¿Cuál es el axioma de las paralelas? Descubrimiento de la geometría no euclidiana

El físico alemán Albert Einstein, utilizando métodos matemáticos, desarrolló la teoría de la relatividad, revolucionando la física en el siglo XX.

Se cree que Euclides sentó las bases de las matemáticas modernas en su obra de 13 volúmenes "Elementos" alrededor del año 300 a.C. mi. A diferencia de sus predecesores, Euclides explica aquí la geometría no con la ayuda de innumerables dibujos, sino de forma puramente lógica. En primer lugar, describe una serie de hechos que considera verdaderos e inmutables. Estos hechos se llaman postulados. Uno de estos postulados de Euclides, por ejemplo, dice: “Desde cada punto se puede trazar una línea recta hasta cualquier otro punto”. Luego, a partir de estos postulados, deduce todo lo demás. Así, Euclides demostró por primera vez el pensamiento matemático moderno: basándose en ciertos supuestos, una vez hechos y no sujetos a revisión, demostró muchas otras afirmaciones.

Durante siglos ha habido disputas sobre el quinto postulado de Euclides, el llamado axioma de las rectas paralelas: a través de cualquier punto P que se encuentre fuera de la recta g, sólo se puede trazar una recta que no corte a g. Esta línea se llama paralela a la línea g que pasa por el punto P. Muchos científicos intentaron no sólo aceptar esta posición, sino también derivarla de las cuatro primeras. Pero esto resultó imposible. Los matemáticos comenzaron a crear una geometría basada en los primeros cuatro axiomas de Euclides y rechazaron el quinto. Lo que en un principio parecía un juego matemático, a principios del siglo XX. resultó tener demanda. Albert Einstein vio estos modelos de geometría como la base de su teoría general de la relatividad.

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Objetivos de la lección:

dar una idea de los axiomas de geometría desconocidos para los estudiantes, repetir los axiomas que ya conocen;
introducir el axioma de rectas paralelas;
introducir el concepto de consecuencias a partir de axiomas y teoremas;
mostrar cómo se utiliza el axioma de rectas paralelas y sus consecuencias al resolver problemas;
educación del patriotismo y el orgullo por la patria utilizando el ejemplo del gran matemático ruso N.I.

Equipo: computadora, proyector.

PROGRESO DE LA LECCIÓN

1. Comprobar tareas anteriores

2. Repetición de los axiomas de planimetría ya conocidos por los estudiantes.

Maestro: En la famosa obra de Euclides “Elementos” (siglo III a. C.) se sistematizó la información geométrica básica conocida en ese momento. Lo principal es que en los "Principios" se desarrolló un enfoque axiomático para la construcción de la geometría, que consiste en que primero se formulan las disposiciones básicas que no requieren prueba (axiomas), y luego, sobre su base, otras. Los enunciados (teoremas) se prueban mediante el razonamiento. Algunos de los axiomas propuestos por Euclides todavía se utilizan en los cursos de geometría.
La palabra "axioma" en sí proviene del griego "axios", que significa "valioso, digno". En los apéndices al final del libro de texto, en las páginas 344-348, se proporciona una lista completa de los axiomas de planimetría adoptados en nuestro curso de geometría. Usted mismo considerará estos axiomas en casa.
Ya hemos considerado algunos de estos axiomas. Recuerda y formula estos axiomas.

Estudiantes:

1) Hay al menos tres puntos que no se encuentran en la misma recta.
2) Una línea recta pasa por dos puntos cualesquiera y solo por uno.
3) De los tres puntos de una recta, uno y sólo uno se encuentra entre los otros dos.
4) Cada punto O de una línea la divide en dos partes (dos rayos), de modo que dos puntos cualesquiera del mismo rayo se encuentran en el mismo lado del punto O, y dos puntos cualesquiera de rayos diferentes se encuentran en lados opuestos del punto O.
5) Cada línea a divide el plano en dos partes (dos semiplanos) de modo que dos puntos cualesquiera del mismo semiplano se encuentran en el mismo lado de la línea a, y dos puntos cualesquiera de semiplanos diferentes se encuentran en lados opuestos de la línea a.
6) Si, durante la superposición, se combinan los extremos de dos segmentos, entonces se combinan los segmentos mismos.
7) Sobre cualquier rayo, desde su inicio, se puede trazar un segmento igual al dado y, además, solo uno.
8) Desde cualquier rayo en un semiplano dado es posible trazar un ángulo igual a un ángulo dado no desarrollado y, además, solo uno.

Maestro:¿Qué rectas se llaman paralelas en un plano?

Estudiantes: Dos rectas en un plano se llaman paralelas si no se cortan.

Maestro: Formule los signos de paralelismo de rectas.

