Demostremos el siguiente teorema principal.

Teorema. Continuo en segmento [ a, b] función F(X) es integrable en este segmento.

Prueba. Que se dé cualquiera ε > 0. Debido a la continuidad uniforme de la función F(X) en el segmento [ a, b] para un número positivo ε /(b - a) puedes especificar esto δ > 0, que al particionar t segmento [ a, b] en segmentos parciales [ xyo -1 , xyo], longitud Δ xyo de los cuales hay menos δ , fluctuación ωi funciones F(X) en cada uno de esos segmentos parciales será menor ε /(b - a). Por lo tanto, para tales particiones t

Por lo tanto, para un segmento continuo [ a, b] funciones F(X) se cumplen condiciones suficientes para la integrabilidad.

Fórmula de Newton-Leibniz- da la relación entre las operaciones de toma integral definida y calcular la antiderivada. Fórmula de Newton-Leibniz - fórmula básica cálculo integral.

Esta fórmula cierto para cualquier función f(x), continua en el segmento [a,b], F- antiderivada para f(x). Por lo tanto, para calcular una integral definida, es necesario encontrar alguna primitiva F funciones f(x), calcula sus valores en puntos a y B y encontrar la diferencia F(b) – F(a).

Características metodológicas introduciendo la definición de integral.

El tema se estudia en el grado 11 y su objetivo principal es enseñar a los estudiantes a calcular el área. trapecio curvo y otras figuras más complejas y calcular volúmenes cuerpo geométrico usando una integral. La importancia de este tema es que la integración o encontrar la antiderivada es problema inverso encontrar la derivada. Antes de aprender este tema, los estudiantes podían realizar las siguientes funciones con funciones: suma, resta, multiplicación y división. Después de estudiar este tema, los estudiantes deberían poder realizar una nueva actividad: la diferenciación.

El estudio de este tema finaliza. curso escolar Análisis matemático

Este tema incluye siguientes preguntas: antiderivada, propiedad básica de la antiderivada, tres reglas para encontrar antiderivadas, área de un trapecio curvilíneo, integral, fórmula de Newton-Leibniz, aplicación de la integral.

Hay dos formas de introducir el concepto de integral: la primera es considerar la integral como un incremento de una primitiva; Por ejemplo, en el libro de texto de A.N. Kolmogorov., y segundo método: consideración de la integral como límite de sumas integrales. Por ejemplo, el libro de texto Alimov Sh.A.

El más difícil e inaccesible para los escolares es el segundo enfoque, ya que la teoría de los límites no se estudia en la escuela. La escuela utiliza el primer enfoque. S cr.tr. =F(b)-F(a) – este enfoque se implementa en libros de texto modernos.

Análisis comparativo contenido del tema en libros de texto escolares

En el libro de texto de A. N. Kolmogorov "Álgebra y los inicios del análisis", al introducir la integral, se considera el problema de calcular el área de un trapecio curvilíneo. El autor ofrece en el libro de texto dos formas de calcular el área de un trapecio curvilíneo: utilizando el teorema del área de un trapecio curvilíneo y utilizando sumas integrales. El segundo método se reduce a definir la integral. Utilizando sumas integrales, también se derivan fórmulas para calcular los volúmenes de cuerpos, trabajo fuerza variable, además de encontrar la masa de la varilla y el centro de masa.

En el libro de texto de Mordkovich A.G. “Álgebra y los inicios del análisis”, al introducir el concepto de “Integral definida”, se plantean problemas que conducen a este concepto, a saber, el problema de calcular el área de un trapecio curvilíneo, el problema de calcular la masa de una varilla y el problema de mover un punto. Los tres problemas, una vez resueltos, se reducen al mismo modelo matemático.

En el libro de texto de S. M. Nikolsky "Álgebra y los inicios del análisis", la consideración del problema de calcular el área de un trapecio curvilíneo conduce al concepto de sumas integrales y su límite, después de lo cual se introduce la definición de integral definida. . Antecedentes teóricos la aplicación de una integral definida se considera en tal problemas físicos, como tareas para el trabajo de fuerza, trabajo. carga eléctrica, para calcular la masa de una varilla de densidad variable, la presión del fluido sobre la pared y el centro de gravedad.

