El numerador, y lo que se divide por es el denominador.
Para escribir una fracción, primero escribe el numerador, luego dibuja una línea horizontal debajo del número y escribe el denominador debajo de la línea. La línea horizontal que separa el numerador y el denominador se llama línea de fracción. A veces se representa como una "/" o "∕" oblicua. En este caso, el numerador se escribe a la izquierda de la línea y el denominador a la derecha. Así, por ejemplo, la fracción “dos tercios” se escribirá como 2/3. Para mayor claridad, el numerador generalmente se escribe en la parte superior de la línea y el denominador en la parte inferior, es decir, en lugar de 2/3 puedes encontrar: ⅔.
Para calcular el producto de fracciones, primero multiplica el numerador de uno fracciones al numerador es diferente. Escribe el resultado en el numerador del nuevo fracciones. Después de esto, multiplica los denominadores. Introduzca el valor total en el nuevo fracciones. Por ejemplo, ¿1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
Para dividir una fracción entre otra, primero se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda. Haz lo mismo con la segunda fracción (divisor). O, antes de realizar todas las acciones, primero "voltea" el divisor, si te resulta más conveniente: el denominador debe estar en lugar del numerador. Luego multiplica el denominador del dividendo por el nuevo denominador del divisor y multiplica los numeradores. Por ejemplo, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1? 5 = 5; 3? 1 = 3).
Fuentes:
- Problemas básicos de fracciones
Los números fraccionarios te permiten expresar el valor exacto de una cantidad en diferentes formas. Puedes hacer las mismas operaciones matemáticas con fracciones que con números enteros: resta, suma, multiplicación y división. para aprender a decidir fracciones, debemos recordar algunas de sus características. Dependen del tipo fracciones, la presencia de una parte entera, un denominador común. Algunas operaciones aritméticas requieren que la parte fraccionaria del resultado se reduzca después de la ejecución.
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Instrucciones
Mire de cerca los números. Si entre las fracciones hay decimales e irregulares, a veces es más conveniente realizar primero operaciones con decimales y luego convertirlas a la forma irregular. ¿Puedes traducir? fracciones de esta forma inicialmente, escribiendo el valor después del punto decimal en el numerador y poniendo 10 en el denominador. Si es necesario, reduce la fracción dividiendo los números de arriba y de abajo por un divisor. Las fracciones en las que se aísla una parte entera deben convertirse a la forma incorrecta multiplicándola por el denominador y sumando el numerador al resultado. Este valor se convertirá en el nuevo numerador. fracciones. Para seleccionar una parte entera a partir de una inicialmente incorrecta fracciones, necesitas dividir el numerador por el denominador. Escribe el resultado completo de fracciones. Y el resto de la división se convertirá en el nuevo numerador, denominador. fracciones no cambia. Para fracciones con parte entera, es posible realizar acciones por separado, primero para la parte entera y luego para las partes fraccionarias. Por ejemplo, se puede calcular la suma de 1 2/3 y 2 ¾:
- Convertir fracciones a la forma incorrecta:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Suma de partes de términos, enteras y fraccionarias por separado:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Vuelve a escribirlos usando el separador “:” y continúa con la división normal.
Para obtener el resultado final, reduce la fracción resultante dividiendo el numerador y el denominador por un número entero, el mayor posible en este caso. En este caso, debe haber números enteros encima y debajo de la línea.
tenga en cuenta
No realices aritmética con fracciones cuyos denominadores sean diferentes. Elige un número tal que al multiplicar el numerador y el denominador de cada fracción por él, el resultado sea que los denominadores de ambas fracciones sean iguales.
Consejos útiles
Al escribir números fraccionarios, el dividendo se escribe encima de la línea. Esta cantidad se designa como el numerador de la fracción. El divisor o denominador de la fracción se escribe debajo de la línea. Por ejemplo, un kilo y medio de arroz como fracción se escribirá de la siguiente manera: 1 ½ kg de arroz. Si el denominador de una fracción es 10, la fracción se llama decimal. En este caso, el numerador (dividendo) se escribe a la derecha de la parte entera, separado por una coma: 1,5 kg de arroz. Para facilitar el cálculo, esta fracción siempre se puede escribir en forma incorrecta: 1 2/10 kg de patatas. Para simplificar, puedes reducir los valores del numerador y denominador dividiéndolos por un número entero. En este ejemplo, puedes dividir entre 2. El resultado será 1 1/5 kg de patatas. Asegúrate de que los números con los que vas a realizar aritmética se presenten en la misma forma.
Acciones con fracciones.
¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)
Entonces, ¿qué son las fracciones, los tipos de fracciones, las transformaciones? Lo recordamos. Vayamos al tema principal.
¿Qué puedes hacer con las fracciones? Sí, todo es igual que con los números normales. Sumar, restar, multiplicar, dividir.
