Cargue el condensador de la batería y conéctelo a la bobina. En el circuito que creamos, inmediatamente comenzarán las oscilaciones electromagnéticas (Fig. 46). La corriente de descarga del condensador, que pasa a través de la bobina, crea un campo magnético a su alrededor. Esto significa que durante la descarga de un condensador, la energía de su campo eléctrico se transforma en energía del campo magnético de la bobina, así como cuando oscila un péndulo o una cuerda, la energía potencial se transforma en energía cinética.
A medida que el capacitor se descarga, el voltaje a través de sus placas cae y la corriente en el circuito aumenta, y cuando el capacitor esté completamente descargado, la corriente será máxima (amplitud de corriente). Pero incluso después del final de la descarga del capacitor, la corriente no se detendrá: el campo magnético decreciente de la bobina favorecerá el movimiento de las cargas y nuevamente comenzarán a acumularse en las placas del capacitor. En este caso, la corriente en el circuito disminuye y el voltaje a través del capacitor aumenta. Este proceso de transición inversa de la energía del campo magnético de la bobina a la energía del campo eléctrico del condensador recuerda algo a lo que sucede cuando el péndulo, después de pasar el punto medio, se eleva hacia arriba.
Cuando la corriente en el circuito se detiene y el campo magnético de la bobina desaparece, el condensador se cargará al voltaje máximo (amplitud) de polaridad inversa. Esto último significa que en la placa donde antes había cargas positivas, ahora habrá negativas, y viceversa. Por lo tanto, cuando la descarga del condensador comienza nuevamente (y esto sucederá inmediatamente después de que esté completamente cargado), fluirá una corriente en la dirección opuesta en el circuito.
El intercambio de energía periódicamente repetido entre el condensador y la bobina representa oscilaciones electromagnéticas en el circuito. Durante estas oscilaciones, una corriente alterna fluye en el circuito (es decir, no solo cambia la magnitud, sino también la dirección de la corriente), y un voltaje alterno actúa sobre el capacitor (es decir, no solo cambia la magnitud del voltaje, sino también también la polaridad de las cargas que se acumulan en las placas). Una dirección del voltaje actual se llama convencionalmente positiva y la dirección opuesta se llama negativa.
Al observar los cambios en el voltaje o la corriente, se puede construir una gráfica de oscilaciones electromagnéticas en el circuito (Fig. 46), tal como construimos una gráfica de oscilaciones mecánicas de un péndulo (). En un gráfico, los valores positivos de corriente o voltaje se trazan sobre el eje horizontal y las corrientes o voltajes negativos se trazan debajo de este eje. La mitad del período en la que la corriente fluye en dirección positiva a menudo se denomina semiciclo positivo de la corriente, y la otra mitad, semiciclo negativo de la corriente. También podemos hablar de voltaje de medio ciclo positivo y negativo.
Me gustaría enfatizar una vez más que usamos las palabras "positivo" y "negativo" de manera completamente condicional, solo para distinguir dos direcciones de corriente opuestas.
Las oscilaciones electromagnéticas con las que nos hemos familiarizado se denominan oscilaciones libres o naturales. Ocurren cada vez que transferimos una cierta cantidad de energía al circuito y luego permitimos que el capacitor y la bobina intercambien libremente esta energía. La frecuencia de oscilación libre (es decir, la frecuencia del voltaje y la corriente alterna en el circuito) depende de qué tan rápido el capacitor y la bobina pueden almacenar y liberar energía. Esto, a su vez, depende de la inductancia Lk y la capacitancia Ck del circuito, del mismo modo que la frecuencia de vibración de una cuerda depende de su masa y elasticidad. Cuanto mayor es la inductancia L de la bobina, más tiempo se necesita para crear un campo magnético en ella y más tiempo este campo magnético puede mantener la corriente en el circuito. Cuanto mayor sea la capacitancia C del capacitor, más tiempo tardará en descargarse y más tiempo tardará en recargarse. Así, cuanto más Lk y Ck hay en el circuito, más lentas se producen en él las oscilaciones electromagnéticas y menor es su frecuencia. La dependencia de la frecuencia f o de las oscilaciones libres de L a y C al circuito se expresa mediante una fórmula simple, que es una de las fórmulas básicas de la ingeniería de radio:
El significado de esta fórmula es extremadamente simple: para aumentar la frecuencia de las oscilaciones naturales f 0, es necesario reducir la inductancia L k o la capacitancia C k del circuito; para reducir f 0, se deben aumentar la inductancia y la capacitancia (Figura 47).
De la fórmula de la frecuencia se pueden derivar fácilmente (ya lo hemos hecho con la fórmula de la ley de Ohm) fórmulas de cálculo para determinar uno de los parámetros del circuito L k o C k a una frecuencia determinada f0 y un segundo parámetro conocido. En las hojas 73, 74 y 75 se dan fórmulas convenientes para cálculos prácticos.
Oscilaciones libres en el circuito.
Los circuitos de corriente alterna analizados en las secciones anteriores sugieren que un par de elementos (un condensador y un inductor) forman una especie de sistema oscilatorio. Ahora mostraremos que este es efectivamente el caso; en un circuito que consta únicamente de estos elementos (Fig. 669), incluso las oscilaciones libres son posibles, es decir, sin una fuente externa de FEM.
arroz. 669
Por lo tanto, un circuito (o parte de otro circuito) que consta de un condensador y un inductor se llama circuito oscilatorio.
Deje que el capacitor se cargue hasta una carga qo y luego conectele un inductor. Este procedimiento es fácil de realizar utilizando un circuito cuyo diagrama se muestra en la Fig. 670: primero se bloquea la llave en su posición 1
, mientras el condensador se carga a un voltaje igual a la fem de la fuente, después de lo cual se lanza la llave a las posiciones 2
, después de lo cual el condensador comienza a descargarse a través de la bobina. 
arroz. 670
Para determinar la dependencia de la carga del condensador con el tiempo. q(t) Se aplica la ley de Ohm, según la cual la tensión en el condensador UC = q/C igual a la fem de autoinducción que surge en la bobina 
aquí, "primo" significa derivada con respecto al tiempo.
