Doğal sayıları, sıradan ve ondalık kesirleri çarpma yeteneğini güçlendirmek;
Pozitif ve negatif sayıları çarpmayı öğrenin;
Grup halinde çalışma yeteneğini geliştirmek,
Matematiğe merak ve ilgi geliştirmek; Bir konu hakkında düşünme ve konuşma yeteneği.
Teçhizat: Termometre ve ev modelleri, zihinsel hesaplama ve test çalışmaları için kartlar, çarpma işaretleri kurallarını içeren bir poster.
Ders ilerlemesi
Motivasyon
Öğretmen . Bugün yeni bir konuyu incelemeye başlıyoruz. Sanki yeni bir ev inşa edecekmişiz gibi. Söyle bana, bir evin sağlamlığı neye bağlıdır?
[Temelden.]
Şimdi temelimizin yani bilgimizin gücünün ne olduğuna bakalım. Sana dersin konusunu söylemedim. Kodlanmıştır, yani zihinsel hesaplama görevinde gizlenmiştir. Dikkatli ve dikkatli olun. İşte örnekler içeren kartlar. Bunları çözerek ve cevabı bir harfle eşleştirerek dersin konusunun adını öğreneceksiniz.
[ÇOĞALTMA]
Öğretmen. Yani bu kelime "çarpın". Ancak çarpma işlemine zaten aşinayız. Başka neden bunu inceleyelim ki? Son zamanlarda hangi sayılara aşina oldunuz?
[Olumlu ve olumsuz olarak.]
Bunları nasıl çoğaltacağımızı biliyor muyuz? Bu nedenle dersin konusu “Pozitif ve negatif sayıların çarpılması” olacaktır.
Örnekleri hızlı ve doğru bir şekilde çözdünüz. İyi bir temel atıldı. ( Örnek evde öğretmen« yatıyor» temel.) Evin dayanıklı olacağını düşünüyorum.
Yeni bir konu öğrenmek
Öğretmen . Şimdi duvarlar inşa edeceğiz. Zemini ve çatıyı yani eski temayı yenisine bağlarlar. Artık gruplar halinde çalışacaksınız. Her gruba birlikte çözmeleri için bir problem verilecek ve daha sonra çözümü sınıfa açıklanacaktır.
1. grup
Hava sıcaklığı her saat başı 2° düşüyor. Artık termometre sıfır dereceyi gösteriyor. 3 saat sonra hangi sıcaklığı gösterecek?
Grup kararı. Şu an sıcaklık 0 olduğuna ve her saat sıcaklık 2° düştüğüne göre, 3 saat sonra sıcaklığın –6° olacağı açıktır. Sıcaklık düşüşünü -2° ve süreyi +3 saat olarak gösterelim. O zaman (–2)·3 = –6 olduğunu varsayabiliriz.
Öğretmen . Çarpanları yeniden düzenlersem, yani 3·(–2) olursa ne olur?
Öğrenciler. Cevap aynı: –6, çarpmanın değişme özelliği kullanıldığı için.
2. grup
Hava sıcaklığı her saat başı 2° düşüyor. Artık termometre sıfır dereceyi gösteriyor. Termometre 3 saat önce hangi hava sıcaklığını gösteriyordu?
Grup kararı. Sıcaklık her saat başı 2° düştüğüne ve şu an 0 olduğuna göre 3 saat önce +6° olduğu anlaşılıyor. Sıcaklık düşüşünü –2°, geçen süreyi –3 saat olarak gösterelim. O zaman (–2)·(–3) = 6 olduğunu varsayabiliriz.
Öğretmen . Pozitif ve negatif sayıları nasıl çarpacağınızı henüz bilmiyorsunuz. Ancak bu sayıları çarpmanın gerekli olduğu sorunları çözdüler. Pozitif ve negatif sayıları veya iki negatif sayıyı çarpma kurallarını kendiniz türetmeye çalışın. ( Öğrenciler bir kural çıkarmaya çalışırlar.) İyi. Şimdi ders kitaplarımızı açalım ve pozitif ve negatif sayıları çarpma kurallarını okuyalım. Kuralınızı ders kitabında yazılanlarla karşılaştırın.
Öğretmen. Temeli oluştururken gördüğünüz gibi doğal ve kesirli sayıları çarpma konusunda hiçbir sorununuz yok. Pozitif ve negatif sayıları çarparken sorunlar ortaya çıkabilir. Neden?
Hatırlamak! Pozitif ve negatif sayıları çarparken:
1) işareti belirleyin;
2) Modüllerin çarpımını bulun.
Öğretmen . Çarpma işaretlerinin hatırlanması çok kolay olan kendi anımsatıcı kuralları vardır. Kısaca şu şekilde formüle edilirler:
(Öğrenciler not defterlerine işaret kuralını yazarlar.)
Öğretmen . Kendimizi ve dostlarımızı olumlu, düşmanlarımızı ise olumsuz düşünürsek şunu söyleyebiliriz:
Arkadaşımın arkadaşı benim arkadaşımdır.
