Funcióny = pecadoX
La gráfica de la función es una sinusoide.
La porción completa que no se repite de una onda sinusoidal se llama onda sinusoidal.
La media onda sinusoidal se llama media onda sinusoidal (o arco).
Propiedades de funcióny =
pecadoX:
3) Esta es una función extraña. 4) esto función continua.
6) En el segmento [-π/2; La función π/2] aumenta en el intervalo [π/2; 3π/2] – disminuye. 7) En intervalos la función toma valores positivos. 8) Intervalos de función creciente: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. 9) Puntos mínimos de la función: -π/2 + 2πn. |
Para graficar una función y= pecado X Es conveniente utilizar las siguientes escalas:
En una hoja de papel con un cuadrado, tomamos la longitud de dos cuadrados como unidad de segmento.
En eje X Midamos la longitud π. Además, por conveniencia, presentamos 3,14 en forma de 3, es decir, sin fracción. Luego, en una hoja de papel, en una celda π habrá 6 celdas (tres veces 2 celdas). Y cada celda recibirá su propio nombre natural (de la primera a la sexta): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Estos son los significados X.
En el eje y marcamos 1, que incluye dos celdas.
Creemos una tabla de valores de funciones usando nuestros valores. X:
√3 | √3 |
A continuación, creemos un horario. Resultará ser media ola, punto mas alto cual (π/2; 1). Esta es la gráfica de la función. y= pecado X en el segmento. Agreguemos una media onda simétrica al gráfico construido (simétrica con respecto al origen, es decir, en el segmento -π). La cresta de esta media onda está debajo del eje x con coordenadas (-1; -1). El resultado será una ola. Esta es la gráfica de la función. y= pecado X en el segmento [-π; π].
Puedes continuar la onda construyéndola en el segmento [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π], etc. En todos estos segmentos, la gráfica de la función tendrá el mismo aspecto que en el segmento [-π; π]. Obtendrás una línea ondulada continua con ondas idénticas.
Funcióny = porqueX.
La gráfica de una función es una onda sinusoidal (a veces llamada onda coseno).
Propiedades de funcióny = porqueX:
1) El dominio de definición de una función es el conjunto de los números reales. 2) El rango de valores de la función es el segmento [–1; 1] 3) Esta es una función par. 4) Esta es una función continua. 5) Coordenadas de los puntos de intersección del gráfico: 6) En el segmento la función disminuye, en el segmento [π; 2π] – aumenta. 7) En intervalos [-π/2 + 2πn; La función π/2 + 2πn] toma valores positivos. 8) Intervalos crecientes: [-π + 2πn; 2πn]. 9) Puntos mínimos de la función: π + 2πn. 10) La función está limitada desde arriba y desde abajo. El valor más pequeño de la función es –1, 11) Esto función periódica con periodo 2π (T = 2π) |
Funcióny = mf(X).
Tomemos la función anterior. y= porque X. Como ya sabes, su gráfica es una onda sinusoidal. Si multiplicamos el coseno de esta función por Cierto número m, entonces la onda se estirará desde el eje. X(o se reducirá, dependiendo del valor de m).
Esta nueva onda será la gráfica de la función y = mf(x), donde m es cualquier número real.
Por tanto, la función y = mf(x) es la función familiar y = f(x) multiplicada por m.
Simetro< 1, то синусоида сжимается к оси X por el coeficientemetro. Sim > 1, entonces la sinusoide se estira desde el ejeX por el coeficientemetro.
Al realizar estiramiento o compresión, primero puede trazar solo una media onda de una onda sinusoidal y luego completar todo el gráfico.
Funcióny= F(kx).
Si la función y=mf(X) conduce al estiramiento de la sinusoide desde el eje X o compresión hacia el eje X, entonces la función y = f(kx) conduce a estirar desde el eje y o compresión hacia el eje y.
Además, k es cualquier número real.
A las 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y por el coeficientek. Sik > 1, entonces la sinusoide se comprime hacia el ejey por el coeficientek.
Al dibujar una gráfica de esta función, primero puedes construir una media onda sinusoidal y luego usarla para completar toda la gráfica.
Funcióny = tgX.
Gráfico de funciones y= tg X es una tangente.
