Probleme të kombinatorikës. Shembuj zgjidhjesh

Duhet të theksohet se kombinatorika është një degë e pavarur e matematikës së lartë (dhe jo pjesë e terverit) dhe për këtë disiplinë janë shkruar tekste me peshë, përmbajtja e të cilave, nganjëherë, nuk është më e lehtë se sa algjebra abstrakte. Sidoqoftë, një pjesë e vogël e njohurive teorike do të na mjaftojë dhe në këtë artikull do të përpiqem të analizoj në një formë të arritshme bazat e temës me probleme tipike kombinuese. Dhe shumë prej jush do të më ndihmoni ;-)

Çfarë do të bëjmë? Në një kuptim të ngushtë, kombinatorika është llogaritja e kombinimeve të ndryshme që mund të bëhen nga një grup i caktuar diskrete objektet. Objekte kuptohen si çdo objekt ose qenie e gjallë e izoluar - njerëz, kafshë, kërpudha, bimë, insekte, etj. Në të njëjtën kohë, kombinatorikës nuk i intereson aspak që grupi përbëhet nga një pjatë qull bollguri, një saldim dhe një bretkosë kënetore. Është thelbësisht e rëndësishme që këto objekte të mund të numërohen - ka tre prej tyre (diskrete) dhe e rëndësishme është që asnjëra prej tyre nuk është identike.

Jemi marrë shumë, tani për kombinimet. Llojet më të zakonshme të kombinimeve janë permutacionet e objekteve, përzgjedhja e tyre nga një grup (kombinimi) dhe shpërndarja (vendosja). Le të shohim se si ndodh kjo tani:

Permutacione, kombinime dhe vendosje pa përsëritje

Mos kini frikë nga termat e paqartë, veçanërisht pasi disa prej tyre nuk janë vërtet shumë të mira. Le të fillojmë me bishtin e titullit - çfarë do të thotë " pa përsëritje"? Kjo do të thotë se në këtë seksion do të shqyrtojmë grupe që përbëhen nga të ndryshme objektet. Për shembull, ... jo, nuk do të ofroj qull me saldator dhe një bretkocë, më mirë të kesh diçka më të shijshme =) Imagjinoni që një mollë, një dardhë dhe një banane të jenë materializuar në tryezën para jush ( nëse i keni, situata mund të simulohet në realitet). Ne shtrojmë frutat nga e majta në të djathtë në rendin e mëposhtëm:

mollë / dardhë / banane

Pyetja e parë: Në sa mënyra mund të riorganizohen?

Një kombinim tashmë është shkruar më lart dhe nuk ka probleme me pjesën tjetër:

mollë / banane / dardhë
dardhë / mollë / banane
dardhë / banane / mollë
banane / mollë / dardhë
banane / dardhë / mollë

Gjithsej: 6 kombinime ose 6 permutacionet.

Mirë, nuk ishte e vështirë të rendisje të gjitha rastet e mundshme, por po sikur të kishte më shumë objekte? Me vetëm katër fruta të ndryshme, numri i kombinimeve do të rritet ndjeshëm!

Ju lutemi hapni materialin e referencës (është i përshtatshëm për të printuar manualin) dhe në pikën nr.2 gjeni formulën për numrin e permutacioneve.

Asnjë sherr - 3 objekte mund të riorganizohen në mënyra të ndryshme.

Pyetja dy: Në sa mënyra mund të zgjidhni a) një frut, b) dy fruta, c) tre fruta, d) të paktën një frut?

Pse të zgjidhni? Kështu që ne kemi krijuar një oreks në pikën e mëparshme - për të ngrënë! =)

a) Një frut mund të zgjidhet, natyrisht, në tre mënyra - merrni ose një mollë, një dardhë ose një banane. Llogaritja formale kryhet sipas formula për numrin e kombinimeve:

Hyrja në këtë rast duhet të kuptohet si më poshtë: "në sa mënyra mund të zgjidhni 1 frut nga tre?"

b) Le të rendisim të gjitha kombinimet e mundshme të dy frutave:

mollë dhe dardhë;
mollë dhe banane;
dardhë dhe banane.

Numri i kombinimeve mund të kontrollohet lehtësisht duke përdorur të njëjtën formulë:

Hyrja kuptohet në mënyrë të ngjashme: "në sa mënyra mund të zgjidhni 2 fruta nga tre?"

c) Dhe së fundi, ekziston vetëm një mënyrë për të zgjedhur tre fruta:

Nga rruga, formula për numrin e kombinimeve mbetet kuptimplotë për një kampion bosh:
Në këtë mënyrë, ju nuk mund të zgjidhni asnjë frut të vetëm - në fakt, mos merrni asgjë dhe kjo është ajo.

d) Në sa mënyra mund të merrni të paktën një fruta? Kushti "të paktën një" nënkupton që ne jemi të kënaqur me 1 frut (ndonjë) ose çdo 2 fruta ose të tre frutat:
duke përdorur këto metoda mund të zgjidhni të paktën një frut.

Lexuesit që kanë studiuar me kujdes mësimin hyrës mbi teoria e probabilitetit, tashmë kemi hamendësuar diçka. Por më shumë për kuptimin e shenjës plus më vonë.

Për t'iu përgjigjur pyetjes tjetër më duhen dy vullnetarë... ...Epo, meqë askush nuk dëshiron, atëherë do t'ju thërras në bord =)

Pyetja e tretë: Në sa mënyra mund të shpërndani nga një frut Dasha dhe Natasha?

Për të shpërndarë dy fruta, së pari duhet t'i zgjidhni ato. Sipas paragrafit "be" të pyetjes së mëparshme, kjo mund të bëhet në mënyra, unë do t'i rishkruaj ato:

mollë dhe dardhë;
mollë dhe banane;
dardhë dhe banane.

Por tani do të ketë dy herë më shumë kombinime. Konsideroni, për shembull, çiftin e parë të frutave:
Ju mund ta trajtoni Dasha me një mollë, dhe Natasha me një dardhë;
ose anasjelltas - Dasha do të marrë dardhën, dhe Natasha do të marrë mollën.

Dhe një ndërrim i tillë është i mundur për çdo palë frutash.

Konsideroni të njëjtin grup studentësh që shkoi në vallëzim. Në sa mënyra mund të çiftohen një djalë dhe një vajzë?

Në mënyra që ju mund të zgjidhni 1 të ri;
mënyra se si mund të zgjidhni 1 vajzë.

Kështu, një i ri Dhe Ju mund të zgjidhni një vajzë: mënyrat.

Kur zgjidhet 1 objekt nga çdo grup, parimi i mëposhtëm për numërimin e kombinimeve është i vlefshëm: " çdo një objekt nga një grup mund të formojë një çift me të gjithë objekt i një grupi tjetër”.

Kjo do të thotë, Oleg mund të ftojë ndonjë nga 13 vajzat për të kërcyer, Evgeny gjithashtu mund të ftojë ndonjë nga trembëdhjetë, dhe pjesa tjetër e të rinjve kanë një zgjedhje të ngjashme. Gjithsej: çifte të mundshme.

Duhet të theksohet se në këtë shembull, "historia" e formimit të çiftit nuk ka rëndësi; megjithatë, nëse marrim parasysh iniciativën, numri i kombinimeve duhet të dyfishohet, pasi secila nga 13 vajzat mund të ftojë edhe çdo djalë për të kërcyer. E gjitha varet nga kushtet e një detyre të veçantë!

Një parim i ngjashëm vlen për kombinime më komplekse, për shembull: në sa mënyra mund të zgjidhni dy të rinj? Dhe dy vajza për të marrë pjesë në një skemë të KVN?

