Kujtimet se si shkoi puna me A.D. Alexandrov në tekstet shkollore të gjeometrisë.

1. Si filloi. Reforma Kolmogorov e kursit të gjeometrisë shkollore dhe rezultatet e saj

Në mesin e viteve '60 të shekullit të kaluar, modernizimi u krye në mënyrë aktive në mësimdhënien shkollore të matematikës në BRSS (kështu do ta quajnë tani atë që në atë kohë ishte në krye të Andrei Nikolaevich Kolmogorov). Programet për lëndët e matematikës shkollore u shpallën të vjetruara, duke mbetur prapa matematikës moderne dhe për këtë arsye ato duhej të përditësoheshin dhe të shkruheshin tekste të reja sipas këtyre programeve të reja. Me kursin e matematikës për klasat e pesta dhe të gjashta, si dhe me lëndën e algjebrës dhe fillimin e analizës, ky ristrukturim u krye nga A.N. Kolmogorov dhe kolegët e tij, në përgjithësi, patën sukses, por ata nuk ishin në gjendje të rindërtonin kursin tradicional të gjeometrisë për Rusinë dhe BRSS, dhe çështja përfundoi në një skandal.
Rreth programit të ri A.N. Kolmogorov shkroi dy herë në revistën "Matematika në shkollë": në detaje në artikullin "Programe të reja dhe disa çështje themelore të përmirësimit të kursit të matematikës në shkollën e mesme" dhe shkurtimisht në shënimin "Drejt programeve të reja në matematikë".
Duke filluar një diskutim të programit të gjeometrisë, në të parën prej tyre A.N. Kolmogorov shkruan: "Nëse i quaj programet aktuale arkaike, atëherë kjo vlen veçanërisht për gjeometrinë." Dhe më pas ai përshkruan një program për ristrukturimin e kursit të gjeometrisë.
“Tendencat kryesore në ristrukturimin e lëndës së gjeometrisë shkollore, të cilat tashmë kanë gjetur njohjen më të gjerë, mund të formulohen në formën e tre dispozitave.
1. Formimi i koncepteve gjeometrike fillestare ndodh në klasat e ulëta.
2. Struktura logjike e lëndës sistematike të gjeometrisë në klasat e mesme është thjeshtuar dukshëm në krahasim me traditën euklidiane. Zhvillimi i zakonit të provës strikte logjike në këtë fazë kombinohet me njohjen e hapur të së drejtës për të pranuar një sistem të tepruar supozimesh pa prova.
3. Kursi i gjeometrisë në shkollën e mesme bazohet në koncepte vektoriale. Në të njëjtën kohë, është e natyrshme t'i drejtohemi metodës së koordinatave (megjithatë, si ndihmëse, në mënyrë që prezantimi të mos bëhet më pak "gjeometrik" për shkak të kësaj qasjeje).
E para nga këto dispozita është e vërtetë. E fundit (e treta) është bindja, karakteristike e atyre viteve, se ndërtimi vektorial i stereometrisë (“sipas Weyl”) është më i thjeshtë se ndërtimi i saj tradicional sintetik. Së fundi, është e vështirë të pajtohesh me pozicionin e dytë dhe zhvillimet e mëtejshme konfirmuan se ishte qartësisht shumë herët për të folur për "njohje të gjerë": asnjë thjeshtësim i dukshëm nuk ishte i dukshëm nga programi dhe tekstet përkatëse nuk ishin shkruar ende.
Në fund të artikullit A.N. Kolmogorov shkruan:
"Për të qenë në gjendje të punoni me qetësi dhe besim në tekstet e reja të gjeometrisë, do të ishte e nevojshme të bëni urgjentisht punë paraprake: një ose disa ekipe shkencëtarësh dhe mësuesish, duke përdorur përvojën e huaj, të hartojnë dhe publikojnë një projekt (ose disa projekte) të "skeletit logjik" të gjeometrisë së lëndës shkollore (supozimet fillestare dhe zinxhiri kryesor i teoremave me prova) në një formë të aksesueshme për kritikë dhe përdorim eksperimental nga mësues me përvojë të mjaftueshme."
Fatkeqësisht, kjo nuk u bë.
Nga dy faqet e shënimit të dytë të A.N. Kolmogorov i kushtoi një faqe gjeometrisë. Aty ai shkroi:
"Më është dashur të shkruaj më shumë se një herë në faqet e "Matematikës në shkollë" se ndjekja e skemës klasike Euklidiane për paraqitjen e parimeve të planimetrisë, sipas së cilës për një kohë mjaft të gjatë jemi kufizuar në teoremat e "gjeometrisë absolute" (në terminologjinë e Lobachevsky), jo i bazuar në postulatin e paraleleve, në praktikën tonë shkollore prej kohësh ka humbur çdo kuptim i arsyeshëm. Një sistem shumë më i thjeshtë prezantimi, ku paralelizmi dhe transferimi paralel përdoren që në fillim, është zhvilluar dhe zbatuar prej kohësh në shumë tekste të huaja.”
Por vështirësia qëndron në faktin se me sa duket nuk ka asnjë shembull të gatshëm të strukturës logjike të një kursi planimetrie të përshtatshme për klasat tona 6-8, qoftë në literaturën tonë apo në literaturën e huaj arsimore.
Kështu, në vitin 1968, u krijua natyra arkaike e programeve të matematikës së shkollës së vjetër, u shkruan programe të reja dhe kishte ardhur koha për të shkruar tekste shkollore.
Vetë A.N. mori përsipër të shkruajë një libër shkollor për klasat 6-8. Kolmogorov. Edhe pse deri në këtë kohë një kurs i gjeometrisë elementare ishte shkruar tashmë nga gjeometri i famshëm - akademiku Alexei Vasilyevich Pogorelov. A.N. Kolmogorov e rishikoi këtë libër, dhe në Parathënien për mësuesin e këtij libri, A.V. Pogorelov shpreh “mirënjohje të përzemërt për Akademik A.N. Kolmogorov për komentet dhe këshillat e vlefshme që bëri në rishikimet e disa pjesëve të botimit të parë.” Më kujtohet se si në qershor 1967, pasi mbërriti në Petrozavodsk për Simpoziumin Gjithë Bashkimi për Gjeometrinë "në Përgjithësi", A.V. Pogorelov më tha me krenari: "Kam shkruar një kurs për gjeometrinë elementare. Unë futa në të aksiomat e distancës. Kolmogorov më lavdëroi.
Nuk i besoi A.N. Kolmogorov shkruan "Gjeometria, 6-8" dhe ata gjeometër të famshëm V.G. Boltyansky dhe I.M. Yaglom, të cilët ishin në detyrën e tij.
Ai vendosi ta bëjë vetë - të ndërtojë një kurs sistematik në planimetri, duke e bazuar atë në transformimet gjeometrike. Bashkautorët A.N. Kolmogorov ishin R.S. Cherkasov dhe A.F. Semenovich. Pse A.N. Vetë Kolmogorov vendosi të punojë në një kurs gjeometrie për mendimin tim, ai shpjegon atë që tha në raportin e tij "Për sistemin e koncepteve themelore dhe shënimin për një kurs matematikor shkollor", lexuar më 11 janar 1971 në deputetin e BRSS;
“Kemi vendosur të mbajmë tekste të veçanta të gjeometrisë për klasat 6-10. Krahasuar me sistemin e teksteve të unifikuara të matematikës të miratuar në shumë vende, prania e një teksti koherent të gjeometrisë ka disa avantazhe, por vetëm nëse logjika e ndërtimit të një kursi gjeometrie është rreptësisht në përputhje me lëndët e algjebrës dhe analizës elementare.
Ishte kjo qëndrueshmëri e rreptë që Andrei Nikolaevich vendosi të bënte vetë. Kursi i gjeometrisë nga A.V. Pogorelov nuk ishte shumë i përshtatshëm për një qëndrueshmëri kaq të rreptë.
Le të kujtojmë atë që I. Njutoni shkroi për gjeometrinë në Parathënien e botimit të parë të veprës së tij të famshme "Parimet matematikore të filozofisë natyrore": "Gjeometria lavdërohet për këtë arsye, sepse, pasi ka huazuar kaq pak parime themelore nga jashtë, ajo arrin aq shumë” (paragrafi 5). Në "Gjeometrinë, 6-8" të Kolmogorovit në klasën e gjashtë, e kundërta është e vërtetë: nga 38 pohimet e identifikuara atje, pothuajse dy të tretat kanë mbetur pa prova, madje edhe midis pohimeve të paprovuara, shumë nuk janë theksuar. Teksti shkollor i vitit të parë të një kursi sistematik të gjeometrisë, i cili lëvizte gjithmonë në mënyrë të barabartë dhe të vazhdueshme në nivelin e ashpërsisë së arritshme për studentët e kësaj moshe, u bë i ndërprerë në përmbajtjen e tij: do të vërtetojmë diçka, pastaj do ta pranojmë pa prova. pastaj do të vërtetojmë sërish diçka, e pastaj do ta pranojmë sërish pa prova etj. Kjo nuk është më gjeometria për të cilën foli I. Njutoni! Ajo që kërkonte A.N Kolmogorov nuk pati sukses në kursin e tij të gjeometrisë - duke rritur nivelin e tij të ashpërsisë (në kuptimin që A.N. Kolmogorov do të thoshte ashpërsi në fjalë) dhe në të njëjtën kohë duke thjeshtuar kursin e gjeometrisë. Këtë e ka pranuar edhe vetë A.N. Kolmogorov, kur në shënimin "Vërejtje për konceptin e grupit në një kurs të matematikës shkollore" ai shkroi: "Duke u kthyer te gjeometria, unë besoj se çdo aksiomatikë në një kurs shkollor modern duhet të bazohet në një këndvështrim teorik të grupeve.
Kjo është, në veçanti, aksiomatika e A.V. Pogorelova. Por çështja se kur të fillohet të bisedohet me studentët për strukturën logjike të gjeometrisë duhet të diskutohet sërish. Përvoja e punës në versione të ndryshme të teksteve të gjeometrisë gjatë dekadës së fundit ka treguar se është e parakohshme ta bësh këtë në fillim të klasës së 6-të.”
Siç vepruan autorët e "Geometria, 6-8" (fjala e parakohshme është mjaft e drejtë. Çështja e strukturës logjike të gjeometrisë mund të diskutohet në mënyra të ndryshme në fillim të një kursi sistematik. Por është qartësisht e parakohshme të hidhet poshtë Përvoja shekullore e ndërtimit të një kursi në gjeometrinë elementare ("sipas Euklidit") dhe në vitin e parë të një kursi sistematik, kursi bazohet në transformime gjeometrike ("sipas Klein"): nxënësit e shkollës nuk janë gati për këtë.
Me pikëpamjet e A.N. Kolmogorov se çfarë duhet të jetë, sipas tij, një libër shkollor për një kurs sistematik të gjeometrisë në klasat 6-8, ne tani jemi njohur. Tani le t'i drejtohemi tekstit të gjeometrisë për shkollën e mesme (atëherë ishte klasa 9-10, tani është klasa 10-11).
Përzgjedhja e ekipeve të autorëve për tekste të ndryshme të matematikës, A.N. Kolmogorov udhëtoi në universitetet pedagogjike në të gjithë vendin dhe u takua me matematikanë. Ai gjithashtu erdhi në Institutin Herzen dhe më kujtohet se si u takuam me A.N në zyrën e rektorit. Kolmogorov, dhe bëhej fjalë për reformën në shkollë
kursi i matematikës. Ndoshta pikëpamjet tona nuk i përshtaten A.N. Kolmogorov: ai nuk mori asnjë nga Herzenitët në ekipin e tij. Një libër shkollor për gjeometrinë për shkollën e mesme nga A.N. Kolmogorov udhëzoi profesorin e Institutit Pedagogjik Yaroslavl Z.A. Skopets dhe profesorë të asociuar të Institutit Pedagogjik Kursk V.M. Klopsky dhe M.I. Yagodovsky.
Para shfaqjes së librit shkollor "Gjeometria, 9–10" (redaktuar nga Z.A. Skopets) në vitin 1974, nxënësit e shkollave të mesme u mësuan sipas librit shkollor të stereometrisë nga A.P. Kiseleva. Përmbajtja e librit të ri shkollor "Gjeometria, 9-10" korrespondonte me programin ministror të vitit 1968 dhe vazhdoi linjën e zhvilluar në librin shkollor të Kolmogorov "Gjeometria, 6-8". Në klasën e 9-të kishte tre kapituj:
Kapitulli 1. Konceptet bazë të stereometrisë. Paralelizmi në hapësirë;
Kapitulli 2. Transformimet e hapësirës. Vektorët;
Kapitulli 3. Perpendikulariteti në hapësirë. Kënde dyhedrale dhe poliedrike.
Teksti mësimor fillon kështu: “Kursi sistematik i stereometrisë është i strukturuar sipas të njëjtës skemë si kursi i planimetrisë:
1. Janë renditur konceptet bazë, të cilat nuk janë të përcaktuara.
2. Formulohen aksioma në të cilat shprehen vetitë e koncepteve bazë.
3. Duke përdorur konceptet bazë, formulohen përkufizimet e koncepteve të tjera gjeometrike.
4. Teoremat vërtetohen në bazë të përkufizimeve dhe aksiomave.”
Konceptet bazë - pika, drejtëza, plani dhe distanca. U formuluan nëntë aksioma: pesë aksioma tradicionale të anëtarësimit, tre aksioma të hapësirës metrike dhe aksioma 9: për secilin rrafsh plotësohen aksiomat e rendit, lëvizshmërisë së planit dhe linjat paralele të njohura nga planimetria.

