Lëkundja harmonike është një dukuri e ndryshimit periodik të çdo sasie, në të cilën varësia nga argumenti ka karakterin e një funksioni sinus ose kosinus. Për shembull, një sasi lëkundet në mënyrë harmonike dhe ndryshon me kalimin e kohës si më poshtë:
ku x është vlera e madhësisë në ndryshim, t është koha, parametrat e mbetur janë konstante: A është amplituda e lëkundjeve, ω është frekuenca ciklike e lëkundjeve, është faza e plotë e lëkundjeve, është faza fillestare e lëkundjeve.
Lëkundje harmonike e përgjithësuar në formë diferenciale
(Çdo zgjidhje jo e parëndësishme e këtij ekuacioni diferencial është një lëkundje harmonike me një frekuencë ciklike)
Llojet e dridhjeve
Dridhjet e lira ndodhin nën ndikimin e forcave të brendshme të sistemit pasi sistemi është hequr nga pozicioni i tij ekuilibër. Që lëkundjet e lira të jenë harmonike, është e nevojshme që sistemi oscilues të jetë linear (i përshkruar nga ekuacionet lineare të lëvizjes), dhe të mos ketë shpërndarje energjie në të (kjo e fundit do të shkaktonte zbutje).
Dridhjet e detyruara ndodhin nën ndikimin e një force periodike të jashtme. Që ato të jenë harmonike, mjafton që sistemi oscilues të jetë linear (i përshkruar nga ekuacionet lineare të lëvizjes), dhe vetë forca e jashtme ndryshon me kalimin e kohës si një lëkundje harmonike (d.m.th., varësia kohore e kësaj force është sinusoidale). .
Ekuacioni Harmonik
|
Ekuacioni (1)
|
jep varësinë e vlerës së luhatshme S nga koha t; ky është ekuacioni i lëkundjeve harmonike të lira në formë eksplicite. Megjithatë, zakonisht ekuacioni i vibrimit kuptohet si një paraqitje tjetër e këtij ekuacioni, në formë diferenciale. Për definicion, le të marrim ekuacionin (1) në formën
Le ta dallojmë dy herë në lidhje me kohën:
Mund të shihet se lidhja e mëposhtme qëndron:
që quhet ekuacioni i lëkundjeve harmonike të lira (në formë diferenciale). Ekuacioni (1) është një zgjidhje për ekuacionin diferencial (2). Meqenëse ekuacioni (2) është një ekuacion diferencial i rendit të dytë, nevojiten dy kushte fillestare për të marrë një zgjidhje të plotë (d.m.th., përcaktimi i konstanteve A dhe të përfshira në ekuacionin (1); për shembull, pozicioni dhe shpejtësia e sistemit oscilues në t = 0.
Një lavjerrës matematik është një oshilator, i cili është një sistem mekanik i përbërë nga një pikë materiale e vendosur në një fije të pazgjatshme pa peshë ose në një shufër pa peshë në një fushë uniforme të forcave gravitacionale. Periudha e lëkundjeve të vogla natyrore të një lavjerrës matematikor me gjatësi l, të pezulluar pa lëvizje në një fushë gravitacionale uniforme me nxitim të rënies së lirë g, është e barabartë me
dhe nuk varet nga amplituda dhe masa e lavjerrësit.
Një lavjerrës fizik është një oshilator, i cili është një trup i ngurtë që lëkundet në një fushë të çdo force në lidhje me një pikë që nuk është qendra e masës së këtij trupi, ose një bosht fiks pingul me drejtimin e veprimit të forcave dhe jo duke kaluar nëpër qendrën e masës së këtij trupi.
Vlerat maksimale të shpejtësisë dhe nxitimit
Pasi kemi analizuar ekuacionet e varësisë v(t) dhe a(t), mund të hamendësojmë se shpejtësia dhe nxitimi marrin vlerat maksimale në rastin kur faktori trigonometrik është i barabartë me 1 ose -1. Përcaktohet nga formula
Si të merrni varësitë v(t) dhe a(t)
7. Dridhje të lira. Shpejtësia, nxitimi dhe energjia e lëvizjes osciluese. Shtimi i dridhjeve
Dridhje të lira(ose dridhjet natyrore) janë lëkundje të një sistemi oscilues që ndodhin vetëm për shkak të energjisë së dhënë fillimisht (potenciale ose kinetike) në mungesë të ndikimeve të jashtme.
Energjia e mundshme ose kinetike mund të jepet, për shembull, në sistemet mekanike nëpërmjet zhvendosjes fillestare ose shpejtësisë fillestare.
Trupat që lëkunden lirisht gjithmonë ndërveprojnë me trupa të tjerë dhe së bashku me ta formojnë një sistem trupash të quajtur sistemi oscilues.
Për shembull, një susta, një top dhe një shtyllë vertikale në të cilën është ngjitur fundi i sipërm i sustave (shih figurën më poshtë) përfshihen në sistemin oscilues. Këtu topi rrëshqet lirshëm përgjatë vargut (forcat e fërkimit janë të papërfillshme). Nëse e lëvizni topin në të djathtë dhe e lini në vetvete, ai do të lëkundet lirshëm rreth pozicionit të ekuilibrit (pika RRETH) për shkak të veprimit të forcës elastike të sustave të drejtuara drejt pozicionit të ekuilibrit.
Një shembull tjetër klasik i një sistemi oscilues mekanik është një lavjerrës matematikor (shih figurën më poshtë). Në këtë rast, topi kryen lëkundje të lira nën ndikimin e dy forcave: gravitetit dhe forcës elastike të fillit (Toka gjithashtu përfshihet në sistemin oscilues). Rezultantja e tyre drejtohet drejt pozicionit të ekuilibrit.
Forcat që veprojnë ndërmjet trupave të sistemit oscilues quhen forcat e brendshme. Nga forcat e jashtme quhen forca që veprojnë në një sistem nga trupat jashtë tij. Nga ky këndvështrim, lëkundjet e lira mund të përkufizohen si lëkundje në një sistem nën ndikimin e forcave të brendshme pasi sistemi të hiqet nga pozicioni i tij ekuilibër.
Kushtet për shfaqjen e lëkundjeve të lira janë:
1) shfaqja në to e një force që e kthen sistemin në një pozicion ekuilibri të qëndrueshëm pasi të jetë hequr nga kjo gjendje;
2) mungesa e fërkimit në sistem.
Dinamika e dridhjeve të lira.
Dridhjet e trupit nën ndikimin e forcave elastike. Ekuacioni i lëvizjes osciluese të një trupi nën veprimin e forcës elastike F(shih figurën) mund të merret duke marrë parasysh ligjin e dytë të Njutonit ( F = ma) dhe ligji i Hukut ( Kontrolli F= -kx), Ku mështë masa e topit dhe është nxitimi i fituar nga topi nën veprimin e forcës elastike, k- koeficienti i ngurtësisë së sustave, X- zhvendosja e trupit nga pozicioni i ekuilibrit (të dy ekuacionet janë shkruar në projeksion në boshtin horizontal Oh). Duke barazuar anët e djathta të këtyre ekuacioneve dhe duke marrë parasysh se nxitimi Aështë derivati i dytë i koordinatës X(zhvendosje), marrim:
.
Ky është ekuacioni diferencial i lëvizjes së një trupi që lëkundet nën veprimin e një force elastike: derivati i dytë i koordinatës në lidhje me kohën (nxitimi i trupit) është drejtpërdrejt proporcional me koordinatën e tij, marrë me shenjën e kundërt.
