Ligjet e kushtëzuara të shpërndarjes. Regresioni.

Përkufizimi. Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar i njërit prej përbërësve njëdimensionale të një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale (X, Y) është ligji i shpërndarjes së tij, i llogaritur me kushtin që komponenti tjetër të marrë një vlerë të caktuar (ose të bjerë në një interval). Në leksionin e mëparshëm, ne shikuam gjetjen e shpërndarjeve të kushtëzuara për variablat diskrete të rastit. Aty jepen edhe formulat për probabilitetet e kushtëzuara:

Në rastin e ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme, është e nevojshme të përcaktohen densitetet e probabilitetit të shpërndarjeve të kushtëzuara j y (x) dhe j X (y). Për këtë qëllim, në formulat e dhëna, ne zëvendësojmë probabilitetet e ngjarjeve me “elementet e probabilitetit” të tyre!

pas reduktimit me dx dhe dy marrim:

ato. dendësia e probabilitetit të kushtëzuar të njërit prej përbërësve njëdimensionale të një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale është e barabartë me raportin e densitetit të bashkimit të tij me densitetin e probabilitetit të komponentit tjetër. Këto marrëdhënie shkruhen në formë

quhen teorema (rregulla) për shumëzimin e dendësisë së shpërndarjes.

Dendësitë e kushtëzuara j y (x) dhe j X (y). kanë të gjitha vetitë e densitetit “të pakushtëzuar”.

Gjatë studimit të ndryshoreve të rastësishme dydimensionale, merren parasysh karakteristikat numerike të komponentëve njëdimensionale X dhe Y - pritjet dhe variancat matematikore. Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme (X, Y), ato përcaktohen nga formula:

Krahas tyre merren parasysh edhe karakteristikat numerike të shpërndarjeve të kushtëzuara: pritjet matematikore të kushtëzuara M x (Y) dhe M y (X) dhe variancat e kushtëzuara D x (Y) dhe D Y (X). Këto karakteristika gjenden duke përdorur formulat e zakonshme të pritjes dhe variancës matematikore, në të cilat probabilitetet e kushtëzuara ose dendësia e probabilitetit të kushtëzuar përdoren në vend të probabiliteteve të ngjarjeve ose densiteteve të probabilitetit.

Pritja matematikore e kushtëzuar e një ndryshoreje të rastësishme Y në X = x, d.m.th. M x (Y) është një funksion i x, i quajtur funksion regresioni ose thjesht një regresion i Y në X. Në mënyrë të ngjashme, M Y (X) quhet funksion regresioni ose thjesht një regresion i X në Y. Grafikët e këtyre funksioneve janë të quajtura vija regresioni (ose kurba regresioni) Y përkatësisht nga X ose X nga Y.

Variabla të rastësishme të varura dhe të pavarura.

Përkufizimi. Variablat e rastësishëm X dhe Y quhen të pavarur nëse funksioni i tyre i përbashkët i shpërndarjes F(x,y) paraqitet si produkt i funksioneve të shpërndarjes F 1 (x) dhe F 2 (y) të këtyre ndryshoreve të rastit, d.m.th.

Përndryshe, ndryshoret e rastësishme X dhe Y quhen të varura.

Duke e diferencuar barazinë dy herë në lidhje me argumentet x dhe y, marrim

ato. për ndryshoret e rastësishme të pavarura të vazhdueshme X dhe Y, dendësia e tyre e përbashkët j(x,y) është e barabartë me produktin e densitetit të probabilitetit j 1 (x) dhe j 2 (y) të këtyre ndryshoreve të rastit.

Deri më tani, ne kemi hasur në konceptin e një marrëdhënie funksionale midis ndryshoreve X dhe Y, kur secila vlerë x e njërës ndryshore korrespondonte me një vlerë të përcaktuar rreptësisht të tjetrës. Për shembull, lidhja midis dy variablave të rastësishëm - numri i pjesëve të pajisjeve të dështuara gjatë një periudhe të caktuar kohore dhe kostoja e tyre - është funksionale.

Në përgjithësi, ata përballen me një lloj tjetër varësie, më pak të rëndë se ajo funksionale.

Përkufizimi. Marrëdhënia midis dy ndryshoreve të rastësishme quhet probabiliste (stokastike ose statistikore) nëse secila vlerë e njërës prej tyre korrespondon me një shpërndarje të caktuar (të kushtëzuar) të tjetrës.