Dhe më pas në Kapitullin 1 autorët vërtetojnë teoremat e para të stereometrisë duke përdorur metodën tradicionale sintetike. Për studentët që më parë ishin zhytur për tre vjet në një botë planimetrike të sheshtë, një fillim i tillë rreptësisht aksiomatik (dhe sipas librit shkollor të A.P. Kiselev) ishte gjithmonë i vështirë.
Paragrafët e parë të kreut 2 të tekstit shkollor flasin për lëvizjet në hapësirë. Ashtu si në librin shkollor të Kolmogorov "Gjeometria, 6-8", vetitë e përgjithshme të zhvendosjeve (që një vijë e drejtë shkon në një vijë të drejtë, një plan në një plan, etj.) renditen vetëm shkurtimisht (pa asnjë theksim), por jo e provuar. Dhe pastaj formulohet përkufizimi famëkeq:
Një vektor (përkthim paralel) i përcaktuar nga një çift (A,B) pikash që nuk përputhen është një transformim hapësinor në të cilin çdo pikë M është hartuar në një pikë M1 në mënyrë që rrezja MM1 është e drejtuar me rreze AB dhe distancën | MM1| është e barabartë me distancën |AB|.
Ishte me këtë përkufizim që akademikët V.S. filluan kritikat e tyre ndaj reformës Kolmogorov. Vladimirov, L.S. Pontryagin dhe A.N. Tikhonov në "Matematika në shkollë". L.S e fillon artikullin e tij “Mbi matematikën dhe cilësinë e mësimdhënies së saj” në organin e Komitetit Qendror të CPSU, revistën “Komunist” (1980, nr. 14). Pontryagin. Ajo u lexua nga foltorja e Sovjetit Suprem të BRSS nga dekani i Fakultetit të Mekanikës dhe Matematikës të Universitetit Shtetëror të Moskës.
Çështja e përcaktimit të vektorit është bërë një çështje politike.
Këtu, ndoshta, ia vlen të diskutohet çështja e pastërtisë së përkufizimeve, ndaj së cilës A.N. Kolmogorov dhe bashkëautorët dhe ndjekësit e tij i kushtuan vëmendje të veçantë.
Kështu ka shkruar A.D. Alexandrov në artikullin e tij programor "Mbi Gjeometrinë" në 1980 në revistën "Matematika në shkollë":
“Thelbësore është njohuria vizuale dhe operacionale e temës, që përmban paraqitje vizuale dhe aftësinë për të vepruar me to në mënyrë korrekte. Të gjithë e kuptojnë se çfarë është një karrige dhe dinë ta përdorin atë, por shumë prej tyre ndoshta do ta kenë të vështirë të japin një përkufizim menjëherë, si në një provim: "Një karrige quhet..." Matematikanët e shekujve 17 dhe 18 nuk e kanë bërë këtë. kanë përkufizime të sakta ose të një funksioni ose një kufiri, as vetë ndryshores x, por ato vepruan me sukses të jashtëzakonshëm (kujtoni Euler).
Dëshira pedantike për t'i dhënë çdo koncept një përkufizim verbal mund të çojë në faktin se në vend që të shpjegojnë dhe qartësojnë idetë që kanë tashmë studentët, në vend që të formojnë koncepte të qarta në to, atyre u jepet diçka e vështirë për t'u imagjinuar ose krejtësisht e paimagjinueshme, por vetëm e shprehur. në një guaskë verbale, ndonjëherë e tillë që ata as nuk mund ta kuptojnë atë që thuhet dhe as ta zbatojnë atë. Për shembull, në tekstet aktuale jepet përkufizimi: "Një drejtim është grupi i të gjitha rrezeve të bashkëdrejtuara". Dhe meqenëse studentët tashmë janë mësuar se një grup është një koleksion elementesh dhe përbëhet nga elementët e tij, rezulton se një drejtim përbëhet nga të gjitha rrezet e bashkëdrejtuara... Një situatë e ngjashme gjendet me përkufizimet e konceptet e vektorit, shumëfaqëshit etj.
Nuk ka asgjë më të dëmshme për zhvillimin shpirtëror - mendor dhe moral - sesa të mësosh një person të shqiptojë fjalë, kuptimin e të cilave ai nuk e kupton vërtet dhe, nëse është e nevojshme, udhëhiqet nga koncepte të tjera.
Duke dhënë një përkufizim të rëndë të një vektori, autorët ende veprojnë kryesisht me segmente të drejtuara.
Kapitulli 3 përfundon studimin e pozicionit relativ të drejtëzave dhe rrafsheve në hapësirë, studion të gjitha marrëdhëniet e pingulitetit të drejtëzave dhe rrafsheve dhe shqyrton shndërrimet e simetrisë dhe simetrisë boshtore në lidhje me një plan. Ky kapitull karakterizohet nga përdorimi i njëkohshëm i metodave thjesht sintetike, metodës vektoriale dhe metodave të transformimit. Nuk ka integritet në të.
Pra, në klasën e 9-të, krahas teoremave tradicionale për pozicionin relativ të drejtëzave dhe rrafsheve në hapësirë, teksti shkollor studion edhe algjebrën vektoriale dhe zhvendosjet në hapësirë. Është e qartë se në nivelin e ashpërsisë që ishte në tekstin shkollor të A.P.-së në këtë klasë. Kiselev, është e pamundur të studiohet një material kaq i gjerë.
Kapitulli i parë i tekstit të klasës së 10-të është kapitulli i shkurtër 4 “Metoda e koordinimit në hapësirë”. Ai përshkruan elementet e gjeometrisë analitike në hapësirë.
Në kapitullin tjetër 5 "Polyhedra" nuk ka më asnjë vektor, asnjë koordinatë - gjithçka është mjaft tradicionale: prizma, piramida, poliedra të rregullta. Vetëm në paragrafin e fundit vëllimi i piramidës llogaritet duke integruar sipërfaqen e seksioneve të saj të sheshta. Dhe përkufizimi i një poliedri në Kapitullin 5 e shtyu A.D. Alexandrov për të shkruar një artikull të gjerë "Çfarë është një poliedron?" .
Së fundi, kapitulli i fundit i tekstit është Kapitulli 6, Figurat e Rrotullimit.
Flet për një cilindër, një kon, një top dhe sipërfaqet e tyre.
Për të paraqitur dy kapitujt kryesorë të kursit të klasës së 10-të - kapitujt 5 dhe 6 - nuk nevojiten vektorë, asnjë zhvendosje, nuk nevojiten koordinata: kapitulli i parë në këtë klasë qëndron veçmas dhe mund të hiqet.
Teksti shkollor "Gjeometria, 9–10" (redaktuar nga Z.A. Skopets) ishte i lidhur rreptësisht me librin shkollor "Gjeometria, 6-8" (redaktuar nga A.N. Kolmogorov) dhe kishte të njëjtat mangësi si teksti shkollor "Gjeometria, 6-8". Vështirësitë shtesë për të punuar në të qëndronin në faktin se në ato vite u prezantua një arsim universal dhjetëvjeçar në BRSS, dhe për këtë arsye në nxënësit e shkollave të mesme filluan të mësojnë gjeometrinë për të cilët ishte e vështirë edhe sipas librit shkollor të A.P. Kiselyov, dhe aq më tepër, sipas A.P., i cili zëvendësoi librin shkollor. Libri shkollor i Kiselyov.
Unë hyra në detaje të tilla në përmbajtjen e tekstit shkollor, në mënyrë që të bëhet e qartë pse A.D. Alexandrov pasi e mori atë në pranverën e vitit 1979 nga Ministri i Arsimit M.A. Propozimi i Prokofiev për të redaktuar librin shkollor vendosi që ishte e nevojshme të shkruhet një libër i ri shkollor mbi stereometrinë.

