Ligji i shpërndarjes së shumëkëndëshit në seri të një ndryshoreje diskrete të rastësishme. Ligji i shpërndarjes

Në seksionin e kursit kushtuar koncepteve bazë të teorisë së probabilitetit, ne kemi prezantuar tashmë konceptin jashtëzakonisht të rëndësishëm të një ndryshoreje të rastësishme. Këtu do të japim një zhvillim të mëtejshëm të këtij koncepti dhe do të tregojmë mënyrat në të cilat variablat e rastësishëm mund të përshkruhen dhe karakterizohen.

Siç u përmend tashmë, një ndryshore e rastësishme është një sasi që, si rezultat i eksperimentit, mund të marrë një ose një vlerë tjetër, por nuk dihet paraprakisht se cila. Ne gjithashtu ramë dakord të bëjmë dallimin midis variablave të rastësishëm të llojeve të vazhdueshme (diskrete) dhe të vazhdueshme. Vlerat e mundshme të sasive të ndërprera mund të renditen paraprakisht. Vlerat e mundshme të sasive të vazhdueshme nuk mund të renditen paraprakisht dhe të plotësojnë vazhdimisht një boshllëk të caktuar.

Shembuj të ndryshoreve të rastësishme të ndërprera:

1) numri i paraqitjeve të stemës gjatë tre hedhjeve të monedhave (vlerat e mundshme 0, 1, 2, 3);

2) frekuenca e paraqitjes së stemës në të njëjtin eksperiment (vlerat e mundshme);

3) numri i elementeve të dështuar në një pajisje të përbërë nga pesë elementë (vlerat e mundshme janë 0, 1, 2, 3, 4, 5);

4) numri i goditjeve në aeroplan të mjaftueshëm për ta çaktivizuar atë (vlerat e mundshme 1, 2, 3, ..., n, ...);

5) numri i avionëve të rrëzuar në luftime ajrore (vlerat e mundshme 0, 1, 2, ..., N, ku është numri i përgjithshëm i avionëve që marrin pjesë në betejë).

Shembuj të ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme:

1) abshisa (ordinata) e pikës së goditjes kur gjuhet;

2) distanca nga pika e goditjes deri në qendrën e objektivit;

3) gabimi i matësit të lartësisë;

4) koha e funksionimit pa dështim të tubit të radios.

Le të biem dakord në atë që vijon për të treguar variablat e rastësishëm me shkronja të mëdha dhe vlerat e tyre të mundshme me shkronja të vogla përkatëse. Për shembull, – numri i goditjeve me tre të shtëna; vlerat e mundshme: .

Le të shqyrtojmë një ndryshore të rastësishme të ndërprerë me vlera të mundshme. Secila prej këtyre vlerave është e mundur, por jo e sigurt, dhe vlera X mund të marrë secilën prej tyre me njëfarë probabiliteti. Si rezultat i eksperimentit, vlera X do të marrë një nga këto vlera, d.m.th. Një nga grupi i plotë i ngjarjeve të papajtueshme do të ndodhë:

Le të shënojmë probabilitetet e këtyre ngjarjeve me shkronjat p me indekset përkatëse:

Meqenëse ngjarjet e papajtueshme (5.1.1) formojnë një grup të plotë, atëherë

ato. shuma e probabiliteteve të të gjitha vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme është e barabartë me një. Ky probabilitet total shpërndahet disi midis vlerave individuale. Variabla e rastësishme do të përshkruhet plotësisht nga një këndvështrim probabilistik nëse e specifikojmë këtë shpërndarje, d.m.th. Le të tregojmë saktësisht se çfarë probabiliteti ka secila prej ngjarjeve (5.1.1). Me këtë do të vendosim të ashtuquajturin ligj të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme është çdo marrëdhënie që vendos një lidhje midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve përkatëse. Për një ndryshore të rastësishme do të themi se i nënshtrohet një ligji të caktuar të shpërndarjes.

Le të vendosim formën në të cilën mund të specifikohet ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të ndërprerë. Forma më e thjeshtë e specifikimit të këtij ligji është një tabelë që liston vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabilitetet përkatëse të tyre:

Ne do ta quajmë një tabelë të tillë një seri shpërndarjeje të një ndryshoreje të rastësishme.