Dostumun düşmanı benim düşmanımdır.
Düşmanımın dostu düşmanımdır.
Düşmanımın düşmanı dostumdur.
Öğrenilenlerin temel anlaşılması ve uygulanması
Tahtada sözlü çözüm örnekleri yer almaktadır. Öğrenciler kuralı okurlar:
–5.6;
–8·(–7);
9·(–3);
–45·0;
6.8.
Öğretmen . Her şey açık mı? Sorularınız mı var? Böylece duvarlar inşa edilir. ( Öğretmen duvar örüyor.) Şimdi ne inşa ediyoruz?
Konsolidasyon.
(Dört öğrenci tahtaya çağrılır.)
Öğretmen. Çatı hazır mı?
(Öğretmen örnek evin üzerine çatı koyar.)
Test çalışması
Öğrenciler çalışmayı tek bir versiyonda tamamlarlar.
İşi tamamladıktan sonra komşularıyla defter alışverişinde bulunurlar. Öğretmen doğru cevapları bildirir ve öğrenciler birbirlerini işaretler.
Ders özeti. Refleks
Öğretmen. Dersin başında hangi hedefi belirledik? Pozitif ve negatif sayıları çarpmayı öğrendiniz mi? ( Kuralları tekrarlayın.) Bu derste de gördüğünüz gibi her yeni konu, yıllar boyunca baştan sona inşa edilmesi gereken bir evdir. Aksi takdirde tüm binalarınız kısa sürede çökecektir. Bu nedenle her şey size bağlıdır. Sizlere bilgi edinmede iyi şanslar ve başarılar diliyorum.
Geri İleri
Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.
Ders hedefleri.
Ders:
- Negatif sayıları ve farklı işaretli sayıları çarpmak için bir kural formüle edin,
- Öğrencilere bu kuralın nasıl uygulanacağını öğretin.
Meta konu:
- Önerilen algoritmaya göre çalışma yeteneğini geliştirmek, eylemleriniz için bir plan hazırlamak,
- öz kontrol becerilerini geliştirin.
Kişisel:
- İletişim becerilerini geliştirmek,
- Öğrencilerin bilişsel ilgilerini oluşturmak.
Teçhizat: bilgisayar, ekran, multimedya projektörü, PowerPoint sunumu, bildiriler: kayıt kuralları tablosu, testler.
(N.Ya. Vilenkin'in Ders Kitabı “Matematik. 6. sınıf”, M: “Mnemosyne”, 2013.)
Ders ilerlemesi
I. Organizasyon anı.
Dersin konusunun öğrenciler tarafından anlatılması ve konunun defterlere kaydedilmesi.
II. Motivasyon.
2 numaralı slayt. (Dersin hedefi. Ders planı).
Bugün önemli bir aritmetik özellik olan çarpmayı incelemeye devam edeceğiz.
Doğal sayıları sözlü ve sütunlu olarak nasıl çarpacağınızı zaten biliyorsunuz.
Ondalık sayıların ve sıradan kesirlerin nasıl çarpılacağını öğrendim. Bugün negatif sayılar ve farklı işaretli sayılar için çarpma kuralını formüle etmeniz gerekecek. Ve sadece formüle etmekle kalmayın, aynı zamanda uygulamayı da öğrenin.
III. Bilginin güncellenmesi.
1) 3 numaralı slayt.
Denklemleri çözün: a) x: 1,8 = 0,15; b) y: = . (Tahtadaki öğrenci)
Sonuç: Bu tür denklemleri çözmek için farklı sayıları çarpabilmeniz gerekir.
2) Ödevlerini bağımsız olarak kontrol etmek. Ondalık sayıları, kesirleri ve karışık sayıları çarpmaya ilişkin kuralları gözden geçirin. (4 ve 5 numaralı slaytlar).
IV. Kuralın formülasyonu.
Görev 1'i düşünün (6 numaralı slayt).
Görev 2'yi düşünün (7 numaralı slayt).
Problem çözme sürecinde farklı işaretli ve negatif sayılarla sayıları çarpmak zorunda kaldık. Bu çarpıma ve sonuçlarına daha yakından bakalım.
Farklı işaretli sayıları çarptığımızda negatif bir sayı elde ederiz.
Başka bir örneğe bakalım. Çarpmayı aynı terimlerin toplamıyla değiştirerek (–2) * 3 sonucunu bulun. Benzer şekilde 3 * (–2) çarpımını bulun. (Kontrol - 8 numaralı slayt).
Sorular:
1) Farklı işaretli sayıların çarpılmasında sonucun işareti nedir?
2) Sonuç modülü nasıl elde edilir? Farklı işaretli sayıları çarpmak için bir kural oluşturuyoruz ve kuralı tablonun sol sütununa yazıyoruz. (Slayt No. 9 ve Ek 1).
Negatif sayıları ve farklı işaretli sayıları çarpma kuralı.
İki negatif sayıyı çarptığımız ikinci probleme dönelim. Böyle bir çoğalmayı başka bir şekilde açıklamak oldukça zordur.