Todas estas acciones con decimal trabajar con fracciones no es diferente de trabajar con números enteros. En realidad, eso es lo bueno de ellos, los decimales. Lo único es que debes poner la coma correctamente.
Números mixtos, como ya dije, son de poca utilidad para la mayoría de acciones. Todavía es necesario convertirlos a fracciones ordinarias.
Pero las acciones con fracciones ordinarias Serán más astutos. ¡Y mucho más importante! Déjame recordarte: todas las acciones con expresiones fraccionarias con letras, senos, incógnitas, etc., no son diferentes de las acciones con fracciones ordinarias.! Las operaciones con fracciones ordinarias son la base de todo el álgebra. Es por ello que aquí analizaremos toda esta aritmética con gran detalle.
Sumar y restar fracciones.
Todos pueden sumar (restar) fracciones con los mismos denominadores (¡eso realmente lo espero!). Bueno, permítanme recordarles a los que son completamente olvidadizos: al sumar (restar), el denominador no cambia. Los numeradores se suman (resta) para dar el numerador del resultado. Tipo:
En resumen, en términos generales:
¿Qué pasa si los denominadores son diferentes? Luego, usando la propiedad básica de una fracción (¡aquí vuelve a ser útil!), ¡hacemos que los denominadores sean iguales! Por ejemplo:
Aquí teníamos que formar la fracción 4/10 a partir de la fracción 2/5. Con el único propósito de igualar los denominadores. Déjame señalar, por si acaso, que 2/5 y 4/10 son la misma fracción! Sólo 2/5 nos resultan incómodos y 4/10 están realmente bien.
Por cierto, esta es la esencia de la resolución de cualquier problema matemático. cuando nosotros de incómodo hacemos expresiones Lo mismo, pero más conveniente para resolver..
Otro ejemplo:
La situación es similar. Aquí obtenemos 48 a partir de 16. Por simple multiplicación por 3. Todo esto está claro. Pero nos encontramos con algo como:
¡¿Cómo ser?! ¡Es difícil sacar un nueve de un siete! ¡Pero somos inteligentes, conocemos las reglas! transformemos cada fracción para que los denominadores sean iguales. A esto se le llama “reducir a un denominador común”:
¡Guau! ¿Cómo supe del 63? ¡Muy sencillo! 63 es un número que es divisible por 7 y 9 al mismo tiempo. Este número siempre se puede obtener multiplicando los denominadores. Si multiplicamos un número por 7, por ejemplo, ¡el resultado seguramente será divisible por 7!
Si necesitas sumar (restar) varias fracciones, no es necesario hacerlo de dos en dos, paso a paso. Sólo necesitas encontrar el denominador común a todas las fracciones y reducir cada fracción a este mismo denominador. Por ejemplo:
¿Y cuál será el denominador común? Por supuesto, puedes multiplicar 2, 4, 8 y 16. Obtenemos 1024. Pesadilla. Es más fácil estimar que el número 16 es perfectamente divisible entre 2, 4 y 8. Por lo tanto, a partir de estos números es fácil obtener 16. Este número será el denominador común. Convirtamos 1/2 en 8/16, 3/4 en 12/16, y así sucesivamente.
Por cierto, si tomas 1024 como denominador común, todo saldrá bien, al final todo se reducirá. Pero no todos llegarán a este extremo, debido a los cálculos...
Complete el ejemplo usted mismo. No es una especie de logaritmo... Debería ser 29/16.
Entonces, espero que la suma (resta) de fracciones sea clara. Por supuesto, es más fácil trabajar en una versión abreviada, con multiplicadores adicionales. Pero este placer está al alcance de quienes trabajaron honestamente en los grados inferiores... Y no olvidaron nada.
Y ahora haremos las mismas acciones, pero no con fracciones, sino con expresiones fraccionarias. Aquí se revelará un nuevo rastrillo, sí...
Entonces, necesitamos sumar dos expresiones fraccionarias:
Necesitamos que los denominadores sean iguales. Y solo con la ayuda multiplicación! Esto es lo que dicta la propiedad principal de una fracción. Por lo tanto, no puedo sumar uno a X en la primera fracción del denominador. (¡eso estaría bien!). Pero si multiplicas los denominadores, verás, ¡todo crece junto! Entonces escribimos la línea de la fracción, dejamos un espacio vacío en la parte superior, luego la sumamos y escribimos el producto de los denominadores debajo, para no olvidar:
Y, por supuesto, no multiplicamos nada del lado derecho, ¡no abrimos los paréntesis! Y ahora, mirando el denominador común del lado derecho, nos damos cuenta: para obtener el denominador x(x+1) en la primera fracción, necesitas multiplicar el numerador y el denominador de esta fracción por (x+1). . Y en la segunda fracción - a x. Esto es lo que obtienes:
¡Prestar atención! ¡Aquí están los paréntesis! Éste es el rastrillo que mucha gente pisa. No los paréntesis, por supuesto, sino su ausencia. Los paréntesis aparecen porque estamos multiplicando. todo numerador y todo¡denominador! Y no sus piezas individuales...
