МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

2.1. Постановка задачи

Детерминированные модели описывают процессы в детерминированных системах.

Детерминированные системы характеризуются однозначным соответствием (соотношением) между входными и выходными сигналами (процессами).

Если задан входной сигнал такой системы, известны ее характеристикаy = F(x), а также ее состояние в начальный момент времени, то значение сигнала на выходе системы в любой момент времени определяется однозначно (рис. 2.1).

Существует два подхода к исследованию физических систем: детерминированный и стохастический.

Детерминированный подход основан на применении детерминированной математической модели физической системы.

Стохастический подход подразумевает использование стохастической математической модели физической системы.

Стохастическая математическая модель наиболее адекватно (достоверно) отображает физические процессы в реальной системе, функцио-нирующей в условиях влияния внешних и внутренних случайных факторов (шумов).

2.2. Случайные факторы (шумы)

Внутренние факторы −

1) температурная и временная нестабильность электронныхкомпонентов;

2) нестабильность питающего напряжения;

3) шум квантования в цифровых системах;

4) шумы в полупроводниковых приборах в результате неравномерности процессов генерации и рекомбинации основных носителей заряда;

5) тепловой шум в проводниках за счет теплового хаотического движения носителей заряда;

6) дробовой шум в полупроводниках, обусловленный случайным характером процесса преодоления носителями потенциального барьера;

7) фликкер – шум, обусловленный медленными случайными флуктуациями физико-химического состояния отдельных областей материалов электронных устройств и т. д.

Внешние факторы –

1) внешние электрические и магнитные поля;

2) электромагнитные бури;

3) помехи, связанные с работой промышленности и транспорта;

4) вибрации;

5) влияние космических лучей, тепловое излучение окружающих объектов;

6) колебания температуры, давления, влажности воздуха;

7) запыленность воздуха и т. д.

Влияние (наличие) случайных факторов приводит к одной из ситуаций, приведенных на рис. 2.2:

Следовательно, предположение о детерминированном характере физической системы и описание ее детерминированной математической моделью являетсяидеализацией реальной системы. Фактически имеем ситуацию, изображенную на рис. 2.3.

Детерминированная модель допустима в следующих случаях:

1) влияние случайных факторов столь незначительно, что пренебрежение ими не приведет к ощутимому искажению результатов моделирования.

2) детерминированная математическая модель отображает реальные физические процессы в усредненном смысле.

В тех задачах, где не требуется высокой точности результатов моделирования, предпочтение отдается детерминированной модели. Это объясняется тем, что реализация и анализ детерминированной математической модели много проще, чем стохастической.

Детерминированная модель недопустима в следующих ситуациях: случайные процессы ω(t) соизмеримы с детерминированными x(t). Результаты, полученные с помощью детерминированной математической модели, будут неадекватными реальным процессам. Это относится к системам радиолокации, к системам наведения и управления летательными аппаратами, к системам связи, телевидению, к системам навигации, к любым системам, работающим со слабыми сигналами, в электронных устройствах контроля, в прецизионных измерительных устройствах и т. д.

В математическом моделировании случайный процесс часто рассматривают как случайную функцию времени, мгновенные значения которой являются случайными величинами.

2.3. Суть стохастической модели

Стохастическая математическая модель устанавливает вероятностные соотношения между входом и выходом системы . Такая модель позволяет сделать статистические выводы о некоторых вероятностных характеристиках исследуемого процесса y(t):

1) математическое ожидание (среднее значение):

2) дисперсия (мера рассеивания значений случайного процесса y(t) относительно его среднего значения):

3) среднее квадратичное отклонение:

(2.3)

4) корреляционная функция (характеризует степень зависимости – корреляции – между значениями процесса y(t), отстоящими друг от друга на время τ):

5) спектральная плотность случайного процесса y(t) описывает его частотные свойства:

(2.5)

преобразование Фурье.

Стохастическаямодель формируется на основе стохастического дифференциального либо стохастического разностного уравнения.

Различают три типа стохастических дифференциальных уравнений: со случайными параметрами, со случайными начальными условиями, со случайным входным процессом (случайной правой частью). Приведем пример стохастического дифференциального уравнения третьего типа:

, (2.6)

где
– аддитивный случайный процесс – входной шум.

В нелинейных системах присутствуют мультипликативные шумы .

Анализ стохастических моделей требует использования довольно сложного математического аппарата, особенно для нелинейных систем.