Por tanto, la ecuación resulta válida. 
Esta ecuación contiene dos funciones desconocidas, dependiendo del tiempo de carga. q(t) y fuerza actual Él), por lo que no se puede solucionar. Sin embargo, la intensidad de la corriente es una derivada de la carga del condensador. q/(t) = I(t), por lo tanto la derivada de la corriente es la segunda derivada de la carga 
Teniendo en cuenta esta relación, reescribimos la ecuación (1) en la forma 
Sorprendentemente, esta ecuación coincide completamente con la ecuación bien estudiada de oscilaciones armónicas (la segunda derivada de una función desconocida es proporcional a esta función misma con un coeficiente de proporcionalidad negativo x // = −ω o 2 x)! Por tanto, la solución a esta ecuación es la función armónica
con frecuencia circular 
Esta fórmula determina frecuencia natural del circuito oscilatorio. En consecuencia, el período de oscilación de la carga del condensador (y la corriente en el circuito) es igual a 
La expresión resultante para el período de oscilación se llama La fórmula de J. Thompson.
Como es habitual, para definir parámetros arbitrarios. A, φ
en la solución general (4), es necesario establecer las condiciones iniciales: carga y intensidad de corriente en el momento inicial. En particular, para el ejemplo considerado del circuito de la Fig. 670, las condiciones iniciales tienen la forma: en t = 0, q = qo, yo = 0, por lo tanto, la dependencia de la carga del capacitor con el tiempo será descrita por la función
Y la fuerza actual cambia con el tiempo según la ley.
La consideración anterior de un circuito oscilatorio es aproximada: cualquier circuito real tiene una resistencia activa (cables de conexión y devanados de bobina). 
arroz. 671
Por lo tanto, en la ecuación (1), se debe tener en cuenta la caída de voltaje a través de esta resistencia activa, por lo que esta ecuación tomará la forma 
que, teniendo en cuenta la relación entre la carga y la intensidad de la corriente, se convierte a la forma 
Esta ecuación también nos resulta familiar: esta es la ecuación de oscilaciones amortiguadas. 
y el coeficiente de atenuación, como era de esperar, es proporcional a la resistencia activa del circuito β = R/L.
Los procesos que ocurren en un circuito oscilatorio también se pueden describir utilizando la ley de conservación de la energía. Si descuidamos la resistencia activa del circuito, entonces la suma de las energías del campo eléctrico del condensador y el campo magnético de la bobina permanece constante, lo que se expresa mediante la ecuación 
que es también la ecuación de oscilaciones armónicas con una frecuencia determinada por la fórmula (5). En su forma, esta ecuación también coincide con las ecuaciones que se derivan de la ley de conservación de la energía durante las vibraciones mecánicas. Dado que las ecuaciones que describen las oscilaciones de la carga eléctrica de un condensador son similares a las ecuaciones que describen las oscilaciones mecánicas, se puede establecer una analogía entre los procesos que ocurren en un circuito oscilatorio y los procesos en cualquier sistema mecánico. En la figura. 672 se hace tal analogía con las oscilaciones de un péndulo matemático. En este caso, los análogos son "carga de condensador q(t)− ángulo de desviación del péndulo φ(t)" y "fuerza actual Yo(t) = q / (t)− velocidad del péndulo Vermont)». 
arroz. 672
Usando esta analogía, describiremos cualitativamente el proceso de oscilaciones de carga y corriente eléctrica en el circuito. En el momento inicial, el condensador está cargado, la corriente eléctrica es cero, toda la energía está contenida en la energía del campo eléctrico del condensador (que es similar a la desviación máxima del péndulo de la posición de equilibrio). Luego, el condensador comienza a descargarse, la corriente aumenta y aparece una fem autoinductiva en la bobina, que evita que la corriente aumente; la energía del condensador disminuye y se convierte en la energía del campo magnético de la bobina (analogía: un péndulo se mueve hacia el punto más bajo cada vez con mayor velocidad). Cuando la carga del condensador se vuelve cero, la corriente alcanza su valor máximo y toda la energía se convierte en energía del campo magnético (el péndulo ha alcanzado su punto más bajo, su velocidad es máxima). Luego, el campo magnético comienza a disminuir, mientras que el EMF de autoinducción mantiene la corriente en la misma dirección, mientras que el capacitor comienza a cargarse y los signos de las cargas en las placas del capacitor son opuestos a la distribución inicial (análogo: el péndulo se mueve a la desviación máxima inicial opuesta). Luego, la corriente en el circuito se detiene y la carga del capacitor vuelve a ser máxima, pero en el signo opuesto (el péndulo ha alcanzado su deflexión máxima), después de lo cual el proceso se repite en la dirección opuesta.
El principal dispositivo que determina la frecuencia de funcionamiento de cualquier generador de corriente alterna es el circuito oscilante. El circuito oscilatorio (Fig.1) consta de un inductor. l(considere el caso ideal cuando la bobina no tiene resistencia óhmica) y un condensador do y se llama cerrado. La característica de una bobina es la inductancia, se denomina l y medido en Henry (H), el condensador se caracteriza por la capacitancia do, que se mide en faradios (F).
Deje que en el momento inicial el capacitor se cargue de tal manera (Fig.1) que en una de sus placas haya una carga + q 0, y por el otro - carga - q 0. En este caso, se forma un campo eléctrico con energía entre las placas del condensador.
¿Dónde está el voltaje de amplitud (máximo) o la diferencia de potencial entre las placas del capacitor?
