En este artículo veremos el tema " comparando decimales" Primero, analicemos el principio general de comparar fracciones decimales. Después de esto, descubriremos qué fracciones decimales son iguales y cuáles no iguales. A continuación, aprenderemos a determinar qué fracción decimal es mayor y cuál es menor. Para ello, estudiaremos las reglas para comparar fracciones finitas, infinitas periódicas e infinitas no periódicas. Proporcionaremos toda la teoría con ejemplos con soluciones detalladas. En conclusión, veamos la comparación de fracciones decimales con números naturales, fracciones ordinarias y números mixtos.
Digamos de inmediato que aquí solo hablaremos de comparar fracciones decimales positivas (ver números positivos y negativos). Los casos restantes se analizan en los artículos Comparación de números racionales y comparación de números reales.
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Principio general para comparar fracciones decimales.
A partir de este principio de comparación, se derivan reglas para comparar fracciones decimales que permiten prescindir de convertir las fracciones decimales comparadas en fracciones ordinarias. Discutiremos estas reglas, así como ejemplos de su aplicación, en los siguientes párrafos.
Se utiliza un principio similar para comparar fracciones decimales finitas o fracciones decimales periódicas infinitas con números naturales, fracciones ordinarias y números mixtos: los números comparados se reemplazan por sus correspondientes fracciones ordinarias, después de lo cual se comparan las fracciones ordinarias.
Sobre comparaciones de infinitos decimales no periódicos, entonces generalmente todo se reduce a comparar fracciones decimales finitas. Para ello, considere el número de signos de las infinitas fracciones decimales no periódicas comparadas que le permita obtener el resultado de la comparación.
Decimales iguales y desiguales
Primero presentamos definiciones de fracciones decimales iguales y desiguales.
Definición.
Las dos fracciones decimales finales se llaman igual, si sus correspondientes fracciones ordinarias son iguales, en caso contrario estas fracciones decimales se llaman desigual.
Con base en esta definición, es fácil justificar la siguiente afirmación: si sumas o descartas varios dígitos 0 al final de una fracción decimal determinada, obtendrás una fracción decimal igual a ella. Por ejemplo, 0,3=0,30=0,300=… y 140,000=140,00=140,0=140.
En efecto, sumar o descartar un cero al final de una fracción decimal de la derecha corresponde a multiplicar o dividir por 10 el numerador y denominador de la fracción ordinaria correspondiente. Y conocemos la propiedad básica de una fracción, que establece que multiplicar o dividir el numerador y denominador de una fracción por el mismo número natural da una fracción igual a la original. Esto demuestra que sumar o descartar ceros a la derecha en la parte fraccionaria de un decimal da una fracción igual a la original.
Por ejemplo, la fracción decimal 0,5 corresponde a la fracción común 5/10, luego de sumar un cero a la derecha corresponde la fracción decimal 0,50, que corresponde a la fracción común 50/100, y. Por tanto, 0,5=0,50. Por el contrario, si en la fracción decimal 0,50 descartamos el 0 a la derecha, entonces obtenemos la fracción 0,5, por lo que de la fracción ordinaria 50/100 llegamos a la fracción 5/10, pero 
. Por tanto, 0,50=0,5.
Movámonos a determinación de fracciones decimales periódicas infinitas iguales y desiguales.
Definición.
Dos fracciones periódicas infinitas igual, si las fracciones ordinarias correspondientes son iguales; si las fracciones ordinarias correspondientes a ellas no son iguales, entonces las fracciones periódicas comparadas también lo son no es igual.
De esta definición se desprenden tres conclusiones:
- Si las notaciones de fracciones decimales periódicas coinciden completamente, entonces dichas fracciones decimales periódicas infinitas son iguales. Por ejemplo, los decimales periódicos 0,34(2987) y 0,34(2987) son iguales.
- Si los períodos de las fracciones periódicas decimales comparadas comienzan desde la misma posición, la primera fracción tiene un período de 0, la segunda tiene un período de 9 y el valor del dígito que precede al período 0 es uno mayor que el valor del dígito. período anterior al 9, entonces dichas fracciones decimales periódicas infinitas son iguales. Por ejemplo, las fracciones periódicas 8,3(0) y 8,2(9) son iguales, y las fracciones 141,(0) y 140,(9) también son iguales.