Në rastin e një varësie probabiliste (stokastike), është e pamundur, duke ditur vlerën e njërës prej tyre, të përcaktohet me saktësi vlera e tjetrës, por mund të tregoni vetëm shpërndarjen e sasisë tjetër. Për shembull, lidhja midis numrit të dështimeve të pajisjeve dhe kostos së riparimeve të saj parandaluese, peshës dhe gjatësisë së një personi, kohës së kaluar të një nxënësi të shkollës duke parë programe televizive dhe duke lexuar libra, etj. janë probabiliste (stokastike).

Në Fig. Figura 5.10 tregon shembuj të ndryshoreve të rastësishme të varura dhe të pavarura X dhe Y.

nga ku konkludojmë se m1, m2 janë pritjet matematikore të komponentëve X, Y të një ndryshoreje të rastësishme normale dydimensionale (X, Y), σ1, σ2 janë devijimet standarde të komponentëve të tyre.

Grafiku i një dendësie normale dydimensionale në hapësirë ​​është një sipërfaqe në formë kodre e vendosur mbi të gjithë rrafshin xOy, që i afrohet asimptotikisht kur hiqet në pafundësi, simetrike rreth boshtit vertikal që kalon nëpër qendër (m1, m2) dhe me kulm në këtë pikë. Çdo seksion i sipërfaqes së një grafiku të densitetit normal nga një plan pingul me xOy është një kurbë Gaussian.

6.5 Varësia dhe pavarësia e dy ndryshoreve të rastit

Përkufizimi. Variablat e rastësishëm X, Y quhen të pavarur nëse ngjarjet X janë të pavarura< x и Y < y для любых вещественных x, y. В противном случае случайные величины (X, Y) называются зависимыми.

Teorema. Kusht i përgjithshëm i nevojshëm dhe i mjaftueshëm për pavarësinë e dy variablave të rastësishëm:

FXY (x, y) = FX (x) VF (y)

për çdo x dhe y real.

Ky kusht është një kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm i shkruar ndryshe për pavarësinë e dy ngjarjeve: P (AB) = P (A)P (B) për rastin e ngjarjeve A = (X< x), B = (Y < y).

Teorema. Një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për pavarësinë e dy ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme:

fXY (x, y) = fX (x) fY (y), x, y.

Teorema. Kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për pavarësinë e dy variablave diskrete të rastit:

p ik= p i · p k

për çdo i = 1, 2, . . . , m; k = 1, 2, . . . , n.

Komentoni. Barazia e koeficientit të korrelacionit ρ me zero është një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për pavarësinë e komponentëve X, Y të një ndryshoreje të rastësishme normale dydimensionale (X, Y).

6.6 Ligjet e kushtëzuara të shpërndarjes. Karakteristikat numerike të një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale. Marrëdhënia ndërmjet ndryshoreve të rastit

6.6.1 Ligjet e kushtëzuara të shpërndarjes

Përkufizimi. Ligji i shpërndarjes me kusht një nga komponentët njëdimensionale të një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale (X, Y) quhet ligji i shpërndarjes së tij, i llogaritur me kushtin që komponenti tjetër të marrë një vlerë të caktuar (ose të bjerë në disa intervale).

Në rastin e ndryshoreve diskrete të rastit, formulat për gjetjen e probabiliteteve të kushtëzuara kanë formën:

Në rastin e ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme, këto formula marrin formën

ato. dendësia e probabilitetit të kushtëzuar të njërit prej përbërësve njëdimensionale të një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale është e barabartë me raportin e densitetit të përbashkët të tij me densitetin e probabilitetit të përbërësit tjetër të tij.

Këto raporte, të shkruara në formë

fXY (x, y) = fX (x)fX (y) = fX (y)fY (x),

quhen teorema (rregulla) për shumëzimin e dendësisë së shpërndarjes.

Duke përdorur formulat për marrjen e komponentëve njëdimensionale të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme, ne shkruajmë formula për komponentët e kushtëzuar:

6.6.2 Karakteristikat numerike

Konsideroni variablin e rastësishëm ϕ(X, Y), i cili është një funksion i komponentëve X, Y të ndryshores dydimensionale të rastësishme (X, Y). Formulat e përgjithshme janë të vlefshme:

për një rast diskret.

Këtu fXY (x, y) është dendësia e probabilitetit të ndryshores së rastësishme (X, Y), dhe pik = P (X = xi, Y = yk) (i = 1, . . . , m; k = 1, . , n) - ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale

Duke përdorur këto formula, mund të shkruani formula për pritshmërinë matematikore dhe shpërndarjen e komponentëve njëdimensionale të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Formulat për gjetjen e pritshmërisë matematikore janë:

M(Y) = yfXY (x, y)dxdy

për variabla të rastësishme të vazhdueshme;

M(X) = xi pik ;

M(Y) = yk pik

për një rast diskret.

