Hartoni një ligj të shpërndarjes për numrin e pjesëve me defekt të prodhuara gjatë një ndërrimi në të dy makinat dhe llogaritni pritshmërinë matematikore dhe devijimin standard të kësaj ndryshoreje të rastësishme.

192. Probabiliteti që ora të ketë nevojë për rregullim shtesë është 0.2. Hartoni një ligj për shpërndarjen e numrit të orëve që kanë nevojë për rregullim shtesë midis tre orëve të zgjedhura rastësisht. Duke përdorur ligjin e shpërndarjes që rezulton, gjeni pritshmërinë matematikore dhe variancën e kësaj ndryshoreje të rastësishme. Kontrolloni rezultatin duke përdorur formulat e duhura për pritjen dhe shpërndarjen matematikore të një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë sipas ligjit binomial.

193. Nga gjashtë biletat e disponueshme të lotarisë, nga të cilat katër janë jofituese, një biletë tërhiqet në mënyrë të rastësishme derisa të ndeshet një biletë fituese. Hartoni një ligj shpërndarjeje për variablin e rastësishëm X - numri i biletave të nxjerra, nëse çdo biletë e nxjerrë nuk kthehet mbrapsht. Gjeni pritshmërinë matematikore dhe devijimin standard të kësaj ndryshoreje të rastësishme.

194. Një student mund t'i nënshtrohet provimit jo më shumë se katër herë. Hartoni një ligj të shpërndarjes për ndryshoren e rastësishme X - numri i përpjekjeve për të kaluar provimin, nëse probabiliteti për ta kaluar atë është 0.75 dhe më pas rritet me 0.1 me çdo përpjekje pasuese. Gjeni variancën e kësaj ndryshoreje të rastësishme.

195. Janë dhënë ligjet e shpërndarjes së dy variablave të rastësishëm të pavarur X dhe Y:

Hartoni ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X–Y dhe kontrolloni vetinë e dispersionit D(X–Y) = D(X) + D(Y).

196. Ndër pesë orët e të njëjtit lloj të disponueshme në punishte, vetëm njëra ka një lavjerrës të gabuar. Mjeshtri kontrollon një orë të zgjedhur rastësisht. Rishikimi përfundon sapo zbulohet një orë me një lavjerrës të zhvendosur (orët e kontrolluara nuk shihen më). Hartoni një ligj të shpërndarjes për numrin e orëve të ndjekura nga mjeshtri dhe llogaritni pritshmërinë matematikore dhe shpërndarjen e kësaj ndryshoreje të rastësishme.

197. Variablat e pavarur të rastësishëm X dhe Y specifikohen nga ligjet e shpërndarjes:

Hartoni ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X 2 + 2Y dhe kontrolloni vetinë e pritshmërisë matematikore: M(X 2 + 2Y) = M(X 2) + 2M(Y).

198. Dihet se një ndryshore e rastësishme X, duke marrë dy vlera x 1 = 1 dhe x 2 = 2, ka një pritje matematikore të barabartë me 7/6. Gjeni probabilitetet me të cilat ndryshorja e rastësishme X merr vlerat e saj. Hartoni një ligj të shpërndarjes për një ndryshore të rastësishme 2 X 2 dhe gjeni variancën e saj.

199. Dy variabla të rastësishëm të pavarur X dhe Y janë të specifikuara nga ligjet e shpërndarjes:

Gjeni P(X= 3) dhe P(Y= 4). Hartoni ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X – 2Y dhe kontrolloni vetitë e pritjes dhe shpërndarjes matematikore: M(X – 2Y) = M(X) – 2M(Y); D(X – 2Y) = D(X) + 4D(Y).

Në problemat 201–210 jepen variabla të rastësishëm që shpërndahen sipas ligjit normal.

201. Ndryshorja e rastësishme ξ shpërndahet normalisht. Gjeni P(0< ξ<10), если Мξ= 10 и Р(10< ξ<20)= 0,3.

202. Ndryshorja e rastësishme ξ shpërndahet normalisht. Gjeni P(35< ξ<40), если Мξ= 25 и Р(10< ξ<15)= 0,2.

203. Ndryshorja e rastësishme ξ shpërndahet normalisht. Gjeni P(1< ξ<3), если Мξ= 3 и Р(3< ξ<5)= 0,1915.

204. <σ).

205. Për një ndryshore të rastësishme ξ të shpërndarë sipas ligjit normal, gjeni Р(|ξ–а|<2σ).

206. Për një ndryshore të rastësishme ξ të shpërndarë sipas ligjit normal, gjeni Р(|ξ–а|<4σ).

207. Ndryshoret e pavarura të rastësishme ξ dhe η shpërndahen normalisht,

Mξ= –1; Dξ= 2; Μη= 5; Dη= 7. Shkruani dendësinë e probabilitetit dhe funksionin e shpërndarjes së shumës së tyre. Gjeni Р(ξ+η<5) и Р(–1< ξ+η<3).

208. Ndryshoret e pavarura të rastit ξ, η, ζ shpërndahen sipas ligjit normal dhe Μξ= 3; Dξ= 4; Μη= –2; Dη= 0,04; Mz= 1; Dζ= 0,09. Shkruani densitetin e probabilitetit dhe funksionin e shpërndarjes për shumën e tyre. Gjeni Р(ξ+η+ζ<5) и Р(–1< ξ+η+ζ<3).

209. Ndryshoret e pavarura të rastit ξ, η, ζ shpërndahen normalisht dhe Μξ= –1; Dξ= 9; Μη= 2; Dη= 4; Мζ= –3; Dζ= 0,64. Shkruani densitetin e probabilitetit dhe funksionin e shpërndarjes për shumën e tyre. Gjeni Р(ξ+η+ζ<0) и

Р(–3< ξ+η+ζ<0).

210. Makina automatike prodhon rula, duke kontrolluar diametrat e tyre ξ. Duke supozuar se ξ shpërndahet normalisht dhe a = 10 mm, σ = 0,1 mm, gjeni intervalin në të cilin diametrat e rrotullave të prodhuar do të përmbahen me një probabilitet prej 0,9973.

Në problemat 211–220, një mostër X e vëllimit n = 100 jepet nga tabela:

ku matja rezulton x i = 0,2·a +(i –1)·0,3·b; n i – frekuencat me të cilat ndodhin vlerat x i.

1) ndërtoni një shumëkëndësh me frekuenca relative w i =n i /n;

2) llogaritni mesataren e mostrës, variancën e mostrës D B dhe devijimin standard σ B;

3) llogarit frekuencat teorike. Ndërtoni një grafik në të njëjtin vizatim me shumëkëndëshin;

4) duke përdorur kriterin χ 2, provoni hipotezën për shpërndarjen normale të popullatës në një nivel të rëndësisë α = 0,05.

211. a = 4; b = 3; 212 . a = 3; b = 2; 213. a = 5; b = 1; 214. a = 1; b = 4;

215. a = 3; b = 5; 216. a=2; b = 3; 217. a = 4; b = 1; 218. a = 2; b = 5; 219. a = 1; b = 2; 220. a = 5; b = 4.

Në problemet 221–230, një mostër dydimensionale e rezultateve të matjeve të përbashkëta të karakteristikave X dhe Y me një vëllim n = 100 specifikohet nga një tabelë korrelacioni:

ku x i = 0,2·a +(i –1)·0,3·b; y i = 0,5·a +(j – 1)·0,2·b.

1) Gjeni dhe σ y. Merrni vlerat e dhe σ x nga problemi i mëparshëm.

