К классическим моделям биологии относятся. Математическое моделирование биологических процессов: Учебное пособие

Несмотря на разнообразие живых систем, все они обладают следующими специфическими чертами, которые необходимо учитывать при построении моделей.

• 1. Сложные системы. Все биологические системы являются сложными многокомпонентными, пространственно-структурированными, их элементы обладают индивидуальностью. При моделировании таких систем возможны два подхода. Первый - агрегированный, феноменологический. В соответствии с этим подходом выделяются определяющие характеристики системы (например, общая численность видов) и рассматриваются качественные свойства поведения этих величин во времени (устойчивость стационарного состояния, наличие колебаний, существование пространственной неоднородности). Такой подход является исторически наиболее древним и свойственен динамической теории популяций. Другой подход - подробное рассмотрение элементов системы и их взаимодействий, построение имитационной модели, параметры которой имеют ясный физический и биологический смысл. Такая модель не допускает аналитического исследования, но при хорошей экспериментальной изученности фрагментов системы может дать количественный прогноз се поведения при различных внешних воздействиях.
• 2. Размножающиеся системы (способные к авторепродукции). Это важнейшее свойство живых систем определяет их способность перерабатывать неорганическое и органическое вещество для биосинтеза биологических макромолекул, клеток, организмов. В феноменологических моделях это свойство выражается в наличии в уравнениях автокаталитических членов, определяющих возможность роста (в нелимитированных условиях - экспоненциального), возможность неустойчивости стационарного состояния в локальных системах (необходимое условие возникновения колебательных и квазистохастических режимов) и неустойчивости гомогенного стационарного состояния в пространственно распределенных системах (условие неоднородных в пространстве распределений и автоволновых режимов). Важную роль в развитии сложных пространственно-временных режимов играют процессы взаимодействия компонентов (биохимические реакции) и процессы переноса, как хаотического (диффузия), так и связанного с направлением внешних сил (гравитация, электромагнитные поля) или с адаптивными функциями живых организмов (например, движение цитоплазмы в клетках под действием микрофиламептов).
• 3. Открытые системы, постоянно пропускающие через себя потоки вещества и энергии. Биологические системы далеки от термодинамического равновесия и потому описываются нелинейными уравнениями. Линейные соотношения Онзагера, связывающие силы и потоки, справедливы только вблизи термодинамического равновесия.
• 4. Биологические объекты имеют сложную многоуровневую систему регуляции. В биохимической кинетике это выражается в наличии в схемах петель обратной связи, как положительной, так и отрицательной. В уравнениях локальных взаимодействий обратные связи описываются нелинейными функциями, характер которых определяет возможность возникновения и свойства сложных кинетических режимов, в том числе колебательных и квазистохастических. Такого типа нелинейности при учете пространственного распределения и процессов переноса обусловливают паттерны стационарных структур (пятна различной формы, периодические диссипативные структуры) и типы автоволнового поведения (движущиеся фронты, бегущие волны, ведущие центры, спиральные волны и др.).
• 5. Живые системы имеют сложную пространственную структуру. Живая клетка и содержащиеся в ней органеллы имеют мембраны, любой живой организм содержит огромное количество мембран, общая площадь которых составляет десятки гектаров. Естественно, что среду внутри живых систем нельзя рассматривать как гомогенную. Само возникновение такой пространственной структуры и законы ее формирования представляют одну из задач теоретической биологии. Один из подходов решения такой задачи - математическая теория морфогенеза.

Мембраны не только выделяют различные реакционные объемы живых клеток, отделяют живое от неживого (среды). Они играют ключевую роль в метаболизме, селективно пропуская потоки неорганических ионов и органических молекул. В мембранах хлоропластов осуществляются первичные процессы фотосинтеза - запасание энергии света в виде энергии высокоэнергетических химических соединений, используемых в дальнейшем для синтеза органического вещества и других внутриклеточных процессов. В мембранах митохондрий сосредоточены ключевые стадии процесса дыхания, мембраны нервных клеток определяют их способность к нервной проводимости. Математические модели процессов в биологических мембранах составляют существенную часть математической биофизики.

Существующие модели в основном представляют собой системы дифференциальных уравнений. Однако очевидно, что непрерывные модели не способны описать в деталях процессы, происходящие в столь индивидуальных и структурированных сложных системах, каковыми являются живые системы. В связи с развитием вычислительных, графических и интеллектуальных возможностей компьютеров все большую роль в математической биофизике играют имитационные модели, построенные па основе дискретной математики, в том числе модели клеточных автоматов.

6. Имитационные модели конкретных сложных живых систем, как правило, максимально учитывают имеющуюся информацию об объекте. Имитационные модели применяются для описания объектов различного уровня организации живой материи - от биомакромолскул до моделей биогеоценозов. В последнем случае модели должны включать блоки, описывающие как живые, так и «косные» компоненты. Классическим примером имитационных моделей являются модели молекулярной динамики, в которых задаются координаты и импульсы всех атомов, составляющих биомакромолекулу, и законы их взаимодействия. Вычисляемая на компьютере картина «жизни» системы позволяет проследить, как физические законы проявляются в функционировании простейших биологических объектов - биомакромолекул и их окружения. Сходные модели, в которых элементами (кирпичиками) уже являются не атомы, а группы атомов, используются в современной технике компьютерного конструирования биотехнологических катализаторов и лекарственных препаратов, действующих на определенные активные группы мембран микроорганизмов, вирусов или выполняющих другие направленные действия.

Имитационные модели созданы для описания физиологических процессов, происходящих в жизненно важных органах: нервном волокне, сердце, мозге, желудочно-кишечном тракте, кровеносном русле . Па них проигрываются «сценарии» процессов, протекающих в норме и при различных патологиях, исследуется влияние на процессы различных внешних воздействий, в том числе лекарственных препаратов. Имитационные модели широко используются для описания продукционного процесса растений и применяются для разработки оптимального режима выращивания растений с целью получения максимального урожая или получения наиболее равномерно распределенного во времени созревания плодов. Особенно важны такие разработки для дорогостоящего и энергоемкого тепличного хозяйства.

Мы будем рассматривать в данном разделе аналитические модели. В аналитических моделях вход. и выход. Параметры связаны явными выражениями: уравнениями, неравенствами и т.д. Если мы решаем системы уравнений Колмогорова-Эрланга, это аналитическое моделирование, если же мы останавливаемся на графовой модели и проводим статистический эксперимент, определяем как обслуживает система поток заявок, то это имитационное моделирование. Для решения аналитической модели обычно приходится применять численные методы решения задач, но некоторые модели дают и аналитическое решение, т.к. для решения разных математических задач используются разные методы, иногда аналитические модели делят по методам (интегральные, дифференциальные, линейные и т.д.), но обычно по сферам применения (физические, химические, биологические, педагогические, технические). Рассмотрим некоторые примеры аналитической мат. моделей, которые являются наиболее простыми и в то же время классическими.

Математические модели в физике и технике

В физике моделирование в основном используется для описания процессов в производстве, связанных с решением дифференциальных уравнений и частных производных. Все другие модели, это обычно упрощенный вариант этих процессов. Основой для построения моделей являются следующими законами и уравнениями :

Часть уравнений записывается в одномерном виде или с помощью радиус-вектора

;

2. Модель колебательной системы

Рассмотрим ее от простого к сложному. В качестве примера могут служить очень многие окружающие на предметы, где важна вибрация (двигатели). Колебания свойственны и электрическим системам. Будем считать, что у нас одномерные колебания (вдоль одной оси).

Положение предмета определяется одной координатой х, уравнение будет
.

Решение этого диф. уравнения хорошо известно, оно представляет из себя

Колебания Гармонические со сдвигом фазы, незатухающие.

Усложняем модель - вводим затухание

(К- коэффициент затухания)

Если К мало (К<<1), то решение не будет сильно отличаться. Решение системы приводит к возникновению
.