Ndonjëherë interpretimi i ashtuquajtur "mekanik" i serisë së shpërndarjes është i përshtatshëm. Le të imagjinojmë që një masë e caktuar e barabartë me një shpërndahet përgjatë boshtit të abshisës në atë mënyrë që masat të përqendrohen përkatësisht në pika individuale. Pastaj seria e shpërndarjes interpretohet si një sistem pikash materiale me disa masa të vendosura në boshtin e abshisave.

Le të shqyrtojmë disa shembuj të ndryshoreve të rastësishme të ndërprera me ligjet e tyre të shpërndarjes.

Shembulli 1. Është kryer një eksperiment në të cilin ngjarja mund të shfaqet ose jo. Probabiliteti i ngjarjes është 0.3. Konsiderohet një ndryshore e rastësishme - numri i shfaqjeve të një ngjarjeje në një eksperiment të caktuar (d.m.th. një ndryshore karakteristike e rastësishme e një ngjarjeje, duke marrë vlerën 1 nëse shfaqet dhe 0 nëse nuk shfaqet). Ndërtoni një seri shpërndarjeje dhe një poligon të shpërndarjes së madhësisë.

Zgjidhje. Vlera ka vetëm dy vlera: 0 dhe 1.

Poligoni i shpërndarjes është paraqitur në Fig. 5.1.2.

Shembulli 2. Një gjuajtës lëshon tre të shtëna në një objektiv. Probabiliteti për të goditur objektivin me çdo goditje është 0.4. Për çdo goditje, gjuajtësi merr 5 pikë. Ndërtoni një seri shpërndarjeje për numrin e pikëve të shënuara.

Zgjidhje. Le të shënojmë numrin e pikëve të shënuara. Vlerat e mundshme: .

Ne gjejmë probabilitetin e këtyre vlerave duke përdorur teoremën për përsëritjen e eksperimenteve:

Seria e shpërndarjes së vlerës ka formën:

Poligoni i shpërndarjes është paraqitur në Fig. 5.1.3.

Shembulli 3. Probabiliteti që një ngjarje të ndodhë në një eksperiment është e barabartë me . Kryhen një sërë eksperimentesh të pavarura, të cilat vazhdojnë deri në shfaqjen e parë të ngjarjes, pas së cilës eksperimentet ndërpriten. Variabla e rastësishme - numri i eksperimenteve të kryera. Ndërtoni një seri shpërndarjeje për sasinë.

Zgjidhje. Vlerat e mundshme: 1, 2, 3, ... (teorikisht nuk kufizohen me asgjë). Në mënyrë që një sasi të marrë vlerën 1, është e nevojshme që ngjarja të ndodhë në eksperimentin e parë; probabiliteti për këtë është i barabartë. Në mënyrë që një sasi të marrë vlerën 2, është e nevojshme që ngjarja të mos shfaqet në eksperimentin e parë, por të shfaqet në të dytin; probabiliteti i kësaj është i barabartë me , ku , etj. Seria e shpërndarjes së vlerës ka formën:

Pesë ordinatat e para të poligonit të shpërndarjes për rastin janë paraqitur në Fig. 5.1.4.

Shembulli 4. Një gjuajtës qëllon në një objektiv deri në goditjen e parë, duke pasur 4 fishekë municionesh. Probabiliteti i një goditjeje për çdo goditje është 0.6. Ndërtoni një seri shpërndarjeje për sasinë e municionit të mbetur të pashpenzuar.

Zgjidhje. Variabla e rastësishme - numri i fishekëve të pashpenzuar - ka katër vlera të mundshme: 0, 1, 2 dhe 3. Probabilitetet e këtyre vlerave janë përkatësisht të barabarta:

Seria e shpërndarjes së vlerës ka formën:

Poligoni i shpërndarjes është paraqitur në Fig. 5.1.5.

Shembulli 5. Një pajisje teknike mund të përdoret në kushte të ndryshme dhe, në varësi të kësaj, kërkon rregullim herë pas here. Kur përdorni pajisjen një herë, ajo mund të bjerë rastësisht në një mënyrë të favorshme ose të pafavorshme. Në modalitetin e favorshëm, pajisja mund të përballojë tre përdorime pa rregullim; para të katërtit duhet të rregullohet. Në gjendje të pafavorshme, pajisja duhet të rregullohet pas përdorimit të parë. Probabiliteti që pajisja të bjerë në një modalitet të favorshëm është 0.7, dhe që të bjerë në një modalitet të pafavorshëm është 0.3. Konsiderohet një ndryshore e rastësishme - numri i përdorimeve të pajisjes përpara rregullimit. Ndërtoni serinë e tij të shpërndarjes.

