Algunos corolarios de los axiomas
Teorema 1:
Un avión pasa por una recta y por un punto que no se encuentra sobre ella, y sólo uno.
Dado: M ₵ a
Demuestre: 1) Existe α: a∈ α, METRO ∈ segundo ∈ α
2)
α es el único
Prueba:
1) En línea recta y seleccionar puntos PAG Y P. Entonces tenemos 3 puntos - R, Q,M, que no se encuentran en la misma línea recta.
2) Según el axioma A1, un plano pasa por tres puntos que no se encuentran en la misma recta, y solo por uno, es decir plano α, que contiene una recta a y un punto METRO, existe.
3) Ahora demostremos queα el único. Supongamos que existe un plano β que pasa tanto por el punto M como por la recta a, pero entonces este plano pasa por los puntosR, Q, M. Y después de tres puntos P, Q, M, que no se encuentra en la misma línea recta, en virtud del axioma 1, solo pasa un plano.
4) Esto significa que este plano coincide con el plano α.Por lo tanto 1) En línea recta y seleccione puntos. PAG Y q. Entonces tenemos 3 puntos - P, Q, M, que no se encuentran en la misma línea recta.Por tanto α es único.
El teorema está demostrado.
1) En la recta b, toma el punto N, que no coincide con el punto M, es decir, N ∈ b, N≠M
2) Entonces tenemos un punto N que no pertenece a la recta a. Según el teorema anterior, un plano pasa por una recta y un punto que no se encuentra sobre ella. Llamémoslo plano α. Esto significa que existe un plano que pasa por la recta a y el punto N.
3) Demostremos la unicidad de este avión. Supongamos lo contrario. Sea un plano β tal que pase por la línea a y por la línea b. Pero luego también pasa por la recta a y el punto N. Pero según el teorema anterior, este plano es único, es decir el plano β coincide con el plano α.
4) Esto significa que hemos demostrado la existencia de un plano único que pasa por dos rectas que se cruzan.
El teorema está demostrado.
Teorema de rectas paralelas
Teorema:
Por cualquier punto del espacio que no se encuentre sobre una recta dada pasa una recta paralela a la recta dada.
Dado: recto soy₵ un
Probar:solo hay una linea rectasegundo ∥ a, METRO ∈ segundo
Prueba:
1) A través de una recta a y un punto M que no se encuentra sobre ella, se puede trazar un plano único (Corolario 1). En el plano α podemos trazar una recta b, paralela a a, que pase por M.
2) Demostremos que ella es la única. Supongamos que hay otra línea c que pasa por el punto M y es paralela a la línea a. Sean las rectas paralelas a y c en el plano β. Entonces β pasa por M y la recta a. Pero el plano α pasa por la recta a y el punto M.
3) Esto significa que α y β son iguales. Del axioma de rectas paralelas se deduce que las rectas b y c coinciden, ya que en el plano pasa una única recta que pasa por este punto y paralela a una recta dada.
El teorema está demostrado.
Una recta y un plano se llaman paralelos si no tienen puntos comunes. Si una línea que no está en un plano dado es paralela a alguna línea que está en este
1. Si un plano pasa por una línea dada paralela a otro plano y cruza este plano, entonces la línea de intersección de los planos es paralela a la línea dada.
2. Si una de dos rectas paralelas es paralela a un plano dado y la otra recta tiene un punto común con el plano, entonces esta recta se encuentra en el plano dado. plano, entonces es paralelo al plano mismo.
Casos de posición relativa de una recta y un plano: a) la línea recta se encuentra en el plano;
b) una recta y un plano tienen un solo punto común; c) una recta y un plano no tienen un solo punto común;
2. Determinación del valor natural de un segmento de recta en posición general mediante el método del triángulo rectángulo.
El valor natural (n.v.) de un segmento de recta AB en posición general es la hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC. En este triángulo, el cateto AK es paralelo al plano de proyección π1 y es igual a la proyección horizontal del segmento A "B". El cateto BK es igual a la diferencia de las distancias de los puntos A y B al plano π1.
En el caso general, para determinar el valor natural de un segmento de línea recta, es necesario construir la hipotenusa de un triángulo rectángulo, un cateto del cual es la proyección horizontal (frontal) del segmento, el otro cateto es un segmento igual de valor a la diferencia algebraica en las coordenadas Z (Y) de los puntos extremos del segmento.
