë re veçoritë e dobishme të matricave në shqyrtim, të cilat përdoren në metodat llogaritëse:

a) shuma e matricave pothuajse trekëndore të së njëjtës strukturë do të jetë një matricë trekëndore e së njëjtës strukturë, por prodhimi jo;

b) ndërtimi i një polinomi karakteristik të matricave pothuajse trekëndore është ekonomik, pasi kërkon shumë më pak llogaritje sesa me një formë arbitrare të matricës. Numri i veprimeve të shumëzimit është , shtesa - ;

c) një matricë pothuajse trekëndore mund të zbërthehet në produktin e dy trekëndëshave, dhe në zbërthim njëra nga matricat do të ketë një strukturë më të thjeshtë, domethënë, do të jetë dykëndore.

Në metodat moderne inxhinierike të ngulitura në sistemet e projektimit me ndihmën e kompjuterit, përfaqësimi shumëfishues i matricave, për shembull, përfaqësimi QR, përdoret gjerësisht. Thelbi i saj është se çdo matricë katrore A mund të përfaqësohet si produkt i formave ortogonale dhe pothuajse trekëndore.

Ose , (4.4)

ku Q është një matricë ortogonale; R - formë trekëndore e djathtë (e sipërme); L është forma trekëndore e majtë (poshtë) e matricës.

Përfaqësimi (4.4) quhet zbërthimi QR (në rastin e një matrice trekëndore më të ulët, zbërthimi QL) dhe është unik për matricën A.

Algoritmet QR dhe QL ndryshojnë thelbësisht pak. Përdorimi i tyre varet nga mënyra se si janë rregulluar elementët e matricës. Nëse ato janë të përqendruara në këndin e poshtëm të djathtë, është më efektive të përdoret algoritmi QL. Nëse elementët e matricës janë të përqendruar në pjesën e sipërme të majtë, atëherë është më e përshtatshme të përdoret algoritmi QR. Nëse zbatohen saktë në kompjuter, gabimet e rrumbullakosjes në shumë raste nuk kanë një ndikim të madh në saktësinë e llogaritjes.

Në të cilin të gjithë elementët nën diagonalen kryesore janë të barabarta me zero.

Matrica trekëndore e poshtme- një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët mbi diagonalen kryesore janë të barabarta me zero.

Matricë njëtrikëndore(e sipërme ose e poshtme) - një matricë trekëndore në të cilën të gjithë elementët në diagonalen kryesore janë të barabartë me një.

Matricat trekëndore përdoren kryesisht në zgjidhjen e sistemeve lineare të ekuacioneve, kur matrica e sistemit reduktohet në formë trekëndore duke përdorur teoremën e mëposhtme:

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare me një matricë trekëndore (e kundërt) nuk është e vështirë.

Vetitë

Përcaktori i një matrice trekëndore është i barabartë me produktin e elementeve në diagonalen e saj kryesore.
Përcaktori i një matrice njëtrikëndore është i barabartë me një.
Bashkësia e renditjes së matricave trekëndore të sipërme jo njëjëse n me shumëzim me elemente nga fusha k formon një grup i cili shënohet UT(n, k) ose UT n (k).
Bashkësia e renditjes së matricave trekëndore të poshtme jo njëjëse n me shumëzim me elemente nga fusha k formon një grup i cili shënohet LT(n, k) ose LT n (k).
Komplet matricash njëtrikëndore të sipërme me elementë nga fusha k formon një nëngrup UT n (k) me shumëzim, i cili shënohet USHT(n, k) ose USHT n (k). Shënohet një nëngrup i ngjashëm i matricave njëtrikëndore më të ulët SLT(n, k) ose SLT n (k).
Bashkësia e të gjitha matricave trekëndore të sipërme me elemente nga unaza k formon një algjebër në lidhje me veprimet e mbledhjes, shumëzimit me elementet e unazës dhe shumëzimit të matricës. Një deklaratë e ngjashme është e vërtetë për matricat trekëndore më të ulëta.
Grupi UT nështë i zgjidhshëm, dhe nëngrupi i tij njëtrikëndor SUT n i pafuqishëm.