En el numerador del lado derecho escribimos la suma de los numeradores, todo es como en fracciones numéricas, luego abrimos los corchetes en el numerador del lado derecho, es decir. Multiplicamos todo y damos otros similares. ¡No es necesario abrir los paréntesis en los denominadores ni multiplicar nada! En general, en denominadores (cualquiera) ¡el producto siempre es más agradable! Obtenemos:
Entonces obtuvimos la respuesta. El proceso parece largo y difícil, pero depende de la práctica. Una vez que resuelvas los ejemplos, acostúmbrate, todo te resultará sencillo. Aquellos que dominan las fracciones a su debido tiempo hacen todas estas operaciones con una mano izquierda, ¡automáticamente!
Y una nota más. Muchos manejan inteligentemente fracciones, pero se quedan estancados en ejemplos con entero números. Como: 2 + 1/2 + 3/4 =? ¿Dónde sujetar el dos piezas? No es necesario fijarlo en ningún lado, es necesario hacer una fracción de dos. ¡No es fácil, pero sí muy sencillo! 2=2/1. Como esto. Cualquier número entero se puede escribir como fracción. El numerador es el número mismo, el denominador es uno. 7 es 7/1, 3 es 3/1 y así sucesivamente. Lo mismo ocurre con las letras. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, etc. Y luego trabajamos con estas fracciones según todas las reglas.
Bueno, se refrescaron los conocimientos de suma y resta de fracciones. Se repitió la conversión de fracciones de un tipo a otro. También puedes hacerte un chequeo. ¿Lo arreglamos un poco?)
Calcular:
Respuestas (en desorden):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Multiplicación/división de fracciones - en la próxima lección. También hay tareas para todas las operaciones con fracciones.
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Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)
Puede familiarizarse con funciones y derivadas.
Acordemos que "acciones con fracciones" en nuestra lección significarán acciones con fracciones ordinarias. Una fracción común es una fracción que tiene atributos como un numerador, una línea de fracción y un denominador. Esto distingue una fracción ordinaria de un decimal, que se obtiene a partir de una fracción ordinaria reduciendo el denominador a un múltiplo de 10. La fracción decimal se escribe con una coma que separa la parte entera de la parte fraccionaria. Hablaremos de operaciones con fracciones ordinarias, ya que son las que mayores dificultades causan a los alumnos que han olvidado los conceptos básicos de este tema, tratado en la primera mitad del curso de matemáticas escolar. Al mismo tiempo, al transformar expresiones en matemáticas superiores, se utilizan principalmente operaciones con fracciones ordinarias. ¡Las abreviaturas de fracciones por sí solas valen la pena! Las fracciones decimales no causan ninguna dificultad especial. Así que ¡adelante!
Se dice que dos fracciones son iguales si.
Por ejemplo, desde
Las fracciones y (desde) y (desde) también son iguales.
Evidentemente ambas fracciones y son iguales. Esto significa que si multiplicas o divides el numerador y el denominador de una fracción dada por el mismo número natural, obtendrás una fracción igual a la dada: .
Esta propiedad se llama propiedad básica de una fracción.
La propiedad básica de una fracción se puede utilizar para cambiar los signos del numerador y denominador de una fracción. Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican por -1, obtenemos. Esto significa que el valor de una fracción no cambiará si se cambian los signos del numerador y del denominador al mismo tiempo. Si cambias el signo solo del numerador o solo del denominador, entonces la fracción cambiará de signo:
Reducir fracciones
Usando la propiedad básica de una fracción, puedes reemplazar una fracción dada con otra fracción que sea igual a la dada, pero con un numerador y denominador más pequeños. Esta sustitución se llama reducción de fracciones.
Por ejemplo, démosle una fracción. Los números 36 y 48 tienen un máximo común divisor de 12. Entonces
.
En general, siempre es posible reducir una fracción si el numerador y el denominador no son números primos entre sí. Si el numerador y el denominador son números primos entre sí, entonces la fracción se llama irreducible.
Entonces, reducir una fracción significa dividir el numerador y el denominador de la fracción por un factor común. Todo lo anterior también se aplica a expresiones fraccionarias que contienen variables.
Ejemplo 1. Reducir una fracción
Solución. Para factorizar el numerador, presentando primero el monomio - 5 xy como suma - 2 xy - 3xy, obtenemos
Para factorizar el denominador utilizamos la fórmula de diferencia de cuadrados:
Como resultado
.
