¿Qué es un extremo de una función y cuál es la condición necesaria para un extremo?
El extremo de una función es el máximo y el mínimo de la función.
Requisito previo El máximo y el mínimo (extremo) de una función son los siguientes: si la función f(x) tiene un extremo en el punto x = a, entonces en este punto la derivada es cero, infinita o no existe.
Esta condición es necesaria, pero no suficiente. La derivada en el punto x = a puede llegar a cero, infinito o no existir sin que la función tenga un extremo en este punto.
Cómo es condición suficiente extremo de la función (máximo o mínimo)?
Primera condición:
Si, en suficiente proximidad al punto x = a, la derivada f?(x) es positiva a la izquierda de a y negativa a la derecha de a, entonces en el punto x = a la función f(x) tiene máximo
Si, en suficiente proximidad al punto x = a, la derivada f?(x) es negativa a la izquierda de a y positiva a la derecha de a, entonces en el punto x = a la función f(x) tiene mínimo siempre que la función f(x) aquí sea continua.
En su lugar, puedes utilizar la segunda condición suficiente para el extremo de una función:
Dejemos que en el punto x = a la primera derivada f?(x) desaparezca; si la segunda derivada f??(a) es negativa, entonces la función f(x) tiene un máximo en el punto x = a, si es positiva, entonces tiene un mínimo.
¿Cuál es el punto crítico de una función y cómo encontrarlo?
Este es el valor del argumento de la función en el que la función tiene un extremo (es decir, máximo o mínimo). Para encontrarlo necesitas encontrar la derivada función f?(x) y, equiparándola a cero, resuelve la ecuación f?(x) = 0. Las raíces de esta ecuación, así como aquellos puntos en los que la derivada de esta función no existe, son puntos críticos, es decir, valores del argumento en los que puede haber un extremo. Se pueden identificar fácilmente mirando gráfico derivado: nos interesan aquellos valores del argumento en los que la gráfica de la función corta al eje de abscisas (eje Ox) y aquellos en los que la gráfica sufre discontinuidades.
Por ejemplo, busquemos extremo de una parábola.
Función y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Derivada de la función: y?(x) = 6x + 2
Resuelve la ecuación: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
EN en este caso el punto crítico es x0=-1/3. Es con este valor de argumento que la función tiene extremo. A él encontrar, sustituye el número encontrado en la expresión de la función en lugar de “x”:
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Cómo determinar el máximo y el mínimo de una función, es decir ¿Sus valores mayor y menor?
Si el signo de la derivada al pasar por el punto crítico x0 cambia de “más” a “menos”, entonces x0 es punto máximo; Si el signo de la derivada cambia de menos a más, entonces x0 es punto mínimo; si el signo no cambia, entonces en el punto x0 no hay máximo ni mínimo.
Para el ejemplo considerado:
Tomamos un valor arbitrario del argumento a la izquierda del punto crítico: x = -1
En x = -1, el valor de la derivada será y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (es decir, el signo es “menos”).
Ahora tomamos un valor arbitrario del argumento a la derecha del punto crítico: x = 1
En x = 1, el valor de la derivada será y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (es decir, el signo es “más”).
Como puede ver, la derivada cambió de signo de menos a más al pasar por el punto crítico. Esto significa que en el valor crítico x0 tenemos un punto mínimo.
El más grande y nai bajo valor funciones en el intervalo(en un segmento) se encuentran utilizando el mismo procedimiento, solo teniendo en cuenta el hecho de que, tal vez, no todos los puntos críticos se encuentren dentro del intervalo especificado. Deben excluirse de consideración aquellos puntos críticos que se encuentren fuera del intervalo. Si sólo hay un punto crítico dentro del intervalo, tendrá un máximo o un mínimo. En este caso, para determinar los valores mayor y menor de la función, también tomamos en cuenta los valores de la función en los extremos del intervalo.