2.4. Понятие типовой модели случайного процесса. Нормальный (гауссовский) случайный процесс

При разработке стохастической модели важное значение имеет определение характера случайного процесса
. Случайный процесс может быть описан набором (последовательностью) функций распределения – одномерной, двумерной, … , n-мерной или соответствующими плотностями распределения вероятности. В большинстве практических задач ограничиваются определением одномерного и двумерного законов распределения.

В некоторых задачах характер распределения
априорно известен.

В большинстве случаев, когда случайный процесс
представляет собой результат воздействия на физическую систему совокупности значительного числа независимых случайных факторов, полагают, что
обладает свойствами нормального (гауссовского) закона распределения . В этом случае говорят, что случайный процесс
заменяется его типовой моделью – гауссовским случайным процессом. Одномерная плотность распределения вероятности нормального (гауссовского)случайного процесса приведена на рис. 2.4.

Нормальное (гауссовское) распределение случайного процесса обладает следующими свойствами .

1. Значительное количество случайных процессов в природе подчиняются нормальному (гауссовскому) закону распределения.

2. Возможность достаточно строго определить (доказать) нормальный характер случайного процесса.

3. При воздействии на физическую систему совокупности случайных факторов с различными законами распределения их суммарный эффект подчиняется нормальному закону распределения (центральная предельная теорема ).

4. При прохождении через линейную систему нормальный процесс сохраняет свои свойства в отличие от других случайных процессов.

5. Гауссовский случайный процесс может быть полностью описан с помощью двух характеристик – математического ожидания и дисперсии.

Впроцессе моделирования часто возникает задача –определить характер распределения некоторой случайной величины x по результатам её многократных измерений (наблюдений)
.Для этого составляют гистограмму – ступенчатый график, позволяющий по результатам измерения случайной величины оценить её плотность распределения вероятности.

При построении гистограммы диапазон значений случайной величины
разбивают на некоторое количество интервалов, а затем подсчитывают частоту (процент) попадания данных в каждый интервал. Таким образом, гистограмма отображает частоту попадания значений случайной величины в каждый из интервалов. Если аппроксимировать построенную гистограмму непрерывной аналитической функцией, то эта функция может рассматриваться как статистическая оценка неизвестной теоретической плотности распределения вероятности.

При формировании непрерывных стохастических моделей используется понятие «случайный процесс». Разработчики разностных стохастических моделей оперируют понятием «случайная последовательность».

Особую роль в теории стохастического моделирования играют марковские случайные последовательности. Для них справедливо следующее соотношение для условной плотности вероятности:

Из него следует, что вероятностный закон, описывающий поведение процесса в момент времени , зависит только от предыдущего состояния процесса в момент времени
и абсолютно не зависит от его поведения в прошлом (т. е. в моменты времени
).

Перечисленные выше внутренние и внешние случайные факторы (шумы) представляют собой случайные процессы различных классов. Другими примерами случайных процессов являются турбулентные течения жидкостей и газов, изменение нагрузки энергосистемы, питающей большое количество потребителей, распространение радиоволн при наличии случайных замираний радиосигналов, изменение координат частицы в броуновском движении, процессы отказов аппаратуры, поступления заявок на обслуживание, распределение числа частиц в малом объеме коллоидного раствора, задающее воздействие в радиолокационных следящих системах, процесс термоэлектронной эмиссии с поверхности металла и т. д.

Стохастические модели

Как уже говорилось выше, стохастические модели – это модели вероятностные. При этом в результате расчетов можно сказать с достаточной степенью вероятности, каково будет значение анализируемого показателя при изменении фактора. Самое частое применение стохастических моделей – прогнозирование.

Стохастическое моделирование является в определенной степени дополнением и углублением детерминированного факторного анализа. В факторном анализе эти модели используются по трем основным причинам:

• необходимо изучить влияние факторов, по которым нельзя построить жестко детерминированную факторную модель (например, уровень финансового левериджа);

• необходимо изучить влияние сложных факторов, которые не поддаются объединению в одной и той же жестко детерминированной модели;
• необходимо изучить влияние сложных факторов, которые не могут быть выражены одним количественным показателем (например, уровень научно-технического прогресса).

В отличие от жестко детерминированного стохастический подход для реализации требует ряда предпосылок:

1. наличие совокупности;
2. достаточный объем наблюдений;
3. случайность и независимость наблюдений;
4. однородность;
5. наличие распределения признаков, близкого к нормальному;
6. наличие специального математического аппарата.