Zgjidhje. Ndryshorja e rastësishme ka tre vlera të mundshme: 1, 2 dhe 3. Probabiliteti që , është i barabartë me probabilitetin që herën e parë që pajisja përdoret, të bjerë në një gjendje të pafavorshme, d.m.th. . Në mënyrë që vlera të marrë vlerën 2, pajisja duhet të jetë në një gjendje të favorshme gjatë përdorimit të parë dhe në një gjendje të pafavorshme gjatë përdorimit të dytë; gjasat për këtë . Që vlera të marrë vlerën 3, pajisja duhet të jetë në një gjendje të favorshme dy herët e para (pas herës së tretë do të duhet ende të rregullohet). Probabiliteti për këtë është i barabartë .

Seria e shpërndarjes së vlerës ka formën:

Poligoni i shpërndarjes është paraqitur në Fig. 5.1.6.

Funksioni i shpërndarjes

Në numrin e mëparshëm ne prezantuam serinë e shpërndarjes si një karakteristikë shteruese (ligji i shpërndarjes) të një ndryshoreje të rastësishme të ndërprerë. Megjithatë, kjo karakteristikë nuk është universale; ekziston vetëm për variabla të rastësishme të ndërprera. Është e lehtë të shihet se është e pamundur të ndërtohet një karakteristikë e tillë për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme. Në të vërtetë, një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme ka një numër të pafund vlerash të mundshme, duke plotësuar plotësisht një interval të caktuar (i ashtuquajturi "bashkësi e numërueshme"). Është e pamundur të krijohet një tabelë që liston të gjitha vlerat e mundshme të një ndryshoreje të tillë të rastësishme. Për më tepër, siç do të shohim më vonë, çdo vlerë individuale e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme zakonisht nuk ka ndonjë probabilitet jozero. Rrjedhimisht, për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme nuk ka seri shpërndarjeje në kuptimin në të cilin ekziston për një ndryshore të ndërprerë. Sidoqoftë, zona të ndryshme të vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme nuk janë ende njësoj të mundshme, dhe për një ndryshore të vazhdueshme ekziston një "shpërndarje probabiliteti", megjithëse jo në të njëjtin kuptim si për një të ndërprerë.

Për të karakterizuar në mënyrë sasiore këtë shpërndarje probabiliteti, është e përshtatshme të përdoret pamundësia e ngjarjes dhe probabiliteti i ngjarjes, ku është një variabël aktual. Probabiliteti i kësaj ngjarje padyshim varet nga , ka një funksion të . Ky funksion quhet funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dhe shënohet me:

. (5.2.1)

Funksioni i shpërndarjes nganjëherë quhet edhe funksioni i shpërndarjes kumulative ose ligji i shpërndarjes kumulative.

Funksioni i shpërndarjes është karakteristika më universale e një ndryshoreje të rastësishme. Ai ekziston për të gjitha variablat e rastësishëm: të ndërprerë dhe të vazhdueshëm. Funksioni i shpërndarjes karakterizon plotësisht një ndryshore të rastësishme nga një këndvështrim probabilistik, d.m.th. është një nga format e ligjit të shpërndarjes.

Le të formulojmë disa veti të përgjithshme të funksionit të shpërndarjes.

1. Funksioni i shpërndarjes është funksion jozvogëlues i argumentit të tij, d.m.th. në .

2. Në minus pafundësi, funksioni i shpërndarjes është i barabartë me zero: .

3. Në plus pafundësi, funksioni i shpërndarjes është i barabartë me një: .

Pa dhënë një provë rigoroze të këtyre vetive, ne do t'i ilustrojmë ato duke përdorur një interpretim vizual gjeometrik. Për ta bërë këtë, ne do të konsiderojmë një ndryshore të rastësishme si një pikë të rastësishme në boshtin Ox (Fig. 5.2.1), e cila si rezultat i eksperimentit mund të marrë një pozicion ose një tjetër. Atëherë funksioni i shpërndarjes është probabiliteti që një pikë e rastësishme si rezultat i eksperimentit të bjerë në të majtë të pikës.