Estudiantes:

1) Si, cuando dos rectas se cruzan con una transversal, los ángulos de orientación son iguales, entonces las rectas son paralelas.
2) Si cuando dos rectas se cortan con una transversal, los ángulos correspondientes son iguales, entonces las rectas son paralelas.
3) Si, cuando dos rectas se cruzan con una transversal, la suma de los ángulos unilaterales es igual a 180˚, entonces las rectas son paralelas.

3. Nuevo tema. Axioma de rectas paralelas

Maestro: Resolvamos el problema: “A través de un punto M que no se encuentra en la recta a, trazar una recta paralela a la recta a”.

Toda la clase discute el plan para resolver el problema. Uno de los alumnos escribe la solución en la pizarra (sin escribir en sus cuadernos).

Maestro: Surge la pregunta: ¿es posible trazar otra recta que pase por el punto M, paralela a la recta a?
Esta pregunta tiene una larga historia. Los Elementos de Euclides contienen el quinto postulado: “Y si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas forma ángulos interiores en un lado que son menores que dos ángulos rectos, entonces las extensiones de estas líneas rectas se encontrarán indefinidamente en el lado donde los ángulos son menores. más de dos ángulos rectos”. Proclo en el siglo V d.C. reformuló el postulado de Euclides de una manera más simple y clara: “Por un punto que no se encuentra en una línea dada, sólo pasa una línea paralela a la línea dada”. Este es el axioma de las rectas paralelas. De esto queda claro que el problema considerado anteriormente tiene una solución única.
Muchos matemáticos intentaron demostrar el quinto postulado, ya que su formulación recordaba demasiado a un teorema. Todos estos intentos fracasaron cada vez. Y sólo en el siglo XIX. finalmente se aclaró que el quinto postulado de Euclides no puede ser probado; es en sí mismo un axioma.
El gran matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) jugó un papel muy importante en la solución de este problema.

4. Vea una presentación sobre N.I. Lobachevsky

5. Consolidación de lo aprendido. resolución de problemas

Dado ∆ABC. ¿Cuántas rectas paralelas al lado AB se pueden trazar por el vértice C?

Solución.

Según el axioma de las rectas paralelas se puede trazar una sola recta.

Se trazan cuatro rectas que pasan por un punto que no está sobre la recta p. ¿Cuántas de estas líneas se cruzan con la línea p? Considere todos los casos posibles.

Solución.

3 seguidos 4 seguidos

Respuesta: 3 o 4 seguidos.

Corolarios del axioma de rectas paralelas.

Los enunciados que se derivan directamente de axiomas o teoremas se denominan corolarios. Consideremos las consecuencias del axioma de rectas paralelas.

Corolario 1˚. Si una recta corta a una de dos rectas paralelas, entonces también corta a la otra.

Corolario 2˚. Si dos rectas son paralelas a una tercera recta, entonces son paralelas. (Se pide a los estudiantes que lo demuestren ellos mismos).

El dibujo es el mismo.

Dado: un || b, c || b
Probar: un || Con
Evidencia o (método “por contradicción”):

Sean las rectas a y c no paralelas. Luego se cruzan en algún punto M. Por el punto M pasan dos rectas diferentes (ayc) paralelas a la recta b. Esto contradice el axioma de las paralelas. Esto significa que nuestra suposición no es correcta. Pero es cierto que un || Con. Etc.
El segundo corolario del axioma de las rectas paralelas es esencialmente otro signo del paralelismo de las rectas en un plano.

Resolución de problemas: N° 217 (oral), 218 (oral), 198, 200, 213.

№ 217 (oralmente)

Las líneas a y b son paralelas a la línea c. Demuestre que cualquier línea que corte a la línea a también corta a la línea b.

Solución.

Si un || byb || c, luego a || s (corolario 2˚).
Si una recta arbitraria d ∩ a, entonces d ∩ b (Corolario 1˚).

№ 218 (oralmente)

Las líneas a y b se cruzan. ¿Es posible trazar una recta que corte a la recta a y sea paralela a la recta b? Justifica tu respuesta.

Solución.

Tomemos el punto A b en la línea a. Por el punto A sólo pasa una recta paralela a la recta b (axioma de las paralelas). La línea construida cruzará a la línea a, ya que tiene un punto común A con ella.

Las líneas a y b son perpendiculares a la línea p, la línea c intersecta a la línea a. ¿La línea c se cruza con la línea b?

Dado:ар, bр, с ∩ а
Encontrar:¿c cruza la línea b?
Solución: si ap y bp, entonces a || b (teorema).
Si c ∩ a y a || b, entonces c ∩ b (Corolario 1˚).
Respuesta: c ∩ segundo.

