En küçük ortak payda nedir? Ders: Kesirleri ortak bir paydaya indirgemek

Başlangıçta Kesirlerde Toplama ve Çıkarma bölümünde ortak payda tekniklerine yer vermek istedim. Ancak o kadar çok bilgi olduğu ortaya çıktı ve önemi o kadar büyük ki (sonuçta, yalnızca sayısal kesirlerin ortak paydaları yok), bu konuyu ayrı ayrı incelemek daha iyi.

Diyelim ki farklı paydalara sahip iki kesirimiz var. Ve paydaların aynı olduğundan emin olmak istiyoruz. Bir kesirin temel özelliği imdadımıza yetişiyor, size hatırlatmama izin verin, kulağa şöyle geliyor:

Bir kesrin pay ve paydası sıfır dışında aynı sayıyla çarpılırsa değişmeyecektir.

Böylece, faktörleri doğru seçerseniz kesirlerin paydaları eşitlenecektir - bu işleme ortak paydaya indirgeme denir. Ve paydaları "eşleştiren" gerekli sayılara ek faktörler denir.

Kesirleri neden ortak bir paydaya indirgememiz gerekiyor? İşte sadece birkaç neden:

1. Farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma. Bu işlemi gerçekleştirmenin başka yolu yoktur;
2. Kesirlerin karşılaştırılması. Bazen ortak bir paydaya indirgemek bu görevi büyük ölçüde basitleştirir;
3. Kesirler ve yüzdelerle ilgili problemleri çözme. Yüzdeler aslında kesir içeren sıradan ifadelerdir.

Kendileriyle çarpıldığında kesirlerin paydalarını eşitleyecek sayıları bulmanın birçok yolu vardır. Artan karmaşıklığa ve bir anlamda etkililiğe göre bunlardan yalnızca üçünü ele alacağız.

Çapraz çarpma

Paydaları eşitlemeyi garanti eden en basit ve en güvenilir yöntem. "Baştan sona" hareket edeceğiz: ilk kesri ikinci kesrin paydasıyla, ikinciyi de birincinin paydasıyla çarpıyoruz. Sonuç olarak, her iki kesrin paydaları orijinal paydaların çarpımına eşit olacaktır. Bir göz atın:

Ek faktörler olarak komşu kesirlerin paydalarını göz önünde bulundurun. Şunu elde ederiz:

Evet, bu kadar basit. Kesirleri incelemeye yeni başlıyorsanız, bu yöntemi kullanarak çalışmak daha iyidir - bu şekilde kendinizi birçok hataya karşı sigortalamış olursunuz ve sonucu alacağınız garanti edilir.

Bu yöntemin tek dezavantajı çok saymanız gerekmesidir çünkü paydalar "tamamen" çarpılır ve sonuç çok büyük sayılar olabilir. Güvenilirlik için ödenecek bedel budur.

Ortak Bölen Yöntemi

Bu teknik hesaplamaları önemli ölçüde azaltmaya yardımcı olur, ancak ne yazık ki oldukça nadiren kullanılır. Yöntem aşağıdaki gibidir:

1. Doğrudan ilerlemeden önce (yani çaprazlama yöntemini kullanarak), paydalara bir göz atın. Belki bunlardan biri (daha büyük olan) diğerine bölünmüştür.
2. Bu bölme sonucu elde edilen sayı, paydası daha küçük olan kesir için ek bir faktör olacaktır.
3. Bu durumda, paydası büyük olan bir kesrin hiçbir şeyle çarpılmasına gerek yoktur - tasarrufların olduğu yer burasıdır. Aynı zamanda hata olasılığı da keskin bir şekilde azalır.

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

84: 21 = 4'e dikkat edin; 72:12=6. Her iki durumda da bir payda diğerine kalansız bölündüğü için ortak çarpanlar yöntemini kullanıyoruz. Sahibiz:

İkinci kesrin hiçbir şeyle çarpılmadığına dikkat edin. Aslında hesaplama miktarını yarı yarıya azalttık!