Bashkimi DHE lë të kuptohet qartë se kombinimet duhet të shumëzohen:

Grupe të mundshme artistësh.

Me fjalë të tjera, secili një palë djemsh (45 çifte unike) mund të performojnë me ndonjë një palë vajzash (78 çifte unike). Dhe nëse marrim parasysh shpërndarjen e roleve midis pjesëmarrësve, do të ketë edhe më shumë kombinime. ...Dua shumë, por prapë do të përmbahem nga vazhdimi për të mos ju rrënjosur një neveri ndaj jetës studentore =).

Rregulli për shumëzimin e kombinimeve vlen edhe për një numër më të madh shumëzuesish:

Problemi 8

Sa numra treshifrorë janë të plotpjesëtueshëm me 5?

Zgjidhje: për qartësi, le ta shënojmë këtë numër me tre yje: ***

NË qindra vend Mund të shkruani cilindo nga numrat (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ose 9). Zero nuk është i përshtatshëm, pasi në këtë rast numri pushon së qeni treshifror.

Por në dhjetra vend(“në mes”) mund të zgjidhni cilindo nga 10 shifrat: .

Sipas kushtit, numri duhet të plotpjesëtohet me 5. Një numër pjesëtohet me 5 nëse mbaron me 5 ose 0. Kështu, mjaftohemi me 2 shifra në shifrën më pak të rëndësishme.

Në total, ka: numra treshifrorë që pjesëtohen me 5.

Në këtë rast, vepra deshifrohet si më poshtë: “9 mënyra me të cilat mund të zgjidhni një numër qindra vend Dhe 10 mënyra për të zgjedhur një numër në dhjetra vend Dhe 2 mënyra për të hyrë shifra e njësive»

Ose edhe më e thjeshtë: " secili nga 9 shifra në qindra vend kombinon me secilin prej 10 shifrash dhjetra vend dhe me secilin nga dy shifra në shifra e njësive».

Përgjigju: 180

Dhe tani...

Po, pothuajse harrova komentin e premtuar për problemin nr. 5, në të cilin Bor, Dima dhe Volodya mund t'i shpërndahen nga një kartë secilit në mënyra të ndryshme. Shumëzimi këtu ka të njëjtin kuptim: mënyra për të hequr 3 letra nga kuverta DHE në secilin mostra riorganizoni ato në mënyra.

Dhe tani një problem për t'u zgjidhur vetë ... tani do të dal me diçka më interesante ... le të jetë për të njëjtin version rus të blackjack:

Problemi 9

Sa kombinime fituese të 2 letrave ka kur luani "pikë"?

Për ata që nuk e dinë: kombinimi fitues është 10 + ACE (11 pikë) = 21 pikë dhe, le të shqyrtojmë kombinimin fitues të dy aceve.

(rendi i letrave në asnjë çift nuk ka rëndësi)

Një zgjidhje dhe përgjigje e shkurtër në fund të mësimit.

Nga rruga, mos e konsideroni shembullin primitiv. Blackjack është pothuajse e vetmja lojë për të cilën ekziston një algoritëm i bazuar matematikisht që ju lejon të mundni kazinonë. Të interesuarit mund të gjejnë lehtësisht një mori informacionesh në lidhje me strategjinë dhe taktikat optimale. Vërtetë, mjeshtra të tillë mjaft shpejt përfundojnë në listën e zezë të të gjitha institucioneve =)

Është koha për të konsoliduar materialin e mbuluar me disa detyra të forta:

Problemi 10

Vasya ka 4 mace në shtëpi.

a) në sa mënyra mund të ulen macet në qoshet e dhomës?
b) në sa mënyra mund t'i lini macet të shkojnë për shëtitje?
c) në sa mënyra mund të marrë Vasya dy mace (njëra në të majtë, tjetra në të djathtë)?

Le të vendosim: së pari, duhet t'i kushtoni përsëri vëmendje faktit se problemi merret me të ndryshme objekte (edhe nëse macet janë binjakë identikë). Ky është një kusht shumë i rëndësishëm!

a) Heshtja e maceve. Subjekt i këtij ekzekutimi të gjitha macet menjëherë
+ vendndodhja e tyre është e rëndësishme, kështu që këtu ka ndërrime:
duke përdorur këto metoda mund të vendosni macet në qoshet e dhomës.

E përsëris se kur ndryshoni, vetëm numri i objekteve të ndryshme dhe pozicionet e tyre relative kanë rëndësi. Në varësi të gjendjes shpirtërore të Vasya, ajo mund t'i vendosë kafshët në një gjysmërreth në divan, në një rresht në dritare, etj. – në të gjitha rastet do të ketë 24 ndërrime, për lehtësi, të interesuarit mund të imagjinojnë që macet janë shumëngjyrësh (për shembull, të bardha, të zeza, të kuqe dhe tabby) dhe të listojnë të gjitha kombinimet e mundshme.

b) Në sa mënyra mund t'i lini macet të shkojnë për shëtitje?

Supozohet se macet shkojnë për shëtitje vetëm nëpër derë, dhe pyetja nënkupton indiferencë në lidhje me numrin e kafshëve - 1, 2, 3 ose të 4 macet mund të shkojnë për një shëtitje.

Ne numërojmë të gjitha kombinimet e mundshme:

Në mënyra që ju mund të lini një mace (një nga katër) të shkojë për shëtitje;
mënyra se si mund t'i lini dy mace të shkojnë për shëtitje (listoni vetë opsionet);
në mënyra që mund të lini tre mace të shkojnë për shëtitje (njëra nga katër ulet në shtëpi);
Në këtë mënyrë ju mund të lironi të gjitha macet.

Ju ndoshta keni marrë me mend se vlerat që rezultojnë duhet të përmblidhen:
mënyra se si mund t'i lini macet të shkojnë për shëtitje.

Për entuziastët, unë ofroj një version të komplikuar të problemit - kur çdo mace në çdo mostër mund të dalë rastësisht jashtë, si përmes derës ashtu edhe përmes dritares në katin e 10-të. Do të ketë një rritje të dukshme të kombinimeve!

c) Në sa mënyra mund të marrë Vasya dy mace?

Situata përfshin jo vetëm zgjedhjen e 2 kafshëve, por edhe vendosjen e tyre në secilën dorë:
Në këto mënyra mund të kapni 2 mace.

Zgjidhja e dytë: mund të zgjidhni dy mace duke përdorur metoda Dhe mënyra për të mbjellë çdo një çift në dorë:

Përgjigju: a) 24, b) 15, c) 12

Epo, për të pastruar ndërgjegjen tuaj, diçka më specifike në lidhje me shumëzimin e kombinimeve... Lëreni Vasya të ketë 5 mace shtesë =) Në sa mënyra mund t'i lini 2 mace të shkojnë për shëtitje? Dhe 1 mace?

Kjo është, me secili nja dy mace mund të lirohen çdo mace.

Një fizarmonikë tjetër me butona për zgjidhje të pavarur:

Problemi 11

Tre pasagjerë hipën në ashensorin e një pallati 12-katëshe. Të gjithë, pavarësisht nga të tjerët, mund të dalin në çdo kat (duke filluar nga kati i dytë) me probabilitet të barabartë. Në sa mënyra:

1) pasagjerët mund të zbresin në të njëjtin kat (rendi i daljes nuk ka rëndësi);
2) dy persona mund të zbresin në një kat, dhe një i tretë në tjetrin;
3) njerëzit mund të dalin në kate të ndryshme;
4) a mund të dalin pasagjerët nga ashensori?