2. Punohen tekstet e stereometrisë

Më 20 prill 1979, Alexander Danilovich nga Novosibirsk më shkroi se deputeti i BRSS i kishte dërguar atij botimin e 4-të të tekstit shkollor të përgatitur për botim dhe se, sipas tij, "është më e lehtë të rishkruash këtë vepër sesa të bindësh autorët. për të korrigjuar ndonjë gjë" Dhe më tej: "A do të pranonit të merrnit pjesë në ripërpunimin e kësaj pune me mua?" Në atë kohë, unë tashmë kisha përvojë në shkrimin e teksteve shkollore për institutet pedagogjike, ndër të cilat ishte "Ndërtimi aksiomatik i gjeometrisë (sipas Kolmogorov)", botuar në 1978 dhe shkruar së bashku me S.A. Frangulov dhe S.A. Yuzvinsky. Në ato vite, dukej se gjeometria e Kolmogorov në shkollë do të zgjaste për një kohë të gjatë (si regjimi Sovjetik), dhe ne në institutet pedagogjike duhej të përgatisnim mësuesit për të punuar në tekstet shkollore të Kolmogorov dhe të ishim të sigurt se nuk kishte gabime logjike në to. Vështirësitë në krijimin e teksteve shkollore për nxënësit, si në aspektin përmbajtjesor, ashtu edhe në atë teknik, më ishin të njohura tashmë. E kuptoja mirë që këto vështirësi për tekstet shkollore ishin shumë më të mëdha dhe nuk kisha ndonjë dëshirë të veçantë të punoja me tekste shkollore. Prandaj, në përgjigje të letrës së parë të Alexander Danilovich, unë u përgjigja disi në mënyrë evazive dhe shpejt mora një përgjigje të ashpër në një letër të datës 10 maj 1979. Do ta citoj më hollësisht.
“I dashur Alexey Leonidovich!
Me sa duket, nuk e kam shpjeguar qartë se për çfarë e kam fjalën - atë që po ju ofroj.
Ministria më dërgoi dorëshkrimin e një botimi të ri (versioni i ri) i manualit. Ministri më shkroi një ofertë për t'u bërë redaktor shkencor.
Por pasi lexova esenë, arrita në përfundimin se redaktimi i saj ishte një detyrë e kotë dhe e pamundur; ju duhet - dhe kjo është më e lehtë - ta rishkruani përsëri esenë. Kështu që unë dua ta bëj këtë dhe, për më tepër, absolutisht urgjentisht.
Nuk keni nevojë të shpikni ndonjë gjë të veçantë, nuk keni nevojë të ndryshoni programin, etj.
Thjesht duhet të përpiqeni ta ribërni këtë ese në mënyrë që të bëhet më e mirë dhe në mënyrë që të mos përmbajë gabime të dukshme dhe marrëzi.
<...>
Pra, le të themi se erdha në Leningrad në maj-qershor për të punuar së bashku për gjeometrinë: përpiquni të rishkruani manualin për klasat 9-10. Çfarë mendoni për këtë?
Revolucioni i shkollave të mesme është një mizori. Kishte tashmë një. E dyta nuk mund të lejohet në asnjë rrethanë. Revolucioni ose kundërrevolucioni Vinogradovo-Tikhonov mund të jetë edhe më i keq se revolucioni Kolmogorov. Ne nuk duhet t'i lëmë të shkojnë.
Dhe për këtë ju duhet të merrni iniciativën, d.m.th. ne duhet të fillojmë të përmirësojmë gjërat
realisht, pa deklarata transmetimi, pa sharje të panevojshme etj.
I juaji A. Alexandrov"
Dhe ne "u nisëm për të përmirësuar gjërat". I thashë gjeometrit të Leningradit për propozimin e Aleksandër Danilovich. Victor Abramovich Zalgaller tha: “Të shkruash një tekst të ri të gjeometrisë është si të krijosh një makinë të re. Nëse shteti dëshiron ta marrë, atëherë duhet të krijojë një institut të veçantë që do të merret vetëm me këtë tekst shkollor.” Dhe ai shtoi: "Alexandrov do të shkruajë një libër shkollor që është shumë i zgjuar". E mbaj mend shumë shpesh këtë frazë të tij.
Yuri Aleksandrovich Volkov tha këtë: "Biznesi juaj është i keq - Pogorelov ka shkruar tashmë një libër shkollor". Por Yuri Aleksandrovich, ndërsa mundi (ai ishte tashmë i sëmurë për vdekje dhe vdiq dy vjet më vonë), diskutoi me interes opsionet që propozuam për kapitujt e parë të stereometrisë dhe na këshilloi shumë.
Në kapitujt e parë të stereometrisë, ne u morëm, para së gjithash, me figurat, pozicionet e tyre relative dhe ndërtuam ato gjithnjë e më komplekse nga figurat më të thjeshta.
Ndërsa punonte në një kurs në gjeometrinë elementare, A.D. Aleksandrov e krahasoi kuptimin e tij të gjeometrisë me të kuptuarit e Kolmogorov. Pasi u njoh me librin shkollor nga A.N. Kolmogorov, Alexander Danilovich tha: "Nuk ka pothuajse asnjë shifër atje." Ai e filloi tekstin e tij me një tregim për figurat që studion stereometria, ku gjenden në jetën reale dhe rolin e tyre në praktikë.
Vështirësia ishte se ishte e nevojshme të shkruhet një kurs në stereometri që, nga njëra anë, do të ishte i pavarur nga ndërtimet e ndryshme të mundshme të kursit të mëparshëm të planimetrisë, por, nga ana tjetër, do të ishte një vazhdim i çdo kursi të planimetrisë. Kjo u sigurua nga fakti që Alexander Danilovich e përcaktoi avionin si një figurë në hapësirë, në të cilën kryhet planimetria Euklidiane. Por si është ndërtuar planimetria nuk ka rëndësi. E vetmja gjë e rëndësishme është që propozimet e saj të zbatohen.
Ne, natyrisht, nuk mund të shkruanim një libër shkollor mbi stereometrinë brenda një vere, siç supozoi Alexander Danilovich. Vetëm kapitulli mbi pingulitetin dhe paralelizmin në hapësirë ​​u rishkrua disa herë. Dhe më është dashur të shkruaj për konceptin e distancës (i cili luan një rol kaq të rëndësishëm në qasjen e Kolmogorov ndaj gjeometrisë) disa herë. Kështu më ka shkruar Aleksandër Danilovich më 20 prill 1980, d.m.th. saktësisht një vit pas asaj letre të parë për tekstin e stereometrisë.
“I dashur Alexey Leonidovich!
E lexova paragrafin tuaj për distancën dhe qava. Ju tradhtoni kauzën tonë, tërhiqeni dhe dorëzoheni para zuzarëve. Ejani në vete!
Kolmogorov dhe kolegët e tij (fjalën më të fortë në letrën e Aleksandër Danilovich e zëvendësova me fjalën koleg. - A.L.) e kanë mbushur kursin e shkollës me lloj-lloj marrëzish, shkencë, fjalë shkencore etj., etj. Ne duhet të rebelohemi fort kundër kësaj. mbeturinat dhe fshijini vazhdimisht. Ai ngatërrohet me kokën e studentëve! Në vend që të mësojnë gjëra kuptimplota, ata (nxënësit) duhet të mësojnë se distanca nga Moska në Leningrad është e barabartë me distancën nga Leningradi në Moskë, se distanca nga një pikë në vetvete është zero, se objektet e barabarta, identike nuk janë të barabarta, por duhet të quhet kongruent etj., etj., etj., etj., etj.
<Далее А.Д. Александров в письме две страницы анализирует аксиоматику метрического пространства>
Duhet të jemi më afër jetës! Në jetë është e qartë se |AB| > 0 dhe |AB| = |BA|.
E qartë pa formulim të veçantë. Ndaj është e nevojshme që nxënësit të kuptojnë, para së gjithash, se bëhet fjalë për gjëra të përditshme që vetëm po sqarohen.
Përndryshe, rezulton se në jetë "distanca" është një gjë, por në gjeometri është tjetër, në jetë objektet janë të njëjta, por në gjeometri janë kongruente.
Vërejtja juaj për trupa dhe figura identike është e shkëlqyer. E kuptove shkëlqyeshëm këtë. AA juaj."
Nga kjo letër shihet qartë se sa me pasion punonte Alexander Danilovich në librat shkollorë në ato vite. Nuk është pa arsye që në një nga rishikimet e teksteve tona shkollore N.P. Dolbilin shkroi se A.D. Alexandrov flet me frymëzim për gjeometrinë.
Pasioni i Aleksandër Danilovich për gjeometrinë mund të ndihet qartë në Parathënien dhe hyrjen e librit tonë të parë shkollor që ai shkroi.
.
Këtu janë dy paragrafë nga Parathënia e librit shkollor.
“Thelbi i gjeometrisë është kombinimi organik i paraqitjeve hapësinore me logjikën e rreptë, në të cilën ato depërtojnë dhe organizojnë reciprokisht njëra-tjetrën. Dhe meqenëse gjithçka që ekziston është në hapësirë, gjeometria, si teoria e formave dhe marrëdhënieve hapësinore, ka një rëndësi universale.
Ne jemi të rrethuar nga mishërimet e tij reale, ajo qëndron në themel të gjithë teknologjisë, duke u shfaqur kudo që kërkohet saktësia më e vogël në përcaktimin e formave dhe madhësive. Gjeometria nuk ekziston pa këto lidhje - marrë "në vetvete", nuk do të jetë ajo që është në të vërtetë.
Prandaj, veçoria e parë e tekstit të propozuar është se ai i kushton shumë më tepër vëmendje sesa i bëhet zakonisht lidhjes së koncepteve të prezantuara dhe teoremave të vërtetuara me gjërat reale, nga jeta e përditshme te teknologjia dhe ligjet e fizikës.
Dhe këtu është një fragment nga Hyrja e librit shkollor.
“Origjinaliteti i gjeometrisë, që e dallon atë nga degët e tjera të matematikës, dhe nga të gjitha shkencat në përgjithësi, qëndron në kombinimin e pandashëm organik të imagjinatës së gjallë me logjikën strikte. Gjeometria në thelbin e saj është imagjinatë hapësinore, e përshkuar dhe e organizuar nga strikt
logjikës.
Në çdo fjali vërtet gjeometrike, qoftë aksiomë, teoremë apo përkufizim, këto dy elemente të gjeometrisë janë të pranishme në mënyrë të pandashme:
një pasqyrë e qartë dhe formulim i rreptë, një përfundim i rreptë logjik. Aty ku nuk ka asnjë nga këto dy anë, nuk ka gjeometri të vërtetë.
Vizualizimi dhe imagjinata i përkasin më shumë artit, logjika strikte është privilegj i shkencës. Thatësia e një përfundimi të saktë dhe gjallëria e një pamje vizuale - "akulli dhe zjarri nuk janë aq të ndryshëm nga njëri-tjetri". Pra, gjeometria kombinon këto dy të kundërta. Kështu duhet studiuar: ndërthurja e imagjinatës së gjallë me logjikën, fotografitë vizuale me formulime dhe prova strikte.”
Alexey Vasilyevich Pogorelov, pasi lexoi Hyrjen në librin shkollor, tha: "Alexander Danilovich, unë e di se si mund të shkruash!" Por në përgjithësi ai tha: "Por ky është një libër shkollor". Sipas pikëpamjeve të A.V. Pogorelov, një tekst shkollor i gjeometrisë duhet të jetë vetëm i shkurtër dhe logjik.
Alexander Danilovich i quajti kapitujt e parë të stereometrisë "gjeometri strukturore". Ata flasin për pozicionin relativ të drejtëzave dhe planeve në hapësirë, për marrëdhëniet e pingulitetit dhe paralelizmit të drejtëzave dhe rrafsheve. Në këtë rast, pinguliteti studiohet para paralelizmit, dhe më e rëndësishmja nga marrëdhëniet e pingulitetit është marrëdhënia midis pingulitetit të një drejtëze dhe një rrafshi. Kështu, duke kaluar nga gjeometria "e pastër" në "gjërat reale", Alexander Danilovich shkruan për kuptimin e pingules:
“Pendikularja me rrafshin luan një rol shumë të rëndësishëm, përveç faktit se është më e shkurtra ndër të gjitha segmentet nga një pikë e caktuar në pikat e rrafshit. Le të shpjegojmë më tej kuptimin e saj. Pozicioni i rrafshit në hapësirë ​​mund të përcaktohet duke treguar një drejtëz pingul me të dhe pikën në të cilën ai e pret këtë vijë.
Vetia më e rëndësishme e një pingule është se rrafshi ndodhet në mënyrë simetrike në lidhje me të. Çfarë do të thotë? Të gjitha rrezet që shtrihen në një plan të caktuar formojnë kënde të barabarta me të - kënde të drejta, por për një plan të pjerrët nuk është kështu. Kur rrotullohet rreth një pingule, aeroplani përputhet me vetveten: rrota duhet të montohet në bosht në mënyrë që rrafshi i saj të jetë pingul me boshtin. Një drejtkëndësh me një anë pingul me një plan mund të rrotullohet rreth asaj ane, dhe ana tjetër do të rrëshqasë përgjatë planit. Kjo është qartë e dukshme në një derë të varur siç duhet. Nëse skaji i saj nuk është vertikal, dera nuk hapet lirshëm dhe prek dyshemenë.
Duke marrë shembuj nga fizika, mund të vërehet se presioni i një lëngu ose gazi në murin e një ene është i drejtuar pingul me murin, ashtu si presioni i një ngarkese mbi një mbështetëse drejtohet pingul me të.
pingulja me sipërfaqen shfaqet në ligjet e reflektimit dhe thyerjes së dritës. Kështu, ligji i reflektimit thotë: "Rrezja rënëse dhe rrezja e reflektuar janë të vendosura në të njëjtin rrafsh me pingul me sipërfaqen e pasqyrës në pikën e rënies dhe formojnë kënde të barabarta me të".
Por kuptimi kryesor i pingules është roli i saj në teknologji dhe në të gjithë jetën tonë. Ne jemi, mund të thuhet, të rrethuar nga pingul: këmbët e tryezës janë pingul me dyshemenë, skaji i kabinetit është pingul me murin, etj. Vertikali është pingul me rrafshin horizontal. Perpendikulariteti luan një rol të madh në ndërtim: tavanet e dyshemesë janë vendosur pingul me shtyllat e kornizës së ndërtesës. Paralelizmi i planeve shoqërohet me praninë e pingulave të përbashkëta. Perpendikulariteti dhe paralelizmi i drejtëzave dhe planeve janë një element thelbësor në ndërtim, kështu që doktrina e pinguleve dhe paraleleve mund të quhet bazat e gjeometrisë së ndërtimit.
Nga madhësitë gjeometrike, kryesore në kurs është distanca. Theksohet se figurat paralele janë figura që lëvizin në një distancë konstante nga njëra-tjetra (gjë që vërtetohet në praktikë). Dhe ja se si koncepti i distancës bëri të mundur thjeshtimin e vërtetimit të teoremës rreth tre pingulave: një vijë e prirur ndaj një rrafshi është pingul me një vijë të drejtë që shtrihet në këtë plan nëse dhe vetëm nëse projeksioni i vijës së pjerrët është pingul me këtë vijë të drejtë.
Dëshmi. Le të jetë AC e prirur nga një rrafsh, projeksioni i tij BC në këtë rrafsh, dhe një drejtëz a e shtrirë në rrafsh dhe që kalon nga pika C. Teorema përmban dy pohime: 1) nëse AC ⊥ a, atëherë BC ⊥ a; 2) nëse BC ⊥ a, atëherë AC ⊥ a. Le t'i vërtetojmë ato.
Le të marrim një pikë të ndryshueshme X të një drejtëze a dhe të marrim dy sasi AX2 dhe BX2. Trekëndëshi ABX është një trekëndësh kënddrejtë. Prandaj AX2 = AB2 + BX2.
Kjo do të thotë se sasitë AX2 dhe BX2 ndryshojnë nga një term konstant. Prandaj, këto sasi marrin vlerat e tyre minimale njëkohësisht - në të njëjtën pikë. Të dy pohimet e teoremës rrjedhin nga kjo.
Kursi i stereometrisë është bërë më modern: është shfaqur koncepti i një plani referimi, konsiderohen kone dhe cilindra me baza arbitrare (dhe jo vetëm kone dhe cilindra të rrotullimit), falë kësaj qasjeje, një piramidë është një kon me një bazë poligonale. , dhe një prizëm është një cilindër me bazë shumëkëndëshe, formula për vëllimet e piramidave dhe prizmave, këto janë raste të veçanta të formulave të përgjithshme për vëllimet e konëve dhe cilindrave. Gjatë nxjerrjes së formulave për vëllimet e trupave, përdoret koncepti i derivatit.
Kur çështja e materialit problemor u ngrit në fund të verës, unë prezantova Alexander Danilovich me një nga mësuesit e famshëm të Leningradit, Valery Idelyevich Ryzhik. V.I. Ryzhik u diplomua në Fakultetin e Matematikës të Institutit Pedagogjik Shtetëror të Leningradit me emrin. A.I. Herzen tre vjet më vonë se unë dhe më pas punoi në shkollën matematikore 239. Njohja u zhvillua në hotelin e Institutit Herzen, ku në ato vite Alexander Danilovich jetonte shpesh si mysafir i rektorit të Institutit Pedagogjik Shtetëror të Leningradit Alexander Dmitrievich Boborykin. Kështu u bashkua ekipi ynë i autorëve: A.D. Alexandrov, A.L. Werner, V.I. Ryzhik.
Pasi u njoh me teorinë e tekstit shkollor dhe duke ditur situatën me kursin e gjeometrisë në shkollë në ato vite, V.I. Ryzhik i tha Alexander Danilovich se mësuesit kishin harruar se çfarë është gjeometria - gjeometria e vërtetë që do të shfaqet në faqet e librit shkollor të Alexandrov. Prandaj, duhet të shkruajmë një artikull për gjeometrinë për revistën "Matematika në shkollë". Ky artikull "Mbi gjeometrinë", i cili ndikoi ndjeshëm në edukimin gjeometrik në shkollë, u shfaq në mesin e viteve 1980 edhe para botimit të librit shkollor të stereometrisë.
Puna në tekstin e stereometrisë zgjati gjatë gjithë viteve 1980. Ishte intensive.
Kështu, për shembull, Alexander Danilovich i shkroi V.I. Ryzhik nga Novosibirsk për librin shkollor më 22 dhe 31 gusht, 1, 2, 3 dhe 4 shtator. Ne e dorëzuam tekstin në shtëpinë botuese Prosveshchenie në dhjetor 1980. Tashmë në verën e këtij viti, u bë e qartë se pritja për të filluar eksperimentin derisa libri shkollor të dalë në shtyp do të thoshte të humbisje edhe një vit ose dy. Një zgjidhje u gjet në faktin se në Institutin e Matematikës në Novosibirsk, Alexander Danilovich botoi katër printime paraprake në 1980-81, të cilat mbulonin përmbajtjen kryesore të librit shkollor për klasën e 9-të. Aty u botua edhe material problematik në numra të vegjël. Bazuar në këto paraprintime dhe detyra, mësuesit entuziastë filluan një eksperiment në disa shkolla të Leningradit në vitin 1980: Larisa Petrovna Evstafieva në shkollën 210, Aron Iosifovich Rzhavinsky në shkollën 159, Anatoli Arsenievich Okunev në shkollën 526.
Unë i kam punuar në shkollën 239 dhe V.I. Ryzhik dhe Grisha Perelman studiuan në një nga klasat e tij duke përdorur këto printime paraprake të gjeometrisë. Kur në ato vite e qortova Ryzhik për faktin se detyrat e tij ishin të vështira, ai më tha: "Dhe Grisha Perelman është ulur në klasën time. Më duhet ta mbaj kokën e zënë me diçka.” Por, natyrisht, ndër detyrat e V.I. Ryzhika dhe ato të thjeshta, të realizueshme për studentët e thjeshtë. Gjithmonë kishte shumë detyra.
Dy tekstet e para u kombinuan në një formë të shkurtuar në një libër shkollor, "Geometria, 9–10", i cili u botua në 1983.

