Faqja 2 nga 3

Forma algjebrike e një numri kompleks.
Mbledhja, zbritja, shumëzimi dhe pjesëtimi i numrave kompleks.

Ne tashmë jemi njohur me formën algjebrike të një numri kompleks - kjo është forma algjebrike e një numri kompleks. Pse po flasim për formën? Fakti është se ekzistojnë edhe forma trigonometrike dhe eksponenciale të numrave kompleks, të cilat do të diskutohen në paragrafin tjetër.

Veprimet me numra kompleks nuk janë veçanërisht të vështira dhe nuk janë shumë të ndryshme nga algjebra e zakonshme.

Mbledhja e numrave kompleks

Shembulli 1

Shtoni dy numra kompleks,

Për të shtuar dy numra kompleksë, duhet të shtoni pjesët e tyre reale dhe imagjinare:

E thjeshtë, apo jo? Veprimi është aq i dukshëm sa nuk kërkon komente shtesë.

Në këtë mënyrë të thjeshtë mund të gjeni shumën e çdo numri termash: mblidhni pjesët reale dhe mblidhni pjesët imagjinare.

Për numrat kompleks, rregulli i klasës së parë është i vlefshëm: – rirregullimi i kushteve nuk e ndryshon shumën.

Zbritja e numrave kompleks

Shembulli 2

Gjeni dallimet midis numrave kompleks dhe nëse ,

Veprimi është i ngjashëm me shtimin, e vetmja veçori është se nëntrandi duhet të vendoset në kllapa, dhe më pas kllapat duhet të hapen në mënyrën standarde me një ndryshim të shenjës:

Rezultati nuk duhet të jetë konfuz, numri që rezulton ka dy, jo tre pjesë. Thjesht pjesa reale është përbërja: . Për qartësi, përgjigja mund të rishkruhet si më poshtë: .

Le të llogarisim ndryshimin e dytë:

Këtu pjesa e vërtetë është gjithashtu e përbërë:

Për të shmangur çdo nënvlerësim, do të jap një shembull të shkurtër me një pjesë imagjinare "të keqe": . Këtu nuk mund të bëni më pa kllapa.

Shumëzimi i numrave kompleks

Ka ardhur koha t'ju njohim me barazinë e famshme:

Shembulli 3

Gjeni prodhimin e numrave kompleks,

Natyrisht, puna duhet të shkruhet kështu:

Çfarë sugjeron kjo? Kërkon hapjen e kllapave sipas rregullit të shumëzimit të polinomeve. Kjo është ajo që ju duhet të bëni! Të gjitha operacionet algjebrike janë të njohura për ju, gjëja kryesore është ta mbani mend atë dhe kini kujdes.

Le të përsërisim, omg, rregullin e shkollës për shumëzimin e polinomeve: Për të shumëzuar një polinom me një polinom, ju duhet të shumëzoni çdo term të një polinomi me çdo term të një polinomi tjetër.

Unë do ta shkruaj në detaje:

Shpresoj se kjo ishte e qartë për të gjithë

Vëmendje, dhe përsëri vëmendje, më së shpeshti bëhen gabime në shenja.

Ashtu si shuma, prodhimi i numrave kompleks është i ndërrueshëm, domethënë barazia është e vërtetë: .

Në literaturën arsimore dhe në internet, është e lehtë të gjesh një formulë të veçantë për llogaritjen e produktit të numrave kompleksë. Përdoreni nëse dëshironi, por mua më duket se qasja me shumëzimin e polinomeve është më universale dhe më e qartë. Nuk do ta jap formulën, mendoj se në këtë rast po ju mbush kokën me tallash.

Ndarja e numrave kompleks

Shembulli 4

Jepen numrat kompleks, . Gjeni herësin.

Le të bëjmë një koeficient:

Bëhet ndarja e numrave duke shumëzuar emëruesin dhe numëruesin me shprehjen e konjuguar të emëruesit.