Después de cerrar el circuito, el condensador comienza a descargarse y a través del circuito fluye una corriente eléctrica (Fig. 2), cuyo valor aumenta de cero al valor máximo. Dado que por el circuito fluye una corriente de magnitud variable, se induce una fem autoinductiva en la bobina, que evita que el condensador se descargue. Por tanto, el proceso de descarga del condensador no se produce instantáneamente, sino de forma gradual. En cada momento, la diferencia de potencial entre las placas del capacitor
(donde está la carga del condensador en un momento dado) es igual a la diferencia de potencial a través de la bobina, es decir igual a la fem de autoinducción
 |
 |
| Fig.1 | Fig.2 |
Cuando el condensador esté completamente descargado y , la corriente en la bobina alcanzará su valor máximo (Fig. 3). La inducción del campo magnético de la bobina en este momento también es máxima, y la energía del campo magnético será igual a
Luego, la corriente comienza a disminuir y la carga se acumulará en las placas del condensador (Fig. 4). Cuando la corriente disminuye a cero, la carga del capacitor alcanza su valor máximo. q 0, pero la placa, que antes estaba cargada positivamente, ahora estará cargada negativamente (Fig. 5). Luego, el condensador comienza a descargarse nuevamente y la corriente en el circuito fluye en la dirección opuesta.
Entonces, el proceso de carga que fluye de una placa de capacitor a otra a través del inductor se repite una y otra vez. Dicen que en el circuito hay vibraciones electromagnéticas. Este proceso está asociado no solo con fluctuaciones en la cantidad de carga y voltaje en el capacitor, la intensidad de la corriente en la bobina, sino también con la transferencia de energía del campo eléctrico al campo magnético y viceversa.
 |
 |
| Fig.3 | Fig.4 |
La recarga del condensador al voltaje máximo se producirá solo si no hay pérdida de energía en el circuito oscilatorio. Este contorno se llama ideal.
En circuitos reales se producen las siguientes pérdidas de energía:
1) pérdidas de calor, porque R ¹ 0;
2) pérdidas en el dieléctrico del condensador;
3) pérdidas por histéresis en el núcleo de la bobina;
4) pérdidas por radiación, etc. Si descuidamos estas pérdidas de energía, entonces podemos escribir eso, es decir,
Las oscilaciones que ocurren en un circuito oscilatorio ideal en el que se cumple esta condición se denominan gratis, o propio, vibraciones del circuito.
En este caso el voltaje Ud.(y cargar q) en los cambios del condensador según la ley armónica:
donde n es la frecuencia natural del circuito oscilatorio, w 0 = 2pn es la frecuencia natural (circular) del circuito oscilatorio. La frecuencia de las oscilaciones electromagnéticas en el circuito se define como
Período T- se determina el tiempo durante el cual se produce una oscilación completa del voltaje en el capacitor y la corriente en el circuito la fórmula de thomson
La intensidad de la corriente en el circuito también cambia según la ley armónica, pero va por detrás del voltaje en fase. Por lo tanto, la dependencia de la intensidad de la corriente en el circuito con el tiempo tendrá la forma
. (9)
La Figura 6 muestra gráficos de cambios de voltaje. Ud. en el condensador y la corriente I en la bobina para un circuito oscilante ideal.
En un circuito real, la energía disminuirá con cada oscilación. Las amplitudes del voltaje en el capacitor y la corriente en el circuito disminuirán; tales oscilaciones se denominan amortiguadas. No se pueden utilizar en osciladores maestros, porque El dispositivo funcionará mejor en modo pulso.
 |
 |
| Fig.5 | Fig.6 |
Para obtener oscilaciones no amortiguadas, es necesario compensar las pérdidas de energía en una amplia variedad de frecuencias de funcionamiento de los dispositivos, incluidos los utilizados en medicina.
- Vibraciones electromagnéticas– estos son cambios periódicos a lo largo del tiempo en cantidades eléctricas y magnéticas en un circuito eléctrico.
- Gratis estos se llaman fluctuaciones, que surgen en un sistema cerrado como resultado de la desviación de este sistema de un estado de equilibrio estable.
Durante las oscilaciones, se produce un proceso continuo de conversión de la energía del sistema de una forma a otra. En el caso de oscilaciones del campo electromagnético, el intercambio sólo puede tener lugar entre los componentes eléctricos y magnéticos de este campo. El sistema más simple donde este proceso puede ocurrir es circuito oscilatorio.
- Circuito oscilatorio ideal (circuito LC) - un circuito eléctrico que consta de una bobina inductiva l y un capacitor con capacidad do.
A diferencia de un circuito oscilatorio real, que tiene resistencia eléctrica R, la resistencia eléctrica de un circuito ideal es siempre cero. Por tanto, un circuito oscilatorio ideal es un modelo simplificado de un circuito real.
La figura 1 muestra un diagrama de un circuito oscilatorio ideal.
Energías del circuito
Energía total del circuito oscilatorio.
\(W=W_(e) + W_(m), \; \; \; W_(e) =\dfrac(C\cdot u^(2) )(2) = \dfrac(q^(2) ) (2C), \; \; W_(m) =\dfrac(L\cdot i^(2))(2),\)
Dónde Nosotros- energía del campo eléctrico del circuito oscilatorio en un momento dado, CON- capacidad eléctrica del condensador, tu- el valor de tensión en el condensador en un momento dado, q- valor de la carga del condensador en un momento dado, Wm- energía del campo magnético del circuito oscilatorio en un momento dado, l- inductancia de la bobina, i- el valor de la corriente en la bobina en un momento dado.
Procesos en un circuito oscilatorio.
Consideremos los procesos que ocurren en un circuito oscilatorio.
Para sacar el circuito de la posición de equilibrio, cargamos el condensador de modo que quede carga en sus placas. q metro(Fig.2, posición 1 ). Teniendo en cuenta la ecuación \(U_(m)=\dfrac(Q_(m))(C)\) encontramos el valor de voltaje en el capacitor. No hay corriente en el circuito en este momento, es decir i = 0.
Después de cerrar la llave bajo la influencia del campo eléctrico del condensador, aparecerá una corriente eléctrica en el circuito, la intensidad de la corriente i que irá aumentando con el tiempo. El condensador comenzará a descargarse en este momento, porque Los electrones que crean una corriente (les recuerdo que la dirección de la corriente se considera la dirección del movimiento de las cargas positivas) abandonan la placa negativa del capacitor y llegan a la positiva (ver Fig. 2, posición 2 ). junto con el cargo q La tensión también disminuirá. tu\(\left(u = \dfrac(q)(C) \right).\) Cuando la intensidad de la corriente aumenta a través de la bobina, surgirá una fem de autoinducción, que evita que la corriente cambie. Como resultado, la intensidad de la corriente en el circuito oscilante aumentará de cero a un cierto valor máximo no instantáneamente, sino durante un cierto período de tiempo determinado por la inductancia de la bobina.