3. Kursi i planimetrisë i ndërtuar nga A.D. Aleksandrov

Pasi përfundoi faza e parë e punës në librin shkollor mbi stereometrinë, u bë e qartë për Alexander Danilovich se tani ishte e nevojshme të shkruante një kurs mbi planimetrinë në mënyrë që të shfaqej gjeometria elementare "sipas Alexandrov". Për dy vjet (nga 1981 deri në 1983) ai punoi në kursin e planimetrisë, të cilin e botoi në shtypje paraprake. Këto printime paraprake formuan bazën për tekstet tona shkollore Gjeometria 6, Gjeometria 7 dhe Gjeometria 8. Më pas, të tre tekstet e planimetrisë u plotësuan nga një libër tjetër, sërish i rishikuar, i stereometrisë “Geometria, 9–10” (1987, ). Kështu, për shkollat ​​e mesme u shfaq një kurs i plotë i gjeometrisë fillore "sipas Aleksandrov".
Ndërsa punonte në një kurs planimetri për shkollën, Alexander Danilovich shkroi njëkohësisht librin "Bazat e gjeometrisë" (Moskë: "Nauka", 1987), i cili, siç shkroi ai në hyrje të këtij libri, "i drejtohet jo vetëm në përgjithësi. ata që janë të interesuar për gjeometrinë e themeleve, por veçanërisht për ata që janë të interesuar profesionalisht për t'i kuptuar ato - për mësuesit e tanishëm dhe të ardhshëm, studentët e universiteteve dhe instituteve pedagogjike."
"Themelet e gjeometrisë" fillon me një histori për origjinën praktike të gjeometrisë, për ato probleme praktike, zgjidhja e të cilave çoi në shfaqjen e gjeometrisë si shkencë. Kapitulli 1 quhet "Bazat praktike të gjeometrisë". Kjo dëshirë për të shkuar nga praktika e shtyu Alexander Danilovich të zgjidhte një segment si objektin kryesor, dhe jo një vijë të drejtë, siç është zakon në kurset e tjera të gjeometrisë shkollore. Rrezi dhe vija e drejtë A.D. Aleksandrov e përkufizon atë si shtrirje të pakufizuara të një segmenti në një ose të dy drejtimet.
Për të njëjtën arsye, në kurs, aksioma tradicionale e paralelizmit zëvendësohet nga aksioma e një drejtkëndëshi, e cila postulon mundësinë e ndërtimit të një drejtkëndëshi, brinjët e të cilit janë të barabarta me segmentet e dhëna (mundësia e një ndërtimi të tillë konfirmohet çdo ditë nga praktika). .
Ndër marrëdhëniet kryesore është marrëdhënia e barazisë së segmenteve, e cila bën të mundur futjen e matjes së segmenteve. Alexander Danilovich përcakton barazinë e këndeve, si dhe barazinë e figurave të tjera, përmes barazisë së segmenteve. Për shembull, ai i quan trekëndëshat të barabartë nëse brinjët e tyre janë përkatësisht të barabarta. Kështu, eliminohet vërtetimi i vështirë i kriterit të tretë tradicional për barazinë e trekëndëshave. Dhe aksiomat e A.D. Aleksandrov formuloi në atë mënyrë që dy kriteret e tjera për barazinë e trekëndëshave të bëhen pasoja të thjeshta të tyre. Për temat fillestare të lëndës së planimetrisë në shkollë, ky është një lehtësim shumë i rëndësishëm. Në fund të fundit, nuk është për asgjë që ekziston një anekdotë për një mësues të gjeometrisë, i cili fillimisht vizatoi dy trekëndësha të barabartë në dërrasën e zezë, dhe më pas kaloi të gjithë mësimin duke vërtetuar se ata janë të barabartë.
Cilat prova Alexander Danilovich i konsideronte veçanërisht të rëndësishme në kursin shkollor tregohen nga vërejtja e tij, të cilën ai e bëri, duke cituar provën e famshme të teoremës së Pitagorës:
“Teorema e Pitagorës është gjithashtu e jashtëzakonshme sepse në vetvete nuk është aspak e dukshme. Nëse, për shembull, shikoni nga afër një trekëndësh dykëndësh me një mesatare të tërhequr, atëherë të gjitha vetitë e tij të treguara në teoremën rreth tij mund të shihen drejtpërdrejt. Por, sado që të shikoni një trekëndësh kënddrejtë, nuk do të shihni kurrë se ekziston një marrëdhënie kaq e thjeshtë midis anëve të tij:
a 2 + b 2 = c 2 .
Kjo është ajo që përbëhet nga stili më i mirë matematikor: përmes një konstruksioni, pajisjeje ose konsiderate gjeniale, për të bërë të dukshme të padukshmen.
Teorema e Pitagorës - teorema më e rëndësishme e planimetrisë - shfaqet herët në kursin e Aleksandrovit, për faktin se menjëherë pas teoremave të para mbi trekëndëshat në këtë kurs (si Euklidi) ka një matje të sipërfaqeve të figurave poligonale. Koncepti i zonës ju lejon të prezantoni saktë sinusin dhe kosinusin dhe të provoni teoremën e sinusit dhe teoremën e kosinusit (të cilën Alexander Danilovich e quan "teorema e përgjithësuar e Pitagorës" - GTP).
Më pas studiojmë trekëndësha të ngjashëm, të cilët përkufizohen si trekëndësha brinjët e të cilëve janë proporcionale. Të gjitha teoremat mbi ngjashmërinë e trekëndëshave u bënë pasoja të thjeshta të teoremës së sinusit dhe OTP.
Në përgjithësi, kursi i planimetrisë nga Alexander Danilovich është i strukturuar në atë mënyrë që ka pak teorema mbështetëse në të, siç është, për shembull, teorema mbi shumën e këndeve të një trekëndëshi, teorema e Pitagorës, teorema e sinuseve. , OTP dhe pjesa tjetër e rezultateve prej tyre janë marrë si pasoja mjaft të thjeshta. Kjo bën të mundur minimizimin e linjës kryesore të teorisë duke ruajtur deduktivitetin e saj.
Gjeometria elementare "sipas Aleksandrov" u prezantua prej tij edhe në librin shkollor "Gjeometria", shkruar në bashkëpunim me Nikita Yuryevich Netsvetaev (M.: "Nauka", 1990) për universitete dhe universitete pedagogjike. Kështu, tekstet shkollore të shkruara nga Aleksandrov doli të mbështeteshin nga libra të shkruar prej tij për mësuesit e ardhshëm.
Alexander Danilovich bëri shumë për edukimin gjeometrik të shkollës. Lënda që ai krijoi në gjeometrinë elementare është më e thjeshtë dhe më moderne se kurset e tjera të ngjashme. Idetë e tij të thella pedagogjike nuk pranohen menjëherë nga shumë mësues të mësuar me një stil tjetër të mësimdhënies së gjeometrisë. Por, duke i kuptuar ato, mësuesit bëhen adhurues të vendosur të ideve të tij. Shpresoj që në vitet e ardhshme shumica e mësuesve në shkollat ​​ruse do të fillojnë të mësojnë gjeometri "sipas Alexandrov", dhe një studim i tillë i gjeometrisë do t'u sjellë gëzim si atyre ashtu edhe studentëve të tyre. Kjo është pikërisht ajo që dëshironte Alexander Danilovich kur filloi të punonte në tekstet shkollore të gjeometrisë në 1979. Dhe tani, pasi u shfaqën tekstet shkollore të Aleksandrov, vështirë se është e mundur të shkruash tekste të mërzitshme dhe të thata të gjeometrisë për shkollën.

4. Periudha pas Kolmogorovit: konkursi ndërmjet teksteve të gjeometrisë

Me urdhër të Ministrit të Arsimit të BRSS në 1982, tekstet shkollore të gjeometrisë nga A.N. Kolmogorov dhe Z.A. Skopetsa u zëvendësuan nga teksti shkollor i gjeometrisë së A.V. Pogorelova. Revolucioni (apo kundërrevolucioni) “Vinogradovo-Tikhonov” në gjeometrinë shkollore ka ndodhur! Kthesa ishte e mprehtë. Shumë mësues që kaluan dhjetë vjet duke luftuar për të zotëruar tekstin shkollor të A.N. Kolmogorov, duhej të mësonte përsëri. Në vjeshtën e vitit 1982 në Novosibirsk, ku atëherë jetonte A.D. Alexandrov, pati një konferencë gjeometrike përvjetor kushtuar 70 vjetorit të A.D. Aleksandrova. Erdhën gjeometritë dhe erdhi edhe Alexey Vasilyevich. Atij iu kërkua të fliste me mësuesit. Dëgjova fjalimin e Alexey Vasilyevich. Mësuesit tashmë kanë nisur punën sipas tekstit shkollor të A.V. Pogorelov dhe i bëri shumë pyetje të theksuara: "Pse fundet e segmentit nuk i përkasin atij?", "Pse nuk mund të përdorim simbolikë të përshtatshme?", "Pse studentët tani duhet të shkruajnë kaq shumë?" etj. Pastaj, pas leksionit, Alexey Vasilyevich ishte shumë i mërzitur.
A.V. Pogorelov përshkroi pikëpamjen e tij për kursin e gjeometrisë në shkollë në librin "Gjeometria Elementare". Në Parathënien e Mësuesit të këtij libri ai shkruan:
“Me ofrimin e këtij kursi, ne dolëm nga fakti se detyra kryesore e mësimit të gjeometrisë në shkollë është t'i mësojë studentët të arsyetojnë logjikisht, të japin arsyet për deklaratat e tyre dhe t'i vërtetojnë ato. Shumë pak nga ata që mbarojnë shkollën do të jenë matematikanë, aq më pak gjeometër. Do të ketë gjithashtu nga ata që nuk do ta përdorin kurrë teoremën e Pitagorës në aktivitetet e tyre praktike.
Megjithatë, nuk ka gjasa që të ketë të paktën një që nuk duhet të arsyetojë, analizojë dhe provojë.
E gjithë përvoja shekullore e mësimdhënies së gjeometrisë elementare që nga koha e Euklidit dëshmon racionalitetin e sistemit tradicional. Përmirësimi i saj, i lidhur me zhvillimin e përgjithshëm të shkencës, na duket se nuk duhet të shqetësojë themelet e saj të arsyeshme dhe të menduara thellë. Prandaj, kursi i propozuar, në thelb tradicional, ndryshon vetëm në një prezantim më të rreptë të temës dhe njëfarë rivlerësimi të rëndësisë së pjesëve të tij individuale.
Lënda e propozuar e gjeometrisë bazohet në një sistem shumë të vogël faktesh gjeometrike që janë të njohura për nxënësit dhe të përforcuara në klasat fillore të shkollës. Ky sistem i propozimeve fillestare, i quajtur më vonë aksioma, u izolua si rezultat i një analize të plotë të lëndës së gjeometrisë shkollore, duke marrë parasysh elementët e provave tradicionale.