Dhe këtu shpesh pyesin përsëri, sqaroj: nëse në të njëjtin kat dalin 2 ose 3 persona, atëherë rendi i daljes nuk ka rëndësi. MENDO, përdor formula dhe rregulla për shtimin/shumëzimin e kombinimeve. Në rast vështirësish, është e dobishme që pasagjerët të japin emra dhe të spekulojnë se në çfarë kombinimesh mund të dalin nga ashensori. Nuk ka nevojë të shqetësoheni nëse diçka nuk funksionon, për shembull, pika nr. 2 është mjaft tinëzare.

Zgjidhje e plotë me komente të detajuara në fund të mësimit.

Paragrafi i fundit i kushtohet kombinimeve që ndodhin gjithashtu mjaft shpesh - sipas vlerësimit tim subjektiv, në afërsisht 20-30% të problemeve kombinuese:

Permutacione, kombinime dhe vendosje me përsëritje

Llojet e listuara të kombinimeve janë përshkruar në paragrafin nr. 5 të materialit referues Formulat bazë të kombinatorikës, megjithatë, disa prej tyre mund të mos jenë shumë të qarta me leximin e parë. Në këtë rast, këshillohet që së pari të njiheni me shembuj praktikë dhe vetëm atëherë të kuptoni formulimin e përgjithshëm. Le të shkojmë:

Permutacione me përsëritje

Në ndërrime me përsëritje, si në permutacionet "të zakonshme", të gjitha objektet e shumta në të njëjtën kohë, por ka një gjë: në këtë grup përsëriten një ose më shumë elementë (objekte). Plotësoni standardin vijues:

Problemi 12

Sa kombinime të ndryshme shkronjash mund të fitohen duke riorganizuar letrat me shkronjat e mëposhtme: K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K?

Zgjidhje: në rast se të gjitha shkronjat ishin të ndryshme, atëherë do të duhej të zbatohej një formulë e parëndësishme, por është plotësisht e qartë se për grupin e propozuar të kartave disa manipulime do të funksionojnë "boshe", për shembull, nëse ndërroni çdo dy karta me shkronjat "K" " në çdo fjalë, ju merrni të njëjtën fjalë. Për më tepër, fizikisht kartat mund të jenë shumë të ndryshme: njëra mund të jetë e rrumbullakët me shkronjën "K" të shtypur në të, tjetra mund të jetë katrore me shkronjën "K" të vizatuar mbi të. Por sipas kuptimit të detyrës, edhe karta të tilla konsiderohen të njëjta, pasi kushti pyet për kombinimet e shkronjave.

Gjithçka është jashtëzakonisht e thjeshtë - vetëm 11 karta, duke përfshirë letrën:

K - përsëritet 3 herë;
O – përsëritet 3 herë;
L - përsëritet 2 herë;
b – përsëritet 1 herë;
H - përsëritet 1 herë;
Dhe - përsëritet 1 herë.

Kontrollo: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, që është ajo që duhet të kontrollohet.

Sipas formulës numri i permutacioneve me përsëritje:
mund të merren kombinime të ndryshme shkronjash. Më shumë se gjysmë milioni!

Për të llogaritur shpejt një vlerë të madhe faktoriale, është e përshtatshme të përdorni funksionin standard Excel: futeni në çdo qelizë =FAKT(11) dhe shtypni Hyni.

Në praktikë, është mjaft e pranueshme të mos shkruhet formula e përgjithshme dhe, përveç kësaj, të hiqen faktorët e njësisë:

Por kërkohen komente paraprake për letrat e përsëritura!

Përgjigju: 554400

Një shembull tjetër tipik i permutacioneve me përsëritje ndodh në problemin e vendosjes së pjesës së shahut, i cili mund të gjendet në magazinë zgjidhje të gatshme në pdf-në përkatëse. Dhe për një zgjidhje të pavarur, unë dola me një detyrë më pak formula:

Problemi 13

Alexey shkon për sport, dhe 4 ditë në javë - atletikë, 2 ditë - ushtrime forcash dhe 1 ditë pushim. Në sa mënyra mund të krijojë një orar javor për vete?

Formula nuk funksionon këtu sepse merr parasysh shkëmbimet e rastësishme (për shembull, ndërrimi i ushtrimeve të forcës të së mërkurës me ushtrimet e forcës të së enjtes). Dhe përsëri - në fakt, të njëjtat 2 seanca të stërvitjes së forcës mund të jenë shumë të ndryshme nga njëra-tjetra, por në kontekstin e detyrës (nga pikëpamja e orarit) ato konsiderohen të njëjtat elementë.

Zgjidhje me dy rreshta dhe përgjigje në fund të orës së mësimit.

Kombinime me përsëritje

Një tipar karakteristik i këtij lloji të kombinimit është se mostra është nxjerrë nga disa grupe, secila prej të cilave përbëhet nga objekte identike.

Të gjithë kanë punuar shumë sot, ndaj është koha për të rifreskuar veten:

Problemi 14

Mensa e studentëve shet salsiçe në brumë, djathë dhe donuts. Në sa mënyra mund të blini pesë byrekë?

Zgjidhje: i kushtoni vëmendje menjëherë kriterit tipik për kombinimet me përsëritjet - sipas kushtit, nuk është një grup objektesh si i tillë që ofrohet për zgjedhje, por lloje të ndryshme objekte; supozohet se ka të paktën pesë hot dog, 5 cheesecakes dhe 5 donuts në shitje. Byrekët në secilin grup janë, natyrisht, të ndryshëm - sepse donutët absolutisht identikë mund të simulohen vetëm në një kompjuter =) Megjithatë, karakteristikat fizike të byrekut nuk janë të rëndësishme për qëllimin e problemit, dhe hot-dog / cheesecakes / donutët në grupet e tyre konsiderohen të njëjta.

Çfarë mund të jetë në mostër? Fillimisht duhet theksuar se në mostër do të ketë patjetër pite identike (pasi zgjedhim 5 copa, dhe ka 3 lloje për të zgjedhur). Këtu ka opsione për çdo shije: 5 hot dog, 5 cheesecakes, 5 donuts, 3 hot dogs + 2 cheesecakes, 1 hot dog + 2 cheesecakes + 2 donuts, etj.

Ashtu si me kombinimet "të rregullta", rendi i përzgjedhjes dhe vendosjes së byrekut në përzgjedhje nuk ka rëndësi - ju thjesht zgjodhët 5 pjesë dhe kjo është ajo.

Ne përdorim formulën numri i kombinimeve me përsëritje:
Me këtë metodë mund të blini 5 byrekë.

Mirë oreks!

Përgjigju: 21

Çfarë përfundimi mund të nxirret nga shumë probleme kombinuese?

Ndonjëherë gjëja më e vështirë është të kuptosh gjendjen.

Një shembull i ngjashëm për një zgjidhje të pavarur:

Problemi 15

Portofoli përmban një numër mjaft të madh monedhash 1, 2, 5 dhe 10 rubla. Në sa mënyra mund të hiqen tre monedha nga një portofol?

Për qëllime të vetëkontrollit, përgjigjuni disa pyetjeve të thjeshta:

1) A mund të jenë të ndryshme të gjitha monedhat në mostër?
2) Emërtoni kombinimin "më të lirë" dhe "më të shtrenjtë" të monedhave.

Zgjidhja dhe përgjigjet në fund të orës së mësimit.

Nga përvoja ime personale, mund të them se kombinimet me përsëritje janë mysafiri më i rrallë në praktikë, gjë që nuk mund të thuhet për llojin e mëposhtëm të kombinimeve:

Vendosjet me përsëritje

Nga një grup i përbërë nga elementë, zgjidhen elementë dhe renditja e elementeve në secilën përzgjedhje është e rëndësishme. Dhe gjithçka do të ishte mirë, por një shaka mjaft e papritur është se ne mund të zgjedhim çdo objekt të grupit origjinal sa herë të duam. Në mënyrë figurative, «turma nuk do të pakësohet».