Basta con construir parte del gráfico en el intervalo de 0 a π/2, y luego puedes continuarlo simétricamente en el intervalo de 0 a 3π/2.
Propiedades de funcióny = tgX:
Funcióny = ctgX
Gráfico de funciones y=ctg X también es una tangentoide (a veces se le llama cotangentoide).
Propiedades de funcióny = ctgX:
En esta lección veremos detalladamente la función y = sen x, sus propiedades básicas y su gráfica. Al comienzo de la lección daremos una definición. Funcion trigonometrica y = sen t en círculo de coordenadas y considere la gráfica de una función sobre un círculo y una recta. Demostremos la periodicidad de esta función en la gráfica y consideremos las propiedades principales de la función. Al final de la lección, resolveremos varios problemas simples usando la gráfica de una función y sus propiedades.
Tema: Funciones trigonométricas
Lección: Función y=senx, sus propiedades básicas y gráfica
Al considerar una función, es importante asociar cada valor de argumento con un único valor de función. Este ley de correspondencia y se llama función.
Definamos la ley de correspondencia para .
Cualquier número real corresponde a un solo punto en circulo unitario Un punto tiene una única ordenada, que se llama seno del número (Fig. 1).
Cada valor de argumento está asociado con un único valor de función.
Las propiedades obvias se derivan de la definición de seno.
La figura muestra que 
porque es la ordenada de un punto en el círculo unitario.
Considere la gráfica de la función. Recordemos interpretación geométrica argumento. El argumento es ángulo central, medido en radianes. A lo largo del eje trazaremos numeros reales o ángulos en radianes, a lo largo del eje los valores de función correspondientes.
Por ejemplo, un ángulo en el círculo unitario corresponde a un punto en la gráfica (Fig. 2)
Hemos obtenido una gráfica de la función en el área, pero conociendo el período del seno, podemos representar la gráfica de la función en todo el dominio de definición (Fig. 3).
El período principal de la función es. Esto significa que la gráfica se puede obtener en un segmento y luego continuar a lo largo de todo el dominio de definición.
Considere las propiedades de la función:
1) Alcance de la definición:
2) Rango de valores: 
3) Función impar:
4) Periodo positivo más pequeño:
5) Coordenadas de los puntos de intersección del gráfico con el eje de abscisas: 
6) Coordenadas del punto de intersección del gráfico con el eje de ordenadas:
7) Intervalos en los que la función toma valores positivos:
8) Intervalos en los que la función toma valores negativos:
9) Intervalos crecientes:
10) Intervalos decrecientes:
11) Puntos mínimos: 
12) Funciones mínimas:
13) Puntos máximos: 
14) Funciones máximas:
Observamos las propiedades de la función y su gráfica. Las propiedades se utilizarán repetidamente al resolver problemas.
Bibliografía
1. Álgebra e inicio del análisis, grado 10 (en dos partes). Tutorial para Instituciones educacionales (nivel de perfil) editor. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Álgebra e inicio del análisis, grado 10 (en dos partes). Libro de problemas para instituciones educativas (nivel de perfil), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Álgebra y Análisis matemático para décimo grado ( tutorial para estudiantes de escuelas y clases con estudio en profundidad de matemáticas).-M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Estudio en profundidad del álgebra y análisis matemático.-M.: Educación, 1997.
5. Colección de problemas de matemáticas para solicitantes de instituciones de educación superior (editado por M.I. Skanavi - M.: Higher School, 1992).
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulador algebraico.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemas de álgebra y principios de análisis (un manual para estudiantes de los grados 10-11 de instituciones de educación general - M.: Prosveshchenie, 2003).
8. Karp A.P. Colección de problemas de álgebra y principios de análisis: libro de texto. subsidio para los grados 10-11. con profundidad estudió Matemáticas.-M.: Educación, 2006.
Tarea
Álgebra e inicio del análisis, grado 10 (en dos partes). Libro de problemas para instituciones educativas (nivel de perfil), ed.
A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Recursos web adicionales
3. Portal educativo prepararse para los exámenes ().
Descubrimos que el comportamiento de las funciones trigonométricas y las funciones y = sen x En particular, en toda la recta numérica (o para todos los valores del argumento X) está completamente determinada por su comportamiento en el intervalo 0 < X < π / 2 .