- Otras dos fracciones periódicas cualesquiera no son iguales. Aquí hay ejemplos de fracciones decimales periódicas infinitas desiguales: 9,0(4) y 7,(21), 0,(12) y 0,(121), 10,(0) y 9,8(9).
Queda por tratar fracciones decimales no periódicas infinitas iguales y desiguales. Como se sabe, estas fracciones decimales no se pueden convertir en fracciones ordinarias (dichas fracciones decimales representan números irracionales), por lo que la comparación de infinitas fracciones decimales no periódicas no se puede reducir a la comparación de fracciones ordinarias.
Definición.
Dos decimales infinitos no periódicos igual, si sus registros coinciden completamente.
Pero hay una advertencia: es imposible ver el registro "terminado" de infinitas fracciones decimales no periódicas, por lo tanto, es imposible estar seguro de la completa coincidencia de sus registros. ¿Cómo ser?
Al comparar infinitas fracciones decimales no periódicas, solo se considera un número finito de signos de las fracciones que se comparan, lo que permite sacar las conclusiones necesarias. Así, la comparación de fracciones decimales infinitas no periódicas se reduce a la comparación de fracciones decimales finitas.
Con este enfoque, podemos hablar de igualdad de infinitas fracciones decimales no periódicas solo hasta el dígito en cuestión. Pongamos ejemplos. Los infinitos decimales no periódicos 5,45839... y 5,45839... son iguales a la centena de milésimas más cercana, ya que los decimales finitos 5,45839 y 5,45839 son iguales; las fracciones decimales no periódicas 19,54... y 19,54810375... son iguales a la centésima más cercana, ya que son iguales a las fracciones 19,54 y 19,54.
Con este enfoque, la desigualdad de infinitas fracciones decimales no periódicas se establece con bastante precisión. Por ejemplo, los decimales infinitos no periódicos 5,6789... y 5,67732... no son iguales, ya que las diferencias en sus notaciones son obvias (los decimales finitos 5,6789 y 5,6773 no son iguales). Los infinitos decimales 6,49354... y 7,53789... tampoco son iguales.
Reglas para comparar fracciones decimales, ejemplos, soluciones.
Después de establecer el hecho de que dos fracciones decimales son desiguales, a menudo es necesario averiguar cuál de estas fracciones es mayor y cuál es menor que la otra. Ahora veremos las reglas para comparar fracciones decimales, lo que nos permitirá responder la pregunta planteada.
En muchos casos, basta con comparar partes enteras de las fracciones decimales que se comparan. Lo siguiente es cierto regla para comparar decimales: cuanto mayor es la fracción decimal cuya parte entera es mayor, y menor es la fracción decimal cuya parte entera es menor.
Esta regla se aplica tanto a fracciones decimales finitas como infinitas. Veamos las soluciones a los ejemplos.
Ejemplo.
Compara los decimales 9,43 y 7,983023….
Solución.
Evidentemente estos decimales no son iguales. La parte entera de la fracción decimal finita 9,43 es igual a 9, y la parte entera de la fracción infinita no periódica 7,983023... es igual a 7. Desde 9>7 (ver comparación de números naturales), entonces 9,43>7,983023.
Respuesta:
9,43>7,983023 .
Ejemplo.
¿Qué fracción decimal 49,43(14) y 1045,45029... es más pequeña?
Solución.
La parte entera de la fracción periódica 49,43(14) es menor que la parte entera de la fracción decimal no periódica infinita 1045,45029..., por tanto, 49,43(14)<1 045,45029… .
Respuesta:
49,43(14) .
Si las partes enteras de las fracciones decimales que se comparan son iguales, entonces para saber cuál de ellas es mayor y cuál es menor, debes comparar las partes fraccionarias. La comparación de partes fraccionarias de fracciones decimales se realiza bit a bit.- de la categoría de décimas a las inferiores.
Primero, veamos un ejemplo de comparación de dos fracciones decimales finitas.