2) Llogaritni koeficientin e korrelacionit r B . Nxirrni një përfundim për natyrën e marrëdhënies midis karakteristikave X dhe Y.

3) Ndërtoni ekuacionin e një drejtëze të regresionit të Y në X në formë.

4) Vizatoni fushën e korrelacionit në grafik, d.m.th. vizatoni pikat (xi, yi) dhe ndërtoni një vijë të drejtë.

221. a = 4; b = 3; 222. a = 3; b = 2; 223. a = 5; b = 1;

224. a = 1; b = 4; 225. a = 3; b = 5; 226. a = 2; b = 3;

227. a = 4; b = 1; 228. a = 2; b = 5; 229. a = 1; b = 2

230. a = 5; b = 4

Në problemat 231–240, gjeni vlerën maksimale të funksionit

sipas kushteve . Merrni vlerat nga tabela

kërkohet:

1) zgjidhni një problem të programimit linear duke përdorur një metodë grafike;

2) zgjidhni problemin duke përdorur metodën e thjeshtë tabelare;

3) tregoni korrespondencën midis zgjidhjeve mbështetëse dhe kulmeve të rajonit të zgjidhjeve të realizueshme;

Në problemet 241–250, disa ngarkesa homogjene të përqendruara midis tre furnizuesve A i () duhet t'u dorëzohen pesë konsumatorëve B j ().

b 5 Nevoja për të përcaktuar

një plan transporti optimal që lejon të gjitha ngarkesat të largohen nga furnitorët dhe të plotësojnë nevojat e të gjithë konsumatorëve në mënyrë të tillë që ky plan të ketë një kosto minimale. Gjeni planin e parë të mbështetjes duke përdorur metodën e këndit "veriperëndimor". Gjeni planin optimal duke përdorur metodën e mundshme. Llogaritni kostot e transportit për çdo plan. Në detyrat 251-260, industria kryen investime kapitale në katër objekte. Duke marrë parasysh karakteristikat e kontributit dhe kushtet lokale, fitimi i industrisë, në varësi të masës së financimit, shprehet me elementët e matricës së pagesës. Për të thjeshtuar problemin, supozoni se humbja e industrisë është e barabartë me fitimin e industrisë. Gjeni strategjitë optimale të industrisë.

Kërkohet:

1) përmblidhni të dhënat fillestare në një tabelë dhe gjeni një zgjidhje për lojën e matricës në strategji të pastra, nëse ekziston (përndryshe, shihni hapin tjetër 2);

3) krijoni një çift problemesh të dyfishta reciproke të barazvlefshme me lojën e dhënë të matricës;

4) gjeni zgjidhjen optimale për problemin e drejtpërdrejtë (për industrinë B) duke përdorur metodën simplex;

5) duke përdorur korrespondencën e variablave, shkruani zgjidhjen optimale të problemit të dyfishtë (për industrinë A);

6) jepni një interpretim gjeometrik të kësaj zgjidhjeje (për industrinë A);

7) duke përdorur marrëdhënien midis zgjidhjeve optimale për një palë problemesh të dyfishta, strategjive optimale dhe kostos së lojës, gjeni një zgjidhje për lojën në strategji të përziera;

opsioni 1 opsioni 2 opsioni 3

1. Gjeometria analitike dhe algjebra vektoriale………………….. 4

2. Sistemet e ekuacioneve lineare dhe numrave komplekse…………….. 5

3. Hartimi i grafikëve të funksionit, llogaritja e kufijve

dhe identifikimin e pikave të ndërprerjes së funksioneve………………………………. 6

4. Derivatet e funksioneve, vlerat më të mëdha dhe më të vogla

në segmentin.................................................. 9

5. Hulumtimi i funksioneve dhe ndërtimi i grafikëve,

funksionet e disa ndryshoreve, metoda e katrorëve më të vegjël... 11

6. Integrali i pacaktuar, i caktuar dhe i pavend….. 12

7. Zgjidhja e ekuacioneve dhe sistemeve diferenciale

ekuacionet diferenciale………………………………………… 14

8. Integrale të shumëfishta dhe të lakuar ……………………………… 15

9. Studim i serive numerike dhe të fuqisë, i përafërt

zgjidhjet e ekuacioneve diferenciale…………………………… 17

10. Teoria e probabilitetit………………………………………………………… 18

Petr Alekseevich Burov

Anatoli Nikolaevich Muravyov

Mbledhja e detyrave

©2015-2019 faqe
Të gjitha të drejtat u përkasin autorëve të tyre. Kjo faqe nuk pretendon autorësinë, por ofron përdorim falas.
Data e krijimit të faqes: 2017-12-07

Qëllimi i shërbimit. Duke përdorur shërbimin online llogariten pritshmëria matematikore, varianca dhe devijimi standard(shih shembullin). Përveç kësaj, vizatohet grafiku i funksionit të shpërndarjes F(X).

• Zgjidhje online
• Video udhëzim

Vetitë e pritshmërisë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme

1. Pritja matematikore e një vlere konstante është e barabartë me vetveten: M[C]=C, C – konstante;
2. M=C M[X]
3. Pritshmëria matematikore e shumës së ndryshoreve të rastësishme është e barabartë me shumën e pritjeve të tyre matematikore: M=M[X]+M[Y]
4. Pritshmëria matematikore e prodhimit të ndryshoreve të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore: M=M[X] M[Y] , nëse X dhe Y janë të pavarur.

Vetitë e dispersionit

1. Varianca e një vlere konstante është zero: D(c)=0.
2. Faktori konstant mund të nxirret nga nën shenjën e dispersionit duke e kuadruar atë: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Nëse ndryshoret e rastësishme X dhe Y janë të pavarura, atëherë varianca e shumës është e barabartë me shumën e variancave: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Nëse variablat e rastësishëm X dhe Y janë të varur: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Formula e mëposhtme llogaritëse është e vlefshme për shpërndarjen:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Shembull. Pritjet dhe variancat matematikore të dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura X dhe Y janë të njohura: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Gjeni pritshmërinë matematikore dhe variancën e ndryshores së rastësishme Z=9X-8Y+7.
Zgjidhje. Bazuar në vetitë e pritjes matematikore: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Bazuar në vetitë e dispersionit: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 – 64*6 = 345

Variabla të rastësishme të vazhdueshme. Sistemet e ndryshoreve të rastit. Funksioni i dy argumenteve të rastit. Formula e konvolucionit. Stabiliteti i shpërndarjes normale, faqe 3

Le të jepet një funksion i një argumenti të rastësishëm X Kërkohet të gjendet pritshmëria matematikore e këtij funksioni, duke ditur ligjin e shpërndarjes së argumentit.

1. Le të jetë argumenti X një ndryshore diskrete e rastësishme me një seri shpërndarjeje

.

Shembulli 3. Ndryshorja diskrete e rastësishme X jepet nga shpërndarja

Gjeni pritshmërinë matematikore të një funksioni .

Vlerat e mundshme Y:

; ; .

2. Le të jetë argumenti X një variabël e rastësishme e vazhdueshme e specifikuar nga dendësia e shpërndarjes p(x). Për të gjetur pritshmërinë matematikore të një funksioni, së pari mund të gjeni densitetin e shpërndarjes g(y) të vlerës Y dhe më pas përdorni formulën: .

Nëse është e mundur vlerat , Kjo .

Shembulli 4. Ndryshorja e rastësishme X jepet me densitet në intervalin (0, π/2); jashtë këtij intervali p(x)=0. Gjeni pritshmërinë matematikore të një funksioni .