En la imagen del libro de texto AD || p y PQ || antes de Cristo Demuestre que la recta p interseca a las rectas AB, AE, AC, BC, PQ.

En la imagen del libro de texto, CE = ED, BE = EF y KE = AD. Demuestre que KE || Sol.

6. Resumiendo

1) ¿Cuál es el principal mérito de Euclides?
2) ¿Qué se llama axioma?
3) ¿Qué axiomas conocemos?
4) ¿Qué científico ruso construyó una teoría coherente de la geometría no euclidiana?
5) ¿Cómo se llama consecuencia en el sentido matemático de la palabra?
6) ¿Qué consecuencias aprendimos hoy?

7. Tarea:

§2, párrafos 27, 28, apéndice sobre los axiomas de la geometría págs. 344-348, preguntas 7 a 11 págs. 68, núm. 199, 214.
Núm. 199: La recta p es paralela al lado AB del triángulo ABC. Demuestre que las rectas BC y AC intersecan a la recta r.
Núm. 214: Una recta que pasa por el centro de la bisectriz AD del triángulo ABC y es perpendicular a AD corta el lado AC en el punto M. Demuestre que MD¦AB.

Literatura:

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometría, 7-9: Libro de texto para instituciones educativas. − M.: Educación, 2003.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Glazkov Yu.A., Nekrasov V.B., Yudina I.I. Estudiar geometría en los grados 7, 8, 9: recomendaciones metodológicas para el libro de texto. Libro para profesores. − M.: Educación, 2003.
Dorofeeva A.V. Páginas de historia en las lecciones de matemáticas: un libro para profesores. − M.: Educación, 2007.
Wikipedia.

Sin explicar sus diferencias; en diferentes manuscritos de los Elementos de Euclides, la división de los enunciados en axiomas y postulados es diferente, así como su orden no coincide. En la edición clásica de los Principia de Heyberg, la afirmación enunciada es el quinto postulado.

En lenguaje moderno, el texto de Euclides se puede reformular de la siguiente manera:

Si [en un plano] cuando dos rectas se cruzan con una tercera, la suma de los ángulos internos unilaterales es menor que dos rectas, entonces estas rectas se cortan con suficiente continuación, y además, en el lado en el que esta suma es menor que dos líneas rectas.

Euclides añadió la aclaración de qué lado se cruzan las líneas, probablemente para mayor claridad: es fácil demostrar que esto se deriva del hecho mismo de la existencia de la intersección.

El quinto postulado es extremadamente diferente de los demás postulados de Euclides, que son simples e intuitivamente obvios (ver Los Elementos de Euclides). Por lo tanto, durante dos mil años, no han cesado los intentos de excluirlo de la lista de axiomas y derivarlo como teorema. Todos estos intentos terminaron en fracaso. "Probablemente sea imposible encontrar una historia más emocionante y dramática en la ciencia que la historia del quinto postulado de Euclides". A pesar del resultado negativo, estas búsquedas no fueron en vano, ya que finalmente llevaron a una revisión completa de las ideas científicas sobre la geometría del Universo.

Formulaciones equivalentes del postulado de las paralelas

Las fuentes modernas suelen dar otra formulación del postulado paralelo, equivalente (equivalente) al postulado V y perteneciente a Proclo (en el extranjero, a menudo se le llama axioma de Playfair):

Postulado de Proclo

En esta formulación, las palabras “uno y sólo uno” a menudo se reemplazan por “sólo uno” o “como máximo uno”, ya que la existencia de al menos uno de esos paralelos se deriva inmediatamente de los teoremas 27 y 28 de los Elementos de Euclides.

En general, el postulado V tiene un gran número de formulaciones equivalentes, muchas de las cuales parecen bastante obvias. Éstos son algunos de ellos.

El quinto postulado se destaca claramente entre los demás, que son bastante obvios: se parece más a un teorema complejo y no obvio. Euclides probablemente estaba consciente de esto y, por lo tanto, las primeras 28 oraciones de los Elementos se prueban sin su ayuda.

"Euclides ciertamente debe haber conocido varias formas del postulado de las paralelas". ¿Por qué eligió el reducido, complejo y engorroso? Los historiadores han hecho varias suposiciones sobre los motivos de esta elección. V.P. Smilga creía que Euclides con tal formulación indicaba que esta parte de la teoría estaba incompleta. M. Klein llama la atención sobre el hecho de que el quinto postulado de Euclides tiene local carácter, es decir, describe un evento en una porción limitada del plano, mientras que, por ejemplo, el axioma de Proclo establece el hecho del paralelismo, que requiere considerar toda la línea recta infinita. Debe quedar claro que los matemáticos antiguos evitaban utilizar el infinito real; por ejemplo, el segundo postulado de Euclides no afirma la infinidad de una línea recta, sino sólo que “una línea recta puede extenderse continuamente”. Desde el punto de vista de los matemáticos antiguos, los equivalentes anteriores del postulado de las paralelas podrían parecer inaceptables: o se refieren al infinito real o al concepto (aún no introducido) de medida, o tampoco son muy obvios. El historiador Imre Toth propuso otra versión: la formulación euclidiana pudo haber sido al principio un teorema (erróneamente probado) de uno de los predecesores de Euclides, y cuando se convencieron de que no podía demostrarse, se elevó el estatus del teorema. a un postulado sin cambiar el texto de la formulación.