Le të kujtojmë formulën e mjekrës dhe të shohim emëruesin tonë: . Emëruesi tashmë ka , kështu që shprehja e konjuguar në këtë rast është , domethënë

Sipas rregullit, emëruesi duhet të shumëzohet me , dhe, në mënyrë që asgjë të mos ndryshojë, numëruesi duhet të shumëzohet me të njëjtin numër:

Unë do ta shkruaj në detaje:

Zgjodha një shembull "të mirë": nëse merrni dy numra "nga e para", atëherë si rezultat i ndarjes pothuajse gjithmonë do të merrni thyesa, diçka si .

Në disa raste, para se të pjesëtoni një thyesë, këshillohet ta thjeshtoni atë, për shembull, merrni parasysh herësin e numrave: . Para ndarjes, heqim qafe minuset e panevojshme: në numërues dhe në emërues nxjerrim minuset nga kllapat dhe zvogëlojmë këto minus: . Për ata që duan të zgjidhin problemet, këtu është përgjigja e saktë:

Rrallë, por ndodh detyra e mëposhtme:

Shembulli 5

Jepet një numër kompleks. Shkruajeni këtë numër në formë algjebrike (d.m.th. në formë).

Teknika është e njëjtë - ne shumëzojmë emëruesin dhe numëruesin me shprehjen e konjuguar me emëruesin. Le të shohim përsëri formulën. Emëruesi tashmë përmban , kështu që emëruesi dhe numëruesi duhet të shumëzohen me shprehjen e konjuguar, domethënë me:

Në praktikë, ata mund të ofrojnë lehtësisht një shembull të sofistikuar ku duhet të kryeni shumë operacione me numra komplekse. Pa panik: bej kujdes, ndiqni rregullat e algjebrës, procedurën e zakonshme algjebrike dhe mbani mend se .

Forma trigonometrike dhe eksponenciale e numrit kompleks

Në këtë pjesë do të flasim më shumë për formën trigonometrike të një numri kompleks. Forma dëftore është shumë më pak e zakonshme në detyrat praktike. Unë rekomandoj shkarkimin dhe, nëse është e mundur, shtypjen e tabelave trigonometrike mund të gjenden në faqe Formula dhe tabela matematikore. Nuk mund të shkosh larg pa tavolina.

Çdo numër kompleks (përveç zeros) mund të shkruhet në formë trigonometrike:
, ku eshte moduli i një numri kompleks, A - argumenti i numrit kompleks. Të mos ikim, gjithçka është më e thjeshtë nga sa duket.

Le të paraqesim numrin në planin kompleks. Për saktësinë dhe thjeshtësinë e shpjegimit, do ta vendosim në kuadrantin e parë koordinativ, d.m.th. ne besojmë se:

Moduli i një numri kompleksështë distanca nga origjina në pikën përkatëse në rrafshin kompleks. E thënë thjesht, moduli është gjatësia vektori i rrezes, i cili tregohet me të kuqe në vizatim.

Moduli i një numri kompleks zakonisht shënohet me: ose

Duke përdorur teoremën e Pitagorës, është e lehtë të nxirret një formulë për gjetjen e modulit të një numri kompleks: . Kjo formulë është e saktë për çdo kuptimet "a" dhe "të jetë".

shënim: Moduli i një numri kompleks është një përgjithësim i konceptit moduli i një numri real, si distanca nga një pikë në origjinë.

Argumenti i një numri kompleks thirrur qoshe ndërmjet gjysmë boshti pozitiv boshti real dhe vektori i rrezes të tërhequr nga origjina në pikën përkatëse. Argumenti nuk është përcaktuar për njëjës: .

Parimi në fjalë është në të vërtetë i ngjashëm me koordinatat polare, ku rrezja polare dhe këndi polar përcaktojnë në mënyrë unike pikën.