Kur ndodh kjo? Një shembull tipik është një bllokim i kombinuar me disa disqe, por për shkak të zhvillimeve teknologjike, është më e rëndësishme të merret parasysh pasardhësi i tij dixhital:

Problemi 16

Sa kode PIN me katër shifra ka?

Zgjidhje: në fakt, për të zgjidhur problemin mjafton njohja e rregullave të kombinatorikës: në mënyra mund të zgjidhni shifrën e parë të kodit PIN. Dhe mënyra - shifra e dytë e kodit PIN Dhe në po aq mënyra - e treta Dhe i njëjti numër - i katërti. Kështu, sipas rregullit të shumëzimit të kombinimeve, një kod pin katërshifror mund të kompozohet në: mënyra.

Dhe tani duke përdorur formulën. Sipas kushtit, na ofrohet një grup numrash, nga të cilët zgjidhen dhe renditen numrat në një rend të caktuar, ndërsa numrat në mostër mund të përsëriten (d.m.th. çdo shifër e grupit origjinal mund të përdoret një numër arbitrar herë). Sipas formulës për numrin e vendosjeve me përsëritje:

Përgjigju: 10000

Çfarë të vjen ndërmend këtu... ...nëse ATM-ja "e ha" kartën pas përpjekjes së tretë të pasuksesshme për të futur kodin PIN, atëherë shanset për ta marrë atë në mënyrë të rastësishme janë shumë të pakta.

Dhe kush tha që kombinatorika nuk ka kuptim praktik? Detyrë njohëse për të gjithë lexuesit e faqes:

Problemi 17

Sipas standardit shtetëror, targa e makinës përbëhet nga 3 numra dhe 3 shkronja. Në këtë rast, një numër me tre zero është i papranueshëm dhe shkronjat zgjidhen nga grupi A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X. (përdoren vetëm ato shkronja cirilike, drejtshkrimi i të cilave përkon me shkronjat latine).

Sa targa të ndryshme mund të krijohen për një rajon?

Meqë ra fjala, jo shumë prej tyre. Në rajone të mëdha nuk ka një sasi të tillë të mjaftueshme, dhe për këtë arsye për ta ka disa kode për mbishkrimin RUS.

Zgjidhja dhe përgjigja janë në fund të mësimit. Mos harroni të përdorni rregullat e kombinatorikës ;-) ...Doja të tregoja atë që ishte ekskluzive, por doli të mos ishte ekskluzive =) Shikova Wikipedia - ka llogaritje atje, megjithëse pa komente. Edhe pse për qëllime edukative, me siguri, pak njerëz e zgjidhën atë.

Mësimi ynë emocionues ka marrë fund dhe më në fund dua të them se nuk e keni humbur kohën tuaj - për arsye se formulat e kombinatorikës gjejnë një aplikim tjetër praktik jetësor: ato gjenden në probleme të ndryshme në teoria e probabilitetit,
dhe në problemet që përfshijnë përcaktimin klasik të probabilitetit- veçanërisht shpesh =)

Faleminderit të gjithëve për pjesëmarrjen tuaj aktive dhe shihemi së shpejti!

Zgjidhje dhe përgjigje:

Detyra 2: Zgjidhje: gjeni numrin e të gjitha ndërrimeve të mundshme të 4 kartave:

Kur një kartë me zero vendoset në vendin e parë, numri bëhet treshifror, kështu që këto kombinime duhet të përjashtohen. Le të jetë zero në vendin e parë, atëherë 3 shifrat e mbetura në shifrat e poshtme mund të riorganizohen në mënyra të ndryshme.

Shënim : sepse Meqenëse ka vetëm disa karta, është e lehtë të renditësh të gjitha opsionet këtu:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Kështu, nga grupi i propozuar mund të bëjmë:
24 – 6 = 18 numra katërshifrorë
Përgjigju : 18

Detyra 4: Zgjidhje: në mënyra që ju mund të zgjidhni 3 letra nga 36.
Përgjigju : 7140

Detyra 6: Zgjidhje: mënyrat.
Një zgjidhje tjetër : mënyra se si mund të zgjidhni dy persona nga grupi dhe dhe
2) Seti "më i lirë" përmban 3 monedha rubla, dhe më "i shtrenjtë" - 3 monedha dhjetë rubla.

Problemi 17: Zgjidhje: duke përdorur këto metoda, ju mund të krijoni një kombinim dixhital të një numri makine, ndërsa një prej tyre (000) duhet të përjashtohet: .
duke përdorur këto metoda mund të krijoni një kombinim shkronjash të një numri targash.
Sipas rregullit të shumëzimit të kombinimeve, totali mund të bëhet:
targa
(secili Kombinimi dixhital është i kombinuar me secilin kombinim shkronjash).
Përgjigju : 1726272

2017-2018 Punë trajnuese në matematikë, klasa 11

Opsioni 2 (bazë)

Përgjigja për çdo detyrë është një thyesë dhjetore përfundimtare, numër i plotë ose sekuencë numrash. Shkruani përgjigjet e detyrave në fushën e përgjigjeve në tekstin e punës dhe më pas transferojini në formularin e përgjigjeve nr. 1 në të djathtë të numrit të detyrës përkatëse. Nëse përgjigja është një sekuencë numrash, atëherë shkruajeni këtë sekuencë në formën e përgjigjes nr. 1pa hapësira, presje ose karaktere të tjera shtesë. Shkruani çdo numër, shenjë minus dhe presje në një kuti të veçantë. Nuk ka nevojë të shkruani njësi matëse.

1

Përgjigje: _________________.

2 . Gjeni kuptimin e shprehjes:

Përgjigje: _________________.

3 . Në shkollë, vajzat përbëjnë 51% të të gjithë nxënësve. Sa vajza ka në këtë shkollë nëse janë 8 më shumë se djem?

Përgjigje: _________________.

4 . Mesatarja harmonike e tre numraveA , b Dheme, llogaritet me formulën Gjeni mesataren harmonike të numrave

Përgjigje: _________________.

5. Llogaritni:

Përgjigje: _________________.

6 . Në konviktin e burrave të institutit, në çdo dhomë mund të akomodohen jo më shumë se tre persona. Cili është numri më i vogël i dhomave që nevojiten për të akomoduar 79 studentë jashtë qytetit?

Përgjigje: _________________.

7 .Gjeni rrënjën e ekuacionit

Përgjigje: _________________.

8 . Apartamenti përbëhet nga dy dhoma, një kuzhinë, një korridor dhe një banjo (shih vizatimin). Dhoma e parë ka përmasa 4 m me 4 m, dhoma e dytë ka përmasa 4 m me 3,5 m, kuzhina ka përmasa 4 m me 3,5 m dhe banjo është 1,5 m me 2 m Gjeni sipërfaqen e korridorit. Jepni përgjigjen tuaj në metra katrorë.

Përgjigje: _________________.

9 . Vendosni një korrespondencë midis sasive dhe vlerave të tyre të mundshme: për secilin element të kolonës së parë, zgjidhni elementin përkatës nga kolona e dytë.

VLERA VLERAVE

A) vëllimi i sirtarit të gjoksit 1) 0,75 l

B) vëllimi i ujit në detin Kaspik 2) 78200 km 3

C) vëllimi i paketës ryazhenka 3) 96 l

D) vëllimi i një vagoni hekurudhor 4) 90 m 3

Në tabelë, nën secilën shkronjë që korrespondon me një vlerë, tregoni numrin e vlerës së saj të mundshme.