Formulat për llogaritjen e variancës së përbërësve njëdimensionale të një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale kanë formën:

D(Y) = M[(Y − M(Y))2 ] = (yk − M(Y))pik

për një rast diskret.

6.6.3 Momenti i korrelacionit dhe koeficienti i korrelacionit

Karakteristikat funksionale të varësisë së dy variablave të rastësishëm u formuluan më sipër. Le të shqyrtojmë tani karakteristikat numerike të marrëdhënies midis ndryshoreve të rastit.

Përkufizimi. Momenti i korrelacionit K XY, përndryshe - kovarianca , dy ndryshore të rastësishme X, Y quhet pritshmëria matematikore e produktit të devijimeve të këtyre ndryshoreve të rastit nga pritjet e tyre matematikore:

KXY = M[(X − mX )(Y − mY )].

Natyrisht, KXY = KY X.

Formulat për llogaritjen e KXY janë:

Ndryshoret e rastësishme quhen të pavarura nëse ligji i shpërndarjes së njërës prej tyre nuk varet nga vlera e ndryshores tjetër të rastit. Koncepti i varësisë së variablave të rastësishëm është shumë i rëndësishëm në teorinë e probabilitetit. Shpërndarjet e kushtëzuara të ndryshoreve të rastësishme të pavarura janë të barabarta me shpërndarjet e tyre të pakushtëzuara. Le të përcaktojmë kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për pavarësinë e variablave të rastit.

Teorema. Në mënyrë që variablat e rastësishëm X dhe Y të jenë të pavarura, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që funksioni i shpërndarjes së sistemit (X, Y) të jetë i barabartë me produktin e funksioneve të shpërndarjes së komponentëve.

Një teoremë e ngjashme mund të formulohet për densitetin e shpërndarjes:

Teorema. Në mënyrë që variablat e rastësishëm X dhe Y të jenë të pavarura, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që dendësia e përbashkët e shpërndarjes së sistemit (X, Y) të jetë e barabartë me produktin e densitetit të shpërndarjes së komponentëve.

Momenti i korrelacionit mxy i variablave të rastësishëm X dhe Y është pritshmëria matematikore e produktit të devijimeve të këtyre vlerave.

Formulat e mëposhtme përdoren praktikisht:

Për variablat diskrete të rastësishme:

Për variablat e rastësishme të vazhdueshme:

Momenti i korrelacionit shërben për të karakterizuar marrëdhënien midis variablave të rastësishëm. Nëse ndryshoret e rastësishme janë të pavarura, atëherë momenti i korrelacionit të tyre është i barabartë me zero.

Momenti i korrelacionit ka një dimension të barabartë me produktin e dimensioneve të ndryshoreve të rastësishme X dhe Y. Ky fakt është një disavantazh i kësaj karakteristike numerike, sepse Me njësi të ndryshme matëse fitohen momente të ndryshme korrelacioni, gjë që e bën të vështirë krahasimin e momenteve të korrelacionit të ndryshoreve të ndryshme të rastit.

Për të eliminuar këtë pengesë, përdoret një karakteristikë tjetër - koeficienti i korrelacionit.

Koeficienti i korrelacionit rxy i variablave të rastësishëm X dhe Y është raporti i momentit të korrelacionit me produktin e devijimeve standarde të këtyre vlerave.

Koeficienti i korrelacionit është një sasi pa dimension. Koeficienti i korrelacionit të variablave të rastësishëm të pavarur është zero.

Vetia: Vlera absolute e momentit të korrelacionit të dy ndryshoreve të rastësishme X dhe Y nuk e kalon mesataren gjeometrike të variancave të tyre.

Vetia: Vlera absolute e koeficientit të korrelacionit nuk e kalon një.

Variablat e rastësishëm quhen të ndërlidhura nëse momenti i tyre i korrelacionit është i ndryshëm nga zero dhe të pakorreluara nëse momenti i tyre i korrelacionit është i barabartë me zero.

Nëse ndryshoret e rastësishme janë të pavarura, atëherë ato janë të pakorreluara, por nga moskorrelacioni nuk mund të konkludohet se ato janë të pavarura.

Nëse dy sasi janë të varura, atëherë ato mund të jenë ose të ndërlidhura ose të pakorreluara.

Shpesh, nga një densitet i caktuar i shpërndarjes së një sistemi variablash të rastësishëm, mund të përcaktohet varësia ose pavarësia e këtyre variablave.

