Llogaritjet e përafërta duke përdorur diferencial

Në këtë mësim do të shqyrtojmë një problem të zakonshëm në llogaritjen e përafërt të vlerës së një funksioni duke përdorur një diferencial. Këtu dhe më tej do të flasim për diferenciale të rendit të parë për shkurtim, shpesh do të them thjesht "diferencial". Problemi i llogaritjeve të përafërta duke përdorur diferenciale ka një algoritëm të rreptë zgjidhjeje, dhe, për këtë arsye, nuk duhet të shfaqen vështirësi të veçanta. E vetmja gjë është se ka gracka të vogla që gjithashtu do të pastrohen. Prandaj mos ngurroni të zhyteni me kokë.

Për më tepër, faqja përmban formula për gjetjen e gabimit absolut dhe relativ të llogaritjeve. Materiali është shumë i dobishëm, pasi gabimet duhet të llogariten në probleme të tjera. Fizikantë, ku janë duartrokitjet tuaja? =)

Për të zotëruar me sukses shembujt, duhet të jeni në gjendje të gjeni derivate të funksioneve të paktën në një nivel mesatar, kështu që nëse jeni plotësisht në humbje me diferencimin, ju lutemi filloni me mësimin Si të gjeni derivatin? Unë gjithashtu rekomandoj të lexoni artikullin Problemet më të thjeshta me derivatet, përkatësisht paragrafët për gjetjen e derivatit në një pikë Dhe gjetja e diferencialit në pikë. Nga mjetet teknike, do t'ju duhet një mikrollogaritës me funksione të ndryshme matematikore. Ju mund të përdorni Excel, por në këtë rast është më pak i përshtatshëm.

Punëtoria përbëhet nga dy pjesë:

– Llogaritjet e përafërta duke përdorur diferencialin e një funksioni të një ndryshoreje.

– Llogaritjet e përafërta duke përdorur diferencialin total të një funksioni me dy ndryshore.

Kush ka nevojë për çfarë? Në fakt, ishte e mundur të ndahej pasuria në dy grumbullime, për arsye se pika e dytë lidhet me aplikimet e funksioneve të disa variablave. Por çfarë të bëj, më pëlqejnë artikujt e gjatë.

Llogaritjet e përafërta
duke përdorur diferencialin e një funksioni të një ndryshoreje

Detyra në fjalë dhe kuptimi i saj gjeometrik janë trajtuar tashmë në mësimin Çfarë është derivati? , dhe tani do të kufizohemi në një shqyrtim zyrtar të shembujve, i cili është mjaft i mjaftueshëm për të mësuar se si t'i zgjidhim ato.

Në paragrafin e parë, funksioni i një ndryshoreje rregullon. Siç e dinë të gjithë, shënohet me ose me . Për këtë detyrë është shumë më i përshtatshëm për të përdorur shënimin e dytë. Le të kalojmë menjëherë te një shembull popullor që haset shpesh në praktikë:

Shembulli 1

Zgjidhja: Ju lutemi kopjoni formulën e punës për llogaritjen e përafërt duke përdorur diferencialin në fletoren tuaj:

Le të fillojmë ta kuptojmë, gjithçka është e thjeshtë këtu!

Hapi i parë është krijimi i një funksioni. Sipas kushtit, propozohet llogaritja e rrënjës kubike të numrit: , pra funksioni përkatës ka formën: . Duhet të përdorim formulën për të gjetur vlerën e përafërt.

Le të shohim anën e majtë formulat dhe të vjen në mendje mendimi se numri 67 duhet të paraqitet në formë. Cila është mënyra më e lehtë për ta bërë këtë? Unë rekomandoj algoritmin e mëposhtëm: llogarisni këtë vlerë në një kalkulator:
– doli të ishte 4 me bisht, ky është një udhëzues i rëndësishëm për zgjidhjen.

Ne zgjedhim një vlerë "të mirë" si në mënyrë që rrënja të hiqet plotësisht. Natyrisht, kjo vlerë duhet të jetë sa më afër deri në 67. Në këtë rast: . Vërtet: .

Shënim: Kur lindin ende vështirësi me zgjedhjen, thjesht shikoni vlerën e llogaritur (në këtë rast ), merrni pjesën e plotë më të afërt (në këtë rast 4) dhe ngrijeni atë në fuqinë e kërkuar (në këtë rast). Si rezultat, zgjedhja e dëshiruar do të bëhet: .

Nëse , atëherë shtimi i argumentit: .

Pra, numri 67 përfaqësohet si një shumë

Së pari, le të llogarisim vlerën e funksionit në pikë. Në fakt, kjo tashmë është bërë më parë:

Diferenciali në një pikë gjendet me formulën:
- Mund ta kopjoni edhe në fletoren tuaj.

Nga formula rrjedh se ju duhet të merrni derivatin e parë:

Dhe gjeni vlerën e saj në pikën:

Kështu:

Gjithçka është gati! Sipas formulës:

Vlera e përafërt e gjetur është mjaft afër vlerës , llogaritur duke përdorur një mikrollogaritës.

Përgjigje:

Shembulli 2

Llogaritni përafërsisht duke zëvendësuar rritjet e funksionit me diferencialin e tij.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Një mostër e përafërt e modelit përfundimtar dhe përgjigja në fund të mësimit. Për fillestarët, së pari rekomandoj llogaritjen e vlerës së saktë në një mikrollogaritës për të zbuluar se cili numër merret si dhe cili numër merret si . Duhet të theksohet se në këtë shembull do të jetë negativ.