Bu arada bu örnekteki kesirleri tesadüfen almadım. İlgileniyorsanız çapraz yöntemi kullanarak bunları saymayı deneyin. Azaltma sonrasında cevaplar aynı olacak, ancak çok daha fazla iş olacak.

Bu, ortak bölenler yönteminin kuvvetidir, ancak yine de yalnızca paydalardan biri diğerine kalansız bölünebildiğinde kullanılabilir. Bu oldukça nadiren olur.

En az yaygın olan çoklu yöntem

Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğimizde aslında her paydaya bölünebilen bir sayı bulmaya çalışıyoruz. Daha sonra her iki kesrin paydalarını bu sayıya getiriyoruz.

Bu tür çok sayıda sayı vardır ve bunların en küçüğünün, "çapraz-çapraz" yönteminde varsayıldığı gibi, orijinal kesirlerin paydalarının doğrudan çarpımına eşit olması gerekmez.

Örneğin, 8 ve 12 numaralı paydalar için 24 sayısı oldukça uygundur, çünkü 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Bu sayı 8 · 12 = 96 çarpımından çok daha azdır.

Paydaların her birine bölünebilen en küçük sayıya, paydaların en küçük ortak katı (LCM) adı verilir.

Gösterim: a ve b'nin en küçük ortak katı LCM(a ; b) ile gösterilir. Örneğin, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Böyle bir sayı bulmayı başarırsanız, toplam hesaplama miktarı minimum düzeyde olacaktır. Örneklere bakın:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

234 = 117 2 olduğuna dikkat edin; 351 = 117 3. Faktör 2 ve 3 eş asaldır (1'den başka ortak çarpanı yoktur) ve faktör 117 ortaktır. Dolayısıyla LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Aynı şekilde 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktör 3 ve 4 ortak asaldır ve faktör 5 ortaktır. Dolayısıyla LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Şimdi kesirleri ortak paydalara getirelim:

Orijinal paydaları çarpanlara ayırmanın ne kadar yararlı olduğuna dikkat edin:

1. Aynı çarpanları keşfettikten sonra hemen en küçük ortak kata ulaştık ki bu genel anlamda önemsiz olmayan bir sorundur;
2. Ortaya çıkan genişlemeden, her kesirde hangi faktörlerin “eksik” olduğunu öğrenebilirsiniz. Örneğin 234 · 3 = 702, dolayısıyla ilk kesir için ek çarpan 3'tür.

En az ortak çoklu yöntemin ne kadar fark yarattığını anlamak için aynı örnekleri çapraz yöntemi kullanarak hesaplamayı deneyin. Tabii ki hesap makinesi olmadan. Bundan sonra yorumların gereksiz olacağını düşünüyorum.

Gerçek örneklerde bu kadar karmaşık kesirlerin olmayacağını düşünmeyin. Her zaman buluşuyorlar ve yukarıdaki görevler sınır değil!

Tek sorun bu NOC'yi nasıl bulacağımızdır. Bazen her şey birkaç saniye içinde, kelimenin tam anlamıyla "gözle" bulunabilir, ancak genel olarak bu, ayrı bir değerlendirme gerektiren karmaşık bir hesaplama görevidir. Biz burada buna değinmeyeceğiz.

Bu yöntem, polinomun derecesi ikiden düşük değilse anlamlıdır. Bu durumda ortak faktör yalnızca birinci dereceden bir binom değil, aynı zamanda daha yüksek derecelerden de olabilir.

Ortak bir nokta bulmak için faktör Polinom açısından bir takım dönüşümlerin gerçekleştirilmesi gereklidir. Parantezlerden çıkarılabilecek en basit binom veya monom, polinomun köklerinden biri olacaktır. Açıkçası, bir polinomun serbest terimi olmadığı durumda, birinci derecede bir bilinmeyen olacaktır - 0'a eşit bir polinom.