Argumenti i një numri kompleks shënohet standardisht: ose

Nga konsideratat gjeometrike, marrim formulën e mëposhtme për gjetjen e argumentit:
. Kujdes! Kjo formulë funksionon vetëm në gjysmë rrafshin e duhur! Nëse numri kompleks nuk ndodhet në kuadrantin e koordinatave 1 ose 4, atëherë formula do të jetë paksa e ndryshme. Ne do t'i analizojmë edhe këto raste.

Por së pari, le të shohim shembujt më të thjeshtë kur numrat kompleks janë të vendosur në boshtet koordinative.

Shembulli 7

Le të bëjmë vizatimin:

Në fakt, detyra është gojore. Për qartësi, unë do të rishkruaj formën trigonometrike të një numri kompleks:

Le të kujtojmë fort, modulin - gjatësia(që është gjithmonë jo negative), argumenti është qoshe.

1) Të paraqesim numrin në formë trigonometrike. Le të gjejmë modulin dhe argumentin e tij. Është e qartë se. Llogaritja formale duke përdorur formulën: .
Është e qartë se (numri qëndron drejtpërdrejt në gjysmë-boshtin real pozitiv). Pra, numri në formë trigonometrike është: .

Veprimi i kontrollit të kundërt është i qartë si dita:

2) Le ta paraqesim numrin në formë trigonometrike. Le të gjejmë modulin dhe argumentin e tij. Është e qartë se. Llogaritja formale duke përdorur formulën: .
Natyrisht (ose 90 gradë). Në vizatim, këndi tregohet me të kuqe. Pra, numri në formë trigonometrike është: .

Duke përdorur një tabelë vlerash të funksioneve trigonometrike, është e lehtë të rikthehet forma algjebrike e numrit (duke kryer gjithashtu një kontroll):

3) Le ta paraqesim numrin në formë trigonometrike. Le të gjejmë modulin dhe argumentin e tij. Është e qartë se. Llogaritja formale duke përdorur formulën: .
Natyrisht (ose 180 gradë). Në vizatim, këndi tregohet me ngjyrë blu. Pra, numri në formë trigonometrike është: .

Ekzaminimi:

4) Dhe rasti i katërt interesant. Le të paraqesim numrin në formë trigonometrike. Le të gjejmë modulin dhe argumentin e tij. Është e qartë se. Llogaritja formale duke përdorur formulën: .

Argumenti mund të shkruhet në dy mënyra: Mënyra e parë: (270 gradë), dhe në përputhje me rrethanat: . Ekzaminimi:

Megjithatë, rregulli i mëposhtëm është më standard: Nëse këndi është më i madh se 180 gradë, pastaj shkruhet me shenjë minus dhe orientimi i kundërt (“lëvizje”) i këndit: (minus 90 gradë), në vizatim shënohet këndi me ngjyrë të gjelbër. Është e lehtë për ta parë atë dhe janë të njëjtin kënd.

Kështu, hyrja merr formën:

Kujdes! Në asnjë rast nuk duhet të përdorni paritetin e kosinusit, çuditshmërinë e sinusit dhe të "thjeshtoni" më tej shënimin:

Nga rruga, është e dobishme të mbani mend pamjen dhe vetitë e funksioneve trigonometrike dhe inverse trigonometrike janë në paragrafët e fundit të faqes Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare themelore. Dhe numrat kompleksë do të mësohen shumë më lehtë!

Në hartimin e shembujve më të thjeshtë, duhet të shkruhet: “është e qartë se moduli është i barabartë... është e qartë se argumenti është i barabartë me...”. Kjo është vërtet e qartë dhe e lehtë për t'u zgjidhur verbalisht.

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë raste më të zakonshme. Siç e kam vërejtur tashmë, nuk ka probleme me modulin, duhet të përdorni gjithmonë formulën. Por formulat për gjetjen e argumentit do të jenë të ndryshme, varet nga cili tremujor koordinativ qëndron numri. Në këtë rast, tre opsione janë të mundshme (është e dobishme t'i kopjoni ato në fletoren tuaj):

1) Nëse (çereku i koordinatave 1 dhe 4, ose gjysmërrafsh i djathtë), atëherë argumenti duhet të gjendet duke përdorur formulën.

