Numrat realë dhe imagjinarë. Çfarë është një numër kompleks? Shembuj

Gjatë studimit të vetive të një ekuacioni kuadratik, u vendos një kufizim - për një diskriminues më të vogël se zero, nuk ka zgjidhje. Menjëherë u deklarua se po flisnim për një grup numrash realë. Mendja kureshtare e një matematikani do të interesohet se çfarë sekreti përmban klauzola për vlerat reale?

Me kalimin e kohës, matematikanët prezantuan konceptin e numrave kompleksë, ku vlera e kushtëzuar e rrënjës së dytë të minus një merret si një.

Referencë historike

Teoria matematikore zhvillohet në mënyrë sekuenciale, nga e thjeshta në komplekse. Le të kuptojmë se si lindi koncepti i quajtur "numër kompleks" dhe pse është i nevojshëm.

Që nga kohra të lashta, baza e matematikës ka qenë numërimi i zakonshëm. Studiuesit dinin vetëm grupin natyror të vlerave. Mbledhja dhe zbritja ishin të thjeshta. Ndërsa marrëdhëniet ekonomike u bënë më komplekse, shumëzimi filloi të përdoret në vend të shtimit të vlerave identike. U shfaq operacioni i kundërt i shumëzimit - pjesëtimi.

Koncepti i një numri natyror kufizoi përdorimin e veprimeve aritmetike. Është e pamundur të zgjidhen të gjitha problemet e ndarjes në një grup vlerash të plota. çoi fillimisht në konceptin e kuptimeve racionale, dhe më pas në kuptimet irracionale. Nëse për racionale është e mundur të tregohet vendndodhja e saktë e një pike në një vijë, atëherë për irracionale është e pamundur të tregohet një pikë e tillë. Mund të tregoni vetëm afërsisht intervalin e vendndodhjes. Kombinimi i numrave racionalë dhe irracionalë formoi një grup real, i cili mund të përfaqësohet si një vijë e caktuar me një shkallë të caktuar. Çdo hap përgjatë vijës është një numër natyror, dhe midis tyre ka vlera racionale dhe irracionale.

Filloi epoka e matematikës teorike. Zhvillimi i astronomisë, mekanikës dhe fizikës kërkonte zgjidhjen e ekuacioneve gjithnjë e më komplekse. Në formë të përgjithshme, u gjetën rrënjët e ekuacionit kuadratik. Kur zgjidhën një polinom kub më kompleks, shkencëtarët hasën në një kontradiktë. Koncepti i një rrënjë kubike negative ka kuptim, por për një rrënjë katrore rezulton në pasiguri. Për më tepër, ekuacioni kuadratik është vetëm një rast i veçantë i atij kubik.

Në 1545, italiani G. Cardano propozoi prezantimin e konceptit të një numri imagjinar.

Ky numër u bë rrënja e dytë e minus një. Termi numër kompleks u formua përfundimisht vetëm treqind vjet më vonë, në veprat e matematikanit të famshëm Gauss. Ai propozoi të zgjerohen zyrtarisht të gjitha ligjet e algjebrës në një numër imagjinar. Linja e vërtetë është zgjeruar në një aeroplan. Bota është bërë më e madhe.

Konceptet themelore

Le të kujtojmë një numër funksionesh që kanë kufizime në grupin real:

• y = arcsin(x), e përcaktuar në rangun e vlerave midis unitetit negativ dhe pozitiv.
• y = ln(x), ka kuptim për argumente pozitive.
• rrënja katrore y = √x, e llogaritur vetëm për x ≥ 0.

Duke shënuar i = √(-1), ne prezantojmë një koncept të tillë si një numër imagjinar, kjo do të na lejojë të heqim të gjitha kufizimet nga fusha e përkufizimit të funksioneve të mësipërme. Shprehjet si y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) marrin kuptim në një hapësirë ​​të caktuar numrash kompleksë.

Forma algjebrike mund të shkruhet si z = x + i×y në grupin e vlerave reale x dhe y, dhe i 2 = -1.