Ortak bir faktör bulmak daha zor, serbest terimin sıfıra eşit olmadığı durumdur. Daha sonra basit seçim veya gruplandırma yöntemleri uygulanabilir. Örneğin, bir polinomun tüm kökleri rasyonel olsun ve polinomun tüm katsayıları tam sayı olsun: y^4 + 3 y³ – y² – 9 y – 18.

Serbest terimin tüm tamsayı bölenlerini yazın. Bir polinomun rasyonel kökleri varsa, o da onların arasındadır. Seçim sonucunda 2 ve -3 numaralı kökler elde edilir. Bu, bu polinomun ortak çarpanlarının (y - 2) ve (y + 3) binomları olacağı anlamına gelir.

Ortak faktoring yöntemi, çarpanlara ayırmanın bileşenlerinden biridir. Yukarıda anlatılan yöntem, en yüksek derecenin katsayısı 1 ise uygulanabilir. Aksi takdirde öncelikle bir dizi dönüşüm gerçekleştirilmelidir. Örneğin: 2y³ + 19 y² + 41 y + 15.

t = 2³·y³ formunda bir değişiklik yapın. Bunu yapmak için polinomun tüm katsayılarını 4 ile çarpın: 2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. Yerine koyduktan sonra: t³ + 19·t² + 82·t + 60. Şimdi, Ortak çarpanı bulduktan sonra yukarıdaki yöntemi uyguluyoruz.

Ayrıca ortak faktörü bulmanın etkili bir yöntemi de polinomun elemanlarıdır. Özellikle ilk yöntemin işe yaramadığı durumlarda faydalıdır; Polinomun rasyonel kökleri yoktur. Ancak gruplamalar her zaman açık değildir. Örneğin: y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 polinomunun tam sayı kökleri yoktur.

Gruplandırmayı kullanın: y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 = y^4 + 4 y³ – 2 y² + y² – 8 y – 2 = (y^4 – 2 y²) + ( 4 y³ – 8 y) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4 y + 1). Bu polinomun elemanlarının ortak faktörü (y² - 2).

Çarpma ve bölme, tıpkı toplama ve çıkarma gibi temel aritmetik işlemlerdir. Çarpma ve bölme örneklerini çözmeyi öğrenmeden, kişi yalnızca matematiğin daha karmaşık dallarını incelerken değil, aynı zamanda en sıradan günlük olaylarda bile birçok zorlukla karşılaşacaktır. Çarpma ve bölme birbiriyle yakından ilişkilidir ve bu işlemlerden birini içeren örnek ve problemlerin bilinmeyen bileşenleri, diğer işlem kullanılarak hesaplanır. Aynı zamanda örnekleri çözerken hangi nesneleri böldüğünüzün veya çoğalttığınızın kesinlikle hiçbir önemi olmadığını açıkça anlamak gerekir.

İhtiyacın olacak

• - çarpım tablosu;
• - hesap makinesi veya kağıt ve kalem.

Talimatlar

İhtiyacınız olan örneği yazın. Bilinmeyeni etiketleyin faktör x gibi. Bir örnek şuna benzeyebilir: a*x=b. Örnekte a faktörü ve b çarpımı yerine herhangi bir veya rakamı olabilir. Çarpmanın temel ilkesini unutmayın: Çarpanların yerlerini değiştirmek ürünü değiştirmez. Çok bilinmiyor faktör x kesinlikle herhangi bir yere yerleştirilebilir.

Bilinmeyeni bulmak için faktör yalnızca iki faktörün olduğu bir örnekte, ürünü bilinen sayıya bölmeniz yeterlidir faktör. Yani bu şu şekilde yapılır: x=b/a. Soyut niceliklerle işlem yapmakta zorlanıyorsanız, bu sorunu somut nesneler biçiminde hayal etmeye çalışın. Elinizde sadece elmalar var ve kaç tane yiyeceksiniz ama herkesin kaç elma alacağını bilemezsiniz. Örneğin, 5 aile üyeniz var ve 15 elma var. Her biri için amaçlanan elma sayısını x olarak belirtin. O zaman denklem şu şekilde görünecektir: 5(elmalar)*x=15(elmalar). Bilinmiyor faktör harfli denklemde olduğu gibi bulunur, yani 15 elmayı beş aile üyesine böleriz, sonunda her birinin 3 elma yediği ortaya çıkar.