Построение стохастической модели проводится в несколько этапов:

• качественный анализ (постановка цели анализа, определение совокупности, определение результативных и факторных признаков, выбор периода, за который проводится анализ, выбор метода анализа);
• предварительный анализ моделируемой совокупности (проверка однородности совокупности, исключение аномальных наблюдений, уточнение необходимого объема выборки, установление законов распределения изучаемых показателей);
• построение стохастической (регрессионной) модели (уточнение перечня факторов, расчет оценок параметров уравнения регрессии, перебор конкурирующих вариантов моделей);
• оценка адекватности модели (проверка статистической существенности уравнения в целом и его отдельных параметров, проверка соответствия формальных свойств оценок задачам исследования);
• экономическая интерпретация и практическое использование модели (определение пространственно-временной устойчивости построенной зависимости, оценка практических свойств модели).

Основные понятия корреляционного и регрессионного анализа

Корреляционный анализ - совокупность методов математической статистики, позволяющих оценивать коэффициенты, характеризующие корреляцию между случайными величинами, и проверять гипотезы об их значениях на основе расчета их выборочных аналогов.

Корреляционным анализом называется метод обработки статистических данных, заключающийся в изучении коэффициентов (корреляции) между переменными.

Корреляционная связь (которую также называют неполной, или статистической) проявляется в среднем, для массовых наблюдений, когда заданным значениям зависимой переменной соответствует некоторый ряд вероятных значений независимой переменной. Объяснение тому – сложность взаимосвязей между анализируемыми факторами, на взаимодействие которых влияют неучтенные случайные величины. Поэтому связь между признаками проявляется лишь в среднем, в массе случаев. При корреляционной связи каждому значению аргумента соответствуют случайно распределенные в некотором интервале значения функции .

В наиболее общем виде задача статистики (и, соответственно, экономического анализа) в области изучения взаимосвязей состоит в количественной оценке их наличия и направления, а также характеристике силы и формы влияния одних факторов на другие. Для ее решения применяются две группы методов, одна из которых включает в себя методы корреляционного анализа, а другая – регрессионный анализ. В то же время ряд исследователей объединяет эти методы в корреляционно-регрессионный анализ, что имеет под собой некоторые основания: наличие целого ряда общих вычислительных процедур, взаимодополнения при интерпретации результатов и др.

Поэтому в данном контексте можно говорить о корреляционном анализе в широком смысле – когда всесторонне характеризуется взаимосвязь. В то же время выделяют корреляционный анализ в узком смысле – когда исследуется сила связи – и регрессионный анализ, в ходе которого оцениваются ее форма и воздействие одних факторов на другие.

Задачи собственнокорреляционного анализа сводятся к измерению тесноты связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

Задачирегрессионного анализа лежат в сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значении зависимой переменной.

Решение названных задач опирается на соответствующие приемы, алгоритмы, показатели, что дает основание говорить о статистическом изучении взаимосвязей.

Следует заметить, что традиционные методы корреляции и регрессии широко представлены в разного рода статистических пакетах программ для ЭВМ. Исследователю остается только правильно подготовить информацию, выбрать удовлетворяющий требованиям анализа пакет программ и быть готовым к интерпретации полученных результатов. Алгоритмов вычисления параметров связи существует множество, и в настоящее время вряд ли целесообразно проводить такой сложный вид анализа вручную. Вычислительные процедуры представляют самостоятельный интерес, но знание принципов изучения взаимосвязей, возможностей и ограничений тех или иных методов интерпретации результатов является обязательным условием исследования.

Методы оценки тесноты связи подразделяются на корреляционные (параметрические) и непараметрические. Параметрические методы основаны на использовании, как правило, оценок нормального распределения и применяются в случаях, когда изучаемая совокупность состоит из величин, которые подчиняются закону нормального распределения. На практике это положение чаще всего принимается априори. Собственно, эти методы – параметрические – и принято называть корреляционными.

Непараметрические методы не накладывают ограничений на закон распределения изучаемых величин. Их преимуществом является и простота вычислений.

Автокорреляция - статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом, например, для случайного процесса - со сдвигом по времени.

Парная корреляция

Простейшим приемом выявления связи между двумя признаками является построение корреляционной таблицы:

В основу группировки положены два изучаемых во взаимосвязи признака – Х и У. Частоты f ij показывают количество соответствующих сочетаний Х и У.

Если f ij расположены в таблице беспорядочно, можно говорить об отсутствии связи между переменными. В случае образования какого-либо характерного сочетания f ij допустимо утверждать о связи между Х и У. При этом, если f ij концентрируется около одной из двух диагоналей, имеет место прямая или обратная линейная связь.

Наглядным изображением корреляционной таблице служит корреляционное поле. Оно представляет собой график, где на оси абсцисс откладывают значения Х, по оси ординат – У, а точками показывается сочетание Х и У. По расположению точек, их концентрации в определенном направлении можно судить о наличии связи.