18. yüzyılda büyük Rus bilim adamı (İsviçre doğumlu), matematikçi ve tamirci Leonhard Euler tarafından verilen açıklamayı kullanalım. (Leonard Euler yalnızca bilimsel çalışmaları geride bırakmakla kalmadı, aynı zamanda akademik spor salonu öğrencilerine yönelik matematik üzerine bir dizi ders kitabı da yazdı).
Euler sonucu kabaca şu şekilde açıkladı. (10 numaralı slayt).
–2 · 3 = – 6 olduğu açıktır. Dolayısıyla (–2) · (–3) çarpımı –6'ya eşit olamaz. Ancak 6 sayısıyla bir şekilde ilgisi olsa gerek. Geriye bir ihtimal kalıyor: (–2) · (–3) = 6.
Sorular:
1) Ürünün işareti nedir?
2) Çarpım modülü nasıl elde edildi?
Negatif sayıları çarpma kuralını formüle ediyoruz ve tablonun sağ sütununu dolduruyoruz. (Slayt No. 11).
Çarpma işleminde işaret kuralını hatırlamayı kolaylaştırmak için, onun formülasyonunu ayette kullanabilirsiniz. (Slayt No. 12).
Artı eksi ile çarpılır,
Esnemeden eksi koyuyoruz.
Eksiyi eksi ile çarpın
Yanıt olarak size bir artı vereceğiz!
V. Becerilerin oluşumu.
Bu kuralı hesaplamalara nasıl uygulayacağımızı öğrenelim. Bugün dersimizde sadece tam sayılarla ve ondalık kesirlerle hesaplamalar yapacağız.
1) Bir eylem planı hazırlamak.
Kuralın uygulanmasına yönelik bir şema hazırlanır. Notlar tahtaya yazılır. 13 numaralı slayttaki yaklaşık diyagram.
2) Plana göre eylemlerin gerçekleştirilmesi.
1121 numaralı ders kitabından çözüyoruz (b, c, i, j, p, p). Çözümü hazırlanan şemaya göre gerçekleştiriyoruz. Her örnek öğrencilerden biri tarafından açıklanmaktadır. Aynı zamanda çözüm 14 numaralı slaytta gösterilmektedir.
3) Çiftler halinde çalışın.
15 numaralı slayttaki görev.
Öğrenciler seçenekler üzerinde çalışırlar. Öncelikle 1. seçenekteki öğrenci 2. seçeneği çözer ve çözümü açıklar, 2. seçenekteki öğrenci dikkatlice dinler, yardım eder ve gerekirse düzeltir, ardından öğrenciler rol değiştirir.
İşini daha erken bitiren çiftler için ek görev: No. 1125.
Çalışmanın sonunda 15 numaralı slaytta bulunan hazır çözüm kullanılarak doğrulama yapılır (animasyon kullanılır).
1125 sayısını birçok kişi çözmeyi başarırsa, sayının işaretinin (?1) ile çarpıldığında değiştiği sonucuna varılır.
4) Psikolojik rahatlama.
5) Bağımsız çalışma.
Bağımsız çalışma - 17 numaralı slayttaki metin. Çalışmayı tamamladıktan sonra - hazır bir çözüm kullanarak kendi kendine test yapın (slayt No. 17 - animasyon, 18 numaralı slayta köprü).
VI. Çalışılan materyalin asimilasyon seviyesinin kontrol edilmesi. Refleks.
Öğrenciler sınava girerler. Aynı kağıt parçası üzerinde tabloyu doldurarak sınıfta çalışmanızı değerlendirin.
“Çarpma Kuralı”nı test edin. Seçenek 1.
1) –13 * 5
A.-75. B. – 65. V. 65. D. 650.
2) –5 * (–33)
A.165.B.-165. V. 350 G. –265.
3) –18 * (–9)
A.-162. B.180.C.162.D.172.
4) –7 * (–11) * (–1)
A.77.B.0.C.–77. G.72.
“Çarpma Kuralı”nı test edin. Seçenek 2.
A. 84. B. 74. C. –84. G.90.
2) –15 * (–6)
A. 80. B. –90. V. 60. D. 90.
A.115.B.-165. V.165.G.0.
4) –6 * (–12) * (–1)
A.60.B.-72. V.72.G.54.
VII. Ev ödevi.
Madde 35, kurallar, Sayı: 1143 (a – h), Sayı: 1145 (c).
Edebiyat.
1) Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. “Matematik 6. Genel eğitim kurumları için ders kitabı”, - M: “Mnemosyne”, 2013.
2) Chesnokov A.S., Neshkov K.I. “6. sınıf için matematikte didaktik materyaller”, M: “Prosveshchenie”, 2013.
3) Nikolsky S.M. ve diğerleri “Aritmetik 6”: eğitim kurumları için ders kitabı, M: “Prosveshchenie”, 2010.
4) Ershova A.P., Goloborodko V.V. “6. sınıf için matematikte bağımsız ve test çalışması.” M: “Ilexa”, 2010.