Së bashku me koeficientin e korrelacionit, shkalla e varësisë së variablave të rastit mund të karakterizohet nga një sasi tjetër, e cila quhet koeficienti i kovariancës. Koeficienti i kovariancës përcaktohet me formulën:

Shembull. Është dhënë dendësia e shpërndarjes së sistemit të ndryshoreve të rastësishme X dhe Y.

Zbuloni nëse ndryshoret e rastësishme X dhe Y janë të pavarura.

Për të zgjidhur këtë problem, ne transformojmë densitetin e shpërndarjes:

Kështu, dendësia e shpërndarjes mund të përfaqësohet si produkt i dy funksioneve, njëri prej të cilëve varet vetëm nga x dhe tjetri vetëm nga y. Ato. variablat e rastësishëm X dhe Y janë të pavarur. Natyrisht, ato gjithashtu do të jenë të palidhura.

Dy ndryshore të rastësishme $X$ dhe $Y$ quhen të pavarura nëse ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme nuk ndryshon në varësi të vlerave të mundshme që merr ndryshorja tjetër e rastësishme. Kjo do të thotë, për çdo $x$ dhe $y$, ngjarjet $X=x$ dhe $Y=y$ janë të pavarura. Meqenëse ngjarjet $X=x$ dhe $Y=y$ janë të pavarura, atëherë nga teorema e produktit të probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ djathtas)\djathtas)=P \majtas(X=x\djathtas)P\majtas(Y=y\djathtas)$.

Shembulli 1 . Lëreni variablin e rastësishëm $X$ të shprehë fitimet në para nga biletat e një llotarie "Lotto ruse" dhe ndryshorja e rastësishme $Y$ të shprehë fitimet në para nga biletat e një llotarie tjetër "Çelësi i Artë". Është e qartë se variablat e rastësishëm $X,\Y$ do të jenë të pavarura, pasi fitimet nga biletat e një llotarie nuk varen nga ligji i shpërndarjes së fitimeve nga biletat e një llotarie tjetër. Në rastin kur variablat e rastësishëm $X,\Y$ do të shprehnin fitimet e së njëjtës llotari, atëherë, padyshim, këto variabla të rastit do të vareshin.

Shembulli 2 . Dy punëtorë punojnë në punishte të ndryshme dhe prodhojnë produkte të ndryshme që nuk kanë lidhje me njëra-tjetrën nga teknologjitë e prodhimit dhe lëndët e para të përdorura. Ligji i shpërndarjes për numrin e produkteve me defekt të prodhuara nga punëtori i parë për ndërrim ka formën e mëposhtme:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Numri i \ produkteve me defekt \ x & 0 & 1 \\
\hline
Probabiliteti & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\fund (arresë)$

Numri i produkteve me defekt të prodhuara nga punëtori i dytë për ndërrim i bindet ligjit të mëposhtëm të shpërndarjes.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Numri i \ produkteve me defekt \ y & 0 & 1 \\
\hline
Probabiliteti & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\fund (arresë)$

Le të gjejmë ligjin e shpërndarjes për numrin e produkteve me defekt të prodhuara nga dy punëtorë për ndërrim.

Le të jetë ndryshorja e rastësishme $X$ numri i produkteve me defekt të prodhuara nga punëtori i parë për ndërrim dhe $Y$ numri i produkteve me defekt të prodhuar nga punëtori i dytë për ndërrim. Sipas kushtit, variablat e rastësishëm $X,\Y$ janë të pavarura.

Numri i produkteve me defekt të prodhuara nga dy punëtorë për ndërrim është një ndryshore e rastësishme $X+Y$. Vlerat e tij të mundshme janë $0,\ 1$ dhe $2$. Le të gjejmë probabilitetet me të cilat ndryshorja e rastësishme $X+Y$ merr vlerat e saj.

$P\majtas(X+Y=0\djathtas)=P\majtas(X=0,\ Y=0\djathtas)=P\majtas(X=0\djathtas)P\majtas(Y=0\djathtas) =0.8\cdot 0.7=0.56.$

$P\majtas(X+Y=1\djathtas)=P\majtas(X=0,\ Y=1\ ose\ X=1,\ Y=0\djathtas)=P\majtas(X=0\djathtas )P\majtas(Y=1\djathtas)+P\majtas(X=1\djathtas)P\majtas(Y=0\djathtas)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7 =0,38.$

$P\majtas(X+Y=2\djathtas)=P\majtas(X=1,\ Y=1\djathtas)=P\majtas(X=1\djathtas)P\majtas(Y=1\djathtas) =0.2\cdot 0.3=0.06.$

Pastaj ligji i shpërndarjes së numrit të produkteve me defekt të prodhuara nga dy punëtorë për ndërrim:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Numri i produkteve \ me defekt & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Probabiliteti & 0,56 & 0,38 & 0,06\\
\hline
\fund (arresë)$

Në shembullin e mëparshëm, ne kryem një operacion mbi variablat e rastësishëm $X,\Y$, domethënë, gjetëm shumën e tyre $X+Y$. Le të japim tani një përkufizim më rigoroz të veprimeve (mbledhje, diferencë, shumëzim) mbi ndryshoret e rastësishme dhe të japim shembuj zgjidhjesh.