Disa mund të kenë pyetur veten pse është e nevojshme kjo detyrë nëse gjithçka mund të llogaritet me qetësi dhe më saktë në një makinë llogaritëse? Jam dakord, detyra është marrëzi dhe naive. Por do të përpiqem ta justifikoj pak. Së pari, detyra ilustron kuptimin e funksionit diferencial. Së dyti, në kohët e lashta, një kalkulator ishte diçka si një helikopter personal në kohët moderne. Unë vetë pashë se si një kompjuter me madhësinë e një dhome u hodh nga një institut politeknik lokal diku në vitet 1985-86 (radio amatorë erdhën me vrap nga i gjithë qyteti me kaçavida dhe pas nja dy orësh mbeti vetëm rasti i njësi). Kishte gjithashtu antike në departamentin tonë të fizikës dhe matematikës, megjithëse ato ishin më të vogla në madhësi - sa një tavolinë. Kështu luftuan paraardhësit tanë me metodat e llogaritjeve të përafërta. Një karrocë me kuaj është gjithashtu transport.

Në një mënyrë apo tjetër, problemi mbetet në kursin standard të matematikës së lartë dhe do të duhet të zgjidhet. Kjo është përgjigjja kryesore për pyetjen tuaj =)

Shembulli 3

në pikën. Llogaritni një vlerë më të saktë të një funksioni në një pikë duke përdorur një mikrollogaritës, vlerësoni gabimin absolut dhe relativ të llogaritjeve.

Në fakt, e njëjta detyrë, lehtë mund të riformulohet si më poshtë: “Llogaritni vlerën e përafërt duke përdorur një diferencial"

Zgjidhja: Ne përdorim formulën e njohur:
Në këtë rast, një funksion i gatshëm është dhënë tashmë: . Edhe një herë, unë do të doja të tërhiqja vëmendjen tuaj për faktin se është më i përshtatshëm për t'u përdorur.

Vlera duhet të paraqitet në formën . Epo, këtu është më e lehtë, shohim që numri 1.97 është shumë afër "dy", kështu që sugjeron vetë. Dhe prandaj: .

Duke përdorur formulën , le të llogarisim diferencialin në të njëjtën pikë.

Gjejmë derivatin e parë:

Dhe vlera e tij në pikën:

Kështu, diferenciali në pikën:

Si rezultat, sipas formulës:

Pjesa e dytë e detyrës është gjetja e gabimit absolut dhe relativ të llogaritjeve.

Gabim absolut dhe relativ i llogaritjeve

Gabim absolut i llogaritjes gjendet me formulën:

Shenja e modulit tregon se nuk na intereson se cila vlerë është më e madhe dhe cila është më e vogël. E rëndësishme, sa larg rezultati i përafërt devijoi nga vlera e saktë në një drejtim ose në një tjetër.

Gabim relativ i llogaritjes gjendet me formulën:
, ose e njëjta gjë:

Gabimi relativ tregon me çfarë përqindje rezultati i përafërt ka devijuar nga vlera e saktë. Ekziston një version i formulës pa u shumëzuar me 100%, por në praktikë pothuajse gjithmonë e shoh versionin e mësipërm me përqindje.

Pas një referimi të shkurtër, le të kthehemi te problemi ynë, në të cilin kemi llogaritur vlerën e përafërt të funksionit duke përdorur një diferencial.

Le të llogarisim vlerën e saktë të funksionit duke përdorur një mikrollogaritës:
, në mënyrë rigoroze, vlera është ende e përafërt, por ne do ta konsiderojmë të saktë. Probleme të tilla ndodhin.

Le të llogarisim gabimin absolut:

Le të llogarisim gabimin relativ:
, u përftuan të mijtët e përqindjes, kështu që diferenciali dha vetëm një përafrim të shkëlqyer.

Përgjigje: , gabim absolut i llogaritjes, gabim relativ i llogaritjes

Shembulli i mëposhtëm për një zgjidhje të pavarur:

Shembulli 4

Llogaritni afërsisht vlerën e një funksioni duke përdorur një diferencial në pikën. Llogaritni një vlerë më të saktë të funksionit në një pikë të caktuar, vlerësoni gabimin absolut dhe relativ të llogaritjeve.

Një mostër e përafërt e modelit përfundimtar dhe përgjigja në fund të mësimit.

Shumë njerëz kanë vënë re se rrënjët shfaqen në të gjithë shembujt e konsideruar. Kjo nuk është e rastësishme në shumicën e rasteve, problemi në shqyrtim ofron në fakt funksione me rrënjë.

Por për lexuesit e vuajtur, nxora një shembull të vogël me arksinë:

Shembulli 5

Llogaritni afërsisht vlerën e një funksioni duke përdorur një diferencial në pikën

Ky shembull i shkurtër por informues është gjithashtu që ju ta zgjidhni vetë. Dhe pushova pak, në mënyrë që me energji të përtërirë të mendoja për detyrën speciale:

Shembulli 6

Llogaritni afërsisht duke përdorur një diferencial, duke rrumbullakosur rezultatin në dy shifra dhjetore.