5) “Yaratıcılık için 365 görev”, G. Golubkova, M: “AST-PRESS”, 2006 tarafından derlenmiştir.
6) “Büyük Cyril ve Methodius Ansiklopedisi 2010”, 3 CD.
Bu yazıda ele alacağız sayıları farklı işaretlerle çarpma. Burada öncelikle pozitif ve negatif sayıları çarpma kuralını formüle edeceğiz, bunu gerekçelendireceğiz ve ardından örnekleri çözerken bu kuralın uygulanmasını ele alacağız.
Sayfada gezinme.
Farklı işaretli sayıları çarpma kuralı
Pozitif bir sayının negatif bir sayıyla ve negatif bir sayının pozitif bir sayıyla çarpılması şu şekilde gerçekleştirilir: farklı işaretli sayıları çarpma kuralı: Farklı işaretli sayıları çarpmak için çarpmanız ve ortaya çıkan çarpımın önüne eksi işareti koymanız gerekir.
Bu kuralı harf şeklinde yazalım. Herhangi bir pozitif gerçek sayı a ve herhangi bir negatif gerçek sayı −b için aşağıdaki eşitlik geçerlidir: a·(−b)=−(|a|·|b|) ve ayrıca negatif bir −a sayısı ve pozitif bir b sayısı için eşitlik (−a)·b=−(|a|·|b|) .
Sayıları farklı işaretlerle çarpma kuralı tamamen tutarlıdır. Gerçek sayılarla işlemlerin özellikleri. Aslında, bunlara dayanarak, gerçek ve pozitif a ve b sayıları için formdaki bir eşitlikler zincirinin olduğunu göstermek kolaydır. a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, bu a·(−b) ve a·b'nin zıt sayılar olduğunu kanıtlar, bu da a·(−b)=−(a·b) eşitliğini ima eder. Ve bundan söz konusu çarpma kuralının geçerliliği çıkar.
Belirtmek gerekir ki, farklı işaretli sayıların çarpımı konusunda belirtilen kural hem reel sayılar hem de rasyonel sayılar ve tam sayılar için geçerlidir. Bu, rasyonel ve tamsayı sayılarla yapılan işlemlerin yukarıdaki ispatta kullanılanlarla aynı özelliklere sahip olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır.
Ortaya çıkan kurala göre farklı işaretlere sahip sayıları çarpmanın, pozitif sayıları çarpmak anlamına geldiği açıktır.
Sayıları farklı işaretlerle çarparken yalnızca demonte çarpma kuralının uygulanmasına ilişkin örnekleri dikkate almak kalır.
Sayıları farklı işaretlerle çarpma örnekleri
Birkaç çözüme bakalım farklı işaretli sayıların çarpımına örnekler. Hesaplama karmaşıklığından ziyade kuralın adımlarına odaklanmak için basit bir durumla başlayalım.
Negatif sayı −4'ü pozitif sayı 5 ile çarpın.
Farklı işaretli sayıların çarpımı kuralına göre öncelikle orijinal çarpanların mutlak değerlerini çarpmamız gerekiyor. −4'ün modülü 4'tür ve 5'in modülü 5'tir ve 4 ile 5 doğal sayılarının çarpılması 20'yi verir. Son olarak ortaya çıkan sayının önüne eksi işareti koymak kalıyor, elimizde -20 var. Bu çarpma işlemini tamamlar.
Çözüm kısaca şu şekilde yazılabilir: (−4) 5=−(4 5)=−20.
(−4)·5=−20.
Kesirleri farklı işaretlerle çarparken, sıradan kesirleri çarpmanız, ondalık sayıları ve bunların kombinasyonlarını doğal ve karışık sayılarla çarpmanız gerekir.
0, (2) ve farklı işaretlere sahip sayıları çarpın.
Periyodik bir ondalık kesirin sıradan bir kesir haline dönüştürülmesini gerçekleştirdikten ve ayrıca karışık bir sayıdan uygunsuz bir kesire geçişi gerçekleştirdikten sonra, orijinal üründen farklı form işaretlerine sahip sıradan kesirlerin ürününe geleceğiz. . Bu çarpım, sayıları farklı işaretlerle çarpma kuralına eşittir. Geriye kalan tek şey parantez içindeki sıradan kesirleri çarpmak, 
.
.
Ayrı olarak, faktörlerden biri veya her ikisi birden olduğunda, farklı işaretlere sahip sayıların çarpımından bahsetmeye değer.
Şimdi ilgilenelim çarpma ve bölme.
Diyelim ki +3'ü -4 ile çarpmamız gerekiyor. Bu nasıl yapılır?
Böyle bir durumu ele alalım. Üç kişi borçlandı ve her birinin 4 dolar borcu vardı. Toplam borç ne kadar? Bunu bulmak için üç borcun hepsini toplamanız gerekir: 4 dolar + 4 dolar + 4 dolar = 12 dolar. Üç sayının toplamı olan 4'ün 3x4 olarak ifade edilmesine karar verdik. Bu durumda borçtan bahsettiğimiz için 4’ün önünde “-” işareti bulunmaktadır. Toplam borcun 12 dolar olduğunu biliyoruz, dolayısıyla sorunumuz artık 3x(-4)=-12 oluyor.