Carga del condensador q disminuye y en algún momento se vuelve igual a cero ( q = 0, tu= 0), la corriente en la bobina alcanzará un cierto valor Soy(ver Fig. 2, posición 3 ).
Sin el campo eléctrico del condensador (y la resistencia), los electrones que crean la corriente continúan moviéndose por inercia. En este caso, los electrones que llegan a la placa neutra del condensador le imparten una carga negativa y los electrones que salen de la placa neutra le imparten una carga positiva. Una carga comienza a aparecer en el condensador. q(y voltaje tu), pero de signo opuesto, es decir. El condensador se recarga. Ahora el nuevo campo eléctrico del condensador impide que los electrones se muevan, por lo que la corriente i comienza a disminuir (ver Fig. 2, posición 4 ). Nuevamente, esto no sucede instantáneamente, ya que ahora el EMF de autoinducción tiende a compensar la disminución de la corriente y la "apoya". y el valor actual Soy(en posición 3 ) resulta valor máximo de corriente en el circuito.
Y nuevamente, bajo la influencia del campo eléctrico del capacitor, aparecerá una corriente eléctrica en el circuito, pero dirigida en la dirección opuesta, la intensidad de la corriente. i que irá aumentando con el tiempo. Y el condensador se descargará en este momento (ver Fig. 2, posición 6 )a cero (ver Fig. 2, posición 7 ). Etcétera.
Dado que la carga en el condensador q(y voltaje tu) determina la energía de su campo eléctrico Nosotros\(\left(W_(e)=\dfrac(q^(2))(2C)=\dfrac(C \cdot u^(2))(2) \right),\) y la fuerza actual en el bobina i- energía del campo magnético Wm\(\left(W_(m)=\dfrac(L \cdot i^(2))(2) \right),\) luego, junto con los cambios en la carga, el voltaje y la corriente, la energía también cambiará.
Designaciones en la tabla:
\(W_(e\, \max ) =\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot U_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 2) =\dfrac(q_(2)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(2)^(2) )(2), \; e\, 4) =\dfrac(q_(4)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(4)^(2) )(2), \; =\dfrac(q_(6)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(6)^(2) )(2),\)
\(W_(m\; \max ) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(m2) =\dfrac(L\cdot i_(2 )^(2) )(2), \; W_(m4) =\dfrac(L\cdot i_(4)^(2), \; =\dfrac(L\cdot i_(6)^(2) ) (2).\)
La energía total de un circuito oscilante ideal se conserva en el tiempo porque no hay pérdida de energía (no hay resistencia). Entonces
\(W=W_(e\, \max ) = W_(m\, \max ) = W_(e2) + W_(m2) = W_(e4) +W_(m4) = ...\)
Así, en un ideal LC- el circuito sufrirá cambios periódicos en los valores actuales i, cargar q y voltaje tu, y la energía total del circuito permanecerá constante. En este caso dicen que hay problemas en el circuito. oscilaciones electromagnéticas libres.
- Oscilaciones electromagnéticas libres en el circuito: se trata de cambios periódicos en la carga de las placas del condensador, la corriente y el voltaje en el circuito, que se producen sin consumir energía de fuentes externas.
Por lo tanto, la aparición de oscilaciones electromagnéticas libres en el circuito se debe a la recarga del condensador y a la aparición de una fem autoinductiva en la bobina, que "proporciona" esta recarga. Tenga en cuenta que la carga del condensador q y la corriente en la bobina i alcanzar sus valores máximos q metro Y Soy en varios momentos del tiempo.
Las oscilaciones electromagnéticas libres en el circuito se producen según la ley armónica:
\(q=Q_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; u=U_(m) \cdot \cos \left(\ omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; i=I_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(2) \right).\)
El período de tiempo más corto durante el cual LC- el circuito vuelve a su estado original (al valor inicial de la carga de una placa determinada), llamado período de oscilaciones electromagnéticas libres (naturales) en el circuito.
El período de oscilaciones electromagnéticas libres en LC-el contorno está determinado por la fórmula de Thomson:
\(T=2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C), \;\;\; \omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C)).\)
Desde el punto de vista de la analogía mecánica, un péndulo de resorte sin fricción corresponde a un circuito oscilatorio ideal y uno real, con fricción. Debido a la acción de las fuerzas de fricción, las oscilaciones de un péndulo elástico se desvanecen con el tiempo.
*Derivación de la fórmula de Thomson
Dado que la energía total del ideal LC-circuito igual a la suma de las energías del campo electrostático del capacitor y el campo magnético de la bobina se conserva, entonces en cualquier momento la igualdad es válida
\(W=\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2) =\dfrac(q^(2) )(2C ) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) =(\rm const).\)
Obtenemos la ecuación de oscilaciones en LC-circuito que utiliza la ley de conservación de la energía. Diferenciando la expresión de su energía total respecto del tiempo, teniendo en cuenta que
\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q"",\)
obtenemos una ecuación que describe oscilaciones libres en un circuito ideal:
\(\left(\dfrac(q^(2) )(2C) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) \right)^((") ) =\dfrac(q)(C ) \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac(q)(C) \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)
\(\dfrac(q)(C) +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac(1)(L\cdot C) \cdot q=0.\ )
Reescribiéndolo como:
\(q""+\omega ^(2) \cdot q=0,\)
observamos que esta es la ecuación de oscilaciones armónicas con una frecuencia cíclica
\(\omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C) ).\)
En consecuencia, el período de las oscilaciones consideradas.
\(T=\dfrac(2\pi )(\omega ) =2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C).\)
Literatura
- Zhilko, V.V. Física: libro de texto. manual para educación general de 11º grado. escuela del ruso idioma formación / V.V. Zhilko, L.G. Markóvich. - Minsk: Nar. Asveta, 2009. - págs.39-43.