Lëkundjet e një lavjerrësi matematik. Për të marrë ekuacionin e lëkundjes së një lavjerrës matematik (figura), është e nevojshme të zgjerohet forca e gravitetit F T= mg në normale Fn(drejtuar përgjatë fillit) dhe tangjenciale F τ(tangjente me trajektoren e topit - rrethi) komponentë. Komponenti normal i gravitetit Fn dhe forca elastike e fillit Fynp në total i japin lavjerrës nxitimin centripetal, i cili nuk ndikon në madhësinë e shpejtësisë, por vetëm ndryshon drejtimin e tij dhe komponentin tangjencial F τështë forca që e kthen topin në pozicionin e tij të ekuilibrit dhe e bën atë të kryejë lëvizje osciluese. Duke përdorur, si në rastin e mëparshëm, ligjin e Njutonit për nxitimin tangjencial ma τ = F τ dhe duke pasur parasysh se F τ= -mg sinα, marrim:
a τ= -g sinα,
Shenja minus u shfaq për shkak të forcës dhe këndit të devijimit nga pozicioni i ekuilibrit α kanë shenja të kundërta. Për kënde të vogla devijimi sin α ≈ α. Nga ana e tij, α = s/l, Ku s- hark O.A., I- gjatësia e fillit. Duke marrë parasysh atë dhe τ= s", më në fund marrim:
Forma e ekuacionit është e ngjashme me ekuacionin . Vetëm këtu parametrat e sistemit janë gjatësia e fillit dhe nxitimi i gravitetit, dhe jo ngurtësia e sustës dhe masa e topit; roli i koordinatës luhet nga gjatësia e harkut (d.m.th., distanca e përshkuar, si në rastin e parë).
Kështu, dridhjet e lira përshkruhen nga ekuacione të të njëjtit lloj (në varësi të ligjeve të njëjta) pavarësisht nga natyra fizike e forcave që shkaktojnë këto dridhje.
Zgjidhja e ekuacioneve dhe është funksion i formës:
x = xmcos ω 0t(ose x = xmmëkat ω 0t).
Kjo do të thotë, koordinata e një trupi që kryen lëkundje të lira ndryshon me kalimin e kohës sipas ligjit të kosinusit ose sinusit, dhe, për rrjedhojë, këto lëkundje janë harmonike:
Në barazimin. x = xmcos ω 0t(ose x = xmmëkat ω 0t), x m- amplituda e vibrimit, ω 0 - frekuenca e vet ciklike (rrethore) e lëkundjeve.
Frekuenca ciklike dhe periudha e lëkundjeve të lira harmonike përcaktohen nga vetitë e sistemit. Kështu, për dridhjet e një trupi të bashkangjitur me një burim, janë të vlefshme marrëdhëniet e mëposhtme:
.
Sa më e madhe të jetë ngurtësia e sustës ose sa më e vogël të jetë masa e ngarkesës, aq më e madhe është frekuenca natyrore, e cila vërtetohet plotësisht nga përvoja.
Për një lavjerrës matematikor plotësohen barazitë e mëposhtme:
.
Kjo formulë u përftua dhe u testua fillimisht në mënyrë eksperimentale nga shkencëtari holandez Huygens (një bashkëkohës i Njutonit).
Periudha e lëkundjes rritet me rritjen e gjatësisë së lavjerrësit dhe nuk varet nga masa e tij.
Vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet faktit që lëkundjet harmonike janë rreptësisht periodike (pasi i binden ligjit të sinusit ose kosinusit) dhe madje edhe për një lavjerrësi matematikor, i cili është një idealizim i një lavjerrësi real (fizik), është i mundur vetëm me lëkundje të vogël. kënde. Nëse këndet e devijimit janë të mëdha, zhvendosja e ngarkesës nuk do të jetë proporcionale me këndin e devijimit (sinusi i këndit) dhe nxitimi nuk do të jetë proporcional me zhvendosjen.
Shpejtësia dhe nxitimi i një trupi që lëkundet lirshëm do të pësojë gjithashtu lëkundje harmonike. Marrja e derivatit kohor të funksionit ( x = xmcos ω 0t(ose x = xmmëkat ω 0t)), marrim një shprehje për shpejtësinë:
v = -v mmëkat ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2),
Ku v m= ω 0 x m- amplituda e shpejtësisë.
Shprehje e ngjashme për nxitimin A marrim duke dalluar ( v = -v mmëkat ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2)):
a = -a mcos ω 0t,
Ku jam= ω 2 0x m- amplituda e nxitimit. Kështu, amplituda e shpejtësisë së lëkundjeve harmonike është proporcionale me frekuencën, dhe amplituda e nxitimit është proporcionale me katrorin e frekuencës së lëkundjeve.
| VIBRACIONET HARMONIKE | ||
| Lëkundjet në të cilat ndodhin ndryshime në sasitë fizike sipas ligjit të kosinusit ose sinusit (ligji harmonik), quhen. dridhjet harmonike. Për shembull, në rastin e dridhjeve mekanike harmonike:. |   |
|
| Në këto formula, ω është frekuenca e dridhjes, x m është amplituda e dridhjes, φ 0 dhe φ 0 ' janë fazat fillestare të dridhjes. Formulat e mësipërme ndryshojnë në përcaktimin e fazës fillestare dhe në φ 0 ’ = φ 0 +π/2 përputhen plotësisht. | ||
| Ky është lloji më i thjeshtë i lëkundjeve periodike. Forma specifike e funksionit (sinus ose kosinus) varet nga metoda e largimit të sistemit nga pozicioni i tij ekuilibër. Nëse heqja ndodh me një shtytje (energjia kinetike jepet), atëherë në t=0 zhvendosja x=0, prandaj është më e përshtatshme të përdoret funksioni sin, duke vendosur φ 0 '=0; kur devijoni nga pozicioni i ekuilibrit (raportohet energjia potenciale) në t = 0, zhvendosja x = x m, prandaj, është më i përshtatshëm të përdoret funksioni cos dhe φ 0 = 0. Shprehja nën shenjën cos ose sin quhet. Faza e lëkundjes: | ||
| . | ||
| Faza e lëkundjes matet në radiane dhe përcakton vlerën e zhvendosjes (sasinë lëkundëse) në një kohë të caktuar. | ||
| Amplituda e lëkundjes varet vetëm nga devijimi fillestar (energjia fillestare që i jepet sistemit oscilues). | ||
| Shpejtësia dhe nxitimi gjatë lëkundjeve harmonike. | ||
| Sipas përkufizimit të shpejtësisë, shpejtësia është derivati i një pozicioni në lidhje me kohën | ||
Kështu, shohim se shpejtësia gjatë lëvizjes osciluese harmonike ndryshon sipas ligjit harmonik, por lëkundjet e shpejtësisë janë përpara luhatjeve të zhvendosjes së fazës me π/2.  Vlera - shpejtësia maksimale e lëvizjes osciluese (amplituda e luhatjeve të shpejtësisë). |  |
|
Prandaj, për shpejtësinë gjatë lëkundjes harmonike kemi:  , dhe për rastin e fazës fillestare zero (shih grafikun). Sipas përkufizimit të nxitimit, nxitimi është derivat i shpejtësisë në lidhje me kohën:.
|
||
është derivati i dytë i koordinatës në lidhje me kohën. Pastaj: . Nxitimi gjatë lëvizjes lëkundëse harmonike gjithashtu ndryshon sipas ligjit harmonik, por lëkundjet e nxitimit janë përpara lëkundjeve të shpejtësisë me π/2 dhe lëkundjet e zhvendosjes me π (thuhet se ndodhin lëkundje  në antifazë)  Vlera - nxitimi maksimal (amplituda e luhatjeve të nxitimit). Prandaj, për nxitim kemi: | ||
| Nga analiza e procesit të lëvizjes lëkundëse, grafikët dhe shprehjet përkatëse matematikore, është e qartë se kur trupi lëkundës kalon pozicionin e ekuilibrit (zhvendosja është zero), nxitimi është zero dhe shpejtësia e trupit është maksimale. trupi kalon pozicionin e ekuilibrit me inercion), dhe kur arrihet vlera e amplitudës së zhvendosjes, shpejtësia është e barabartë me zero, dhe nxitimi është maksimal në vlerë absolute (trupi ndryshon drejtimin e lëvizjes së tij). | ||
Të krahasojmë shprehjet për zhvendosjen dhe nxitimin gjatë lëkundjeve harmonike: dhe  .