Reducir fracciones a un denominador común
Sean dos fracciones y . Tienen denominadores diferentes: 5 y 7. Usando la propiedad básica de las fracciones, puedes reemplazar estas fracciones por otras que sean iguales a ellas, y de manera que las fracciones resultantes tengan los mismos denominadores. Multiplicando el numerador y denominador de la fracción por 7, obtenemos
Multiplicando el numerador y denominador de la fracción por 5 obtenemos
Entonces, las fracciones se reducen a un denominador común:
.
Pero esta no es la única solución al problema: por ejemplo, estas fracciones también se pueden reducir a un denominador común de 70:
,
y en general a cualquier denominador divisible tanto por 5 como por 7.
Consideremos otro ejemplo: llevemos las fracciones y a un denominador común. Argumentando como en el ejemplo anterior, obtenemos
,
.
Pero en este caso, es posible reducir las fracciones a un denominador común menor que el producto de los denominadores de estas fracciones. Encontremos el mínimo común múltiplo de los números 24 y 30: MCM(24, 30) = 120.
Como 120:4 = 5, para escribir una fracción con denominador 120, necesitas multiplicar tanto el numerador como el denominador por 5, este número se llama factor adicional. Medio 
.
A continuación, obtenemos 120:30=4. Multiplicando el numerador y denominador de la fracción por un factor adicional de 4, obtenemos 
.
Entonces, estas fracciones se reducen a un denominador común.
El mínimo común múltiplo de los denominadores de estas fracciones es el mínimo común denominador posible.
Para expresiones fraccionarias que involucran variables, el denominador común es un polinomio que se divide por el denominador de cada fracción.
Ejemplo 2. Encuentra el denominador común de las fracciones y.
Solución. El denominador común de estas fracciones es un polinomio, ya que es divisible por ambos y. Sin embargo, este polinomio no es el único que puede ser denominador común de estas fracciones. También puede ser un polinomio. 
y polinomio 
y polinomio 
etc. Suelen tomar un denominador común tal que cualquier otro denominador común se divide por el elegido sin resto. Este denominador se llama mínimo común denominador.
En nuestro ejemplo, el mínimo común denominador es. Recibió:
;
.
Pudimos reducir fracciones a su mínimo común denominador. Esto sucedió multiplicando el numerador y denominador de la primera fracción por y el numerador y denominador de la segunda fracción por . Los polinomios se denominan factores adicionales, respectivamente, para la primera y segunda fracción.
Sumar y restar fracciones
La suma de fracciones se define de la siguiente manera:
.
Por ejemplo,
.
Si b = d, Eso
.
Esto quiere decir que para sumar fracciones con el mismo denominador basta con sumar los numeradores y dejar el denominador igual. Por ejemplo,
.
Si sumas fracciones con diferentes denominadores, generalmente reduces las fracciones al mínimo común denominador y luego sumas los numeradores. Por ejemplo,
.
Ahora veamos un ejemplo de cómo sumar expresiones fraccionarias con variables.
Ejemplo 3. Convertir expresión a una fracción
.
Solución. Encontremos el mínimo común denominador. Para hacer esto, primero factorizamos los denominadores.
Este artículo trata sobre fracciones comunes. Aquí introduciremos el concepto de fracción de un todo, lo que nos llevará a la definición de fracción común. A continuación nos detendremos en la notación aceptada para fracciones ordinarias y daremos ejemplos de fracciones, digamos sobre el numerador y denominador de una fracción. Después de esto, daremos definiciones de fracciones propias e impropias, positivas y negativas, y también consideraremos la posición de los números fraccionarios en el rayo de coordenadas. En conclusión, enumeramos las principales operaciones con fracciones.
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Acciones del todo
Primero presentamos concepto de compartir.
Supongamos que tenemos algún objeto formado por varias partes absolutamente idénticas (es decir, iguales). Para mayor claridad, podemos imaginar, por ejemplo, una manzana cortada en varias partes iguales o una naranja formada por varias rodajas iguales. Cada una de estas partes iguales que forman el objeto total se llama partes del todo o simplemente acciones.
Tenga en cuenta que las acciones son diferentes. Expliquemos esto. Tengamos dos manzanas. Corta la primera manzana en dos partes iguales y la segunda en 6 partes iguales. Está claro que la proporción de la primera manzana será diferente de la proporción de la segunda manzana.
Dependiendo del número de acciones que componen el objeto total, estas acciones tienen nombres propios. vamos a solucionarlo nombres de ritmos. Si un objeto consta de dos partes, cualquiera de ellas se llama segunda parte del objeto total; si un objeto consta de tres partes, cualquiera de ellas se llama tercera parte, y así sucesivamente.
Una segunda acción tiene un nombre especial: medio. un tercio se llama tercero, y una cuarta parte - un cuarto.
En aras de la brevedad, se introdujo lo siguiente: símbolos de ritmo. Una segunda acción se designa como o 1/2, una tercera acción se designa como o 1/3; una cuarta parte, como 1/4, y así sucesivamente. Tenga en cuenta que la notación con barra horizontal se utiliza con más frecuencia. Para reforzar el material, pongamos un ejemplo más: la entrada denota la ciento sesenta y siete parte del total.