Zgjidhja:Çfarë ka të re në detyrë? Kushti kërkon rrumbullakimin e rezultatit në dy shifra dhjetore. Por kjo nuk është çështja, mendoj se problemi i rrumbullakosjes së shkollës nuk është i vështirë për ju. Fakti është se na jepet një tangjente me një argument që shprehet në shkallë. Çfarë duhet të bëni kur ju kërkohet të zgjidhni një funksion trigonometrik me gradë? Për shembull, etj.

Algoritmi i zgjidhjes është thelbësisht i njëjtë, domethënë është e nevojshme, si në shembujt e mëparshëm, të zbatohet formula

Le të shkruajmë një funksion të dukshëm

Vlera duhet të paraqitet në formën . Do të japë ndihmë serioze tabela e vlerave të funksioneve trigonometrike. Nga rruga, për ata që nuk e kanë shtypur atë, unë rekomandoj ta bëjnë këtë, pasi do të duhet të shikoni atje gjatë gjithë kursit të studimit të matematikës së lartë.

Duke analizuar tabelën, vërejmë një vlerë tangjente "të mirë", e cila është afër 47 gradë:

Kështu:

Pas analizave paraprake gradët duhet të shndërrohen në radianë. Po, dhe vetëm në këtë mënyrë!

Në këtë shembull, mund të zbuloni drejtpërdrejt nga tabela trigonometrike se . Përdorimi i formulës për konvertimin e shkallëve në radiane: (Formulat mund të gjenden në të njëjtën tabelë).

Ajo që vijon është formula:

Kështu: (ne përdorim vlerën për llogaritjet). Rezultati, siç kërkohet nga kushti, rrumbullakoset në dy shifra dhjetore.

Përgjigje:

Shembulli 7

Llogaritni afërsisht duke përdorur një diferencial, rrumbullakoni rezultatin në tre shifra dhjetore.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar, ne i konvertojmë shkallët në radianë dhe i përmbahemi algoritmit të zakonshëm të zgjidhjes.

Llogaritjet e përafërta
duke përdorur diferencialin e plotë të një funksioni të dy ndryshoreve

Gjithçka do të jetë shumë, shumë e ngjashme, kështu që nëse keni ardhur në këtë faqe posaçërisht për këtë detyrë, atëherë së pari ju rekomandoj të shikoni të paktën disa shembuj të paragrafit të mëparshëm.

Për të studiuar një paragraf duhet të jeni në gjendje të gjeni derivatet e pjesshme të rendit të dytë, ku do të ishim pa to? Në mësimin e mësipërm, shënova një funksion të dy ndryshoreve duke përdorur shkronjën . Në lidhje me detyrën në shqyrtim, është më i përshtatshëm të përdoret shënimi ekuivalent.

Ashtu si në rastin e një funksioni të një ndryshoreje, gjendja e problemit mund të formulohet në mënyra të ndryshme, dhe unë do të përpiqem të marr parasysh të gjitha formulimet e hasura.

Shembulli 8

Zgjidhja: Pavarësisht se si shkruhet kushti, në vetë zgjidhjen për të treguar funksionin, e përsëris, është më mirë të mos përdoret shkronja "z", por .

Dhe këtu është formula e punës:

Ajo që kemi përpara është në fakt motra e madhe e formulës së paragrafit të mëparshëm. Variabla vetëm është rritur. Çfarë mund të them unë vetë algoritmi i zgjidhjes do të jetë në thelb i njëjtë!

Sipas kushtit, kërkohet të gjendet vlera e përafërt e funksionit në pikë.

Le të paraqesim numrin 3.04 në formën . Vetë simite kërkon të hahet:
,

Le të paraqesim numrin 3.95 si . Radha ka ardhur në gjysmën e dytë të Kolobok:
,

Dhe mos i shikoni të gjitha truket e dhelprës, ka një Kolobok - duhet ta hani atë.

Le të llogarisim vlerën e funksionit në pikën:

Ne gjejmë diferencialin e një funksioni në një pikë duke përdorur formulën:

Nga formula rrjedh që ju duhet të gjeni derivatet e pjesshme renditni së pari dhe llogaritni vlerat e tyre në pikën .

Le të llogarisim derivatet e pjesshme të rendit të parë në pikën:

Diferenca totale në pikë:

Kështu, sipas formulës, vlera e përafërt e funksionit në pikën:

Le të llogarisim vlerën e saktë të funksionit në pikën:

Kjo vlerë është absolutisht e saktë.

Gabimet llogariten duke përdorur formula standarde, të cilat tashmë janë diskutuar në këtë artikull.

Gabim absolut:

Gabim relativ:

Përgjigje:, gabim absolut: , gabim relativ:

Shembulli 9

Llogaritni vlerën e përafërt të një funksioni në një pikë duke përdorur një diferencial total, vlerësoni gabimin absolut dhe relativ.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Kushdo që hedh një vështrim më të afërt në këtë shembull do të vërejë se gabimet e llogaritjes rezultuan shumë, shumë të dukshme. Kjo ndodhi për këtë arsye: në problemin e propozuar shtimet e argumenteve janë mjaft të mëdha: . Modeli i përgjithshëm është ky: sa më të mëdha të jenë këto rritje në vlerë absolute, aq më e ulët është saktësia e llogaritjeve. Kështu, për shembull, për një pikë të ngjashme rritjet do të jenë të vogla: , dhe saktësia e llogaritjeve të përafërta do të jetë shumë e lartë.