Корреляционным полем называется множество точек {X i , Y i } на плоскости XY (рисунки 6.1 - 6.2).

Если точки корреляционного поля образуют эллипс, главная диагональ которого имеет положительный угол наклона (/), то имеет место положительная корреляция (пример подобной ситуации можно видеть на рисунке 6.1).

Если точки корреляционного поля образуют эллипс, главная диагональ которого имеет отрицательный угол наклона (\), то имеет место отрицательная корреляция (пример изображен на рисунке 6.2).

Если же в расположении точек нет какой-либо закономерности, то говорят, что в этом случае наблюдается нулевая корреляция.

В итогах корреляционной таблицы по строкам и столбцам приводятся два распределения – одно по X, другое по У. Рассчитаем для каждого Х i среднее значение У, т.е. , как

Последовательность точек (X i , ) дает график, который иллюстрирует зависимость среднего значения результативного признака У от факторного X, – эмпирическую линию регрессии, наглядно показывающую, как изменяется У по мере изменения X.

По существу, и корреляционная таблица, и корреляционное поле, и эмпирическая линия регрессии предварительно уже характеризуют взаимосвязь, когда выбраны факторный и результативный признаки и требуется сформулировать предположения о форме и направленности связи. В то же время количественная оценка тесноты связи требует дополнительных расчетов.

Prev Next

Функциональная департаментализация

Функциональная департаментализация - это процесс деления организации на отдельные подразделения, каждое из которых имеет четко определенные функции и обязанности. Она более характерна для малопродуктовых сфер деятельности: для...

Эффективное осуществление контроля

Контроль должен быть своевременным и гибким, ориентированным на решение поставленных организацией задач и соответствующим им. Непрерывность контроля может быть обеспечена специально разработанной системой мониторинга хода реализации...

Факторы способствующие выработке эффективных стратегических управленческих решений.

Анализ непосредственного окруж:ения организации предполагает прежде всего анализ таких факторов, как покупатели, поставщики, конкуренты, рынок рабочей силы. При анализе внутренней среды основное внимание обращается на кадры,...

Обработка данных экспертизы

Разработка сценариев возможного развития ситуации требует соответствующей обработки данных, в том числе математической. В частности, обязательная обработка данных, полученных от экспертов, требуется при коллективной экспертизе, когда...

Внешние общественные взаимоотношения

Традиционное управление проектами долгое время основывалось на классической модели вход-процесс-выход с обратной связью для контроля выхода. Динамичные руководители обнаружили также, что открытие каналов связи в обоих направлениях создает мощный...

Стратегия инноваций

Высокий уровень конкуренции на подавляюшем большинстве современных рынков сбыта повышает интенсивность конкурентной борьбы, в которой нередко побеждает тот, кто может предложить потребителю более совершенную продукцию, дополнительные...

Различия между провозглашаемыми и глубинными интересами

Основным мотивом, приводящим к созданию организации, нередко считается получение прибыли. Однако единственный ли это интерес? В некоторых случаях не менее важными для руководителя организации являются определенная...

Метод обобщенных линейных критериев

Один из широко используемых методов сравнительной оценки многокритериальных объектов принятия управленческих решений в практике управления - метод обобщенных линейных критериев. В этом методе предполагается определение весовых...

Экспертные кривые

Экспертные кривые отражают оценку динамики прогнозируемых значений показателей и параметров экспертами. Формируя экспертные кривые, эксперты определяют критические точки, в которых тенденция изменения значений прогнозируемых показателей и...

Сопровождение управленческого процесса

Если на менеджера, управляющего подразделением организации или организацией в целом, обрушивается шквал проблем, относительно которых необходимо принять своевременные и эффективные решения, положение становится трудным. Менеджер должен...

Метод матриц взаимовлияний

Метод матриц взаимовлияний, разработанный Гордоном и Хелмером, предполагает определение на основании экспертных оценок потенциального взаимовлияния событий рассматриваемой совокупности. Оценки, связывающие все возможные комбинации событий по...

Разработка сценариев возможного развития ситуации

Разработка сценариев начинается с содержательного описания и определения перечня наиболее вероятных сценариев развития ситуации. Для решения этой задачи может быть использован метод мозговой атаки...

Сетевая организация

Повышение нестабильности внешней среды и жесткая конкуренция на рынках сбыта, необходимость достаточно быстрой смены (в среднем 5 лет) поколений производимой продукции, информационно-компьютерная революция, оказавшая существенное влияние...