Përkufizimi 1. Produkti $kX$ i një ndryshoreje të rastësishme $X$ nga një ndryshore konstante $k$ është një ndryshore e rastësishme që merr vlera $kx_i$ me të njëjtat probabilitete $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \pika ,\ n\ djathtas)$.

Përkufizimi 2. Shuma (ndryshimi ose produkti) i ndryshoreve të rastësishme $X$ dhe $Y$ është një ndryshore e rastësishme që merr të gjitha vlerat e mundshme të formës $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ ose $x_i\cdot y_i$) , ku $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, me probabilitete $p_(ij)$ që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë vlerën $x_i$ dhe $Y$ vlerën $y_j$:

$$p_(ij)=P\majtas[\majtas(X=x_i\djathtas)\majtas(Y=y_j\djathtas)\djathtas].$$

Meqenëse variablat e rastësishëm $X,\Y$ janë të pavarura, atëherë sipas teoremës së shumëzimit të probabilitetit për ngjarje të pavarura: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ djathtas)= p_i\cdot p_j$.

Shembulli 3 . Variablat e pavarur të rastësishëm $X,\ Y$ janë të specifikuara nga ligjet e tyre të shpërndarjes së probabilitetit.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\fund (arresë)$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\fund (arresë)$

Le të formulojmë ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $Z=2X+Y$. Shuma e ndryshoreve të rastësishme $X$ dhe $Y$, domethënë $X+Y$, është një variabël e rastësishme që merr të gjitha vlerat e mundshme të formës $x_i+y_j$, ku $i=1,\ 2 ,\dots,\ n$, me probabilitete $p_(ij)$ që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë vlerën $x_i$ dhe $Y$ vlerën $y_j$: $p_(ij)=P\majtas [\majtas(X=x_i\djathtas )\left(Y=y_j\djathtas)\djathtas]$. Meqenëse variablat e rastësishëm $X,\Y$ janë të pavarura, atëherë sipas teoremës së shumëzimit të probabilitetit për ngjarje të pavarura: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ djathtas)= p_i\cdot p_j$.

Pra, ai ka ligje të shpërndarjes për variablat e rastësishëm $2X$ dhe $Y$, respektivisht.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\fund (arresë)$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\fund (arresë)$

Për lehtësinë e gjetjes së të gjitha vlerave të shumës $Z=2X+Y$ dhe probabiliteteve të tyre, ne do të përpilojmë një tabelë ndihmëse, në secilën qelizë të së cilës do të vendosim në këndin e majtë vlerat e shumës $. Z=2X+Y$, dhe në këndin e djathtë - probabilitetet e këtyre vlerave janë marrë si rezultat i shumëzimit të probabiliteteve të vlerave përkatëse të variablave të rastësishëm $2X$ dhe $Y$.

Si rezultat, marrim shpërndarjen $Z=2X+Y$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\fund (arresë)$

Konceptet e varësisë dhe pavarësisë së ngjarjeve të rastësishme. Probabiliteti i kushtëzuar. Formulat për shtimin dhe shumëzimin e probabiliteteve për ngjarje të rastësishme të varura dhe të pavarura. Formula e probabilitetit total dhe formula e Bayes.

Teorema e mbledhjes së probabilitetit

Le të gjejmë probabilitetin e shumës së ngjarjeve A dhe B (duke supozuar përputhshmërinë ose papajtueshmërinë e tyre).

Teorema 2.1. Probabiliteti i shumës së një numri të kufizuar ngjarjesh të papajtueshme është i barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre:

P\(A+B+\ldots+N\)=P\(A\)+P\(B\)+\ldots+P\(N\).

Shembulli 1. Probabiliteti që një dyqan të shesë një palë këpucë për meshkuj të madhësisë 44 është 0.12; 45 - 0,04; 46 dhe më lart - 0.01. Gjeni probabilitetin që të shiten një palë këpucë për meshkuj me madhësi të paktën 44.