Ejemplo.
Compara los decimales finales 0,87 y 0,8521.
Solución.
Las partes enteras de estas fracciones decimales son iguales (0=0), así que pasamos a comparar las partes fraccionarias. Los valores de las décimas son iguales (8=8), y el valor de las centésimas de una fracción es 0,87 mayor que el valor de las centésimas de una fracción 0,8521 (7>5). Por tanto, 0,87>0,8521.
Respuesta:
0,87>0,8521 .
A veces, para comparar fracciones decimales finales con diferentes números de lugares decimales, a las fracciones con menos lugares decimales se les debe agregar varios ceros a la derecha. Es muy conveniente igualar el número de decimales antes de comenzar a comparar las fracciones decimales finales añadiendo un determinado número de ceros a la derecha de uno de ellos.
Ejemplo.
Compara los decimales finales 18.00405 y 18.0040532.
Solución.
Evidentemente, estas fracciones son desiguales, ya que sus notaciones son diferentes, pero al mismo tiempo tienen partes enteras iguales (18 = 18).
Antes de comparar bit a bit las partes fraccionarias de estas fracciones, igualamos el número de decimales. Para hacer esto, sumamos dos dígitos 0 al final de la fracción 18.00405 y obtenemos una fracción decimal igual 18.0040500.
Los valores de las cifras decimales de las fracciones 18.0040500 y 18.0040532 son iguales hasta cienmilésimas, y el valor de la millonésima de la fracción 18.0040500 es menor que el valor de la cifra correspondiente de la fracción 18.0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .
Respuesta:
18,00405<18,0040532 .
Al comparar una fracción decimal finita con una infinita, la fracción finita se reemplaza por una fracción periódica infinita igual con un período de 0, después de lo cual se realiza una comparación por dígitos.
Ejemplo.
Compara el decimal finito 5.27 con el decimal infinito no periódico 5.270013... .
Solución.
Las partes enteras de estas fracciones decimales son iguales. Los valores de las décimas y centésimas de estas fracciones son iguales y, para realizar una comparación adicional, reemplazamos la fracción decimal finita con una fracción periódica infinita igual con un período de 0 de la forma 5,270000.... Hasta el quinto decimal, los valores de los decimales 5.270000... y 5.270013... son iguales, y en el quinto decimal tenemos 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .
Respuesta:
5,27<5,270013… .
La comparación de infinitas fracciones decimales también se realiza por lugares., y finaliza tan pronto como los valores de algunos dígitos resultan ser diferentes.
Ejemplo.
Compara los infinitos decimales 6.23(18) y 6.25181815….
Solución.
Las partes enteras de estas fracciones son iguales y los valores posicionales de las décimas también son iguales. Y el valor de las centésimas de una fracción periódica 6,23(18) es menor que las centésimas de una fracción decimal infinita no periódica 6,25181815..., por lo tanto, 6,23(18)<6,25181815… .
Respuesta:
6,23(18)<6,25181815… .
Ejemplo.
¿Cuál de los infinitos decimales periódicos 3,(73) y 3,(737) es mayor?
Solución.
Está claro que 3,(73)=3.73737373... y 3,(737)=3.737737737... . En el cuarto decimal termina la comparación bit a bit, ya que ahí tenemos 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .
Respuesta:
3,(737) .
Compara decimales con números naturales, fracciones y números mixtos.
El resultado de comparar una fracción decimal con un número natural se puede obtener comparando la parte entera de una fracción dada con un número natural dado. En este caso, las fracciones periódicas con períodos de 0 o 9 deben reemplazarse primero con fracciones decimales finitas iguales a ellas.
Lo siguiente es cierto regla para comparar fracciones decimales y números naturales: si la parte entera de una fracción decimal es menor que un número natural dado, entonces la fracción entera es menor que este número natural; si la parte entera de una fracción es mayor o igual que un número natural dado, entonces la fracción es mayor que el número natural dado.
Veamos ejemplos de la aplicación de esta regla de comparación.
Ejemplo.
Compara el número natural 7 con la fracción decimal 8,8329….
Solución.