Para tekstit shkollor, libri i A.V. Pogorelov e përfundoi atë me ndihmën e laboratorit të matematikës të Institutit Kërkimor të Përmbajtjes dhe Metodave të Mësimdhënies (C&MT) të deputetit të BRSS. Viktor Vasilyevich Firsov, i cili në atë kohë ishte në krye të këtij laboratori, më tha se sa e vështirë ishte për ta të bindin Alexey Vasilyevich të ndryshonte diçka, për ta bërë atë më të aksesueshëm për nxënësit e shkollës. Libër mësuesi nga A.V. Pogorelov u mbështet nga Instituti Matematikor Steklov dhe deputeti i BRSS. Kjo përmbledhje e tekstit u krijua për metoda riprodhuese, d.m.th. vetëm për të ngjeshur. Duke folur në të njëjtën kohë në Takimin Gjithë Bashkimi të Matematikanëve të Universiteteve Pedagogjike në Kharkov, A.V. Pogorelov foli për punën nga libri i tij shkollor si ky: "Lëreni të mësojë së pari! Atëherë ai do ta kuptojë!” Përveç tekstit shkollor nga A.V. Pogorelov nuk mund të ofronte ndonjë tekst tjetër shkollor nga Instituti Matematikor Steklov.
Siç ndodh zakonisht, midis revolucionarëve fitimtarë lindën mosmarrëveshje. Andrei Nikolaevich Tikhonov dhe deputeti i RSFSR krijuan ekipe autorësh për të përditësuar të gjitha tekstet shkollore të matematikës. Së pari, gjeometria në projekt nga A.N. Tikhonov u shkrua nga Levon Sergeevich Atanasyan dhe Eduard Genrikhovich Poznyak, dhe më pas ekipi i tyre i autorëve u plotësua nga Valentin Fedorovich Butuzov, Sergei Borisovich Kadomtsev dhe Irina Igorevna Yudina.
Projekti A.N. Tikhonov gëzoi mbështetjen e Institutit Kërkimor të Shkollave të MP RSFSR.
Unë kam pasur gjithmonë një marrëdhënie të mirë me ekipin Atanasyan-Poznyak:
diskutuam planet tona dhe shkëmbyem tekstet e botuara. Eduard Genrikhovich më tha: "Ne duam të shkruajmë një tekst të thjeshtë gjeometrie në frymën e Kiselev." Versionet e para të këtyre teksteve u kritikuan ashpër (përfshirë Alexander Danilovich), por ekipi i L.S. Atanasyan e përmirësoi tekstin e tij shkollor dhe tani tekstet shkollore janë tekstet më të njohura në shkollë.
Një eksperiment i gjerë në Leningrad filloi në 1981, kur u botua libri ynë i parë, "Parimet e Stereometrisë, 9": një nga rrethet më të mëdha të Leningradit, Kalininsky, filloi të përdorte këtë libër shkollor.
Në këtë kohë në Leningrad, gjysma e rretheve të mbetura studionin sipas librit shkollor të A.V. Pogorelov, dhe gjysma tjetër - sipas librit shkollor të L.S. Atanasyan dhe kolegët e tij. Pra, në Leningrad tashmë në atë kohë ekzistonin në të vërtetë tre tekste alternative të gjeometrisë.
Tekstet e provës u botuan më pas në serinë “Biblioteka e mësuesve të matematikës”, e cila më pas botoi të gjitha tekstet e reja të matematikës.
Në kohën kur Alexander Danilovich po punonte në kursin e planimetrisë, V.I dhe unë. Në verën e vitit 1982, Ryzhik punoi intensivisht në një libër shkollor mbi stereometrinë për klasa me studim të thelluar të matematikës. Urdhri për krijimin e një teksti të tillë erdhi nga Margarita Romanovna Leontyeva, e cila në atë kohë drejtonte sektorin e teksteve shkollore të shkencave natyrore në deputetin e BRSS. Ai bazohej në tekste shkollore, por përmbajtja e tij u zgjerua ndjeshëm në krahasim me këto tekste. Botimi i parë i tekstit të stereometrisë për fizikë dhe matematikë. Klasat u shfaqën në 1984. Tabela e përmbajtjes së këtij teksti u bë planprogrami ministror për klasa të tilla.

5. Konkurs Mbështetësor i teksteve të gjeometrisë

Nga mesi i viteve '80, konkurrentët kryesorë në arenën e teksteve shkollore të gjeometrisë në BRSS kishin botuar tashmë konceptet e tyre për këtë problem, kishin mundësinë të botonin tekstet e tyre disa herë dhe t'i linin mësuesit dhe studentët të punonin mbi to në shkolla. Është koha për të zhvilluar një konkurs për këto tekste shkollore. Në vitin 1986, Ministria e Arsimit e BRSS shpalli konkurse për tekstet e matematikës për shkollat ​​e mesme: 1) “Matematika, 5–6”; 2) “Algjebra, 7–9”; 3) “Algjebra dhe fillimet e analizës, 10–11”; 4) “Gjeometria, 7–9”; 5) "Gjeometria, 10–11".
Alexander Danilovich nuk kishte ndonjë dëshirë të veçantë për të marrë pjesë në konkurs, por prapë pranoi, duke humbur ndaj minave dhe V.I. Argumentet e Ryzhik. Rezultatet e konkursit për ne në tërësi mund të konsiderohen të kënaqshme. Dy vendet e para u pretenduan pa kushte nga teksti shkollor i A.V. Pogorelov, i cili gëzonte mbështetjen e deputetit të BRSS, Departamentit të Matematikës së Akademisë së Shkencave të BRSS dhe Presidiumit të Akademisë së Shkencave Pedagogjike të BRSS, si dhe tekstin shkollor të L.S. Atanasyan dhe kolegët e tij, i cili u mbështet nga deputeti i RSFSR. Si rezultat i konkursit, libri shkollor nga L.S. Atanasyan dhe kolegët e tij, dhe libri shkollor nga A.V. Pogorelova mbeti e dyta. Teksti ynë i planimetrisë zuri vendin e tretë (përpara teksteve shkollore të A.N. Kolmogorov, V.G. Boltyansky dhe autorëve të tjerë të famshëm), dhe teksti shkollor i stereometrisë zuri vendin e katërt, duke e lënë tekstin shkollor të V.G. në vendin e tretë. Bevz dhe kolegët e tij (që ishte e papritur për ne).
Kushtet e garave ishin të vështira. Një vit u nda për përgatitjen e dorëshkrimit të tekstit shkollor, dorëshkrimi iu dorëzua deputetit të BRSS nën moton, dhe informacioni për autorët konkurrues u tregua në një zarf të mbyllur. Dorëshkrimi duhet të jetë i përshtatshëm për botim me rrotullim, vëllimet e tij tregoheshin (për gjeometrinë 7–9 - 20 fletë të shtypura, dhe për gjeometrinë 10–11 - 16 fletë të shtypura), përmbajtja duhej të korrespondonte me programet ministrore.
Dorëshkrimet e pranuara në MP BRSS u koduan, u shtypën me rrotullim në botime mjaft të mëdha dhe u dërguan për shqyrtim në organizata të ndryshme: institute kërkimore, institucione arsimore, institute të trajnimit të mësuesve, metodologë, mësues. Një vit më vonë, Komisioni i Konkurrencës mori mbi tetëqind raporte ekzaminimi dhe Komisioni i Konkurrencës filloi t'i analizonte ato.
Natyrisht, në konkurs morën pjesë edhe autorë të panjohur për recensentët dhe anëtarët e Komisionit të Konkursit, por për të “fshehur nën kode” tekstet tashmë të njohura (dhe aq individuale) të A.V. Pogorelova, A.N. Kolmogorov dhe bashkautorët e tij, L.S. Atanasyan dhe bashkautorët e tij, A.D. Alexandrov dhe bashkëautorët e tij ishte e pamundur.
Atë vit, në Vilnius u mbajt një mbledhje e komisionit për gjeometrinë e deputetit të BRSS. Pronari ishte gjeometri i famshëm lituanez - Profesor Vaclovas Iono Bliznikas. Ndër anëtarët e komisionit ishin L.S. Atanasyan dhe unë. Dhe tek ne V.I. Bliznikas tha: “Lituania do të jetë për Atanasyan. Teksti i tyre shkollor është më i përshtatshëm për fermat lituaneze.” Ishte e qartë se tekstet shkollore të A.V Pogorelova dhe L.S. A janë Atanasyan dhe bashkëautorët e tij përtej konkurrencës (si në aspektin e përsosjes ashtu edhe të "rezervës administrative")? dhe do të zënë dy vendet e para. Është interesant fakti që gjatë shpalljes së rezultateve të konkursit, Komisioni i Konkurrencës raportoi:
“Gjatë diskutimit të dorëshkrimeve nga komisioni i konkursit, u zbulua një ndryshim
në pikëpamjet e anëtarëve të saj për tekstin e gjeometrisë për shkollën e mesme: niveli i pranueshëm i rigorozitetit në paraqitjen e materialit, vendi i metodës aksiomatike në kursin shkollor, gjuha dhe prezantimi, etj. Kjo u reflektua në votim, kur numri i votave të dhëna për tekstet që zinin vendin e parë dhe të dytë ndryshonte pak” (MSh. 1988. Nr. 5. fq. 48–50).
Në konkursin “Gjeometria, 7–9” u dorëzuan 22 dorëshkrime dhe në konkursin “Gjeometria, 10–11” 7 dorëshkrime.
Vendet e para në të dy konkurset ("Gjeometria, 7-9" dhe "Gjeometria, 10-11") u morën nga dorëshkrimet e teksteve shkollore nga L.S. Atanasyan dhe kolegët e tij. Komiteti i konkursit u dha atyre karakteristikat e mëposhtme: "Dorëshkrimet dallohen nga aksesueshmëria e prezantimit të tyre, fokusi i tyre në studimin e pavarur të materialit nga studentët dhe orientimi i tyre i qartë praktik."
Vendin e dytë në konkursin "Gjeometria, 7–9" e zuri teksti shkollor nga A.V. Pogorelov, dhe në konkursin "Gjeometria, 10–11" libri shkollor nga A.V. Pogorelova ndau vendet e dyta dhe të treta me dorëshkrimin e autorëve të Kievit G.P. Bevza, V.G. Bevza, N.G. Vladimirova (këta ishin autorë të rinj).
Dorëshkrime të teksteve shkollore nga A.V. Komiteti i Konkurrencës e karakterizoi Pogorelovin si më poshtë: "Dorëshkrimet e teksteve shkollore karakterizohen nga një nivel i lartë rigoroziteti në prezantimin e materialit teorik, shkurtësia dhe saktësia e gjuhës dhe ndërtimi i kursit mbi baza aksiomatike".
Dorëshkrimi i tekstit “Gjeometria, 7–9” nga A.D. Alexandrova, A.L. Werner dhe V.I. Ryzhika zuri vendin e tretë. Ky dorëshkrim u përshkrua si më poshtë: "Dalohet nga prezantimi jokonvencional i një sërë çështjesh, gjallëria dhe argëtimi i gjuhës dhe fokusi i sistemit të ushtrimeve në zhvillimin e studentëve".
Dorëshkrimet e listuara të teksteve shkollore u shpërblyen dhe u pranuan për botim nga shtëpia botuese Prosveshchenie.
Në konkursin "Gjeometria, 7–9" libri shkollor nga V.G. Boltyansky, G.D. Glazer dhe L.M. Pashkova, dhe vendi i pestë - teksti shkollor nga A.N. Kolmogorova, A.F. Semenovich dhe R.S. Çerkasova.
Në konkursin “Gjeometria, 10–11” teksti shkollor nga A.D. zuri vendin e katërt. Alexandrova, A.L. Werner dhe V.I. Ryzhik, dhe vendi i pestë - libri shkollor nga V.G. Boltyansky, G.D. Glazer dhe L.M. Pashkova.
Mund të konsiderohet se konkursi përmblodhi rezultatet e dekadave të reformave të Kolmogorov dhe kritikat e tyre: gjeometria shkollore në Rusi u kthye në rrugën tradicionale, Euklidiane.
Nëse vlerësojmë rezultatet e këtij konkursi midis teksteve shkollore të gjeometrisë, atëherë mund të themi se ai dukej se "legjitimonte" situatën që ishte krijuar tashmë midis teksteve ekzistuese deri në atë kohë:
1) ishte më e lehtë për mësuesit të punonin duke përdorur tekstin shkollor të L.S. Atanasyan dhe bashkautorët e tij, të cilët zunë vendin e parë në konkurs dhe që u mbështet aktivisht nga Ministria Ruse e Arsimit;
2) shumë mësues tashmë janë përshtatur me përmbledhjen e teksteve shkollore të A.V. Pogorelov, i prezantuar në 1982 me urdhër të deputetit të BRSS, por në konkurs zuri vendin e dytë pas tekstit shkollor nga L.S. Atanasyan;
3) tifozët e teksteve shkollore të A.D. u shfaqën midis mësuesve. Alexandrov (i cili zuri vendin e tretë në konkurs), kryesisht midis mësuesve që punonin në klasa me studim të thelluar të matematikës.

6. Tekstet e gjeneratës së re të Aleksandrit

Që nga mesi i viteve tetëdhjetë janë shfaqur shkollat ​​në të cilat filluan të kryheshin studime të thelluara të lëndëve individuale jo vetëm në dy klasat e larta, por edhe duke filluar nga klasa e 8-të. Për këto klasa kemi shkruar një tekst mësimor "Gjeometria, 8–9". Së bashku me tekstin "Gjeometria, 10-11", ai përpiloi një kurs të plotë të gjeometrisë elementare për klasat fizike dhe matematikore. Dhe tani përmirësimi i këtij kursi të thelluar vazhdon: tekste të reja tashmë janë botuar.
Alexander Danilovich shkroi në artikullin e tij "Për gjeometrinë" se tekstet shkollore duhet të përmbajnë materiale me nivele të ndryshme kompleksiteti, të dizajnuara për studentë me interesa dhe aftësi të ndryshme, dhe se kursi i planimetrisë duhet të plotësohet me elemente të stereometrisë.
Janë këto probleme që zgjidhen në një cikël tjetër të teksteve tona shkollore.
Këto tekste janë shkruar tashmë në vitet nëntëdhjetë. Ato janë të destinuara për mësim të diferencuar të gjeometrisë dhe përmbajtja e tyre është e ndarë në tre nivele: në atë humanitar (arsimi i përgjithshëm), duke zgjeruar nivelin e tij të aplikuar dhe në thellimin e nivelit të përgjithshëm arsimor - nivelin logjik (problematik).
Falë faktit se Alexander Danilovich thjeshtoi dhe minimizoi dukshëm planimetrinë elementare, këto tekste paraqesin material mjaft të gjerë stereometrik në nivel vizual, i cili paraqitet paralelisht me material të ngjashëm planimetrik. Kështu, cikli i këtyre teksteve fillon një gjeneratë e re e teksteve të gjeometrisë për shkollat ​​fillore, në të cilat një prezantim sistematik i planimetrisë do të kombinohet me elemente të stereometrisë të paraqitura në nivel vizual. Është në këtë drejtim që arsimi gjeometrik në Rusi po lëviz tani. Në fund të viteve '90 të shekullit të kaluar, Alexander Danilovich nuk punonte më në tekstet shkollore për arsye shëndetësore. Pa të, por në bazë të ideve të tij, u shkrua një seri tjetër tekstesh, në të cilat planimetria “sipas Aleksandrovit” kombinohet me paraqitjen e elementeve të stereometrisë në nivel vizual dhe intuitiv. Këto tekste u bënë fitues në konkursin e teksteve të gjeneratës së re të mbajtur nga Ministria e Arsimit e Federatës Ruse dhe Fondacioni Kombëtar i Trajnimit të Personelit.
Shfaqja e standardeve arsimore në fillim të shekullit të 21-të kërkonte modifikimin e teksteve shkollore të Aleksandrit. Pas një rishikimi të tillë, ato u botuan nga shtëpia botuese "Prosveshcheniye" në serinë "Libri i Shkollës Akademike", i themeluar në vitin 2005 nga Akademia Ruse e Shkencave, Akademia Ruse e Arsimit dhe shtëpia botuese Prosveshcheniye. Këto tekste tashmë marrin parasysh përvojën tridhjetëvjeçare të mësuesve që përdorin tekstet e Aleksandrit, si dhe përvojën e autorëve të tyre.
Në tekstet shkollore të gjeometrisë së Aleksandrit, Gjeometria shfaqet para studentit në të gjithë gjerësinë dhe shkathtësinë e saj. Çdo mësues do të jetë në gjendje të punojë nga këto tekste në përputhje me pikëpamjet e tij pedagogjike dhe secili nxënës do të gjejë aspekte të gjeometrisë shumëplanëshe që i afrohen atij.