geometría absoluta

Si el postulado V se excluye de la lista de axiomas, entonces el sistema de axiomas resultante describirá la llamada geometría absoluta. En particular, los primeros 28 teoremas de los Elementos de Euclides se demuestran sin utilizar el postulado V y, por tanto, se relacionan con la geometría absoluta. Para una mayor discusión, observemos dos teoremas de la geometría absoluta:

Intentos de demostrar

Desde la antigüedad, los matemáticos han intentado "mejorar a Euclides", ya sea excluyendo el quinto postulado del número de enunciados iniciales, es decir, probándolo basándose en los postulados y axiomas restantes, o reemplazándolo por otro, tan obvio como los demás postulados. La esperanza de que se pudiera lograr este resultado se vio respaldada por el hecho de que el postulado IV de Euclides ( todos los ángulos rectos son iguales) realmente resultó superfluo: fue estrictamente probado como teorema y excluido de la lista de axiomas.

A lo largo de dos milenios se han propuesto muchas pruebas del quinto postulado, pero en cada una de ellas, tarde o temprano, se descubrió un círculo vicioso: resultó que entre las premisas explícitas o implícitas había un enunciado que no podía probarse sin utilizando el mismo quinto postulado.

La prueba de Proclo

Tras el declive de la cultura antigua, los matemáticos de los países islámicos adoptaron el postulado V. La prueba de al-Jawhari, alumno de al-Khwarizmi (siglo IX), implicaba implícitamente: si cuando dos rectas se cruzan con una tercera cualquiera, los ángulos transversales son iguales, entonces lo mismo ocurre cuando las mismas dos rectas se cruzan. con cualquier otro. Y este supuesto es equivalente al postulado V.

Saccheri considera las mismas tres hipótesis sobre el cuarto ángulo del cuadrilátero de Lambert. Inmediatamente rechazó la hipótesis del ángulo obtuso por razones formales. Es fácil demostrar que en este caso, en general, todas las líneas se cruzan, y luego podemos concluir que el postulado V de Euclides es válido; después de todo, establece precisamente que bajo ciertas condiciones las líneas se cruzan. De esto se concluye que “ la hipótesis del ángulo obtuso es siempre completamente falsa, ya que se destruye a sí mismo» .

Después de esto, Saccheri pasa a refutar la “hipótesis del ángulo agudo”, y aquí su investigación es mucho más interesante. Admite que es cierto y demuestra, una tras otra, toda una serie de consecuencias. Sin sospecharlo, avanza bastante en la construcción de la geometría de Lobachevsky. Muchos de los teoremas demostrados por Saccheri parecen intuitivamente inaceptables, pero él continúa la cadena de teoremas. Finalmente, Saccheri demuestra que en la “falsa geometría” dos líneas cualesquiera se cruzan o tienen una perpendicular común, según ambos lados desde los cuales se alejan entre sí, o se alejan por un lado y se acercan indefinidamente por el otro. En este punto Saccheri llega a una conclusión inesperada: “ La hipótesis del ángulo agudo es completamente falsa, ya que contradice la naturaleza de una línea recta.» .

Al parecer, Saccheri consideró que estas “pruebas” eran infundadas, porque el estudio está en curso. Considera lo equidistante: el lugar geométrico de los puntos en el plano equidistante de la línea recta; A diferencia de sus predecesores, Saccheri entiende que en este caso no se trata en absoluto de una línea recta. Sin embargo, al calcular la longitud de su arco, Saccheri se equivoca y llega a una verdadera contradicción, tras lo cual termina el estudio y con alivio declara que “ Arrancó de raíz esta maliciosa hipótesis." Lamentablemente, el trabajo pionero de Saccheri, publicado póstumamente, no atrajo la atención de los matemáticos que merecía, y sólo 150 años después () su compatriota Beltrami descubrió este trabajo olvidado y apreció su importancia histórica.