Dado que un número natural dado es menor que la parte entera de una fracción decimal dada, entonces este número es menor que una fracción decimal dada.
Respuesta:
7<8,8329… .
Ejemplo.
Compara el número natural 7 y la fracción decimal 7,1.
3.4 Orden correcto
En la sección anterior, comparamos números por su posición en la recta numérica. Esta es una buena manera de comparar las magnitudes de números en notación decimal. Este método siempre funciona, pero lleva mucho tiempo y es inconveniente hacerlo cada vez que necesitas comparar dos números. Hay otra buena manera de saber cuál de dos números es mayor.
Ejemplo A.
Miremos los números de la sección anterior y comparemos 0,05 y 0,2.
Para saber qué número es mayor, primero compare sus partes enteras. Ambos números en nuestro ejemplo tienen el mismo número de números enteros: 0. Luego comparemos sus décimas. El número 0,05 tiene 0 décimos y el número 0,2 tiene 2 décimos. Que el número 0,05 tenga 5 centésimas no importa, ya que las décimas determinan que el número 0,2 sea mayor. Así podemos escribir:
Ambos números tienen 0 enteros y 6 décimas y aún no podemos determinar cuál es mayor. Sin embargo, el número 0,612 tiene solo 1 centésima parte y el número 0,62 tiene dos. Entonces, podemos determinar que
0,62 > 0,612
El hecho de que el número 0,612 tenga 2 milésimas no importa; sigue siendo menor que 0,62.
Podemos ilustrar esto en la imagen:
|
0,612 | |||
 |
0,62 | |||
Para determinar cuál de dos números en notación decimal es mayor, debe hacer lo siguiente:
1. Compara partes enteras. Mayor será el número cuya parte entera sea mayor.
2 . Si las partes enteras son iguales, compare las décimas. El número que tenga más décimas será mayor.
3 . Si las décimas son iguales, compara las centésimas. El número que tenga más centésimas será mayor.
4 . Si las centésimas son iguales, compara las milésimas. El número que tenga más partes por mil será mayor.
Una fracción decimal debe contener una coma. La parte numérica de la fracción que se ubica a la izquierda del punto decimal se llama parte entera; a la derecha - fraccionario:
5.28 5 - parte entera 28 - parte fraccionaria
La parte fraccionaria de un decimal se compone de lugares decimales(lugares decimales):
- décimos - 0,1 (un décimo);
- centésimas - 0,01 (una centésima);
- milésimas - 0,001 (una milésima);
- diezmilésimas - 0,0001 (una diezmilésima);
- cien milésimas - 0,00001 (cien milésimas);
- millonésimas - 0,000001 (una millonésima);
- diez millonésimas - 0,0000001 (una diezmillonésima);
- cien millonésimas - 0,00000001 (cien millonésimas);
- milmillonésimas - 0,000000001 (una milmillonésima), etc.
- lee el número que forma la parte entera de la fracción y añade la palabra " entero";
- lee el número que forma la parte fraccionaria de la fracción y suma el nombre del dígito menos significativo.
Por ejemplo:
- 0,25 - cero coma veinticinco centésimas;
- 9,1 - nueve coma un décimo;
- 18.013 - dieciocho coma trece milésimas;
- 100.2834 - cien coma dos mil ochocientos treinta y cuatro diezmilésimas.
Escribir decimales
Para escribir una fracción decimal:
- escribe la parte entera de la fracción y pon una coma (el número que significa la parte entera de la fracción siempre termina con la palabra " entero");
- escriba la parte fraccionaria de la fracción de tal manera que el último dígito caiga en el dígito deseado (si no hay dígitos significativos en ciertos lugares decimales, se reemplazan por ceros).
Por ejemplo:
- veinte punto nueve - 20,9 - en este ejemplo todo es sencillo;
- cinco coma uno centésima - 5.01 - la palabra "centésima" significa que debe haber dos dígitos después del punto decimal, pero como el número 1 no tiene décima, se reemplaza por cero;
- cero coma ochocientos ocho milésimos - 0,808;
- tres punto quince décimos: una fracción decimal de este tipo no se puede escribir porque hubo un error en la pronunciación de la parte fraccionaria: el número 15 contiene dos dígitos y la palabra "décimos" implica solo uno. Lo correcto sería tres coma quince centésimas (o milésimas, diezmilésimas, etc.).