2) Nëse (tremujori i 2-të i koordinatave), atëherë argumenti duhet të gjendet duke përdorur formulën .

3) Nëse (tremujori i 3-të i koordinatave), atëherë argumenti duhet të gjendet duke përdorur formulën .

Shembulli 8

Paraqitni numrat kompleks në formë trigonometrike: , , , .

Meqenëse ka formula të gatshme, nuk është e nevojshme të plotësoni vizatimin. Por ka një pikë: kur ju kërkohet të përfaqësoni një numër në formë trigonometrike, atëherë Është më mirë të bëni vizatimin gjithsesi. Fakti është se një zgjidhje pa vizatim shpesh refuzohet nga mësuesit, mungesa e një vizatimi është një arsye serioze për një minus dhe dështim.

Eh, unë nuk kam vizatuar asgjë me dorë për njëqind vjet, ja ku shkoni:

Si gjithmonë, doli pak e ndyrë =)

Unë do t'i paraqes numrat dhe në formë komplekse, numri i parë dhe i tretë do të jenë për zgjidhje të pavarur.

Le të paraqesim numrin në formë trigonometrike. Le të gjejmë modulin dhe argumentin e tij.

Numrat kompleksë janë një zgjatim i grupit të numrave realë, që zakonisht shënohen me . Çdo numër kompleks mund të përfaqësohet si një shumë formale, ku dhe janë numra realë dhe është njësia imagjinare.

Shkrimi i një numri kompleks në formën , , quhet forma algjebrike e një numri kompleks.

Vetitë e numrave kompleks. Interpretimi gjeometrik i një numri kompleks.

Veprimet mbi numrat kompleks të dhënë në formë algjebrike:

Le të shqyrtojmë rregullat me të cilat kryhen veprimet aritmetike në numrat kompleks.

Nëse janë dhënë dy numra kompleks α = a + bi dhe β = c + di, atëherë

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (njëmbëdhjetë)

Kjo rrjedh nga përkufizimi i veprimeve të mbledhjes dhe zbritjes së dy çifteve të renditura të numrave realë (shih formulat (1) dhe (3)). Kemi marrë rregullat për mbledhjen dhe zbritjen e numrave kompleksë: për të mbledhur dy numra kompleksë, duhet të shtojmë veçmas pjesët e tyre reale dhe, në përputhje me rrethanat, pjesët e tyre imagjinare; Për të zbritur një tjetër nga një numër kompleks, është e nevojshme të zbriten përkatësisht pjesët e tyre reale dhe imagjinare.

Numri – α = – a – bi quhet i kundërt i numrit α = a + bi. Shuma e këtyre dy numrave është zero: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

Për të marrë rregullin për shumëzimin e numrave kompleks, ne përdorim formulën (6), d.m.th., faktin që i2 = -1. Duke marrë parasysh këtë relacion, gjejmë (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, d.m.th.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Kjo formulë korrespondon me formulën (2), e cila përcakton shumëzimin e çifteve të renditura të numrave realë.

Vini re se shuma dhe prodhimi i dy numrave kompleks të konjuguar janë numra realë. Në të vërtetë, nëse α = a + bi, = a – bi, atëherë α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, d.m.th.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Kur pjesëtohen dy numra kompleks në formë algjebrike, duhet pritur që herësi të shprehet edhe me një numër të të njëjtit lloj, d.m.th. α/β = u + vi, ku u, v R. Le të nxjerrim rregullin për pjesëtimin e numrave kompleks. . Le të jepen numrat α = a + bi, β = c + di, dhe β ≠ 0, pra c2 + d2 ≠ 0. Pabarazia e fundit do të thotë që c dhe d nuk zhduken njëkohësisht (rasti përjashtohet kur c = 0 , d = 0). Duke zbatuar formulën (12) dhe të dytën e barazive (13), gjejmë:

Prandaj, herësi i dy numrave kompleks përcaktohet nga formula:

që korrespondon me formulën (4).