Përgjigje:

10 . Në Olimpiadën e Gjuhës Ruse, pjesëmarrësit janë ulur në tre audienca. Në dy të parat janë 130 persona, të tjerët dërgohen në një auditor rezervë në një godinë tjetër. Gjatë numërimit, rezultoi se ishin 400 pjesëmarrës në total. Gjeni probabilitetin që një pjesëmarrës i përzgjedhur rastësisht të shkruante konkursin në një klasë të lirë.

Përgjigje: _________________.

11 . Figura tregon një grafik të vlerave të presionit atmosferik në një qytet të caktuar për tre ditë. Ditët e javës dhe koha tregohen horizontalisht, dhe vlerat e presionit atmosferik në milimetra të merkurit tregohen vertikalisht. Gjeni presionin atmosferik të mërkurën në orën 12. Jepni përgjigjen tuaj në milimetra merkur.

Përgjigje: ____________.

Përgjigje: _________________.

13. Një piramidë e rregullt gjashtëkëndore me skajin 1 ishte ngjitur në një prizëm të rregullt gjashtëkëndor me skajin 1 në mënyrë që skajet e bazave të përputheshin. Sa faqe ka poliedri që rezulton (skajet e padukshme nuk tregohen në figurë)?

Përgjigje: _________________.

14. Figura tregon grafikun e funksionit PikatA, B, C, DDheEvendosur në boshtX katër intervale. Duke përdorur grafikun, përputhni çdo interval me një karakteristikë të funksionit ose derivatit të tij.

INTERVALET E KARAKTERISTIKAVE TË NJË FUNKSIONI APO DERIVATIV

A) (A; B) 1) funksioni ndryshon shenjën nga "–" në "+"

B) (B; C) 2) derivati ​​ndryshon shenjën nga "–" në "+"

B) (C;D) 3) derivati ​​ndryshon shenjën nga "+" në "-"

G) (D; E) 4) funksioni është pozitiv dhe në rritje

Në tabelë, nën secilën shkronjë, tregoni numrin përkatës.

Përgjigje: _________________.

16 . Jepen dy kuti në formën e një prizmi të rregullt katërkëndor. Kutia e parë është katër herë e gjysmë më e ulët se e dyta, dhe e dyta është tre herë më e ngushtë se e para. Sa herë vëllimi i kutisë së parë është më i madh se vëllimi i të dytës?

Përgjigje: _________________.

17. Secila nga katër pabarazitë në kolonën e majtë korrespondon me një nga zgjidhjet në kolonën e djathtë. Vendosni korrespondencën midis pabarazive dhe zgjidhjeve të tyre.

ZGJIDHJE TË PABARAZISË

A)

B)

IN)

G)

Shkruani numrin përkatës të zgjidhjes në tabelën e dhënë në përgjigje nën secilën shkronjë.

Përgjigje:

Zgjidhni pohimet që janë të vërteta në kushtet e dhëna.

1) Nga ekipet e përmendura, skuadra kanadeze zuri vendin e dytë për nga numri i medaljeve.

2) Ndër skuadrat e përmendura janë tre që kanë fituar një numër të barabartë medaljesh.

3) Skuadra gjermane fitoi më shumë medalje se skuadra ruse.

4) Skuadra ruse fitoi më shumë medalje se secila nga tre ekipet e tjera.

Në përgjigjen tuaj, tregoni numrat e pohimeve të sakta në rend rritës.

Përgjigje: _________________.

19 . Çiftetnumër treshifrorA përbëhet nga numrat 3; 4; 8; 9, açiftenumër treshifrorNE - nga numrat 6; 7; 8; 9. Dihet seNË = 2 A. Gjeni numrinA. Në përgjigjen tuaj, tregoni një numër të tillë, përveç numrit 3489.

Përgjigje: _________________.

20 . Drejtkëndëshi ndahet në katër drejtkëndësha të vegjël nga dy prerje të drejta. Perimetrat e tre prej tyre, duke filluar nga lart majtas dhe më pas në drejtim të akrepave të orës, janë 17, 15 dhe 18. Gjeni perimetrin e drejtkëndëshit të katërt.

15

?

18

Unë u ofroj lexuesve të Habrakhabr një përkthim të botimit "100 Prisoners Escape Puzzle", të cilin e gjeta në faqen e internetit të DataGenetics. Ju lutemi dërgoni çdo gabim në lidhje me këtë artikull në mesazhe private.

Sipas problemit, në burg janë 100 të burgosur, secili prej të cilëve ka një numër personal nga 1 deri në 100. Burgu vendos t'u japë të burgosurve mundësinë për t'u liruar dhe u ofron të kalojnë një test që ai ka shpikur. Nëse të gjithë të burgosurit kanë sukses, atëherë ata janë të lirë, nëse të paktën një dështon, të gjithë do të vdesin.

Detyrë

Konkursi fillon, rojtari i burgut e çon çdo të burgosur një nga një në një dhomë me kuti dhe u thotë të burgosurve se duhet të gjejnë një kuti që do të përmbajë një tabelë me numrin e të burgosurit. Të burgosurit përpiqen të gjejnë targat e tyre duke hapur kutitë. Çdo person lejohet të hapë deri në 50 kuti; nëse secili prej të burgosurve gjen numrin e tij, atëherë të burgosurit do të lirohen, nëse të paktën njëri prej tyre nuk e gjen numrin e tij në 50 përpjekje, atëherë të gjithë të burgosurit do të vdesin.

Që të burgosurit të lirohen, të gjithë të burgosurit duhet ta kalojnë testin.

Pra, cila është mundësia që të burgosurit të falen?

• Pasi të jetë hapur kutia nga i burgosuri dhe të ketë kontrolluar tabelën, ajo vendoset përsëri në kuti dhe kapaku mbyllet përsëri;
• Pllakat nuk mund të ndërrohen në vende;
• Të burgosurit nuk mund të lënë gjurmë për njëri-tjetrin ose të ndërveprojnë me njëri-tjetrin në asnjë mënyrë pasi të fillojë testi;
• Të burgosurit lejohen të diskutojnë strategjinë përpara se të fillojë testi.

Cila është strategjia optimale për të burgosurit?

Pyetje shtesë:

Nëse një koleg i burgosur (jo pjesëmarrës në test) do të ketë mundësinë të hyjë në dhomën sekrete përpara fillimit të testit, ekzaminoni të gjitha shenjat në të gjitha kutitë dhe (opsionale, por jo e nevojshme) ndërroni dy shenja nga dy kuti ( në këtë rast, miku nuk do të ketë mundësinë të - informojë të burgosurit për rezultatin e veprimeve të tij), çfarë strategjie duhet të marrë për të rritur shanset e të burgosurve për shpëtim?

A është e pamundur zgjidhja?

Shanset për një të burgosur janë 50:50. Gjithsej janë 100 kuti dhe ai mund të hapë deri në 50 kuti në kërkim të shenjës së tij. Nëse ai hap kutitë në mënyrë të rastësishme dhe hap gjysmën e të gjitha kutive, ai do të gjejë shenjën e tij në gjysmën e hapur të kutive, ose shenja e tij do të mbetet në 50 kutitë e mbyllura. Shanset e tij për sukses janë ½.

Le të marrim dy të burgosur. Nëse të dy zgjedhin kuti në mënyrë të rastësishme, shanset për secilën prej tyre do të jenë ½, dhe për të dyja ½x½=¼.
(për dy të burgosur, suksesi do të jetë në një rast nga katër).

Për tre të burgosur shanset do të jenë ½ × ½ × ½ = ⅛.