Aynı şekilde bilinmeyen bulunur faktör Faktörlerin sayısı ile. Örneğin, örnek a*b*c*x*=d gibi görünüyor. Teorik olarak, şununla bulun: faktör sonraki örnektekiyle aynı şekilde mümkündür: x=d/a*b*c. Ancak bilinen faktörlerin çarpımını başka bir harfle (örneğin m) göstererek denklemi daha basit bir forma getirebilirsiniz. a, b ve c sayılarını çarparak m'nin neye eşit olduğunu bulun: m=a*b*c. O zaman tüm örnek m*x=d olarak temsil edilebilir ve bilinmeyen miktar x=d/m'ye eşit olacaktır.

Eğer biliniyorsa faktör ve çarpım kesirler olduğundan örnek, ile tamamen aynı şekilde çözülür. Ancak bu durumda eylemleri hatırlamanız gerekir. Kesirlerle çarparken pay ve paydaları çarpılır. Kesirleri bölerken, bölünenin payı bölenin paydası ile çarpılır ve bölünenin paydası bölenin payı ile çarpılır. Yani bu durumda örnek şu şekilde görünecektir: a/b*x=c/d. Bilinmeyen bir miktarı bulmak için ürünü bilinene bölmeniz gerekir. faktör. Yani, x=a/b:c/d =a*d/b*c.

Konuyla ilgili video

lütfen aklınızda bulundurun

Kesirli örnekleri çözerken, bilinen bir faktörün kesri basitçe tersine çevrilebilir ve eylem, kesirlerin çarpımı olarak gerçekleştirilebilir.

Bir polinom, tek terimlilerin toplamıdır. Bir monom, sayı veya harf olan çeşitli faktörlerin ürünüdür. Derece bilinmeyen kendisi ile kaç kez çarpıldığıdır.

Talimatlar

Daha önce yapılmadıysa lütfen sağlayın. Benzer monomlar aynı türden monomlardır, yani aynı dereceden aynı bilinmeyenlere sahip monomlardır.

Örneğin 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² polinomunu alın. Bu polinomun iki bilinmeyeni vardır: x ve y.

Benzer monomları bağlayın. Y'nin ikinci kuvveti ve x'in üçüncü kuvveti olan tek terimliler y²*x³ biçimine gelecek, y'nin dördüncü kuvveti olan tek terimliler birbirini götürecektir. y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³ çıkıyor.

Ana bilinmeyen harf olarak y'yi alın. Bilinmeyen y'nin maksimum derecesini bulun. Bu bir tek terimli y²*x³ ve buna göre derece 2'dir.

Bir sonuç çıkarın. Derece polinom 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y², x'te üçe, y'de ise ikiye eşittir.

Dereceyi bul polinom√x+5*y, y'ye göre. Y'nin maksimum derecesine, yani bire eşittir.

Dereceyi bul polinom x'te √x+5*y. Bilinmeyen x'in konumu, yani derecesinin kesirli olacağı anlamına gelir. Kök karekök olduğundan x'in kuvveti 1/2'dir.

Bir sonuç çıkarın. İçin polinom√x+5*y'nin x kuvveti 1/2 ve y kuvveti 1'dir.

Konuyla ilgili video

Cebirsel ifadelerin basitleştirilmesi, yüksek dereceli denklemlerin çözümü, türev ve entegrasyon dahil olmak üzere matematiğin birçok alanında gereklidir. Çarpanlara ayırma da dahil olmak üzere çeşitli yöntemler kullanılır. Bu yöntemi uygulamak için genel bir yöntem bulmanız ve yapmanız gerekir. faktör için parantez.