Soruna göre dört kişiden her birinin 3 dolar borcu varsa aynı sonucu elde ederiz. Yani (+4)x(-3)=-12. Ve faktörlerin sırası önemli olmadığı için (-4)x(+3)=-12 ve (+4)x(-3)=-12 elde ederiz.
Sonuçları özetleyelim. Bir pozitif sayı ile bir negatif sayıyı çarptığınızda sonuç her zaman negatif bir sayı olacaktır. Cevabın sayısal değeri pozitif sayılarla aynı olacaktır. Çarpım (+4)x(+3)=+12. “-” işaretinin varlığı yalnızca işareti etkiler, sayısal değeri etkilemez.
İki negatif sayı nasıl çarpılır?
Ne yazık ki bu konuda gerçek hayattan uygun bir örnek bulmak çok zor. 3 ya da 4 dolarlık bir borcu hayal etmek kolay ama -4 ya da -3 kişinin borçlandığını hayal etmek kesinlikle imkansızdır.
Belki farklı bir yola gideceğiz. Çarpma işleminde çarpanlardan birinin işareti değiştiğinde çarpımın işareti de değişir. Her iki faktörün işaretini değiştirirsek iki kez değiştirmeliyiz iş işareti, önce pozitiften negatife, sonra tam tersi, negatiften pozitife, yani ürünün bir başlangıç işareti olacaktır.
Dolayısıyla (-3) x (-4) = +12 olması biraz tuhaf da olsa oldukça mantıklıdır.
İşaret konumuçarpıldığında şu şekilde değişir:
- pozitif sayı x pozitif sayı = pozitif sayı;
- negatif sayı x pozitif sayı = negatif sayı;
- pozitif sayı x negatif sayı = negatif sayı;
- negatif sayı x negatif sayı = pozitif sayı.
Başka bir deyişle, işaretli iki sayıyı çarparsak pozitif bir sayı elde ederiz. İki sayıyı farklı işaretlerle çarparsak negatif bir sayı elde ederiz.
Aynı kural çarpma işleminin tersi olan eylem için de geçerlidir - for.
Bunu çalıştırarak kolayca doğrulayabilirsiniz. ters çarpma işlemleri. Yukarıdaki örneklerin her birinde, bölümü bölenle çarparsanız bölüneni elde edersiniz ve aynı işarete sahip olduğundan emin olursunuz, örneğin (-3)x(-4)=(+12).
Kış geldiğine göre, buzda kaymamak ve kış yollarında kendinizi güvende hissetmek için demir atınızın nallarını neyle değiştireceğinizi düşünmenin zamanı geldi. Örneğin, Yokohama lastiklerini web sitesinden satın alabilirsiniz: mvo.ru veya başkaları, asıl mesele yüksek kalitede olmalarıdır, daha fazla bilgi ve fiyatları Mvo.ru web sitesinde bulabilirsiniz.
Bu makalede ayrıntılı bir genel bakış sunulmaktadır sayıları farklı işaretlerle bölme. Öncelikle farklı işaretli sayıların bölme kuralı verilmiştir. Aşağıda pozitif sayıları negatife ve negatif sayıları pozitife bölme örnekleri verilmiştir.
Sayfada gezinme.
Farklı işaretli sayıları bölme kuralı
Tam sayıların bölünmesi makalesinde farklı işaretli tam sayıları bölme kuralı elde edilmiştir. Yukarıdaki makaledeki tüm akıl yürütmeler tekrarlanarak hem rasyonel sayılara hem de gerçek sayılara genişletilebilir.
Bu yüzden, farklı işaretli sayıları bölme kuralı aşağıdaki formülasyona sahiptir: pozitif bir sayıyı negatife veya negatif bir sayıyı pozitife bölmek için, temettüyü bölenin modülüne bölmeniz ve ortaya çıkan sayının önüne bir eksi işareti koymanız gerekir.
Bu bölme kuralını harfleri kullanarak yazalım. a ve b sayıları farklı işaretlere sahipse formül geçerlidir a:b=−|a|:|b| .
Belirtilen kuraldan, sayıları farklı işaretlere bölmenin sonucunun negatif bir sayı olduğu açıktır. Nitekim bölenin modülü ve bölenin modülü pozitif sayılar olduğundan, bunların bölümü pozitif bir sayıdır ve eksi işareti bu sayıyı negatif yapar.
Dikkate alınan kuralın, farklı işaretlere sahip sayıların bölünmesini pozitif sayıların bölünmesine indirgediğine dikkat edin.
Sayıları farklı işaretlerle bölme kuralının başka bir formülasyonunu verebilirsiniz: a sayısını b sayısına bölmek için, a sayısını b sayısının tersi olan b −1 sayısıyla çarpmanız gerekir. Yani, a:b=a b −1 .