, , , ; Prandaj,

§ 17. Funksioni i dy argumenteve të rastit.

Formula e konvolucionit. Stabiliteti i shpërndarjes normale.

o Nëse çdo çift vlerash të mundshme të ndryshoreve të rastësishme X dhe Y korrespondon me një vlerë të mundshme të ndryshores së rastit Z, atëherë Z quhet funksioni i dy argumenteve të rastit X dhe Y:

.

Shembuj të mëtejshëm do të tregojnë se si të gjeni shpërndarjen e funksionit sipas shpërndarjeve të njohura të termave. Ky problem shpesh shfaqet në praktikë. Për shembull, nëse gabimi X i leximeve të një pajisjeje matëse shpërndahet në mënyrë uniforme, atëherë lind detyra për të gjetur ligjin e shpërndarjes së shumës së gabimeve .

Rasti 1. Le të X dhe Y- variabla të rastësishme të pavarura diskrete. Për të hartuar ligjin e shpërndarjes për funksionin Z=X+Y, është e nevojshme të gjenden të gjitha vlerat e mundshme të Z dhe probabilitetet e tyre. Me fjalë të tjera, përpilohet një seri shpërndarjeje e ndryshores së rastësishme Z.

Shembulli 1. Ndryshoret diskrete të rastësishme të pavarura X dhe Y, të specifikuara nga shpërndarjet

3. NDRYSHORET E RASTËSISHME. KONCEPTI I NJË VARIABLE TË RASTËSISHME

Ndryshore e rastësishme Quhet një sasi e cila, si rezultat i provave të kryera në të njëjtat kushte, merr vlera të ndryshme, në përgjithësi, në varësi të faktorëve të rastësishëm që nuk merren parasysh. Shembuj të variablave të rastësishëm: numri i pikave të hedhura në një zare, numri i produkteve me defekt në një grumbull, devijimi i pikës së goditjes së një predhe nga objektivi, koha e përdorimit të një pajisjeje, etj. Janë diskrete dhe të vazhdueshme variablat e rastësishëm. Diskret Quhet një ndryshore e rastësishme, vlerat e mundshme të së cilës formojnë një grup të numërueshëm, të fundëm ose të pafundëm (d.m.th., një grup, elementët e të cilit mund të numërohen).

E vazhdueshme Quhet një ndryshore e rastësishme, vlerat e mundshme të së cilës plotësojnë vazhdimisht një interval të fundëm ose të pafundëm të vijës numerike. Numri i vlerave të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është gjithmonë i pafund.

Ne do të shënojmë ndryshore të rastësishme me shkronja të mëdha nga fundi i alfabetit latin: X, Y, . ; vlerat e ndryshoreve të rastësishme - me shkronja të vogla: X, y,. . Kështu, X Tregon të gjithë grupin e vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe X - Disa nga kuptimet e tij specifike.

Ligji i shpërndarjes Një ndryshore e rastësishme diskrete është një korrespondencë e specifikuar në çdo formë midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve të tyre.

Lërini vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme X Janë . Si rezultat i testit, ndryshorja e rastësishme do të marrë një nga këto vlera, d.m.th. Një ngjarje nga një grup i plotë ngjarjesh të papajtueshme në çift do të ndodhë.

Le të dihen edhe probabilitetet e këtyre ngjarjeve:

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X Mund të shkruhet në formën e një tabele të quajtur Pranë shpërndarjes Ndryshore diskrete e rastësishme:

Është dhënë ligji i shpërndarjes së dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura x dhe y

q fq

q
fq

Ky është një ligj gjeometrik i shpërndarjes.

(Ne marrim një seri konvergjente, pasi
).

Detyra 4. Në festë nga 10 Ka tre pjesë jo standarde. Dy pjesë u zgjodhën në mënyrë të rastësishme. Shkruani ligjin për shpërndarjen e numrit të pjesëve jo standarde midis dy të përzgjedhurve. Llogaritni pritshmërinë matematikore të kësaj ndryshoreje të rastësishme.

Zgjidhje. Vlera e rastësishme X– numri i pjesëve jo standarde midis dy të përzgjedhurve ka këto vlera të mundshme:


Le të gjejmë probabilitetet e tyre

Le të përpilojmë ligjin e kërkuar të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme

Gjetja e pritshmërisë matematikore

.

Detyra 5. Parashikimi i mundshëm për vlerën e X - ndryshimi në përqindje në vlerën e aksioneve në raport me normën e tyre aktuale gjatë gjashtë muajve - jepet në formën e një ligji të shpërndarjes:

Gjeni probabilitetin që blerja e aksioneve të jetë më fitimprurëse sesa vendosja e parave në një depozitë bankare me 36% në vit.

Zgjidhje. Rritja e shumës së një depozite bankare, subjekt i 3% në muaj, do të jetë pas 6 muajsh. çmimi i aksioneve:

Problemi 6. Lërini shpenzimet ditore për servisimin dhe reklamimin e makinave në një përfaqësi të caktuar makinash të jenë mesatarisht 100 mijë rubla, dhe numri i shitjeve X makinat gjatë ditës i binden ligjit të mëposhtëm të shpërndarjes:

a) Gjeni pritshmërinë matematikore të fitimit ditor me një çmim makine prej 150 mijë rubla. b) Varianca e shitjes ditore të numrit të makinave.

Zgjidhje. a) Fitimi ditor llogaritet duke përdorur formulën

P = (150 X- 100) mijë rubla

Karakteristikë e kërkuar M(P) gjendet duke përdorur vetitë e mësipërme të pritshmërisë matematikore (në mijë rubla):

b) Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X 2 duket si:

M(X 2) = 0 ∙ 0,25 + 1 ∙ 0,2 + 9 ∙ 0,1 + 16 ∙ 0,1 + 25 ∙ 0,1 + 36 ∙ ∙0,05 + 49 ∙ 0,05 + 64 ∙ 0,025 + 81 ∙ 0,025 = 13,475.

Vlera e pritshme M(X) = 2.675. Si rezultat, marrim vlerën e dëshiruar të dispersionit:

Problemi 7. Vlera e rastësishme X specifikuar në të gjithë boshtin nga funksioni i shpërndarjes
. Gjeni funksionin e densitetit të probabilitetit dhe probabilitetin që X do të marrë vlerën e përfshirë në intervalin ( 0,1 ).

Zgjidhje. A-parësore

Është e dobishme të shoqëroni zgjidhjen e problemit në Fig. 4.

Z problemi 8. Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme ka formën e treguar në Fig. 5.

Gjeni: a) funksionin e densitetit të probabilitetit; b) duke parë grafikun F(x), tregoni tiparet kryesore të një ndryshoreje të rastësishme, për shembull, gamën e vlerave të mundshme, vlerat më të mundshme, etj.; V) M(X), D(X) ; G) P(X 2 ) . Atëherë probabiliteti që pjesa të jetë e mirë është e barabartë me

Ne e konsiderojmë prodhimin e një pjese si një përvojë të pavarur me një probabilitet "sukses" fq=0,31 . Pastaj nga relacioni përcaktohet numri i kërkuar i pjesëve

Detyra 1. Shorti përfshin: veturë në vlerë prej 5000 den. njësi, 4 televizorë që kushtojnë 250 den. njësi, 5 video regjistrues në vlerë prej 200 den. njësive Gjithsej 1000 bileta janë shitur për 7 ditë. njësive Hartoni një ligj shpërndarjeje për fitimet neto të marra nga një pjesëmarrës i lotarisë që bleu një biletë.