Cebirsel kesirlerle yapılan toplama ve çıkarma gibi çoğu işlem, öncelikle bu kesirlerin aynı paydalara indirilmesini gerektirir. Bu tür paydalara sıklıkla “ortak payda” da denir. Bu konuda, “cebirsel kesirlerin ortak paydası” ve “cebirsel kesirlerin en küçük ortak paydası (LCD)” kavramlarının tanımına bakacağız, ortak paydayı nokta nokta bulma algoritmasını ele alacağız ve denklemdeki çeşitli problemleri çözeceğiz. başlık.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Cebirsel kesirlerin ortak paydası

Sıradan kesirler hakkında konuşursak, ortak payda, orijinal kesirlerin paydalarından herhangi birine bölünebilen bir sayıdır. Sıradan kesirler için 1 2 Ve 5 9 36 sayısı 2 ve 9'a kalansız bölünebildiği için ortak payda olabilir.

Cebirsel kesirlerin ortak paydası da benzer şekilde belirlenir, cebirsel kesrin pay ve paydası oldukları için sayılar yerine sadece polinomlar kullanılır.

Tanım 1

Cebirsel bir kesrin ortak paydası herhangi bir kesrin paydasına bölünebilen bir polinomdur.

Aşağıda tartışılacak olan cebirsel kesirlerin özelliklerinden dolayı, standart bir polinom yerine çarpım olarak temsil edilen ortak paydaları sıklıkla ele alacağız.

Örnek 1

Çarpım olarak yazılan polinom 3 x 2 (x + 1), standart formun bir polinomuna karşılık gelir 3x3 + 3x2. Bu polinom, aşağıdakilere bölünebilmesi nedeniyle 2 x, - 3 x y x 2 ve y + 3 x + 1 cebirsel kesirlerinin ortak paydası olabilir. X, Açık x 2 ve üzerinde x+1. Polinomların bölünebilirliğine ilişkin bilgiler kaynağımızın ilgili başlığında mevcuttur.

En küçük ortak payda (LCD)

Verilen cebirsel kesirler için ortak paydaların sayısı sonsuz olabilir.

Örnek 2

Örnek olarak 1 2 x ve x + 1 x 2 + 3 kesirlerini ele alalım. Bunların ortak paydası 2 x (x 2 + 3), birlikte − 2 x (x 2 + 3), birlikte x (x 2 + 3), birlikte 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), birlikte − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, vesaire.

Problem çözerken tüm paydalar kümesi içerisinde en basit yapıya sahip olan ortak paydayı kullanarak işinizi kolaylaştırabilirsiniz. Bu paydaya genellikle en düşük ortak payda denir.

Tanım 2

Cebirsel kesirlerin en küçük ortak paydası cebirsel kesirlerin en basit şekli olan ortak paydasıdır.

Bu arada, "en düşük ortak payda" terimi genel olarak kabul edilmemektedir, bu nedenle kendimizi "ortak payda" terimiyle sınırlamak daha iyidir. İşte nedeni.

Daha önce dikkatinizi "en basit türden payda" ifadesine odaklamıştık. Bu ifadenin asıl anlamı şudur: Cebirsel kesirler probleminde en basit formun paydası, verilerin herhangi bir diğer ortak paydasını kalansız olarak bölmelidir. Bu durumda kesirlerin ortak paydası olan çarpımda çeşitli sayısal katsayılar kullanılabilir.

Örnek 3

1 2 · x ve x + 1 x 2 + 3 kesirlerini alalım. 2 · x · (x 2 + 3) biçimindeki ortak bir paydayla çalışmanın bizim için en kolayı olacağını zaten öğrenmiştik. Ayrıca bu iki kesrin ortak paydası şu şekilde olabilir: x (x 2 + 3), sayısal bir katsayı içermez. Soru, bu iki ortak paydadan hangisinin kesirlerin en küçük ortak paydası olarak kabul edildiğidir. Kesin bir cevap yok, bu nedenle basitçe ortak paydadan bahsetmek ve çalışmak için en uygun seçenekle çalışmak daha doğrudur. O halde aşağıdaki gibi ortak paydaları kullanabiliriz: x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) veya − 15 x 5 (x 2 + 3) 3, daha karmaşık bir görünüme sahip ancak onlarla işlem yapmak daha zor olabilir.