Bu kural, tam sayılar kümesinin ötesine geçmenin mümkün olduğu durumlarda kullanılabilir (çünkü her tam sayının tersi yoktur). Başka bir deyişle, rasyonel sayılar kümesi için geçerli olduğu gibi reel sayılar kümesi için de geçerlidir.
Sayıları farklı işaretlerle bölmeye ilişkin bu kuralın, bölmeden çarpmaya geçmenize olanak sağladığı açıktır.
Negatif sayıları bölerken de aynı kural kullanılır.
Örnekleri çözerken sayıları farklı işaretlere bölmek için bu kuralın nasıl uygulandığını dikkate almaya devam ediyoruz.
Sayıları farklı işaretlerle bölme örnekleri
Çeşitli karakteristiklerin çözümlerini ele alalım sayıları farklı işaretlerle bölme örnekleriÖnceki paragrafta yer alan kuralları uygulama ilkesini anlamak.
Negatif sayı −35'i pozitif sayı 7'ye bölün.
Farklı işaretli sayıları bölme kuralı, öncelikle bölenin ve bölenin modüllerinin bulunmasını gerektirir. −35'in modülü 35 ve 7'nin modülü 7'dir. Şimdi bölenin modülünü bölenin modülüne bölmemiz gerekiyor yani 35'i 7'ye bölmemiz gerekiyor. Doğal sayılarda bölme işleminin nasıl yapıldığını hatırlarsak 35:7=5 elde ederiz. Farklı işaretli sayıları bölme kuralında kalan son adım, ortaya çıkan sayının önüne eksi koymaktır, elimizde -5 olur.
İşte çözümün tamamı: .
Sayıları farklı işaretlerle bölme kuralının farklı bir formülasyonundan yola çıkmak mümkündü. Bu durumda öncelikle 7 böleninin tersini buluruz. Bu sayı 1/7'nin ortak kesridir. Böylece, . Sayıları farklı işaretlerle çarpmaya devam ediyor: . Açıkçası aynı sonuca ulaştık.
(−35):7=−5 .
8:(−60) bölümünü hesaplayın.
Farklı işaretli sayıları bölme kuralına göre, 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60)
. Ortaya çıkan ifade, negatif sıradan bir kesire karşılık gelir (bölme işaretine kesir çubuğu olarak bakın), kesri 4'e kadar azaltabilirsiniz, şunu elde ederiz: 
.
Çözümün tamamını kısaca yazalım: .
.
Kesirli rasyonel sayıları farklı işaretlerle bölerken, bunların bölenleri ve bölenleri genellikle sıradan kesirler olarak temsil edilir. Bunun nedeni, başka gösterimlerdeki (örneğin ondalık sayılarla) sayılarla bölme işleminin her zaman uygun olmamasıdır.
Bölünmenin modülü eşittir ve bölenin modülü 0,(23)'tür. Temettü modülünü bölenin modülüne bölmek için sıradan kesirlere geçelim.
Görev 1. Bir nokta düz bir çizgide soldan sağa 4 dm hızla hareket ediyor. saniyede bir hareket ediyor ve şu anda A noktasından geçiyor. 5 saniye sonra hareket noktası nerede olacak?
Noktanın 20 dm'de olacağını anlamak zor değil. A'nın sağına. Bu problemin çözümünü göreli sayıları kullanarak yazalım. Bunu yapmak için aşağıdaki semboller üzerinde anlaşıyoruz:
1) sağa doğru hız + işaretiyle ve sola doğru – işaretiyle gösterilecektir, 2) hareket noktasının A'dan sağa olan mesafesi + işaretiyle ve sola doğru ise - işaretiyle gösterilecektir. işareti –, 3) + işareti ile şimdiki andan sonraki ve – işareti ile şimdiki andan önceki zaman dilimi. Problemimizde şu sayılar verilmiştir: Hız = + 4 dm. saniyede, zaman = + 5 saniye ve aritmetik olarak hesapladığımız gibi, hareket eden noktanın A'dan 5 saniye sonra uzaklığını ifade eden + 20 dm. sayısı ortaya çıktı. Problemin anlamına bakıldığında çarpma işlemiyle ilgili olduğunu görüyoruz. Bu nedenle sorunun çözümünü yazmak uygundur:
(+ 4) ∙ (+ 5) = + 20.
Görev 2. Bir nokta düz bir çizgide soldan sağa 4 dm hızla hareket ediyor. saniyede bir hareket ediyor ve şu anda A noktasından geçiyor. Bu nokta 5 saniye önce neredeydi?
Cevap açık: Nokta A'nın solunda 20 dm uzaklıktaydı.
İşaretlerle ilgili koşullara göre çözüm uygundur ve sorunun anlamının değişmediğini akılda tutarak şöyle yazın:
(+ 4) ∙ (– 5) = – 20.