Un campo electromagnético puede existir en ausencia de cargas o corrientes eléctricas: son estos campos eléctricos y magnéticos "autosostenibles" los que son ondas electromagnéticas, que incluyen luz visible, radiación infrarroja, ultravioleta y de rayos X, ondas de radio, etc.
§ 25. Circuito oscilatorio
El sistema más simple en el que son posibles las oscilaciones electromagnéticas naturales es el llamado circuito oscilatorio, que consta de un condensador y un inductor conectados entre sí (Fig. 157). Al igual que un oscilador mecánico, por ejemplo un cuerpo macizo sobre un resorte elástico, las oscilaciones naturales en el circuito van acompañadas de transformaciones de energía.
Arroz. 157. Circuito oscilatorio
Analogía entre vibraciones mecánicas y electromagnéticas. Para un circuito oscilatorio, un análogo de la energía potencial de un oscilador mecánico (por ejemplo, la energía elástica de un resorte deformado) es la energía del campo eléctrico en un condensador. Un análogo de la energía cinética de un cuerpo en movimiento es la energía del campo magnético en un inductor. De hecho, la energía del resorte es proporcional al cuadrado del desplazamiento desde la posición de equilibrio y la energía del capacitor es proporcional al cuadrado de la carga. La energía cinética de un cuerpo es proporcional al cuadrado de su velocidad y. la energía del campo magnético en la bobina es proporcional al cuadrado de la corriente.
La energía mecánica total del oscilador de resorte E es igual a la suma de las energías potencial y cinética:
Energía de vibraciones. De manera similar, la energía electromagnética total del circuito oscilatorio es igual a la suma de las energías del campo eléctrico en el capacitor y el campo magnético en la bobina:
De una comparación de las fórmulas (1) y (2) se deduce que el análogo de la rigidez k de un oscilador de resorte en un circuito oscilatorio es el recíproco de la capacitancia C, y el análogo de la masa es la inductancia de la bobina.
Recordemos que en un sistema mecánico, cuya energía viene dada por la expresión (1), pueden ocurrir sus propias oscilaciones armónicas no amortiguadas. El cuadrado de la frecuencia de tales oscilaciones es igual a la relación de los coeficientes de los cuadrados del desplazamiento y la velocidad en la expresión de energía:
Frecuencia natural. En un circuito oscilatorio, cuya energía electromagnética viene dada por la expresión (2), pueden ocurrir sus propias oscilaciones armónicas no amortiguadas, cuyo cuadrado de la frecuencia también es, obviamente, igual a la relación de los coeficientes correspondientes (es decir, la coeficientes de los cuadrados de carga y corriente):
De (4) se sigue una expresión para el período de oscilación, llamada fórmula de Thomson:
Durante las oscilaciones mecánicas, la dependencia del desplazamiento x con el tiempo está determinada por una función coseno, cuyo argumento se llama fase de oscilación:
Amplitud y fase inicial. La amplitud A y la fase inicial a están determinadas por las condiciones iniciales, es decir, los valores de desplazamiento y velocidad en
De manera similar, con oscilaciones naturales electromagnéticas en el circuito, la carga del capacitor depende del tiempo según la ley.
donde la frecuencia está determinada, de acuerdo con (4), solo por las propiedades del circuito en sí, y la amplitud de las oscilaciones de carga y la fase inicial a, como la de un oscilador mecánico, están determinadas
condiciones iniciales, es decir, los valores de la carga del condensador y la intensidad de la corriente en Por lo tanto, la frecuencia natural no depende del método de excitación de las oscilaciones, mientras que la amplitud y la fase inicial están determinadas precisamente por las condiciones de excitación.
Transformaciones energéticas. Consideremos con más detalle las transformaciones de energía durante las vibraciones mecánicas y electromagnéticas. En la figura. 158 representa esquemáticamente los estados de osciladores mecánicos y electromagnéticos en intervalos de tiempo de un cuarto de período.
Arroz. 158. Transformaciones de energía durante vibraciones mecánicas y electromagnéticas.
Dos veces durante el período de oscilación, la energía se convierte de un tipo a otro y viceversa. La energía total del circuito oscilatorio, como la energía total de un oscilador mecánico, permanece sin cambios en ausencia de disipación. Para verificar esto, debe sustituir la expresión (6) por la expresión actual en la fórmula (2)
Usando la fórmula (4) para obtenemos
Arroz. 159. Gráficos de la dependencia de la energía del campo eléctrico del condensador y la energía del campo magnético en la bobina del tiempo de carga del condensador.
La energía total constante coincide con la energía potencial en los momentos en que la carga del condensador es máxima y coincide con la energía del campo magnético de la bobina - energía "cinética" - en los momentos en que la carga del condensador se vuelve máxima. cero y la corriente es máxima. Durante las transformaciones mutuas, dos tipos de energía realizan vibraciones armónicas con la misma amplitud, desfasadas entre sí y con una frecuencia relativa a su valor medio. Esto se puede ver fácilmente en la Fig. 158, y usando fórmulas para funciones trigonométricas de medio argumento:
En la figura 1 se muestran gráficos de la dependencia de la energía del campo eléctrico y la energía del campo magnético con el tiempo de carga del condensador. 159 para la fase inicial
Las leyes cuantitativas de las oscilaciones electromagnéticas naturales se pueden establecer directamente sobre la base de las leyes de las corrientes cuasi estacionarias, sin recurrir a una analogía con las oscilaciones mecánicas.
Ecuación para oscilaciones en un circuito. Consideremos el circuito oscilatorio más simple que se muestra en la Fig. 157. Al recorrer el circuito, por ejemplo, en sentido antihorario, la suma de los voltajes en el inductor y el condensador en un circuito en serie cerrado de este tipo es cero:
El voltaje en el capacitor está relacionado con la carga de la placa y con la capacitancia. Con la relación El voltaje en la inductancia en cualquier momento es igual en magnitud y de signo opuesto a la fem autoinductiva, por lo tanto, la corriente en el circuito es igual a la tasa de cambio de la carga del capacitor: Sustituyendo la intensidad de la corriente en la expresión por el voltaje en el inductor y denotando la segunda derivada de la carga del capacitor con respecto al tiempo a través
Obtenemos Ahora la expresión (10) toma la forma
Reescribamos esta ecuación de otra manera, introduciendo por definición:
La ecuación (12) coincide con la ecuación de oscilaciones armónicas de un oscilador mecánico con una frecuencia natural. La solución a dicha ecuación viene dada por una función de tiempo armónica (sinusoidal) (6) con valores arbitrarios de amplitud y fase inicial. a. Esto implica todos los resultados anteriores relacionados con las oscilaciones electromagnéticas en el circuito.