Por lo tanto, primero que nada, trazaremos la función. y = sen x exactamente en este intervalo.
Hagamos la siguiente tabla de valores de nuestra función;
Marcando los puntos correspondientes en el plano de coordenadas y conectándolos con una línea suave, obtenemos la curva que se muestra en la figura.
La curva resultante también podría construirse geométricamente, sin compilar una tabla de valores de funciones. y = sen x .
1. Divide el primer cuarto de un círculo de radio 1 en 8 partes iguales. Las ordenadas de los puntos divisorios del círculo son los senos de los ángulos correspondientes.
2.El primer cuarto del círculo corresponde a los ángulos de 0 a π / 2 . Por tanto, en el eje X Tomemos un segmento y dividámoslo en 8 partes iguales.
3. Dibujemos líneas rectas paralelas a los ejes. X, y desde los puntos de división construimos perpendiculares hasta que se cruzan con líneas horizontales.
4. Conecte los puntos de intersección con una línea suave.
Ahora veamos el intervalo. π /
2
<
X <
π
.
Cada valor de argumento X de este intervalo se puede representar como
X = π / 2 + φ
Dónde 0 < φ < π / 2 . Según fórmulas de reducción.
pecado ( π / 2 + φ ) = porque φ = pecado ( π / 2 - φ ).
Puntos del eje X con abscisas π / 2 + φ Y π / 2 - φ simétricos entre sí con respecto al punto del eje X con abscisas π / 2 , y los senos en estos puntos son los mismos. Esto nos permite obtener una gráfica de la función. y = sen x en el intervalo [ π / 2 , π ] simplemente mostrando simétricamente la gráfica de esta función en el intervalo relativo a la línea recta X = π / 2 .
Ahora usando la propiedad función de paridad impar y = sen x,
pecado(- X) = - pecado X,
es fácil trazar esta función en el intervalo [- π , 0].
La función y = sen x es periódica con un período de 2π ;. Por tanto, para construir la gráfica completa de esta función, basta con continuar la curva que se muestra en la figura hacia la izquierda y hacia la derecha periódicamente con un punto 2π .
La curva resultante se llama sinusoide . Esta es la gráfica de la función. y = sen x.
La figura ilustra bien todas las propiedades de la función. y = sen x , que ya hemos demostrado anteriormente. Recordemos estas propiedades.
1) Función y = sen x definido para todos los valores X , por lo que su dominio es el conjunto de todos los números reales.
2) Función y = sen x limitado. Todos los valores que acepta están entre -1 y 1, incluidos estos dos números. En consecuencia, el rango de variación de esta función está determinado por la desigualdad -1 < en < 1. cuando X = π / 2 + 2k π la función toma valores más altos, igual a 1, y para x = - π / 2 + 2k π - valores más pequeños, igual a - 1.
3) Función y = sen x es impar (la onda sinusoidal es simétrica con respecto al origen).
4) Función y = sen x periódico con período 2 π .
5) En intervalos 2n π < X < π + 2n π (n es cualquier número entero) es positivo y en intervalos π + 2k π < X < 2π + 2k π (k es cualquier número entero) es negativo. En x = k π la función va a cero. Por tanto, estos valores del argumento x (0; ± π ; ±2 π ; ...) se llaman función ceros y = sen x
6) A intervalos - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π función y = pecado X aumenta monótonamente y en intervalos π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π disminuye monótonamente.
Debes prestar especial atención al comportamiento de la función. y = sen x cerca del punto X = 0 .
Por ejemplo, pecado 0,012 ≈ 0,012; pecado(-0.05) ≈ -0,05;
pecado 2° = pecado π 2 / 180 = pecado π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
Sin embargo, cabe señalar que para cualquier valor de x
| pecado X| < | x | . (1)
De hecho, sea igual a 1 el radio del círculo que se muestra en la figura,
a /
AOB = X.
Entonces peca X= aire acondicionado. Pero aire acondicionado< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. La longitud de este arco es obviamente igual a X, ya que el radio del círculo es 1. Entonces, en 0< X < π / 2
pecado x< х.