Эффективный руководитель

Эффективный руководитель должен проявлять свою компетентность в умении решать возникающие проблемы стратегического и тактического характера, в планировании, финансовом управлении и контроле, межличностном общении, профессиональном развитии и...

Ресурсное обеспечение

Особую роль при определении как целей, стоящих перед организацией, так и задач и заданий по реализации поставленных целей играет ресурсное обеспечение. При этом при формировании стратегии и...

Структура системы управления персоналом

Делегирование большего объема полномочий предполагает и больший объем ответственности каждого работника на своем рабочем месте. В таких условиях все большее значение придается системам стимулирования и мотивации деятельности...

Искусство принятия решения

На завершающей стадии решающее значение приобретает искусство принятия решения. Однако не следует забывать, что выдающийся художник создает свои произведения, опираясь на блестяще отточенную и совершенную технику....

Многокритериальные оценки, требования к системам критериев

При разработке управленческих решений важно правильно оценить сломсившуюся ситуацию и альтернативные варианты решений с целью выбора наиболее эффективного решения, соответствующего целям организации и ЛПР. Правильная оценка...

Решения в условиях неопределенности и риска

Поскольку, как уже говорилось выше, процесс принятия решений всегда связан с тем или иным предположением руководителя об ожидаемом развитии событий и принятое решение нацелено в будущее, оно...

Общие правила, согласно которым может быть осуществлено сравнение объектов экспертизы, характеризую…

Альтернативный вариант (объект) а- недоминируем, если не существует альтернативного варианта о, превосходящего (не уступающего) а. по всем компонентам (частным критериям). Естественно, что наиболее предпочтительный среди сравниваемых...

Идеи управления организацией Файоля

Значительный прорыв в науке об управлении связан с работами Анри Файоля (1841 -1925). В течение 30 лет Файоль возглавлял крупную французскую металлургическую и горнодобывающую компанию. Он принял...

Принцип учета и согласования внешних и внутренних факторов развития организации

Развитие организации определяется как внешними, так и внутренними факторами. Сгратегические решения, принятые на основании учета влияния только внешних или только внутренних факторов, будут неизбежно страдать недостаточной...

Возникновение науки об управленческих решениях и ее связь с другими науками об управлении

Разработка управленческих решений является важным процессом, связывающим основные функции управления: планирование, организацию, мотивацию, контроль. Именно решения, принимаемые руководителями любой организации, определяют не только эффективность ее деятельности, но...

Формирование перечня критериев, характеризующих объект принятия управленческого решения

Перечень критериев, характеризующих сравнительную предпочтительность объектов принятия управленческого решения, должен удовлетворять ряду естественных требований. Как уже говорилось выше, само понятие критерий тесно связано с...

Главное правило делегирования полномочий

Мы хотим подчеркнуть важное правило, которое должно соблюдаться при делегировании полномочий. Делегируемые полномочия, как и задачи, которые ставятся перед работником, должны быть четко определены и однозначно...

Основная задача сценария - дать ключ к пониманию проблемы.

При анализе конкретной ситуации переменные, ее характеризующие, принимают соответствующие значения - те или иные градации вербально-числовых шкал каждое из переменных. Определяются все значения парных взаимодействий между...

Этап оперативного управления ходом реализации принятых решений и планов

После этапа передачи информации о принятых решениях и их согласования наступает этап оперативного управления ходом реализации принятых решений и планов. На этом этапе осуществляется контроль за ходом...

Классификация основных методов прогнозирования

Технологическое прогнозирование подразделяется на изыскательское (иногда его называют еще поисковым) и нормативное. В основе изыскательского прогнозирования лежит ориентация на представляющиеся возмож:ности, установление тенденций развития ситуаций на...

Строительство плотины для водохранилища

Несколько лет тому назад хорошо известная строительная компания стремилась обеспечить необходимые условия для проекта строительства Главной водозадерживающей плотины в Бихаре (Индия). В то...

Безусловно, каждый бизнесмен при планировании производства стремится к тому, чтобы оно было рентабельным, приносило прибыль. Если же удельный вес затрат сравнительно велик, о рентабельной деятельности организации говорить…

Prev Next

Модели систем, о которых мы говорили до сих пор, были детерминированными (определенными), т.е. задание входного воздействия определяло выход системы однозначно. Однако на практике так бывает редко: описанию реальных систем обычно присуща неопределенность. Например, для статической модели неопределенность можно учесть, записывая место (2.1) соотношение

где -погрешность, приведенная к выходу системы.

Причины неопределенности разнообразны:

– погрешности и помехи измерений входов и выходов системы (естественные погрешности);

– неточность самой модели системы, что заставляет искусственно вводить в модель погрешность;

– неполнота информации о параметрах системы и т.д.