Shiko gjithashtu

Fondacioni Wikimedia. 2010.

Shihni se çfarë është një "Matricë trekëndore" në fjalorë të tjerë:

matricë trekëndore- — matricë trekëndore Një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët e vendosur nën ose mbi diagonalen kryesore janë të barabartë me zero (krh. Matricën diagonale). Në rastin e parë kemi......

Matricë trekëndore- një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët e vendosur nën ose mbi diagonalen kryesore janë të barabartë me zero (krh. Matricën diagonale). Në rastin e parë kemi T.m të sipërm. në pjesën e dytë të poshtme...

Një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët e vendosur poshtë (ose sipër) diagonales kryesore janë të barabarta me zero. Në rastin e parë, matrica quhet matrica trekëndore e sipërme, në të dytën matrica trekëndore e poshtme. Përcaktori i T. m është i barabartë me prodhimin e të gjithë ... Enciklopedia matematikore

Matrica trekëndore MOB- një matricë e koeficientëve të bilancit input-output (IB) që korrespondon me një sistem prodhimi në të cilin çdo produkt mund të shpenzohet në prodhimin e tij dhe në prodhimin e çdo tjetër... ... Fjalor ekonomik dhe matematikor

matricë trekëndore MOB- Matrica e koeficientëve të bilancit të inputeve (IBO), që korrespondon me një sistem prodhimi në të cilin çdo produkt mund të shpenzohet në prodhimin e tij dhe në prodhimin e çdo produkti pas tij, por jo... ... Udhëzues teknik i përkthyesit

Një matricë trekëndore është një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët poshtë ose mbi diagonalen kryesore janë zero. Një shembull i një matrice trekëndore të sipërme Një matricë trekëndore e sipërme është një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët nën diagonalen kryesore janë zero ... ... Wikipedia

Blloko matricën trekëndore- është një matricë që mund të ndahet në nënmatrica në mënyrë të tillë që në njërën anë të "diagonales kryesore" të saj, e përbërë nga nënmatrica, të ketë zero. Shembuj të matricave trekëndore të bllokut përfshijnë... ... Fjalor ekonomik dhe matematikor

blloku i matricës trekëndore- Një matricë që mund të ndahet në nënmatrica në mënyrë të tillë që në njërën anë të "diagonales kryesore" të saj, e përbërë nga nënmatrica, të ketë zero. Shembuj të matricave trekëndore të bllokut janë matrica trekëndore dhe matrica diagonale e bllokut... Udhëzues teknik i përkthyesit

Matricë- një sistem elementësh (numra, funksione dhe sasi të tjera) të rregulluar në formën e një tabele drejtkëndëshe mbi të cilën mund të kryhen veprime të caktuara. Tabela ka këtë formë: Elementi i matricës në përgjithësi shënohet aij kjo... ... Fjalor ekonomik dhe matematikor

matricë- Rrjeti logjik i konfiguruar si një grup drejtkëndor i kryqëzimeve të kanaleve hyrëse/dalëse. matricë Një sistem elementësh (numra, funksione dhe sasi të tjera) të renditura në formën e një drejtkëndëshi... ... Udhëzues teknik i përkthyesit

Matrica e sipërme trekëndore

Matricë trekëndore- një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët poshtë ose mbi diagonalen kryesore janë të barabarta me zero.

Një shembull i një matrice trekëndore të sipërme

Matrica e sipërme trekëndore- një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët nën diagonalen kryesore janë të barabartë me zero.

Matrica trekëndore e poshtme- një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët mbi diagonalen kryesore janë të barabarta me zero.

Matricë njëtrikëndore(e sipërme ose e poshtme) - një matricë trekëndore në të cilën të gjithë elementët në diagonalen kryesore janë të barabartë me një.