LITERATURA

1. Kolmogorov A.N. Programe të reja dhe disa çështje themelore të përmirësimit të kursit të matematikës në shkollën e mesme // Matematika në shkollë. 1967. Nr. 2. F. 4–13.
2. Kolmogorov A.N. Tek programet e reja në matematikë // Matematika në shkollë. 1968. Nr. 2. F. 21–22.
3. Kolmogorov A.N. Mbi sistemin e koncepteve bazë dhe shënimin për kursin shkollor // Matematika në shkollë. 1971. Nr. 2. fq. 17–22.
4. Kolmogorov A.N. Shënime mbi konceptin e grupit në një kurs të matematikës shkollore. // Matematika në shkollë. 1984. Nr. 1. F. 52–53.
5. Alexandrov A.D. Rreth gjeometrisë. // Matematika në shkollë. 1980. Nr. 3. F. 56–62.
6. Alexandrov A.D. Çfarë është një poliedron? // Matematika në shkollë. 1981. Nr. 1. F. 8–16, Nr. 2. F. 19–25.
7. Alexandrov A.D. Mbi konceptin e grupit në një kurs gjeometrie // Matematika në shkollë. 1984. Nr. 1. F. 47–52.
8. Alexandrov A.D. Çfarë është një vektor? // Matematika në shkollë. 1984. Nr. 5. faqe 39–45.
9. Vladimirov V.S., Pontryagin L.S., Tikhonov A.N. Rreth arsimit të matematikës në shkollë. // Matematika në shkollë. 1979. Nr. 3. fq. 12–14.
10. Kolmogorov A.N., Semenovich A.F., Cherkasov R.S. Gjeometria, 6–8. M.: “Iluminizmi”, 1979. 384 f.
11. Klopsky V.M., Skopets Z.A., Yagodovsky M.I. Gjeometria, 9–10. M.: “Iluminizmi”, 1977. bot. 3.
12. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Fillimet e stereometrisë, 9. M.: “Prosveshcheniye”, 1981. 224 f.
13. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Fillimet e stereometrisë, 10. M.: “Iluminizmi”, 1982. 192 f.
14. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria, 9–10. M.: “Iluminizmi”, 1983. 336 f.
15. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria, 9–10 (botimi 2, i rishikuar). M.: “Iluminizmi”, 1987. 272 ​​f.
16. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometri, 9–10 (për klasat e fizikës dhe matematikës). M.: “Iluminizmi”, 1984. 480 f.
17. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria. 6. M.: “Iluminizmi”, 1984. 176 f.
18. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria. 7. M.: “Iluminizmi”, 1985. 192 f.
19. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria. 8. M.: “Iluminizmi”, 1986. 192 f.
20. Pogorelov A.V. Gjeometria, 6–10. M.: “Iluminizmi”, 1982. 288 f.
21. Atanasyan L.S. dhe të tjerët Gjeometria, 6 (botim i katërt, i rishikuar). M.: “Iluminizmi”, 1985. 96 f.
22. Atanasyan L.S. dhe të tjerët Gjeometria, 8 (botim i tretë, i rishikuar). M.: “Iluminizmi”, 1987. 128 f.
23. Atanasyan L.S. dhe të tjera Gjeometria, 9–10 (botim i dytë, i rishikuar). M.: “Iluminizmi”, 1985. 256 f.
24. Atanasyan L.S. et al. Gjeometria, 7–9 (botimi i 14-të). M.: “Iluminizmi”, 2004. 384 f.
25. Atanasyan L.S. dhe të tjera Gjeometria, 10–11 (botimi i 15-të, i plotësuar). M.: “Iluminizmi”, 2006. 256 f.
26. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria, 7–9. M.: “Iluminizmi”, 1992. 320 f. (Botimi i dytë 1995, botimi i tretë, i rishikuar 2003).
27. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria, 10–11. M.: “Iluminizmi”, 1998. 272 ​​f. (Botimi i dytë 2001, botimi i 4-të, i përditësuar 2006).
28. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria, 8–9 (për klasat e avancuara). M.: “Iluminizmi”, 1991. 416 f. (Botimi i dytë, i rishikuar, 1995, botimi 3. 1996).
29. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria, 10–11 (Klasa të avancuara, botimi 3, i rishikuar). M.: “Iluminizmi”, 1992. 464 f. (Botimi i 4-të 1994, botimi i 5-të 1995).
30. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria, 7. M.: MIROS, 1994. 200 f.
31. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria, 8. M.: MIROS, Shën Petersburg: Orakul, 1997. 302 f.
32. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria, 9. M.: MIROS, CheRo., 1998. 350 f.
33. Werner A.L., Ryzhik V.I., Khodot T.G. Gjeometria, 7. M.: “Iluminizmi”, 1999. 192 f. (Botimi i dytë, i rishikuar, 2003, 176 f.).
34. Werner A.L., Ryzhik V.I., Khodot T.G. Gjeometria, 8. M.: “Iluminizmi”, 2001.
192 fq.
35. Werner A.L., Ryzhik V.I., Khodot T.G. Gjeometria, 9. M.: “Iluminizmi”, 2001.
208 fq.
36. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I., Khodot T.G. Gjeometria, 7. M.: “Iluminizmi”, 2008. 176 f.
37. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I.. Gjeometri, 8. M.: “Iluminizmi”, 2009. 176 f.
38. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria, 9. M.: “Iluminizmi”, 2010. 176 f.
39. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria, 8 (për studim të thelluar). M.: “Iluminizmi”, 2002. 240 f. (Botimi i dytë. Rishikuar, 2008, 272 f.).
40. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria, 9 (për studim të thelluar). M.: “Iluminizmi”, 2004. 240 f.
41. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria, 10 (për studim të thelluar). M.: “Iluminizmi”, 1999. 240 f. (Botimi i dytë 2001; botimi i 3-të 2003; botimi i 4-të, i rishikuar, 2006. 272 ​​f.).
42. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria, 11 (për studim të thelluar). M.: “Iluminizmi”, 2000. 320 f. (Botimi 2. 2001; Botimi i 3. 2006).
43. Alexandrov A.D. Fillimet e gjeometrisë // Preprint. Novosibirsk: Instituti i Matematikës i Degës Siberiane të Akademisë së Shkencave të BRSS, 1981. 46 f.
44. Alexandrov A.D. Sasi dhe shifra // Preprint. Novosibirsk: Instituti i Matematikës i Degës Siberiane të Akademisë së Shkencave të BRSS, 1981. 48 f.
45. Alexandrov A.D. Trekëndëshat // Preprint. Novosibirsk: Instituti i Matematikës i Degës Siberiane të Akademisë së Shkencave të BRSS, 1982. 48 f.
46. ​​Aleksandrov A.D. Trekëndësha të ngjashëm // Preprint. Novosibirsk: Instituti i Matematikës i Degës Siberiane të Akademisë së Shkencave të BRSS, 1982. 42 f.
47. Alexandrov A.D. Linjat paralele dhe vektorët // Preprint. Novosibirsk: Instituti i Matematikës i Degës Siberiane të Akademisë së Shkencave të BRSS, 1982. 50 f.
48. Alexandrov A.D. Shumëkëndëshat dhe rrathët // Preprint. Novosibirsk: Instituti i Matematikës i Degës Siberiane të Akademisë së Shkencave të BRSS, 1982. 32 f.
49. Alexandrov A.D. Vektorët dhe koordinatat // Preprint. Novosibirsk: Instituti i Matematikës i Degës Siberiane të Akademisë së Shkencave të BRSS, 1983. 48.
50. Alexandrov A.D. Rrethi dhe rrethi // Preprint. Novosibirsk: Instituti i Matematikës i Degës Siberiane të Akademisë së Shkencave të BRSS, 1983. 12.
51. Alexandrov A.D. Hartografi // Paraprintim. Novosibirsk: Instituti i Matematikës i Degës Siberiane të Akademisë së Shkencave të BRSS, 1983, 44.
52. Alexandrov A.D. Bazat e gjeometrisë. M.: “Nauka”, 1987. 288 f.
53. Aleksandrov A.D., Netsvetaev N.Yu. Gjeometria. M.: “Nauka”, 1990. 672 f.
54. Pogorelov A.V. Gjeometria elementare. Ed. 2. M.: “Nauka”, 1974. 208 f.

Gjeometria. klasa e 7-të. Rekomandime metodologjike për mësuesit. Werner A.L., Ryzhik V.I., Khodot T.G.

2nd ed. - M.: 2017. - 132 f.

Libri është menduar për mësuesit që mësojnë gjeometrinë në klasën e 7-të duke përdorur një tekst shkollor nga autorët A. D. Alexandrov, A. L. Verner, V. I. Ryzhik, T. G. Khodot. Është shkruar në përputhje me konceptin metodologjik të këtij teksti dhe përputhet plotësisht me të si në përmbajtje ashtu edhe në strukturë. Libri përmban konceptin e ndërtimit të një kursi gjeometrie në klasat 7 - 9, rekomandime metodologjike për zhvillimin e mësimeve, teste dhe teste, udhëzime për zgjidhjen e problemeve dhe planifikim tematik.

Formati: pdf(2017, 132 f.)

Madhësia: 3.1 MB

Shikoni, shkarkoni: yandex.disk

Formati: pdf(2012, 143 f.)

Madhësia: 2.1 MB

Shikoni, shkarkoni: yandex.disk

përmbajtja
Koncepti i ndërtimit të një kursi bazë të gjeometrisë shkollore
1. Struktura e ciklit të teksteve të gjeometrisë së gjeneratës së re për shkollat ​​fillore
2. Parimet e Aleksandrit të mësimit të gjeometrisë
3. Për sistemin e problemave në lëndën e gjeometrisë për klasat 7-9
Gjeometria e klasës së 7-të është gjeometria e ndërtimeve
1. Diskutim i materialit teorik të tekstit shkollor
2. Zgjidhja e problemeve të teksteve shkollore dhe përgjigjet për to
Komponenti humanitar i lëndës së gjeometrisë
1. Zhvillimi i të folurit në mësimet e gjeometrisë
2. Ekskursione gjeometrike
Bërja e mjeteve vizuale dhe puna me to
Testet e lëndës së gjeometrisë
Planifikimi tematik

1. Struktura e ciklit të teksteve të gjeometrisë së gjeneratës së re për
shkollën bazë
Një seri e re e teksteve të gjeometrisë për shkollat ​​fillore u krijua në bazë të tekstit "Gjeometria, 7 - 9" (autorë A. D. Aleksandrov, A. L. Verner, V. I. Ryzhik) - fitues i konkursit të fundit të teksteve shkollore All-Union në mesin e viteve '80 të shekullit të kaluar ("Iluminizmi", 1992), si dhe tre libra shkollorë "Gjeometria, 7", "Gjeometria, 8" dhe "Gjeometria, 9" (autorë - A. L. Werner, V. I. Ryzhik, T. G. . Khodot) - fitues. të konkursit për tekstet e gjeneratës së re (“Iluminizmi”, 1999-2001).
Përmbajtja e teksteve të ciklit të ri korrespondon me dokumentet më të fundit të direktivës ministrore (Standardet e Gjeneratës së Dytë) dhe pikëpamjet moderne pedagogjike. Seria e re e teksteve merr parasysh përvojën shumëvjeçare të mësuesve që kanë punuar duke përdorur tekstet mbi të cilat janë krijuar të rejat.
Në rrjedhën e tyre, autorët identifikojnë tre linja të rëndësishme: linjën e ndërtimit të figurave gjeometrike - vijën kryesore në tekstin "Gjeometria, 7", linjën e llogaritjeve të sasive gjeometrike - vijën kryesore në tekstin "Gjeometria, 8" dhe linja e ideve dhe metodave të gjeometrisë moderne - linja kryesore në tekstin "Gjeometria, 9".
Secili prej tre teksteve ka integritetin dhe plotësinë e përmbajtjes së tij, dhe puna në të nuk kërkon referencë në tekste të tjera shkollore. Kjo sigurohet nga fakti se teksti “Gjeometria, 8” fillon me përsëritjen e koncepteve dhe fjalive më të rëndësishme të kursit të klasës së 7-të, dhe teksti “Gjeometria, 9” përsërit informacionin e nevojshëm nga kursi i klasës së 8-të. Së bashku, këto tre tekste mbulojnë të gjithë seksionin "Gjeometria" të Përmbajtjes Bazë të Edukimit Matematikor, duke përfshirë pjesën e tij stereometrike të nënseksionit "Gjeometria Pamore".
Tekstet shkollore nuk kufizohen në përmbajtje thjesht gjeometrike. Ata i kushtojnë shumë vëmendje zhvillimit të përgjithshëm matematikor të studentëve, i cili diskutohet në seksionin "Logjika dhe grupet" të Përmbajtjes kryesore: në fillim të kursit, prezantohen operacionet e kombinimit dhe kryqëzimit të figurave, përshkruhen.
06 aksiomat dhe teoremat, paragrafë të veçantë i kushtohen metodës së vërtetimit me kontradiktë, teoremave reciproke të anasjellta, vetive karakteristike dhe lidhësit logjik "nëse dhe vetëm atëherë".
E gjithë kjo formon veprime logjike universale.
Gjatë gjithë ciklit, ka një histori për historinë e gjeometrisë: kursi i klasës së 7-të fillon me një histori për shfaqjen e gjeometrisë në kohët e lashta, rreth

Euklidi dhe "Parimet" e tij dhe përfundon me një histori për zgjidhjen e problemit të postulatit të pestë, për N.I. historia e trigonometrisë, etj. Gjithçka kjo korrespondon me seksionin "Matematika në zhvillimin historik" të Përmbajtjes kryesore.