Por ejemplo, encontremos los valores mayor y menor de la función.
y(x) = 3sen(x) - 0.5x
a intervalos:
Entonces la derivada de la función es
y?(x) = 3cos(x) - 0,5
Resolvemos la ecuación 3cos(x) - 0,5 = 0
porque(x) = 0,5/3 = 0,16667
x = ±arccos(0,16667) + 2πk.
Encontramos puntos críticos en el intervalo [-9; 9]:
x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (no incluido en el intervalo)
x = -arcos(0,16667) – 2π*1 = -7,687
x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88
x = -arcos(0,16667) + 2π*0 = -1,403
x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403
x = -arcos(0,16667) + 2π*1 = 4,88
x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687
x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (no incluido en el intervalo)
Encontramos los valores de la función en valores criticos argumento:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885
Se puede observar que en el intervalo [-9; 9] valor más alto la función tiene en x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
y el más pequeño - en x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
En el intervalo [-6; -3] solo tenemos un punto crítico: x = -4,88. El valor de la función en x = -4,88 es igual a y = 5,398.
Encuentra el valor de la función en los extremos del intervalo:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
En el intervalo [-6; -3] tenemos el mayor valor de la función
y = 5,398 en x = -4,88
valor más pequeño -
y = 1,077 en x = -3
¿Cómo encontrar los puntos de inflexión de una gráfica de función y determinar los lados convexo y cóncavo?
Para encontrar todos los puntos de inflexión de la recta y = f(x), necesitas encontrar la segunda derivada, igualarla a cero (resolver la ecuación) y probar todos aquellos valores de x para los cuales la segunda derivada es cero, infinito o no existe. Si al pasar por uno de estos valores la segunda derivada cambia de signo, entonces la gráfica de la función tiene una inflexión en este punto. Si no cambia, entonces no hay curvatura.
¿Las raíces de la ecuación f? (x) = 0, así como los posibles puntos de discontinuidad de la función y la segunda derivada, dividen el dominio de definición de la función en una serie de intervalos. La convexidad en cada uno de sus intervalos está determinada por el signo de la segunda derivada. Si la segunda derivada en un punto del intervalo en estudio es positiva, entonces la recta y = f(x) es cóncava hacia arriba, y si es negativa, entonces hacia abajo.
¿Cómo encontrar los extremos de una función de dos variables?
Para encontrar los extremos de la función f(x,y), diferenciables en el dominio de su especificación, necesitas:
1) encontrar los puntos críticos y, para ello, resolver el sistema de ecuaciones
fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0
2) para cada punto crítico P0(a;b) investigue si el signo de la diferencia permanece sin cambios
para todos los puntos (x;y) suficientemente cercanos a P0. Si la diferencia persiste signo positivo, entonces en el punto P0 tenemos un mínimo, si es negativo, entonces tenemos un máximo. Si la diferencia no conserva su signo, entonces no hay extremo en el punto P0.
Los extremos de la función se determinan de manera similar para más argumentos.
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Cómo determinar los intervalos de convexidad y concavidad de una gráfica de función
¿Qué es un extremo de una función y cuál es la condición necesaria para un extremo? El extremo de una función es el máximo y el mínimo de la función. La condición necesaria para el máximo y el mínimo (extremo) de una función es la siguiente: si la función f(x) tiene un extremo en el punto x = a, entonces en este punto la derivada es cero, infinita o no. no existe. Esta condición es necesaria, pero no suficiente. Derivada en t
El valor más grande (más pequeño) de una función es el valor más grande (más pequeño) aceptado de la ordenada en el intervalo considerado.
Para encontrar el valor más grande o más pequeño de una función necesitas:
- Compruebe qué puntos estacionarios están incluidos en un segmento determinado.
- Calcule el valor de la función en los extremos del segmento y en los puntos estacionarios del paso 3
- Seleccione el valor mayor o menor de los resultados obtenidos.
Para encontrar los puntos máximos o mínimos necesitas:
- Encuentra la derivada de la función $f"(x)$
- Encuentra puntos estacionarios resolviendo la ecuación $f"(x)=0$
- Factorizar la derivada de una función.