Kjo veçori është gjithashtu e vërtetë për rastin e një funksioni të një ndryshoreje (pjesa e parë e mësimit).

Shembulli 10

Zgjidhje: Le ta llogarisim këtë shprehje përafërsisht duke përdorur diferencialin total të një funksioni të dy variablave:

Dallimi nga Shembujt 8-9 është se së pari duhet të ndërtojmë një funksion të dy variablave: . Unë mendoj se të gjithë e kuptojnë intuitivisht se si është i përbërë funksioni.

Vlera 4,9973 është afër “pesë”, pra: , .
Vlera 0.9919 është afër "një", prandaj supozojmë: , .

Le të llogarisim vlerën e funksionit në pikën:

Ne gjejmë diferencialin në një pikë duke përdorur formulën:

Për ta bërë këtë, ne llogarisim derivatet e pjesshme të rendit të parë në pikë.

Derivatet këtu nuk janë më të thjeshtat, dhe duhet të keni kujdes:

;

.

Diferenca totale në pikë:

Pra, vlera e përafërt e kësaj shprehjeje është:

Le të llogarisim një vlerë më të saktë duke përdorur një mikrollogaritës: 2.998899527

Le të gjejmë gabimin relativ të llogaritjes:

Përgjigje: ,

Vetëm një ilustrim i sa më sipër, në problemin e shqyrtuar, shtimet e argumenteve janë shumë të vogla dhe gabimi doli të ishte fantastikisht i vogël.

Shembulli 11

Duke përdorur diferencialin e plotë të një funksioni të dy ndryshoreve, llogaritni afërsisht vlerën e kësaj shprehjeje. Llogaritni të njëjtën shprehje duke përdorur një mikrollogaritës. Vlerësoni gabimin relativ të llogaritjes si përqindje.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Një mostër e përafërt e modelit përfundimtar në fund të mësimit.

Siç u përmend tashmë, mysafiri më i zakonshëm në këtë lloj detyre është një lloj rrënjë. Por herë pas here ka funksione të tjera. Dhe një shembull i fundit i thjeshtë për relaksim:

Shembulli 12

Duke përdorur diferencialin total të një funksioni me dy ndryshore, llogaritni afërsisht vlerën e funksionit nëse

Zgjidhja është më afër fundit të faqes. Edhe një herë, kushtojini vëmendje formulimit të detyrave të mësimit në shembuj të ndryshëm në praktikë, formulimi mund të jetë i ndryshëm, por kjo nuk ndryshon rrënjësisht thelbin dhe algoritmin e zgjidhjes.

Të them të drejtën isha pak e lodhur sepse materiali ishte pak i mërzitshëm. Nuk ishte pedagogjike ta thuash këtë në fillim të artikullit, por tani është tashmë e mundur =) Në të vërtetë, problemet në matematikën llogaritëse zakonisht nuk janë shumë komplekse, jo shumë interesante, gjëja më e rëndësishme, ndoshta, është të mos gabosh në llogaritjet e zakonshme.

Le të mos fshihen çelësat e kalkulatorit tuaj!

Zgjidhje dhe përgjigje:

Shembulli 2: Zgjidhja: Ne përdorim formulën:
Në këtë rast: , ,

Kështu:
Përgjigje:

Shembulli 4: Zgjidhja: Ne përdorim formulën:
Në këtë rast: , ,

Vlera e përafërt e rritjes së funksionit

Për vlera mjaft të vogla, rritja e funksionit është afërsisht e barabartë me diferencialin e tij, d.m.th. Dy » dy dhe prandaj

Shembulli 2. Gjeni vlerën e përafërt të rritjes së funksionit y= kur argumenti x ndryshon nga vlera x 0 =3 në x 1 =3.01.

Zgjidhje. Le të përdorim formulën (2.3). Për ta bërë këtë, le të llogarisim

X 1 - x 0 = 3,01 - 3 = 0,01, atëherë

Du" .

Vlera e përafërt e një funksioni në një pikë

Në përputhje me përkufizimin e rritjes së funksionit y = f(x) në pikën x 0, kur argumenti Dx (Dx®0) rritet, Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) dhe formula (3.3) mund të shkruhet

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

Raste të veçanta të formulës (3.4) janë shprehjet:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx » Dx (3.4v)

tgDx » Dx (3.4g)

Këtu, si më parë, supozohet se Dx®0.

Shembulli 3. Gjeni vlerën e përafërt të funksionit f(x) = (3x -5) 5 në pikën x 1 =2.02.

Zgjidhje. Për llogaritjet ne përdorim formulën (3.4). Le të paraqesim x 1 si x 1 = x 0 + Dx. Pastaj x 0 = 2, Dx = 0,02.

f(2.02)=f(2 + 0.02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3

Shembulli 4. Llogaritni (1.01) 5, , ln(1.02), ln.

Zgjidhje

1. Le të përdorim formulën (3.4a). Për ta bërë këtë, le të imagjinojmë (1.01) 5 në formën (1+0.01) 5.

Pastaj, duke supozuar Dx = 0.01, n = 5, marrim

(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.

2. Duke paraqitur 1/6 në formën (1 - 0.006), sipas (3.4a), marrim

(1 - 0,006) 1/6 » 1 + .