К=0,1- затухание хорошо видно (переодич.). При увеличении К (
)- апериодическое затухание, когда нет ни одного периода.

Собственная частота
, частота внутри силы р . Когда частоты равны, получаем резкое увеличение амплитуды колебаний - резонанс, . Если резонанс производить при колебании, собственные колебания затухнут, останутся вынужденные с частотой вынужденной силы.

К<<1, W>>p.

Модуляция . Внутри собственные колебания, их амплитуда моделируется с частотой собственных колебаний (биения)

Если К<0, м.б. (т.к. она только мешает) – параметрический резонанс.

Пример : рессоры автомобиля (обычно полезны для раскачки колебаний).

Резонанс может быть отрицательным и положительным по значению. Излучение электромагнитных волн основано на резонансах, как обычных, так и параметрических. Излучение и прием электромагнитных волн резонансные. Параметрический резонанс выгоден тем, что гораздо мощнее обычного. Это удобное средство для генерации, например, СВЧ-колебаний (магнитофон). Для параметрического резонанса собственная частота не нужна, поэтому можно вкачивать энергию до самого разрушения этого резонатора. Но может быть и вред, разрушение, что неприятно.

Модуляция – основа радиосвязи. Есть несущая частота, которую модулируют, а потом де модулируют. Звук низкочастотен (36 КГц), а радиоволна распространяется на высокой частоте, значит, нужны мегагерцы. Есть амплитудная, фазовая и частотная модуляция. Эффект биений обычно вредный, мешающий – это источник шума. Иногда с помощью биений делают специальные шумовые генераторы.

Модель теплопроводности тонкого слоя

стекло (тонкое, длинное),
- температура будет равномерна, следовательно
.
гранич.
Обычно это уравнение не решается в явном виде, а с помощью клеточной аппроксимации. Решая эту систему уравнений, мы находим значения в узлах сетки. Подобным же способом моделируются другие задачи теплопроводности, электростатики и электродинамики. Основная проблема – сложность вычисления, поэтому требуются мощные ЭВМ.

Еще одна модель – движение тела, брошенного под углом к горизонту. Для ее решения используют так называемый метод стрельбы, он уже близок к имитационному моделированию.

Еще – модель движения ракеты:

- уравнение Циолковского.

Кинетические и структурные модели в химии

В химии в основном распространены модели химических реакций и строение модели хим. соединений. Для хим. реакций самое важное –кинетика, т.е. изменение течение реакций со временем, т.е. чем быстрее идет реакция, тем меньше остается реагирующего вещества, и наоборот. В начале ХХ века Адольф Лотка сформулировал модель кинетических реакций, которая была названа модель Вольтерра-Лотки. Цепочка превращений веществ:

Получена система диф. уравнений. Эти уравнения по смыслу похожи на уравнения Колмогорова- Эрланга. Это показывает, что то были тоже кинетические уравнения и все кинетические процессы похожи друг на друга.

В химии кинетические уравнения усложняются тем, что величины не являются постоянными, а зависят от таких величин как ,

химический состав веществ (температура подчиняется закону теплоемкости, р зависит от диффузии, которая определяется уравнением
- закон диффузии Фика. Похожее соотношение имеет и закон фильтрационного переноса Дарси). В результате приходится решать одновременно с кинетической еще и эти сложные уравнения.

В химии большое значение имеют структурные модели молекул: Н-О-Н, особенно удобна для органических веществ (у них очень сложная структура).

При изучении нового хим. вещества делают новый хим. анализ - определяют пропорции содержащие тех или иных веществ. Тогда можно определить из каких атомов состоит молекула, но и от того, как они соединены. Вводится валентная связь. Одни атомы имеют 1-ю валентную связь, другие 2-ю и т.д. Были обнаружены изомеры вещества с одинаковым количеством молекул, но с разными свойствами.

2 задачи:

Определить внутреннюю структуру молекулы и связать ее структуру и хим. свойства, т.е. изучение изомеров.

Проектирование изомеров - научиться создавать устойчивые структуры для молекул различных видов и давать их предположит. свойства.

Обе эти задачи стали настолько популярны в органической химии, что даже были созданы специальные системы моделирования молекул.

Математические модели в биологии

Биология чрезвычайно связана с химией и биохимией => структурное моделирование из химии перешло и в биологию. Биологические структуры – очень сложные химические структуры => появилась наука биохимия, которая изучает химию биологических структур. Здесь методы структурного моделирования оказались очень полезны. Наиболее известные задачи, связанные с моделированием генов.

Гены – молекулы, из которых формируется так называемые информационные компоненты живых существ-ДНК, РНК. В основном гены уже изучены и известны, но остались вопросы какие гены входят в ту или иную ДНК и как они связаны между собой. Т.к. даже в простейшем ДНК генов десятки тысяч, возник мировой проект «модель ДНК» , сначала у простейших существ, теперь человека (завершение) . Структурное моделирование- ведущее в биохимии.

Модели внутривидовой борьбы

Особи одного вида конкурируют между собой. В начале, когда особей мало, а условия благоприятные идет быстрый рост популяции, ограничения наступают из-за борьбы между особями одного вида. Самой первой простой моделью стала модель роста – модель безудержного роста. В этой модели отсутствует внутривидовая конкуренция, она будет модернизироваться.

Чем больше a , тем меньше рост, однако, и эта модель не могла описать некоторые явления, которые возникали в реальных экосистемах. В некоторых системах возникали колебания численности из года в год. Ввели еще один параметр, усложнили модель

Коэффициент b определяет нелинейную зависимость скорости роста R от численности. Численное изучение этой модели позволило обнаружить 4 характерные ситуации:

Монотонный рост

Ситуация затухающих колебаний

Ситуация незатухающих колебаний

Ситуация флуктуаций (случайных изменений)

Данные модели дискретные, но можно построить и непрерывную, кинетическую, ее уравнение:

. при этом r – некий аналог скорости. Эта двухпараметричная модель называется логистической кинетической моделью (модель Вольтера - Лоттки).

Модели межвидовой конкуренции

Если сосуществуют 2 вида, которые активно воздействуют друг на друга, то возникают процессы межвидовой конкуренции и борьбы. Наиболее известна модель (кинетическая) Вольтера - Лотки конкуренция двух видов:

Коэффициенты определяют связь между 2 видами. Если, то увеличение особей второго вида идет к уменьшению особей первого вида. Второй вид подавляет первый. Если, то особи второго вида не влияют. Очевидно, чем больше волков, тем меньше зайцев. В модели 6 параметров – ее изучение очень сложно, поэтому обычно фиксируют часть параметров. В общем случае изучение этой параметрической модели показало, что популяции хищников и жертв испытывают циклические изменения. В биологии очень часто используют так же имитационное моделирование.

Имитационное моделирование в биологии

Модель «жизнь»

В ней имитируется размножение простейших существ, задаются некоторые ограничения на размножение, гибель и т.д., а затем запускается эксперимент и прослеживается динамика со временем. Простейший вариант (школьный). Берем таблицу клеток пустых и заполненных (живых). Задаются правила, например если живая клетка окружена 4 и более живыми, то она погибает от перенаселения, если возле нее один или нет, погибает от одиночества. Если к мертвой примыкает 3 живые, она оживает. Эксперимент:

Задается начальная случайная конфигурация живых клеток

Задается количество моментов времени, которое будет прослежено

В цикле по моментам времени производят обновление таблицы по заданным правилам, и наблюдают за изменением картинки. Подобные системы изучались, и оказалось, что в такой таблице могут существовать устойчивые конфигурации, которые не разрушаются.

Модели в экономике

Экономические науки – одна из наиболее важных сфер применения моделирования, именно здесь модели дают наибольшую эффективность, например если оптимизировать в одной модели траты всего государства, эффект будет выражаться в миллиардах долларов. Можно выделить следующие типы моделей:

Модель ЛП (линейные) – модель ресурсов, запасов и т.д.

