Anaz. mutuamente perpendiculares si l es perpendicular a cada línea que se encuentra en a. Para una generalización del concepto de perpendicularidad, véase el art. Ortogonalidad.
Enciclopedia matemática. - M.: Enciclopedia soviética.
I. M. Vinogradov.
1977-1985.
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diccionario enciclopédico Enciclopedia de Collier
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Sección de geometría. Los conceptos básicos de la geometría geométrica son los geométricos más simples. imágenes (puntos, rectas, planos, curvas y superficies de 2º orden). Los principales medios de investigación en aritmética son el método de coordenadas y los métodos de álgebra elemental.... ... Enciclopedia Matemática
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Una línea recta (segmento de una línea recta) se indica con dos letras mayúsculas del alfabeto latino o una letra minúscula. El punto se indica únicamente con una letra latina mayúscula.
Las líneas no pueden cruzarse, intersectarse ni coincidir. Las rectas que se cruzan tienen un solo punto en común, las que no se cruzan no tienen ningún punto en común y las que coinciden tienen todos los puntos en común.
Definición. Dos rectas que se cortan en ángulo recto se llaman perpendiculares. La perpendicularidad de las rectas (o de sus segmentos) se indica con el signo de perpendicularidad “⊥”.
Por ejemplo:
Su AB Y CD(Fig. 1) se cruzan en el punto ACERCA DE y ∠ AOC = ∠VOS = ∠AOD = ∠DBO= 90°, entonces AB ⊥ CD.
Si AB ⊥ CD(Fig. 2) y se cruzan en el punto EN, entonces ∠ A B C = ∠ABD= 90°
Propiedades de las rectas perpendiculares
1. A través de un punto A(Fig. 3) sólo se puede dibujar una línea recta perpendicular AB a una línea recta CD; las líneas restantes que pasan por el punto A y cruzando CD, se llaman líneas rectas inclinadas (Fig.3, líneas rectas AE Y AF).
2. Desde un punto A puedes bajar la perpendicular a una línea recta CD; longitud perpendicular (longitud del segmento AB), extraído del punto A directamente CD, es la distancia más corta desde A antes CD(Fig. 3).
La perpendicularidad es la relación entre varios objetos en el espacio euclidiano: líneas, planos, vectores, subespacios, etc. En este material veremos más de cerca las líneas rectas perpendiculares y los rasgos característicos relacionados con ellas. Dos líneas pueden llamarse perpendiculares (o mutuamente perpendiculares) si los cuatro ángulos formados por su intersección miden exactamente noventa grados.
Hay ciertas propiedades de las líneas perpendiculares realizadas en un plano:
Construcción de líneas perpendiculares.
Las rectas perpendiculares se construyen sobre un plano utilizando un cuadrado. Cualquier dibujante debe tener en cuenta que una característica importante de cada cuadrado es que debe tener un ángulo recto. Para crear dos líneas perpendiculares, necesitamos combinar uno de los dos lados del ángulo recto de nuestra
dibuja un cuadrado con una línea recta dada y dibuja una segunda línea recta a lo largo del segundo lado de este ángulo recto. Esto creará dos líneas perpendiculares.
espacio tridimensional
Un hecho interesante es que las rectas perpendiculares también se pueden realizar en En este caso, dos rectas se llamarán así si son paralelas, respectivamente, a otras dos rectas cualesquiera que se encuentren en el mismo plano y también perpendiculares a él. Además, si en un plano sólo dos líneas pueden ser perpendiculares, entonces en el espacio tridimensional ya hay tres. Además, se puede aumentar aún más el número de líneas (o planos) perpendiculares.
Dos rectas se llaman perpendiculares si se cortan formando ángulos rectos.
La línea a intersecta a la línea b en ángulo recto en el punto A. Puedes desplazarte usando el ícono de perpendicularidad: a ⊥ b. Se lee así: la línea a es perpendicular a la línea b.
Cabe señalar que un ángulo adyacente y un ángulo vertical con un ángulo recto también son ángulos rectos.
Por cada punto de una recta puedes trazar una recta perpendicular a ella, y sólo una.
Prueba.
Sea b una recta dada y el punto A pertenece a esta recta. Tomemos un rayo b1 en una recta b con punto de partida en A. Apartemos un ángulo (a1b1) igual a 90° del rayo b1. Por definición, la recta que contiene al rayo a1 será perpendicular a la recta b.
Supongamos que hay otra línea perpendicular a la línea by que pasa por el punto A. Tomemos un rayo c1 en esta línea, que emana del punto A y se encuentra en el mismo semiplano que el rayo a1. Entonces ∠ (a1b1) = ∠ (c1b1) = 90 º. Pero según el axioma 8, en un semiplano determinado sólo se puede trazar un ángulo igual a 90º. En consecuencia, es imposible trazar otra recta perpendicular a la recta b que pase por el punto A en el semiplano dado. El teorema está demostrado. 