Por lo tanto, debido a la rareza de la función y = sen x es fácil demostrar que cuando - π / 2 < X < 0
| pecado X| < | x | .
Finalmente, cuando X = 0
| pecado x | = | x|.
Así, para | X | < π / 2 La desigualdad (1) ha sido probada. De hecho, esta desigualdad también es cierta para | X | > π / 2 debido al hecho de que | pecado X | < 1, un π / 2 > 1
Ejercicios
1.Según la gráfica de la función. y = sen x determine: a) pecado 2; b) pecado 4; c) pecado (-3).
2.Según el gráfico de funciones. y = sen x
determinar qué número del intervalo
[ - π /
2 ,
π /
2
] tiene un seno igual a: a) 0,6; segundo) -0,8.
3. Según la gráfica de la función. y = sen x
determinar qué números tienen un seno,
igual a 1/2.
4. Encuentre aproximadamente (sin usar tablas): a) sen 1°; b) pecado 0,03;
c) pecado (-0,015); d) pecado (-2°30").
En esta lección veremos detalladamente la función y = sen x, sus propiedades básicas y su gráfica. Al comienzo de la lección, daremos la definición de la función trigonométrica y = sin t en el círculo de coordenadas y consideraremos la gráfica de la función en el círculo y la recta. Demostremos la periodicidad de esta función en la gráfica y consideremos las propiedades principales de la función. Al final de la lección, resolveremos varios problemas simples usando la gráfica de una función y sus propiedades.
Tema: Funciones trigonométricas
Lección: Función y=senx, sus propiedades básicas y gráfica
Al considerar una función, es importante asociar cada valor de argumento con un único valor de función. Este ley de correspondencia y se llama función.
Definamos la ley de correspondencia para .
Cualquier número real corresponde a un solo punto en el círculo unitario. Un punto tiene una única ordenada, que se llama seno del número (Fig. 1).
Cada valor de argumento está asociado con un único valor de función.
Las propiedades obvias se derivan de la definición de seno.
La figura muestra que porque es la ordenada de un punto en el círculo unitario.
Considere la gráfica de la función. Recordemos la interpretación geométrica del argumento. El argumento es el ángulo central, medido en radianes. A lo largo del eje trazaremos números reales o ángulos en radianes, a lo largo del eje los valores correspondientes de la función.
Por ejemplo, un ángulo en el círculo unitario corresponde a un punto en la gráfica (Fig. 2)
Hemos obtenido una gráfica de la función en el área, pero conociendo el período del seno, podemos representar la gráfica de la función en todo el dominio de definición (Fig. 3).
El período principal de la función es. Esto significa que la gráfica se puede obtener en un segmento y luego continuar a lo largo de todo el dominio de definición.
Considere las propiedades de la función:
1) Alcance de la definición:
2) Rango de valores:
3) Función impar:
4) Periodo positivo más pequeño:
5) Coordenadas de los puntos de intersección del gráfico con el eje de abscisas:
6) Coordenadas del punto de intersección del gráfico con el eje de ordenadas:
7) Intervalos en los que la función toma valores positivos:
8) Intervalos en los que la función toma valores negativos:
9) Intervalos crecientes:
10) Intervalos decrecientes:
11) Puntos mínimos:
12) Funciones mínimas:
13) Puntos máximos:
14) Funciones máximas:
Observamos las propiedades de la función y su gráfica. Las propiedades se utilizarán repetidamente al resolver problemas.
Bibliografía
1. Álgebra e inicio del análisis, grado 10 (en dos partes). Libro de texto para instituciones de educación general (nivel de perfil), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Álgebra e inicio del análisis, grado 10 (en dos partes). Libro de problemas para instituciones educativas (nivel de perfil), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Álgebra y análisis matemático para el grado 10 (libro de texto para estudiantes de escuelas y clases con estudio en profundidad de las matemáticas - M.: Prosveshchenie, 1996).
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Estudio en profundidad del álgebra y análisis matemático.-M.: Educación, 1997.
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6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulador algebraico.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemas de álgebra y principios de análisis (un manual para estudiantes de los grados 10-11 de instituciones de educación general - M.: Prosveshchenie, 2003).