Zgjidhje. Ngjarja e kërkuar D do të ndodhë nëse një palë këpucë të madhësisë 44 (ngjarja A) ose madhësia 45 (ngjarja B) ose të paktën madhësia 46 (ngjarja C) shitet, pra ngjarja D është shuma e ngjarjeve A, B, C. . Ngjarjet A, B dhe C janë të papajtueshme. Prandaj, sipas teoremës së shumës së probabiliteteve, marrim

P\(D\)=P\(A+B+C\)=P\(A\)+P\(B\)+P\(C\)=0,\!12+0,\!04 +0,\!01 =0,\!17.

Shembulli 2. Në kushtet e shembullit 1, gjeni probabilitetin që palët e ardhshme të këpucëve më të vogla se madhësia 44 të shiten.

Zgjidhje. Ngjarjet "do të shitet palë këpucë më të vogla se madhësia 44" dhe "një palë këpucë jo më të vogla se madhësia 44 do të shitet" janë të kundërta. Prandaj, sipas formulës (1.2), probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes së dëshiruar

P\(\overline(D)\)=1-P\(D\)=1-0,\!17=0,\!83.

pasi P\(D\)=0,\!17 siç u gjet në shembullin 1.

Teorema 2.1 e mbledhjes së probabiliteteve është e vlefshme vetëm për ngjarje të papajtueshme. Përdorimi i tij për të gjetur probabilitetin e ngjarjeve të përbashkëta mund të çojë në përfundime të pasakta dhe ndonjëherë absurde, siç shihet qartë në shembullin e mëposhtëm. Le të vlerësohet ekzekutimi në kohë i një urdhri nga Electra Ltd me një probabilitet prej 0.7. Sa është probabiliteti që nga tre porosi kompania të përfundojë të paktën një në kohë? Ne i shënojmë ngjarjet që kompania do të përfundojë porositë e para, të dyta dhe të treta në kohë si A, B, C, përkatësisht. Nëse zbatojmë teoremën 2.1 të mbledhjes së probabiliteteve për të gjetur probabilitetin e dëshiruar, marrim P\(A+B+C\)=0,\!7+0,\!7+0,\!7=2,\!1. Probabiliteti i ngjarjes ka rezultuar të jetë më i madh se një, gjë që është e pamundur. Kjo shpjegohet me faktin se ngjarjet A, B, C janë të përbashkëta. Në të vërtetë, përmbushja në kohë e urdhrit të parë nuk përjashton përmbushjen në kohë të dy të tjerave.

Le të formulojmë një teoremë për mbledhjen e probabiliteteve në rastin e dy ngjarjeve të përbashkëta (do të merret parasysh probabiliteti i shfaqjes së tyre të përbashkët).

Teorema 2.2. Probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve të përbashkëta është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre dy ngjarjeve pa probabilitetin e shfaqjes së tyre të përbashkët:

P\(A+B\)=P\(A\)+P\(B\)-P\(AB\).

Ngjarjet e varura dhe të pavarura. Probabiliteti i kushtëzuar

Ka ngjarje të varura dhe të pavarura. Dy ngjarje quhen të pavarura nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk ndryshon probabilitetin e shfaqjes së tjetrës. Për shembull, nëse në një punishte funksionojnë dy linja automatike, të cilat nuk janë të ndërlidhura për shkak të kushteve të prodhimit, atëherë ndalesat e këtyre linjave janë ngjarje të pavarura.

Shembulli 3. Monedha hidhet dy herë. Probabiliteti i paraqitjes së “stemës” në gjyqin e parë (ngjarja A) nuk varet nga shfaqja apo mosparaqitja e “stemës” në gjykimin e dytë (ngjarja B). Nga ana tjetër, probabiliteti i shfaqjes së "stemës" në provën e dytë nuk varet nga rezultati i testit të parë. Kështu, ngjarjet A dhe B janë të pavarura.

Quhen disa ngjarje kolektivisht të pavarur, nëse ndonjëra prej tyre nuk varet nga ndonjë ngjarje tjetër dhe nga ndonjë kombinim i të tjerave.

Ngjarjet quhen i varur, nëse njëri prej tyre ndikon në probabilitetin e tjetrit. Për shembull, dy fabrika prodhuese janë të lidhura me një cikël të vetëm teknologjik. Atëherë probabiliteti i dështimit të njërit prej tyre varet nga gjendja e tjetrit. Probabiliteti i një ngjarje B, e llogaritur me supozimin e ndodhjes së një ngjarje tjetër A, quhet probabiliteti i kushtëzuar ngjarja B dhe shënohet me P\(B|A\) .