Cebirsel kesirlerin ortak paydasını bulma: eylemlerin algoritması

Ortak bir payda bulmamız gereken birkaç cebirsel kesirimiz olduğunu varsayalım. Bu sorunu çözmek için aşağıdaki eylem algoritmasını kullanabiliriz. Öncelikle orijinal kesirlerin paydalarını çarpanlarına ayırmamız gerekir. Daha sonra sırayla dahil ettiğimiz bir çalışma oluşturuyoruz:

• birinci kesirin paydasındaki tüm faktörler ve güçler;
• ikinci kesrin paydasında bulunan ancak yazılı çarpımda yer almayan veya dereceleri yetersiz olan tüm faktörler;
• üçüncü kesrin paydasındaki tüm eksik faktörler vb.

Ortaya çıkan ürün cebirsel kesirlerin ortak paydası olacaktır.

Çarpımın faktörleri olarak problem cümlesinde verilen kesirlerin tüm paydalarını alabiliriz. Ancak sonuçta elde edeceğimiz çarpan anlam olarak BOH'dan uzak olacak ve kullanımı mantıksız olacaktır.

Örnek 4

1 x 2 y, 5 x + 1 ve y - 3 x 5 y kesirlerinin ortak paydasını belirleyin.

Çözüm

Bu durumda orijinal kesirlerin paydalarını çarpanlara ayırmamıza gerek yoktur. Bu nedenle çalışmayı oluşturarak algoritmayı uygulamaya başlayacağız.

İlk kesrin paydasından çarpanı alıyoruz x 2 yıl, ikinci kesrin paydasından çarpan x+1. Ürünü alıyoruz x 2 y (x + 1).

Üçüncü kesrin paydası bize bir çarpan verebilir x 5 yıl ancak daha önce derlediğimiz ürünün zaten faktörleri var x 2 Ve sen. Bu nedenle daha fazlasını ekliyoruz x 5 − 2 = x 3. Ürünü alıyoruz x 2 y (x + 1) x 3 forma indirgenebilir x 5 y (x + 1). Bu bizim cebirsel kesirlerin NOZ'u olacak.

Cevap: x 5 · y · (x + 1) .

Şimdi cebirsel kesirlerin paydalarının tamsayı sayısal faktörler içerdiği problem örneklerine bakalım. Bu gibi durumlarda, daha önce tamsayı sayısal faktörleri basit faktörlere ayrıştırmış olan algoritmayı da takip ediyoruz.

Örnek 5

1 12 x ve 1 90 x 2 kesirlerinin ortak paydasını bulun.

Çözüm

Kesirlerin paydalarındaki sayıları asal çarpanlara bölerek 1 2 2 3 x ve 1 2 3 2 5 x 2 elde ederiz. Artık ortak bir payda oluşturmaya devam edebiliriz. Bunu yapmak için ilk kesrin paydasından ürünü alıyoruz 2 2 3x ve buna 3, 5 ve çarpanlarını ekleyin X ikinci kesrin paydasından. Aldık 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. Bu bizim ortak paydamızdır.

Cevap: 180x2.

Analiz edilen iki örneğin sonuçlarına yakından bakarsanız, kesirlerin ortak paydalarının, paydaların açılımlarında bulunan tüm faktörleri içerdiğini ve belirli bir faktörün birkaç paydada mevcut olması durumunda, o zaman alındığını fark edeceksiniz. mevcut en büyük üs ile. Paydaların tamsayı katsayıları varsa, ortak payda bu sayısal katsayıların en küçük ortak katına eşit bir sayısal faktör içerir.