Ne do të rrisim , domethënë, do të lëvizim pikën në të djathtë përgjatë boshtit të abshisë. Natyrisht, në këtë rast, probabiliteti që një pikë e rastësishme të bjerë në të majtë nuk mund të ulet; prandaj, funksioni i shpërndarjes nuk mund të ulet me rritjen.

Për t'u siguruar që , ne do ta zhvendosim pikën majtas përgjatë abshisës për një kohë të pacaktuar. Në këtë rast, goditja e një pike të rastësishme në të majtë në kufi bëhet një ngjarje e pamundur; Është e natyrshme të besohet se probabiliteti i kësaj ngjarje tenton në zero, d.m.th. .

Në mënyrë të ngjashme, duke lëvizur pikën në të djathtë pa kufi, ne sigurohemi që , pasi ngjarja bëhet e besueshme në kufi.

Grafiku i funksionit të shpërndarjes në rastin e përgjithshëm është një grafik i një funksioni që nuk zvogëlohet (Fig. 5.2.2), vlerat e të cilit fillojnë nga 0 dhe arrijnë në 1, dhe në pika të caktuara funksioni mund të ketë kërcime (Fig. 5.2.2). ndërprerjet).

Duke ditur serinë e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të ndërprerë, mund të ndërtohet lehtësisht funksioni i shpërndarjes së kësaj ndryshoreje. Vërtet,

ku pabarazia nën shenjën e shumës tregon se shuma vlen për të gjitha ato vlera që janë më të vogla se .

Kur ndryshorja aktuale kalon nëpër ndonjë nga vlerat e mundshme të vlerës së ndërprerë, funksioni i shpërndarjes ndryshon befas, dhe madhësia e kërcimit është e barabartë me probabilitetin e kësaj vlere.

Shembulli 1. Është kryer një eksperiment në të cilin ngjarja mund të shfaqet ose jo. Probabiliteti i ngjarjes është 0.3. Variabla e rastësishme – numri i ndodhive të një ngjarjeje në një eksperiment (ndryshore karakteristike e rastësishme e një ngjarjeje). Ndërtoni funksionin e tij të shpërndarjes.

Vlera e rastësishme është një sasi që, si rezultat i eksperimentit, merr një vlerë të panjohur më parë.

Numri i studentëve të pranishëm në leksion.

Numri i shtëpive të vëna në punë në muajin aktual.

Temperatura e ambientit.

Pesha e një fragmenti të një predhe shpërthyese.

Variablat e rastësishëm ndahen në diskrete dhe të vazhdueshme.

Diskret (i pandërprerë) quhet një ndryshore e rastësishme që merr vlera të veçanta, të izoluara nga njëra-tjetra, me probabilitete të caktuara.

Numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të jetë i fundëm ose i numërueshëm.

E vazhdueshme quhet një ndryshore e rastësishme që mund të marrë çdo vlerë nga një interval i fundëm ose i pafund.

Natyrisht, numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është i pafund.

Në shembujt e dhënë: 1 dhe 2 janë variabla të rastësishme diskrete, 3 dhe 4 janë variabla të rastësishme të vazhdueshme.

Në të ardhmen, në vend të fjalëve “ndryshore e rastësishme” shpesh do të përdorim shkurtesën c. V.

Si rregull, variablat e rastësishëm do të shënohen me shkronja të mëdha, dhe vlerat e tyre të mundshme me shkronja të vogla.

Në interpretimin teorik të grupeve të koncepteve bazë të teorisë së probabilitetit, ndryshorja e rastësishme X është funksion i një ngjarjeje elementare: X =φ(ω), ku ω është një ngjarje elementare që i përket hapësirës Ω (ω  Ω). Në këtë rast, bashkësia Ξ e vlerave të mundshme të c. V. X përbëhet nga të gjitha vlerat që merr funksioni φ(ω).

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme është çdo rregull (tabela, funksion) që ju lejon të gjeni probabilitetet e të gjitha llojeve të ngjarjeve të lidhura me një ndryshore të rastësishme (për shembull, probabiliteti që ajo të marrë një vlerë të caktuar ose të bjerë brenda një intervali të caktuar).

Format për specifikimin e ligjeve të shpërndarjes së ndryshoreve të rastit. Seritë e shpërndarjes.