Desde un triángulo rectángulo, encuentre el ángulo α: el ángulo de inclinación de la línea recta hacia el plano de proyección horizontal.
Para determinar el ángulo de inclinación de una línea recta con respecto al plano frontal de proyecciones, es necesario realizar construcciones similares en la proyección frontal del segmento.
3. Líneas principales del avión (horizontal, frontal).
La horizontal del plano P es una recta que se encuentra en este plano y es paralela al plano horizontal. La horizontal, como recta paralela al plano horizontal, tiene proyección frontalѓ, paralelo al eje x.
El plano frontal del plano P es una línea recta que se encuentra en este plano y es paralela al plano frontal.
El frontal es una línea recta paralela al plano frontal y su proyección horizontal es paralela al eje x.
4. La posición relativa de las líneas en el espacio. Determinación de la visibilidad basada en puntos en competencia. Dos líneas rectas en el espacio pueden tener diferentes ubicaciones: A) se cruzan (se encuentran en el mismo plano). Un caso especial de intersección es en ángulos rectos; B) pueden ser paralelos (se encuentran en el mismo plano); C) coinciden: un caso especial de paralelismo D) se cruzan (se encuentran en diferentes planos y no se cruzan);
Los puntos cuyas proyecciones sobre P1 coinciden se llaman compitiendo en relación con el plano P1, y los puntos cuyas proyecciones sobre P2 coinciden se denominan compitiendo en relación al plano P2.
Los puntos K y L compiten con respecto al plano P1, ya que en el plano P1 los puntos K y L se proyectan en un punto: K1 = L1.
El punto K es más alto que el punto L, porque K2 es más alto que el punto L2, por lo tanto K1 es visible en P1.
La geometría elemental estudia los conceptos y las relaciones de los objetos. Sin una justificación clara no se puede navegar área de aplicación. El signo de paralelismo entre una línea recta y un plano es el primer paso hacia la geometría del espacio. Dominio de las categorías iniciales. te permitirá acercarte al fascinante mundo de la precisión, la lógica y la claridad.
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Correlación de objetos: posibles opciones.
La estereometría es una herramienta para comprender el mundo. Examina la relación de los objetos entre sí y enseña a calcular distancias sin regla. La práctica exitosa requiere dominar conceptos básicos.
Hay una superficie a y una recta l. Hay tres casos de relaciones objetales. Están determinados por los puntos de intersección. Fácil de recordar:
- 0 puntos - paralelo;
- 1 punto - se cruzan mutuamente;
- infinitos: la línea recta se encuentra en el plano.
Es fácil describir el signo de paralelismo de objetos. En la superficie a hay una línea con || l, entonces l || A.
Una simple declaración requiere prueba. Dejemos que la superficie se dibuje a través de las líneas: l || C. En Ω a = c. Tengamos un punto en común con a. Debería estar en la p. Esto contradice la condición: l || C. Entonces l es paralelo al plano a. Posición inicial bien.
Importante! Hay al menos una línea en el espacio || superficie plana. Esto es consistente con el enunciado de la geometría inicial (planimetría).
Una idea sencilla: a pertenece a más de un punto l, lo que significa que la recta l pertenece enteramente a a.
un || yo solo en caso falta de un único punto de intersección.
Ésta es una definición lógica de paralelismo entre una línea y un plano.
Fácil de encontrar uso práctico provisiones. ¿Cómo demostrar que una recta es paralela a un plano?
Basta con utilizar la característica estudiada.
¿Qué es útil saber?
Para resolver problemas de manera competente, es necesario estudiar ubicaciones adicionales de objetos. La base es un signo de paralelismo entre una recta y un plano. Su uso facilitará la comprensión de otros elementos. La geometría del espacio considera casos especiales.
Intersecciones en estereometría
Objetos anteriores: superficie plana a, líneas c, l. ¿Cómo están uno al lado del otro? Con || l. L interseca a. Es fácil de entender: c definitivamente se cruzará con a. Esta idea es un lema sobre la intersección de un plano por rectas paralelas.
El campo de actividad se está ampliando. La superficie c se agrega a los objetos en estudio. Ella es la dueña de l. Nada cambia en los objetos originales: l || A. De nuevo es simple: en caso de intersección de planos línea común d || l. El concepto sigue inmediatamente: qué dos planos se llaman intersección. Los que tienen una línea común.