Zgjidhje. Vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme X - fitimet neto për biletë - janë të barabarta me 0 - 7 = -7 para. njësive (nëse bileta nuk fitonte), 200 – 7 = 193, 250 – 7 = 243, 5000 – 7 = 4993 den. njësive (nëse bileta ka fitimet e një VCR, TV ose makinë, përkatësisht). Duke marrë parasysh se nga 1000 bileta, numri i jofituesve është 990, dhe fitimet e treguara janë përkatësisht 5, 4 dhe 1, dhe duke përdorur përkufizimin klasik të probabilitetit, marrim:

ato. seritë e shpërndarjes

Detyra 2. Probabiliteti që një student të kalojë një provim semestri në një sesion sipas disiplinës A Dhe B, janë të barabartë me 0.7 dhe 0.9, respektivisht. Hartoni një ligj të shpërndarjes për numrin e provimeve semestrale që do të japë një student.

Zgjidhje. Vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme X— numri i provimeve të mbartura – 0, 1, 2.

Le A i– një ngjarje që konsiston në faktin se studenti do të kalojë i provimi ( i=1,2). Atëherë probabiliteti që studenti të kalojë provimet 0, 1, 2 në seancë do të jetë përkatësisht i barabartë (ne numërojmë ngjarjet A 1 dhe A 2 të pavarura):

Pra, seria e shpërndarjes së ndryshores së rastit

Detyra 3. Llogaritni M(X) për një ndryshore të rastësishme X— fitimi neto sipas detyrës 1.

ato. fitimi mesatar është zero. Rezultati do të thotë që të gjitha të ardhurat nga shitja e biletave shkojnë drejt fitimeve.

Detyra 4. Janë të njohura ligjet e shpërndarjes së variablave të rastësishëm X Dhe Y– numri i pikëve të shënuara nga gjuajtësit e parë dhe të dytë.

Është e nevojshme të zbulohet se cili nga dy gjuajtësit gjuan më mirë.

Duke marrë parasysh serinë e shpërndarjes së variablave të rastit X Dhe Y Përgjigja në këtë pyetje nuk është aspak e lehtë për shkak të bollëkut të vlerave numerike, përveç kësaj, gjuajtësi i parë ka probabilitete mjaft të larta (për shembull, më shumë se 0.1) me vlera ekstreme të numrit të pikëve të shënuara. X= 0; 1 dhe X= 9; 10), dhe gjuajtësi i dytë ka vlera të ndërmjetme ( Y = 4; 5; 6).

Natyrisht, nga dy gjuajtës, gjuajtësi më i mirë është ai që shënon më shumë pikë mesatarisht.

domethënë, numri mesatar i pikëve të shënuara nga dy gjuajtës është i njëjtë.

Detyra 5. Në problemin 4, llogaritni variancën dhe devijimin standard të numrit të pikëve të shënuara për çdo gjuajtës.

Pra, nëse vlerat mesatare të numrit të pikëve të shënuara janë të barabarta ( M(X)=M(Y)) varianca e saj, d.m.th. karakteristikë e shpërndarjes në lidhje me vlerën mesatare, më pak për gjuajtësin e dytë ( D(X)

Ne sigurohemi që

Duke marrë parasysh se ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X binom ne kemi

Detyra 7. Seria e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete përbëhet nga dy vlera të panjohura. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të marrë një nga këto vlera është 0.8. Gjeni funksionin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme nëse pritshmëria e saj matematikore është 3.2 dhe varianca e saj është 0.16.

Zgjidhje. Seria e shpërndarjes ka formën

ose

Duke zgjidhur sistemin që rezulton, gjejmë dy zgjidhje:

Dhe

Shkruajmë shprehjen e funksionit të shpërndarjes:

ose

Detyra 8. Duke pasur parasysh funksionin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X:

a) Gjeni dendësinë e probabilitetit f(x); b) të ndërtojë grafikë f(x) Dhe F(x); c) sigurohuni që X– variabël e rastësishme e vazhdueshme; d) gjeni probabilitetet P(X=1), P(X

Problemi 10. Banka lëshoi ​​kredi n për huamarrës të ndryshëm në shumën S R. secili me një normë interesi kredie r. Gjeni a) pritshmërinë dhe shpërndarjen matematikore të fitimit të bankës, si dhe kushtin për normën e interesit, nëse probabiliteti i shlyerjes së kredisë nga huamarrësi është i barabartë me fq; b) pritjet matematikore dhe devijimi standard i fitimit në n =1000, fq =0,8, S= 100 mijë rubla Dhe r = 30%.

Zgjidhje. a) Meqenëse huamarrësit nuk janë të lidhur me njëri-tjetrin, mund të supozojmë se kemi n teste të pavarura. Probabiliteti për të humbur një kredi për bankën në çdo provë është q = = 1 – p. Le X– numri i huamarrësve që kanë shlyer kredinë me interes, atëherë fitimi i bankës përcaktohet me formulën

Ku Xështë një ndryshore e rastësishme me një ligj të shpërndarjes binomiale.

Meqenëse lëshimi i një kredie ka kuptim vetëm me një pritshmëri matematikore pozitive të fitimit (fitim mesatar pozitiv), atëherë nga kushti M( P) > 0, kushti për normën e interesit është si më poshtë:

b) Norma e interesit të kredisë plotëson kushtin që pritshmëria matematikore e fitimit të jetë pozitive: 30 >100(1 – 0.8)/0.8. Pritshmëria matematikore e fitimit:

100 ∙ 1000 (30 ∙ 0.8/100 - 0.2) = 4 milion rubla.

Devijimi standard i fitimit:

Problemi 1. Në një grup prej 25 xhaketash lëkure, 5 kanë një defekt të fshehur. Blini 3 xhaketa. Gjeni ligjin e shpërndarjes së numrit të xhaketave me defekt midis atyre të blera. Ndërtoni një shumëkëndësh të shpërndarjes.

Detyra 2. Probabiliteti që të jetë bërë një gabim në përgatitjen e bilancit është 0.3. Auditorit iu prezantuan 3 bilancet e ndërmarrjes për konkluzion të tij. Hartimi i një ligji për shpërndarjen e numrit të konkluzioneve pozitive për bilancet që kontrollohen.

Detyra 3. Dy blerës bëjnë në mënyrë të pavarur një blerje secili. Probabiliteti që blerësi i parë të bëjë një blerje është 0.8, dhe probabiliteti që i dyti të bëjë një blerje është 0.6. Vlera e rastësishme X– numri i blerjeve të bëra nga klientët. Përshkruani ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X.

Detyra 4. Dy konserva furnizojnë produkte në dyqan në një raport 2:3. Pjesa e produkteve me cilësi të lartë në fabrikën e parë është 90%, dhe në të dytën - 80%. Në dyqan u blenë 3 kanaçe me ushqime të konservuara. Gjeni pritshmërinë matematikore dhe devijimin standard të numrit të kanaçeve me produkte të cilësisë më të lartë.

Detyra 5. Dendësia e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X specifikuar në intervalin (–π/2; π/2) nga funksioni
Jashtë këtij intervali
Gjeni parametrin ME dhe përcaktoni probabilitetin e goditjes së një ndryshoreje të rastësishme X në intervalin (0; π/4).

Detyra 6. Vlera e rastësishme X dhënë nga dendësia e probabilitetit
në – ∞

4)M(X) = 2,519, σ( X) ≈ 0,64; 5)C = 1/2; 6)
7)M x= = 1 orë, D x= 1/3 h 2; 8)σ x = 48,8 g.