Teksti mësimor përmban material teorik dhe praktik mbi stereometrinë për një kurs të shkollës së mesme. Libri përmban rreth 100 probleme me zgjidhje dhe më shumë se 800 probleme për zgjidhje të pavarur. Janë dhënë edhe problematikat që janë përdorur në provimet pranuese në universitete të ndryshme. Manuali është i dedikuar për nxënësit e shkollave, aplikantët dhe mësuesit.
Aeroplanët në hapësirë.

Është e natyrshme të fillohet "gjeometria strukturore" me propozime për të specifikuar pozicionin e një rrafshi në hapësirë. Këtu formulojmë tre propozime të tilla.

Le të fillojmë me pyetjen se sa pika në aeroplan duhet të specifikohen në mënyrë që pozicioni i tij të përcaktohet pa mëdyshje nga këto pika. Është e qartë se një ose dy pikë nuk mjaftojnë për këtë. Por duke specifikuar tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz, pozicioni i rrafshit do të përcaktohet pa mëdyshje (Fig. 1.1). Shembull i vërtetë: dy mentesha dhe një bravë rregullojnë pozicionin e derës, por dy mentesha jo. Pra, fjalia e mëposhtme është e vlefshme:
Pohimi 1. Nëpër çdo tre pika në hapësirë ​​që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz, kalon një rrafsh dhe vetëm një.
Një rrafsh që kalon nëpër tri pika A, B, C që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz quhet “rrafshi ABC” dhe shkruhet (ABC).

Përveç kësaj metode (kryesore) të përcaktimit të një plani, ne do të përdorim të tjera.
TABELA E PËRMBAJTJES
Parathënie
Hyrje
Kapitulli 1. Vijat dhe rrafshet
§ 1. Rregullimi i ndërsjellë i vijave dhe planeve
§ 2. Perpendikulariteti i drejtëzave dhe rrafsheve
§ 3. Paralelizmi i drejtëzave dhe rrafsheve
Kapitulli 2. Figurat më të rëndësishme hapësinore
§ 4. Sferë dhe top
§ 5. Këndet trekëndësh dhe trekëndëshat sferikë
§ 6. Cilindri
§ 7. Prizma
§ 8. Kon
§ 9. Piramida
§ 3. Paralelizmi i drejtëzave dhe rrafsheve
Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur
Kapitulli 3. Lëndët e ngurta, sipërfaqet, poliedrat
§ 10. Trupat dhe sipërfaqet e tyre
§ 11. Polyedra
§ 12. Shumëfaqëshe të rregullta dhe gjysmë të rregullta
§ 3. Paralelizmi i drejtëzave dhe rrafsheve
Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur
Kapitulli 4. Vëllimet e trupave dhe sipërfaqet e tyre
§ 13. Koncepti i vëllimit
§ 14. Vëllimi i një cilindri të drejtë
§ 15. Paraqitja e vëllimit me integral
§ 16. Vëllimi i një cilindri, koni, topi
§ 17. Sipërfaqja
§ 3. Paralelizmi i drejtëzave dhe rrafsheve
Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur
Kapitulli 5. Koordinatat dhe vektorët
§ 18. Koordinatat drejtkëndore
§ 19. Metoda e koordinatave
§ 20. Sisteme të ndryshme koordinative
§ 21. Koncepti i një vektori
§ 22. Veprime lineare me vektorë
§ 23. Shumëzimi skalar i vektorëve
§ 24. Metoda vektoriale
§ 3. Paralelizmi i drejtëzave dhe rrafsheve
Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur
Kapitulli 6. Transformimet
§ 25. Lëvizjet
§ 26. Vetitë e lëvizjeve
§ 27. Klasifikimi i lëvizjeve të hapësirës
§ 28. Ngjashmëria
§ 29. Inversion
§ 3. Paralelizmi i drejtëzave dhe rrafsheve
Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur
Përgjigjet dhe udhëzimet
Teoremat dhe formulat bazë të planimetrisë
Indeksi i lëndës
Lista e literaturës së përdorur.

Shkarkoni e-librin falas në një format të përshtatshëm, shikoni dhe lexoni:
Shkarkoni librin Stereometria, Gjeometria në hapësirë, Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I., 1998 - fileskachat.com, shkarkim i shpejtë dhe pa pagesë.

• Gjeometri, Përmbledhje e programeve të punës, klasa 7-9, Burmistrova T.A., 2011
• Gjeometria, klasa e 7-të, Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I., 2013
• Matematika, algjebra dhe fillimet e analizës matematikore, gjeometria, klasat 10-11, tekst shkollor për organizatat e arsimit të përgjithshëm, nivelet bazë dhe të avancuara, Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I., 2014

/

Linja e kompleksit arsimor dhe metodologjik në gjeometri. Klasat 10 – 11 (niveli i avancuar). A. D. Alexandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik.

Linja UMK u shkrua nga një ekip autorësh i krijuar dhe i drejtuar nga Akademiku A. D. Alexandrov (1912-1999). Ideja kryesore e linjës së mësimdhënies dhe mësimnxënies është mundësia e mësimdhënies së gjeometrisë për studentët me interesa të ndryshme duke përdorur një sasi të madhe të materialit problemor të diferencuar.

UMK përfshin:

• Tekstet shkollore:
  • Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Matematika: algjebra dhe parimet e analizës matematikore, gjeometria. Gjeometria. Klasa e 10-të (niveli i avancuar);
  • Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Matematika: algjebra dhe parimet e analizës matematikore, gjeometria. Gjeometria. Klasa e 11-të (niveli i avancuar);
• materiale didaktike;
• rekomandimet metodologjike.

Tekstet shkollore korrespondojnë me Standardin Federal të Arsimit Shtetëror të Arsimit të Përgjithshëm të Mesëm (të plotë). Ato janë krijuar për studim të thelluar të gjeometrisë dhe përmbajnë materiale që mund të jenë lëndë zgjedhore: figura konvekse, poliedra, teoria e sipërfaqes dhe gjeometria sferike, transformimet, gjeometria moderne dhe relativiteti. Materiali teorik i teksteve është i diferencuar si në thellësinë e materialit të trajtuar ashtu edhe në mundësinë e studimit të temave shtesë. Materiali problemor është gjithashtu i diferencuar. Kjo është e dukshme nga emrat e titujve brenda materialit të detyrës sipas llojit të veprimtarisë: “Shikimi”, “Plotësimi i teorisë”, “Planifikimi”, “Vërtetimi” etj., të cilët udhëzojnë mësuesit dhe nxënësit në materialin edukativ. Seksioni "Të kuptojmë zgjidhjen" ofron shembuj të zgjidhjes së problemeve. Në fund të tekstit, autorët flasin për gjeometrinë moderne dhe teorinë e relativitetit. Kështu, studentët mund të ndjekin zhvillimin e shkencës së gjeometrisë në botën moderne. Si përfundim, autorët japin me përgjigje detyrat "Përgatitja për Provimin e Bashkuar të Shtetit".

Materiale didaktike përmbajnë punë të pavarur dhe kontrolluese në dy versione. Për të gjitha problemet jepen përgjigje dhe për disa jepen udhëzime për zgjidhjen e tyre.

Rekomandime metodike"Studimi i thelluar i gjeometrisë në klasën e 10" (autorët V. M. Papovsky, N. M. Pultsin) dhe "Studimi i thelluar i gjeometrisë në klasën 11" (autorët V. M. Papovsky, K. N. Aksenov, M. Ya. Pratusevich) përmbajnë rekomandime për kryerjen. mësime dhe një histori për përvojën e punës së një mësuesi të caktuar. Këta libra ofrojnë rekomandime metodologjike për kapitujt e teksteve shkollore dhe zgjidhje të problemeve nga secili paragraf, plane për plotësimin e kapitujve dhe planifikim të përafërt tematik të materialit për vitin, tekste për punë të pavarur dhe teste.

Karakteristikat e linjës UMK:

• paraqitja e gjeometrisë në tekstet shkollore ndërthur qartësinë dhe logjikën;
• tërhiqet vëmendja nga zbatimi praktik i gjeometrisë, lidhja e saj me artin, teknologjinë dhe arkitekturën;
• materiali teorik dhe problemor është i diferencuar.

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Fillimet e stereometrisë: 10. Teksti mësimor provues. Materiale për shqyrtim.- M.: Arsimi, 1982.-191 f. - (Mësues i matematikës B).
Një libër shkollor provë për klasën X - një prezantim i detajuar i pjesës së dytë të tekstit shkollor. Libri shkollor u botua për të njohur mësuesit me një mundësi të mundshme për ndërtimin e një kursi shkollor në stereometri.
Aktualisht është duke u testuar pilot në një numër shkollash.
Pjesa e parë e tij (libër provues për klasën IX) u botua në vitin 1981.
Shkarko (djvu, 7.02 Mb)

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria 6. Libër provues për klasën e 6-të të shkollës së mesme. – M.: Arsimi, 1984. – 176 f.
Kreu I. Fillimet e gjeometrisë: § 1. Për çfarë dhe pse bëhet fjalë gjeometria. § 2. Segmentet. § 3. Kënde. § 4. Trekëndëshat. § 5. Disa zbatime të teoremave të para mbi trekëndëshat. § 6. Katërkëndëshat.
Kapitulli II. Madhësitë matëse: § 7. Veprimet me segmente. § 8. Matja e gjatësisë. § 9. Veprimet me kënde. § 10. Matja e këndeve. § 11. Shuma e këndeve të një trekëndëshi. § 12. Figurat dhe shumëkëndëshat shumëkëndësh. § 13. Zona.
Shkarko (djvu, 3.97 Mb)

New Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria. Teksti mësimor provues i klasës së 7-të. - M.: Arsimi, 1985. - 192 f.
Kapitulli III. Gjeometria e një trekëndëshi: Teorema e Pitagorës. pingul dhe i zhdrejtë. Pabarazia e trekëndëshit. Sinus. Shenjat e barazisë së trekëndëshave kënddrejtë dhe zbatimi i tyre. Teorema e sinuseve. Kosinusi. Teorema e përgjithësuar e Pitagorës. Funksionet trigonometrike. Trekëndësha të ngjashëm.
Kapitulli IV. Paralelizmi: Drejtëza paralele. Paralelogrami dhe trapezi. Paralelizmi dhe trekëndëshat e ngjashëm.
Vektorët: Vektorët. Shtimi i vektorit. Shumëzimi i një vektori me një numër.
sersol jo në serverin twirpx.
(djvu)ya.disk

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria 8. Libër provues për klasën e 8-të të shkollës së mesme. – M.: Arsimi, 1986. – 190 f.
Kreu VI Vektorët dhe koordinatat: § 29. Projeksionet dhe koordinatat e një vektori § 30. Shumëzimi skalar i vektorëve §31. Ekuacionet e një rrethi dhe një drejtëze
Kapitulli VII Shumëkëndëshat dhe rrathët: § 32. Kordat dhe tangjentet § 33. Shumëkëndëshat § 34. Shumëkëndëshat e rregullt § 35. Gjatësia e një rrethi § 36. Sipërfaqja e një rrethi
Kreu VIII Lëvizjet dhe ngjashmëritë: § 37. Lëvizjet dhe barazia e figurave § 38. Llojet e lëvizjeve § 39. Simetria e figurave § 40. Ngjashmëria
konkluzioni
§41. Bazat e planimetrisë
Shtesa
Shkarkoni djvu

New Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria. Teksti mësimor provues i klasave 9-10. - Botimi i dytë, i rishikuar. - M.: Arsimi, 1987. - 272 f.
klasa e 9-të. : Bazat e stereometrisë. Perpendikulariteti dhe paralelizmi. Projeksionet. Distancat dhe këndet. Sferë dhe top.
klasa e 10-të. : Cilindra dhe kone. Polyedra. Vëllimet e trupave dhe sipërfaqet e sipërfaqeve të tyre. Koordinatat. Vektorët. Lëvizjet. Bazat e gjeometrisë. Gjeometri moderne.
Skedari i postuar nga përdoruesi sersol jo në serverin twirpx.
(djvu)ya.disk