| ||
Ti mund te shkruash:  - d.m.th. derivati i dytë i zhvendosjes është drejtpërdrejt proporcional (me shenjën e kundërt) me zhvendosjen. Ky ekuacion quhet ekuacioni i dridhjeve harmonike. Kjo varësi vlen për çdo lëkundje harmonike, pavarësisht nga natyra e tij. Meqenëse nuk kemi përdorur kurrë parametrat e një sistemi oscilues specifik, vetëm frekuenca ciklike mund të varet prej tyre. | |
|
Shpesh është e përshtatshme të shkruani ekuacionet për dridhjet në formën:  , ku T është periudha e lëkundjes. Pastaj, nëse koha shprehet në fraksione të një periudhe, llogaritjet do të thjeshtohen. Për shembull, nëse duhet të gjejmë zhvendosjen pas 1/8 të periudhës, marrim: . E njëjta gjë për shpejtësinë dhe përshpejtimin. | |
|
Shpesh ka raste kur një sistem merr pjesë njëkohësisht në dy ose disa lëkundje të pavarura nga njëra-tjetra. Në këto raste, formohet një lëvizje osciluese komplekse, e cila krijohet duke mbivendosur (shtuar) lëkundjet mbi njëra-tjetrën. Natyrisht, rastet e shtimit të lëkundjeve mund të jenë shumë të ndryshme. Ato varen jo vetëm nga numri i lëkundjeve të shtuara, por edhe nga parametrat e lëkundjeve, nga frekuencat, fazat, amplituda dhe drejtimet e tyre. Nuk është e mundur të shqyrtojmë të gjithë shumëllojshmërinë e mundshme të rasteve të shtimit të lëkundjeve, kështu që ne do të kufizohemi në shqyrtimin e vetëm shembujve individualë.
1. Mbledhja e lëkundjeve të një drejtimi. Le të shtojmë dy lëkundje të së njëjtës frekuencë, por faza dhe amplituda të ndryshme. 
(4.40)
Kur lëkundjet mbivendosen mbi njëra-tjetrën 
Le të prezantojmë parametrat e rinj A dhe j sipas ekuacioneve: 
(4.42)
Sistemi i ekuacioneve (4.42) është i lehtë për t'u zgjidhur.
(4.43)
(4.44)
Kështu, për x përfundimisht marrim ekuacionin
(4.45)
Pra, si rezultat i shtimit të lëkundjeve njëdrejtimëshe të së njëjtës frekuencë, fitojmë një lëkundje harmonike (sinusoidale), amplituda dhe faza e së cilës përcaktohen nga formula (4.43) dhe (4.44).
Le të shqyrtojmë raste të veçanta në të cilat marrëdhëniet midis fazave të dy lëkundjeve të shtuara janë të ndryshme: 
(4.46)
Le të mbledhim tani lëkundjet e njëanshme me të njëjtën amplitudë, faza identike, por frekuenca të ndryshme. 
(4.47)
Le të shqyrtojmë rastin kur frekuencat janë afër njëra-tjetrës, d.m.th. w1~w2=w
Atëherë përafërsisht do të supozojmë se (w1+w2)/2= w, dhe (w2-w1)/2 është një vlerë e vogël. Ekuacioni për lëkundjen që rezulton do të duket si ky:
(4.48)
Grafiku i tij është paraqitur në Fig. 4.5 Kjo lëkundje quhet rrahje. Ndodh me një frekuencë w, por amplituda e saj luhatet me një periodë të madhe. 
2. Mbledhja e dy lëkundjeve reciproke pingule. Le të supozojmë se njëra lëkundje ndodh përgjatë boshtit x, tjetra përgjatë boshtit y. Lëvizja që rezulton është padyshim e vendosur në rrafshin xy.
1. Le të supozojmë se frekuencat dhe fazat e lëkundjeve janë të njëjta, por amplituda janë të ndryshme. 
(4.49)
Për të gjetur trajektoren e lëvizjes që rezulton, duhet të eliminoni kohën nga ekuacionet (4.49). Për ta bërë këtë, mjafton të ndajmë një term ekuacion me term me një tjetër, si rezultat i të cilit marrim 
(4.50)
Ekuacioni (4.50) tregon se në këtë rast, shtimi i lëkundjeve çon në lëkundje në një vijë të drejtë, pjerrësia e së cilës përcaktohet nga raporti i amplitudave.
2. Le të ndryshojnë fazat e lëkundjeve të shtuara nga njëra-tjetra me /2 dhe ekuacionet kanë formën:
(4.51)
Për të gjetur trajektoren e lëvizjes që rezulton, duke përjashtuar kohën, duhet të katroroni ekuacionet (4.51), së pari duke i ndarë ato në A1 dhe A2, përkatësisht, dhe më pas i shtoni. Ekuacioni i trajektores do të marrë formën: 
(4.52)
Ky është ekuacioni i një elipsi. Mund të vërtetohet se për çdo fazë fillestare dhe çdo amplitudë të dy lëkundjeve pingule reciproke të shtuara të së njëjtës frekuencë, lëkundja që rezulton do të ndodhë përgjatë një elipsi. Orientimi i tij do të varet nga fazat dhe amplituda e lëkundjeve të shtuara.
Nëse lëkundjet e shtuara kanë frekuenca të ndryshme, atëherë trajektoret e lëvizjeve që rezultojnë rezultojnë të jenë shumë të ndryshme. Vetëm nëse frekuencat e lëkundjeve në x dhe y janë shumëfish të njëra-tjetrës, fitohen trajektore të mbyllura. Lëvizje të tilla mund të klasifikohen si periodike. Në këtë rast, trajektoret e lëvizjeve quhen figura Lissajous. Le të shqyrtojmë një nga figurat Lissajous, e cila përftohet duke shtuar lëkundje me raporte frekuence 1:2, me amplituda dhe faza identike në fillim të lëvizjes. 
(4.53)
Dridhjet përgjatë boshtit y ndodhin dy herë më shpesh se përgjatë boshtit x. Shtimi i lëkundjeve të tilla do të çojë në një trajektore lëvizjeje në formën e një figure tetë (Fig. 4.7).
8. Lëkundjet e amortizuara dhe parametrat e tyre: zvogëlimi dhe koeficienti i lëkundjeve, koha e relaksimit
)Periudha e lëkundjeve të amortizuara:
T = 
(58)
Në δ << ω o dridhjet nuk ndryshojnë nga ato harmonike: T = 2π/ ω o.
2) Amplituda e lëkundjeve të amortizuara shprehet me formulën (119).
3) Zvogëlimi i zbutjes, e barabartë me raportin e dy amplitudave të njëpasnjëshme të vibrimit A(t) Dhe A(t+T), karakterizon shkallën e uljes së amplitudës gjatë një periudhe:
= e d T (59)
4) Zvogëlimi i amortizimit logaritmik- logaritmi natyror i raportit të amplitudave të dy lëkundjeve të njëpasnjëshme që korrespondojnë me momente kohore që ndryshojnë nga një periudhë
q = ln = ln e d Т =dT(60)
Zvogëlimi logaritmik i amortizimit është një vlerë konstante për një sistem të caktuar oscilues.