Модели, построенные на транспортной задаче (распространение и перевозка грузов)

Модели целочисленного программирования (результат принадлежит области целых чисел, количество человек, число заводов и т.д.) – модели первого типа с целочисленными параметрами.

Модели динамического программирования – в основном связанные с развитием какого-либо производства, фирмы и т.д.

Игровые модели, связанные с противоборством, конкуренцией.

Прогностические модели, связанные с прогнозом ситуации при недостатке информации или случайных событиях.

Модели автоматического управления (сделать систему управления оптимальной)

нелинейные модели решаются только в отдельных случаях.

34. Стохастическое моделирование. Метод Монте-Карло в моделировании. Генерирование случайных и псевдослучайных чисел. Методы и алгоритмы генерации. Генерирование случайных чисел распределенных по экспоненциальному, нормальному и произвольно заданному закону распределения.

Стохастическое программирование – раздел математического программирования, совокупность методов решения оптимизационных задач вероятностного характера. Это означает, что либо параметры ограничений (условий) задачи, либо параметры целевой функции, либо и те и другие являются случайными величинами (содержат случайные компоненты).

Оптимизационная задача - экономико-математическая задача, цель которой состоит в нахождении наилучшего распределения наличных ресурсов. Решается с помощью оптимальной модели методами математического программирования, т. е. путем поиска максимума или минимума некоторых функций при заданных ограничениях (условная оптимизация) и без ограничений (безусловная оптимизация). Решение оптимизационной задачи называется оптимальным решением, оптимальным планом, оптимальной точкой.

Случайные величины характеризуются средними значениями, дисперсией, корреляцией, регрессией, функция распределения и т.д.

Статистическое моделирование – моделирование с использованием случайных процессов и явлений.

Существует 2 варианта использования статистического моделирования:

– в стохастических моделях может существовать случайные параметры или взаимодействия. Связь между параметрами носит случайный или очень сложный характер.

– даже для детерминированных моделей могут использоваться статистические методы. Практически всегда используются статическое моделирование в имитационных моделях

Модели , где между параметрами существует однозначная связь и нет случайных параметров называются детерминированными .

Детерминированные процессы – определенные процессы, в которых всякие процессы определены законами.

Человек считает все процессы детерминированными, однако со временем обнаружены случайные процессы. Случайный процесс – это такой процесс, течение которого может быть различным в зависимости от случая, причем вероятность того или иного течения определена.

Исследование процессов показало, что они бывают 2-х типов:

а) Случайные по своей природе процессы;

б) Очень сложные детерминированные процессы;

Доказана центральная теорема, в соответствии с которой сложение различных процессов увеличивает случайный характер. Так, если сложить совершенно разные последовательности, не связанные между собой, то результат в пределе стремится к нормальному распределению. Но известно, что нормальное распределение – независимые события, следовательно, объединение детерминированных событий в пределе ведет к их случайности.

Т.о. в природе не существует совершенно чисто детерминированных процессов, всегда есть смесь детерминированных и случайных процессов. Действие случайного фактора называется “шумом”. Источники шума – сложные детерминированные процессы (броуновское движение молекул).

В имитационном моделировании часто сложные процессы заменяют случайными, следовательно, для того чтобы сделать имитационную модель, нужно научиться моделировать случайные процессы методами статического моделирования. Представляют случайные процессы в КМ последовательностью случайных чисел, величина которых случайно меняется.

В статистическом моделировании очень часто используется метод статистических испытаний Монте-Карло. Метод Монте-Карло – это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.

Суть метода : для того, чтобы определить постоянную или детерминированную характеристику процесса можно использовать статический эксперимент, параметры которого в пределе связаны с определяемой величиной. Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину
, математическое ожидание которой равно :
. Практически же поступают так: производят испытаний, в результате которых получают возможных значений
; вычисляют их среднее арифметическое
и принимают в качестве оценки (приближенного значения) искомого числа:
.

Рассмотрим суть метода на примерах его использования.

В течение последних десятилетий наметился значительный прогресс в количественном (математическом) описании функций различных биосистем на различных уровнях организации жизни: молекулярном, клеточном, органном, организменном, популяционном, биогеоценологическом (экосистемном). Жизнь определяется множеством различных характеристик этих биосистем и процессов, протекающих на соответствующих уровнях организации системы и интегрированных в единое целое в процессе функционирования системы. О моделях, базирующихся на существенных постулатах о принципах функционирования системы, которые описывают и объясняют широкий круг явлений и выражают знание в компактной, формализованной форме, можно говорить, как о теории биосистемы . Построение математических моделей (теорий) биологических систем стало возможным благодаря исключительно интенсивной аналитической работе экспериментаторов: морфологов, биохимиков, физиологов, специалистов по молекулярной биологии и др. В результате этой работы кристаллизованы морфофункциональные схемы различных клеток, в рамках которых упорядоченно в пространстве и во времени протекают различные физико-химические и биохимические процессы, образующие весьма сложные переплетения.

Вторым очень важным обстоятельством , способствующим привлечению математического аппарата в биологию, является тщательное экспериментальное определение констант скоростей многочисленных внутриклеточных реакций, определяющих функции клетки и соответствующей биосистемы. Без знания таких констант невозможно формально-математическое описание внутриклеточных процессов.

И наконец, третьим условием , определившим успех математического моделирования в биологии, явилось развитие мощных вычислительных средств в виде персональных компьютеров, суперкомпьютеров и информационных технологий. Это связано с тем, что обычно процессы, контролирующие ту или иную функ­цию клеток или органов, многочисленны, охвачены петлями прямой и обратной связи и, следовательно, описываются сложными системами нелинейных уравнений с большим числом неизвестных. Такие уравнения не решаются аналитически, но могут быть решены численно при помощи компьютера.

Численные эксперименты на моделях, способные воспроизводить широкий класс явлений в клетках, органах и организме, позволяют оценить правильность предположений, сделанных при построении моделей. Хотя в качестве постулатов моделей используются экспериментальные факты, необходимость некоторых допущений и предположений является важным теоретическим компонентом моделирования. Эти допущения и предположения являются гипотезами , которые могут быть подвергнуты экспериментальной проверке. Таким образом, модели становятся источниками гипотез, притом экспериментально верифицируемых. Эксперимент, направленный на проверку данной гипотезы, может опровергнуть или подтвердить ее и тем самым способствовать уточнению модели.

Такое взаимодействие моделирования и эксперимента происходит непрерывно, приводя ко все более глубокому и точному пониманию явления:

• эксперимент уточняет модель,
• новая модель выдвигает новые гипотезы,
• эксперимент уточняет новую модель и т. д.

В настоящее время область математического моделирования живых систем объединяет ряд различных и уже устоявшихся традиционных и более современных дисциплин, названия которых звучат достаточно обще, так что трудно бывает строго разграничить зоны их специфического использования. В настоящее время особенно бурно развиваются специализированные области применения математического моделирования живых систем - математическая физиология, математическая иммунология, математическая эпидемиология, направленные на разработку математических теорий и компьютерных моделей соответствующих систем и процессов.

Как всякая научная дисциплина, математическая (теоретическая) биология имеет свой предмет, способы, методы и процедуры исследования. В качестве предмета исследований выступают математические (компьютерные) модели биологических процессов, одновременно представляющие собой и объект исследования, и инструмент для исследования собственно биологических объектов. В связи с такой двоякой сущностью биоматематических моделей они подразумевают использование имеющихся и разработку новых способов анализа математических систем (теорий и методов соответствующих разделов математики) с целью изучения свойств самой модели как математического объекта, а также использование модели для воспроизведения и анализа экспериментальных данных, получаемых в биологических экспериментах. При этом в качестве одного из наиболее важных назначений математических моделей (и теоретической биологии в целом) является возможность предсказания биологических явлений и сценариев поведения биосистемы в определенных условиях и их теоретического обоснования до проведения соответствующих биологических экспериментов.