Kjo është një tabelë në rreshtin e sipërm të së cilës të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme X janë renditur në rend rritës: x 1, x 2, ..., x n, dhe në vijën fundore - probabilitetet e këtyre vlerave: p 1, p 2, ..., p n, ku p i = Р(Х = x i ).

Meqenëse ngjarjet (X = x 1 ), (X = x 2 ), ... janë të papajtueshme dhe formojnë një grup të plotë, shuma e të gjitha probabiliteteve në vijën fundore të serisë së shpërndarjes është e barabartë me një

Seria e shpërndarjes përdoret për të specifikuar ligjin e shpërndarjes vetëm të ndryshoreve të rastësishme diskrete.

Shumëkëndëshi i shpërndarjes

Paraqitja grafike e një serie shpërndarjeje quhet poligon i shpërndarjes. Është ndërtuar kështu: për çdo vlerë të mundshme të c. V. rivendoset një pingul me boshtin x, mbi të cilin paraqitet probabiliteti i një vlere të dhënë c. V. Për qartësi (dhe vetëm për qartësi!), pikat që rezultojnë janë të lidhura me segmente të drejta.

Funksioni kumulativ i shpërndarjes (ose thjesht funksioni i shpërndarjes).

Ky është një funksion që, për secilën vlerë të argumentit x, është numerikisht i barabartë me probabilitetin që ndryshorja e rastësishme  të jetë më e vogël se vlera e argumentit x.

Funksioni i shpërndarjes shënohet me F(x): F(x) = P (X  x).

Tani mund të japim një përkufizim më të saktë të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme: një ndryshore e rastësishme quhet e vazhdueshme nëse funksioni i saj i shpërndarjes është një funksion i vazhdueshëm, i diferencueshëm pjesë-pjesë me një derivat të vazhdueshëm.

Funksioni i shpërndarjes është forma më universale e specifikimit të c. v., e cila mund të përdoret për të specifikuar ligjet e shpërndarjes si për s diskrete ashtu edhe për ato të vazhdueshme. V.

Përgjigje: Konsideroni një ndryshore të rastësishme të ndërprerë X me vlera të mundshme. Secila prej këtyre vlerave është e mundur, por jo e sigurt, dhe vlera X mund të pranojë secilën prej tyre me disa probabilitete. Si rezultat i eksperimentit, vlera X do të marrë një nga këto vlera, d.m.th. do të ndodhë një nga grupi i plotë i ngjarjeve të papajtueshme:

Le t'i shënojmë probabilitetet e këtyre ngjarjeve me shkronja R me indekset përkatëse:

Kjo do të thotë, shpërndarja e probabilitetit të vlerave të ndryshme mund të specifikohet nga një tabelë e shpërndarjes, në të cilën të gjitha vlerat e marra nga një ndryshore e caktuar e rastësishme diskrete tregohen në rreshtin e sipërm, dhe probabilitetet e vlerave përkatëse. tregohen në rreshtin e fundit. Meqenëse ngjarjet e papajtueshme (3.1) formojnë një grup të plotë, d.m.th., shuma e probabiliteteve të të gjitha vlerave të mundshme të ndryshores së rastësishme është e barabartë me një. Shpërndarja e probabilitetit të variablave të rastësishme të vazhdueshme nuk mund të paraqitet në formën e një tabele, pasi numri i vlerave të ndryshoreve të tilla të rastit është i pafund edhe në një interval të kufizuar. Për më tepër, probabiliteti për të marrë ndonjë vlerë të veçantë është zero. Një ndryshore e rastësishme do të përshkruhet plotësisht nga një këndvështrim probabilistik nëse specifikojmë këtë shpërndarje, domethënë, tregojmë saktësisht se çfarë probabiliteti ka secila prej ngjarjeve. Me këtë do të vendosim të ashtuquajturin ligj të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme është çdo marrëdhënie që vendos një lidhje midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve përkatëse. Për një ndryshore të rastësishme do të themi se i nënshtrohet një ligji të caktuar të shpërndarjes. Le të vendosim formën në të cilën mund të specifikohet ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të ndërprerë X. Forma më e thjeshtë e specifikimit të këtij ligji është një tabelë që liston vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabilitetet përkatëse të tyre:

x i	x 1	x 2	× × ×	x n
p i	fq 1	fq 2	× × ×	p n

Një tabelë të tillë do ta quajmë një seri shpërndarjesh të një ndryshoreje të rastësishme X.