Geometría esférica: todas las líneas se cruzan

Lambert fue el primero en descubrir que la “geometría de los ángulos obtusos” se realiza en una esfera, si por líneas rectas entendemos círculos máximos. Él, como Saccheri, dedujo muchas consecuencias de la “hipótesis del ángulo agudo” y fue mucho más lejos que Saccheri; en particular, descubrió que la suma de la suma de los ángulos de un triángulo hasta 180° es proporcional al área del triángulo.

En su libro, Lambert señaló astutamente:

Me parece muy notable que la segunda hipótesis [del ángulo obtuso] se justifique si en lugar de triángulos planos tomamos triángulos esféricos. Casi tendría que sacar una conclusión de esto: la conclusión de que la tercera hipótesis tiene lugar en alguna esfera imaginaria. En cualquier caso, debe haber una razón por la cual no es tan fácil refutar en un plano como podría hacerse en relación con la segunda hipótesis.

Lambert no encontró ninguna contradicción en la hipótesis del ángulo agudo y llegó a la conclusión de que todos los intentos de probar el postulado V son inútiles. No expresó ninguna duda sobre la falsedad de la "geometría de ángulos agudos", pero otro comentario perspicaz suyo sugirió que Lambert estaba especulando sobre la posible realidad física de la geometría no euclidiana y sus implicaciones para la ciencia:

Hay algo delicioso en esto que te hace querer que la tercera hipótesis sea cierta. Y sin embargo me gustaría<…>, por lo que esto no sería así, porque estaría asociado a toda una serie<…>inconveniencia. Las tablas trigonométricas se volverían infinitamente espaciosas, la similitud y proporcionalidad de las figuras no existirían en absoluto.<…>, la astronomía lo habría pasado mal.

El maravilloso trabajo de Lambert, como el libro de Saccheri, se adelantó mucho a su tiempo y no despertó el interés de los matemáticos de la época. La misma suerte corrió la "geometría astral" de los matemáticos alemanes F. K. Schweickart () y F. A. Taurinus (), cuyas ideas eran cercanas a las construidas por Lambert.

Mientras tanto, continuaron los intentos de “lavar las manchas” de Euclides (Louis Bertrand, Legendre, Semyon Guryev y otros). Legendre dio hasta tres pruebas del postulado V, cuya falacia fue rápidamente demostrada por sus contemporáneos. Publicó su última “demostración” en 1823, tres años antes del primer informe de Lobachevsky sobre la nueva geometría.

Descubrimiento de la geometría no euclidiana

La suposición de que la suma de los tres ángulos de un triángulo es inferior a 180° conduce a una geometría peculiar, completamente diferente de nuestra geometría (euclidiana); esta geometría es completamente consistente y la he desarrollado de manera completamente satisfactoria para mí; Tengo la oportunidad de resolver cualquier problema de esta geometría, a excepción de determinar una determinada constante [curvatura], cuyo valor no se puede establecer a priori. Cuanta más importancia le damos a esta constante, más nos acercamos a la geometría euclidiana, y su valor infinitamente grande hace que ambos sistemas coincidan. Las propuestas de esta geometría parecen en parte paradójicas e incluso absurdas a una persona no acostumbrada; pero tras una reflexión estricta y tranquila resulta que no contienen nada imposible. Así, por ejemplo, los tres ángulos de un triángulo se pueden hacer tan pequeños como se desee, si tomamos lados suficientemente grandes; el área de un triángulo no puede exceder, ni siquiera puede alcanzar un cierto límite, por muy grandes que sean sus lados. Todos mis esfuerzos por encontrar una contradicción o inconsistencia en esta geometría no euclidiana quedaron infructuosos, y lo único en este sistema que se resiste a nuestra razón es que en el espacio, si este sistema fuera válido, tendría que haber algún autodeterminado ( aunque y desconocido para nosotros) cantidad lineal. Pero me parece que, aparte de la expresiva sabiduría verbal de los metafísicos, sabemos muy poco o incluso nada sobre la esencia del espacio. (De una carta a

Al estudiar las propiedades de las figuras geométricas, demostramos varios teoremas. Para ello nos basamos, por regla general, en teoremas previamente demostrados. ¿En qué se basan las demostraciones de los primeros teoremas de la geometría? La respuesta a esta pregunta es ésta: se toman como puntos de partida ciertas afirmaciones sobre las propiedades de las figuras geométricas, a partir de las cuales se prueban otros teoremas y, en general, se construye toda la geometría. Estas posiciones iniciales se denominan axiomas.

Algunos axiomas se formularon en el primer capítulo (aunque allí no se llamaron axiomas). Por ejemplo, es un axioma que

En nuestro razonamiento se utilizaron muchos otros axiomas, aunque no se les hizo especial hincapié. Por tanto, comparamos dos segmentos superponiendo un segmento sobre otro. La posibilidad de tal superposición se deriva del siguiente axioma:

La comparación de dos ángulos se basa en un axioma similar:

Todos estos axiomas son claramente obvios y están fuera de toda duda. La palabra "axioma" en sí misma proviene del griego "axios", que significa "valioso, digno". Proporcionamos una lista completa de los axiomas de planimetría adoptados en nuestro curso de geometría al final del libro de texto.