Основным методом исследования и использования сложных моделей биологических систем является вычислительный компьютерный эксперимент, который требует применения адекватных методов вычислений для соответствующих математических систем, алгоритмов вычислений, технологий разработки и реализации компьютерных программ, хранения и обработки результатов компьютерного моделирования.

Наконец, в связи с основной целью использования биоматематических моделей для познания законов функционирования биологических систем, все стадии разработки и использования математических моделей предполагают обязательную опору на теорию и практику биологической науки, и в первую очередь на результаты натурных экспериментов.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Биолого-химический факультет

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

БИОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Направление подготовки

Направление подготовки 020400 Биология

Наименование магистерской программы

"Биология" (Ботаника) 020421 м

"Биология" (Иммунобиотехнология) 020422 м

"Биология" (Биология клетки) 020423 м

Место дисциплины в структуре ООП магистратуры. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины. Цель освоения дисциплины. Структура дисциплины по видам учебной работы, соотношение тем и формируемых компетенций. Содержание дисциплины.

5.1 Темы лекционных занятий и их аннотации

5.2. Планы практических занятий.

5.3. Планы лабораторного практикума.

5.4. Программа самостоятельной работы студентов.

Образовательные технологии. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации . Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины. Материально-техническое обеспечение дисциплины.

ПОРЯДОК УТВЕРЖДЕНИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ

Разработчик рабочей программы дисциплины

Экспертиза рабочей программы

Утверждение рабочей программы дисциплины

Иные документы об оценке качества рабочей программы дисциплины

(при их наличии - ФЭПО, отзывы работодателей, магистрантов и пр.)

1 . МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП МАГИСТРАТУРЫ

Дисциплина входит в цикл базовую часть математического и естественно-научного цикла ООП магистратуры.

Дисциплина адресована 020400 Биология (квалификация (степень) "магистр"), первый год обучения.

Изучению курса предшествуют следующие дисциплины: информатика, дисциплины естественнонаучного цикла.

Для успешного освоения дисциплины должны быть сформированы компетенции:

способен к адаптации и повышению своего научного и культурного уровня (ОК-3);

Успешное освоение курса позволяет перейти к изучению дисциплин: теоретическая биология, синергетика, с овременные проблемы биологии, других дисциплин математического и естественно-научного цикла ООП магистратуры, выполнению магистерской работы .

Программа курса построена по блочно-модульному принципу, в ней выделены разделы:

Понятие о дифференциальном и интегральном исчислении. Цели моделирования. Базовые понятия. Модели, описываемые автономным дифференциальным уравнением Дискретные модели Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений Устойчивость стационарных состояний нелинейных систем. Триггерные системы. Колебательные системы.

2 . КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ

В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

· самостоятельно анализирует имеющуюся информацию, выявляет фундаментальные проблемы, ставит задачу и выполняет полевые, лабораторные биологические исследования при решении конкретных задач по специализации с использованием современной аппаратуры и вычислительных средств, демонстрирует ответственность за качество работ и научную достоверность результатов (ПК-3);

· творчески применяет современные компьютерные технологии при сборе, хранении, обработке, анализе и передаче биологической информации (ПК-6);

· самостоятельно использует современные компьютерные технологии для решения научно-исследовательских и производственно-технологических задач профессиональной деятельности , для сбора и анализа биологической информации (ПК-13);

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

знать:

· о методах моделирования биологических систем с последующим их анализом с использованием дифференциального и интегрального исчисления.

уметь:

· уметь применять полученные знания в практической работе ;

· грамотно представлять результаты, выполненных модельных расчетов.

Владеть:

· навыками интегрального и дифференциального исчисления;

· навыками работы с персональным компьютером при использовании доступных программных продуктов по численному моделированию биологических систем.

3 . ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Целью освоения дисциплины МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БИОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

является:

дать некоторые базовые знания и представления о возможностях практики численных методов математического анализа, математического моделирования, классификации математических моделей и области их применимости, показать, на какие принципиальные качественные вопросы может ответить математическая модель, в виде которой формализованы знания о биологическом объекте. Это достигается путем включения в курс базовых вопросов интегрального и дифференциального исчисления, основ математического аппарата качественной теории дифференциальных уравнений. На базе этих знаний рассматриваются основные типы временного и пространственного динамического поведения, присущие биологическим системам разного уровня. Возможности математического моделирования иллюстрируются примерами конкретных моделей, которые можно считать классическими.

Задачи освоения дисциплины:

сформировать представления о применимости численных методов математического анализа применительно к математическому моделированию биологических систем;

познакомить с конкретными математическими моделями, которые биолог-исследователь может применять (адаптировать) к своим исследованиям;

расширить знания по использованию программных средств при моделировании биологических процессов.

4. СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ ПО ВИДАМ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ,

СООТНОШЕНИЕ ТЕМ И ФОРМИРУЕМЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ

Тема 1.2.

проверочная работа по материалу предыдущего занятия, теоретическое введение по теме занятий, выполнение практических заданий.

Тема 1.3. (2 часа) Теоретическая часть.

Перечень заданий, задач, выносимых на лабораторную работу:

Тема 1.4. (2 часа) Теоретическая часть.

Перечень заданий, задач, выносимых на лабораторную работу: проверочная работа по материалу предыдущего занятия, теоретическое введение по теме занятий, выполнение практических заданий.

Тема 1.5. (3 часа) Теоретическая часть.

Перечень заданий, задач, выносимых на лабораторную работу: проверочная работа по материалу предыдущего занятия, теоретическое введение по теме занятий, выполнение практических заданий.

Тема 1часа) Теоретическая часть.

Перечень заданий, задач, выносимых на лабораторную работу: проверочная работа по материалу предыдущего занятия, теоретическое введение по теме занятий, выполнение практических заданий.

Тема 1.7. (2 часа) Теоретическая часть.

Перечень заданий, задач, выносимых на лабораторную работу: проверочная работа по материалу предыдущего занятия, теоретическое введение по теме занятий, выполнение практических заданий.

Тема 1.8. (2 часа) Теоретическая часть.

Перечень заданий, задач, выносимых на лабораторную работу: проверочная работа по материалу предыдущего занятия, теоретическое введение по теме занятий, выполнение практических заданий.

Тема 1.9. (2 часа) Теоретическая часть.

Перечень заданий, задач, выносимых на лабораторную работу: проверочная работа по материалу предыдущего занятия, теоретическое введение по теме занятий, выполнение практических заданий.

Тема 1.10. (2 часа) Теоретическая часть. Исследование устойчивости стационарных состоя ний нелинейных систем второго порядка. Классическая система В. Вольтерра. Аналитическое исследование (определение стационарных состояний и их устойчивости) и построение фазовых и кинетических портретов. Использование пакета аналитических вычислений Maxima.

Перечень заданий, задач, выносимых на лабораторную работу: проверочная работа по материалу предыдущего занятия, теоретическое введение по теме занятий, выполнение практических заданий.

Перечень заданий, задач, выносимых на лабораторную работу: проверочная работа по материалу предыдущего занятия, теоретическое введение по теме занятий, выполнение практических заданий.

Тема 1.часа) Теоретическая часть.

Перечень заданий, задач, выносимых на лабораторную работу: проверочная работа по материалу предыдущего занятия, теоретическое введение по теме занятий, выполнение практических заданий.

5.4. Программа самостоятельной работы магистрантов

Структура СРС

Подготовка к лабораторным работам – 12 работ - 48 часов

Результаты всех видов СРС оцениваются в баллах и являются основой БРС.

При выполнении СРС используются учебно-методические материалы, указанные в соответствующем разделе (см. таблицу Структура СРС )

График контроля СРС

Условные обозначения: кр – контрольная работа , к – коллоквиум , р – реферат, д – доклад, ди – деловая игра , рз – решение задач, кур – курсовая работа , лр – лабораторная работа, дз – домашнее задание

6. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

При проведении занятий и организации самостоятельной работы магистрантов используются традиционные технологии сообщающего обучения, предполагающие передачу информации в готовом виде, формирование учебных умений по образцу: теоретическая часть лабораторной работы строится как: лекция-изложение, лекция-объяснение .