¿Qué teoremas deben estudiarse?
Los conceptos principales de la relación de objetos conducen a una descripción de las declaraciones principales. Ellos requieren pruebas extensas. Primero: teoremas sobre el paralelismo de una recta y un plano. Se consideran varios casos.
- Objetos: superficies P, Q, R, rectas AB, CD. Condición: P||Q, R los cruza. Naturalmente, AB||CD.
- Temas de investigación: líneas AB, CD, A1B1, C1D1. AB corta a CD en un plano, A1B1 corta a C1D1 en otro. AB||A1B1,CD||C1D1. Conclusión: superficies que incluyen pares que se cruzan lineas paralelas, ||.
Surge un nuevo concepto . Las líneas que se cruzan no son en sí mismas paralelas. aunque se encuentran en planos paralelos. Estos son C1D1 y AB, A1B1 y CD. Este fenómeno se utiliza ampliamente en la estereometría práctica.
Declaración natural: a través de una de las líneas que se cruzan es real sólo hay un plano paralelo al plano indicado.
- Entonces es fácil llegar al teorema de la traza. Ésta es la tercera afirmación sobre el paralelismo de una línea y una superficie. Hay una línea recta l. Ella || A. Pertenezco a. En Ω a = d. Solo posible variante:v || l.
¡Importante! Una recta y un plano se llaman || Sin instalaciones comunes- puntos.
Propiedades del paralelismo y sus pruebas.
Es fácil llegar al concepto de disposición de superficies planas:
- el conjunto vacío de puntos comunes (llamado paralelo);
- se cruzan en línea recta.
Se utilizan en estereometría. Propiedades del paralelismo. Cualquier imagen espacial tiene superficies y líneas. Para resolver problemas con éxito, es necesario estudiar los teoremas básicos:
- Objetos en estudio: a || b; c Ω b = l, c Ω a = m. Conclusión: l ||m. La suposición requiere prueba. La ubicación de l y m es una de dos: intersecantes o paralelas. Pero en el segundo caso, las superficies no tienen puntos comunes. Entonces yo || metro. La afirmación ha sido probada. Debe recordarse: si una línea se encuentra en un plano, entonces tiene más de un punto de intersección.
- Existe una superficie a, el punto A no pertenece a a. Entonces solo hay una superficie b || un paso por A. Demostrar la posición es sencillo. Sea l Ω m; l, m pertenecen a a. Se construye un plano a través de cada uno de ellos y A. Ella cruza un. Hay una línea que pasa por A y || A. En el punto A se cruzan. Forman una única superficie b || a.
- Hay líneas sesgadas l y m. Luego están || superficies a y b a las que pertenecen l y m. Es lógico hacer esto: en l y m elige puntos arbitrarios. Gastar m1 || metro, l1 || l. Líneas que se cruzan en pares || => un || b. La situación ha sido probada.
El conocimiento de las propiedades del paralelismo de una línea recta y un plano le permitirá aplicarlas hábilmente en la práctica. Pruebas sencillas y lógicas le ayudarán a navegar por el fascinante mundo de la estereometría.
Planos: evaluación del paralelismo
El concepto es fácil de describir. Pregunta: qué significa que una recta y un plano son paralelos, resuelto. El estudio de las categorías iniciales de la geometría espacial condujo a una afirmación más compleja.
Al decidir problemas aplicados Se aplica la característica de paralelismo. Descripción simple: sea l Ω m, l1 Ω m1, l, m pertenezcan a a, l1, m1 – b. En este caso l || l1, metro || m1. Entonces un || b.
Sin aplicación simbolos matematicos: los planos se llaman paralelos si se trazan a través de líneas paralelas que se cruzan en pares.
Revisiones de estereometría propiedades planos paralelos . Se describen mediante teoremas:
Objetos en estudio: a || b, a Ω c = l, b Ω c = m. Entonces yo || metro. La evidencia es obvia. y Las rectas se encuentran en el mismo plano si || o cruzarse. Se debe aplicar la afirmación sobre el paralelismo de la línea y la superficie. Entonces resulta obvio: l y m no pueden cruzarse. Lo único que queda es l || metro.