Oriz. 3.1

Për t'i dhënë serisë së shpërndarjes një pamje më vizuale, ata shpesh përdorin paraqitjen e saj grafike: vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme vizatohen përgjatë boshtit të abshisës dhe probabilitetet e këtyre vlerave vizatohen përgjatë boshtit të ordinatave. Për qartësi, pikat që rezultojnë janë të lidhura me segmente të drejta. Një figurë e tillë quhet poligon i shpërndarjes (Fig. 3.1). Shumëkëndëshi i shpërndarjes, si dhe seria e shpërndarjes, karakterizon plotësisht variablin e rastësishëm. është një nga format e ligjit të shpërndarjes. Ndonjëherë interpretimi i ashtuquajtur "mekanik" i serisë së shpërndarjes është i përshtatshëm. Le të imagjinojmë që një masë e caktuar e barabartë me unitetin shpërndahet përgjatë boshtit të abshisës në mënyrë që në n masat janë të përqendruara përkatësisht në pika individuale . Pastaj seria e shpërndarjes interpretohet si një sistem pikash materiale me disa masa të vendosura në boshtin e abshisave.

Koncepti i një ndryshoreje të rastësishme. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme

Variablat e rastësishëm (shkurtuar: r.v.) shënohen me shkronja të mëdha latine X, Y, Z,...(ose shkronjat e vogla greke ξ (xi), η (eta), θ (theta), ψ (psi), etj.), dhe vlerat që ata marrin janë përkatësisht me shkronja të vogla x 1 , x 2 ,…, në 1 , në 2 , në 3 …

Shembuj Me. V. mund të shërbejë: 1) X- numri i pikëve që shfaqen gjatë hedhjes së një trupi; 2) Y - numri i të shtënave para goditjes së parë në objektiv; 3) Z- koha e funksionimit pa probleme të pajisjes, etj. (gjatësia e personit, kursi i këmbimit të dollarit, numri i pjesëve me defekt në një grup, temperatura e ajrit, fitimet e lojtarit, koordinata e një pike nëse është zgjedhur rastësisht, fitimi i kompanisë, . ..).

Ndryshorja e rastësishme XΏ w

X(w), d.m.th. X= X(w), wО Ώ (ose X = f(w)) (31)

Shembulli 1. Eksperimenti konsiston në hedhjen e një monedhe 2 herë. Në PES Ώ=(w 1, w 2, w 3, w 4), ku w 1 = GG, w 2 = GR, w 3 = RG, w 4 = RR, ju mund të konsideroni p. V. X- numri i paraqitjeve të stemës. S.v. Xështë funksion i ngjarjes elementare w i : X( w 1 ) = 2, X( w 2 ) = 1, X( w 3 ) = 1, X( w 4 )= 0; X- d.s. V. me vlera x 1 = 0, x 2 =1 , x 3 = 2.

X(w) S Р(А) = Р(Х< X).

X- d.s. V.,

x 1, x 2, x 3,…,x n,…

p i , Ku i = 1,2,3, ...,n,….

Ligji i shpërndarjes d.s. V. p i =P(X=x i}, i=1,2,3,... ,n,...,

Me. V. X x i. :

X	x 1	x 2	….	x n	…
P	f 1	p2	….	p n	…

Që nga ngjarjet (X = x 1), (X = x 2),…, (X = x n), d.m.th. .

(x 1 , f 1 ), (x 2 , p 2),…, (x n , p n) quhen shumëkëndëshi(ose shumëkëndëshi) shpërndarja(shih Fig. 17).

Vlera e rastësishme X është diskrete, nëse ka një grup të fundëm ose të numërueshëm numrash x 1 , x 2 , ..., x n e tillë që P(X = x i ) = p i > 0 (i = 1,2,...) fq 1 + p2 + f 3 +…= 1 (32)

Shuma d.s. V. X, duke marrë vlerat x i me probabilitete p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, dhe d.s. V. Y, duke marrë vlerat y j me probabilitete p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, quhet d.s. V. Z = X + Y, duke marrë vlerat z ij = x i + y j me probabilitete p ij = P( X = x i,Y = y j), për të gjitha vlerat e specifikuara i dhe j. Nëse disa shuma x i + y j përputhen, shtohen probabilitetet përkatëse.