Örnek 6

Hem 1 12 x hem de 1 90 x 2 cebirsel kesirlerinin paydaları bir faktöre sahiptir X. İkinci durumda, x faktörünün karesi alınır. Ortak bir payda oluşturmak için bu faktörü en geniş ölçüde ele almamız gerekiyor. x 2. Değişkenli başka çarpanlar yoktur. Orijinal kesirlerin tamsayı sayısal katsayıları 12 Ve 90 , ve bunların en küçük ortak katları 180 . İstenilen ortak paydanın şu şekilde olduğu ortaya çıktı: 180x2.

Artık cebirsel kesirlerin ortak faktörünü bulmak için başka bir algoritma yazabiliriz. Bunun için biz:

• tüm kesirlerin paydalarını çarpanlara ayırın;
• tüm harf faktörlerinin çarpımını oluştururuz (birkaç açılımda bir faktör varsa, en büyük üssü olan seçeneği alırız);
• genişletmelerin sayısal katsayılarının LCM'sini ortaya çıkan ürüne ekliyoruz.

Verilen algoritmalar eşdeğerdir, dolayısıyla herhangi biri sorunları çözmek için kullanılabilir. Detaylara dikkat etmek önemlidir.

Kesirlerin paydalarındaki ortak faktörlerin sayısal katsayıların arkasında görünmeyebileceği durumlar vardır. Burada öncelikle paydada mevcut faktörlerin her birinde parantez dışında değişkenlerin daha yüksek güçlerindeki sayısal katsayıların yerleştirilmesi tavsiye edilir.

Örnek 7

3 5 - x ve 5 - x · y 2 2 · x - 10 kesirlerinin ortak paydası nedir?

Çözüm

İlk durumda, eksi bir parantezden çıkarılmalıdır. 3 - x - 5 elde ederiz. Paydadaki eksiden kurtulmak için pay ve paydayı -1 ile çarpıyoruz: -3 x -5.

İkinci durumda, ikisini parantez dışında tutuyoruz. Bu, 5 - x · y 2 2 · x - 5 kesirini elde etmemizi sağlar.

Bu cebirsel kesirlerin - 3 x - 5 ve 5 - x · y 2 2 · x - 5'in ortak paydasının şu olduğu açıktır: 2 (x - 5).

Cevap:2 (x - 5).

Kesir problemi koşulundaki veriler kesirli katsayılara sahip olabilir. Bu durumlarda öncelikle pay ve paydayı belirli bir sayıyla çarparak kesirli katsayılardan kurtulmanız gerekir.

Örnek 8

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 ve - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 cebirsel kesirlerini basitleştirin ve ardından ortak paydalarını belirleyin.

Çözüm

Birinci durumda pay ve paydayı 14 ile, ikinci durumda ise 3 ile çarparak kesirli katsayılardan kurtulalım. Şunu elde ederiz:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 ve - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

Yapılan dönüşümlerden sonra ortak paydanın olduğu ortaya çıkıyor. 2 (x2 + 2).

Cevap: 2 (x2 + 2).

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Kesirli örnekleri çözmek için en küçük ortak paydayı bulmanız gerekir. Aşağıda ayrıntılı talimatlar bulunmaktadır.

En düşük ortak payda nasıl bulunur - kavram

En küçük ortak payda (LCD), basit bir ifadeyle, belirli bir örnekte tüm kesirlerin paydalarına bölünebilen minimum sayıdır. Başka bir deyişle En Küçük Ortak Kat (LCM) olarak adlandırılır. NOS yalnızca kesirlerin paydaları farklıysa kullanılır.

En düşük ortak payda nasıl bulunur - örnekler

NOC bulma örneklerine bakalım.

Hesaplayın: 3/5 + 2/15.