Koncepti i ri heq të gjitha kufizimet në përdorimin e çdo funksioni algjebrik dhe pamja e tij i ngjan një grafiku të një vije të drejtë në koordinatat e vlerave reale dhe imagjinare.

Aeroplan kompleks

Forma gjeometrike e numrave kompleks bën të mundur vizualizimin e shumë vetive të tyre. Përgjatë boshtit Re(z) ne shënojmë vlerat reale të x, përgjatë Im(z) - vlerat imagjinare të y, atëherë pika z në aeroplan do të shfaqë vlerën komplekse të kërkuar.

Përkufizimet:

• Re(z) - bosht real.
• Im(z) - nënkupton boshtin imagjinar.
• z është pika e kushtëzuar e një numri kompleks.
• Vlera numerike e gjatësisë së vektorit nga pika zero në z quhet modul.
• Boshti real dhe imagjinar e ndajnë rrafshin në katërshe. Me një vlerë pozitive të koordinatave - tremujori I. Kur argumenti i boshtit real është më i vogël se 0, dhe boshti imagjinar është më i madh se 0 - tremujori i dytë. Kur koordinatat janë negative - tremujori III. Tremujori i fundit, IV përmban shumë vlera reale pozitive dhe vlera imagjinare negative.

Kështu, në një aeroplan me vlera koordinative x dhe y, gjithmonë mund të përshkruani vizualisht një pikë të një numri kompleks. Simboli i futet për të ndarë pjesën reale nga pjesa imagjinare.

Vetitë

1. Me një vlerë zero të argumentit imagjinar, ne thjesht marrim një numër (z = x), i cili ndodhet në boshtin real dhe i përket grupit real.
2. Një rast i veçantë kur vlera e argumentit real bëhet zero, shprehja z = i×y korrespondon me vendndodhjen e pikës në boshtin imagjinar.
3. Forma e përgjithshme z = x + i×y do të jetë për vlera jo zero të argumenteve. Tregon vendndodhjen e pikës që karakterizon një numër kompleks në një nga lagjet.

Shënim trigonometrik

Le të kujtojmë sistemin e koordinatave polar dhe përkufizimin e sin dhe cos. Natyrisht, duke përdorur këto funksione mund të përshkruani vendndodhjen e çdo pike në aeroplan. Për ta bërë këtë, mjafton të dihet gjatësia e rrezes polare dhe këndi i prirjes ndaj boshtit real.

Përkufizimi. Një shënim i formës ∣z ∣ i shumëzuar me shumën e funksioneve trigonometrike cos(ϴ) dhe pjesës imagjinare i ×sin(ϴ) quhet numër kompleks trigonometrik. Këtu përdorim këndin e shënimit të prirjes ndaj boshtit real

ϴ = arg(z), dhe r = ∣z∣, gjatësia e rrezes.

Nga përkufizimi dhe vetitë e funksioneve trigonometrike, vijon një formulë shumë e rëndësishme Moivre:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Duke përdorur këtë formulë, është e përshtatshme për të zgjidhur shumë sisteme ekuacionesh që përmbajnë funksione trigonometrike. Sidomos kur lind problemi i fuqizimit.

Moduli dhe faza

Për të përfunduar përshkrimin e një grupi kompleks, ne propozojmë dy përkufizime të rëndësishme.

Duke ditur teoremën e Pitagorës, është e lehtë të llogaritet gjatësia e rrezes në sistemin koordinativ polar.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), një shënim i tillë në hapësirën komplekse quhet "modul" dhe karakterizon distancën nga 0 në një pikë në plan.

Këndi i prirjes së rrezes komplekse ndaj vijës reale ϴ zakonisht quhet faza.

Nga përkufizimi është e qartë se pjesët reale dhe imagjinare përshkruhen duke përdorur funksione ciklike. Gjegjësisht:

• x = r × cos(ϴ);
• y = r × sin(ϴ);

Në të kundërt, faza ka një lidhje me vlerat algjebrike përmes formulës:

ϴ = arctan(x / y) + μ, korrigjimi μ futet për të marrë parasysh periodicitetin e funksioneve gjeometrike.

formula e Euler-it

Matematikanët shpesh përdorin formën eksponenciale. Si shprehje shkruhen numrat e planit kompleks

z = r × e i × ϴ, që rrjedh nga formula e Euler-it.