Este enfoque de la construcción de la geometría, cuando primero se formulan las posiciones iniciales (axiomas) y luego se prueban otras afirmaciones sobre su base mediante el razonamiento lógico, se originó en la antigüedad y fue descrito en la famosa obra "Principios" del griego antiguo. El científico Euclides. Algunos de los axiomas de Euclides (algunos de ellos los llamó postulados) y ahora se utilizan en cursos de geometría, y la geometría misma, presentada en los “Principios”, se llama geometría euclidiana. En el siguiente párrafo nos familiarizaremos con uno de los axiomas de geometría más famosos.

Axioma de rectas paralelas

Considere una línea recta arbitraria a y un punto M que no se encuentra sobre ella (Fig. 110, a). Demostremos que por el punto M es posible trazar una recta paralela a la recta a. Para hacer esto, pase dos líneas rectas a través del punto M: primero la línea recta c perpendicular a la línea recta a, y luego la línea recta b perpendicular a la línea recta c (Fig. 110, (b). Dado que las líneas rectas a y b son perpendiculares a recta c, son paralelas.

Arroz. 110

Entonces, por el punto M pasa una recta b paralela a la recta a. Surge la siguiente pregunta: ¿es posible trazar otra recta que pase por el punto M, paralela a la recta a?

Nos parece que si la línea recta b se "gira" incluso en un ángulo muy pequeño alrededor del punto M, entonces se cruzará con la línea recta a (línea b" en la Figura 110.6). En otras palabras, nos parece que es imposible trazar otra recta que pase por el punto M (distinto de b), paralela a la recta a. ¿Es posible demostrar esta afirmación?

Esta pregunta tiene una larga historia. Los "Elementos" de Euclides contienen un postulado (el quinto postulado de Euclides), del que se deduce que a través de un punto que no se encuentra en una línea dada, sólo se puede trazar una línea recta paralela a esta. Muchos matemáticos, desde la antigüedad, han intentado demostrar el quinto postulado de Euclides, es decir, derivarlo de otros axiomas. Sin embargo, estos intentos siempre fracasaron. Y sólo en el siglo pasado finalmente se aclaró que la afirmación sobre la unicidad de una línea que pasa por un punto dado paralelo a una línea dada no puede probarse sobre la base de los restantes axiomas de Euclides, sino que es en sí mismo un axioma.

El gran matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) jugó un papel muy importante en la solución de esta difícil cuestión.

Entonces, como otro punto de partida aceptamos axioma de rectas paralelas.

Los enunciados que se derivan directamente de axiomas o teoremas se llaman consecuencias. Por ejemplo, los enunciados 1 y 2 (ver pág. 35) son consecuencias del teorema de la bisectriz de un triángulo isósceles.

Consideremos algunos corolarios del axioma de rectas paralelas.

De hecho, sean las rectas a y b paralelas y la recta c intersecta a la recta a en el punto M (Fig. 111, a). Demostremos que la línea c también corta a la línea b. Si la línea c no intersectara a la línea b, entonces dos líneas (líneas ayc) paralelas a la línea b pasarían por el punto M (Fig. 111, b). Pero esto contradice el axioma de las rectas paralelas y, por lo tanto, la recta c corta a la recta b.

Arroz. 111

De hecho, sean las rectas a y b paralelas a la recta c (Fig. 112, a). Demostremos que a || b. Supongamos que las rectas a y b no son paralelas, es decir, se cortan en algún punto M (figura 112.6). Luego pasan dos rectas por el punto M (líneas a y b), paralelas a la recta c.

Arroz. 112

Pero esto contradice el axioma de las rectas paralelas. Por lo tanto, nuestra suposición es incorrecta, lo que significa que las rectas a y b son paralelas.

Teoremas sobre los ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal

Todo teorema tiene dos partes: condición Y conclusión. La condición del teorema es lo que se da y la conclusión es lo que hay que demostrar.

Consideremos, por ejemplo, un teorema que expresa el criterio para el paralelismo de dos rectas: si, cuando dos rectas se cruzan con una transversal, los ángulos que se encuentran son iguales, entonces las rectas son paralelas.

En este teorema, la condición es la primera parte del enunciado: “cuando dos rectas se cruzan transversalmente, los ángulos son iguales” (esto está dado), y la conclusión es la segunda parte: “las rectas son paralelas” (esto necesita por demostrar).