Atenuación de oscilaciones electromagnéticas. Hasta ahora, se han discutido las vibraciones naturales en un sistema mecánico idealizado y un circuito LC idealizado. La idealización consistió en despreciar la fricción en el oscilador y la resistencia eléctrica en el circuito. Sólo en este caso el sistema será conservador y se conservará la energía de oscilación.
Arroz. 160. Circuito oscilatorio con resistencia.
La disipación de energía de oscilación en el circuito se puede tener en cuenta de la misma forma que se hizo en el caso de un oscilador mecánico con fricción. La presencia de resistencia eléctrica de la bobina y los cables de conexión está inevitablemente asociada con la liberación de calor Joule. Como antes, esta resistencia se puede considerar como un elemento independiente en el circuito eléctrico del circuito oscilatorio, considerando la bobina y los cables ideales (Fig. 160). Al considerar una corriente casi estacionaria en dicho circuito, es necesario agregar el voltaje a través de la resistencia a la ecuación (10)
Sustituyendo obtenemos
Introduciendo designaciones
reescribimos la ecuación (14) en la forma
La ecuación (16) tiene exactamente la misma forma que la ecuación para cuando un oscilador mecánico oscila con
fricción proporcional a la velocidad (fricción viscosa). Por tanto, en presencia de resistencia eléctrica en el circuito, las oscilaciones electromagnéticas se producen según la misma ley que las oscilaciones mecánicas de un oscilador con fricción viscosa.
Disipación de la energía vibratoria. Al igual que ocurre con las vibraciones mecánicas, es posible establecer la ley de la disminución de la energía de las vibraciones naturales en el tiempo aplicando la ley de Joule-Lenz para calcular el calor liberado:
Como resultado, en el caso de una pequeña atenuación durante intervalos de tiempo mucho mayores que el período de oscilación, la tasa de disminución de la energía de oscilación resulta ser proporcional a la energía misma:
La solución a la ecuación (18) tiene la forma
La energía de las oscilaciones electromagnéticas naturales en un circuito con resistencia disminuye según una ley exponencial.
La energía de las oscilaciones es proporcional al cuadrado de su amplitud. Para las oscilaciones electromagnéticas esto se deduce, por ejemplo, de (8). Por tanto, la amplitud de las oscilaciones amortiguadas, de acuerdo con (19), disminuye según la ley
Vida útil de las oscilaciones. Como puede verse en (20), la amplitud de las oscilaciones disminuye en un factor de tiempo igual a, independientemente del valor inicial de la amplitud. Este tiempo x se denomina vida útil de las oscilaciones, aunque, como puede verse. De (20), las oscilaciones formalmente continúan indefinidamente. En realidad, por supuesto, tiene sentido hablar de oscilaciones sólo mientras su amplitud supere el valor característico del nivel de ruido térmico en un circuito determinado. Por lo tanto, de hecho, las oscilaciones en el circuito "viven" durante un tiempo finito, que, sin embargo, puede ser varias veces mayor que la vida útil x presentada anteriormente.
A menudo es importante conocer no la vida útil de las oscilaciones x en sí, sino el número de oscilaciones completas que ocurrirán en el circuito durante este tiempo x. Este número multiplicado por se llama factor de calidad del circuito.
Estrictamente hablando, las oscilaciones amortiguadas no son periódicas. Con baja atenuación, podemos hablar condicionalmente de un período, que se entiende como el intervalo de tiempo entre dos
valores máximos sucesivos de la carga del condensador (misma polaridad), o valores máximos de corriente (una dirección).
La amortiguación de las oscilaciones afecta el período, haciendo que aumente en comparación con el caso ideal de ausencia de amortiguación. Con una amortiguación baja, el aumento del período de oscilación es muy pequeño. Sin embargo, con una fuerte atenuación, es posible que no haya ninguna oscilación: el condensador cargado se descargará de forma aperiódica, es decir, sin cambiar la dirección de la corriente en el circuito. Esto sucederá cuando, es decir, cuando
Solución exacta. Los patrones de oscilaciones amortiguadas formulados anteriormente se derivan de la solución exacta de la ecuación diferencial (16). Por sustitución directa podemos comprobar que tiene la forma
donde son constantes arbitrarias cuyos valores se determinan a partir de las condiciones iniciales. Con una amortiguación baja, el multiplicador del coseno puede considerarse como una amplitud de oscilaciones que varía lentamente.
Tarea
Recarga de condensadores a través de un inductor. En el circuito cuyo diagrama se muestra en la Fig. 161, la carga del condensador superior es igual y el inferior no está cargado. De momento la llave está cerrada. Encuentre la dependencia del tiempo de carga del condensador superior y la corriente en la bobina.
Arroz. 161. En el momento inicial, solo se carga un condensador.
Arroz. 162. Cargas de condensadores y corriente en el circuito después de cerrar la llave.
Arroz. 163. Analogía mecánica para el circuito eléctrico que se muestra en la Fig. 162
Solución. Una vez cerrada la llave, se producen oscilaciones en el circuito: el condensador superior comienza a descargarse a través de la bobina, mientras se carga el inferior; entonces todo sucede en la dirección opuesta. Supongamos, por ejemplo, que la placa superior del condensador esté cargada positivamente. Entonces
Después de un corto período de tiempo, los signos de las cargas de las placas del capacitor y la dirección de la corriente serán como se muestra en la Fig. 162. Denotemos por las cargas de aquellas placas de los condensadores superior e inferior que están conectadas entre sí a través de un inductor. Basado en la ley de conservación de la carga eléctrica.