3. Duke marrë parasysh se ln(1.02) = ln(1 + 0.02) dhe duke supozuar Dx=0.02, duke përdorur formulën (3.4b) marrim

ln(1.02) = ln(1 + 0.02) » 0.02.

4. Po kështu

ln = ln (1 - 0,05) 1/5 = .

Gjeni vlerat e përafërta të rritjeve të funksionit

155. y = 2x 3 + 5 kur argumenti x ndryshon nga x 0 = 2 në x 1 = 2,001

156. y = 3x 2 + 5x + 1 me x 0 = 3 dhe Dx = 0,001

157. y = x 3 + x - 1 me x 0 = 2 dhe Dx = 0,01

158. y = ln x në x 0 = 10 dhe Dx = 0,01

159. y = x 2 - 2x në x 0 = 3 dhe Dx = 0,01

Gjeni vlerat e përafërta të funksioneve

160. y = 2x 2 - x + 1 në pikën x 1 = 2.01

161. y = x 2 + 3x + 1 në x 1 = 3,02

162.y= në pikën x 1 = 1.1

163. y= në pikën x 1 = 3.032

164. y = në pikën x 1 = 3,97

165. y = sin 2x në pikën x 1 = 0,015

Llogaritni përafërsisht

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178.ln(1.003×e) 179.ln(1.05) 5 180.ln

181.ln0.98 182.ln 183.ln(e 2 ×0.97)

Hulumtimi i funksionit dhe grafiku

Shenjat e monotonitetit të një funksioni

Teorema 1 (një kusht i domosdoshëm për një rritje (ulje) të një funksioni) . Nëse funksioni i diferencueshëm y = f(x), xО(a; b) rritet (zvogëlohet) në intervalin (a; b), atëherë për çdo x 0 О(a; b).

Teorema 2 (kusht i mjaftueshëm për një rritje (ulje) të një funksioni) . Nëse funksioni y = f(x), xО(a; b) ka një derivat pozitiv (negativ) në çdo pikë të intervalit (a; b), atëherë ky funksion rritet (zvogëlohet) në këtë interval.

Ekstreme e funksionit

Përkufizimi 1. Një pikë x 0 quhet pikë maksimale (minimale) e funksionit y = f(x) nëse për të gjitha x nga disa fqinjësi d të pikës x 0 plotësohet pabarazia f(x).< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) për x ¹ x 0 .

Teorema 3 (Fermat) (një kusht i domosdoshëm për ekzistencën e një ekstremi) . Nëse pika x 0 është pika ekstreme e funksionit y = f(x) dhe në këtë pikë ka një derivat, atëherë

Teorema 4 (kushti i parë i mjaftueshëm për ekzistencën e një ekstremi) . Le të jetë funksioni y = f(x) i diferencueshëm në ndonjë fqinjësi d të pikës x 0 . Pastaj:

1) nëse derivati, kur kalon nëpër pikën x 0, ndryshon shenjën nga (+) në (-), atëherë x 0 është pika maksimale;

2) nëse derivati, kur kalon nëpër pikën x 0, ndryshon shenjën nga (-) në (+), atëherë x 0 është pika minimale;

3) nëse derivati ​​nuk ndryshon shenjë kur kalon në pikën x 0, atëherë në pikën x 0 funksioni nuk ka një ekstrem.

Përkufizimi 2. Quhen pikat në të cilat derivati ​​i një funksioni zhduket ose nuk ekziston pikat kritike të llojit të parë.

duke përdorur derivatin e parë

1. Gjeni domenin e përkufizimit D(f) të funksionit y = f(x).

3. Gjeni pika kritike të llojit të parë.

4. Vendosni pikat kritike në domenin e përkufizimit D(f) të funksionit y = f(x) dhe përcaktoni shenjën e derivatit në intervalet në të cilat pikat kritike ndajnë domenin e përcaktimit të funksionit.

5. Zgjidhni pikat maksimale dhe minimale të funksionit dhe llogaritni vlerat e funksionit në këto pika.

Shembulli 1. Shqyrtoni funksionin y = x 3 - 3x 2 për një ekstremum.

Zgjidhje. Në përputhje me algoritmin për gjetjen e ekstremit të një funksioni duke përdorur derivatin e parë, kemi:

1. D(f): xО(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 Þ x = 0, x = 2 - pika kritike të llojit të parë.

Derivati ​​kur kalon në pikën x = 0

ndryshon shenjën nga (+) në (-), prandaj është një pikë

Maksimumi. Kur kaloni nëpër pikën x = 2, shenja ndryshon nga (-) në (+), prandaj kjo është pika minimale.

5. y max = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

Koordinatat maksimale (0; 0).

y min = f(2) = 2 3 - 3 × 2 2 = -4.

Koordinatat minimale (2; -4).

Teorema 5 (kushti i dytë i mjaftueshëm për ekzistimin e një ekstremi) . Nëse funksioni y = f(x) është i përcaktuar dhe dy herë i diferencueshëm në ndonjë fqinjësi të pikës x 0, dhe , atëherë në pikën x 0 funksioni f(x) ka një maksimum nëse dhe një minimum nëse .

Algoritmi për gjetjen e ekstremumit të një funksioni

duke përdorur derivatin e dytë

1. Gjeni domenin e përkufizimit D(f) të funksionit y = f(x).

2. Njehsoni derivatin e parë

Merrni parasysh problemin e përhapur në llogaritjen e përafërt të vlerës së një funksioni duke përdorur një diferencial.