Çözüm (Eylem sırası):

• Kesirlerin paydalarına bakıyoruz, farklı olmalarına ve ifadelerin mümkün olduğunca kısaltılmış olmasına dikkat ediyoruz.
• Hem 5'e hem de 15'e bölünebilen en küçük sayıyı buluyoruz. Bu sayı 15 olacaktır. Böylece 3/5 + 2/15 = ?/15 olur.
• Paydayı bulduk. Payda ne olacak? Ek bir çarpan bunu anlamamıza yardımcı olacaktır. Ek bir faktör, NZ'nin belirli bir kesirin paydasına bölünmesiyle elde edilen sayıdır. 3/5 için ek faktör 3'tür çünkü 15/5 = 3'tür. İkinci kesir için ek faktör 1'dir çünkü 15/15 = 1'dir.
• Ek faktörü bulduktan sonra onu kesirlerin paylarıyla çarpıyoruz ve elde edilen değerleri ekliyoruz. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Cevap: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Örnekte 2 değil, 3 veya daha fazla kesir eklenir veya çıkarılırsa, o zaman BOH'un verilen kesir sayısı kadar aranması gerekir.

Hesapla: 1/2 – 5/12 + 3/6

Çözüm (eylem sırası):

• En düşük ortak paydayı bulma. 2, 12 ve 6'ya bölünebilen minimum sayı 12'dir.
• Şunu elde ederiz: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Ek çarpanlar arıyoruz. 1/2 – 6 için; 5/12 – 1 için; 3/6 – 2 için.
• Payları çarparak karşılık gelen işaretleri atarız: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.

Cevap: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.

Kesirleri en küçük ortak paydaya indirmek için şunları yapmanız gerekir: 1) verilen kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulun; bu, en düşük ortak payda olacaktır. 2) yeni paydayı her kesrin paydasına bölerek her kesir için ek bir faktör bulun. 3) her kesrin payını ve paydasını ek faktörüyle çarpın.

Örnekler. Aşağıdaki kesirleri en küçük ortak paydalarına azaltın.

Paydaların en küçük ortak katını buluyoruz: LCM(5; 4) = 20, çünkü 20 hem 5'e hem de 4'e bölünebilen en küçük sayıdır. 1. kesir için ek bir 4 çarpanı bulun (20) : 5=4). 2. kesir için ek faktör 5'tir (20 : 4=5). 1. kesrin pay ve paydasını 4 ile, 2. kesrin pay ve paydasını 5 ile çarpıyoruz. Bu kesirleri en küçük ortak paydaya indirdik ( 20 ).

8, 4'e ve kendisine bölünebildiği için bu kesirlerin en küçük ortak paydası 8'dir. 1. kesir için ek faktör olmayacak (veya bire eşit diyebiliriz), 2. kesir için ek çarpan 2 (8) : 4=2). 2. kesrin pay ve paydasını 2 ile çarpıyoruz. Bu kesirleri en küçük ortak paydaya indirdik ( 8 ).

Bu kesirler indirgenemez.

1. kesri 4, 2. kesri ise 2 azaltalım. ( sıradan kesirlerin azaltılmasına ilişkin örneklere bakın: Site Haritası → 5.4.2. Ortak kesirleri azaltma örnekleri). LOC'yi bulun(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. 1. kesrin ek çarpanı 5'tir (80 : 16=5). 2. kesrin ek çarpanı 4'tür (80 : 20=4). 1. kesrin pay ve paydasını 5 ile, 2. kesrin pay ve paydasını 4 ile çarpıyoruz. Bu kesirleri en küçük ortak paydaya ( 80 ).

En düşük ortak paydayı buluyoruz: BOH(5 ; 6 ve 15)=NOK(5 ; 6 ve 15)=30. 1. kesrin ek çarpanı 6'dır (30 : 5=6), 2. kesrin ek çarpanı 5'tir (30 : 6=5), 3. kesrin ek çarpanı 2'dir (30 : 15=2). 1. kesrin pay ve paydasını 6 ile, 2. kesrin pay ve paydasını 5 ile, 3. kesrin pay ve paydasını 2 ile çarpıyoruz. Bu kesirleri en küçük ortak paydaya indirdik ( 30 ).

Sayfa 1/1 1