UNIVERSITETI SHTETËROR SMOLENSK

SIPAS TEORISË TË PROBABILITETIT

Teoremat kufitare të teorisë së probabilitetit.

Për çdo ndryshore të rastësishme që ka një pritje dhe variancë matematikore, pabarazia Chebyshev është e vlefshme:

P(| X— a|> ε )≤
(1)

P(| X— a|≤ ε )≥ 1-

Teorema e Chebyshev : Nëse varianca n variabla të rastësishme të pavarura X 1 , X 2 . X n janë të kufizuara në të njëjtën konstante, pastaj me një rritje të pakufizuar të numrit n mesatarja aritmetike e një ndryshoreje të rastësishme konvergjon në probabilitet me mesataren aritmetike të pritjeve të tyre matematikore, d.m.th.

Pasoja: Nëse variabla të rastësishme të pavarura X 1 , X 2 . X n kanë të njëjtat pritshmëri matematikore, të barabarta a, dhe variancat e tyre kufizohen nga e njëjta konstante, atëherë pabarazia e Chebyshev dhe teorema e Chebyshev marrin formën:

Teorema e Bernulit : Frekuenca relative e ngjarjeve në n prova të përsëritura të pavarura, në secilën prej të cilave mund të ndodhë me të njëjtën probabilitet fq, me një rritje të pakufizuar të numrit n konvergon në probabilitet në probabilitet fq të kësaj ngjarje në një test të veçantë:

Teorema e kufirit qendror për sasitë e shpërndara identike : Nëse X 1 , X 2 . X n– ndryshore të pavarura të rastësishme që kanë pritshmëri të barabarta matematikore M[ X i ] =a, variancë D[ X i ]= a 2 dhe momentet qendrore absolute të rendit të tretë M(| X i — a i | 3 )= m i , (
) , pastaj ligji i shpërndarjes së shumës Y n = X 1 + X 2 +. + X n në
në mënyrë të pacaktuar i afrohet normales. Në veçanti, nëse të gjitha variablat e rastit X i të shpërndara në mënyrë identike, atëherë ligji i shpërndarjes së shumës së tyre i afrohet në mënyrë të pacaktuar ligjit normal kur
.

Teorema lokale e Moivre-Laplace : Nëse probabiliteti fq ndodhja e një ngjarjeje A në çdo provë është konstante dhe e ndryshme nga 0 dhe 1, atëherë probabiliteti P m , n se ngjarja A do të ndodhë m një herë në çdo n teste të pavarura me një numër mjaft të madh n, afërsisht e barabartë

,

.

Teorema integrale Moivre-Laplace : Nëse probabiliteti fq ndodhja e një ngjarjeje A në çdo provë është konstante dhe e ndryshme nga 0 dhe 1, atëherë probabiliteti që numri m ndodhja e një ngjarjeje A V n testet e pavarura të përfunduara duke filluar nga a përpara b(përfshirëse), me një numër mjaft të madh n afërsisht të barabartë

–

Funksioni Laplace (ose integrali i probabilitetit);

,
.

Qëllimi i mësimit : 1. Të arrijë zotërimin e kushteve për zbatimin e teoremës së kufirit qendror.

2. Të forcohen aftësitë e llogaritjes së probabiliteteve që lidhen me ligjin e shpërndarjes normale.

3. Mësojini nxënësit të njohin manifestimin e ligjit të numrave të mëdhenj.

Për një mësim mbi këtë temë, duhet të përgatiten përgjigje për pyetjet e mëposhtme:

Cili është thelbi i ligjit të numrave të mëdhenj?

Cila është rëndësia praktike dhe teorike e pabarazisë së Chebyshev?

Çfarë rëndësie praktike ka teorema e Chebyshev?

Shpjegoni, duke përdorur teoremën e Bernulit, vetinë e qëndrueshmërisë së frekuencave relative.

Cili është thelbi i teoremës së kufirit qendror të teorisë së probabilitetit?

Detyra 1. Konsumi mesatar i ujit në një fermë blegtorale është 1000 litra në ditë, dhe devijimi standard i kësaj variabli të rastësishëm nuk i kalon 200 litra. Vlerësoni probabilitetin që rrjedha e ujit të fermës në çdo ditë të zgjedhur nuk do të kalojë 2000 L duke përdorur pabarazinë e Chebyshev.

Zgjidhje. Dispersion D(X)=σ 2 ≤200 2 . Meqenëse kufijtë e intervalit 0≤X≤2000 janë simetrik në lidhje me pritshmërinë matematikore M(X)=1000, atëherë për të vlerësuar probabilitetin e ngjarjes së dëshiruar, mund të zbatohet pabarazia e Chebyshev.

,

ato. jo më pak se 0.96.

Detyra 2. Sipas statistikave, mesatarisht 87% e të porsalindurve jetojnë deri në 50 vjeç. Duke përdorur pabarazinë e Chebyshev, vlerësoni probabilitetin që nga 1000 të porsalindurit, përqindja e atyre që mbijetojnë deri në 50 vjet do të ndryshojë nga probabiliteti i kësaj ngjarje me jo më shumë se 0.04 (në vlerë absolute).

,

ato. jo më pak se 0,929.

Detyra 3. Për të përcaktuar kohën mesatare të djegies së llambave elektrike në një grup prej 200 kutive identike, u mor një mostër nga një llambë nga çdo kuti. Vlerësoni probabilitetin që koha mesatare e djegies së 200 llambave elektrike të zgjedhura të ndryshojë nga koha mesatare e djegies së llambave në të gjithë grupin me jo më shumë se 5 orë (në vlerë absolute), nëse dihet se devijimi standard i djegies koha e llambave në çdo kuti është më pak se 7 orë.

Gjetja e probabilitetit të ngjarjes së dëshiruar

,

ato. jo më pak se 0,9902.

Detyra 4. Sa matje të një sasie të caktuar duhet të merren për të garantuar, me një probabilitet prej të paktën 0,95, që mesatarja aritmetike e këtyre matjeve të ndryshojë nga vlera e vërtetë e sasisë jo më shumë se 1 (në vlerë absolute), nëse devijimi standard i secilës matje nuk i kalon 5?

Duhet gjetur n, në të cilën

.

Le të zbatojmë pabarazinë e Chebyshev:

, ku

dhe në
, d.m.th. do të kërkohen të paktën 500 matje.

Detyra 5. Trenat e metrosë lëvizin në intervale 2 minuta. Çdo pasagjer, pavarësisht nga të tjerët, arrin në platformë në një moment të rastësishëm në kohë. Hipa në këtë tren 75 pasagjerë. Sa është probabiliteti që koha totale e pritjes së tyre të jetë nga një deri në dy orë e gjysmë?

Zgjidhje. Le të shënojmë kohën e pritjes i pasagjeri përmes X i. Është e natyrshme të supozohet se është po aq e mundur që një pasagjer të arrijë në çdo kohë ndërmjet trenave. Formalisht kjo do të thotë se X i ka një ligj të njëtrajtshëm të shpërndarjes me një funksion të densitetit të probabilitetit

f(x) =

Pastaj
Dhe

Koha totale e pritjes Y=∑ X i paraqet shumën e një numri më të madh të variablave të rastësishme të pavarura të shpërndara identike me varianca të kufizuara. Në bazë të teoremës së kufirit qendror, mund të thuhet se Y ka një ligj të shpërndarjes afër normales. Ligji normal i shpërndarjes përcaktohet nga pritshmëria dhe dispersioni matematikor. Le t'i numërojmë ato.