Këtu dhe më tej do të flasim për diferenciale të rendit të parë për shkurtim, shpesh do të themi thjesht "diferencial". Problemi i llogaritjeve të përafërta duke përdorur diferenciale ka një algoritëm të rreptë zgjidhjeje, dhe, për këtë arsye, nuk duhet të shfaqen vështirësi të veçanta. E vetmja gjë është se ka gracka të vogla që gjithashtu do të pastrohen. Prandaj mos ngurroni të zhyteni me kokë.

Përveç kësaj, seksioni përmban formula për gjetjen e gabimeve absolute dhe relative të llogaritjeve. Materiali është shumë i dobishëm, pasi gabimet duhet të llogariten në probleme të tjera.

Për të zotëruar me sukses shembujt, duhet të jeni në gjendje të gjeni derivatet e funksioneve të paktën në një nivel mesatar, kështu që nëse jeni plotësisht në humbje me diferencimin, ju lutemi filloni me gjetja e derivatit në një pikë dhe me gjetja e diferencialit në pikë. Nga mjetet teknike, do t'ju duhet një mikrollogaritës me funksione të ndryshme matematikore. Mund të përdorni aftësitë e MS Excel, por në këtë rast është më pak i përshtatshëm.

Mësimi përbëhet nga dy pjesë:

– Llogaritjet e përafërta duke përdorur vlerën diferenciale të një funksioni të një ndryshoreje në një pikë.

– Llogaritjet e përafërta duke përdorur diferencialin total të vlerës së një funksioni të dy ndryshoreve në një pikë.

Detyra në shqyrtim është e lidhur ngushtë me konceptin e diferencialit, por meqenëse nuk kemi ende një mësim mbi kuptimin e derivateve dhe diferencialeve, do të kufizohemi në një shqyrtim zyrtar të shembujve, i cili është mjaft i mjaftueshëm për të mësuar se si të zgjidhim ato.

Llogaritjet e përafërta duke përdorur diferencialin e një funksioni të një ndryshoreje

Në paragrafin e parë, funksioni i një ndryshoreje rregullon. Siç e dinë të gjithë, shënohet me y ose përmes f(x). Për këtë detyrë është shumë më i përshtatshëm për të përdorur shënimin e dytë. Le të kalojmë menjëherë te një shembull popullor që haset shpesh në praktikë:

Shembulli 1

Zgjidhja: Ju lutemi kopjoni në fletore formulën e punës për një llogaritje të përafërt duke përdorur një diferencial:

Le të fillojmë ta kuptojmë, gjithçka është e thjeshtë këtu!

Hapi i parë është krijimi i një funksioni. Sipas kushtit, propozohet llogaritja e rrënjës kubike të numrit: , pra funksioni përkatës ka formën: .

Duhet të përdorim formulën për të gjetur vlerën e përafërt.

Le të shohim anën e majtë formulat dhe të vjen në mendje mendimi se numri 67 duhet të paraqitet në formë. Cila është mënyra më e lehtë për ta bërë këtë? Unë rekomandoj algoritmin e mëposhtëm: llogarisni këtë vlerë në një kalkulator:

– doli të ishte 4 me bisht, ky është një udhëzues i rëndësishëm për zgjidhjen.

Si x 0 zgjidhni një vlerë "të mirë", në mënyrë që rrënja të hiqet plotësisht. Natyrisht ky kuptim x 0 duhet të jetë sa më afër deri në 67.

Në këtë rast x 0 = 64. Në të vërtetë, .

Shënim: Kur me përzgjedhjex 0 ka ende një vështirësi, thjesht shikoni vlerën e llogaritur (në këtë rast ), merrni pjesën e plotë më të afërt (në këtë rast 4) dhe ngrijeni atë në fuqinë e kërkuar (në këtë rast ). Si rezultat, do të bëhet zgjedhja e dëshiruar x 0 = 64.

Nëse x 0 = 64, pastaj rritja e argumentit: .

Pra, numri 67 përfaqësohet si një shumë

Fillimisht llogarisim vlerën e funksionit në pikë x 0 = 64. Në fakt, kjo tashmë është bërë më herët:

Diferenciali në një pikë gjendet me formulën:

– Ju gjithashtu mund ta kopjoni këtë formulë në fletoren tuaj.

Nga formula rrjedh se ju duhet të merrni derivatin e parë:

Dhe gjeni vlerën e saj në pikën x 0:

.

Kështu:

Gjithçka është gati! Sipas formulës:

Vlera e përafërt e gjetur është mjaft afër vlerës 4.06154810045 e llogaritur duke përdorur një mikrollogaritës.

Përgjigje:

Shembulli 2

Llogaritni përafërsisht duke zëvendësuar rritjet e funksionit me diferencialin e tij.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Një mostër e përafërt e modelit përfundimtar dhe përgjigja në fund të mësimit. Për fillestarët, unë rekomandoj fillimisht llogaritjen e vlerës së saktë në një mikrollogaritëse për të gjetur se çfarë numri duhet të merret si x 0, dhe cila - për Δ x. Duhet të theksohet se Δ x në këtë shembull do të jetë negativ.