Ky shënim është bërë i përhapur për llogaritjen praktike të sasive fizike. Forma e paraqitjes në formën e numrave komplekse eksponenciale është veçanërisht e përshtatshme për llogaritjet inxhinierike, ku ka nevojë për llogaritjen e qarqeve me rryma sinusoidale dhe është e nevojshme të dihet vlera e integraleve të funksioneve me një periudhë të caktuar. Llogaritjet në vetvete shërbejnë si një mjet në projektimin e makinave dhe mekanizmave të ndryshëm.

Përcaktimi i Operacioneve

Siç u përmend tashmë, të gjitha ligjet algjebrike të punës me funksionet themelore matematikore zbatohen për numrat kompleks.

Operacioni i shumës

Kur shtohen vlera komplekse, mblidhen edhe pjesët e tyre reale dhe imagjinare.

z = z 1 + z 2, ku z 1 dhe z 2 janë numra kompleks të formës së përgjithshme. Duke transformuar shprehjen, pasi hapim kllapat dhe thjeshtojmë shënimin, marrim argumentin real x = (x 1 + x 2), argumentin imagjinar y = (y 1 + y 2).

Në grafik duket si mbledhja e dy vektorëve, sipas rregullit të njohur të paralelogramit.

Operacioni i zbritjes

Konsiderohet si një rast i veçantë i mbledhjes, kur një numër është pozitiv, tjetri është negativ, pra ndodhet në tremujorin e pasqyrës. Shënimi algjebrik duket si ndryshimi midis pjesëve reale dhe imagjinare.

z = z 1 - z 2, ose, duke marrë parasysh vlerat e argumenteve, të ngjashme me operacionin e mbledhjes, marrim për vlerat reale x = (x 1 - x 2) dhe vlerat imagjinare y = (y 1 - y 2).

Shumëzimi në rrafshin kompleks

Duke përdorur rregullat për punën me polinome, do të nxjerrim një formulë për zgjidhjen e numrave kompleksë.

Duke ndjekur rregullat e përgjithshme algjebrike z=z 1 ×z 2, ne përshkruajmë çdo argument dhe paraqesim të ngjashme. Pjesët reale dhe imagjinare mund të shkruhen si më poshtë:

• x = x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
• y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

Duket më bukur nëse përdorim numra kompleksë eksponencialë.

Shprehja duket kështu: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Divizioni

Kur e konsiderojmë veprimin e pjesëtimit si të kundërt të veprimit të shumëzimit, në shënimin eksponencial fitojmë një shprehje të thjeshtë. Pjestimi i vlerës së z 1 me z 2 është rezultat i ndarjes së moduleve të tyre dhe diferencës së fazës. Formalisht, kur përdorni formën eksponenciale të numrave kompleksë, duket kështu:

z = z 1 / z 2 = r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 = r 1 / r 2 × e i(ϴ 1- ϴ 2) .

Në formën e shënimit algjebrik, funksionimi i pjesëtimit të numrave në planin kompleks është shkruar pak më i ndërlikuar:

Duke përshkruar argumentet dhe duke kryer transformime të polinomeve, është e lehtë të merren vlerat x = x 1 × x 2 + y 1 × y 2, përkatësisht y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2, megjithatë , brenda kornizës së hapësirës së përshkruar kjo shprehje ka kuptim, nëse z 2 ≠ 0.

Nxjerrja e rrënjës

Të gjitha sa më sipër mund të përdoren për të përcaktuar funksione më komplekse algjebrike - ngritja në çdo fuqi dhe anasjelltas - nxjerrja e rrënjës.

Duke përdorur konceptin e përgjithshëm të ngritjes në fuqinë n, marrim përkufizimin:

z n = (r × e i ϴ) n .

Duke përdorur vetitë e përgjithshme, ne e rishkruajmë atë në formën:

z n = r n × e i ϴ n .

Ne kemi marrë një formulë të thjeshtë për ngritjen e një numri kompleks në një fuqi.