Matricat trekëndore përdoren kryesisht në zgjidhjen e sistemeve lineare të ekuacioneve, kur matrica e sistemit reduktohet në formë trekëndore duke përdorur teoremën e mëposhtme:

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare me një matricë trekëndore (e kundërt) nuk është e vështirë.

Vetitë

Përcaktori i një matrice trekëndore është i barabartë me produktin e elementeve në diagonalen e saj kryesore.
Përcaktori i një matrice njëtrikëndore është i barabartë me një.
Bashkësia e renditjes së matricave trekëndore të sipërme jo njëjëse n me shumëzim me elemente nga fusha k formon një grup i cili shënohet UT(n, k) ose UT n (k).
Bashkësia e renditjes së matricave trekëndore të poshtme jo njëjëse n me shumëzim me elemente nga fusha k formon një grup i cili shënohet LT(n, k) ose LT n (k).
Komplet matricash njëtrikëndore të sipërme me elementë nga fusha k formon një nëngrup UT n (k) me shumëzim, i cili shënohet USHT(n, k) ose USHT n (k). Shënohet një nëngrup i ngjashëm i matricave njëtrikëndore më të ulët SLT(n, k) ose SLT n (k).
Bashkësia e të gjitha matricave trekëndore të sipërme me elemente nga unaza k formon një algjebër në lidhje me veprimet e mbledhjes, shumëzimit me elementet e unazës dhe shumëzimit të matricës. Një deklaratë e ngjashme është e vërtetë për matricat trekëndore më të ulëta.
Grupi UT nështë i zgjidhshëm, dhe nëngrupi i tij njëtrikëndor SUT n i pafuqishëm.

Shiko gjithashtu

Fondacioni Wikimedia. 2010.

Shihni se çfarë është "Matrica e sipërme trekëndore" në fjalorë të tjerë:

Një matricë trekëndore është një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët poshtë ose mbi diagonalen kryesore janë zero. Një shembull i një matrice trekëndore të sipërme Matrica trekëndore e sipërme ... Wikipedia

Për të përmirësuar këtë artikull, është e dëshirueshme?: Gjeni dhe rregulloni në formën e fusnotave lidhje me burime autoritare që konfirmojnë atë që është shkruar. Pas shtimit të shënimeve, jepni tregues më të saktë të burimeve. Shto ilustrime... Wikipedia

Paraqitja e një matrice të caktuar simetrike pozitive në formën ku është një matricë trekëndore e poshtme me elemente rreptësisht pozitive në diagonale. Ndonjëherë zbërthimi shkruhet në një formë ekuivalente: , ku është matrica e sipërme trekëndore.... ... Wikipedia

SFLASH është një algoritëm asimetrik i nënshkrimit dixhital i rekomanduar nga projekti evropian NESSIE në 2003. SFLASH bazohet në qarkun Matsumoto Imai(MI), i quajtur edhe C*. Algoritmi i përket familjes së skemave shumëdimensionale të çelësave publikë, pastaj... ... Wikipedia

Procesi ortogonalizimi, një algoritëm për ndërtimin, për një sistem të caktuar linearisht të pavarur vektorësh në një hapësirë V Euklidiane ose Hermitiane, një sistem ortogonal vektorësh jozero që gjenerojnë të njëjtën nënhapësirë në V. Më i famshmi është... ... Enciklopedia matematikore

Koeficienti i korrelacionit- (Koeficienti i korrelacionit) Koeficienti i korrelacionit është një tregues statistikor i varësisë së dy variablave të rastësishëm Përkufizimi i koeficientit të korrelacionit, llojet e koeficientëve të korrelacionit, vetitë e koeficientit të korrelacionit, llogaritja dhe aplikimi... Enciklopedia e Investitorëve

Metoda e dobësimit, metoda e zgjidhjes përsëritëse të një sistemi sistemesh algjebrike lineare. ekuacionet Ax=b, hapi elementar konsiston në ndryshimin e vetëm një komponenti të vektorit të të panjohurave, dhe numrat e komponentëve të ndryshuar zgjidhen në një ciklik të caktuar... Enciklopedia matematikore