Görev 3. Bir nokta sağdan sola doğru 4 dm hızla hareket ediyor. saniyede bir hareket ediyor ve şu anda A noktasından geçiyor. Hareket noktası 5 saniye sonra nerede olacak?
Cevap açık: 20 dm. A'nın soluna. Dolayısıyla işaretlerle ilgili aynı şartlara göre bu problemin çözümünü şu şekilde yazabiliriz:
(– 4) ∙ (+ 5) = – 20.
Görev 4. Nokta düz bir çizgide sağdan sola 4 dm hızla hareket ediyor. saniyede bir hareket ediyor ve şu anda A noktasından geçiyor. Hareket eden nokta 5 saniye önce neredeydi?
Cevap açık: 20 dm mesafede. A’nın sağına. Dolayısıyla bu problemin çözümü şu şekilde yazılmalıdır:
(– 4) ∙ (– 5) = + 20.
Ele alınan problemler, çarpma eyleminin göreli sayılara nasıl genişletilmesi gerektiğini göstermektedir. Problemlerde sayıların tüm olası işaret kombinasyonlarıyla çarpıldığı 4 durum var:
1) (+ 4) ∙ (+ 5) = + 20;
2) (+ 4) ∙ (– 5) = – 20;
3) (– 4) ∙ (+ 5) = – 20;
4) (– 4) ∙ (– 5) = + 20.
Her dört durumda da bu sayıların mutlak değerleri çarpılmalı; faktörler aynı işaretlere sahip olduğunda çarpım + işaretine sahip olmalıdır (1. ve 4. durumlar) ve işaret – faktörler farklı işaretlere sahip olduğunda(durum 2 ve 3).
Bundan, çarpanın ve çarpanın yeniden düzenlenmesiyle çarpımın değişmediğini görüyoruz.
Egzersizler.
Toplama, çıkarma ve çarpmayı içeren bir hesaplama örneği yapalım.
Eylem sırasını karıştırmamak için formüle dikkat edelim.
Burada iki sayı çiftinin çarpımlarının toplamı yazılır: bu nedenle önce a sayısını b sayısıyla çarpmanız, ardından c sayısını d sayısıyla çarpmanız ve ardından elde edilen çarpımları eklemeniz gerekir. Ayrıca Denk.
Önce b sayısını c ile çarpmanız ve ardından elde edilen ürünü a'dan çıkarmanız gerekir.
A ve b sayılarının çarpımını c ile eklemek ve elde edilen toplamı d ile çarpmak gerekirse, şu yazılmalıdır: (ab + c)d (ab + cd formülüyle karşılaştırın).
a ve b sayıları arasındaki farkı c ile çarpmak zorunda kalsaydık (a – b)c yazardık (a – bc formülüyle karşılaştırın).
Bu nedenle, genel olarak, eylemlerin sırası parantezlerle gösterilmiyorsa, önce çarpma, sonra toplama veya çıkarma yapmamız gerektiğini belirleyelim.
İfademizi hesaplamaya başlayalım: önce tüm küçük parantezlerin içine yazılan toplamaları yapalım, şunu elde ederiz:
Şimdi köşeli parantezlerin içinde çarpma işlemini yapmamız ve ardından elde edilen sonucu şu sayıdan çıkarmamız gerekiyor:
Şimdi parantez içindeki işlemleri gerçekleştirelim: önce çarpma, sonra çıkarma:
Şimdi geriye kalan tek şey çarpma ve çıkarma işlemini gerçekleştirmek:
16. Çeşitli faktörlerin ürünü. Bulmak gerekli olsun
(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5).
Burada ilk sayıyı ikinciyle, elde edilen ürünü 3'le vb. çarpmanız gerekir. Bir öncekine dayanarak tüm sayıların mutlak değerlerinin kendi aralarında çarpılması gerektiğini tespit etmek zor değildir.
Tüm faktörler olumluysa, önceki faktöre dayanarak ürünün aynı zamanda + işaretine sahip olması gerektiğini de buluruz. Herhangi bir faktör olumsuz olsaydı
örneğin, (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) ∙ (–1) ∙ (+5) ∙ (+6),
o zaman kendisinden önceki tüm faktörlerin çarpımı bir + işareti verecektir (örneğimizde (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) = +24, elde edilen çarpımın negatif bir sayı ile çarpılmasından (örneğimizde + 24 çarpı –1) yeni çarpım – işaretine sahip olacaktır; bunu bir sonraki pozitif faktörle çarptığımızda (örneğimizde –24 ile +5), diğer tüm faktörlerin pozitif olduğu varsayıldığından yine negatif bir sayı elde ederiz; ürünün işareti artık değişemez.
Eğer iki negatif faktör olsaydı, yukarıdaki gibi mantık yürütürsek, ilk başta, ilk negatif faktöre ulaşana kadar, onu ilk negatif faktörle çarparak sonucun pozitif olacağını, yeni çarpımın şu şekilde olacağını bulurduk; negatif olur ve ikinci negatif faktöre ulaşana kadar da öyle kalır; Daha sonra negatif bir sayıyı negatif bir sayıyla çarparak yeni sonuç pozitif olacaktır ve geri kalan faktörler pozitifse gelecekte de bu böyle kalacaktır.