Nga përkufizimi i gradës marrim një përfundim shumë të rëndësishëm. Një fuqi çift i njësisë imagjinare është gjithmonë e barabartë me 1. Çdo fuqi teke e njësisë imagjinare është gjithmonë e barabartë me -1.

Tani le të studiojmë funksionin e anasjelltë - nxjerrjen e rrënjës.

Për thjeshtësi të shënimit, marrim n = 2. Rrënja katrore w e vlerës komplekse z në planin kompleks C zakonisht konsiderohet të jetë shprehja z = ±, e vlefshme për çdo argument real më të madh ose të barabartë me zero. Për w ≤ 0 nuk ka zgjidhje.

Le të shohim ekuacionin kuadratik më të thjeshtë z 2 = 1. Duke përdorur formulat për numrat kompleks, rishkruajmë r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0. Nga të dhënat është e qartë se r 2 = 1 dhe ϴ = 0, pra, kemi një zgjidhje unike të barabartë me 1. Por kjo bie ndesh me konceptin se z = -1, gjithashtu korrespondon me përkufizimin e një rrënjë katrore.

Le të kuptojmë se çfarë nuk marrim parasysh. Nëse kujtojmë shënimin trigonometrik, do të rivendosim deklaratën - me një ndryshim periodik në fazën ϴ, numri kompleks nuk ndryshon. Le ta shënojmë vlerën e periudhës me simbolin p, atëherë është e vërtetë: r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p), nga e cila 2ϴ = 0 + p, ose ϴ = p / 2. Prandaj, e i 0 = 1 dhe e i p /2 = -1 . Ne morëm zgjidhjen e dytë, e cila korrespondon me kuptimin e përgjithshëm të rrënjës katrore.

Pra, për të gjetur një rrënjë arbitrare të një numri kompleks, ne do të ndjekim procedurën.

• Le të shkruajmë formën eksponenciale w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk), k është një numër i plotë arbitrar.
• Ne gjithashtu mund të paraqesim numrin e kërkuar në formën e Euler-it z = r × e i ϴ .
• Le të përdorim përkufizimin e përgjithshëm të funksionit të nxjerrjes së rrënjës r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
• Nga vetitë e përgjithshme të barazisë së moduleve dhe argumenteve, shkruajmë r n = ∣w∣ dhe nϴ = arg (w) + p×k.
• Shënimi përfundimtar për rrënjën e një numri kompleks përshkruhet me formulën z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n.
• Koment. Vlera ∣w∣, sipas përkufizimit, është një numër real pozitiv, që do të thotë se rrënja e çdo fuqie ka kuptim.

Fushë dhe shok

Si përfundim, japim dy përkufizime të rëndësishme që kanë pak rëndësi për zgjidhjen e problemeve të aplikuara me numra komplekse, por janë thelbësore për zhvillimin e mëtejshëm të teorisë matematikore.

Shprehjet për mbledhje dhe shumëzim thuhet se formojnë një fushë nëse plotësojnë aksiomat për çdo element të planit kompleks z:

1. Ndryshimi i vendeve të termave komplekse nuk ndryshon shumën komplekse.
2. Deklarata është e vërtetë - në një shprehje komplekse, çdo shumë e dy numrave mund të zëvendësohet nga vlera e tyre.
3. Ekziston një vlerë neutrale 0 për të cilën z + 0 = 0 + z = z është e vërtetë.
4. Për çdo z ka një të kundërt - z, mbledhja e së cilës jep zero.
5. Kur ndryshoni vendet e faktorëve kompleksë, produkti kompleks nuk ndryshon.
6. Shumëzimi i çdo dy numrash mund të zëvendësohet me vlerën e tyre.
7. Ekziston një vlerë neutrale 1, duke shumëzuar me të cilën nuk ndryshon numrin kompleks.
8. Për çdo z ≠ 0, ka një vlerë të kundërt z -1, duke shumëzuar me të cilën rezulton 1.
9. Shumëzimi i shumës së dy numrave me një të tretën është i barabartë me veprimin e shumëzimit të secilit prej tyre me këtë numër dhe mbledhjes së rezultateve.
10. 0 ≠ 1.