El concepto de participación se extiende naturalmente desde los objetos hasta las cantidades. Por ejemplo, una de las medidas de longitud es el metro. Para medir longitudes inferiores a un metro, se pueden utilizar fracciones de metro. Así puedes utilizar, por ejemplo, medio metro o una décima o una milésima de metro. Las proporciones de otras cantidades se aplican de manera similar.
Fracciones comunes, definición y ejemplos de fracciones.
Para describir el número de acciones que utilizamos fracciones comunes. Pongamos un ejemplo que nos permitirá acercarnos a la definición de fracciones ordinarias.
Deja que la naranja consta de 12 partes. Cada acción en este caso representa una doceava parte de una naranja entera, es decir, . Denotamos dos tiempos como , tres tiempos como , y así sucesivamente, 12 tiempos los denotamos como . Cada una de las entradas dadas se llama fracción ordinaria.
Ahora demos un general. definición de fracciones comunes.
La definición sonora de fracciones ordinarias nos permite dar ejemplos de fracciones comunes: 5/10, , 21/1, 9/4, . Y aquí están los registros. 
no se ajustan a la definición establecida de fracciones ordinarias, es decir, no son fracciones ordinarias.
Numerador y denominador
Por conveniencia, se distinguen las fracciones ordinarias. numerador y denominador.
Definición.
Numerador la fracción común (m/n) es un número natural m.
Definición.
Denominador la fracción común (m/n) es un número natural n.
Entonces, el numerador está ubicado encima de la línea de fracción (a la izquierda de la barra) y el denominador está ubicado debajo de la línea de fracción (a la derecha de la barra). Por ejemplo, tomemos la fracción común 17/29, el numerador de esta fracción es el número 17 y el denominador es el número 29.
Queda por discutir el significado contenido en el numerador y denominador de una fracción ordinaria. El denominador de una fracción muestra de cuántas partes consta un objeto y el numerador, a su vez, indica el número de dichas partes. Por ejemplo, el denominador 5 de la fracción 12/5 significa que un objeto consta de cinco acciones, y el numerador 12 significa que se toman 12 de esas acciones.
Número natural como fracción con denominador 1
El denominador de una fracción común puede ser igual a uno. En este caso, podemos considerar que el objeto es indivisible, es decir, representa algo completo. El numerador de dicha fracción indica cuántos objetos enteros se toman. Por tanto, una fracción ordinaria de la forma m/1 tiene el significado de un número natural m. Así fundamentamos la validez de la igualdad m/1=m.
Reescribamos la última igualdad de la siguiente manera: m=m/1. Esta igualdad nos permite representar cualquier número natural m como una fracción ordinaria. Por ejemplo, el número 4 es la fracción 4/1 y el número 103.498 es igual a la fracción 103.498/1.
Entonces, cualquier número natural m se puede representar como una fracción ordinaria con un denominador de 1 como m/1, y cualquier fracción ordinaria de la forma m/1 se puede sustituir por un número natural m..
Barra de fracción como signo de división
Representar el objeto original en forma de n acciones no es más que dividirlo en n partes iguales. Después de dividir un artículo en n partes, podemos dividirlo en partes iguales entre n personas; cada una recibirá una parte.
Si inicialmente tenemos m objetos idénticos, cada uno de los cuales está dividido en n partes, entonces podemos dividir equitativamente estos m objetos entre n personas, dando a cada persona una parte de cada uno de los m objetos. En este caso, cada persona tendrá m partes de 1/n, y m partes de 1/n da la fracción común m/n. Por tanto, la fracción común m/n se puede utilizar para denotar la división de m elementos entre n personas.
Así es como obtuvimos una conexión explícita entre fracciones ordinarias y división (ver la idea general de dividir números naturales). Esta conexión se expresa de la siguiente manera: la línea de fracción puede entenderse como un signo de división, es decir, m/n=m:n.
Usando una fracción ordinaria, puedes escribir el resultado de dividir dos números naturales para los cuales no se puede realizar una división completa. Por ejemplo, el resultado de dividir 5 manzanas entre 8 personas se puede escribir como 5/8, es decir, todos obtendrán cinco octavos de una manzana: 5:8 = 5/8.
Fracciones iguales y desiguales, comparación de fracciones.
Una acción bastante natural es comparando fracciones, porque está claro que 1/12 de naranja es diferente a 5/12, y 1/6 de manzana es igual a otro 1/6 de esta manzana.
Como resultado de comparar dos fracciones ordinarias, se obtiene uno de los resultados: las fracciones son iguales o desiguales. En el primer caso tenemos fracciones comunes iguales, y en el segundo – fracciones ordinarias desiguales. Demos una definición de fracciones ordinarias iguales y desiguales.