Использование традиционных технологий обеспечивает формирование когнитивного (знаниевого) компонента профессиональных компетенций биолога-исследователя.

В процессе изучения теоретических разделов дисциплины, выполнения практических заданий, используются новые образовательные технологии обучения: лекция-визуализация .

При проведении лабораторных занятий используются:

Понятие модели. Объекты, цели и методы моделирования. Модели в разных науках. Физические и математические модели. История первых моделей в биологии. Современная классификация моделей биологических процессов: регрессионные , имитационные, качественные модели. Примеры различных моделей, применямых в Вашей области научных интересов. Принципы имитационного моделирования и примеры моделей. Специфика моделирования живых систем.

Понятие о производной и способах ее нахождения (правила дифференцирования). Интеграл и методы нахождения интегралов. Решение задач по данной теме.

Составление (вывод) дифференциального уравнения. Некоторые приёмы решения однородных и неоднородных дифференциальных уравнений. Решение методом разделяющихся переменных. Решение линейного дифференциального уравнения общего вида методом Лагранжа. Решение задач по данной теме.

Методы исследования динамических систем. Стационарное состояние. Формула Тейлора. Устойчивость стационарных состояний (случай одного уравнения): понятие об устойчивости, аналитический метод определения типа устойчивости (метод Ляпунова), графический метод определения типа устойчивости. Решение задач по данной теме.

Анализ некоторых моделей роста популяций. Модели Мальтуса. Логистическая модель Ферхюльста. Модель проточного культиватора. Решение задач по данной теме.

Разностные модели роста популяций. Анализ разностной модели Мальтуса (нахождение стационарных состояний и их анализ на устойчивость). Дискретное логистическое уравнение Ферхюльста и его ограниченность для биологических систем. Анализ дискретного логистического уравнения Риккера (нахождение стационарных состояний и их анализ на устойчивость). Качественный анализ разностных моделей роста популяций с использованием диаграммы (лестницы) Ламерея. Решение задач по данной теме.

Анализ моделей, описываемых системой двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Анализ устойчивости поведения данных моделей вблизи особых точек. Типы особых точек. Решение задач по данной теме.

Качественный метод анализа моделей, описываемых системой двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Фазовая плоскость. Изоклины. Построение фазовых портретов. Кинетические кривые. Решение задач по данной теме.

Анализ некоторых моделей, описываемых системой двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Анализ кинетической модели системы линейных химических реакций.

Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка. Метод Ляпунова линеаризации систем в окрестности стационарного состояния. Примеры исследования устойчивости стационарных состояний моделей биологических систем. Анализ кинетического уравнения Лотки (химическая реакция). Классическая система В. Вольтерра. Аналитическое исследование (определение стационарных состояний и их устойчивости) и построение фазовых и кинетических портретов.

Триггерные системы. Конкуренция. Аналитическое исследование (определение стационарных состояний и их устойчивости) и построение фазовых и кинетических портретов.

Колебательные системы. Локальная модель брюсселятора.

Основной технологией оценки уровня сформированности компетенции(й) является: балльно-рейтинговая система оценки успеваемости студентов (Приказ /01-04 "О введении "Порядка реализации балльно-рейтинговой системы оценки учебной работы обучающихся в ФГБОУ ВПО "УдГУ").

Общее количество баллов = 100 баллов.

Посещение занятий и работа магистранта на самом занятии оценивается до 15 баллов.

Проверочная контрольная работа в начале занятия оценивается до 30 б.

Домашнее задание оценивается до 15 б.

Число баллов, выделяемое на зачет до 40 баллов

Дисциплина считается освоенной, если на этапе промежуточной аттестации обучающийся набрал более 14 баллов и итоговый рейтинг обучающегося по дисциплине за семестр составляет не менее 61 балла.

Схема перевода баллов в традиционную оценку

Таблица перевода итоговых баллов БРС в традиционную систему оценок

Примеры проверочных заданий, выдаваемых в начале занятия на 10-12 мин.

Проверочное задание 1

Вариант 1

1) Найти производную исходя из определения понятия производной: y = (1+3x)2

2) Численность популяции описывается уравнением: https://pandia.ru/text/78/041/images/image004_19.gif" width="88" height="41">

Вариант 3

1) Найти производную исходя из определения понятия производной: y = (1+x)2

2) Численность популяции описывается уравнением: https://pandia.ru/text/78/041/images/image006_13.gif" width="90" height="45">

Вариант 2

Вариант 3

Решить следующее дифференциальное уравнение.

Найти решение задачи Коши, если x(0)=1

Проверочное задание 3

Опрос 3. Вариант 2

Решить следующее дифференциальное уравнение.

Опрос 3. Вариант 3

Решить следующее дифференциальное уравнение.

Опрос 3. Вариант 4

Решить следующее дифференциальное уравнение.

Примерные тестовые задания для домашнего выполнения (конкретные тексты задания выдаются магистрантам через систему ИИАС и на бумажном носителе):

Домашнее задание 1

Рекомендации.

1) Подготовить выступление и приложить рукописный текст с докладом о примере физической модели

2) Подготовить выступление и приложить рукописный текст с докладом о примере регрессионной модели в вашей специальности (могу спросить любого) – 3-4 минуты – одно на группу. Не должно совпадать с примером другой группы.

3) Подготовить выступление и приложить рукописный текст с докладом о примере имитационной модели в вашей специальности (могу спросить любого) – 3-4 минуты – одно на группу. Не должно совпадать с примером другой группы.

4) Используя определение производной найти производную для выражения:

y= 1+ x + x 2

5) Найти производные:

https://pandia.ru/text/78/041/images/image014_10.gif" width="84" height="41 src=">

https://pandia.ru/text/78/041/images/image017_9.gif" width="108" height="27 src=">.gif" width="105" height="41 src=">, где u и а постоянные..gif" width="153" height="28 src=">

8) Популяция бактерий растет от начального размера в 1000 особей до размера p (t ) в момент t (в днях) согласно уравнению https://pandia.ru/text/78/041/images/image023_6.gif" width="106" height="41 src=">. Найдите p (t ) для всех моментов t >0, если p (0)=0. За сколько лет доля переболевших достигнет 90 % ?

3) Найти общее решение для следующих уравнений первого порядка и решить задачу Коши для указанных условий:

Если x(0)=2

, если x(0)=1

Домашнее задание 3

Рекомендации. Отчет по заданию предоставляется только в рукописном виде с указанием всех промежуточных расчетов (электронный вариант не нужен). Все расчеты должны быть прозрачны (написать, что вычисляете, указать исходную расчетную формулу, потом формулу с подставленными числами, затем ответ).

1) Рост популяции описывается уравнением Ферхюльста. Емкость экологической ниши для нее равна 1000. Постройте график динамики численности популяции, если известно, что начальная численность равна: а) 10; б) 700; в) 1200. Скорость роста r равна 0.5. Укажите координаты точки перегиба.

2) Разложите функцию f (x ) в ряд Тейлора в окрестности точки 0 x до 4 порядка:

f (x ) = x 3 +1, x 0 = 1;

https://pandia.ru/text/78/041/images/image028_5.gif" width="114" height="46 src=">

https://pandia.ru/text/78/041/images/image030_5.gif" width="71" height="41 src=">. Найти стационарные состояния уравнения и определить их тип устойчивости аналитически (метод Ляпунова) и с помощью графика функции f (x ) :

f (x ) = x 3 + 8 x – 6 x 2

f (x ) = x 4 + 2 x 3 − 15 x 2

Домашнее задание 4

Рекомендации. Отчет по заданию предоставляется только в рукописном виде с указанием всех промежуточных расчетов (электронный вариант не нужен). Все расчеты должны быть прозрачны (написать, что вычисляете, указать исходную расчетную формулу, потом формулу с подставленными числами, затем ответ).