Numrat z 1 = x + i×y dhe z 2 = x - i×y quhen të konjuguar.

Teorema. Për çiftimin, pohimi i mëposhtëm është i vërtetë:

• Konjugati i një shume është i barabartë me shumën e elementeve të konjuguar.
• Konjugati i një produkti është i barabartë me produktin e konjugatave.
• e barabartë me vetë numrin.

Në algjebrën e përgjithshme, veti të tilla zakonisht quhen automorfizma fushore.

Shembuj

Duke ndjekur rregullat dhe formulat e dhëna për numrat kompleks, mund të veproni lehtësisht me to.

Le të shohim shembujt më të thjeshtë.

Detyra 1. Duke përdorur ekuacionin 3y +5 x i= 15 - 7i, përcaktoni x dhe y.

Zgjidhje. Le të kujtojmë përkufizimin e barazive komplekse, pastaj 3y = 15, 5x = -7. Prandaj x = -7 / 5, y = 5.

Detyra 2. Llogaritni vlerat e 2 + i 28 dhe 1 + i 135.

Zgjidhje. Natyrisht, 28 është një numër çift, nga rrjedha e përkufizimit të një numri kompleks në fuqinë që kemi i 28 = 1, që do të thotë se shprehja është 2 + i 28 = 3. Vlera e dytë, i 135 = -1, atëherë 1 + i 135 = 0.

Detyra 3. Llogaritni prodhimin e vlerave 2 + 5i dhe 4 + 3i.

Zgjidhje. Nga vetitë e përgjithshme të shumëzimit të numrave kompleks fitojmë (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Vlera e re do të jetë -7 + 26i.

Detyra 4. Njehsoni rrënjët e ekuacionit z 3 = -i.

Zgjidhje. Mund të ketë disa opsione për të gjetur një numër kompleks. Le të shqyrtojmë një nga të mundshmet. Sipas përkufizimit, ∣ - i∣ = 1, faza për -i është -p / 4. Ekuacioni origjinal mund të rishkruhet si r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk, nga ku z = e - p / 12 + pk /3 , për çdo numër të plotë k.

Bashkësia e tretësirave ka formën (e - ip/12, e ip /4, e i 2 p/3).

Pse nevojiten numrat kompleks?

Historia njeh shumë shembuj kur shkencëtarët, duke punuar në një teori, as që mendojnë për zbatimin praktik të rezultateve të tyre. Matematika është, para së gjithash, një lojë e mendjes, një respektim i rreptë i marrëdhënieve shkak-pasojë. Pothuajse të gjitha ndërtimet matematikore zbresin në zgjidhjen e ekuacioneve integrale dhe diferenciale, dhe ato, nga ana tjetër, me njëfarë përafrimi, zgjidhen duke gjetur rrënjët e polinomeve. Këtu së pari ndeshemi me paradoksin e numrave imagjinarë.

Shkencëtarët e natyrës, duke zgjidhur probleme plotësisht praktike, duke iu drejtuar zgjidhjeve të ekuacioneve të ndryshme, zbulojnë paradokse matematikore. Interpretimi i këtyre paradokseve çon në zbulime krejtësisht të habitshme. Natyra e dyfishtë e valëve elektromagnetike është një shembull i tillë. Numrat kompleks luajnë një rol vendimtar në kuptimin e vetive të tyre.

Kjo, nga ana tjetër, ka gjetur zbatim praktik në optikë, radio-elektronikë, energji dhe shumë fusha të tjera teknologjike. Një shembull tjetër, shumë më i vështirë për t'u kuptuar fenomenet fizike. Antimateria ishte parashikuar në majë të stilolapsit. Dhe vetëm shumë vite më vonë nisin përpjekjet për ta sintetizuar atë fizikisht.

Nuk duhet menduar se situata të tilla ekzistojnë vetëm në fizikë. Zbulime jo më pak interesante bëhen në natyrën e gjallë, gjatë sintezës së makromolekulave dhe gjatë studimit të inteligjencës artificiale. Dhe e gjithë kjo falë zgjerimit të vetëdijes sonë, duke u larguar nga mbledhja dhe zbritja e thjeshtë e sasive natyrore.