N(75,25) . Problemi kërkon llogaritje

Detyra 6. Qitësi godet dhjetëshen e parë me një probabilitet 0,4 , në nëntë - me probabilitet 0,3 , në tetë - me probabilitet 0,2 , në shtatë - me probabilitet 0,1 . Sa është probabiliteti që kur 25 të shtëna nga gjuajtësi 250 do të eliminojë pikët nga 220 përpara 240 syze?

Zgjidhje. Lëreni në i-th shtënë dials qitës X i pikë. Sasitë X i të pavarura dhe kanë të njëjtën shpërndarje

Shuma e pikëve Y= duke qenë shuma e një numri të madh termash të pavarur të shpërndarë në mënyrë identike me varianca të kufizuara, ai ka një ligj shpërndarjeje afër normales, parametrat e të cilit

N(225,25) Dhe P(220 2 ). Sa është probabiliteti që në një matje gabimi të mos kalojë 1 MK? Për të përmirësuar saktësinë e matjes, ne kemi bërë 25 matjet, mesatarja aritmetike e vlerave të vëzhguara merret si vlerë e matur. Në këtë rast, sa është probabiliteti që gabimi të mos kalojë 1 MK? (Udhëzim: përdorni faktin e qëndrueshmërisë së ligjit të shpërndarjes normale.) Përcaktoni probabilitetin e fundit nëse ligji i shpërndarjes së gabimit të matjes është i panjohur dhe vetëm varianca e tij dihet, e barabartë me 4 mk 2.

Zgjidhje. Le X– gabim në matje. Pastaj

Nëse ligji i shpërndarjes së gabimit të matjes është i panjohur, atëherë nga pabarazia e Chebyshev:

P(|  0 | 1 , atëherë të dyja teoremat Moivre–Laplace janë të vlefshme.

a) Nga teorema lokale e Moivre–Laplace

b) Ndryshorja e rastësishme X ka kuptim frekuencën relative të sukseseve në n eksperimente dhe D

Meqenëse në eksperimentin e Pearson një devijim i frekuencës relative të suksesit nga probabiliteti i suksesit në një eksperiment ishte i barabartë me
atëherë sipas teoremës integrale Moivre–Laplace

Detyra 1. Mesatarisht, 10% e popullsisë së punës në një rajon të caktuar janë të papunë. Duke përdorur pabarazinë e Chebyshev, vlerësoni probabilitetin që shkalla e papunësisë në mesin e 10,000 banorëve të qytetit në moshë pune të anketuar të jetë në intervalin nga 9 në 11% (përfshirë).

Detyra 2. Përvoja e një shoqërie sigurimesh tregon se një ngjarje e siguruar ndodh afërsisht në çdo të pestën kontratë. Duke përdorur pabarazinë e Chebyshev, vlerësoni numrin e kërkuar të kontratave që duhet të lidhen në mënyrë që me një probabilitet prej 0.9 të mund të thuhet se pjesa e ngjarjeve të siguruara do të devijojë nga 0.1 me jo më shumë se 0.01 (në vlerë absolute).

Detyra 3. Gjatë ekzaminimit të kapitalit të autorizuar të bankave, u zbulua se një e pesta e bankave kanë një kapital të autorizuar prej mbi 100 milion rubla. Gjeni probabilitetin që midis 1800 bankave të kenë një kapital të autorizuar prej mbi 100 milionë rubla: a) të paktën 300; b) nga 300 në 400 përfshirëse.

Detyra 4. Probabiliteti që një tregtar që shet letra me vlerë t'i shesë ato është 0.7. Sa letra me vlerë duhet të jenë në mënyrë që të mund të thuhet me një probabilitet prej 0,996 se pjesa e atyre të shitura mes tyre do të devijojë nga 0,7 me jo më shumë se 0,04 (në vlerë absolute)?

Detyra 5. Një kompani sigurimesh ka 10,000 klientë. Secili prej tyre, duke u siguruar kundër një aksidenti, kontribuon me 500 rubla. Probabiliteti i një aksidenti është 0,0055, dhe shuma e sigurimit të paguar për viktimën është 50,000 rubla. Sa është probabiliteti që: a) shoqëria e sigurimit të pësojë një humbje; b) më shumë se gjysma e të gjitha fondeve të marra nga klientët do të shpenzohen për pagesën e shumave të sigurimit?

Kjo eshte interesante:

• Gjetja e kufirit të një funksioni në një pikë duke përdorur rregullën e L'Hopital Gjetja e kufirit të një funksioni duke përdorur rregullën e L'Hopital, duke zbuluar pasiguritë e formës 0/0 dhe ∞/∞. Llogaritësi më poshtë gjen kufirin e një funksioni duke përdorur rregullin e L'Hopital (nëpërmjet derivateve […]
• Portali matematikor Navi shikoni kërkimin Navigimi Ju jeni këtu: Faqja kryesore Analiza matematikore Rregulli i L'Hopital Rregulli i L'Hopital. Teorema (rregulli i L'Hopital për zbulimin e pasigurive të formës $\frac$ ose $\frac$). Lërini funksionet […]
• Rregullat e promovimit "Hapja e milionit të dytë!" >> Hapi 1. Merrni një kod promocional Mund të merrni kodin promovues të një pjesëmarrësi në faqen e internetit kia.ru ose direkt në shitësit zyrtarë të AKI-së: Për të marrë një kod promocional në faqen e internetit kia.ru, duhet të […]
• Kërkesa për anijet detare Procedura për caktimin e emrave për anijet detare MIRATUAR me urdhër të Ministrisë së Transportit të Rusisë, datë 20 gusht 2009 Nr. 141 RREGULLORE mbi procedurën e caktimit të emrave për anijet detare I. Dispozita të përgjithshme 1. Rregullore mbi procedurën […]

Dy ndryshore të rastësishme $X$ dhe $Y$ quhen të pavarura nëse ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme nuk ndryshon në varësi të vlerave të mundshme që merr ndryshorja tjetër e rastësishme. Kjo do të thotë, për çdo $x$ dhe $y$, ngjarjet $X=x$ dhe $Y=y$ janë të pavarura. Meqenëse ngjarjet $X=x$ dhe $Y=y$ janë të pavarura, atëherë nga teorema e produktit të probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ djathtas)\djathtas)=P \majtas(X=x\djathtas)P\majtas(Y=y\djathtas)$.

Shembulli 1 . Lëreni variablin e rastësishëm $X$ të shprehë fitimet në para nga biletat e një llotarie "Lotto ruse" dhe ndryshorja e rastësishme $Y$ të shprehë fitimet në para nga biletat e një llotarie tjetër "Çelësi i Artë". Është e qartë se variablat e rastësishëm $X,\Y$ do të jenë të pavarura, pasi fitimet nga biletat e një llotarie nuk varen nga ligji i shpërndarjes së fitimeve nga biletat e një llotarie tjetër. Në rastin kur variablat e rastësishëm $X,\Y$ do të shprehnin fitimet e së njëjtës llotari, atëherë, padyshim, këto variabla të rastit do të vareshin.