Eğer üçüncü bir negatif faktör olsaydı, bu üçüncü negatif faktörle çarpıldığında elde edilen pozitif sonuç negatif olurdu; diğer faktörlerin tümü olumlu olsaydı, bu böyle kalacaktı. Ancak dördüncü bir negatif faktör varsa, onunla çarpmak sonucu pozitif yapar. Aynı mantıkla düşünürsek genel olarak şunu buluyoruz:
Birkaç faktörün çarpımının işaretini bulmak için, bu faktörlerden kaçının negatif olduğuna bakmanız gerekir: eğer hiç yoksa veya çift sayı varsa, o zaman çarpım pozitiftir; negatif faktörlerin sayısı tek ise ürün negatiftir.
Artık bunu kolayca öğrenebiliriz
(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5) = +4200.
(+3) ∙ (–2) ∙ (+7) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–1) = –630.
Artık ürünün işaretinin ve mutlak değerinin faktörlerin sırasına bağlı olmadığını görmek kolaydır.
Kesirli sayılarla uğraşırken çarpımı hemen bulmak uygundur:
Bu kullanışlıdır çünkü önceden elde edilen kesirli ifade mümkün olduğu kadar azaltıldığı için gereksiz çarpma işlemleri yapmanıza gerek kalmaz.
Bu yazımızda negatif sayıları çarpma kuralını formüle edeceğiz ve bunun için bir açıklama yapacağız. Negatif sayıları çarpma işlemi ayrıntılı olarak tartışılacaktır. Örnekler tüm olası durumları göstermektedir.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Negatif Sayılarla Çarpma
Tanım 1Negatif sayıları çarpma kuralı iki negatif sayıyı çarpmak için modüllerini çarpmak gerektiğidir. Bu kural şu şekilde yazılmıştır: herhangi bir negatif sayı için – a, - b, bu eşitlik doğru kabul edilir.
(- a) · (- b) = a · b.
Yukarıda iki negatif sayının çarpılması kuralı verilmiştir. Buna dayanarak şu ifadeyi kanıtlarız: (- a) · (- b) = a · b. Sayıları farklı işaretlerle çarpma makalesi, (- a) · b = - a · b gibi a · (- b) = - a · b eşitliklerinin geçerli olduğunu söylüyor. Bu, eşitliklerin aşağıdaki gibi yazılacağı zıt sayıların özelliğinden kaynaklanmaktadır:
(- a) · (- b) = (- a · (- b)) = - (- (a · b)) = a · b.
Negatif sayıları çarpma kuralının kanıtını burada açıkça görebilirsiniz. Örneklere göre iki negatif sayının çarpımının pozitif bir sayı olduğu açıktır. Sayıların modülleri çarpıldığında sonuç her zaman pozitif bir sayıdır.
Bu kural reel sayıların, rasyonel sayıların ve tam sayıların çarpılmasında geçerlidir.
Şimdi iki negatif sayının çarpılmasıyla ilgili örneklere detaylı olarak bakalım. Hesaplarken yukarıda yazılan kuralı kullanmalısınız.
Örnek 1
-3 ve -5 sayılarını çarpın.
Çözüm.
Çarpan iki sayının mutlak değeri 3 ve 5 pozitif sayılarına eşittir. Ürünleri 15 ile sonuçlanır. Verilen sayıların çarpımı 15'tir
Negatif sayıların çarpımını kısaca yazalım:
(- 3) · (- 5) = 3 · 5 = 15
Cevap: (- 3) · (- 5) = 15.
Negatif rasyonel sayıları çarparken, tartışılan kuralı kullanarak kesirleri çarpmak, karışık sayıları çarpmak, ondalık sayıları çarpmak için harekete geçebilirsiniz.
Örnek 2
(- 0 , 125) · (- 6) çarpımını hesaplayın.
Çözüm.
Negatif sayıları çarpma kuralını kullanarak (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 sonucunu elde ederiz. Sonucu elde etmek için ondalık kesri doğal sütun sayısıyla çarpmanız gerekir. Şuna benziyor:
İfadenin (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75 formunu alacağını bulduk.
Cevap: (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.
Faktörlerin irrasyonel sayılar olması durumunda çarpımları sayısal ifade olarak yazılabilir. Değer yalnızca gerektiğinde hesaplanır.
Örnek 3
Negatif - 2'yi negatif olmayan log 5 1 3 ile çarpmak gerekir.
Çözüm
Verilen sayıların modüllerini bulma:
2 = 2 ve log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3.
Negatif sayıları çarpma kurallarından yola çıkarak şu sonucu elde ederiz: - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Bu ifade cevaptır.
Cevap: - 2 · günlük 5 1 3 = - 2 · günlük 5 3 = 2 · günlük 5 3 .
Konuyu incelemeye devam etmek için gerçek sayıların çarpılmasıyla ilgili bölümü tekrarlamalısınız.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