8. Karp A.P. Colección de problemas de álgebra y principios de análisis: libro de texto. subsidio para los grados 10-11. con profundidad estudió Matemáticas.-M.: Educación, 2006.
Tarea
Álgebra e inicio del análisis, grado 10 (en dos partes). Libro de problemas para instituciones educativas (nivel de perfil), ed.
A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Recursos web adicionales
3. Portal educativo para la preparación de exámenes ().
En esta lección veremos detalladamente la función y = sen x, sus propiedades básicas y su gráfica. Al comienzo de la lección, daremos la definición de la función trigonométrica y = sin t en el círculo de coordenadas y consideraremos la gráfica de la función en el círculo y la recta. Demostremos la periodicidad de esta función en la gráfica y consideremos las propiedades principales de la función. Al final de la lección, resolveremos varios problemas simples usando la gráfica de una función y sus propiedades.
Tema: Funciones trigonométricas
Lección: Función y=senx, sus propiedades básicas y gráfica
Al considerar una función, es importante asociar cada valor de argumento con un único valor de función. Este ley de correspondencia y se llama función.
Definamos la ley de correspondencia para .
Cualquier número real corresponde a un solo punto en el círculo unitario. Un punto tiene una única ordenada, que se llama seno del número (Fig. 1).
Cada valor de argumento está asociado con un único valor de función.
Las propiedades obvias se derivan de la definición de seno.
La figura muestra que porque es la ordenada de un punto en el círculo unitario.
Considere la gráfica de la función. Recordemos la interpretación geométrica del argumento. El argumento es el ángulo central, medido en radianes. A lo largo del eje trazaremos números reales o ángulos en radianes, a lo largo del eje los valores correspondientes de la función.
Por ejemplo, un ángulo en el círculo unitario corresponde a un punto en la gráfica (Fig. 2)
Hemos obtenido una gráfica de la función en el área, pero conociendo el período del seno, podemos representar la gráfica de la función en todo el dominio de definición (Fig. 3).
El período principal de la función es. Esto significa que la gráfica se puede obtener en un segmento y luego continuar a lo largo de todo el dominio de definición.
Considere las propiedades de la función:
1) Alcance de la definición:
2) Rango de valores:
3) Función impar:
4) Periodo positivo más pequeño:
5) Coordenadas de los puntos de intersección del gráfico con el eje de abscisas:
6) Coordenadas del punto de intersección del gráfico con el eje de ordenadas:
7) Intervalos en los que la función toma valores positivos:
8) Intervalos en los que la función toma valores negativos:
9) Intervalos crecientes:
10) Intervalos decrecientes:
11) Puntos mínimos:
12) Funciones mínimas:
13) Puntos máximos:
14) Funciones máximas:
Observamos las propiedades de la función y su gráfica. Las propiedades se utilizarán repetidamente al resolver problemas.
Bibliografía
1. Álgebra e inicio del análisis, grado 10 (en dos partes). Libro de texto para instituciones de educación general (nivel de perfil), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Álgebra e inicio del análisis, grado 10 (en dos partes). Libro de problemas para instituciones educativas (nivel de perfil), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Álgebra y análisis matemático para el grado 10 (libro de texto para estudiantes de escuelas y clases con estudio en profundidad de las matemáticas - M.: Prosveshchenie, 1996).
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Estudio en profundidad del álgebra y análisis matemático.-M.: Educación, 1997.
5. Colección de problemas de matemáticas para solicitantes de instituciones de educación superior (editado por M.I. Skanavi - M.: Higher School, 1992).
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulador algebraico.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemas de álgebra y principios de análisis (un manual para estudiantes de los grados 10-11 de instituciones de educación general - M.: Prosveshchenie, 2003).
8. Karp A.P. Colección de problemas de álgebra y principios de análisis: libro de texto. subsidio para los grados 10-11. con profundidad estudió Matemáticas.-M.: Educación, 2006.
Tarea
Álgebra e inicio del análisis, grado 10 (en dos partes). Libro de problemas para instituciones educativas (nivel de perfil), ed.
A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Recursos web adicionales
3. Portal educativo para la preparación de exámenes ().