La suma de los voltajes en todos los elementos del circuito cerrado en cada momento es cero:
El signo del voltaje en el capacitor corresponde a la distribución de carga en la Fig. 162. y la dirección indicada de la corriente. La expresión de la corriente que pasa por la bobina se puede escribir de dos formas:
Excluyamos de la ecuación usando las relaciones (22) y (24):
Introduciendo designaciones
Reescribamos (25) de la siguiente forma:
Si en lugar de entrar a la función
y tener en cuenta que entonces (27) toma la forma
Esta es la ecuación habitual de oscilaciones armónicas no amortiguadas, que tiene la solución
donde y son constantes arbitrarias.
Volviendo de la función, obtenemos la siguiente expresión para la dependencia del tiempo de carga del condensador superior:
Para determinar las constantes y a, tenemos en cuenta que en el momento inicial la carga y la corriente. Para la intensidad actual de (24) y (31) tenemos
Ya que se deduce que Sustituyendo ahora y teniendo en cuenta que obtenemos
Entonces, las expresiones para carga y corriente tienen la forma
La naturaleza de las oscilaciones de carga y corriente es especialmente clara cuando las capacitancias de los capacitores son las mismas. En este caso
La carga del capacitor superior oscila con una amplitud alrededor del valor promedio igual a Durante la mitad del período de oscilación, disminuye desde el valor máximo en el momento inicial hasta cero, cuando toda la carga está en el capacitor inferior.
Por supuesto, la expresión (26) para la frecuencia de oscilación podría escribirse de inmediato, ya que en el circuito considerado los condensadores están conectados en serie. Sin embargo, es difícil escribir las expresiones (34) directamente, ya que en tales condiciones iniciales es imposible reemplazar los condensadores incluidos en el circuito por uno equivalente.
Una representación visual de los procesos que ocurren aquí la proporciona el análogo mecánico de este circuito eléctrico, que se muestra en la Fig. 163. Muelles idénticos corresponden al caso de condensadores de la misma capacidad. En el momento inicial, el resorte izquierdo está comprimido, lo que corresponde a un capacitor cargado, y el derecho está sin deformar, ya que el análogo de la carga del capacitor aquí es el grado de deformación del resorte. Al pasar por la posición media, ambos resortes se comprimen parcialmente, y en la posición extrema derecha el resorte izquierdo no está deformado, y el derecho se comprime de la misma forma que el izquierdo en el momento inicial, lo que corresponde al flujo completo. de carga de un capacitor a otro. Aunque la bola sufre oscilaciones armónicas normales alrededor de su posición de equilibrio, la deformación de cada uno de los resortes se describe mediante una función cuyo valor promedio es distinto de cero.
A diferencia de un circuito oscilatorio con un condensador, donde durante las oscilaciones se recarga repetidamente, en el sistema considerado el condensador inicialmente cargado no se recarga por completo. Por ejemplo, cuando su carga se reduce a cero y luego se restablece nuevamente a la misma polaridad. Por lo demás, estas oscilaciones no se diferencian de las oscilaciones armónicas en un circuito convencional. La energía de estas oscilaciones se conserva, si, por supuesto, se puede despreciar la resistencia de la bobina y los cables de conexión.
Explique por qué, a partir de una comparación de las fórmulas (1) y (2) para las energías mecánica y electromagnética, se concluyó que el análogo de la rigidez k es y el análogo de la masa es la inductancia y no al revés.
Proporcione una justificación para derivar la expresión (4) para la frecuencia natural de las oscilaciones electromagnéticas en el circuito por analogía con un oscilador de resorte mecánico.
Las oscilaciones armónicas en un circuito se caracterizan por su amplitud, frecuencia, período, fase de oscilación y fase inicial. ¿Cuáles de estas cantidades están determinadas por las propiedades del propio circuito oscilatorio y cuáles dependen del método de excitación de las oscilaciones?
Demuestre que los valores promedio de las energías eléctrica y magnética durante las oscilaciones naturales en el circuito son iguales entre sí y constituyen la mitad de la energía electromagnética total de las oscilaciones.
¿Cómo aplicar las leyes de los fenómenos cuasi estacionarios en un circuito eléctrico para derivar la ecuación diferencial (12) de oscilaciones armónicas en el circuito?
¿Qué ecuación diferencial satisface la corriente en un circuito LC?
Deduzca una ecuación para la tasa de disminución de la energía de oscilación con baja amortiguación de la misma manera que se hizo para un oscilador mecánico con fricción proporcional a la velocidad, y demuestre que para intervalos de tiempo que exceden significativamente el período de oscilación, esta disminución ocurre de acuerdo con un ley exponencial. ¿Cuál es el significado del término “baja atenuación” que se utiliza aquí?
Demuestre que la función dada por la fórmula (21) satisface la ecuación (16) para cualquier valor de y a.
Considere el sistema mecánico que se muestra en la Fig. 163, y encuentre la dependencia del tiempo de deformación del resorte izquierdo y la velocidad del cuerpo masivo.
Un circuito sin resistencia con pérdidas inevitables. En el problema considerado anteriormente, a pesar de las condiciones iniciales no del todo ordinarias para las cargas de los condensadores, fue posible aplicar ecuaciones ordinarias para circuitos eléctricos, ya que allí se cumplieron las condiciones para procesos cuasi estacionarios. Pero en el circuito cuyo diagrama se muestra en la Fig. 164, con similitud externa formal con el diagrama de la Fig. 162, las condiciones cuasi estacionarias no se satisfacen si en el momento inicial un capacitor está cargado y el segundo no.
Analicemos con más detalle las razones por las que aquí se violan las condiciones de cuasi estacionariedad. Inmediatamente después del cierre
Arroz. 164. Circuito eléctrico para el que no se cumplen las condiciones cuasi estacionarias.
En resumen, todos los procesos tienen lugar sólo en condensadores conectados entre sí, ya que el aumento de corriente a través de la bobina de inductancia se produce relativamente lentamente y al principio se puede despreciar la derivación de la corriente hacia la bobina.