Nga dallimi d.s. V. X, duke marrë vlerat x i me probabilitete p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, dhe d.s. V. Y, duke marrë vlerat y j me probabilitete p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, quhet d.s. V. Z = X - Y, duke marrë vlerat z ij = x i – y j me probabilitete p ij = P ( X = x i ,Y = y j ), për të gjitha vlerat e specifikuara i dhe j. Nëse disa dallime x i – y j përputhen, shtohen probabilitetet përkatëse.

Puna d.s. V. X, duke marrë vlerat x i me probabilitete p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, dhe d.s. V. Y, duke marrë vlerat y j me probabilitete p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, quhet d.s. V. Z = X × Y, duke marrë vlerat z ij = x i × y j me probabilitete p ij = P( X = x i,Y = y j), për të gjitha vlerat e specifikuara i dhe j. Nëse disa produkte x i × y j përputhen, shtohen probabilitetet përkatëse.

d.s. V. сХ, с x i р i = Р(Х = x i ).

Ngjarjet X dhe Y (X = x i) = A i dhe (Y = y j) = B j janë të pavarura për çdo i= 1,2,...,n; j = l,2,...,m, d.m.th.

P(X = x i ;Y = y j ) =P(X = x i ) ×P (Y = y j ) (33)

Shembulli 2. Në urnë ka 8 topa, 5 prej të cilëve janë të bardhë, pjesa tjetër janë të zeza. Nga ajo tërhiqen në mënyrë të rastësishme 3 topa. Gjeni ligjin e shpërndarjes së numrit të topave të bardhë në mostër.

Variablat e rastësishëm: diskrete dhe të vazhdueshme.

Gjatë kryerjes së një eksperimenti stokastik, formohet një hapësirë e ngjarjeve elementare - rezultatet e mundshme të këtij eksperimenti. Besohet se mbi këtë hapësirë të ngjarjeve elementare jepet vlerë e rastësishme X, nëse jepet një ligj (rregull) sipas të cilit çdo ngjarje elementare shoqërohet me një numër. Kështu, ndryshorja e rastësishme X mund të konsiderohet si një funksion i përcaktuar në hapësirën e ngjarjeve elementare.

■ Ndryshore e rastësishme- një sasi që gjatë çdo prove merr një ose një vlerë numerike (nuk dihet paraprakisht cila), në varësi të arsyeve të rastësishme që nuk mund të merren parasysh paraprakisht. Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin, dhe vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme shënohen me shkronja të vogla. Pra, gjatë hedhjes së një trupi, ndodh një ngjarje e lidhur me numrin x, ku x është numri i pikave të rrotulluara. Numri i pikëve është një ndryshore e rastësishme, dhe numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6 janë vlera të mundshme të kësaj vlere. Distanca që do të përshkojë një predhë kur gjuhet nga një armë është gjithashtu një ndryshore e rastësishme (në varësi të instalimit të pamjes, fuqisë dhe drejtimit të erës, temperaturës dhe faktorëve të tjerë), dhe vlerat e mundshme të kësaj vlere i përkasin në një interval të caktuar (a; b).

■ Ndryshore diskrete e rastësishme– një ndryshore e rastësishme që merr vlera të mundshme të veçanta, të izoluara me probabilitete të caktuara. Numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të jetë i fundëm ose i pafund.

■ Variabli i rastësishëm i vazhdueshëm– një ndryshore e rastësishme që mund të marrë të gjitha vlerat nga një interval i kufizuar ose i pafund. Numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është i pafund.

Për shembull, numri i pikëve të hedhura gjatë hedhjes së një zari, rezultati për një test janë variabla diskrete të rastësishme; distanca që fluturon një predhë kur gjuan nga një armë, gabimi i matjes së treguesit të kohës për të zotëruar materialin arsimor, lartësia dhe pesha e një personi janë variabla të rastësishme të vazhdueshme.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme- korrespodenca midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve të tyre, d.m.th. Çdo vlerë e mundshme x i shoqërohet me probabilitetin p i me të cilin ndryshorja e rastësishme mund ta marrë këtë vlerë. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme mund të specifikohet në mënyrë tabelare (në formën e një tabele), në mënyrë analitike (në formën e një formule) dhe grafikisht.