Duke përdorur formulën që rezulton për numrin β = c + di, mund të gjeni numrin e tij të kundërt β-1 = 1/β. Duke supozuar a = 1, b = 0 në formulën (14), marrim

Kjo formulë përcakton inversin e një numri të caktuar kompleks të ndryshëm nga zero; ky numër është gjithashtu kompleks.

Për shembull: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Veprimet me numrat kompleks në formë algjebrike.

55. Argumenti i një numri kompleks. Forma trigonometrike e shkrimit të një numri kompleks (derivimi).

Arg.com.numrat. – ndërmjet drejtimit pozitiv të boshtit real X dhe vektorit që përfaqëson numrin e dhënë.

Formula e trigonit. Numrat: ,

14.3 Një pikë në pafundësi si një pikë njëjës e një funksioni të një ndryshoreje komplekse

Parathënie

Shpërndarja e saktë e kohës dhe përpjekjeve gjatë përgatitjes për pjesët teorike dhe praktike të një provimi ose certifikimi të modulit është mjaft e vështirë, veçanërisht pasi nuk ka gjithmonë kohë të mjaftueshme gjatë seancës. Dhe siç tregon praktika, jo të gjithë mund ta përballojnë këtë. Si rezultat, gjatë provimit, disa studentë zgjidhin drejt problemat, por e kanë të vështirë t'u përgjigjen pyetjeve më të thjeshta teorike, ndërsa të tjerë mund të formulojnë një teoremë, por nuk mund ta zbatojnë atë.

Këto udhëzime për përgatitjen për provimin në lëndën “Teoria e funksioneve të një ndryshoreje komplekse” (TFCP) janë një përpjekje për të zgjidhur këtë kontradiktë dhe për të siguruar përsëritjen e njëkohshme të materialit teorik dhe praktik të lëndës. Të udhëhequr nga parimi "Teoria pa praktikë është e vdekur, praktika pa teori është e verbër", ato përmbajnë të dy dispozitat teorike të kursit në nivelin e përkufizimeve dhe formulimeve, si dhe shembuj që ilustrojnë zbatimin e secilit pozicion teorik të dhënë, dhe në këtë mënyrë lehtësojnë memorizimi dhe kuptimi i tij.

Qëllimi i rekomandimeve të propozuara metodologjike është të ndihmojë studentin të përgatitet për provimin në nivelin bazë. Me fjalë të tjera, është përpiluar një udhëzues i zgjeruar pune që përmban pikat kryesore të përdorura në orët e mësimit në kursin TFKP dhe të nevojshme gjatë kryerjes së detyrave të shtëpisë dhe përgatitjes për teste. Përveç punës së pavarur nga studentët, ky publikim arsimor elektronik mund të përdoret gjatë zhvillimit të orëve në formë interaktive duke përdorur një tabelë elektronike ose për vendosjen në një sistem mësimi në distancë.

Ju lutemi vini re se kjo punë nuk zëvendëson as tekstet shkollore dhe as shënimet e leksioneve. Për një studim të thelluar të materialit, rekomandohet t'i referoheni seksioneve përkatëse të botuara nga MSTU. N.E. Libër mësimi bazë Bauman.

Në fund të manualit ka një listë të literaturës së rekomanduar dhe një indeks lëndor, i cili përfshin gjithçka të theksuar në tekst. kursive të theksuara kushtet. Indeksi përbëhet nga hiperlidhje të seksioneve në të cilat këto terma përcaktohen ose përshkruhen në mënyrë strikte dhe ku jepen shembuj për të ilustruar përdorimin e tyre.

Manuali është i destinuar për studentët e vitit të dytë të të gjitha fakulteteve të MSTU. N.E. Bauman.