§1. Numrat kompleks

1°. Përkufizimi. Shënim algjebrik.

Përkufizimi 1. Numrat kompleks thirren çiftet e renditura të numrave realë Dhe , nëse për ta përkufizohet koncepti i veprimeve të barazisë, mbledhjes dhe shumëzimit, duke plotësuar aksiomat e mëposhtme:

1) Dy numra
Dhe
e barabartë nëse dhe vetëm nëse
,
, d.m.th.

2) Shuma e numrave kompleks
Dhe

dhe të barabartë
, d.m.th.

3) Prodhimi i numrave kompleks
Dhe
është numri i shënuar me
dhe të barabartë, d.m.th.

Shënohet bashkësia e numrave kompleksë C.

Formulat (2), (3) për numrat e formës
marrin formën

prej nga rrjedh se veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit për numrat e formës
përkojnë me mbledhjen dhe shumëzimin për numrat real numri kompleks i formës
identifikuar me një numër real .

Numri kompleks
thirrur njësi imagjinare dhe është caktuar , d.m.th.
Pastaj nga (3)

Nga (2), (3)  që do të thotë

Shprehja (4) quhet shënim algjebrik numër kompleks.

Në shënimin algjebrik, veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit marrin formën:

Një numër kompleks shënohet me
,- pjesa reale, - pjesa imagjinare, është një numër thjesht imagjinar. Përcaktimi:
,
.

Përkufizimi 2. Numri kompleks
thirrur konjuguar me një numër kompleks
.

Vetitë e konjugimit kompleks.

1)

2)
.

3) Nëse
, Kjo
.

4)
.

5)
- numri real.

Vërtetimi kryhet me llogaritje të drejtpërdrejtë.

Përkufizimi 3. Numri
thirrur modul numër kompleks
dhe është caktuar
.

Është e qartë se
, dhe


. Formulat janë gjithashtu të dukshme:
Dhe
.

2°. Vetitë e veprimeve të mbledhjes dhe shumëzimit.

1) Komutativiteti:
,
.

2) Asociacioni:,
.

3) Shpërndarja: .

Vërtetimi 1) – 3) kryhet me llogaritje të drejtpërdrejta bazuar në vetitë e ngjashme për numrat realë.

4)
,
.

5) , C ! , duke përmbushur ekuacionin
. Kjo

6) ,C, 0, ! :
. Kjo gjendet duke shumëzuar ekuacionin me



.

Shembull. Le të imagjinojmë një numër kompleks
në formë algjebrike. Për ta bërë këtë, shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e thyesës me numrin e konjuguar të emëruesit. Ne kemi:

3°. Interpretimi gjeometrik i numrave kompleks. Forma trigonometrike dhe eksponenciale e shkrimit të një numri kompleks.

Le të specifikohet një sistem koordinativ drejtkëndor në plan. Pastaj
C mund të përputhësh një pikë në rrafsh me koordinatat
.(shih Fig. 1). Natyrisht, një korrespondencë e tillë është një me një. Në këtë rast, numrat realë qëndrojnë në boshtin e abshisave, dhe numrat thjesht imagjinarë shtrihen në boshtin e ordinatave. Prandaj, boshti i abshisave quhet bosht real, dhe boshti i ordinatave − bosht imagjinar. Rrafshi në të cilin shtrihen numrat kompleks quhet plan kompleks.

Vini re se Dhe
janë simetrike për origjinën, dhe Dhe simetrik për Ox.

Çdo numër kompleks (d.m.th., çdo pikë në rrafsh) mund të shoqërohet me një vektor me fillimin në pikën O dhe fundin në pikën
. Korrespondenca midis vektorëve dhe numrave kompleks është një me një. Prandaj, vektori që korrespondon me një numër kompleks , e shënuar me të njëjtën shkronjë

D linjë vektoriale
që i korrespondon një numri kompleks
, është e barabartë
, dhe
,
.