Shembulli 2 . Dy punëtorë punojnë në punishte të ndryshme dhe prodhojnë produkte të ndryshme që nuk kanë lidhje me njëra-tjetrën nga teknologjitë e prodhimit dhe lëndët e para të përdorura. Ligji i shpërndarjes për numrin e produkteve me defekt të prodhuara nga punëtori i parë për ndërrim ka formën e mëposhtme:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Numri i \ produkteve me defekt \ x & 0 & 1 \\
\hline
Probabiliteti & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\fund (arresë)$

Numri i produkteve me defekt të prodhuara nga punëtori i dytë për ndërrim i bindet ligjit të mëposhtëm të shpërndarjes.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Numri i \ produkteve me defekt \ y & 0 & 1 \\
\hline
Probabiliteti & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\fund (arresë)$

Le të gjejmë ligjin e shpërndarjes për numrin e produkteve me defekt të prodhuara nga dy punëtorë për ndërrim.

Le të jetë ndryshorja e rastësishme $X$ numri i produkteve me defekt të prodhuara nga punëtori i parë për ndërrim dhe $Y$ numri i produkteve me defekt të prodhuar nga punëtori i dytë për ndërrim. Sipas kushtit, variablat e rastësishëm $X,\Y$ janë të pavarura.

Numri i produkteve me defekt të prodhuara nga dy punëtorë për ndërrim është një ndryshore e rastësishme $X+Y$. Vlerat e tij të mundshme janë $0,\ 1$ dhe $2$. Le të gjejmë probabilitetet me të cilat ndryshorja e rastësishme $X+Y$ merr vlerat e saj.

$P\majtas(X+Y=0\djathtas)=P\majtas(X=0,\ Y=0\djathtas)=P\majtas(X=0\djathtas)P\majtas(Y=0\djathtas) =0.8\cdot 0.7=0.56.$

$P\majtas(X+Y=1\djathtas)=P\majtas(X=0,\ Y=1\ ose\ X=1,\ Y=0\djathtas)=P\majtas(X=0\djathtas )P\majtas(Y=1\djathtas)+P\majtas(X=1\djathtas)P\majtas(Y=0\djathtas)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7 =0,38.$

$P\majtas(X+Y=2\djathtas)=P\majtas(X=1,\ Y=1\djathtas)=P\majtas(X=1\djathtas)P\majtas(Y=1\djathtas) =0.2\cdot 0.3=0.06.$

Pastaj ligji i shpërndarjes së numrit të produkteve me defekt të prodhuar nga dy punëtorë për ndërrim:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Numri i produkteve \ me defekt & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Probabiliteti & 0,56 & 0,38 & 0,06\\
\hline
\fund (arresë)$

Në shembullin e mëparshëm, ne kryem një operacion mbi variablat e rastësishëm $X,\Y$, domethënë, gjetëm shumën e tyre $X+Y$. Le të japim tani një përkufizim më rigoroz të veprimeve (mbledhje, diferencë, shumëzim) mbi ndryshoret e rastësishme dhe të japim shembuj zgjidhjesh.

Përkufizimi 1. Produkti $kX$ i një ndryshoreje të rastësishme $X$ nga një ndryshore konstante $k$ është një ndryshore e rastësishme që merr vlera $kx_i$ me të njëjtat probabilitete $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \pika ,\ n\ djathtas)$.

Përkufizimi 2. Shuma (ndryshimi ose produkti) i ndryshoreve të rastësishme $X$ dhe $Y$ është një ndryshore e rastësishme që merr të gjitha vlerat e mundshme të formës $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ ose $x_i\cdot y_i$) , ku $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, me probabilitete $p_(ij)$ që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë vlerën $x_i$ dhe $Y$ vlerën $y_j$:

$$p_(ij)=P\majtas[\majtas(X=x_i\djathtas)\majtas(Y=y_j\djathtas)\djathtas].$$

Meqenëse variablat e rastësishëm $X,\Y$ janë të pavarura, atëherë sipas teoremës së shumëzimit të probabilitetit për ngjarje të pavarura: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ djathtas)= p_i\cdot p_j$.

Shembulli 3 . Variablat e pavarur të rastësishëm $X,\ Y$ janë të specifikuara nga ligjet e tyre të shpërndarjes së probabilitetit.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\fund (arresë)$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\fund (arresë)$

Le të formulojmë ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $Z=2X+Y$. Shuma e ndryshoreve të rastësishme $X$ dhe $Y$, domethënë $X+Y$, është një variabël e rastësishme që merr të gjitha vlerat e mundshme të formës $x_i+y_j$, ku $i=1,\ 2 ,\dots,\ n$, me probabilitete $p_(ij)$ që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë vlerën $x_i$ dhe $Y$ vlerën $y_j$: $p_(ij)=P\majtas [\majtas(X=x_i\djathtas )\left(Y=y_j\djathtas)\djathtas]$. Meqenëse variablat e rastësishëm $X,\Y$ janë të pavarura, atëherë sipas teoremës së shumëzimit të probabilitetit për ngjarje të pavarura: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ djathtas)= p_i\cdot p_j$.

Pra, ai ka ligje të shpërndarjes për variablat e rastësishëm $2X$ dhe $Y$, respektivisht.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\fund (arresë)$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\fund (arresë)$

Për lehtësinë e gjetjes së të gjitha vlerave të shumës $Z=2X+Y$ dhe probabiliteteve të tyre, ne do të përpilojmë një tabelë ndihmëse, në secilën qelizë të së cilës do të vendosim në këndin e majtë vlerat e shumës $. Z=2X+Y$, dhe në këndin e djathtë - probabilitetet e këtyre vlerave janë marrë si rezultat i shumëzimit të probabiliteteve të vlerave përkatëse të variablave të rastësishëm $2X$ dhe $Y$.

Si rezultat, marrim shpërndarjen $Z=2X+Y$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\fund (arresë)$

Ligji i shpërndarjes së minimumit (maksimumit) të dy ndryshoreve të rastit. Ligji i shpërndarjes së statistikave të porosive

Në këtë seksion do të shqyrtojmë para së gjithash një transformim të tillë funksional c. c., që konsiston në zgjedhjen e maksimumit (minimumit) të dy vlerave.

Problemi 1. Ligji i shpërndarjes së minimumit të dy ndryshoreve të rastit. Jepet një sistem i vazhdueshëm. V. (X dhe X 2) me p.r./(*!, x 2). Gjeni funksionin e shpërndarjes së r.v. Y:

Zgjidhje. Le të gjejmë fillimisht P ( Y> y) = P (Xi > y; X 2 > y). Rajon D(y), ku X> y dhe X 2 > y treguar në Fig. 9.6.1. Probabiliteti për të goditur një pikë (X[, X 2) në rajon D(y) është e barabartë

Ku F (x b x 2) - funksioni i shpërndarjes së sistemit c. V. (Хь Х 2), F x(jq), F 2 (x 2) - funksionet e shpërndarjes c. V. X Dhe X 2 përkatësisht. Prandaj,

Për të përcaktuar p.r. g (y) ju duhet të gjeni derivatin e anës së djathtë (9.6.1):

Nëse me. V. X x, X 2 të pavarura dhe të shpërndara identike me p.r. Fi(X) =/ 2 (x) =f(x), Se

Shembulli 1. Ne konsiderojmë funksionimin e një pajisjeje të përbërë nga dy blloqe Bi dhe B 2, funksionimi i përbashkët i të cilave është absolutisht i nevojshëm për funksionimin e pajisjes. Blloko oraret e funksionimit B! dhe B 2 përfaqësojnë s të pavarura. V. X Dhe X 2, të shpërndara sipas ligjeve eksponenciale me parametra X Dhe X 2. Kërkohet të gjendet ligji i shpërndarjes c. V. U- koha e funksionimit të njësisë teknike.