Среди различных способов уточнения и формализации неопределенности наибольшее распространение получил хаотический (вероятностный) подход, при котором неопределенные величины считаются случайными. Развитый понятийный и вычислительный аппарат теории вероятностей и математической статистики позволяет дать конкретные рекомендации по выбору структуры системы и оценке ее параметров. Классификация стохастических моделей систем и методов их исследования представлена в табл. 1.4. Выводы и рекомендации основаны на эффекте усреднения: случайные отклонения результатов измерений некоторой величины от ее ожидаемого значения при суммировании взаимно уничтожаются, и среднее арифметическое большого числа измерений оказывается близким к ожидаемому значению. Математические формулировки этого эффекта даются законом больших чисел и центральной предельной теоремой. Закон больших чисел гласит, что если - случайные величины с математическим ожиданием (средним значением) и дисперсией , то

при достаточно больших N . Это говорит о принципиальной возможности сколь угодно точной оценки по измерениям. Центральная предельная теорема, уточняющая (2.32) утверждает, что

где - стандартная нормально распределенная случайная величина

Поскольку распределение величины хорошо извести и затабулировано (например, известно, что то соотношение (2.33) позволяет вычислять погрешность оценки. Пусть, например требуется найти, при каком числе измерений погрешность оценки их математического ожидания с вероятностью 0,95 окажется меньше, чем 0,01, если дисперсия каждого измерения равна 0,25. Из (2.33) получаем, что должно выполняться неравенство откуда N> 10000.

Разумеется, формулировкам (2.32), (2.33) можно придать более строгий вид, и это легко может быть сделано с помощью понятий вероятностной сходимости. Трудности возникают при попытке проверить условия этих строгих утверждений. Например, в законе больших чисел и централь ной предельной теореме требуется независимость отдельных измерений (реализаций) случайной величины и конечность ее дисперсии. Если эти условия нарушаются, то могут нарушаться и выводы. Например, если все измерения совпадают: то, хотя все остальные условия выполняются об усреднении не может быть и речи. Другой пример: закон больших чисел несправедлив, если случайные величины распределены по закону Коши (с плотностью распределения не обладающему конечными математическими ожиданием и дисперсией. А ведь такой закон встречается в жизни! Например, по Коши распределена интегральная освещенность точек прямолинейного берега равномерно вращающимся прожектором, находящимся в море (на корабле) и включающимся в случайные моменты времени.

Но еще большие трудности вызывает проверка обоснованности самого употребления термина «случайный». Что такое случайная величина, случайное событие и т.д. Часто говорят, что событие А случайно, если в результате эксперимента оно может наступить (с вероятностью р) или не наступить (с вероятностью 1-р). Все, однако, не так просто. Само по­нятие вероятности может быть связано с результатами экс­периментов лишь через частоту его наступления в некотором ряде (серии) экспериментов: , где N A - число экс­периментов, в которых событие наступило, N - общее число; экспериментов. Если числа при достаточно большом N приближаются к некоторому постоянному числу р А:

то событие А можно назвать случайным, а число р - его вероятностью. При этом частоты, наблюдавшиеся в различных сериях экспериментов, должны быть близки между собой (это свойство называется статистической устойчивостью или однородностью). Сказанное относится и к понятию случайной величины, поскольку величина является случайной, если случайными являются события {а<£<Ь} для любых чисел а , Ь. Частоты наступления таких событий в длинных сериях экспериментов должны группироваться около некоторых по­стоянных значений.

Итак, для применимости стохастического подхода должны выполняться следующие требования:

1) массовость проводимых экспериментов, т.е. достаточно большое число;

2) повторяемость условий экспериментов, оправдывающая сравнение результатов различных экспериментов;

3) статистическая устойчивость.

Стохастический подход заведомо нельзя применять к единичным экспериментам: бессмысленны выражения типа «вероятность того, что завтра будет дождь», «с вероятностью 0.8 «Зенит» выиграет кубок» и т.п. Но даже если массовость и повторяемость экспериментов имеются, статистической ус­тойчивости может и не быть, а проверить это - непростое дело. Известные оценки допустимого отклонения частоты от вероятности основаны на центральной предельной теореме или неравенстве Чебышева и требуют дополнительных гипотез о независимости или слабой зависимости измерений. Опытная же проверка условия независимости еще сложнее, так как требует дополнительных экспериментов.