1. Forma algjebrike e shkrimit të një numri kompleks

Shënimi i formës z = x + iy, ku x, y janë numra realë, i është një njësi imagjinare (d.m.th. i 2 = − 1)

quhet forma algjebrike e shkrimit të një numri kompleks z. Në këtë rast, x quhet pjesa reale e një numri kompleks dhe shënohet me Re z (x = Re z), y quhet pjesa imagjinare e një numri kompleks dhe shënohet me Im z (y = Im z).

Shembull. Numri kompleks z = 4− 3i ka një pjesë reale Rez = 4 dhe një pjesë imagjinare Imz = − 3.

2. Plani i numrave kompleks

NË shqyrtohen teoritë e funksioneve të një ndryshoreje komplekseplani i numrave kompleks, e cila shënohet ose me ose duke përdorur shkronja që tregojnë numrat kompleks z, w, etj.

Boshti horizontal i rrafshit kompleks quhet bosht real, mbi të vendosen numrat realë z = x + 0i = x.

Boshti vertikal i rrafshit kompleks quhet bosht imagjinar;

3. Numrat komplekse të konjuguar

Quhen numrat z = x + iy dhe z = x − iy konjuguar kompleks. Në planin kompleks ato korrespondojnë me pika që janë simetrike në lidhje me boshtin real.

4. Veprimet me numra kompleks në formë algjebrike

4.1 Mbledhja e numrave kompleks

Kështu, veprimi i shumëzimit të numrave kompleks është i ngjashëm me veprimin e shumëzimit të binomeve algjebrike, duke marrë parasysh faktin se i 2 = − 1.

Plani i mësimit.

1. Momenti organizativ.

2. Prezantimi i materialit.

3. Detyrë shtëpie.

4. Përmbledhja e mësimit.

Gjatë orëve të mësimit

I. Momenti organizativ.

II. Prezantimi i materialit.

Motivimi.

Zgjerimi i bashkësisë së numrave realë konsiston në shtimin e numrave të rinj (imagjinarë) me numrat realë. Futja e këtyre numrave është për shkak të pamundësisë së nxjerrjes së rrënjës së një numri negativ në grupin e numrave realë.

Hyrje në konceptin e një numri kompleks.

Numrat imagjinarë, me të cilët plotësojmë numrat realë, shkruhen në formë bi, Ku iështë një njësi imagjinare, dhe i 2 = - 1.

Bazuar në këtë, marrim përkufizimin e mëposhtëm të një numri kompleks.

Përkufizimi. Një numër kompleks është një shprehje e formës a+bi, Ku a Dhe b- numra realë. Në këtë rast, plotësohen kushtet e mëposhtme:

a) Dy numra kompleks a 1 + b 1 i Dhe a 2 + b 2 i e barabartë nëse dhe vetëm nëse a 1 = a 2, b 1 =b 2.

b) Mbledhja e numrave kompleks përcaktohet nga rregulli:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Shumëzimi i numrave kompleks përcaktohet nga rregulli:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Forma algjebrike e një numri kompleks.

Shkrimi i një numri kompleks në formë a+bi quhet forma algjebrike e një numri kompleks, ku A- pjesa reale, biështë pjesa imagjinare, dhe b- numri real.

Numri kompleks a+bi konsiderohet e barabartë me zero nëse pjesët reale dhe imagjinare janë të barabarta me zero: a = b = 0

Numri kompleks a+bi në b = 0 konsiderohet të jetë i njëjtë me një numër real a: a + 0i = a.

Numri kompleks a+bi në a = 0 quhet thjesht imagjinare dhe shënohet bi: 0 + bi = bi.

Dy numra kompleks z = a + bi Dhe = a – bi, që ndryshojnë vetëm në shenjën e pjesës imagjinare, quhen të konjuguara.

Veprimet me numrat kompleks në formë algjebrike.

Ju mund të kryeni veprimet e mëposhtme mbi numrat kompleks në formë algjebrike.