Lo contrario de este teorema, es un teorema en el que la condición es la conclusión del teorema y la conclusión es la condición del teorema. Demostremos los teoremas inversos a los tres teoremas del párrafo 25.

Teorema

Prueba

Sean las rectas paralelas a y b cortadas por la secante MN. Demostremos que los ángulos transversales, por ejemplo 1 y 2, son iguales (Fig. 113).

Arroz. 113

Supongamos que los ángulos 1 y 2 no son iguales. Restemos del rayo MN un ángulo PMN igual al ángulo 2, de modo que ∠PMN y ∠2 sean ángulos transversales en la intersección de las rectas MR y b por la secante MN. Por construcción, estos ángulos cruzados son iguales, por lo que MR || b. Encontramos que por el punto M pasan dos rectas (líneas a y MP), paralelas a la línea b. Pero esto contradice el axioma de las rectas paralelas. Esto significa que nuestra suposición es incorrecta y ∠1 = ∠2. El teorema ha sido demostrado.

Comentario

Para demostrar este teorema, utilizamos un método de razonamiento llamado por prueba por contradicción.

Supusimos que cuando las rectas paralelas a y b se cruzan con una transversal MN, los ángulos 1 y 2 no son iguales, es decir, asumimos lo contrario de lo que es necesario demostrar. A partir de este supuesto, mediante el razonamiento llegamos a una contradicción con el axioma de las rectas paralelas. Esto significa que nuestra suposición es incorrecta y por lo tanto ∠1 = ∠2.

Esta forma de razonamiento se utiliza a menudo en matemáticas. Lo usamos antes, por ejemplo en el párrafo 12 al demostrar que dos líneas perpendiculares a una tercera no se cruzan. Usamos el mismo método en el párrafo 28 para demostrar los corolarios 1 0 y 2 0 del axioma de rectas paralelas.

Consecuencia

De hecho, dejemos que || b, c ⊥ a, es decir ∠1 = 90° (Fig. 114). La línea c intersecta a la línea a, por lo que también intersecta a la línea b. Cuando las líneas paralelas a y b se cruzan con una transversal c, se forman ángulos transversales iguales: ∠1=∠2. Como ∠1 = 90°, entonces ∠2 = 90°, es decir, c ⊥ b, que es lo que había que demostrar.

Arroz. 114

Teorema

Prueba

Sean las rectas paralelas a y b cortadas por una secante c. Demostremos que los ángulos correspondientes, por ejemplo 1 y 2, son iguales (ver Fig. 102). Desde un || b, entonces los ángulos transversales 1 y 3 son iguales.

Los ángulos 2 y 3 son iguales a la vertical. De las igualdades ∠1 = ∠3 y ∠2 = ∠3 se deduce que ∠1 = ∠2. El teorema ha sido demostrado.

Teorema

Prueba

Sean las rectas paralelas a y b cortadas por una secante c (ver figura 102). Demostremos, por ejemplo, que ∠1 + ∠4 = 180°. Desde un || b, entonces los ángulos correspondientes 1 y 2 son iguales. Los ángulos 2 y 4 son adyacentes, entonces ∠2 + ∠4 = 180°. De las igualdades ∠1 = ∠2 y ∠2 + ∠4 = 180° se deduce que ∠1 + ∠4 = 180°. El teorema ha sido demostrado.

Comentario

Si se prueba un determinado teorema, entonces no se sigue la afirmación inversa. Es más, lo contrario no siempre es cierto. Pongamos un ejemplo sencillo. Sabemos que si los ángulos son verticales, entonces son iguales. La afirmación inversa: “si los ángulos son iguales, entonces son verticales” es, por supuesto, falsa.

Ángulos con lados respectivamente paralelos o perpendiculares

Demostremos el teorema sobre ángulos con lados correspondientemente paralelos.

Teorema

Prueba

Sean ∠AOB y ∠A 1 O 1 B 1 los ángulos dados y OA || O 1 A 1 , OB || Aproximadamente 1 en 1. Si se desarrolla el ángulo AOB, entonces el ángulo A 1 O 1 B 1 también se desarrolla (explique por qué), por lo que estos ángulos son iguales. Sea ∠AOB un ángulo no desarrollado. Los posibles casos de ubicación de los ángulos AOB y A 1 O 1 B 1 se muestran en la Figura 115, a y b. La recta O 1 B 1 cruza la recta O 1 A 1 y, por lo tanto, cruza la recta OA paralela a ella en algún punto M. Las rectas paralelas OB y O 1 B 1 son intersecadas por la secante OM, por lo tanto uno de los ángulos formado en la intersección de las líneas O 1 B 1 y OA (ángulo 1 en la Figura 115), es igual al ángulo AOB (como los ángulos transversales). Las rectas paralelas OA y O 1 A 1 son intersecadas por la secante O 1 M, por lo tanto, ∠1 = ∠A 1 O 1 B 1 (Fig.115, a), o ∠1 + ∠A 1 O 1 B 1 = 180 ° (Fig. 115, b). De la igualdad ∠1 = ∠AOB y las dos últimas igualdades se deduce que o ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 (ver Fig. 115, a), o ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° ( ver Fig.115, b). El teorema ha sido demostrado.