Более подробно методология и практические рецепты применения теории вероятностей изложены в поучительной книге В.Н. Тутубалина , представление о которой дают приводимые ниже цитаты:

«Чрезвычайно важно искоренить заблуждение, встречающееся иногда у недостаточно знакомых с теорией вероятностей инженеров и естествоиспытателей, что результат любого эксперимента можно рассматривать как случайную величину. В особо тяжелых случаях к этому присоединяется вера в нормальный закон распределения, а если уже сами случайные величины не нормальны, то верят, что их логарифмы нормальны».

«По современным представлениям область применения теоретико-вероятностных методов ограничена явлениями, которым присуща статистическая устойчивость. Однако проверка статистической устойчивости трудна и всегда неполна к тому же часто она дает отрицательный вывод. В результате в целых областях знания, например, в геологии, нормой стал такой подход, при котором статистическая устойчивость вовсе не проверяется, что неизбежно приводит к серьезным ошибкам. К тому же пропаганда кибернетики, предпринятая нашими ведущими учеными, дала (в некоторых случаях!) несколько неожиданный результат: теперь считается, что только машина (а не человек) способна получать объективные научные результаты.

В таких обстоятельствах долг каждого преподавателя - вновь и вновь пропагандировать ту старую истину, которую еще Петр I пытался (безуспешно) внушить русским купцам: что торговать надо честно, без обмана, так как в конечном счете это для самих же себя выгоднее».

Как же построить модель системы, если неопределенность в задаче есть, но стохастический подход неприменим? Ниже кратко излагается один из альтернативных подходов, основанный на теории нечетких множеств.

Напоминаем, что отношением (отношением между и) называется подмножество множества. т.е. некоторая совокупности пар R={(x , у )}, где,. Например, функциональная связь (зависимость) может быть представлена как отношение между множествами, включающее пары (х , у ), для которых.

В простейшем случае может быть, a R - отношение тождества, если.

Примеры 12-15 в табл. 1. 1 придуманы в 1988 г. учеником 86 класса 292 школы М. Коротеевым.

Математик здесь, конечно, заметит, что минимум в (1.4), строго говоря, может не достигаться и в формулировке (1.4) нужно заменить rnin на inf («инфимум» - точная нижняя грань множества). Однако ситуация от этого не изменится: формализация в данном случае не отражает существа задачи, т.е. проведена неверно. В дальнейшем, чтобы не«пугать» инженера, мы будем пользоваться обозначениями min, max; имея в виду, что при необходимости их следует заменить на более общие inf, sup.

Здесь термин «структура» используется в смысле, несколько более узком, нем в подразд. 1.1, и означает состав подсистем в системе и типы связей между ними.

Графом называется пара (G , R ), где G={g 1 ... g n }- конечное множество вершин, a - бинарное отношение на G. Если, тогда и только тогда, когда, то граф называется неориентированным, в противном случае - ориентированным. Пары называются дугами (ребрами), а элементы множества G - вершинами графа.

То есть алгебраические или трансцендентные.

Строго говоря, счетное множество представляет собой некоторую идеализацию, которую невозможно реализовать практически из-за конечности размеров технических систем и пределов человеческого восприятия. Такие идеализированные модели (например, множество натуральных чисел N ={1, 2,...}) имеет смысл вводить для множеств конечных, но с за­ранее не ограниченным (или неизвестным) числом элементов.

Формально понятие операции является частным случаем понятия отношения между элементами множеств. Например, операция сложения Двух чисел задает 3-местное (тернарное) отношение R: тройка чисел (х, у, z ) z ) принадлежит отношению R (пишем (х,у,z)), если z = х+у.

Комплексное число, аргумент полиномов А (), В ().

Это предположение часто выполняется на практике.

Если величина неизвестна, то следует заменить в (2.33) на оценку где При этом величина будет распределена уже не нормально, а по закону Стьюдента, который при практически неотличим от нормального.

Легко заметить, что (2.34) есть частный случай (2.32), когда берется, если событие А наступило в j- м эксперименте, в противном случае.При этом

А сегодня можно добавить «... и информатики» (прим. автора).

Моделирование является одним из самых важных инструментов в современной жизни, когда хотят предвидеть будущее. И это не удивительно, ведь точность такого способа весьма велика. Давайте же в рамках данной статьи рассмотрим, что собой представляет детерминированная модель.

Общая информация

Детерминированные модели систем имеют ту особенность, что могут исследоваться аналитически, если они являются достаточно простыми. В противоположном случае при использовании значительного числа уравнений и переменных для этой цели могут задействоваться электронно-вычислительные машины. Причем помощь ЭВМ, как правило, сводится исключительно к их решению и нахождению ответов. Из-за этого приходится менять системы уравнений и использовать другую дискретизацию. А это влёчет за собой повышенную опасность погрешности при расчетах. Все типы детерминированных моделей характеризуются тем, что знание параметров на определённом исследуемом интервале позволяет нам полностью определить динамику развития за границей известных показателей.