1) Shtesa.

Përkufizimi. Shuma e numrave kompleks z 1 = a 1 + b 1 i Dhe z 2 = a 2 + b 2 i quhet numër kompleks z, pjesa reale e së cilës është e barabartë me shumën e pjesëve reale z 1 Dhe z 2, dhe pjesa imagjinare është shuma e pjesëve imagjinare të numrave z 1 Dhe z 2, kjo eshte z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Numrat z 1 Dhe z 2 quhen terma.

Mbledhja e numrave kompleks ka këto veti:

1º. Komutativiteti: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Asociacioni: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Numri kompleks –a –bi quhet e kundërta e një numri kompleks z = a + bi. Numri kompleks, i kundërt i numrit kompleks z, shënohet -z. Shuma e numrave kompleks z Dhe -z e barabartë me zero: z + (-z) = 0

Shembulli 1: Kryeni mbledhjen (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Zbritja.

Përkufizimi. Zbrit nga një numër kompleks z 1 numër kompleks z 2 z,Çfarë z + z 2 = z 1.

Teorema. Dallimi midis numrave kompleks ekziston dhe është unik.

Shembulli 2: Kryeni një zbritje (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Shumëzimi.

Përkufizimi. Prodhimi i numrave kompleks z 1 =a 1 +b 1 i Dhe z 2 =a 2 +b 2 i quhet numër kompleks z, e përcaktuar nga barazia: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Numrat z 1 Dhe z 2 quhen faktorë.

Shumëzimi i numrave kompleks ka këto veti:

1º. Komutativiteti: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociacioni: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Shpërndarja e shumëzimit në lidhje me mbledhjen:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2- numri real.

Në praktikë, shumëzimi i numrave kompleks kryhet sipas rregullit të shumëzimit të një shume me një shumë dhe ndarjes së pjesëve reale dhe imagjinare.

Në shembullin e mëposhtëm, do të shqyrtojmë shumëzimin e numrave kompleks në dy mënyra: me rregull dhe duke shumëzuar shumën me shumë.

Shembulli 3: Bëni shumëzimin (2 + 3i) (5 - 7i).

1 mënyrë. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

Metoda 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Divizioni.

Përkufizimi. Ndani një numër kompleks z 1 në një numër kompleks z 2, do të thotë të gjesh një numër kaq kompleks z, Çfarë z · z 2 = z 1.

Teorema. Herësi i numrave kompleks ekziston dhe është unik nëse z 2 ≠ 0 + 0i.

Në praktikë, herësi i numrave kompleks gjendet duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me konjugatin e emëruesit.

Le z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Pastaj

.

Në shembullin e mëposhtëm, ne do të kryejmë pjesëtimin duke përdorur formulën dhe rregullin e shumëzimit me numrin e konjuguar me emëruesin.

Shembulli 4. Gjeni herësin .

5) Ngritja në një fuqi të tërë pozitive.

a) Fuqitë e njësisë imagjinare.

Duke përfituar nga barazia i 2 = -1, është e lehtë të përcaktohet çdo fuqi numër i plotë pozitiv i njësisë imagjinare. Ne kemi:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 etj.

Kjo tregon se vlerat e gradës në, Ku n– një numër i plotë pozitiv, i përsëritur periodikisht ndërsa treguesi rritet me 4 .

Prandaj, për të rritur numrin i në një fuqi të tërë pozitive, ne duhet ta ndajmë eksponentin me 4 dhe ndërto i në një fuqi, eksponenti i të cilit është i barabartë me pjesën e mbetur të pjesëtimit.

Shembulli 5: Llogaritni: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

b) Ngritja e një numri kompleks në një fuqi të plotë pozitiv kryhet sipas rregullit për ngritjen e një binomi në fuqinë përkatëse, pasi është një rast i veçantë i shumëzimit të faktorëve kompleksë identikë.

Shembulli 6: Llogaritni: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.