Cuando se cierra la llave, se producen oscilaciones amortiguadas rápidas en un circuito que consta de condensadores y los cables que los conectan. El período de tales oscilaciones es muy corto, ya que la inductancia de los cables de conexión es baja. Como resultado de estas oscilaciones, la carga en las placas del capacitor se redistribuye, después de lo cual los dos capacitores pueden considerarse como uno solo. Pero esto no se puede hacer en el primer momento, porque junto con la redistribución de cargas se produce también una redistribución de energía, parte de la cual se convierte en calor.
Después de que las oscilaciones rápidas disminuyen, se producen oscilaciones en el sistema, como en un circuito con un condensador, cuya carga en el momento inicial es igual a la carga inicial del condensador. La condición para la validez del razonamiento anterior es la pequeñez. de la inductancia de los cables de conexión en comparación con la inductancia de la bobina.
Como en el problema considerado, es útil encontrar aquí una analogía mecánica. Si a ambos lados de un cuerpo masivo se ubicaran dos resortes correspondientes a capacitores, entonces aquí deberían ubicarse en un lado, de modo que las vibraciones de uno de ellos pudieran transmitirse al otro cuando el cuerpo está estacionario. En lugar de dos resortes, puede tomar uno, pero solo en el momento inicial debe deformarse de manera no uniforme.
Agarremos el resorte por la mitad y estiremos su mitad izquierda una cierta distancia. La segunda mitad del resorte permanecerá sin deformar, de modo que la carga en el momento inicial se desplace de la posición de equilibrio hacia la derecha una distancia y. está en reposo. Luego suelte el resorte. ¿Qué características resultarán del hecho de que en el momento inicial el resorte se deforme de manera no uniforme? porque, como no es difícil de imaginar, la rigidez de “la mitad” del resorte es igual a Si la masa del resorte es pequeña en comparación con la masa de la bola, la frecuencia de las oscilaciones naturales del resorte como sistema extendido es mucho mayor que la frecuencia de oscilaciones de la bola sobre el resorte. Estas oscilaciones "rápidas" desaparecerán en un tiempo que es una pequeña fracción del período de oscilaciones de la bola. Una vez que las oscilaciones rápidas desaparecen, la tensión en el resorte se redistribuye y el desplazamiento de la carga permanece prácticamente igual ya que la carga no tiene tiempo de moverse notablemente durante este tiempo. La deformación del resorte se vuelve uniforme y la energía del sistema es igual
Así, el papel de las rápidas oscilaciones del resorte se redujo al hecho de que la reserva de energía del sistema disminuyó al valor que corresponde a la deformación inicial uniforme del resorte. Está claro que los procesos posteriores en el sistema no difieren del caso de una deformación inicial uniforme. La dependencia del desplazamiento de la carga con el tiempo se expresa mediante la misma fórmula (36).
En el ejemplo considerado, como resultado de rápidas oscilaciones, la mitad del suministro inicial de energía mecánica se convirtió en energía interna (calor). Está claro que al someter no la mitad, sino una parte arbitraria del resorte a la deformación inicial, es posible convertir cualquier fracción del suministro inicial de energía mecánica en energía interna. Pero en todos los casos, la energía de oscilación de la carga sobre el resorte corresponde a la reserva de energía para la misma deformación inicial uniforme del resorte.
En un circuito eléctrico, como resultado de oscilaciones rápidas amortiguadas, la energía de un condensador cargado se libera parcialmente en forma de calor Joule en los cables de conexión. A igualdad de capacidades, esto será la mitad de la reserva de energía inicial. La segunda mitad permanece en forma de energía de oscilaciones electromagnéticas relativamente lentas en un circuito que consta de una bobina y dos condensadores C conectados en paralelo, y
Por tanto, en este sistema, una idealización en la que se desprecia la disipación de la energía de oscilación es fundamentalmente inaceptable. La razón de esto es que en un sistema mecánico similar son posibles oscilaciones rápidas sin afectar al inductor o al cuerpo masivo.
Circuito oscilatorio con elementos no lineales. Al estudiar las vibraciones mecánicas, vimos que las vibraciones no siempre son armónicas. Las oscilaciones armónicas son una propiedad característica de los sistemas lineales en los que
la fuerza restauradora es proporcional a la desviación de la posición de equilibrio y la energía potencial es proporcional al cuadrado de la desviación. Los sistemas mecánicos reales, por regla general, no poseen estas propiedades y las vibraciones en ellos pueden considerarse armónicas sólo con pequeñas desviaciones de la posición de equilibrio.
En el caso de oscilaciones electromagnéticas en un circuito, uno puede tener la impresión de que estamos ante sistemas ideales en los que las oscilaciones son estrictamente armónicas. Sin embargo, esto es cierto sólo mientras la capacitancia del capacitor y la inductancia de la bobina puedan considerarse constantes, es decir, independientes de la carga y la corriente. Un condensador con dieléctrico y una bobina con núcleo, estrictamente hablando, son elementos no lineales. Cuando un condensador se llena con un ferroeléctrico, es decir, una sustancia cuya constante dieléctrica depende en gran medida del campo eléctrico aplicado, la capacitancia del condensador ya no puede considerarse constante. De manera similar, la inductancia de una bobina con núcleo ferromagnético depende de la intensidad de la corriente, ya que el ferroimán tiene la propiedad de saturación magnética.
Si en los sistemas oscilatorios mecánicos la masa, por regla general, puede considerarse constante y la no linealidad surge solo debido a la naturaleza no lineal de la fuerza actuante, entonces en un circuito oscilatorio electromagnético la no linealidad puede surgir tanto debido a un capacitor (análogo de un resorte elástico ) y debido a un inductor (análogo de masa).
¿Por qué la idealización en la que el sistema se considera conservador no es aplicable a un circuito oscilatorio con dos condensadores en paralelo (Fig. 164)?
¿Por qué las oscilaciones rápidas conducen a la disipación de la energía de oscilación en el circuito de la Fig. 164, no ocurrió en un circuito con dos capacitores en serie mostrados en la Fig. 162?
¿Qué razones pueden provocar oscilaciones electromagnéticas no sinusoidales en el circuito?