5) Koha e relaksimitështë zakon të quhet periudha kohore ( t) gjatë së cilës amplituda e lëkundjeve të amortizuara zvogëlohet me e herë:
e d τ = e, δτ = 1,
t = 1/d, (61)
Nga krahasimi i shprehjeve (60) dhe (61) marrim:
q= = , (62)
Ku N e - numri i lëkundjeve të kryera gjatë relaksimit.
Nëse gjatë kohës t sistemi angazhohet Ν hezitim, atëherë t = Ν . Τ dhe ekuacioni i lëkundjeve të amortizuara mund të përfaqësohet si:
S = A 0 e -d N T cos(w t+j)= A 0 e -q N cos(w t+j).
6)Faktori i cilësisë së sistemit oscilator(P) zakonisht quhet sasia që karakterizon humbjen e energjisë në sistem gjatë periudhës së lëkundjes:
Q = 2fq , (63)
Ku W- energjia totale e sistemit, ΔW- energjia e shpërndarë gjatë një periudhe. Sa më pak energji të shpërndahet, aq më i madh është faktori i cilësisë së sistemit. Llogaritjet tregojnë se
Q = = pN e = = . (64)
Megjithatë, faktori i cilësisë është në përpjesëtim të zhdrejtë me zvogëlimin e zbutjes logaritmike. Nga formula (64) rezulton se faktori i cilësisë është proporcional me numrin e lëkundjeve N e kryhet nga sistemi gjatë relaksimit.
7) Energji potenciale sistemi në kohën t, mund të shprehet në terma të energjisë potenciale W 0 në devijimin më të madh:
W = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN . (65)
Zakonisht konvencionalisht konsiderohet se lëkundjet janë ndalur praktikisht nëse energjia e tyre është zvogëluar për 100 herë (amplituda është zvogëluar për 10 herë). Nga këtu mund të marrim një shprehje për llogaritjen e numrit të lëkundjeve të kryera nga sistemi:
= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;
N = = . (66)
9. Dridhjet e detyruara. Rezonanca. Lëkundjet aperiodike. Vetë-lëkundjet.
Në mënyrë që sistemi të kryejë lëkundje të pamposhtura, është e nevojshme të kompensohet humbja e energjisë së lëkundjeve për shkak të fërkimit nga jashtë. Për të siguruar që energjia e lëkundjes së sistemit të mos zvogëlohet, zakonisht futet një forcë që vepron periodikisht në sistem (ne do ta quajmë një forcë të tillë duke detyruar, dhe lëkundjet janë të detyruara).
PËRKUFIZIM: i detyruar Këto janë lëkundjet që ndodhin në një sistem oscilues nën ndikimin e një force të jashtme që ndryshon periodikisht.
Kjo forcë zakonisht luan një rol të dyfishtë:
së pari, ai trondit sistemin dhe i siguron atij një sasi të caktuar energjie;
së dyti, ai rimbush periodikisht humbjet e energjisë (konsumi i energjisë) për të kapërcyer forcat e rezistencës dhe fërkimit.
Lëreni forcën lëvizëse të ndryshojë me kalimin e kohës sipas ligjit:
.
Le të hartojmë një ekuacion të lëvizjes për një sistem që lëkundet nën ndikimin e një force të tillë. Supozojmë se sistemi ndikohet gjithashtu nga një forcë kuazi-elastike dhe forca e rezistencës së mediumit (që është e vërtetë nën supozimin e lëkundjeve të vogla). Atëherë ekuacioni i lëvizjes së sistemit do të duket si ky:
Ose 
.
Pasi kemi bërë zëvendësimet , , – frekuencën natyrore të lëkundjeve të sistemit, marrim një ekuacion diferencial linear johomogjen 2 th porosit:
Nga teoria e ekuacioneve diferenciale dihet se zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni johomogjen është e barabartë me shumën e zgjidhjes së përgjithshme të një ekuacioni homogjen dhe një zgjidhje të veçantë të një ekuacioni johomogjen.
Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen është e njohur:
,
Ku 
; a 0 dhe a– kusht arbitrar.
.
Duke përdorur një diagram vektorial, mund të verifikoni që ky supozim është i vërtetë, dhe gjithashtu të përcaktoni vlerat e " a"Dhe" j”.
Amplituda e lëkundjeve përcaktohet nga shprehja e mëposhtme:
.
kuptimi " j”, që është madhësia e vonesës së fazës së lëkundjes së detyruar 
nga forca lëvizëse që e ka përcaktuar, përcaktohet edhe nga diagrami vektorial dhe arrin në:
.
Së fundi, një zgjidhje e veçantë për ekuacionin johomogjen do të marrë formën:
 | (8.18) |
Ky funksion, i kombinuar me
 | (8.19) |
jep një zgjidhje të përgjithshme për një ekuacion diferencial johomogjen që përshkruan sjelljen e një sistemi nën lëkundjet e detyruara. Termi (8.19) luan një rol të rëndësishëm në fazën fillestare të procesit, gjatë të ashtuquajturit vendosje të lëkundjeve (Fig. 8.10). Me kalimin e kohës, për shkak të faktorit eksponencial, roli i termit të dytë (8.19) zvogëlohet gjithnjë e më shumë, dhe pas një kohe të mjaftueshme mund të neglizhohet, duke mbajtur vetëm termin (8.18) në zgjidhje.
Kështu, funksioni (8.18) përshkruan lëkundjet e detyruara në gjendje të qëndrueshme. Ato përfaqësojnë lëkundje harmonike me një frekuencë të barabartë me frekuencën e forcës lëvizëse. Amplituda e lëkundjeve të detyruara është proporcionale me amplituda e forcës lëvizëse. Për një sistem të caktuar oscilues (të përcaktuar nga w 0 dhe b), amplituda varet nga frekuenca e forcës lëvizëse. Lëkundjet e detyruara mbeten prapa forcës lëvizëse në fazë, dhe madhësia e vonesës "j" varet gjithashtu nga frekuenca e forcës lëvizëse.
Varësia e amplitudës së lëkundjeve të detyruara nga frekuenca e forcës lëvizëse çon në faktin se në një frekuencë të caktuar të përcaktuar për një sistem të caktuar, amplituda e lëkundjeve arrin një vlerë maksimale. Sistemi oscilues rezulton të jetë veçanërisht i përgjegjshëm ndaj veprimit të forcës lëvizëse në këtë frekuencë. Ky fenomen quhet rezonancë, dhe frekuenca përkatëse është frekuenca rezonante.
PËRKUFIZIM: fenomeni në të cilin vërehet një rritje e mprehtë e amplitudës së lëkundjeve të detyruara quhet rezonancë.
Frekuenca rezonante përcaktohet nga kushti maksimal për amplituda e lëkundjeve të detyruara:
. (8.20)
Pastaj, duke e zëvendësuar këtë vlerë në shprehjen për amplitudë, marrim:
. (8.21)
Në mungesë të rezistencës nga mediumi, amplituda e lëkundjeve në rezonancë do të kthehej në pafundësi; frekuenca rezonante në të njëjtat kushte (b=0) përkon me frekuencën natyrore të lëkundjeve.
Varësia e amplitudës së lëkundjeve të detyruara nga frekuenca e forcës lëvizëse (ose, e njëjta gjë, nga frekuenca e lëkundjeve) mund të paraqitet grafikisht (Fig. 8.11). Kurbat individuale korrespondojnë me vlera të ndryshme të "b". Sa më i vogël "b", aq më i lartë dhe në të djathtë është maksimumi i kësaj kurbë (shih shprehjen për w res.). Me amortizimin shumë të lartë, rezonanca nuk vërehet - me rritjen e frekuencës, amplituda e lëkundjeve të detyruara zvogëlohet në mënyrë monotonike (lakorja më e ulët në Fig. 8.11).