Duke përdorur interpretimin e vektorit, ne mund të shohim se vektori
− shuma e vektorëve Dhe , A
− shuma e vektorëve Dhe
.(shih Fig. 2). Prandaj, pabarazitë e mëposhtme janë të vlefshme:

Së bashku me gjatësinë vektoriale le të prezantojmë këndin ndërmjet vektorit dhe boshti Ox, i numëruar nga drejtimi pozitiv i boshtit Ox: nëse numërimi është kundër akrepave të orës, atëherë shenja e këndit konsiderohet pozitive, nëse në drejtim të akrepave të orës, atëherë është negative. Ky kënd quhet argumenti i numrit kompleks dhe është caktuar
. Këndi nuk përcaktohet pa mëdyshje, por me saktësi
…. Për
argumenti nuk është i përcaktuar.

Formulat (6) përcaktojnë të ashtuquajturat shënim trigonometrik numër kompleks.

Nga (5) del se nëse
Dhe
Se

Nga (5)
po për Dhe një numër kompleks përcaktohet në mënyrë unike. E kundërta nuk është e vërtetë: domethënë, mbi një numër kompleks modulin e tij gjendet në mënyrë unike, dhe argumenti , në bazë të (7), − me saktësi
. Nga (7) rezulton gjithashtu se argumenti mund të gjendet si zgjidhje e ekuacionit

Megjithatë, jo të gjitha zgjidhjet e këtij ekuacioni janë zgjidhje të (7).

Ndër të gjitha vlerat e argumentit të një numri kompleks, zgjidhet një, i cili quhet vlera kryesore e argumentit dhe shënohet
. Zakonisht vlera kryesore e argumentit zgjidhet ose në interval
, ose në interval

Është i përshtatshëm për të kryer operacione të shumëzimit dhe pjesëtimit në formë trigonometrike.

Teorema 1. Moduli i prodhimit të numrave kompleks Dhe është e barabartë me produktin e moduleve, dhe argumenti është shuma e argumenteve, d.m.th.

, A .

Po kështu

,

Dëshmi. Le ,. Pastaj me shumëzim të drejtpërdrejtë marrim:

Po kështu

.■

Pasoja(Formula e Moivre). Për
Formula e Moivre është e vlefshme

P shembull. Le të gjejmë vendndodhjen gjeometrike të pikës
. Nga teorema 1 rrjedh se .

Prandaj, për ta ndërtuar atë, së pari duhet të ndërtoni një pikë , që është përmbysja në lidhje me rrethin e njësisë, dhe më pas gjeni një pikë simetrike me të në lidhje me boshtin Ox.

Le
, ato.
Numri kompleks
shënohet me
, d.m.th. R Formula e Euler është e vlefshme

Sepse
, Kjo
,
. Nga teorema 1
çfarë është me funksionin
ju mund të punoni si me një funksion të rregullt eksponencial, d.m.th. barazitë janë të vlefshme

,
,
.

Nga (8)
shënim demonstrues numër kompleks

, Ku
,

Shembull. .

4°. Rrënjët -fuqia e një numri kompleks.

Merrni parasysh ekuacionin

Le
, dhe zgjidhja e ekuacionit (9) kërkohet në formën
. Pastaj (9) merr formën
, nga ku e gjejmë atë
,
, d.m.th.

,
,
.

Kështu, ekuacioni (9) ka rrënjë

Le të tregojmë se midis (10) ka saktësisht rrënjë të ndryshme. Vërtet,

janë të ndryshme, sepse argumentet e tyre janë të ndryshme dhe ndryshojnë më pak se
. Me tutje,
, sepse
. Po kështu
.

Kështu, ekuacioni (9) në
ka pikërisht rrënjët
, i vendosur në kulmet e të rregulltit -një trekëndësh i gdhendur në një rreth me rreze me qendër në t.O.

Kështu vërtetohet

Teorema 2. Nxjerrja e rrënjëve -fuqia e një numri kompleks
Është gjithmonë e mundur. Të gjitha kuptimet rrënjësore shkalla e të vendosura në kulmet e së saktës -gon i gdhendur në një rreth me qendër në zero dhe rreze
. Ku,

Pasoja. Rrënjët -fuqia e 1-së shprehen me formulën

.