Disa mund të kenë pyetur veten pse është e nevojshme kjo detyrë nëse gjithçka mund të llogaritet me qetësi dhe më saktësi në një makinë llogaritëse? Jam dakord, detyra është marrëzi dhe naive. Por do të përpiqem ta justifikoj pak. Së pari, detyra ilustron kuptimin e funksionit diferencial. Së dyti, në kohët e lashta, një kalkulator ishte diçka si një helikopter personal në kohët moderne. Unë vetë pashë se si një kompjuter me madhësinë e një dhome u hodh nga një prej instituteve diku në vitet 1985-86 (amatorë radio erdhën me vrap nga i gjithë qyteti me kaçavida dhe pas nja dy orësh mbeti vetëm rasti nga njësia ). Ne kishim gjithashtu antike në departamentin tonë të fizikës, megjithëse ato ishin më të vogla në madhësi - sa një tavolinë. Kështu luftuan paraardhësit tanë me metodat e llogaritjeve të përafërta. Një karrocë me kuaj është gjithashtu transport.

Në një mënyrë apo tjetër, problemi mbetet në kursin standard të matematikës së lartë dhe do të duhet të zgjidhet. Kjo është përgjigjja kryesore për pyetjen tuaj =).

Shembulli 3

Llogaritni afërsisht vlerën e një funksioni duke përdorur një diferencial në pikën x= 1,97. Llogaritni një vlerë më të saktë të funksionit në një pikë x= 1,97 duke përdorur një mikrollogaritës, vlerësoni gabimin absolut dhe relativ të llogaritjeve.

Në fakt, kjo detyrë mund të riformulohet lehtësisht si më poshtë: “Llogaritni vlerën e përafërt duke përdorur një diferencial"

Zgjidhja: Ne përdorim formulën e njohur:

Në këtë rast, tashmë është dhënë një funksion i gatshëm: . Edhe një herë, unë do të doja të tërhiqja vëmendjen tuaj për faktin se për të treguar një funksion, në vend të "lojë" është më i përshtatshëm për t'u përdorur f(x).

Kuptimi x= 1,97 duhet të përfaqësohet në formë x 0 = Δ x. Epo, këtu është më e lehtë, ne shohim që numri 1.97 është shumë afër "dy", kështu që sugjeron veten x 0 = 2. Dhe, prandaj: .

Le të llogarisim vlerën e funksionit në pikë x 0 = 2:

Duke përdorur formulën , le të llogarisim diferencialin në të njëjtën pikë.

Gjejmë derivatin e parë:

Dhe kuptimi i saj në pikën x 0 = 2:

Kështu, diferenciali në pikën:

Si rezultat, sipas formulës:

Pjesa e dytë e detyrës është gjetja e gabimit absolut dhe relativ të llogaritjeve.

1. Llogaritja e vlerës së përafërt të rritjes së funksionit

Shembull. Duke përdorur konceptin e diferencialit të një funksioni, llogaritni afërsisht ndryshimin në funksion kur argumenti ndryshon nga 5 në 5.01.

Le të gjejmë diferencialin e funksionit . Le të zëvendësojmë vlerat X 0 = 5, D X= 0.01. marrim

2. Llogaritja e vlerës së përafërt të funksionit

Shembull. Llogaritni një vlerë të përafërt duke përdorur diferencialin 1,998 5 .

Merrni parasysh funksionin ku X= 1.998. Le ta zbërthejmë X në X 0 dhe D X (X = X 0+D X), le X 0 = 2, pastaj D X = - 0,002.

Le të gjejmë vlerën , ,

Pastaj 1,998 5 » 32 – 0,16 = 31,84.

Derivatet dhe diferencialet e rendit te larte

Le të jetë funksioni f(x) i diferencueshëm në një interval. Më pas, duke e diferencuar, marrim derivatin e parë

Nëse gjejmë derivatin e funksionit f¢(x), marrim derivati ​​i dytë funksionet f(x).

ato. y¢¢ = (y¢)¢ ose .

.

Teoremat bazë të njehsimit diferencial

1. Teorema e Rolit. Nëse funksioni f(x) është i vazhdueshëm në interval, i diferencueshëm në intervalin (a, b) dhe vlerat e funksionit në skajet e intervalit janë të barabarta me f(a) = f(b), atëherë në intervalin (a, b) ka të paktën një pikë c (a< c < b), в которой производная f "(с) = 0.

Kuptimi gjeometrik i teoremës së Rolit. Kuptimi gjeometrik i teoremës së Rolle është se nëse kushtet e teoremës plotësohen në intervalin (a, b), ekziston një pikë c e tillë që në pikën përkatëse të kurbës y = f(x) tangjentja të jetë paralele me boshti Ox. Mund të ketë disa pika të tilla në një interval, por teorema thotë ekzistencën e të paktën një pike të tillë.

Vini re se nëse të paktën në një pikë të intervalit [ a; b Funksioni ] nuk është i diferencueshëm, atëherë derivati ​​i funksionit f(x) mund të mos shkojë në zero. Për shembull, funksioni y= 1-½ x½ është e vazhdueshme në intervalin [-1; +1], i diferencueshëm në (-1;+1) përveç në pikën x 0 = 0, dhe f(-1) = f(1) = 0, d.m.th. kushti i teoremës së Rolit cenohet në një pikë të vetme x 0 = 0 (funksioni nuk është i diferencuar në të). Është e qartë se në asnjë pikë të grafikut të funksionit në intervalin [-1; 1] tangjentja me grafikun nuk është paralele me boshtin 0 x.