Comparación de decimales
La comparación de fracciones decimales se realiza de manera similar a la comparación de números naturales.
- primero, se comparan las partes enteras de las fracciones: la fracción decimal cuya parte entera sea mayor será mayor;
- si las partes enteras de las fracciones son iguales, compara las partes fraccionarias poco a poco, de izquierda a derecha, empezando por la coma decimal: décimas, centésimas, milésimas, etc. La comparación se lleva a cabo hasta la primera discrepancia: mayor será la fracción decimal que tenga un dígito desigual mayor en el dígito correspondiente de la parte fraccionaria. Por ejemplo: 1,2 8 3 > 1,27 9, porque en el lugar de las centésimas la primera fracción tiene 8 y la segunda tiene 7.
Una fracción decimal se diferencia de una fracción ordinaria en que su denominador es una unidad de valor posicional.
Por ejemplo:
Las fracciones decimales se separan de las fracciones ordinarias en una forma separada, lo que dio lugar a sus propias reglas para comparar, sumar, restar, multiplicar y dividir estas fracciones. En principio, puedes trabajar con fracciones decimales utilizando las reglas de las fracciones ordinarias. Las reglas propias para convertir fracciones decimales simplifican los cálculos y las reglas para convertir fracciones ordinarias a decimales, y viceversa, sirven como vínculo entre estos tipos de fracciones.
Escribir y leer fracciones decimales te permite escribirlas, compararlas y realizar operaciones con ellas según reglas muy similares a las reglas para operaciones con números naturales.
El sistema de fracciones decimales y sus operaciones se describió por primera vez en el siglo XV. El matemático y astrónomo de Samarcanda Dzhemshid ibn-Masudal-Kashi en el libro “La clave del arte de contar”.
La parte entera de la fracción decimal está separada de la parte fraccionaria por una coma; en algunos países (EE.UU.) se pone un punto. Si una fracción decimal no tiene parte entera, entonces el número 0 se coloca antes del punto decimal.
Puedes agregar cualquier cantidad de ceros a la parte fraccionaria de un decimal a la derecha; esto no cambia el valor de la fracción. La parte fraccionaria de un decimal se lee en el último dígito significativo.
Por ejemplo:
0,3 - tres décimas
0,75 - setenta y cinco centésimas
0,000005 - cinco millonésimas.
Leer la parte entera de un decimal es lo mismo que leer números naturales.
Por ejemplo:
27,5 - veintisiete...;
1,57 - uno...
Después de la parte entera de la fracción decimal se pronuncia la palabra “entero”.
Por ejemplo:
10.7 - diez punto siete
0,67 - cero coma sesenta y siete centésimas.
Los lugares decimales son los dígitos de la parte fraccionaria. La parte fraccionaria no se lee en dígitos (a diferencia de los números naturales), sino en su conjunto, por lo que la parte fraccionaria de una fracción decimal está determinada por el último dígito significativo de la derecha. El sistema de colocación de la parte fraccionaria del decimal es algo diferente al de los números naturales.
- 1er dígito después de ocupado - dígito de décimas
- 2do decimal - centésimas
- 3er decimal - lugar de las milésimas
- 4to decimal - diezmilésimo
- Quinto decimal - centenas de milésimas
- 6to decimal - millonésimo lugar
- Séptimo decimal: décimo millonésimo
- El octavo decimal es el centésimo millonésimo.
Los primeros tres dígitos se utilizan con mayor frecuencia en los cálculos. La gran capacidad de dígitos de la parte fraccionaria de los decimales se utiliza sólo en ramas específicas del conocimiento donde se calculan cantidades infinitesimales.
Convertir un decimal a una fracción mixta consta de lo siguiente: el número antes del punto decimal se escribe como parte entera de la fracción mixta; el número después del punto decimal es el numerador de su parte fraccionaria, y en el denominador de la parte fraccionaria escribe una unidad con tantos ceros como dígitos hay después del punto decimal.