Prodhimi i dy rrënjëve të 1 është një rrënjë, 1 është një rrënjë - fuqia e unitetit, rrënjë
:
.

Le të kujtojmë informacionin e nevojshëm për numrat kompleks.

Numri kompleksështë shprehje e formës a + bi, Ku a, b janë numra realë, dhe i- të ashtuquajturat njësi imagjinare, një simbol katrori i të cilit është i barabartë me –1, domethënë i 2 = –1. Numri a thirrur pjesë reale, dhe numrin b - pjesë imagjinare numër kompleks z = a + bi. Nëse b= 0, pastaj në vend të kësaj a + 0i ata shkruajnë thjesht a. Mund të shihet se numrat realë janë një rast i veçantë i numrave kompleks.

Veprimet aritmetike në numrat kompleks janë të njëjta si në numrat realë: ato mund të shtohen, zbriten, shumëzohen dhe pjesëtohen me njëri-tjetrin. Mbledhja dhe zbritja ndodhin sipas rregullit ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, dhe shumëzimi ndjek rregullin ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (ad + p.e.s)i(këtu përdoret kështu i 2 = –1). Numri = a – bi thirrur konjuguar kompleks te z = a + bi. Barazia z · = a 2 + b 2 ju lejon të kuptoni se si të ndani një numër kompleks me një numër tjetër kompleks (jo zero):

(Për shembull, .)

Numrat kompleks kanë një paraqitje gjeometrike të përshtatshme dhe vizuale: numrin z = a + bi mund të përfaqësohet nga një vektor me koordinata ( a; b) në rrafshin kartezian (ose, që është pothuajse e njëjta gjë, një pikë - fundi i një vektori me këto koordinata). Në këtë rast, shuma e dy numrave kompleksë përshkruhet si shuma e vektorëve përkatës (të cilët mund të gjenden duke përdorur rregullin e paralelogramit). Sipas teoremës së Pitagorës, gjatësia e vektorit me koordinata ( a; b) është e barabartë me . Kjo sasi quhet modul numër kompleks z = a + bi dhe shënohet me | z|. Këndi që bën ky vektor me drejtimin pozitiv të boshtit x (i numëruar në drejtim të kundërt të akrepave të orës) quhet argument numër kompleks z dhe shënohet me Arg z. Argumenti nuk është i përcaktuar në mënyrë unike, por vetëm deri në shtimin e një vlere që është shumëfish i 2 π radiane (ose 360°, nëse numërohen në gradë) - në fund të fundit, është e qartë se një rrotullim nga një kënd i tillë rreth origjinës nuk do të ndryshojë vektorin. Por nëse vektori i gjatësisë r formon një kënd φ me drejtim pozitiv të boshtit x, atëherë koordinatat e tij janë të barabarta me ( r cos φ ; r mëkat φ ). Nga këtu rezulton shënim trigonometrik numri kompleks: z = |z| · (cos(Arg z) + i mëkat (Arg z)). Shpesh është i përshtatshëm për të shkruar numra kompleksë në këtë formë, sepse thjeshton shumë llogaritjet. Shumëzimi i numrave kompleksë në formë trigonometrike është shumë i thjeshtë: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i mëkat (Arg z 1 + Arg z 2)) (kur shumëzohen dy numra kompleksë, modulet e tyre shumëzohen dhe argumentet e tyre shtohen). Nga këtu ndiqni formulat e Moivre: z n = |z|n· (për shkak n· (Arg z)) + i mëkat ( n· (Arg z))). Duke përdorur këto formula, është e lehtë të mësosh se si të nxjerrësh rrënjët e çdo shkalle nga numrat kompleksë. rrënja e n-të e z- ky është një numër kompleks w, Çfarë w n = z. Është e qartë se , Dhe ku k mund të marrë çdo vlerë nga grupi (0, 1, ..., n- 1). Kjo do të thotë se gjithmonë ekziston saktësisht n rrënjët n shkalla e një numri kompleks (në rrafsh ato janë të vendosura në kulmet e të rregulltit n-gon).