Për 100 të burgosur, gjasat janë: ½ × ½ × … ½ × ½ (shumëzuar 100 herë).

Kjo është e barabartë

Pr ≈ 0.000000000000000000000000000000008

Kjo do të thotë, ky është një shans shumë i vogël. Në këtë situatë, me shumë mundësi, të gjithë të burgosurit do të jenë të vdekur.

Përgjigje e pabesueshme

Më shumë se 30% për të 100 të burgosurit! Po, kjo është edhe më e mirë se shanset për dy të burgosur, me kusht që të hapin kutitë në mënyrë të rastësishme. Por si është e mundur kjo?

Është e qartë se një për çdo të burgosur, shanset nuk mund të jenë më të larta se 50% (në fund të fundit, nuk ka asnjë mënyrë për komunikim mes të burgosurve). Por mos harroni se informacioni ruhet në rregullimin e pllakave brenda kutive. Askush nuk i ngatërron shenjat ndërmjet vizitave individuale të të burgosurve në dhomë, kështu që ne mund ta përdorim këtë informacion.

Zgjidhje

Strategjia është jashtëzakonisht e lehtë. I burgosuri i parë hap kutinë me numrin e shkruar në rroba. Për shembull, i burgosuri numër 78 hap një kuti me numrin 78. Nëse e gjen numrin e tij në një tabelë brenda kutisë, kjo është shumë mirë! Nëse jo, ai shikon numrin në pjatë në kutinë "e tij" dhe më pas hap kutinë tjetër me atë numër. Pasi hapi kutinë e dytë, shikon numrin e pllakës brenda kësaj kutie dhe hap kutinë e tretë me këtë numër. Më pas, ne thjesht e transferojmë këtë strategji në kutitë e mbetura. Për qartësi, shikoni foton:

Përfundimisht, i burgosuri ose do të gjejë numrin e tij ose do të arrijë kufirin e 50 kutive. Në pamje të parë, kjo duket e pakuptimtë në krahasim me thjesht zgjedhjen e rastësishme të një kutie (dhe për një të burgosur individual po), por duke qenë se të 100 të burgosurit do të përdorin të njëjtin grup kutish, ka kuptim.

E bukura e këtij problemi matematikor nuk është vetëm njohja e rezultatit, por edhe të kuptuarit Pse kjo strategji funksionon.

Pra, pse funksionon strategjia?

Nëse mendoni për këtë, kutitë formojnë një zinxhir të mbyllur rrethor. Një kuti mund të jetë pjesë e vetëm një zinxhiri, pasi brenda një kutie ka vetëm një tregues në tjetrin dhe, në përputhje me rrethanat, në kutinë e mëparshme ka vetëm një tregues për një kuti të caktuar (programuesit mund të shohin analogjinë me listat e lidhura) .

Nëse kutia nuk tregon drejt vetes (numri i kutisë është i barabartë me numrin e pllakës në të), atëherë do të jetë në zinxhir. Disa zinxhirë mund të përbëhen nga dy kuti, disa janë më të gjata.

Meqenëse të gjithë të burgosurit fillojnë me një kuti me të njëjtin numër si rrobat e tyre, ata, sipas përkufizimit, vendosen në një zinxhir që përmban shenjën e tyre (ka vetëm një shenjë që tregon në atë kuti).

Duke eksploruar kutitë në një rreth përgjatë këtij zinxhiri, ata janë të garantuar që përfundimisht të gjejnë shenjën e tyre.

Pyetja e vetme mbetet nëse do ta gjejnë shenjën e tyre në 50 lëvizje.

Gjatësia e zinxhirit

Nëse gjatësia maksimale e zinxhirit më të gjatë është më pak se 50 kuti, atëherë të gjithë të burgosurit do ta kalojnë testin!

Mendoni për këtë për një sekondë. Rezulton se mund të ketë vetëm një zinxhir që është më i gjatë se 50 kuti në çdo paraqitje të pllakave (ne kemi vetëm 100 kuti, kështu që nëse një zinxhir është më i gjatë se 50, atëherë pjesa tjetër do të jetë më e shkurtër se 50 në fund) .

Shanset për një plan urbanistik me një zinxhir të gjatë

Pak më shumë matematikë

Për një zinxhir me gjatësi l, probabiliteti që kutitë të jenë jashtë këtij zinxhiri është i barabartë me:

Ka (l-1) në këtë koleksion numrash! mënyra për të vendosur shenja.

Shenjat e mbetura mund të gjenden (100-l)! mënyra (mos harroni se gjatësia e zinxhirit nuk i kalon 50).

Duke pasur parasysh këtë, numri i permutacioneve që përmbajnë një zinxhir me gjatësi të saktë l: (>50)

Rezulton se ka 100(!) mënyra për të rregulluar shenjat, kështu që probabiliteti i ekzistencës së një zinxhiri me gjatësi l është i barabartë me 1/l. Nga rruga, ky rezultat nuk varet nga numri i kutive.

Siç e dimë tashmë, mund të ketë vetëm një opsion në të cilin ka një zinxhir me gjatësi > 50, kështu që probabiliteti i suksesit llogaritet duke përdorur këtë formulë:

Rezultati

Probabiliteti që të gjithë të burgosurit të gjejnë shenjat e tyre dhe të kalojnë testin është 31.18%

Më poshtë është një grafik që tregon probabilitetet (në boshtin y) për të gjithë zinxhirët me gjatësi l (në boshtin x). Ngjyra e kuqe përfaqëson të gjitha "dështimet" (lakorja e dhënë këtu është vetëm një grafik 1/l). E gjelbër do të thotë "sukses" (llogaritja është pak më e komplikuar për këtë pjesë të grafikut pasi ka disa mënyra për të përcaktuar gjatësinë maksimale<50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.

Numri harmonik (kjo pjesë e artikullit është për geeks)

Le të llogarisim kufirin nëse në vend të kutive 100a kemi një numër të madh arbitrar të kutive (le të supozojmë se kemi gjithsej 2n kuti).

Konstanta Euler-Mascheroni është një konstante e përcaktuar si kufiri i diferencës midis shumës së pjesshme të një serie harmonike dhe logaritmit natyror të një numri.

Me rritjen e numrit të të burgosurve, nëse gardiani i lejon të burgosurit të hapin gjysmën e të gjitha kutive, atëherë mundësia e shpëtimit shkon në 30,685%.

(Nëse keni marrë një vendim në të cilin të burgosurit hamendësojnë rastësisht kutitë, atëherë me rritjen e numrit të të burgosurve, probabiliteti i shpëtimit priret në zero!)

Pyetje shtesë

Tani ne tashmë e dimë zgjidhjen, kështu që strategjia këtu është e thjeshtë: ai duhet të studiojë të gjitha shenjat dhe të gjejë zinxhirin më të gjatë të kutive. Nëse zinxhiri më i gjatë është më i vogël se 50, atëherë ai nuk ka nevojë të ndryshojë fare pllakat, ose t'i ndryshojë ato në mënyrë që zinxhiri më i gjatë të mos bëhet më i gjatë se 50. Megjithatë, nëse ai gjen një zinxhir më të gjatë se 50 kuti, gjithçka që duhet të bëjë është të ndërrojë përmbajtjen e dy kutive nga ai zinxhir për të ndarë zinxhirin në dy zinxhirë më të shkurtër.

Si rezultat i kësaj strategjie, nuk do të ketë zinxhirë të gjatë dhe të gjithë të burgosurit janë të garantuar të gjejnë shenjën dhe shpëtimin e tyre. Pra, duke ndërruar dy shenjat, ne ulim probabilitetin e shpëtimit në 100%!