Definición.
igual, si la igualdad a·d=b·c es verdadera.
Definición.
Dos fracciones comunes a/b y c/d no igual, si no se cumple la igualdad a·d=b·c.
A continuación se muestran algunos ejemplos de fracciones iguales. Por ejemplo, la fracción común 1/2 es igual a la fracción 2/4, ya que 1·4=2·2 (si es necesario, mira las reglas y ejemplos de multiplicación de números naturales). Para mayor claridad, puedes imaginar dos manzanas idénticas, la primera cortada por la mitad y la segunda en 4 partes. Es obvio que dos cuartos de manzana equivalen a 1/2 parte. Otros ejemplos de fracciones comunes iguales son las fracciones 4/7 y 36/63, y el par de fracciones 81/50 y 1.620/1.000.
Pero las fracciones ordinarias 4/13 y 5/14 no son iguales, ya que 4·14=56 y 13·5=65, es decir, 4·14≠13·5. Otros ejemplos de fracciones comunes desiguales son las fracciones 17/7 y 6/4.
Si, al comparar dos fracciones comunes, resulta que no son iguales, entonces es posible que necesites averiguar cuál de estas fracciones comunes menos diferente, y cual - más. Para averiguarlo, se utiliza la regla de comparación de fracciones ordinarias, cuya esencia es llevar las fracciones comparadas a un denominador común y luego comparar los numeradores. La información detallada sobre este tema se recopila en el artículo Comparación de fracciones: reglas, ejemplos, soluciones.
números fraccionarios
Cada fracción es una notación. numero fraccionario. Es decir, una fracción es solo la "cáscara" de un número fraccionario, su apariencia y toda la carga semántica está contenida en el número fraccionario. Sin embargo, por brevedad y conveniencia, los conceptos de fracción y número fraccionario se combinan y se denominan simplemente fracción. Aquí conviene parafrasear un dicho muy conocido: decimos una fracción, nos referimos a un número fraccionario, decimos un número fraccionario, nos referimos a una fracción.
Fracciones en un rayo de coordenadas
Todos los números fraccionarios correspondientes a fracciones ordinarias tienen su propio lugar único, es decir, existe una correspondencia uno a uno entre las fracciones y los puntos del rayo de coordenadas.
Para llegar al punto en el rayo de coordenadas correspondiente a la fracción m/n, es necesario separar m segmentos del origen de coordenadas en la dirección positiva, cuya longitud es 1/n fracción de un segmento unitario. Dichos segmentos se pueden obtener dividiendo un segmento unitario en n partes iguales, lo que siempre se puede hacer usando un compás y una regla.
Por ejemplo, mostremos el punto M en el rayo de coordenadas, correspondiente a la fracción 14/10. La longitud de un segmento que termina en el punto O y el punto más cercano a él, marcado con un guión pequeño, es 1/10 de un segmento unitario. El punto con coordenadas 14/10 se aleja del origen a una distancia de 14 de esos segmentos.
Las fracciones iguales corresponden al mismo número fraccionario, es decir, las fracciones iguales son las coordenadas del mismo punto en el rayo de coordenadas. Por ejemplo, las coordenadas 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 corresponden a un punto del rayo de coordenadas, ya que todas las fracciones escritas son iguales (está ubicado a una distancia de medio segmento unitario dispuesto desde el origen en dirección positiva).
En un rayo de coordenadas horizontal y dirigido hacia la derecha, el punto cuya coordenada es la fracción mayor se encuentra a la derecha del punto cuya coordenada es la fracción menor. De manera similar, un punto con una coordenada menor se encuentra a la izquierda de un punto con una coordenada mayor.
Fracciones propias e impropias, definiciones, ejemplos.
Entre las fracciones ordinarias hay fracciones propias e impropias. Esta división se basa en una comparación del numerador y denominador.
Definamos fracciones ordinarias propias e impropias.
Definición.
fracción adecuada es una fracción ordinaria cuyo numerador es menor que el denominador, es decir, si m Definición.