Alexandrov A. D., Werner A. L., Ryzhik V. I. Gjeometri. Libër mësuesi për klasat 7-9 të shkollës së mesme. – M.: Arsimi, 1992. – 320 f.: ill. - ISBN 5-09-003876-7.
Teksti shkollor zuri vendin e tretë në konkursin Gjithë Bashkimi të teksteve shkollore për shkollat ​​e mesme në 1988.
Shkarko (djvu, 2.78 Mb)

New Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria. Teksti mësimor eksperimental i klasës së 7-të. - M.: MIROS, 1994. - 200 f.: ill.
Teksti mësimor ofron mësim të diferencuar të gjeometrisë: prezantimi sekuencial-paralel i materialit kryhet në tre nivele - vizual, aplikativ dhe logjik. Manuali zhvillon traditat që janë zhvilluar në një seri librash edukativë mbi gjeometrinë nga ekipi i autorëve të kryesuar nga Akademiku A.D. Aleksandrov. Jo ndërtim, por bisedë - ky është stili i autorit të këtij kursi. Një grup i madh problemesh për të gjitha temat e kursit (në fakt, një libër me probleme në tekst) do ta ndihmojë mësuesin të organizojë punë praktike me studentët.
Skedari i postuar nga përdoruesi sersol jo në serverin twirpx.
(djvu)ya.disk

New Okunev A.A., Evstafieva L.P., Sheptovitskaya O.A., Werner A.L., Khodot T.G. Bota strikte e gjeometrisë. Libër për mësuesit. Materiale metodologjike për tekstin eksperimental nga A.D. Aleksandrova “Gjeometria” për klasën e VII. - M.: MIROS, 1994. - 72 f.: ill. - ISBN 5-7084-0046-3.
Problemi i "mësimeve të para" të gjeometrisë do të ndihmohet nga materialet metodologjike dhe didaktike të mësuesit që përmban ky libër. Ato u përgatitën nga mësues me përvojë, praktika e punës e të cilëve konfirmoi meritat e ndihmës mësimore eksperimentale të A.D. Alexandrova, A.L. Werner, V.I. Ryzhik “Gjeometria” për nxënësit e klasave të 7-ta të shkollave të mesme.
Skedari i postuar nga përdoruesi sersol jo në serverin twirpx.
(djvu)ya.disk

New Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria. Teksti mësimor eksperimental i klasës së 8-të. - M.: MIROS, 1997. - 304 f.: ill.
Teksti shkollor ka për qëllim mësimdhënien e diferencuar në shkolla dhe klasa të llojeve të ndryshme: humanitare, të zakonshme, me studim të thelluar të matematikës. Pjesa e parë e librit përmban tre kapituj të lëndës së planimetrisë: “Paralelizmi dhe vektorët”, “Sipërfaqet e figurave poligonale”, “Gjeometria e trekëndëshit”, si dhe materialin stereometrik përkatës. Pjesa e dytë përmban detyra për të gjitha temat e lëndës, të cilat hartohen për nivele të ndryshme studimi.
Skedari i postuar nga përdoruesi sersol jo në serverin twirpx.
(djvu)ya.disk

New Evstafieva L.P., Okunev A.A., Khodot T.G., Sheptovitskaya O.A. Nga Pitagora te Euklidi. Libër për mësuesit. Materiale metodologjike për tekstin eksperimental nga A.D. Aleksandrova “Gjeometria” për nxënësit e klasës së 8-të. - M.: MIROS, 1997. - 96 f.: ill.
Manuali metodologjik ka për qëllim mësimdhënien e diferencuar në shkolla dhe klasa të llojeve të ndryshme. Materialet didaktike të përfshira në libër, rekomandimet metodologjike për organizimin e punës në klasë dhe një plan mësimor model do ta ndihmojnë mësuesin të zgjedhë opsionin e tij për mësimin e gjeometrisë.
Skedari i postuar nga përdoruesi sersol jo në serverin twirpx.
(djvu)ya.disk

New Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria. klasa e 9-të. Libër shkollor eksperimental. - M.: MIROS: CheRo, 1997. - 352 fq.: ISBN 5-7084-0156-7.
Teksti shkollor përfundon një kurs shkollor trevjeçar sistematik në planimetri dhe një pasqyrë të stereometrisë. Manuali ofron mësim të diferencuar të gjeometrisë: prezantimi sekuencial-paralel i materialit kryhet në tre nivele - vizuale, aplikative, logjike. Një grup detyrash për të gjitha temat e kursit do ta ndihmojnë mësuesin të organizojë punën praktike me studentët.
Skedari i postuar nga përdoruesi sersol jo në serverin twirpx.
(djvu)ya.disk

New Okunev A.A., Evstafieva L.P., Sheptovitskaya O.A., Khodot T.G. Nga Euklidi te Lobachevsky. Libër për mësuesit. Materiale metodologjike për tekstin eksperimental nga A.D. Aleksandrova “Gjeometria” për klasën e 9-të. - M.: MIROS, 1997. - 96 f.: ill. - ISBN 5-7084-0144-3.
Rekomandimet metodologjike dhe materialet didaktike do ta ndihmojnë mësuesin në mësimdhënien e diferencuar të temave “Vektorët dhe koordinatat”, “Figurat e rrotullimit” dhe “Transformimet”, të cilat plotësojnë studimin sistematik të planimetrisë dhe një pasqyrë të stereometrisë në shkollë, si dhe në përsëritja përfundimtare e një kursi eksperimental trevjeçar në gjeometri.
Skedari i postuar nga përdoruesi sersol jo në serverin twirpx.
(djvu)ya.disk

Alexandrov A.D. et al., Gjeometria për klasat 9-10: Libër shkollor. manual për nxënësit e shkollave. dhe klasa me studim të thelluar të matematikës/A. D. Alexandrov, A.L. Werner, V.I Ryzhik.-M.: Edukimi, 1984. - 480 f., ill.
Ky libër është një libër shkollor për nxënësit e shkollave dhe klasave me një studim të thelluar të matematikës. Ai zbulon çështje të programit të gjeometrisë së një shkolle të mesme dhe programit të gjeometrisë për klasat dhe shkollat ​​përkatëse. Kjo u mundëson studentëve në këto klasa të fitojnë trajnim më të thellë matematikor.
(pdf) ya.disk (nr. fq. 40, 41, 392)

Aleksandrov A.D. etj., Gjeometria për klasat 8-9. Libër mësuesi manual për nxënësit e shkollave. dhe kl. me thellësi studiuar Matematikë / A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik.-3rd ed. - M.: Education, 1996.-415 with illus.
Lexoni edu-lib.net

Okunev A. A. Studim i thelluar i gjeometrisë në klasën e 8-të: Një manual për mësuesit - M.: Edukimi: SHA "Ucheb. lit.”, 1996.- 175 f.: ill.-ISBN 5-09-006591-8.
Manuali është i dedikuar për mësuesit që punojnë në tekstin shkollor për shkolla dhe klasa me studim të thelluar të matematikës "Gjeometria për klasat 8-9" nga A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik. Autori prezanton strukturën e tekstit, qëllimet dhe taktikat e mësimdhënies së gjeometrisë. Për secilën temë, autori ofron teste specifike, seminare, komente për zgjidhjen e problemeve dhe diskuton veçoritë e paraqitjes së gjeometrisë.
Shkarko (djvu, 4.72 Mb)

Alexandrov A. D. Gjeometria: Libër mësuesi. shtesa për klasën e 8-të. me thellësi duke studiuar matematikën / A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik - M.: Arsimi, 2002. - 240 f. : i sëmurë - ISBN 5-09-010864-1.
Mbi strukturën e një kursi të avancuar të gjeometrisë. Te dashur miq! Ju filloni një kurs katërvjeçar të avancuar në gjeometri. Dy vitet e para është një kurs sistematik i planimetrisë elementare, i plotësuar me elemente të stereometrisë. Ne do të vërtetojmë të gjitha teoremat më të rëndësishme të planimetrisë dhe do t'i paraqesim rezultatet e stereometrisë në një nivel vizual. Një kurs sistematik i stereometrisë fillon në klasat 10-11. Kështu, i gjithë kursi i avancuar katërvjeçar ndahet në dy cikle dyvjeçare. Brenda secilit prej tyre, viti i parë i kushtohet kryesisht rezultateve të gjeometrisë elementare klasike (të njohura që nga koha e Greqisë së Lashtë). Viti i dytë i kushtohet kryesisht ideve dhe metodave të gjeometrisë më moderne.
Shkarkoni (djvu, 20.79 Mb) ifolder.ru

Alexandrov A. D. Gjeometria: Libër mësuesi. shtesa për klasën e 9-të. me thellësi duke studiuar matematikën / A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik - M.: Arsimi, 2004. - 240 f. : ill.- ISBN 5 09 011551-6.
Teoremat më të rëndësishme të provuara në kursin e klasës së 8-të (përveç teoremës së sinuseve) njiheshin që në Greqinë e Lashtë. Dhe ne i vërtetuam duke përdorur metoda tradicionale të gjeometrisë elementare, të krijuara edhe në Greqinë e Lashtë, por që nuk e kanë humbur rëndësinë e tyre edhe tani. Në kursin e klasës së 9-të do të fillojmë të flasim për metoda të tjera të gjeometrisë të krijuara shumë më vonë, në shekujt 17-20 - koordinata, vektori dhe metoda e shndërrimeve gjeometrike. Këto seksione të gjeometrisë kanë gjetur aplikim të gjerë në teknologji dhe shkencat natyrore, kryesisht në fizikë.
Përmbajtja kryesore e kapitujve të tekstit shkollor është planimetrike, dhe për materialin përkatës stereometrik flasim në shtesa të kapitujve.
Shkarkoni (djvu, 22,51 MB) ifolder.ru

Alexandrov A.D. et al.: Libër mësimi. për nxënësit e klasës së 10-të. me thellësi studiuar matematikan/A. D. Alexandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik.-M.: Arsimi, 1999.-238 f.: ill.- ISBN 5-09-008530-7
Ky tekst shkollor është një version i rishikuar i tekstit shkollor nga A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik "Geometria, 10-11" për studim të thelluar të matematikës (M.: Prosveshchenie, 1988-1995). Si rezultat i rishikimit, teksti shkollor paraqitet në dy libra: "Gjeometria, 10" dhe "Gjeometria, 11", në të cilët ruhet sekuenca dhe pjesa më e madhe e përmbajtjes së kapitujve. Ndryshimet prekën kryesisht materialin problemor: njësia semantike në këtë version është i gjithë paragrafi dhe jo paragrafi i tij, i cili përcaktoi strukturën e problemave në këtë botim. (Për orientim më të mirë, numri i secilës detyrë tregon në kllapa se cilës pikë të paragrafit i përket.) Të gjitha detyrat ndahen në titujt e mëposhtëm: “Plotësimi i teorisë”, “Vërtetimi”, “Kërkimi”, “Arsyetimi”, “Planifikimi”, “Të kuptuarit e zgjidhjes”, “Pjesëmarrja në Olimpiadë” etj. Ato pasqyrojnë në mënyrë optimale të tre komponentët e gjeometrisë: logjikën, imagjinatën vizuale dhe praktikën.
Shkarkoni (djvu, 5,50 MB) ifolder.ru

Ryzhik V.I Materiale didaktike për gjeometrinë për klasën e 10-të me studim të thelluar të matematikës - M.: Edukimi, 1998. - 45 f. - ISBN 5-09-008278.

Për UMK A.D. Aleksandrova.
Shkarko (djvu, 1.50 MB) rusfolder.com

Ryzhik V.I. Gjeometria: didaktike. materiale për klasën e 10-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / V. I. Ryzhik - botimi i 3-të, i rishikuar - M.: Arsimi, 2007. - 48 f. - ISBN 978-5-09-015968-5.
Ky manual përmban punë të pavarur dhe testuese për gjeometrinë për nxënësit në klasat e avancuara të matematikës.
faleminderit, Yri
Shkarko (djvu, 0.3 MB) ya.disk

Materiale didaktike të gjeometrisë Ryzhik V.I. arsimi i përgjithshëm institucionet: profili. Niveli / V.I. - botimi i 4-të, i rishikuar - M.: Arsimi, 2008. - 63 f. : i sëmurë - ISBN 978-5-09-015498-7.
Ky manual përmban punë të pavarur dhe testuese për gjeometrinë në dy versione për nxënësit në klasa të specializuara dhe klasa me studim të thelluar të matematikës.
faleminderit, Yri
Shkarko (djvu, 0.3 MB) ya.disk

Në kërkim

• Okunev A.A., Studim i thelluar i gjeometrisë në klasën e 8-të, libër për mësuesit, Iluminizmi. Literatura arsimore, 1996
• Okunev A.A., Studim i thelluar i gjeometrisë në klasën 9, libër për mësuesit, Edukimi, 1997.
• Ryzhik V.I., Okunev A.A., Materiale didaktike mbi gjeometrinë, klasa e 8-të.
• Ryzhik V.I., Okunev A.A., Materiale didaktike mbi gjeometrinë, klasa 9, Edukimi, 1999
• Papovsky V.M., Pultsin N.M., Studim i thelluar i gjeometrisë në klasën e 10, libër për mësuesit, Edukimi, 1999
• Papovsky V.M., Aksenov K.N., Pratusevich M.Ya., Studim i thelluar i gjeometrisë në klasën e 11-të, libër për mësuesit, Edukimi 2002.
• Ryzhik V.I., Materiale didaktike për gjeometrinë, klasa 10, Edukimi, 1998
• Ryzhik V.I., Materiale didaktike për gjeometrinë, klasa 11, Edukimi, 1999.

Skedarët e shtuar janë shënuar si E re.