En el libro de texto de Sh. A. Alimov “Álgebra y los inicios del análisis”, antes de introducir el concepto de integral, se considera el problema de encontrar el área de un trapezoide curvilíneo, donde el cálculo del área se reduce a encontrar el antiderivada F(x) de la función f(x). La diferencia F(b) - F(a) se llama integral de la función f(x) en el segmento. A continuación, el autor considera calcular el área de un trapecio curvilíneo utilizando sumas integrales, dice que este método de cálculo aproximado de la integral requiere cálculos engorrosos y se utiliza en los casos en que no es posible encontrar antiderivada de función. Como ejemplos de la aplicación de la integral, se dan los problemas del agua que sale de un tanque y el trabajo de la fuerza. Tareas para decisión independiente son del mismo tipo y hay muy pocos.

d(τ)→0

Observación 1. Si la función f(x) es integrable en un intervalo con puntos finales a, b, entonces la desigualdad se cumple

Observación 2. Si la función f(x) es continua en , f(x) ≥ 0 en

Y x0 : f(x0 ) > 0, entonces f(x) dx > 0.

1.6 Integrabilidad de una función continua por partes

Consideremos la clase de funciones integrables, más amplia que la clase funciones continuas. Esto requiere el siguiente lema, que indica uno más condición suficiente integrabilidad de la función.

Lema 1.3. Sea la función f(x) integrable en el intervalo. Cambiar el valor de una función en Número finito puntos no afecta su integrabilidad y el valor de la integral.

Sea, para mayor precisión, A > 0. Fijemos ε > 0 y elijamos

partición arbitraria τ = (xk )n k=0 N con diámetro d(τ)<2A . Точка α может принадлежать только одному отрезку разбиения, если α не является точкой из разбиения τ, или двум отрезкам, если α является точкой из разбиения τ, не совпадающей с a или b. В любом случае

I(fe) = fe (x) dx = 0.

2) Sea f R ,

0,x\(α),

y g(x) = A − f(α), x = α.

Entonces fe (x) = f(x) + g(x), x, y según el teorema 1.12 la función fe es integrable en , y

Si se produce un cambio en el valor de una función en un número finito de puntos en el segmento , entonces para cada uno de esos puntos se debe construir una función similar a la función g, que será integrable en , componer una suma similar a (1.21) y aplique el teorema 1.12.

Definición 1.6. Función f:

continua en el intervalo si por la inclusión de un número finito de puntos, una discontinuidad del primer tipo.

→ Se dice que R es continuo por tramos y cuáles son sus puntos.

Arroz. 1.1: Ejemplo de una función continua por partes

Ahora podemos probar un resultado que extiende la clase de funciones integrables de Riemann.

Teorema 1.19. Si una función f: → R es continua por tramos en el intervalo , entonces es integrable en él.

Consideremos el caso en el que la función f(x) tiene un punto de discontinuidad del primer tipo c (a, b) en el segmento, es decir, hay finitos

valores límite f(c + 0) y f(c − 0). Veamos las funciones.

Dado que las funciones f1 (x) y f2 (x) son continuas en los intervalos y, respectivamente, son integrables en estos intervalos. Entonces, según el Lema 1.3, la función f(x), que difiere de la función f1 (x) en un valor en un punto, es integrable en el intervalo . De manera similar, f(x) es integrable en el intervalo . Luego por el teorema 1.17 f(x) es integrable en .

Comentario. Si la función f(x) es continua por partes en el segmento, entonces es integrable en él y para calcular la integral definida de dicha función, el segmento se divide en un número finito de segmentos de modo que f(x) sea continua y función acotada en los intervalos (ak, bk).

1.7 Primer teorema del valor medio integral

Teorema 1.20. Sean las funciones f y g que cumplan las condiciones:

Sea, por ejemplo, g(x) ≥ 0, x, entonces de la condición 2) se sigue que mg(x) ≤ f(x)g(x) ≤ Mg(x), x. Dado que las funciones f y g

son integrables en el intervalo, entonces la función f g también es integrable en este intervalo y en virtud del Teorema 1.18

En este caso, la igualdad (1.22) se cumple para cualquier µ.

La definición de µ implica igualdad (1.22) . El teorema se demuestra de manera similar en el caso en que g(x) ≤ 0 en .

Corolario 1. Si una función f es integrable en el intervalo m ≤ f(x) ≤ M, x, entonces

µ : f(x) dx = µ(b − a).

Corolario 2. Si la función f(x) es continua en el intervalo y la función g(x) es integrable y no cambia de signo en él, entonces

De la continuidad de la función f(x) en un intervalo se deduce que es integrable en él. Según el segundo teorema de Weierstrass

Según el teorema de Bolzano-Cauchy sobre el valor intermedio de una función continua en un intervalo, existe un punto c que pertenece a un segmento con extremos en los puntos p y q, y por tanto c, tal que f(c) = µ. De este modo,

Problemas que conducen al concepto de integral definida (problema sobre el área de un trapecio curvo, problema sobre el cálculo del trabajo bajo la acción de una fuerza variable). El concepto de integral definida. Sumas de Darboux y sus propiedades (resumen). Condición necesaria y suficiente para la integrabilidad. Integrabilidad de una función continua. Propiedades básicas de la integral definida.