1) (1,0 балла) С помощью диаграммы Ламерея построить график динамики численности популяции, если зависимость Nt +1 = f (N t ) имеет вид и сделать вывод об устойчивости развитии популяции.

2) (2,5 балла) Построить фазовый портрет для каждой из систем в окрестности стационарного состояния по плану:

2,1) Найти координаты особой (стационарной) точки

2,3) Методом изоклин (изоклины: 0o, +45o, –45o, 90o, углы пересечение с осями X и Y) построить фазовый портрет системы

2,4) по изоклинам и на основании пункта 2,2 нарисовать эскиз фазового портрета

2,5) Определить направление движения пробной (фигуративной) точки вдоль полученных в 2,4 интегральных кривых.

2,6) Выбрать произвольную точку на одной из полученных в пункте 2,4 интегральных кривых и построить кинетический портрет системы.

3) (1,5 балла) В процессе изучения некой популяции была выявлена следующая зависимость численность популяции от времени (см. данные ниже).

1) Развитие данной популяции подчиняется уравнению Мальтуса или уравнению Ферхюльста? Докажите это.

2) Если развитие популяции подчиняется уравнению Мальтуса, определите:

r

2,2) период удвоения T .

2) Если развитие популяции подчиняется логистическому уравнению, определите:

2,1) значение мальтузианского параметра r (удельной скорости размножения);

2,2) значение ресурсного параметра К

2,3) используя значения r и К оцените время через которое рост численности популяции начнет замедляться.

Данная контрольно-оценочная технология обеспечивает оценку уровня освоения профессиональных компетенций.

8 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

ДИСЦИПЛИНЫ

Основная литература

1. Ризниченко, по математическим моделям в биологии. Ч.1 . Описание процессов в живых системах во времени. - М.;Ижевск: РХД, 2002

Лекции. Методика чтения лекций

Лекции являются одним из основных методов обучения по дисциплине, которые должны решать следующие задачи:

· изложить важнейший материал программы курса, освещающий основные моменты;

· развить у магистрантов потребность к самостоятельной работе над учебной и научной литературой .

Главной задачей каждой лекции является раскрытие сущности темы и анализ ее главных положений. Рекомендуется на первой лекции довести до внимания магистрантов структуру курса и его разделы, а в дальнейшем указывать начало каждого раздела, суть и его задачи, а, закончив изложение, подводить итог по этому разделу, чтобы связать его со следующим.

Методика проведения лабораторных занятий

Целями проведения лабораторных работ являются:

· установление связей теории с практикой в форме экспериментального подтверждения положений теории;

· обучение магистрантов умению анализировать полученные результаты;

· контроль самостоятельной работы магистрантов по освоению курса;

· обучение навыкам профессиональной деятельности

Цели лабораторного практикума достигаются наилучшим образом в том случае, если выполнению эксперимента предшествует определенная подготовительная внеаудиторная работа. Поэтому преподаватель обязан довести до всех магистрантов график выполнения лабораторных работ с тем, чтобы они могли заниматься целенаправленной домашней подготовкой.

Перед началом очередного занятия преподаватель должен удостовериться в готовности магистрантов к выполнению лабораторной работы путем короткого собеседования и проверки наличия у магистрантов заготовленных протоколов проведения работы.

Успешное освоение дисциплины предполагает активное, творческое участие магистранта путем планомерной, повседневной работы.

Изучение дисциплины следует начинать с проработки рабочей программы, особое внимание, уделяя целям и задачам, структуре и содержанию курса.

Просмотрите конспект сразу после занятий, отметьте материал конспекта лекций, который вызывает затруднения для понимания. Попытайтесь найти ответы на затруднительные вопросы, используя рекомендуемую литературу. Если самостоятельно не удалось разобраться в материале, сформулируйте вопросы и обратитесь за помощью к преподавателю на консультации или ближайшей лекции.

Регулярно отводите время для повторения пройденного материала, проверяя свои знания, умения и навыки по контрольным вопросам.

Выполнение лабораторных работ

На занятии получите у преподавателя график выполнения лабораторных работ. Обзаведитесь всем необходимым методическим обеспечением.

Перед посещением лаборатории изучите теорию вопроса, предполагаемого к исследованию, ознакомьтесь с руководством по соответствующей работе и подготовьте протокол проведения работы, в который занесите:

· название работы;

· заготовки таблиц для заполнения экспериментальными данными наблюдений;

· уравнения химических реакций превращений, которые будут осуществлены при выполнении эксперимента;

· расчетные формулы.

Оформление отчетов должно проводиться после окончания работы в лаборатории или в другом отведенном под занятия месте.

Для подготовки к защите отчета следует проанализировать экспериментальные результаты, сопоставить их с известными теоретическими положениями или справочными данными, обобщить результаты исследований в виде выводов по работе, подготовить ответы на вопросы, приводимые в методических указаниях к выполнению лабораторных работ.

9. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Для проведения компьютерного практикума необходим компьютерный класс, позволяющий предоставить отдельное рабочее место для каждого слушателя. Компьютеры должны иметь параметры, достаточные для функционирования изучаемых программ. В случае использования недостаточно мощных компьютеров, можно порекомендовать использовать более старые версии программ или заменить некоторые изучаемые программы на менее ресурсоемкие. Компьютеры должны иметь выход в сеть Интернет. На компьютерах должна быть установлена Windows XP (или старше), а также комплект изучаемых программ (см. соотвествующий раздел пункта 8 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ).

В компьютерном классе должна быть большая доска, мел, тряпка.

Мы уже говорили о том, что математический подход к изучению тех или иных явлений реального мира начинается обычно с создания соответствующих общих понятий, т. е. с построения математических моделей, обладающих существенными для нас свойствами тех систем и процессов, которые мы изучаем. Мы упоминали и о тех трудностях, с которыми Связано построение таких моделей в биологии, трудностях, обусловленных чрезвычайной сложностью биологических систем. Однако, несмотря на эти трудности, "модельный" подход к биологическим проблемам сейчас успешно развивается и уже принес определенные результаты. Мы рассмотрим некоторые модели, относящиеся к различным биологическим процессам и системам.

Говоря о роли моделей в биологических исследованиях, важно заметить следующее. Хотя термин «модель» мы понимаем в абстрактном смысле - как некоторую систему логических понятий, а не как реальное физическое устройство, все же модель - это нечто существенно большее, чем простое описание явления или чисто качественная гипотеза, в которых еще остается достаточно места для разного рода неясностей и субъективных мнений. Напомним следующий пример, относящийся к довольно далекому прошлому. В свое время Гельмгольц, занимаясь изучением слуха, выдвинул так называемую резонансную теорию, выглядевшую правдоподобно с чисто качественной стороны. Однако проведенные позже количественные расчеты, учитывающие реальные значения масс, упругости и вязкости составляющих слуховую систему компонент, показали несостоятельность этой гипотезы. Иначе говоря, попытка превратить чисто качественную гипотезу в точную модель, допускающую ее исследование математическими методами, сразу же обнаружила несостоятельность исходных принципов. Конечно, если мы построили некоторую модель и даже получили хорошее согласие между этой моделью и результатами соответствующего биологического эксперимента, то это еще не доказывает правильности нашей модели. Вот если мы на основании изучения нашей модели сможем сделать какие-то предсказания о той биологической системе, которую мы моделируем, а затем подтвердим эти предсказания реальным экспериментом, то это будет гораздо более ценным свидетельством в пользу правильности модели.

Но перейдем к конкретным примерам.

2.Кровообращение

Одной из первых, если не самой первой, работой по математическому моделированию биологических процессов следует считать работу Леонарда Эйлера, в которой он развил математическую теорию кровообращения, рассматривая в первом приближении всю кровеносную систему как состоящую из резервуара с упругими стенками, периферического сопротивления и насоса. Эти идеи Эйлера (как и некоторые другие его работы) были сперва основательно забыты, а затем возрождены в более поздних работах других авторов.