Bashkësia e grafikëve të paraqitur që korrespondon me vlera të ndryshme të b quhet kurbat e rezonancës.
Shënime në lidhje me kurbat e rezonancës:
ndërsa w®0 priret, të gjitha kthesat vijnë në të njëjtën vlerë jozero të barabartë me . Kjo vlerë përfaqëson zhvendosjen nga pozicioni i ekuilibrit që sistemi merr nën ndikimin e një force konstante F 0 .
pasi w®¥ të gjitha kthesat në mënyrë asimptotike priren në zero, sepse në frekuenca të larta, forca ndryshon drejtimin e saj aq shpejt sa që sistemi nuk ka kohë të zhvendoset dukshëm nga pozicioni i tij i ekuilibrit.
sa më i vogël b, aq më shumë ndryshon amplituda pranë rezonancës me frekuencën, aq më e "mprehtë" është maksimumi.
Fenomeni i rezonancës shpesh rezulton të jetë i dobishëm, veçanërisht në akustikë dhe inxhinieri radio.
Vetë-lëkundjet- lëkundjet e pamposhtura në një sistem dinamik shpërhapës me reagim jolinear, të mbështetur nga energjia konstante, d.m.th. jo periodike ndikimi i jashtëm.
Vetë-lëkundjet ndryshojnë nga lëkundjet e detyruara sepse këto të fundit shkaktohen periodike ndikimi i jashtëm dhe ndodhin me frekuencën e këtij ndikimi, ndërsa shfaqja e vetëlëkundjeve dhe shpeshtësia e tyre përcaktohen nga vetitë e brendshme të vetë sistemit vetëlëkundës.
Afati vetëlëkundjet futur në terminologjinë ruse nga A. A. Andronov në 1928.
Shembuj[
Shembuj të vetë-lëkundjeve përfshijnë:
· Lëkundjet e pamposhtura të lavjerrësit të orës për shkak të veprimit të vazhdueshëm të gravitetit të peshës së mbështjelljes;
vibrimet e telit të violinës nën ndikimin e një harku që lëviz në mënyrë uniforme
· shfaqja e rrymës alternative në qarqet e multivibratorëve dhe gjeneratorëve të tjerë elektronikë me një tension të vazhdueshëm furnizimi;
· lëkundje e kolonës së ajrit në tubin e organit, me një furnizim uniform të ajrit në të. (shih gjithashtu Vala në këmbë)
· dridhjet rrotulluese të një ingranazhi të orës prej bronzi me një bosht çeliku të pezulluar nga një magnet dhe i përdredhur (eksperimenti i Gamazkovit) (energjia kinetike e rrotës, si në një gjenerator unipolar, shndërrohet në energjinë potenciale të një fushe elektrike, energji potenciale e fushës elektrike, si në një motor unipolar, shndërrohet në energjinë kinetike të rrotës etj.)
çekiçi i Maklakovit
Një çekiç që godet duke përdorur energji të rrymës alternative me një frekuencë shumë herë më të ulët se frekuenca e rrymës në një qark elektrik.
Bobina L e qarkut oscilues vendoset mbi tavolinë (ose objekt tjetër që duhet goditur). Nga poshtë hyn një tub hekuri, fundi i poshtëm i të cilit është pjesa goditëse e çekiçit. Tubi ka një vrimë vertikale për të reduktuar rrymat e Foucault. Parametrat e qarkut oscilues janë të tillë që frekuenca natyrore e lëkundjeve të tij përkon me frekuencën e rrymës në qark (për shembull, rryma alternative e qytetit, 50 herc).
Pas ndezjes së rrymës dhe vendosjes së lëkundjeve, vërehet një rezonancë e rrymave të qarkut dhe qarkut të jashtëm, dhe tubi i hekurit tërhiqet në spirale. Induktiviteti i spirales rritet, qarku oscilues del jashtë rezonancës dhe amplituda e lëkundjeve të rrymës në spirale zvogëlohet. Prandaj, tubi kthehet në pozicionin e tij origjinal - jashtë spirales - nën ndikimin e gravitetit. Pastaj lëkundjet aktuale brenda qarkut fillojnë të rriten, dhe rezonanca ndodh përsëri: tubi tërhiqet përsëri në spirale.
Tubi bën vetëlëkundjet, pra lëvizje periodike lart e poshtë, dhe në të njëjtën kohë troket me zë të lartë në tavolinë, si një çekiç. Periudha e këtyre vetëlëkundjeve mekanike është dhjetëra herë më e gjatë se periudha e rrymës alternative që i mbështet ato.
Çekiçi është emëruar pas M.I Maklakov, një asistent leksionesh në Institutin e Fizikës dhe Teknologjisë në Moskë, i cili propozoi dhe kreu një eksperiment të tillë për të demonstruar vetë-lëkundje.
Mekanizmi i vetëlëkundjes
Fig 1. Mekanizmi i vetëlëkundjes
Vetë-lëkundjet mund të kenë një natyrë të ndryshme: mekanike, termike, elektromagnetike, kimike. Mekanizmi për shfaqjen dhe mirëmbajtjen e vetëlëkundjeve në sisteme të ndryshme mund të bazohet në ligje të ndryshme të fizikës ose kimisë. Për një përshkrim të saktë sasior të vetëlëkundjeve të sistemeve të ndryshme, mund të nevojiten aparate të ndryshme matematikore. Megjithatë, është e mundur të imagjinohet një diagram i përbashkët për të gjitha sistemet vetëlëkundëse që përshkruan në mënyrë cilësore këtë mekanizëm (Fig. 1).
Në diagram: S- burim i ndikimit konstant (jo periodik); R- një kontrollues jolinear që konverton një efekt konstant në një të ndryshueshëm (për shembull, në një të ndërprerë në kohë), i cili "lëkundet" oshilator V- element(ët) oshilues të sistemit dhe lëkundjet e oshilatorit përmes reagimit B kontrolloni funksionimin e rregullatorit R, duke pyetur faza Dhe frekuenca veprimet e tij. Shpërndarja (shpërndarja e energjisë) në një sistem vetëlëkundës kompensohet nga rrjedha e energjisë në të nga një burim ndikimi i vazhdueshëm, për shkak të të cilit vetë-lëkundjet nuk shuhen.
Oriz. 2 Diagrami i mekanizmit të arpionit të një ore lavjerrës
Nëse elementi oscilues i sistemit është i aftë për vete lëkundjet e amortizuara(të ashtuquajturat oshilator disipativ harmonik), vetë-lëkundjet (me shpërndarje të barabartë dhe të dhëna të energjisë në sistem gjatë periudhës) vendosen në një frekuencë afër rezonante për këtë oshilator, forma e tyre bëhet afër harmonike dhe amplituda, në një gamë të caktuar vlerash, aq më e madhe është madhësia e ndikimit të jashtëm konstant.
Një shembull i këtij lloji të sistemit është mekanizmi me arpion i një ore lavjerrës, diagrami i të cilit është paraqitur në Fig. 2. Në boshtin e rrotës së arpionit A(i cili në këtë sistem kryen funksionin e një rregullatori jolinear) ka një moment konstant force M, i transmetuar përmes një treni ingranazhesh nga burimi kryesor ose nga një peshë. Kur rrota rrotullohet A dhëmbët e tij i japin lavjerrësit impulse afatshkurtëra të forcës P(oshilator), falë të cilit lëkundjet e tij nuk zbehen. Kinematika e mekanizmit luan rolin e reagimit në sistem, duke sinkronizuar rrotullimin e rrotës me lëkundjet e lavjerrësit në atë mënyrë që gjatë periudhës së plotë të lëkundjes rrota të rrotullohet përmes një këndi që korrespondon me një dhëmb.