Особенности

Факторное моделирование

Отсылки к этому можно было увидеть на протяжении всей статьи, но что это такое, мы пока не обсуждали. Факторное моделирование подразумевает, что выделяются основные положения, для которых необходимо количественное сопоставление. Для выполнения поставленных целей исследованием производят преобразование формы.

Если жестко детерминированная модель имеет больше двух факторов, то она называется многофакторной. Ее анализ может осуществляться посредством различных приёмов. В качестве примера приведем В этом случае она рассматривает поставленные задачи с точки зрения заранее установленных и проработанных априорных моделей. Выбор среди них осуществляется по содержательному представлению.

Для качественного построения модели необходимо использовать теоретические и экспериментальные исследования сущности технологического процесса и его причинно-следственных связей. Именно в этом и заключается главное преимущество рассматриваемых нами субъектов. Модели детерминированного позволяют осуществлять точное прогнозирование во многих сферах нашей жизни. Благодаря их качественным параметрам и универсальности они и получили такое широкое распространение.

Кибернетические детерминированные модели

Они представляют для нас интерес благодаря основанным на анализе переходным процессам, которые возникают при любых, даже самых ничтожных изменениях агрессивных свойств внешней среды. Для простоты и быстроты расчетов существующее положение дел заменяется упрощенной моделью. Важным является то, чтобы она удовлетворяла всем основным запросам.

От единства всех необходимых параметров зависит работоспособность системы автоматического управления и эффективность принимаемых ею решений. При этом необходимо решить такую задачу: чем больше будет собрано информации, тем выше вероятность ошибки и значительнее срок обработки. Но если ограничить сбор своих данных, то можно рассчитывать на менее надёжный результат. Поэтому необходимо найти золотую середину, которая позволит получить информацию достаточной точности, и одновременно это не будет излишне усложнено лишними элементами.

Мультипликативная детерминированная модель

Она строится посредством разделения факторов на их множество. В качестве примера можно рассмотреть процесс формирования объема производимой продукции (ПП). Итак, для этого необходимо иметь рабочую силу (РС), материалы (М) и энергию (Э). В таком случае фактор ПП можно разбить на множество (РС;М;Э). Такой вариант отображает мультипликативный вид факторной системы и возможность её разделения. В этом случае можно использовать такие методы преобразования: расширение, формальное разложение и удлинение. Первый вариант нашел широкое применение в анализе. Он может использоваться для того, чтобы высчитать эффективность деятельности работника, и так далее.

При удлинении одно значение заменяется другими факторами. Но в конечном итоге должно получиться то же самое число. Пример удлинения был рассмотрен нами выше. Осталось только формальное разложение. Оно предусматривает использование удлинения знаменателя исходной факторной модели благодаря замене одного или нескольких параметров. Рассмотрим такой пример: мы рассчитываем рентабельность производства. Для этого сумма прибыли делится на размер затрат. При мультипликации вместо единого значения делим на просуммированные траты на материал, персонал, налоги и так далее.

Вероятности

О, если бы всё шло именно так, как задумано! Но такое бывает редко. Поэтому на практике часто вместе используются детерминированные и Что можно сказать про последние? Их особенность в том, что они учитывают ещё и различные вероятности. Возьмем, к примеру, следующее. Есть два государства. Отношения между ними очень плохи. Третья сторона решает, инвестировать ли в предприятия одной из стран. Ведь если разгорится война, то прибыль очень пострадает. Или можно привести в пример построение завода в зоне с высокой сейсмической активностью. Здесь ведь действуют природные факторы, которые точно учесть нельзя, можно это сделать только приблизительно.

Заключение

Нами было рассмотрено, что собой представляют модели детерминированного анализа. Увы, но чтобы полноценно разобраться в них и уметь применять на практике, следует очень хорошо поучиться. Теоретические основы уже есть. Также в рамках статьи были представлены и отдельные простые примеры. Далее лучше идти по пути постепенного усложнения рабочего материала. Можно немного упростить себе задачу и начать изучение программного обеспечения, которое может проводить соответствующее моделирование. Но каким бы выбор ни был, понимать основы и уметь дать ответ на вопросы о том, что, как и почему, всё же необходимо. Следует научиться для начала подбирать правильные входные данные и выбирать нужные действия. Тогда программы смогут успешно выполнять свои задачи.