Mos harroni se vëllimi i një paralelepipedi drejtkëndor (ose i një kutie të zakonshme) është i barabartë me produktin e gjatësisë, gjerësisë dhe lartësisë së tij. Nëse kutia juaj është drejtkëndore ose katrore, atëherë gjithçka që duhet të dini është gjatësia, gjerësia dhe lartësia e saj. Për të marrë vëllimin, është e nevojshme të shumëzohen rezultatet e matjes. Formula e llogaritjes në formë të shkurtuar shpesh paraqitet si më poshtë: V = L x W x H.
Shembull problemi: "Nëse gjatësia e një kutie është 10 cm, gjerësia është 4 cm dhe lartësia është 5 cm, atëherë sa është vëllimi i saj?"
V = L x P x H
V = 10 cm x 4 cm x 5 cm
V = 200 cm 3
"Lartësia" e një kutie mund të quhet "thellësi". Për shembull, problemi mund të përmbajë informacionin e mëposhtëm: "Gjatësia e kutisë është 10 cm, gjerësia është 4 cm dhe thellësia është 5 cm."

2
Matni gjatësinë e kutisë. Nëse e shikoni kutinë nga lart, ajo do të shfaqet para syve tuaj në formën e një drejtkëndëshi. Gjatësia e kutisë do të jetë ana më e gjatë e këtij drejtkëndëshi. Regjistroni rezultatin e matjes për këtë anë si vlerë për parametrin "gjatësia".
Kur bëni matje, sigurohuni që të përdorni njësi matëse uniforme. Nëse e keni matur njërën anë në centimetra, atëherë edhe anët e tjera duhet të maten në centimetra.

3
Matni gjerësinë e kutisë. Gjerësia e kutisë do të përfaqësohet nga ana tjetër, më e shkurtër e drejtkëndëshit e dukshme nga lart. Nëse lidhni vizualisht anët e kutisë të matur në gjatësi dhe gjerësi, ato do të shfaqen në formën e shkronjës "L". Regjistroni matjen e fundit si "gjerësi".
Gjerësia është gjithmonë ana më e shkurtër e kutisë.

4
Matni lartësinë e kutisë. Ky është parametri i fundit që nuk e keni matur ende. Ai përfaqëson distancën nga buza e sipërme e kutisë deri në fund. Regjistroni këtë matje si "lartësi".
Në varësi të cilës anë e vendosni kutinë, anët specifike që etiketoni "gjatësi", "gjerësi" ose "lartësi" mund të jenë të ndryshme. Megjithatë, kjo nuk ka rëndësi, ju nevojiten vetëm matje nga tre anë të ndryshme.

5
Shumëzoni së bashku rezultatet e tre matjeve. Siç është përmendur tashmë, formula për llogaritjen e vëllimit është si më poshtë: V = Gjatësia x Gjerësia x Lartësia; prandaj, për të marrë vëllimin, thjesht shumëzoni të tre anët. Sigurohuni që të tregoni njësitë e matjes që keni përdorur në llogaritje, në mënyrë që të mos harroni se çfarë nënkuptojnë saktësisht vlerat e marra.

6
Kur caktoni njësi të matjes së vëllimit, mos harroni të tregoni fuqinë e tretë "3". Vëllimi i llogaritur ka një shprehje numerike, por pa njësitë e sakta të matjes, llogaritjet tuaja do të jenë të pakuptimta. Për të pasqyruar saktë njësitë e vëllimit, ato duhet të tregohen në një kub. Për shembull, nëse të gjitha anët do të maten në centimetra, atëherë njësitë e vëllimit do të tregohen si "cm3".
Shembull problemi: "Nëse një kuti është 2 m e gjatë, 1 m e gjerë dhe 3 m e lartë, sa është vëllimi i saj?"
V = L x P x H
V = 2 m x 1 m x 4 m
V = 8 m3
Shënim: Specifikimi i njësive të vëllimit kub ju lejon të kuptoni se sa prej këtyre kubeve mund të vendosen brenda kutisë. Nëse i referohemi shembullit të mëparshëm, kjo do të thotë se tetë metra kub futen në kuti.

Llogaritja e vëllimit të kutive të formave të tjera

Përcaktoni vëllimin e cilindrit. Cilindri është një tub i rrumbullakët me rrathë në të dy skajet. Për të përcaktuar vëllimin e një cilindri, përdoret formula: V = π x r 2 x h, ku π = 3,14, r është rrezja e anës së rrumbullakët të cilindrit dhe h është lartësia e tij.
Për të përcaktuar vëllimin e një koni, ose piramide me bazë të rrumbullakët, përdoret e njëjta formulë, por shumëzuar me 1/3. Kjo do të thotë, vëllimi i konit llogaritet me formulën: V = 1/3 (π x r 2 x h)

2
Përcaktoni vëllimin e piramidës. Një piramidë është një figurë me një bazë të sheshtë dhe anët që konvergojnë në majë në një pikë. Për të përcaktuar vëllimin e një piramide, duhet të merrni 1/3 e produktit të sipërfaqes së bazës dhe lartësisë së saj. Kjo do të thotë, formula e llogaritjes është si më poshtë: Vëllimi i piramidës = 1/3 (Sipërfaqja e bazës x Lartësia).
Në shumicën e rasteve, piramidat kanë një bazë katrore ose drejtkëndore. Në një situatë të tillë, sipërfaqja e bazës llogaritet duke shumëzuar gjatësinë e bazës me gjerësinë.

Për të përcaktuar vëllimin e një kutie me forma komplekse, shtoni vëllimet e pjesëve të saj individuale. Për shembull, mund t'ju duhet të matni vëllimin e një kutie që ka formën e shkronjës "L". Në këtë mënyrë kutia do të ketë më shumë anë për të matur. Nëse e ndani këtë kuti në dy pjesë, mund të matni volumin e këtyre dy pjesëve në mënyrë standarde dhe më pas të shtoni vlerat që rezultojnë. Në rastin e një kutie në formë L, pjesa më e gjatë mund të konsiderohet si një kuti e veçantë drejtkëndore e gjatë, dhe pjesa më e shkurtër si një kuti katrore (ose pothuajse katrore) e bashkangjitur me të.
Nëse kutia juaj ka forma shumë komplekse, atëherë dijeni se ka shumë mënyra për të përcaktuar vëllimin e objekteve të çdo forme.

Probleme kombinuese

1 . Katya, Masha dhe Ira po luajnë me një top. Secili prej tyre duhet të hedhë topin drejt çdo shoku një herë. Sa herë duhet të hedhë topin secila vajzë? Sa herë do të hidhet topi? Përcaktoni sa herë do të hidhet topi nëse në lojë marrin pjesë personat e mëposhtëm: katër fëmijë; pesë fëmijë.

2 . Janë dhënë tre fasada dhe dy çati, me të njëjtën formë, por të lyera me ngjyra të ndryshme: fasadat janë të verdha, blu dhe të kuqe, dhe çatitë janë blu dhe të kuqe. Çfarë lloj shtëpish mund të ndërtohen? Sa kombinime ka gjithsej?

3 . Janë dhënë tre fasada shtëpish me të njëjtën formë: blu, të verdhë dhe të kuqe - dhe tre çati: blu, të verdhë dhe të kuqe. Çfarë lloj shtëpish mund të ndërtohen? Sa kombinime ka gjithsej?

4 . Modelet në flamuj mund të jenë në formën e një rrethi, katrori, trekëndëshi ose ylli, dhe ato mund të jenë me ngjyrë jeshile ose të kuqe. Sa flamuj të ndryshëm mund të ketë?