Sistemet vetëlëkundëse që nuk përmbajnë oshilatorë harmonikë quhen relaksim. Dridhjet në to mund të jenë shumë të ndryshme nga ato harmonike dhe të kenë një formë drejtkëndëshe, trekëndore ose trapezoidale. Amplituda dhe periudha e vetëlëkundjeve të relaksimit përcaktohen nga raporti i madhësisë së ndikimit konstant dhe karakteristikave të inercisë dhe shpërndarjes së sistemit.
Oriz. 3 Zile elektrike
Shembulli më i thjeshtë i vetë-lëkundjeve të relaksimit është funksionimi i një zile elektrike, e paraqitur në Fig. 3. Burimi i ekspozimit konstant (jo periodik) këtu është një bateri elektrike U; Roli i një rregullatori jolinear kryhet nga një helikopter T, mbyllja dhe hapja e një qarku elektrik, si rezultat i të cilit shfaqet një rrymë e ndërprerë në të; Elementet lëkundëse janë një fushë magnetike e induktuar periodikisht në bërthamën e një elektromagneti E, dhe spirancë A, duke lëvizur nën ndikimin e një fushe magnetike alternative. Lëkundjet e armaturës aktivizojnë ndërprerësin, i cili formon reagime.
Inercia e këtij sistemi përcaktohet nga dy madhësi të ndryshme fizike: momenti i inercisë së armaturës A dhe induktiviteti i mbështjelljes së elektromagnetit E. Një rritje në cilindo prej këtyre parametrave çon në një rritje të periudhës së vetë-lëkundjeve.
Nëse ka disa elementë në sistem që lëkunden në mënyrë të pavarur nga njëri-tjetri dhe njëkohësisht ndikojnë në një rregullator ose rregullator jolinear (nga të cilët mund të ketë edhe disa), vetëlëkundjet mund të marrin një natyrë më komplekse, për shembull, periodike, ose kaos dinamik.
Në natyrë dhe teknologji
Vetë-lëkundjet nënvizojnë shumë fenomene natyrore:
· dridhjet e gjetheve të bimëve nën ndikimin e një rrjedhje uniforme të ajrit;
· formimi i rrjedhave të turbullta në çarjet dhe pragjet e lumenjve;
· veprim i gejzerëve të rregullt etj.
Parimi i funksionimit të një numri të madh të pajisjeve dhe pajisjeve të ndryshme teknike bazohet në vetë-lëkundjet, duke përfshirë:
· funksionimin e të gjitha llojeve të orëve, mekanike dhe elektrike;
· tingujt e të gjitha instrumenteve muzikore frymore dhe me tela;
©2015-2019 sajti
Të gjitha të drejtat u përkasin autorëve të tyre. Kjo faqe nuk pretendon autorësinë, por ofron përdorim falas.
Data e krijimit të faqes: 2017-04-04
Lloji më i thjeshtë i lëkundjeve janë dridhjet harmonike- lëkundjet në të cilat zhvendosja e pikës lëkundëse nga pozicioni i ekuilibrit ndryshon me kalimin e kohës sipas ligjit të sinusit ose kosinusit.
Kështu, me një rrotullim të njëtrajtshëm të topit në një rreth, projeksioni i tij (hija në rrezet paralele të dritës) kryen një lëvizje osciluese harmonike në një ekran vertikal (Fig. 1).
Zhvendosja nga pozicioni i ekuilibrit gjatë dridhjeve harmonike përshkruhet nga një ekuacion (quhet ligji kinematik i lëvizjes harmonike) të formës:
ku x është zhvendosja - një sasi që karakterizon pozicionin e pikës luhatëse në kohën t në lidhje me pozicionin e ekuilibrit dhe matet me distancën nga pozicioni i ekuilibrit në pozicionin e pikës në një kohë të caktuar; A - amplituda e lëkundjeve - zhvendosja maksimale e trupit nga pozicioni i ekuilibrit; T - periudha e lëkundjes - koha e një lëkundjeje të plotë; ato. periudha më e shkurtër kohore pas së cilës përsëriten vlerat e sasive fizike që karakterizojnë lëkundjen; - faza fillestare;
Faza e lëkundjes në kohën t. Faza e lëkundjes është një argument i një funksioni periodik, i cili, për një amplitudë të caktuar lëkundjeje, përcakton gjendjen e sistemit oscilues (zhvendosje, shpejtësi, nxitim) të trupit në çdo kohë.
Nëse në momentin fillestar të kohës pika osciluese është zhvendosur maksimalisht nga pozicioni i ekuilibrit, atëherë dhe zhvendosja e pikës nga pozicioni i ekuilibrit ndryshon sipas ligjit
Nëse pika lëkundëse në është në një pozicion ekuilibri të qëndrueshëm, atëherë zhvendosja e pikës nga pozicioni i ekuilibrit ndryshon sipas ligjit
Vlera V, e kundërta e periudhës dhe e barabartë me numrin e lëkundjeve të plota të përfunduara në 1 s, quhet frekuenca e lëkundjeve:
Nëse gjatë kohës t trupi bën N lëkundje të plota, atëherë
Madhësia 
që tregon se sa lëkundje bën një trup në s quhet frekuencë ciklike (rrethore)..
Ligji kinematik i lëvizjes harmonike mund të shkruhet si:
Grafikisht, varësia e zhvendosjes së një pike lëkundëse nga koha përfaqësohet nga një valë kosinus (ose valë sinus).
Figura 2, a tregon një grafik të varësisë kohore të zhvendosjes së pikës lëkundëse nga pozicioni i ekuilibrit për rastin.
Le të zbulojmë se si shpejtësia e një pike lëkundëse ndryshon me kalimin e kohës. Për ta bërë këtë, gjejmë derivatin kohor të kësaj shprehjeje:
ku është amplituda e projeksionit të shpejtësisë në boshtin x.
Kjo formulë tregon se gjatë lëkundjeve harmonike, projeksioni i shpejtësisë së trupit në boshtin x ndryshon gjithashtu sipas një ligji harmonik me të njëjtën frekuencë, me një amplitudë të ndryshme dhe është përpara zhvendosjes në fazë me (Fig. 2, b. ).
Për të sqaruar varësinë e nxitimit, gjejmë derivatin kohor të projeksionit të shpejtësisë:
ku është amplituda e projeksionit të nxitimit në boshtin x.
Me lëkundjet harmonike, projeksioni i nxitimit është përpara zhvendosjes së fazës me k (Fig. 2, c).
Në mënyrë të ngjashme, ju mund të ndërtoni grafikët e varësisë
Duke marrë parasysh këtë, formula për nxitimin mund të shkruhet
ato. me lëkundje harmonike, projeksioni i nxitimit është drejtpërdrejt proporcional me zhvendosjen dhe është i kundërt në shenjë, d.m.th. nxitimi drejtohet në drejtim të kundërt me zhvendosjen.
Pra, projeksioni i nxitimit është derivati i dytë i zhvendosjes, atëherë marrëdhënia që rezulton mund të shkruhet si:
Barazia e fundit quhet ekuacioni harmonik.
Një sistem fizik në të cilin mund të ekzistojnë lëkundje harmonike quhet oshilator harmonik, dhe ekuacioni i dridhjeve harmonike është ekuacioni i oshilatorit harmonik.
LËVIZJA VIBRACIONALE HARMONIKE
§1 Kinematika e vibrimit harmonik
Proceset që përsëriten me kalimin e kohës quhen lëkundje.
Në varësi të natyrës së procesit oscilues dhe mekanizmit të ngacmimit dallohen: dridhjet mekanike (lëkundjet e lavjerrësve, vargjeve, ndërtesave, sipërfaqes së tokës etj.); lëkundjet elektromagnetike (lëkundjet e rrymës alternative, lëkundjet e vektorëve dhe në një valë elektromagnetike, etj.); dridhjet elektromekanike (dridhjet e membranes telefonike, difuzorit te altoparlantit etj.); dridhjet e bërthamave dhe molekulave si rezultat i lëvizjes termike në atome.