fracción impropia es una fracción ordinaria en la que el numerador es mayor o igual que el denominador, es decir, si m≥n, entonces la fracción ordinaria es impropia. A continuación se muestran algunos ejemplos de fracciones propias: 1/4, , 32,765/909,003. De hecho, en cada una de las fracciones ordinarias escritas, el numerador es menor que el denominador (si es necesario, consulte el artículo que compara números naturales), por lo que son correctas por definición. Aquí hay ejemplos de fracciones impropias: 9/9, 23/4,. De hecho, el numerador de la primera de las fracciones ordinarias escritas es igual al denominador, y en las fracciones restantes el numerador es mayor que el denominador. También existen definiciones de fracciones propias e impropias, basadas en la comparación de fracciones con uno. Definición. correcto, si es menor que uno. Definición. Una fracción ordinaria se llama equivocado, si es igual a uno o mayor que 1. Entonces la fracción común 7/11 es correcta, ya que 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1, y 27/27=1. Pensemos en cómo las fracciones ordinarias con un numerador mayor o igual que el denominador merecen ese nombre: "impropias". Por ejemplo, tomemos la fracción impropia 9/9. Esta fracción significa que se toman nueve partes de un objeto que consta de nueve partes. Es decir, a partir de las nueve partes disponibles podemos formar un objeto completo. Es decir, la fracción impropia 9/9 esencialmente da el objeto completo, es decir, 9/9 = 1. En general, las fracciones impropias con un numerador igual al denominador denotan un objeto entero, y dicha fracción puede reemplazarse por el número natural 1. Ahora considere las fracciones impropias 7/3 y 12/4. Es bastante obvio que a partir de estas siete terceras partes podemos componer dos objetos enteros (un objeto entero se compone de 3 partes, luego para componer dos objetos enteros necesitaremos 3 + 3 = 6 partes) y todavía quedará un tercio parte izquierda. Es decir, la fracción impropia 7/3 significa esencialmente 2 objetos y también 1/3 de dicho objeto. Y de doce cuartos de partes podemos hacer tres objetos enteros (tres objetos con cuatro partes cada uno). Es decir, la fracción 12/4 significa esencialmente 3 objetos completos. Los ejemplos considerados nos llevan a la siguiente conclusión: las fracciones impropias se pueden reemplazar por números naturales, cuando el numerador se divide uniformemente por el denominador (por ejemplo, 9/9=1 y 12/4=3), o por la suma de un número natural y una fracción propia, cuando el numerador no es divisible por el denominador (por ejemplo, 7/3=2+1/3). Quizás esto sea precisamente lo que le valió a las fracciones impropias el nombre de “irregulares”. De particular interés es la representación de una fracción impropia como la suma de un número natural y una fracción propia (7/3=2+1/3). Este proceso se llama aislar la parte entera de una fracción impropia y merece una consideración aparte y más cuidadosa. También vale la pena señalar que existe una relación muy estrecha entre fracciones impropias y números mixtos. Cada fracción común corresponde a un número fraccionario positivo (consulte el artículo sobre números positivos y negativos). Es decir, las fracciones ordinarias son fracciones positivas. Por ejemplo, las fracciones ordinarias 1/5, 56/18, 35/144 son fracciones positivas. Cuando es necesario resaltar la positividad de una fracción, se coloca un signo más delante de ella, por ejemplo, +3/4, +72/34. Si pones un signo menos delante de una fracción común, entonces esta entrada corresponderá a un número fraccionario negativo. En este caso podemos hablar de fracciones negativas. A continuación se muestran algunos ejemplos de fracciones negativas: −6/10, −65/13, −1/18. Las fracciones positivas y negativas m/n y −m/n son números opuestos. Por ejemplo, las fracciones 5/7 y −5/7 son fracciones opuestas. Las fracciones positivas, como los números positivos en general, denotan una suma, un ingreso, un cambio hacia arriba en cualquier valor, etc. Las fracciones negativas corresponden a gastos, deudas o disminución de cualquier cantidad. Por ejemplo, la fracción negativa −3/4 se puede interpretar como una deuda cuyo valor es igual a 3/4. En dirección horizontal y hacia la derecha, las fracciones negativas se encuentran a la izquierda del origen. Los puntos de la línea de coordenadas, cuyas coordenadas son la fracción positiva m/n y la fracción negativa −m/n, se encuentran a la misma distancia del origen, pero en lados opuestos del punto O. Aquí vale la pena mencionar fracciones de la forma 0/n. Estas fracciones son iguales al número cero, es decir, 0/n=0. Las fracciones positivas, las fracciones negativas y las fracciones 0/n se combinan para formar números racionales. Ya hemos discutido una acción con fracciones ordinarias (comparar fracciones) arriba. Se definen cuatro funciones aritméticas más. operaciones con fracciones– sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones. Veamos cada uno de ellos. La esencia general de las operaciones con fracciones es similar a la esencia de las operaciones correspondientes con números naturales. Hagamos una analogía. Multiplicar fracciones Puede considerarse como la acción de encontrar una fracción a partir de una fracción. Para aclarar, pongamos un ejemplo. Digamos que tenemos 1/6 de manzana y necesitamos tomar 2/3 de ella. La parte que necesitamos es el resultado de multiplicar las fracciones 1/6 y 2/3. El resultado de multiplicar dos fracciones ordinarias es una fracción ordinaria (que en un caso especial es igual a un número natural). A continuación, te recomendamos estudiar la información del artículo Multiplicación de fracciones: reglas, ejemplos y soluciones. Referencias. Esta