5. Në mensën e shkollës për drekë përgatiteshin mish, kotele dhe peshk si pjata të dyta. Për ëmbëlsirë - akullore, fruta dhe byrek. Mund të zgjidhni një pjatë kryesore dhe një ëmbëlsirë. Sa opsione të ndryshme të drekës ka?

6. Në mensën e shkollës, për drekë përgatiteshin supë me mish dhe supë vegjetariane si pjata e parë, mish, kotele dhe peshk për pjatën e dytë, dhe akullore, fruta dhe byrek për ëmbëlsirë. Sa opsione të ndryshme ka për një vakt me tre pjata?

7. Në sa mënyra mund të ulen tre nxënës në një rresht në karrige? Shkruani të gjitha rastet e mundshme.

8 . Në sa mënyra mund të qëndrojnë katër (pesë) persona me radhë?

9 . Tre shtigje ngjiten në kodër nga anë të ndryshme dhe konvergojnë në majë. Krijoni rrugë të shumta për t'u ngjitur dhe poshtë kodrës. Zgjidheni të njëjtin problem nëse duhet të shkoni lart e poshtë përgjatë shtigjeve të ndryshme.

10 . Ka tre rrugë që çojnë nga Akulovo në Rybnitsa dhe katër rrugë nga Rybnitsa në Kitovo. Në sa mënyra mund të udhëtoni nga Akulovo në Kitovo përmes Rybnitsa?

11 . Një rrokje quhet e hapur nëse fillon me një bashkëtingëllore dhe mbaron me një zanore. Sa rrokje të hapura me dy shkronja mund të shkruhen duke përdorur shkronjat "a", "b", "c", "d", "e", "i", "o"? Shkruani këto rrokje.

12. Sa kostume të ndryshme mund të bëhen nga një bluzë dhe një fund nëse ka 4 bluza dhe 4 funde?

13. Kur Petya shkon në shkollë, ai ndonjëherë takon një ose më shumë nga miqtë e tij: Vasya, Lenya, Tolya. Listoni të gjitha rastet e mundshme që mund të ndodhin.

14 . Shkruani të gjithë numrat e mundshëm dyshifrorë duke përdorur numrat 7 dhe 4.

15 . Misha planifikoi të blinte: një laps, një vizore, një bllok shënimesh dhe një fletore. Sot ai bleu vetëm dy artikuj të ndryshëm. Çfarë mund të blinte Misha, nëse supozojmë se dyqani kishte të gjitha furnizimet edukative që i nevojiteshin?

16 . Të katër personat shtrënguan duart.

17 Sa shtrëngime duarsh kishte gjithsej?

18 . Sa numra dyshifrorë ka që nuk përmbajnë shifrën 0?

19 . Shkruani të gjithë numrat e mundshëm treshifrorë që mund të bëhen nga numrat 1 dhe 2.

20 . Shkruani të gjithë numrat e mundshëm çift treshifror të përbërë nga shifrat 1 dhe 2.

21 . Shkruani të gjithë numrat e mundshëm dyshifrorë që përdorin numrat 2, 8 dhe 5.

22 . Cilët numra treshifrorë mund të shkruhen duke përdorur numrat 3, 7 dhe 1, me kusht që numri të mos përmbajë shifra identike? Sa numra të tillë?

23 . Sa numra treshifrorë mund të bëhen nga shifrat 1, 2, 4, 6 nëse asnjë shifër nuk përdoret më shumë se një herë? Sa nga këta numra do të jenë çift? Sa të çuditshme?

24 . Ka pesë vende në makinë. Në sa mënyra mund të futen pesë persona në këtë makinë nëse vetëm dy prej tyre mund të zënë vendin e shoferit?

25. Ka 5 tavolina teke në klasë. Në sa mënyra mund të ulen mbi to dy (tre) nxënës të sapoardhur?

26 . Kujtoni fabulën "Kuartet" të I. Krylov:

Majmuni keq, Gomari, Bricjapi dhe Ariu me këmbë shkop filluan të luanin një Kuartet. Ata godasin harqet, luftojnë, por nuk ka kuptim. “Ndal o vëllezër, ndalo! - bërtet majmuni. - Prit! Si duhet të shkojë muzika? Nuk ulesh kështu.” Në sa mënyra të ndryshme mund të përpiqen të ulen këta muzikantë? A mund të përmirësojë kjo cilësinë e lojës së tyre?

27 . Djemtë dhe vajzat janë ulur në një rresht në ndenjëset e njëpasnjëshme, ku djemtë ulen në ndenjëset me numra tek dhe vajzat në vendet me numra çift. Në sa mënyra mund të bëhet kjo nëse:

a) 3 djem dhe 3 vajza janë ulur në 6 ndenjëse;

b) 5 djem dhe 5 vajza janë ulur në 10 ndenjëse?

28 . Në një tabelë bosh damë ju duhet të vendosni dy damë - bardh e zi. Sa pozicione të ndryshme mund të zënë në tabelë?

29. Lëreni numrin e makinës të përbëhet nga dy shkronja të ndjekura nga dy numra, për shembull AB-53. Sa numra të ndryshëm mund të bëni nëse përdorni 5 shkronja dhe 6 numra?

30 . Numri i makinës përbëhet nga tre shkronja dhe katër numra. Sa targa të ndryshme ka (tre shkronja janë marrë nga 29 shkronjat e alfabetit rus)?

31 . Le të themi se ju duhej të shkoni në bibliotekë, bankë kursimi, zyrë postare dhe të riparoni këpucët. Për të zgjedhur rrugën më të shkurtër, duhet të merrni parasysh të gjitha opsionet e mundshme. Sa rrugë të mundshme ka nëse biblioteka, banka e kursimeve, posta dhe dyqani i këpucëve ndodhen larg njëra-tjetrës?

32. Le të themi se duhet të shkoni në bibliotekë, bankë kursimi, postë dhe të riparoni këpucët. Për të zgjedhur rrugën më të shkurtër, duhet të merrni parasysh të gjitha opsionet e mundshme. Sa rrugë të arsyeshme ka nëse biblioteka dhe posta janë afër, por janë shumë larg nga banka e kursimeve dhe këpucarja, të cilat ndodhen larg njëra-tjetrës?

33. Pati një diskutim të gjallë midis pasagjerëve që udhëtonin në karrocë për katër revista. Doli që të gjithë abonohen në dy revista, dhe secili nga kombinimet e mundshme të dy revistave është abonuar nga një person. Sa persona ishin në këtë grup?

34 . Janë pesë kube që ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm në ngjyrë: 2 të kuqe, 1 të bardhë dhe 2 të zeza. Ka dy kuti A dhe B, dhe A mban 2 kube, dhe B mban 3. Në sa mënyra të ndryshme mund të vendosen këto kube në kutitë A dhe B?

35. Për të sjellë mollë rinovuese te Car-Baba, Ivan Tsarevich duhet të gjejë rrugën e vetme të vërtetë për në kopshtin magjik. Ivan Tsarevich takoi një korb të vjetër në pirun në tre rrugë dhe kjo është ajo këshilla që ai dëgjoi prej tij:

1) shkoni tani në rrugën e duhur;

2) në pirun tjetër, mos merrni rrugën e duhur;

3) në degën e tretë, mos merrni rrugën e majtë.

Një pëllumb që fluturonte përpara i pëshpëriti Ivan Tsarevich-it se vetëm një pjesë e këshillës së korbit ishte e saktë dhe se ishte e domosdoshme të ndiqnit shtigje në drejtime të ndryshme. Heroi ynë e përfundoi detyrën dhe përfundoi në një kopsht magjik. Çfarë rruge mori ai?