Le të marrë një ndryshore diskrete e rastësishme X vlera x 1 , x 2 , ..., x n me probabilitete p 1 , p 2 , …, p n përkatësisht, d.m.th. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. Kur specifikoni ligjin e shpërndarjes së kësaj sasie në një tabelë, rreshti i parë i tabelës përmban vlerat e mundshme x 1 , x 2 , ..., x n, dhe rreshti i dytë përmban probabilitetet e tyre

X	x 1	x 2	…	x n
fq	f 1	p2	…	p n

Si rezultat i testit, një ndryshore e rastësishme diskrete X merr një dhe vetëm një nga vlerat e mundshme, prandaj ngjarjet X=x 1, X=x 2, ..., X=x n formojnë një grup të plotë të papajtueshëm në çift. ngjarjet, dhe, për rrjedhojë, shuma e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve është e barabartë me një, d.m.th. p 1 + p 2 +… + p n =1.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Shumëkëndëshi i shpërndarjes (poligoni).

Siç e dini, një ndryshore e rastësishme është një variabël që mund të marrë vlera të caktuara në varësi të rastit. Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin (X, Y, Z), dhe vlerat e tyre shënohen me shkronjat përkatëse të vogla (x, y, z). Variablat e rastësishëm ndahen në të ndërprerë (diskrete) dhe të vazhdueshme.

Një ndryshore e rastësishme diskrete është një ndryshore e rastësishme që merr vetëm një grup vlerash të fundme ose të pafundme (të numërueshme) me probabilitete të caktuara jo zero.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskreteështë një funksion që lidh vlerat e një ndryshoreje të rastësishme me probabilitetet e tyre përkatëse. Ligji i shpërndarjes mund të specifikohet në një nga mënyrat e mëposhtme.

1. Ligji i shpërndarjes mund të jepet nga tabela:

ku λ>0, k = 0, 1, 2, … .

c) duke përdorur funksionin e shpërndarjes F(x), i cili përcakton për secilën vlerë x probabilitetin që ndryshorja e rastësishme X të marrë një vlerë më të vogël se x, d.m.th. F(x) = P(X< x).

Vetitë e funksionit F(x)

3. Ligji i shpërndarjes mund të specifikohet grafikisht - nga një poligon (poligoni) i shpërndarjes (shih detyrën 3).

Vini re se për të zgjidhur disa probleme nuk është e nevojshme të njihni ligjin e shpërndarjes. Në disa raste, mjafton të njihni një ose disa numra që pasqyrojnë tiparet më të rëndësishme të ligjit të shpërndarjes. Ky mund të jetë një numër që ka kuptimin e "vlerës mesatare" të një ndryshoreje të rastësishme, ose një numër që tregon madhësinë mesatare të devijimit të një ndryshoreje të rastësishme nga vlera e saj mesatare. Numrat e këtij lloji quhen karakteristika numerike të një ndryshoreje të rastit.

Karakteristikat themelore numerike të një ndryshoreje të rastësishme diskrete:

Pritshmëria matematikore (vlera mesatare) e një ndryshoreje të rastësishme diskrete M(X)=Σ x i p i .
Për shpërndarjen binomiale M(X)=np, për shpërndarjen Poisson M(X)=λ
Dispersioni i një ndryshoreje diskrete të rastësishme D(X)= M 2 ose D(X) = M(X 2)- 2. Diferenca X–M(X) quhet devijimi i një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore.
Për shpërndarjen binomiale D(X)=npq, për shpërndarjen Poisson D(X)=λ
Devijimi mesatar katror (devijimi standard) σ(X)=√D(X).

· Për qartësinë e paraqitjes së një serie variacionesh, imazhet e saj grafike kanë një rëndësi të madhe. Grafikisht, një seri variacionesh mund të përshkruhet si një poligon, histogram dhe kumulim.

· Një shumëkëndësh shpërndarjeje (fjalë për fjalë një shumëkëndësh shpërndarjeje) quhet një vijë e thyer, e cila është e ndërtuar në një sistem koordinativ drejtkëndor. Vlera e atributit vizatohet në abshisë, frekuencat përkatëse (ose frekuencat relative) vizatohen në ordinatë. Pikat (ose) lidhen me segmente të drejtëza dhe fitohet një poligon i shpërndarjes. Më shpesh, poligonet përdoren për të përshkruar seritë diskrete të variacioneve, por ato mund të përdoren gjithashtu për seri intervali. Në këtë rast, pikat që korrespondojnë me pikat e mesit të këtyre intervaleve vizatohen në boshtin e abshisave.