Le të shqyrtojmë segmentin [OD] (vektori i rrezes) që kryen lëvizje rrotulluese rreth pikës 0. Gjatësia |OD| = A . Rrotullimi ndodh me një shpejtësi këndore konstante ω 0. Pastaj këndi φ ndërmjet vektorit të rrezes dhe boshtitxndryshon me kalimin e kohës sipas ligjit
ku φ 0 - këndi ndërmjet [OD] dhe boshtit X në një moment në kohët= 0. Projeksioni i segmentit [OD] mbi bosht X në një moment në kohët= 0
dhe në një moment arbitrar në kohë
(1)
Kështu, projeksioni i segmentit [OD] në boshtin x pëson lëkundje që ndodhin përgjatë boshtit X, dhe këto lëkundje përshkruhen nga ligji i kosinusit (formula (1)).
Lëkundjet që përshkruhen me ligjin e kosinusit
ose sinusit
thirrur harmonike.
Dridhjet harmonike janë periodike, sepse vlera e x (dhe y) përsëritet në intervale të rregullta.
Nëse segmenti [OD] është në pozicionin më të ulët në figurë, d.m.th. pika D përkon me pikën R, atëherë projeksioni i tij në boshtin x është zero. Le ta quajmë këtë pozicion të segmentit [OD] pozicion ekuilibri. Atëherë mund të themi se sasia X përshkruan zhvendosjen e një pike lëkundëse nga pozicioni i saj ekuilibër. Zhvendosja maksimale nga pozicioni i ekuilibrit quhet amplituda luhatjet
Madhësia
e cila është nën shenjën e kosinusit quhet fazë. Faza përcakton zhvendosjen nga pozicioni i ekuilibrit në një moment arbitrar në kohët. Faza në momentin fillestar të kohëst = 0 , e barabartë me φ 0 quhet faza fillestare.
T
Periudha kohore gjatë së cilës ndodh një lëkundje e plotë quhet periudha e lëkundjes T. Numri i lëkundjeve për njësi të kohës quhet frekuenca e lëkundjeve ν.
Pas një periudhe kohe të barabartë me periudhën T, d.m.th. kur argumenti i kosinusit rritet me ω 0 T, lëvizja përsëritet dhe kosinusi merr vlerën e mëparshme
sepse periudha e kosinusit është 2π, pastaj, pra, ω 0 T= 2π
pra, ω 0 është numri i lëkundjeve të trupit në 2π sekonda. ω 0 - frekuencë ciklike ose rrethore.
modeli i dridhjeve harmonike
A- amplituda, T- periudha, X- zhvendosja,t- koha.
Shpejtësinë e pikës lëkundëse e gjejmë duke diferencuar ekuacionin e zhvendosjes X(t) sipas kohës
ato. shpejtësia vtë ndryshme në fazë nga kompensimi X nëπ /2.
Nxitimi është derivati i parë i shpejtësisë (derivati i dytë i zhvendosjes) në lidhje me kohën
ato. nxitimi A ndryshon nga zhvendosja fazore me π.
Le të ndërtojmë një grafik X(
t)
, y(
t)
Dhe A(
t)
në një vlerësim koordinativ (për thjeshtësi, le të marrim φ 0 = 0 dhe ω 0 = 1)
Falas ose vet quhen lëkundje që ndodhin në një sistem të lënë në vetvete pasi të jetë hequr nga pozicioni i tij ekuilibër.
Çdo lëvizje që përsëritet periodikisht quhet osciluese. Prandaj, varësitë e koordinatave dhe shpejtësisë së një trupi nga koha gjatë lëkundjeve përshkruhen nga funksionet periodike të kohës. Në kursin e fizikës shkollore, merren parasysh dridhjet në të cilat varësitë dhe shpejtësitë e trupit janë funksione trigonometrike. 
, 
ose një kombinim i tyre, ku është një numër i caktuar. Lëkundje të tilla quhen harmonike (funksione 
Dhe 
shpesh quhen funksione harmonike). Për të zgjidhur problemet mbi lëkundjet e përfshira në programin e provimit të unifikuar të shtetit në fizikë, duhet të dini përkufizimet e karakteristikave kryesore të lëvizjes lëkundëse: amplituda, periudha, frekuenca, frekuenca rrethore (ose ciklike) dhe faza e lëkundjeve. Le t'i japim këto përkufizime dhe t'i lidhim madhësitë e renditura me parametrat e varësisë së koordinatave të trupit nga koha, të cilat në rastin e lëkundjeve harmonike mund të paraqiten gjithmonë në formën
ku , dhe janë disa numra.
Amplituda e lëkundjeve është devijimi maksimal i një trupi lëkundës nga pozicioni i tij ekuilibër. Meqenëse vlerat maksimale dhe minimale të kosinusit në (11.1) janë të barabarta me ±1, amplituda e lëkundjeve të trupit që lëkundet (11.1) është e barabartë me . Periudha e lëkundjes është koha minimale pas së cilës përsëritet lëvizja e një trupi. Për varësinë (11.1), periudha mund të caktohet nga konsideratat e mëposhtme. Kosinusi është një funksion periodik me periodë. Prandaj, lëvizja përsëritet plotësisht përmes një vlere të tillë që . Nga këtu marrim
Frekuenca rrethore (ose ciklike) e lëkundjeve është numri i lëkundjeve të kryera për njësi të kohës. Nga formula (11.3) konkludojmë se frekuenca rrethore është sasia nga formula (11.1).
Faza e lëkundjes është argumenti i një funksioni trigonometrik që përshkruan varësinë e koordinatës nga koha. Nga formula (11.1) shohim se faza e lëkundjeve të trupit, lëvizja e të cilit përshkruhet nga varësia (11.1), është e barabartë me 
. Vlera e fazës së lëkundjes në kohën = 0 quhet faza fillestare. Për varësinë (11.1), faza fillestare e lëkundjeve është e barabartë me . Natyrisht, faza fillestare e lëkundjeve varet nga zgjedhja e pikës së referencës kohore (moment = 0), e cila është gjithmonë e kushtëzuar. Duke ndryshuar origjinën e kohës, faza fillestare e lëkundjeve gjithmonë mund të "bëhet" e barabartë me zero, dhe sinusi në formulën (11.1) mund të "kthehet" në kosinus ose anasjelltas.
Programi i provimit të unifikuar të shtetit përfshin edhe njohjen e formulave të frekuencës së lëkundjeve të sustës dhe lavjerrësit matematikor. Lavjerrësi sustë zakonisht quhet një trup që mund të lëkundet në një sipërfaqe të lëmuar horizontale nën veprimin e një sustë, skaji i dytë i së cilës është i fiksuar (figura majtas). Lavjerrësi matematikor është një trup masiv, dimensionet e të cilit mund të neglizhohen, duke u lëkundur në një fije të gjatë, pa peshë dhe të pazgjatur (figura e djathtë). Emri i këtij sistemi - "lavjerrës matematik" - është për faktin se ai përfaqëson një abstrakt matematikore model i vërtetë ( fizike) lavjerrës. Është e nevojshme të mbani mend formulat për periudhën (ose frekuencën) e lëkundjeve të pranverës dhe lavjerrësit matematikor. Për një lavjerrës pranveror
ku është gjatësia e fillit, është nxitimi i gravitetit. Le të shqyrtojmë zbatimin e këtyre përkufizimeve dhe ligjeve duke përdorur shembullin e zgjidhjes së problemeve.