3. Законы Менделя

Достаточно давняя и хорошо известная, но тем не менее весьма замечательная модель в биологии - это менделевская теория наследственности. Эта модель, основанная на теоретико-вероятностных понятиях, состоит в том, что в хромосомах родительских клеток заложены определенные наборы признаков, которые при оплодотворении комбинируются между собой независимо и случайно. В дальнейшем эта основная идея подверглась весьма существенным уточнениям; так, например, было обнаружено, что разные признаки не всегда независимы друг от друга; если они связаны с одной и той же хромосомой, то они могут передаваться лишь в определенной комбинации. Далее, обнаружилось, что и разные хромосомы комбинируются не независимо, а имеет место свойство, названное сродством хромосом, нарушающее эту независимость и т. д. В настоящее время теоретико-вероятностные и статистические методы весьма широко проникли в генетические исследования и даже термин «математическая генетика» получил полные права гражданства. Сейчас в этой области ведется интенсивная работа, получено много результатов, интересных как с биологической, так и с чисто математической точки зрения. Однако в самой основе этих исследований лежит та модель, которая была создана Менделем более 100 лет назад.

4. Модели мышцы

Одним из интереснейших объектов физиологического исследования является мышца. Этот объект весьма доступен, и многие исследования экспериментатор может проделать просто на себе, располагая лишь сравнительно несложным оборудованием. Достаточно ясны и определенны и те функции, которые выполняет мышца в живом организме. Несмотря на все это, многочисленные попытки построить удовлетворительную модель работы мышцы не дали окончательных результатов. Ясно, что хотя мышца может растягиваться и сокращаться, подобно пружине, их свойства совершенно различны, и даже в самом первом приближении пружину нельзя рассматривать как подобие мышцы. Для пружины существует строгая зависимость между ее удлинением и приложенной к ней нагрузкой. Для мышцы это не так: мышца может менять свою длину, сохраняя натяжение, и наоборот, менять силу тяги, не изменяя длины. Проще говоря, при одной и той же длине мышца может быть расслаблена, а может быть напряжена.

Среди различных режимов работы, возможных для мышцы, наиболее существенны так называемое изотоническое сокращение (т. е. сокращение, при котором напряжение мышцы остается постоянным) и изометрическое напряжение, при котором не меняется длина мышцы (оба ее конца неподвижно закреплены). Исследование мышцы в этих режимах важно для понимания принципов ее работы, хотя в естественных условиях активность мышцы не бывает ни чисто изотонической, ни чисто изометрической.

Для описания соотношения между скоростью изотонического сокращения мышцы и величиной нагрузки были предложены различные математические формулы. Наиболее известная из них - так называемое характеристическое уравнение Хилла. Оно имеет вид

(P+a)V=b(P 0 -P) ,

Другие хорошо известные формулы для описания этой же связи - это уравнение Обера

P = Р 0 e- V⁄P ±F

и уравнение Полиссара

V=const (А 1-P/P 0 - B 1-P/P 0) .

Уравнение Хилла получило широкое распространение в физиологии; оно дает достаточно хорошее совпадение с экспериментом для мышц самых разных животных, хотя на самом деле оно представляет собой результат «подбора», а не вывод из некоторой модели. Два других уравнения, дающих в довольно широком диапазоне нагрузок примерно ту же зависимость, что и уравнение Хилла, получены их авторами из определенных представлений о физико-химическом механизме мышечного сокращения. Существует ряд попыток построить модель работы мышцы, рассматривая последнюю как некоторую комбинацию упругих и вязких элементов. Однако до сих пор достаточно удовлетворительной модели, отражающей все основные черты работы мышцы в различных режимах, не существует.

5. Модели нейрона, нейронные сети

Нервные клетки, или нейроны, это те «рабочие единицы», из которых состоит нервная система и которым организм животного или человека обязан всеми своими способностями воспринимать внешние сигналы и управлять различными частями тела. Характерная черта нервных клеток состоит в том, что такая клетка может находиться в двух состояниях - покоя и возбуждения. В этом нервные клетки сходны с такими элементами, как радиолампы или полупроводниковые триггеры, из которых собираются логические схемы вычислительных машин. За последние 15-20 лет было предпринято много попыток моделировать деятельность нервной системы, исходя из тех же принципов, на которых основана работа универсальных вычислительных машин. Еще в 40-х годах американские исследователи Мак-Каллок и Питтс ввели понятие «формального нейрона», определив его как элемент (физическая природа которого не играет роли), снабженный некоторым количеством «возбуждающих» и некоторым количеством «тормозящих» входов. Сам этот элемент может находиться в двух состояниях - «покой» или «возбуждение». Возбужденное состояние наступает в том случае, если на нейрон пришло достаточное число возбуждающих сигналов и нет тормозящих сигналов. Мак-Каллок и Питтс показали, что с помощью схем, составленных из таких элементов, можно, в принципе, реализовать любой из типов обработки информации, происходящих в живом организме. Это, однако, вовсе не означает, что мы тем самым познали действительные принципы работы нервной системы. Прежде всего, хотя для нервных клеток характерен принцип «все или ничего», т. е. наличие двух четко выраженных состояний - покой и возбуждение, отсюда вовсе не следует, что наша нервная система, подобно универсальной вычислительной машине, пользуется двоичным цифровым кодом, состоящим из нулей и единиц. Например, в нервной системе существенную роль играет, видимо, частотная модуляция, т. е. передача информации с помощью длин временных интервалов между импульсами. Вообще в нервной системе нет, видимо, такого разделения способов кодирования информации на «цифровые» дискретные) и «аналоговые» (непрерывные), какое имеется в современной вычислительной технике.

Для того чтобы система нейронов работала как некоторое целое, необходимо, чтобы между этими нейронами были определенные связи: импульсы, генерируемые одним нейроном, должны поступать на входы других нейронов. Эти связи могут иметь правильную, регулярную структуру, а могут определяться лишь статистическими закономерностями и подвергаться тем или иным случайным изменениям. В существующих сейчас вычислительных устройствах никакой случайности в соединениях между элементами не допускается, однако имеется ряд теоретических исследований по поводу возможности построения вычислительных устройств, основанных на принципах случайных связей между элементами. Есть достаточно серьезные доводы в пользу того, что связи между реальными нейронами в нервной системе тоже носят в значительной мере статистический, а не строго регулярный характер. Однако мнения по этому поводу расходятся.

В целом, по поводу проблемы моделирования нервной системы можно сказать следующее. Мы уже довольно много внаем об особенностях работы нейронов, т. е. тех элементов, из которых состоит нервная система. Более того, с помощью систем формальных нейронов (понимаемых в смысле Мак- Каллока и Питтса или в каком-либо ином), имитирующих основные свойства реальных нервных клеток, можно моделировать, как уже говорилось, весьма разнообразные способы обработки информации. Тем не менее мы еще довольно далеки от четкого понимания основных принципов работы нервной системы и отдельных ее частей, а следовательно, и от создания ее удовлетворительной модели * .

* (Если мы можем создать какую-то систему, умеющую решать такие же задачи, что и какая-то другая система, то это еще не значит, что обе системы работают по одним и тем же принципам. Например, можно численно решать дифференциальное уравнение на цифровой вычислительной машине, задав ей соответствующую программу, а можно то же уравнение решать на аналоговой машине. Мы получим одинаковые или почти одинаковые результаты, но принципы обработки информации в этих двух типах машин совершенно различные. )

6. Восприятие зрительных образов. Цветное зрение

Зрение - один из основных каналов, по которому к нам поступают сведения о внешнем мире. Известное выражение - лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать - справедливо, между прочим, и с чисто информационной точки зрения: количество информации, которое мы воспринимаем с помощью зрения, несравненно больше, чем воспринимаемое другими органами чувств. Эта важность зрительной системы для живого организма наряду с другими соображениями (специфичность функций, возможность проведения разнообразных исследований без каких-либо повреждений системы и т. д.) стимулировала ее изучение и, в частности, попытки модельного подхода к этой проблеме.