Arroz. 115

Demostremos ahora el teorema sobre ángulos con lados correspondientemente perpendiculares.

Teorema

Prueba

Sean ∠AOB y ∠A 1 O 1 B 1 ángulos dados, OA ⊥ O 1 A 1 , OB ⊥ O 1 B 1 . Si el ángulo AOB es inverso o recto, entonces el ángulo A 1 O 1 B 1 es inverso o recto (explica por qué), entonces estos ángulos son iguales. Sea ∠AOB< 180°, О ∉ О 1 А 1 , О ∉ О 1 В 1 (случаи О ∈ O 1 А 1 , О ∈ О 1 В 1 рассмотрите самостоятельно).

Son posibles dos casos (Fig. 116).

1 0 . ∠AOB< 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А 1 О 1 В 1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠COD + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°.

2 0 . ∠AOB > 90° (ver Fig. 116, b). Dibujemos el rayo OS de modo que el ángulo AOS sea adyacente al ángulo AOB. El ángulo AOC es agudo y sus lados son correspondientemente perpendiculares a los lados del ángulo A 1 O 1 B 1 . Por lo tanto, ∠AOC + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°, o ∠AOC = ∠A 1 O 1 B 1 . En el primer caso, ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1, en el segundo caso, ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. El teorema ha sido demostrado.

Tareas

196. Dado un triángulo ABC. ¿Cuántas rectas paralelas al lado AB se pueden trazar por el vértice C?

197. Se trazan cuatro líneas rectas a través de un punto que no se encuentra en la línea p. ¿Cuántas de estas líneas se cruzan con la línea p? Considere todos los casos posibles.

198. Las líneas a y b son perpendiculares a la línea p, la línea c intersecta a la línea a. ¿La línea c se cruza con la línea b?

199. La recta p es paralela al lado AB del triángulo ABC. Demuestre que las rectas BC y AC intersecan a la recta r.

200. En la Figura 117 AD || p y PQ || Sol. Demuestre que la recta p corta a las rectas AB, AE, AC, BC y PQ.

Arroz. 117

201. La suma de los ángulos transversales cuando dos rectas paralelas se cortan con una transversal es igual a 210°. Encuentra estos ángulos.

202. En la Figura 118, las líneas a, b y c están intersecadas por la línea d, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. ¿Cuáles de las rectas a, b y c son paralelas?

Arroz. 118

203. Encuentra todos los ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas a y b se cruzan con una transversal c, si:

a) uno de los ángulos mide 150°;
b) uno de los ángulos es 70° mayor que el otro.

204. Los extremos del segmento AB se encuentran en las rectas paralelas a y b. La línea recta que pasa por el medio O de este segmento corta a las líneas a y b en los puntos C y D. Demuestre que CO = OD.

205. Utilizando los datos de la Figura 119, encuentre ∠1.

Arroz. 119

206. ∠ABC = 70° y ABCD = 110°. ¿Pueden dirigir AB y CD ser:

a) paralelo;
b) intersección?

207. Responda las preguntas del problema 206 si ∠ABC = 65° y ∠BCD = 105°.

208. La diferencia entre dos ángulos unilaterales cuando dos rectas paralelas se cruzan con una transversal es 50°. Encuentra estos ángulos.

209. En la figura 120 a || b, c || re, ∠4 = 45°. Encuentra los ángulos 1, 2 y 3.

Arroz. 120

210. Dos cuerpos P 1 y P 2 están suspendidos de los extremos de un hilo tirado sobre los bloques A y B (Fig. 121). El tercer cuerpo P 3 está suspendido del mismo hilo en el punto C y equilibra los cuerpos P 1 y P 2. (En este caso, AP 1 || BP 2 || CP 3 .) Demuestre que ∠ACB = ∠CAP 1 + ∠CBP 2 .

Arroz. 121

211. Dos rectas paralelas son intersecadas por una transversal. Demuestre que: a) las bisectrices de ángulos opuestos son paralelas; b) las bisectrices de ángulos unilaterales son perpendiculares.

212. Las rectas que contienen las altitudes AA 1 y BB 1 del triángulo ABC se cortan en el punto H, el ángulo B es obtuso, ∠C = 20°. Encuentra el ángulo ABB.