Për të gjetur frekuencën ciklike të lëkundjeve të ngarkesës në detyra 11.1.1 Le të gjejmë fillimisht periudhën e lëkundjes dhe më pas të përdorim formulën (11.2). Meqenëse 10 m 28 s është 628 s, dhe gjatë kësaj kohe ngarkesa lëkundet 100 herë, periudha e lëkundjes së ngarkesës është 6,28 s. Prandaj, frekuenca ciklike e lëkundjeve është 1 s -1 (përgjigje 2 ). NË problema 11.1.2 ngarkesa ka bërë 60 lëkundje në 600 s, kështu që frekuenca e lëkundjeve është 0.1 s -1 (përgjigje 1 ).
Për të kuptuar distancën që ngarkesa do të përshkojë në 2,5 periudha ( problema 11.1.3), le të ndjekim lëvizjen e tij. Pas një periudhe, ngarkesa do të kthehet përsëri në pikën e devijimit maksimal, duke përfunduar një lëkundje të plotë. Prandaj, gjatë kësaj kohe, ngarkesa do të kalojë një distancë të barabartë me katër amplituda: në pozicionin e ekuilibrit - një amplitudë, nga pozicioni i ekuilibrit në pikën e devijimit maksimal në drejtimin tjetër - e dyta, përsëri në pozicionin e ekuilibrit - e treta, nga pozicioni i ekuilibrit në pikën e fillimit - e katërta. Gjatë periudhës së dytë, ngarkesa përsëri do të kalojë nëpër katër amplituda, dhe gjatë gjysmës së mbetur të periudhës - dy amplituda. Prandaj, distanca e përshkuar është e barabartë me dhjetë amplituda (përgjigje 4 ).
Sasia e lëvizjes së trupit është distanca nga pika e fillimit deri në pikën përfundimtare. Mbi 2.5 periudha në detyra 11.1.4 trupi do të ketë kohë të kryejë dy lëkundje të plota dhe gjysmë të plota, d.m.th. do të jetë në devijimin maksimal, por në anën tjetër të pozicionit të ekuilibrit. Prandaj, madhësia e zhvendosjes është e barabartë me dy amplituda (përgjigje 3 ).
Sipas përkufizimit, faza e lëkundjes është argumenti i një funksioni trigonometrik që përshkruan varësinë e koordinatave të një trupi lëkundës nga koha. Prandaj përgjigjja e saktë është problema 11.1.5 - 3 .
Një periudhë është koha e lëkundjes së plotë. Kjo do të thotë se kthimi i një trupi përsëri në të njëjtën pikë nga e cila trupi filloi të lëvizte nuk do të thotë se ka kaluar një periudhë: trupi duhet të kthehet në të njëjtën pikë me të njëjtën shpejtësi. Për shembull, një trup, pasi ka filluar lëkundjet nga një pozicion ekuilibri, do të ketë kohë të devijojë me një sasi maksimale në një drejtim, të kthehet prapa, të devijojë me një maksimum në drejtimin tjetër dhe të kthehet përsëri. Prandaj, gjatë periudhës trupi do të ketë kohë të devijojë me sasinë maksimale nga pozicioni i ekuilibrit dy herë dhe të kthehet prapa. Rrjedhimisht, kalimi nga pozicioni i ekuilibrit në pikën e devijimit maksimal ( problema 11.1.6) trupi kalon një të katërtën e periudhës (përgjigje 3 ).
Lëkundjet harmonike janë ato në të cilat varësia e koordinatave të trupit lëkundës nga koha përshkruhet nga një funksion trigonometrik (sinus ose kosinus) i kohës. NË detyra 11.1.7 këto janë funksionet dhe , pavarësisht se parametrat e përfshirë në to janë caktuar si 2 dhe 2 . Funksioni është një funksion trigonometrik i katrorit të kohës. Prandaj, dridhjet e vetëm sasive dhe janë harmonike (përgjigje 4 ).
Gjatë dridhjeve harmonike, shpejtësia e trupit ndryshon sipas ligjit 
, ku është amplituda e lëkundjeve të shpejtësisë (pika e referencës kohore zgjidhet në mënyrë që faza fillestare e lëkundjeve të jetë e barabartë me zero). Prej këtu gjejmë varësinë e energjisë kinetike të trupit nga koha 
(problema 11.1.8). Duke përdorur më tej formulën e njohur trigonometrike, marrim
Nga kjo formulë del se energjia kinetike e një trupi ndryshon gjatë lëkundjeve harmonike edhe sipas ligjit harmonik, por me frekuencë të dyfishtë (përgjigje 2 ).
Pas marrëdhënies midis energjisë kinetike të ngarkesës dhe energjisë potenciale të sustës ( problema 11.1.9) është e lehtë për t'u ndjekur nga konsideratat e mëposhtme. Kur trupi devijohet me sasinë maksimale nga pozicioni i ekuilibrit, shpejtësia e trupit është zero, dhe, për rrjedhojë, energjia potenciale e sustës është më e madhe se energjia kinetike e ngarkesës. Përkundrazi, kur trupi kalon në pozicionin e ekuilibrit, energjia potenciale e sustës është zero, dhe për këtë arsye energjia kinetike është më e madhe se energjia potenciale. Prandaj, ndërmjet kalimit të pozicionit të ekuilibrit dhe devijimit maksimal, energjia kinetike dhe potenciale krahasohen një herë. Dhe meqenëse gjatë një periudhe trupi kalon katër herë nga pozicioni i ekuilibrit në devijimin maksimal ose prapa, atëherë gjatë periudhës energjia kinetike e ngarkesës dhe energjia potenciale e sustës krahasohen katër herë me njëra-tjetrën (përgjigja 2 ).
Amplituda e luhatjeve të shpejtësisë ( detyra 11.1.10) është më e lehtë për tu gjetur duke përdorur ligjin e ruajtjes së energjisë. Në pikën e devijimit maksimal, energjia e sistemit oscilues është e barabartë me energjinë potenciale të sustës 
, ku është koeficienti i ngurtësisë së sustës, është amplituda e vibrimit. Kur kalon nëpër pozicionin e ekuilibrit, energjia e trupit është e barabartë me energjinë kinetike 
, ku është masa e trupit, është shpejtësia e trupit kur kalon në pozicionin e ekuilibrit, e cila është shpejtësia maksimale e trupit gjatë procesit të lëkundjes dhe, për rrjedhojë, paraqet amplituda e lëkundjeve të shpejtësisë. Duke barazuar këto energji, ne gjejmë
(përgjigje 4 ).
Nga formula (11.5) konkludojmë ( problema 11.2.2), se periudha e tij nuk varet nga masa e një lavjerrës matematikor dhe me një rritje në gjatësi me 4 herë, periudha e lëkundjeve rritet me 2 herë (përgjigja 1 ).
Një orë është një proces oscilues që përdoret për të matur intervalet e kohës ( problema 11.2.3). Fjalët "ora është me nxitim" do të thotë se periudha e këtij procesi është më e vogël se sa duhet. Prandaj, për të sqaruar ecurinë e këtyre orëve, është e nevojshme të rritet periudha e procesit. Sipas formulës (11.5), për të rritur periudhën e lëkundjes së një lavjerrës matematikor, është e nevojshme të rritet gjatësia e tij (përgjigje 3 ).
Për të gjetur amplituda e lëkundjeve në problema 11.2.4, është e nevojshme të paraqitet varësia e koordinatave të trupit nga koha në formën e një funksioni të vetëm trigonometrik. Për funksionin e dhënë në kusht, kjo mund të bëhet duke futur një kënd shtesë. Shumëzimi dhe pjesëtimi i këtij funksioni me 
dhe duke përdorur formulën për shtimin e funksioneve trigonometrike, marrim
|
ku është këndi i tillë që 
. Nga kjo formulë del se amplituda e lëkundjeve të trupit është 
(përgjigje 4
).