Teorema e Rolle ka disa pasojat :

1) Nëse funksioni f(x) në segmentin [ a, b] plotëson teoremën e Rolle-s dhe f(a) = f(b) = 0, atëherë ka të paktën një pikë s, a< с < b , e tillë që f¢(c) = 0. Ato. Midis dy zerove të një funksioni ka të paktën një pikë në të cilën derivati ​​i funksionit është i barabartë me zero.

2) Nëse në intervalin e konsideruar ( a, b) funksion f(x) ka një derivat ( n-1) rend dhe n herë zhduket, atëherë ka të paktën një pikë në intervalin në të cilin derivati ​​( n–1) rendi i është i barabartë me zero.

2. Teorema e Lagranzhit. Nëse funksioni f(x) është i vazhdueshëm në një interval dhe i diferencueshëm në intervalin (a, b), atëherë në këtë interval ka të paktën një pikë c (a< c < b), такая, что .

Kjo do të thotë që nëse kushtet e teoremës plotësohen në një interval të caktuar, atëherë raporti i rritjes së funksionit me rritjen e argumentit në këtë interval është i barabartë me vlerën e derivatit në një pikë të ndërmjetme.

Teorema e Rolle-s e diskutuar më sipër është një rast i veçantë i teoremës së Lagranzhit.

Shprehja quhet Formula e rritjes së fundme të Lagranzhit.

Kuptimi gjeometrik i teoremës së Lagranzhit.

Le të plotësohen kushtet e teoremës së Lagranzhit, atëherë formula e Lagranzhit për shtimet e fundme është e vlefshme.

Lërini pikat A Dhe B funksionet që shtrihen në grafik kanë koordinata A (a; f(a)), B (b; f(b)), atëherë është e qartë se madhësia e fraksionit është e barabartë me tangjentën e këndit të prirjes së kordës AB në boshtin O x, d.m.th. .

Në anën tjetër, f "(c) = tga. Pra, në pikën x= c tangjente me grafikun e një funksioni y= f(x) paralel me kordën që nënshtron harkun e kurbës AB. Ky është kuptimi gjeometrik i teoremës së Lagranzhit.

3. Teorema e Cauchy-t. Nëse funksionet f(x) Dhe g(x) e vazhdueshme në segment dhe i diferencueshëm në interval (a, b) dhe g¢(x) 10 në asnjë pikë në këtë interval, atëherë ka të paktën një pikë c(a< c < b), e tillë që barazia qëndron:

.

Ato. raporti i rritjes së funksioneve në një segment të caktuar është i barabartë me raportin e derivateve në pikën Me.

Kuptimi gjeometrik i teoremës së Cauchy.

Është e lehtë të verifikohet se kuptimi gjeometrik i teoremës së Cauchy-it përkon me kuptimin gjeometrik të teoremës së Lagranzhit.

Nga njëra anë, llogaritja e diferencialit është shumë më e thjeshtë se llogaritja e rritjes nga ana tjetër, dy≈∆y dhe gabimi i lejuar në këtë rast mund të bëhet arbitrarisht i vogël duke reduktuar ∆x. Këto rrethana bëjnë të mundur në shumë raste zëvendësimin e ∆y me vlerën dy. Nga barazia e përafërt dy≈∆y, duke marrë parasysh se ∆y = f(x) – f(x 0), dhe dy=f'(x 0)(x-x 0), fitojmë f(x) ≈ f( x 0) + f'(x 0)(x – x 0), ku x-x 0 = ∆x.
Shembull. Llogaritni.
Zgjidhje. Duke marrë funksionin, kemi: . Duke supozuar x 0 =16 (ne zgjedhim veten në mënyrë që rrënja të nxirret), ∆x = 0.02, marrim .

Shembull. Njehsoni vlerën e funksionit f(x) = e x në pikën x=0.1.
Zgjidhje. Për x 0 marrim numrin 0, pra x 0 =0, pastaj ∆x=x-x 0 =0,1 dhe e 0,1 ≈e 0 + e 0 0,1 = 1+0,1 = 1,1. Sipas tabelës, e 0.1 ≈1.1052. Gabimi ishte i vogël.
Le të vërejmë një veçori më të rëndësishme të diferencialit. Formula për gjetjen e diferencialit dy=f’(x)dx është e saktë si në rastin kur xështë një variabël i pavarur, dhe në rastin kur x– funksioni i një ndryshoreje të re t. Kjo veti e një diferenciali quhet veti e pandryshueshmërisë së formës së tij. Për shembull, për funksionin y=tg(x) diferenciali do të shkruhet në formë pavarësisht nëse x variabël ose funksion i pavarur. Në rast x– funksioni është specifikuar në mënyrë specifike, për shembull x=t 2, atëherë mund të vazhdohet me llogaritjen e dy, për të cilën gjejmë dx=2tdt dhe e zëvendësojmë me shprehjen e marrë më parë për dy:
.
Nëse në vend të formulës (2) do të përdornim formulën jo-invariante (1), atëherë në rastin kur x është një funksion, nuk mund të vazhdonim llogaritjen e dy në një mënyrë të ngjashme, pasi ∆x, në përgjithësi, nuk e bën përkojnë me dx.