sección cubre operaciones con fracciones ordinarias. Si es necesario realizar una operación matemática con números mixtos, basta con convertir la fracción mixta en una fracción extraordinaria, realizar las operaciones necesarias y, si es necesario, presentar nuevamente el resultado final en forma de número mixto. . Esta operación se describirá a continuación. Operación matemática. Reducir una fracción Para reducir la fracción \frac(m)(n) necesitas encontrar el máximo común divisor de su numerador y denominador: mcd(m,n), y luego dividir el numerador y denominador de la fracción por este número. Si MCD(m,n)=1, entonces la fracción no se puede reducir. Ejemplo: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4) Por lo general, encontrar inmediatamente el máximo común divisor parece una tarea difícil y, en la práctica, una fracción se reduce en varias etapas, aislando paso a paso los factores comunes obvios del numerador y denominador. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9) Operación matemática. Reducir fracciones a un denominador común Para llevar dos fracciones \frac(a)(b) y \frac(c)(d) a un denominador común necesitas: Así, transformamos las fracciones originales en fracciones con los mismos denominadores (que serán iguales al número M). Por ejemplo, las fracciones \frac(5)(6) y \frac(4)(9) tienen MCM(6,9) = 18. Entonces: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Por tanto, las fracciones resultantes tienen un denominador común. En la práctica, encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de denominadores no siempre es una tarea sencilla. Por tanto, se elige como denominador común un número igual al producto de los denominadores de las fracciones originales. Por ejemplo, las fracciones \frac(5)(6) y \frac(4)(9) se reducen a un denominador común N=6\cdot9: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54) Operación matemática. Comparación de fracciones Para comparar dos fracciones ordinarias necesitas: Al comparar fracciones, existen varios casos especiales: ¡Atención! La regla 1 se aplica a cualquier fracción si su denominador común es un número positivo. Las reglas 2 y 3 se aplican a fracciones positivas (aquellas cuyo numerador y denominador son mayores que cero). Operación matemática. Sumar y restar fracciones Para sumar dos fracciones necesitas: Ejemplo: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63) Para restar otra de una fracción, necesitas: Ejemplo: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3) Si las fracciones originales inicialmente tienen un denominador común, entonces se omite el paso 1 (reducción a un denominador común). Operación matemática. Convertir un número mixto a una fracción impropia y viceversa Para convertir una fracción mixta en una fracción impropia, simplemente suma la parte entera de la fracción mixta con la parte fraccionaria. El resultado de tal suma será una fracción impropia, cuyo numerador es igual a la suma del producto de la parte entera por el denominador de la fracción con el numerador de la fracción mixta, y el denominador seguirá siendo el mismo. Por ejemplo, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11) Para convertir una fracción impropia a un número mixto: Por ejemplo, la fracción \frac(23)(4) . Al dividir 23:4=5.75, es decir, la parte entera es 5, el resto de la división es 23-5*4=3. Entonces el número mixto se escribirá: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4) Operación matemática. Convertir un decimal a una fracción Para convertir una fracción decimal en una fracción común, necesitas: Ejemplo 1: 0.0089=\frac(89)(10000) (hay 4 decimales, por lo que el denominador es 10 4 =10000, como la parte entera es 0, el numerador contiene el número después del punto decimal sin ceros a la izquierda) Ejemplo 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (en el numerador escribimos el número después del punto decimal con todo ceros: “0109”, y luego antes sumamos la parte entera del número original “31”) Si toda la parte de una fracción decimal es distinta de cero, entonces se puede convertir en una fracción mixta. Para hacer esto, convertimos el número en una fracción ordinaria como si la parte entera fuera igual a cero (puntos 1 y 2), y simplemente reescribimos la parte entera delante de la fracción; esta será la parte entera del número mixto. . Ejemplo: 3.014=3\frac(14)(100) Para convertir una fracción a decimal, simplemente divide el numerador por el denominador. A veces terminas con un decimal infinito. En este caso, es necesario redondear al decimal deseado. Ejemplos: \frac(401)(5)=80,2;\quad \frac(2)(3)\aprox0,6667 Operación matemática. Multiplicar y dividir fracciones Para multiplicar dos fracciones ordinarias, debes multiplicar los numeradores y denominadores de las fracciones. \frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18) Para dividir una fracción común por otra, debes multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda ( fracción recíproca- una fracción en la que se intercambian el numerador y el denominador. \frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63) Si una de las fracciones es un número natural, entonces las reglas de multiplicación y división anteriores siguen vigentes. Solo hay que tener en cuenta que un número entero es la misma fracción cuyo denominador es igual a uno. Por ejemplo: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7Fracciones positivas y negativas
Operaciones con fracciones
Reducir una fracción
Reducir fracciones a un denominador común
Comparación de fracciones
Por ejemplo, \frac(9)(14) Sumar y restar fracciones
Convertir un número mixto a una fracción impropia y viceversa
Convertir un decimal a una fracción
Multiplicar y dividir fracciones