Zgjidhje. Është e qartë se

Duke përdorur formulat (9.6.4) gjejmë:

dmth. të paktën dy variabla të rastësishme të pavarura, shpërndara sipas ligjeve eksponenciale me parametrat X x dhe X 2, shpërndara gjithashtu sipas ligjeve eksponenciale me parametrin X x + X 2. ?

Problemi 2. Ligji i shpërndarjes së minimumit të P variabla të rastësishme të pavarura. Duke pasur parasysh sistemin P fshatrat e pavarur V. (X x, X 2, ..., X p) me p.r .f (x x),f 2 (x 2), ...,f n (x n). Gjeni f. R. dhe dendësia c. V. Y= min (X X,.... X p).

Zgjidhje. A-parësore

Shembulli 2. Ne konsiderojmë funksionimin e një sistemi të automatizuar (AS), i përbërë nga P nënsistemet Që folësit të funksionojnë, të gjithë duhet të punojnë P nënsisteme; koha e funksionimit të nënsistemit /th 7} shpërndahet sipas ligjit eksponencial me parametrin (/ = 1, 2, P) dhe nuk varet nga koha e funksionimit të nënsistemeve të tjera. Përcaktoni ligjin e shpërndarjes së kohës D i) të funksionimit pa dështime të AS.

Zgjidhje. Është e qartë se

Duke përdorur formulën (9.6.6) gjejmë funksionin e shpërndarjes r.v. D l)

Kështu, ligji i shpërndarjes c. V. - minimumi i P fshatrat e pavarur c., i shpërndarë sipas ligjeve eksponenciale, është gjithashtu eksponencial; ndërsa parametri i tij i)S n))është e barabartë me shumën e parametrave të këtyre shpërndarjeve eksponenciale. Nga kjo rrjedh se

Mund të tregohet se ligji i shpërndarjes c. V. D i) kur është mjaft i madh P do të konvergojnë në ligjin eksponencial, edhe nëse s. V. 7) (/= 1, 2, ..., P) nuk shpërndahen sipas ligjeve eksponenciale. Le ta demonstrojmë këtë duke përdorur shembullin e s-ve të shpërndara në mënyrë të barabartë. V.:

Në këtë rast

dhe kjo është f. R. ligji demonstrues.

Kështu, ne mund të nxjerrim një përfundim që përdoret gjerësisht në aplikimet inxhinierike: nëse ndonjë pajisje përbëhet nga një numër mjaft i madh elementësh n, funksionimi i të cilave është absolutisht i nevojshëm për funksionimin e pajisjes, atëherë ligji i shpërndarjes së kohës F p) i funksionimit pa dështim të pajisjes është afër eksponencialit me parametrin, përcaktuar nga formula

ku M[ Tj- koha mesatare e funksionimit pa dështim të elementit të i-të.

Rrjedha e dështimit të një pajisjeje të tillë do të jetë afër Poisson me parametrin )S n ?

Problemi 3. Ligji i shpërndarjes së maksimumit të dy ndryshoreve të rastit. Jepet një sistem i vazhdueshëm. V. (Хь X 2) me densitet/(lbs x 2). Kërkohet të gjendet ligji i shpërndarjes r.v.

Zgjidhje. A-parësore,

Ku F(x x, x 2) - funksioni i shpërndarjes së sistemit (X dhe X 2).

Duke e diferencuar këtë shprehje siç bëmë më parë, marrim:

Nëse variablat e rastësishëm X dhe X2 atëherë shpërndahen në mënyrë të barabartë

Nëse variablat e rastësishëm X x 2 atëherë janë të pavarur

Nëse variablat e rastësishëm X x 2 të pavarura dhe të shpërndara në mënyrë të barabartë, pra

Shembulli 3. Funksionimi i një pajisjeje teknike nuk mund të fillojë përpara se të përfundojë montimi i dy blloqeve të tij Bi dhe B2. Koha e montimit të blloqeve Bi dhe B 2 është një sistem s të pavarur. V. X x Dhe X 2, të shpërndara sipas ligjeve eksponenciale me parametra X x Dhe X 2. Y- koha e përfundimit të montimit të të dy blloqeve të specifikimeve teknike.

Zgjidhje. Është e qartë se Y= maksimumi (X ъ X 2). Dendësia e shpërndarjes c. V. ^ përcaktohet nga formula (9.6.12)

Ky ligj nuk është tregues. ?

Problema 4. Ligji i shpërndarjes së maksimumit të P variabla të rastësishme të pavarura. Jepet një sistem i vazhdueshëm. V. (X x, X 2 , ..., X p) me dendësi f(x x, x 2,

Gjeni ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme

Zgjidhje. A-parësore

Ku F(x 1, X 2 ,..., x p) - funksioni i shpërndarjes së sistemit (X x, X 2, ..., X p). Duke diferencuar, gjejmë densitetin e shpërndarjes:

Ku Fj (Xj) - f. R. Me. V. Xjfj(xj) - dendësia e saj.

Nëse me. V. x b ..., X f të pavarura dhe të shpërndara në mënyrë të barabartë (Fi(y) = F(y);f (y) =f(y) (/"= 1,P)), Kjo

Nëse variablat e rastësishëm X dhe ..., X f atëherë janë të pavarur

Shembulli 4. Puna e pajisjeve teknike nuk mund të fillojë para montimit të të gjithëve P blloqet e saj: B b Bg, ..., B„. Kohët e montimit të blloqeve B b..., B l përfaqësojnë një sistem P fshatrat e pavarur V. (Hë..., X p), shpërndahet sipas ligjeve eksponenciale me parametrat A.1,..., A, f.

Duhet të gjejmë dendësinë c. V. U- koha e përfundimit për të gjithë montimin P blloqe TU.

Zgjidhje. Natyrisht y = max (X,..., X p). Sipas formulës (9.6.16) kemi

Problemi 5. Ligji i shpërndarjes së statistikave të porosive. Le të shqyrtojmë një sistem të vazhdueshëm të s të pavarura të shpërndara identike. V. (X v X 2, ..., X p) me f. R. F(x) dhe p.r./(x). Le të rregullojmë vlerat e supozuara nga variablat e rastësishëm X v X 2, ..., X p, në rend rritës dhe tregojnë:

X (1) është një ndryshore e rastësishme që merr vlerën më të vogël: (X (1) = min (X v X 2, ..., X p));

X(2) - vlera e dytë më e madhe e pranuar e variablave të rastit X v X 2, ..., X p;

X(T) - y-i nga madhësia e vlerës së pranuar nga variablat e rastësishëm X x, X 2, ..., X p;

X(P) - variabli më i madh i rastësishëm sipas vlerës së pranuar X, X 2, x„ (X (n) = Shahu (X dhe X 2, ..., X p)).

Natyrisht,

Variabla të rastësishme X(i), X@),..., X (") quhen statistika rendore.

Formulat (9.6.8) dhe (9.6.17) japin ligjet e shpërndarjes së termave ekstremë X(i), Dhe X (") sistemet (*).

Le të gjejmë funksionin e shpërndarjes F^m)(x)s. V. X^t y Ngjarje (X^x) është ajo T Me. V. nga sistemi P Me. V. (X (, X 2 ,..., X n) do të jetë më i vogël se x dhe (p - t) Me. V. do të jetë më i madh se x. Që nga s. V. X t (/" = 1, 2,..., P) janë të pavarura dhe të shpërndara identike, atëherë P (X t x) = F(x) R (Xj > x) = 1 - F(x). Duhet të gjejmë probabilitetin që në P ngjarje eksperimentesh të pavarura (Xj x) do të shfaqet saktësisht T një herë. Duke aplikuar shpërndarjen binomiale, marrim