Kushti për pavarësinë e ngjarjes B nga ngjarja A shkruhet në formën P\(B|A\)=P\(B\) , dhe kushti për varësinë e saj - në formën P\(B|A\)\ne(P\(B\)). Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së probabilitetit të kushtëzuar të një ngjarjeje.

Shembulli 4. Kutia përmban 5 prerëse: dy të konsumuara dhe tre të reja. Bëhen dy ekstraktime sekuenciale të incizivëve. Përcaktoni probabilitetin e kushtëzuar që një prerës i konsumuar të shfaqet gjatë nxjerrjes së dytë, me kusht që prerësi i hequr herën e parë të mos kthehet në kuti.

Zgjidhje. Le të shënojmë me A nxjerrjen e një prerëse të konsumuar në rastin e parë dhe \overline(A) me nxjerrjen e një të reje. Pastaj P\(A\)=\frac(2)(5),~P\(\overline(A)\)=1-\frac(2)(5)=\frac(3)(5). Meqenëse prerësi i hequr nuk kthehet në kuti, raporti midis sasive të prerësve të konsumuar dhe atyre të rinj ndryshon. Rrjedhimisht, probabiliteti i heqjes së një prerës të konsumuar në rastin e dytë varet nga ngjarja që ka ndodhur para tij.

Le të shënojmë me B ngjarjen që nënkupton heqjen e prerësit të konsumuar në rastin e dytë. Probabilitetet e kësaj ngjarje mund të jenë:

P\(B|A\)=\frac(1)(4),~~~P\(B|\overline(A)\)=\frac(2)(4)=\frac(1)(2 ).

Prandaj, probabiliteti i ngjarjes B varet nëse ngjarja A ndodh apo jo.

Formulat e shumëzimit të probabilitetit

Lërini ngjarjet A dhe B të jenë të pavarura, dhe probabilitetet e këtyre ngjarjeve dihen. Le të gjejmë probabilitetin e kombinimit të ngjarjeve A dhe B.

Teorema 2.3. Probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të dy ngjarjeve të pavarura është i barabartë me produktin e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve:

P\(AB\)=P\(A\)\cdot P\(B\).

Përfundimi 2.1. Probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të disa ngjarjeve që janë të pavarura në total është i barabartë me produktin e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve:

P\(A_1A_2\ldots(A_n)\)=P\(A_1\)P\(A_2\)\ldots(P\(A_n\)).

Shembulli 5. Tre kuti përmbajnë 10 pjesë. Kutia e parë përmban 8 pjesë standarde, e dyta – 7 dhe e treta – 9. Një pjesë nxirret në mënyrë të rastësishme nga secila kuti. Gjeni probabilitetin që të tre pjesët e nxjerra të jenë standarde.

Zgjidhje. Probabiliteti që një pjesë standarde të merret nga kutia e parë (ngjarja A), P\(A\)=\frac(8)(10)=\frac(4)(5). Probabiliteti që një pjesë standarde të merret nga kutia e dytë (ngjarja B), P\(B\)=\frac(7)(10). Probabiliteti që një pjesë standarde të merret nga kutia e tretë (ngjarja C), P\(C\)=\frac(9)(10). Meqenëse ngjarjet A, B dhe C janë të pavarura në agregat, atëherë probabiliteti i dëshiruar (nga teorema e shumëzimit)

P\(ABC\)=P\(A\)P\(B\)P\(C\)=\frac(4)(5)\frac(7)(10)\frac(9)(10) =0,\!504.

Le të jenë të varura ngjarjet A dhe B, dhe probabilitetet P\(A\) dhe P\(B|A\) janë të njohura. Le të gjejmë probabilitetin e produktit të këtyre ngjarjeve, pra probabilitetin që të shfaqen edhe ngjarja A edhe ngjarja B.

Teorema 2.4. Probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të dy ngjarjeve të varura është i barabartë me produktin e probabilitetit të njërës prej tyre nga probabiliteti i kushtëzuar i tjetrës, i llogaritur nën supozimin se ngjarja e parë ka ndodhur tashmë:

P\(AB\)=P\(A\)\cdot P\(B|A\);\qquad P\(AB\)=P\(B\)\cdot P\(A|B\)

Përfundimi 2.2. Probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të disa ngjarjeve të varura është i barabartë me produktin e probabilitetit të njërës prej tyre dhe probabiliteteve të kushtëzuara të të gjitha të tjerave, dhe probabiliteti i secilës ngjarje pasuese llogaritet nën supozimin se të gjitha ngjarjet e mëparshme kanë ndodhur tashmë. .