Глаз представляет собой орган, служащий одновременно и оптической системой и устройством для обработки информации. И с той и с другой точки зрения эта система обладает рядом удивительных свойств. Замечательна способность глаза приспосабливаться к очень широкому диапазону интенсивностей освещения и правильно воспринимать при этом все цвета. Например, находящийся в плохо освещенной комнате кусок мела отражает меньше света, чем кусок угля, вынесенный на яркий солнечный свет, тем не менее мы в каждом из этих случаев воспринимаем цвета соответствующих предметов правильно. Глаз хорошо передает относительные различия в интенсивностях освещения и даже их несколько «утрирует». Так, серая линия на ярко-белом фоне кажется нам более темной, чем сплошное поле того же серого цвета. Эта способность глаза подчеркивать контрасты освещенности связана с тем, что зрительные нейроны оказывают друг на друга тормозящее действие: если из двух соседних нейронов первый получает более сильный сигнал, чем второй, то он оказывает на второй интенсивное тормозящее действие, и на выходе этих нейронов разница в интенсивности получается больше, чем была разница в интенсивности входных сигналов. Модели, состоящие из формальных нейронов, соединенных между собой как возбуждающими, так и тормозящими связями, привлекают внимание как физиологов, так и математиков. Здесь имеются и интересные результаты и нерешенные вопросы.

Большой интерес представляет механизм восприятия глазом различных цветов. Как известно, все оттенки цветов, воспринимаемых нашим глазом, могут быть представлены как комбинации трех основных цветов. Обычно в качестве таких основных цветов берут красный, синий и желтый цвета, отвечающие длинам волн 700, 540 и 450 Å, но этот выбор не однозначен.

«Трехцветность» нашего зрения связана с тем, что в глазу человека имеются рецепторы трех типов, с максимумами чувствительности в желтой, синей и красной зонах соответственно. Вопрос о том, как мы с помощью этих трех рецепторов различаем большое количество цветовых оттенков, весьма не прост. Например, недостаточно ясно еще - чем именно кодируется тот или иной цвет в нашем глазу: частотой нервных импульсов, локализацией того нейрона, который преимущественно реагирует на данный оттенок цвета, или чем-либо еще. Существуют некоторые модельные представления об этом процессе восприятия оттенков, однако они еще носят довольно предварительный характер. Несомненно, впрочем, что и здесь существенную роль должны играть системы нейронов, соединенных между собой как возбуждающими, так и тормозящими связями.

Наконец, глаз весьма интересен и как кинематическая система. Рядом остроумных опытов (многие из них были выполнены в лаборатории физиологии зрения Института проблем передачи информации в Москве) был установлен следующий на первый взгляд неожиданный факт: если некоторое изображение неподвижно относительно глаза, то глаз его не воспринимает. Наш глаз, осматривая какой-либо предмет, буквально «ощупывает» его (эти движения глаза можно при помощи соответствующей аппаратуры точно зарегистрировать). Изучение двигательного аппарата глаза и разработка соответствующих модельных представлений достаточно интересны как сами по себе, так и в связи с другими (оптическими, информационными и т. п.) свойствами нашей зрительной системы.

Резюмируя, можно сказать, что мы еще далеки от создания вполне удовлетворительных моделей зрительной системы, хорошо описывающих все ее основные свойства. Однако ряд важных аспектов и (принципов ее работы уже достаточно ясен и может быть смоделирован в виде вычислительных программ для УЦВМ или даже в виде технических устройств.

7. Модель активной среды. Распространение возбуждения

Одно из весьма характерных свойств многих живых тканей, в первую очередь нервной ткани, это их способность к возбуждению и к передаче возбуждения от одних участков к соседним с ними. Примерно раз в секунду волна возбуждения пробегает по нашей сердечной мышце, заставляя ее сокращаться и гнать кровь по всему телу. По нервным волокнам возбуждение, распространяясь от периферии (органов чувств) к спинному и головному мозгу, информирует нас о внешнем мире, а в обратном направлении идут возбуждения-команды, предписывающие мышцам те или иные действия.

Возбуждение в нервной клетке может возникнуть само по себе (как говорят, «спонтанно»), под действием возбужденной соседней клетки или же под влиянием какого-либо внешнего сигнала, скажем, электрического раздражения, идущего от некоторого источника тока. Перейдя в возбужденное состояние, клетка пребывает в нем некоторое время, а затем возбуждение исчезает, после чего наступает определенный период невосприимчивости клетки к новым раздражениям - так называемый рефрактерный период. В течение этого периода клетка не реагирует на поступающие к ней сигналы. Затем клетка снова переходит в первоначальное состояние, из которого возможен переход в состояние возбуждения. Таким образом, возбуждение нервных клеток обладает рядом четко выраженных свойств, отправляясь от которых можно построить аксиоматическую модель этого явления. Далее для исследования этой модели могут быть применены чисто математические методы.

Представления о такой модели были развиты несколько лет тому назад в работах И. М. Гельфанда и М. Л. Цетлина, продолженных затем рядом других авторов. Сформулируем аксиоматическое описание модели, о которой идет речь.

Будем под «возбудимой средой» понимать некоторое множество X элементов («клеток»), обладающих следующими свойствами:

1.Каждый элемент может находиться в одном из трех состояний: покой, возбуждение и рефрактерность;

2.От каждого возбужденного элемента возбуждение распространяется по множеству элементов, находящихся в покое, с некоторой скоростью v ;

3.Если элемент х не был возбужден в течение некоторого определенного времени Т(х) , то по прошествии этого времени он самопроизвольно переходит в возбужденное состояние. Время Т(х) называется периодом спонтанной активности элемента х . При этом не исключается и тот случай, когда Т(х)= ∞ , т. е. когда спонтанная активность на самом деле отсутствует;

4.Состояние возбуждения длится некоторое время τ (которое может зависеть от х ), потом элемент переходит на время R(x) в рефрактерное состояние, после чего наступает состояние покоя.

Похожие математические модели возникают и в совсем других областях, например в теории горения, или в задачах о распространении света в неоднородной среде. Однако наличие «периода рефрактерности» является характерной чертой именно биологических процессов.

Описанную модель можно исследовать или аналитическими методами, или с помощью реализации ее на вычислительной машине. В последнем случае мы, понятно, вынуждены считать, что множество X (возбудимая среда) состоит из некоторого конечного числа элементов (в соответствии с возможностями существующей вычислительной техники - порядка нескольких тысяч). Для аналитического исследования естественно предполагать X некоторым непрерывным многообразием (например, считать, что X - это кусок плоскости). Простейший случай такой модели получается, если принять за X некоторый отрезок (прототип нервного волокна) и предположить, что время, в течение которого каждый элемент находится в возбужденном состоянии, очень мало. Тогда процесс последовательного распространения импульсов по такому «нервному волокну» может быть описан цепочкой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Уже в этой упрощенной модели воспроизводится ряд особенностей процесса распространения, обнаруживаемых и в реальных биологических экспериментах.

Весьма интересен как с теоретической, так и с прикладной медицинской точки зрения вопрос об условиях возникновения в такой модельной активной среде так называемой фибрилляции. Это явление, наблюдаемое экспериментально, например на сердечной мышце, состоит в том, что вместо ритмических согласованных сокращений в сердце возникают беспорядочные локальные возбуждения, лишенные периодичности и нарушающие его функционирование. Впервые теоретическое исследование этой проблемы было предпринято в работе Н. Винера и А. Розенблюта в 50-х годах. В настоящее время работы в этом направлении интенсивно ведутся у нас и дали уже ряд интересных результатов.