Una perpendicular a una recta dada es un segmento de una recta perpendicular a una recta dada, que tiene uno de sus extremos en su punto de intersección. Este extremo del segmento se llama base de la perpendicular. AB es perpendicular a la recta a. El punto A es la base de la perpendicular.
Información preliminar sobre directo.
El concepto de línea recta, así como el concepto de punto, son los conceptos básicos de la geometría. Como sabes, los conceptos básicos no están definidos. Esta no es una excepción al concepto de línea recta. Por tanto, consideremos la esencia de este concepto a través de su construcción.
Toma una regla y, sin levantar el lápiz, dibuja una línea de longitud arbitraria. A la línea resultante la llamaremos recta. Sin embargo, cabe señalar aquí que no se trata de la línea recta completa, sino sólo de una parte. La línea recta misma es infinita en ambos extremos.
Denotaremos líneas rectas con una letra latina minúscula o sus dos puntos entre paréntesis (Fig. 1).
Los conceptos de línea recta y punto están conectados por tres axiomas de geometría:
Axioma 1: Por cada recta arbitraria hay al menos dos puntos que se encuentran sobre ella.
Axioma 2: Puedes encontrar al menos tres puntos que no se encuentren en la misma recta.
Axioma 3: Una línea recta siempre pasa por 2 puntos arbitrarios y esta línea recta es única.
Para dos rectas, su posición relativa es relevante. Son posibles tres casos:
- Dos rectas coinciden. En este caso, cada punto de una recta también será un punto de la otra recta.
- Dos líneas se cruzan. En este caso, sólo un punto de una recta también pertenecerá a la otra recta.
- Dos rectas son paralelas. En este caso, cada una de estas líneas tiene su propio conjunto de puntos diferentes entre sí.
Perpendicularidad de rectas
Considere dos líneas que se cruzan arbitrariamente. Evidentemente, en el punto de su intersección se forman 4 ángulos. Entonces
Definición 1
Llamaremos perpendiculares a las líneas que se cruzan si al menos un ángulo formado por su intersección es igual a $90^0$ (Fig. 2).
Designación: $a⊥b$.
Considere el siguiente problema:
Ejemplo 1
Encuentra los ángulos 1, 2 y 3 en la siguiente figura.
El ángulo 2 es vertical para el ángulo que nos dan, por lo tanto
El ángulo 1 es adyacente al ángulo 2, por lo tanto
$∠1=180^0-∠2=180^0-90^0=90^0$
El ángulo 3 es vertical al ángulo 1, por lo tanto
$∠3=∠1=90^0$
De este problema podemos hacer la siguiente observación
Nota 1
Todos los ángulos entre líneas perpendiculares son iguales a $90^0$.
Teorema fundamental de las rectas perpendiculares
Introduzcamos el siguiente teorema:
Teorema 1
Dos rectas perpendiculares a la tercera serán disjuntas.
Prueba.
Veamos la Figura 3 según las condiciones del problema.
Dividamos mentalmente esta figura en dos partes de la recta $(ZP)$. Superpongamos el lado derecho con el izquierdo. Entonces, como las rectas $(NM)$ y $(XY)$ son perpendiculares a la recta $(PZ)$ y, por tanto, los ángulos entre ellas son rectos, el rayo $NP$ quedará superpuesto enteramente al rayo $ PM$, y el rayo $XZ$ se superpondrá completamente al rayo $YZ$.
Ahora supongamos lo contrario: dejemos que estas líneas se crucen. Sin pérdida de generalidad, supongamos que se cruzan en el lado izquierdo, es decir, que el rayo $NP$ se cruce con el rayo $YZ$ en el punto $O$. Luego, según la construcción descrita anteriormente, obtendremos que el rayo $PM$ intersecta con el rayo $YZ$ en el punto $O"$. Pero luego obtenemos que a través de dos puntos $O$ y $O"$, hay dos rectas $(NM)$ y $(XY)$, lo que contradice el axioma de 3 rectas.
Por lo tanto, las líneas $(NM)$ y $(XY)$ no se cruzan.
El teorema está demostrado.
Tarea de muestra
Ejemplo 2
Dadas dos rectas que tienen un punto de intersección. Por un punto que no pertenece a ninguna de ellas se trazan dos rectas, una de las cuales es perpendicular a una de las rectas descritas anteriormente, y la otra es perpendicular a la otra de ellas. Demuestre que no son iguales.
Hagamos un dibujo según las condiciones del problema (Fig. 4).
De las condiciones del problema tendremos que $m⊥k,n⊥l$.
Supongamos lo contrario, que coincidan las rectas $k$ y $l$. Que sea claro $l$. Entonces, por condición, $m⊥l$ y $n⊥l$. Por lo tanto, según el teorema 1, las líneas $m$ y $n$ no se cruzan. Hemos obtenido una contradicción, lo que significa que las rectas $k$ y $l$ no coinciden.