Problema sobre el área de un trapecio curvo. Consideremos figura plana, delimitado por líneas donde F(X) es una función positiva continua especificada en (ver Fig. 3). Esta figura se llama trapecio curvo. Hagamos la pregunta sobre el área. F este trapezoide.

Dividir [ a, b] puntos y dejar λ = máx( X k +1 - X k). Directo X = X k romper nuestro trapezoide en norte rayas estrechas. Desde la función F(X) es continuo, entonces cambia poco cuando X k ≤ X ≤ X k+1 y sin un gran error se puede calcular en el intervalo [ X k , X k+1 ] constante e igual F(ξ k), Dónde ξ k es un punto arbitrario en el intervalo [ X k , X k+1]. Es fácil ver que la suposición hecha equivale a tomar las franjas antes mencionadas como rectángulos y todo nuestro trapezoide como la figura escalonada que se muestra en la figura. 4. El área de esta figura escalonada es obviamente igual a Es natural suponer que esta área para pequeñas λ es un valor aproximado del área que nos interesa F. Por lo tanto, por definición llamaremos área nuestro límite trapezoide curvilíneo .

Si una función tiene al menos una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas. En la práctica, a menudo es necesario buscar la diferencia en los valores de la antiderivada en los puntos b Y a. Esta diferencia no depende de la elección de una constante arbitraria. Con, porque .. Deja que la función F se da en un intervalo y tiene una primitiva F. La diferencia se llama integral definida funciones F a lo largo del segmento y denota Números b Y a llamado Límites superior e inferior de integración. Segmento de línea área de integración.

Trabajo de fuerza variable. Considere el movimiento punto material a lo largo del eje OX bajo la acción de una fuerza variable f, dependiendo de la posición del punto x en el eje, es decir fuerza, que es función de x. Entonces el trabajo A requerido para mover un punto material desde la posición x = a hasta la posición x = b se calcula mediante la fórmula:

Propiedades de OP.

1) Si la función F tiene una primitiva en el intervalo y es cualquier número, entonces .

2) Si las funciones tienen una primitiva en un intervalo, entonces.

3) Propiedad aditiva. Si la función F tiene una primitiva en el segmento y, entonces .

4) Si la función F tiene una primitiva en el segmento, entonces .

5)6)

7) Si la función F tiene una primitiva en el segmento y es par, entonces . Si F Es extraño, entonces.

8) Si la función F tiene un punto y en el segmento hay una antiderivada para F, entonces para cualquiera a la igualdad es verdadera .

9) si .

11) Dejemos que las desigualdades se cumplan en un intervalo, y en este intervalo la función F tiene una antiderivada. Entonces .

Sumas de Darboux. Hagamos las sumas. Éstas se denominan sumas de Darboux inferior y superior.

Propiedadessumas de darboux: 1) Si se agregan nuevos puntos a los puntos existentes de dividir el segmento en intervalos, entonces la suma inferior de Darboux solo puede aumentar y la suma superior puede disminuir. Aquellos. si τ′ es un refinamiento de la partición τ, entonces .

2) Cada suma Darboux inferior no excede a cada una de las sumas superiores, incluso las correspondientes a una partición diferente del intervalo.

3) - oscilación de la función por − integral de Darboux inferior de la función F en , es la integral superior de Darboux. El conjunto () de sumas de Darboux inferiores está limitado arriba por al menos una de las sumas de Darboux superiores y luego tiene y. El conjunto de sumas superiores de Darboux () está acotado por debajo, por lo que existen -, y. Eso..

ThUna condición necesaria para la integrabilidad. Si una función es integrable en un intervalo, entonces está acotada en él. . ThCondición necesaria y suficiente para la integrabilidad. Para que una función acotada en un cierto intervalo sea integrable en él, es necesario y suficiente que Esta condición significa que para cualquier ε>0 existe δ(ε)>0, que para cualquier partición τ de finura menor que δ se cumple la siguiente desigualdad: -<ε.

ThIntegrabilidad de una función continua. Si f(x) es continuo en , entonces es integrable en él. Th. La función es definida, monótona e integrable en ella. Th. Si una función es acotada y continua en un intervalo, excepto quizás en un número finito de puntos, entonces es integrable en él.