Shembulli 6. Urna përmban 5 topa të bardhë, 4 të zinj dhe 3 blu. Çdo test konsiston në tërheqjen e një topi në mënyrë të rastësishme pa e kthyer atë në urnë. Gjeni probabilitetin që në provën e parë të shfaqet një top i bardhë (ngjarja A), një top i zi në të dytën (ngjarja B) dhe një top blu në të tretën (ngjarja C).

Zgjidhje. Probabiliteti i shfaqjes së një topi të bardhë në provën e parë P\(A\)=\frac(5)(12). Probabiliteti i shfaqjes së një topi të zi në provën e dytë, i llogaritur nën supozimin se një top i bardhë u shfaq në provën e parë, d.m.th. probabiliteti i kushtëzuar P\(B|A\)=\frac(4)(11). Probabiliteti i shfaqjes së një topi blu në provën e tretë, i llogaritur nën supozimin se një top i bardhë u shfaq në provën e parë dhe një top i zi në provën e dytë, P\(C|AB\)=\frac(3)(10). Probabiliteti i kërkuar

P\(ABC\)=P\(A\)P\(B|A\)P\(C|AB\)=\frac(5)(12)\frac(4)(11)\frac(3 ) (10).

Formula e probabilitetit total

Teorema 2.5. Nëse ngjarja A ndodh vetëm nëse ndodh një nga ngjarjet që formojnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme, atëherë probabiliteti i ngjarjes A është i barabartë me shumën e produkteve të probabiliteteve të secilës prej ngjarjeve. B_1,B_2,\ldots(B_n) ndaj probabilitetit përkatës të kushtëzuar të ngjarjes B_1,B_2,\ldots(B_n):

P\(A\)=\shuma\limits_(i=1)^(n)P\(B_i\)P\(A|B_i\).

Në këtë rast, ngjarjet B_i,~i=1,\ldots,n quhen hipoteza dhe probabilitetet P\(B_i\) quhen apriori. Kjo formulë quhet formula e probabilitetit total.

Shembulli 7. Linja e montimit merr pjesë nga tre makina. Produktiviteti i makinerive nuk është i njëjtë. Makina e parë prodhon 50% të të gjitha pjesëve, e dyta - 30%, dhe e treta - 20%. Probabiliteti i një montimi me cilësi të lartë kur përdoret një pjesë e prodhuar në makinën e parë, të dytë dhe të tretë është përkatësisht 0.98, 0.95 dhe 0.8 Përcaktoni probabilitetin që montimi të dalë nga linja e montimit.

Zgjidhje. Le të shënojmë me A ngjarjen që tregon vlefshmërinë e nyjës së montuar; B_1, B_2 dhe B_3 - ngjarje që do të thotë se pjesët janë bërë në makinën e parë, të dytë dhe të tretë, përkatësisht. Pastaj

P\(B_1\)=0,\!5;~~~~~P\(B_2\)=0,\!3;~~~~~P\(B_3\)=0,\!2;
P\(A|B_1\)=0,\!98;~~~P\(A|B_2\)=0,\!95;~~~P\(A|B_3\)=0,\!8 .

Probabiliteti i kërkuar

Formula e Bayes

Kjo formulë përdoret kur zgjidhen probleme praktike kur ngjarja A shfaqet së bashku me ndonjë nga ngjarjet B_1,B_2,\ldots(B_n), duke formuar një grup të plotë ngjarjesh, ka ndodhur dhe është e nevojshme të kryhet një rivlerësim sasior i probabiliteteve të hipotezave B_1,B_2,\ldots(B_n). Probabilitete priori (para përvojës). P\(B_1\),P\(B_2\),\ldots(P\(B_n\)) i njohur. Kërkohet të llogaritni probabilitetet e pasme (pas eksperimentit), d.m.th., në thelb, ju duhet të gjeni probabilitete të kushtëzuara P\(B_1|A\),P\(B_2|A\),\ldots(P\(B_n|A\)). Për hipotezën B_j, formula e Bayes duket si kjo:

P\(B_j|A\)=\frac(P\(B_j\) P\(A|B_j\))(P\(A\)).

Duke zgjeruar P\(A\) në këtë barazi duke përdorur formulën e probabilitetit total (2.1), marrim

P\(B_j|A\)=\dfrac(P\(B_j\)P\(A|B_j\))(\sum\limits_(i=1)^(n)P\(B_i\)P\( A|B_i\)).

Shembulli 8. Në kushtet e shembullit 7, llogaritni probabilitetet që montimi të përfshijë një pjesë të prodhuar në makinën e parë, të dytë dhe të tretë, përkatësisht, nëse montimi që del nga linja e montimit është i cilësisë së lartë.