- Dibuja una línea de coordenadas, coloca puntos estacionarios en ella y determina los signos de la derivada en los intervalos resultantes, usando la notación del paso 3.
- Encuentre los puntos máximos o mínimos de acuerdo con la regla: si en un punto la derivada cambia de signo de más a menos, entonces este será el punto máximo (si de menos a más, entonces este será el punto mínimo). En la práctica, es conveniente utilizar la imagen de flechas en los intervalos: en el intervalo donde la derivada es positiva, la flecha se dibuja hacia arriba y viceversa.
Tabla de derivadas de algunas funciones elementales:
| Función | Derivado |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^(n-1), n∈N$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $(1)/x(^n), n∈N$ | $-(n)/(x^(n+1)), n∈N$ |
| $√^n(x), n∈N$ | $(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(pecado^2x)$ |
| $cos^2x$ | $-sin2x$ |
| $pecado^2x$ | $pecado2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $log_(a)x$ | $(1)/(xlna)$ |
Reglas básicas de diferenciación.
1. La derivada de la suma y la diferencia es igual a la derivada de cada término
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
Encuentra la derivada de la función $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$
La derivada de la suma y la diferencia es igual a la derivada de cada término.
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+senx-(1)/(x^2)$
2. Derivado del producto.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
Encuentra la derivada $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙senx$
3. Derivada del cociente
$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$
Encuentra la derivada $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$
4. Derivado función compleja es igual al producto de la derivada de la función externa por la derivada de la función interna
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
Encuentra el punto mínimo de la función $y=2x-ln(x+11)+4$
1. Busquemos funciones ODZ: $x+11>0; x>-11$
2. Encuentra la derivada de la función $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$
3. Encuentre puntos estacionarios igualando la derivada a cero.
$(2x+21)/(x+11)=0$
Una fracción es igual a cero si el numerador igual a cero, y el denominador no es cero
$2x+21=0; x≠-11$
4. Dibujemos una línea de coordenadas, coloquemos puntos estacionarios sobre ella y determinemos los signos de la derivada en los intervalos resultantes. Para hacer esto, sustituya cualquier número de la región más a la derecha en la derivada, por ejemplo, cero.
$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$
5. En el punto mínimo, la derivada cambia de signo de menos a más, por lo tanto, el punto $-10,5$ es el punto mínimo.
Respuesta: $-10,5$
Encuentre el mayor valor de la función $y=6x^5-90x^3-5$ en el segmento $[-5;1]$
1. Encuentra la derivada de la función $y′=30x^4-270x^2$
2. Iguala la derivada a cero y encuentra puntos estacionarios.
$30x^4-270x^2=0$
lo sacaremos multiplicador común$30x^2$ entre paréntesis
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(x-3)(x+3)=0$
Igualemos cada factor a cero
$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$
$x=0;x=3;x=-3$
3. Seleccione puntos estacionarios que pertenecen a este segmento $[-5;1]$
Los puntos estacionarios $x=0$ y $x=-3$ nos convienen
4. Calcule el valor de la función en los extremos del segmento y en los puntos estacionarios del paso 3.
Y para solucionarlo necesitarás conocimientos mínimos del tema. El siguiente termina año académico, todo el mundo quiere irse de vacaciones, y para acercar este momento, inmediatamente voy al grano:
Empecemos por la zona. El área a que se refiere la condición es limitado cerrado conjunto de puntos en un plano. Por ejemplo, el conjunto de puntos delimitados por un triángulo, incluido TODO el triángulo (si de fronteras“pincha” al menos un punto, entonces la región ya no estará cerrada). En la práctica, también hay áreas rectangulares, circulares y un poco más grandes. formas complejas. Cabe señalar que en teoría Análisis matemático se dan definiciones estrictas limitaciones, aislamiento, fronteras, etc., pero creo que todo el mundo conoce estos conceptos a nivel intuitivo y ahora no hace falta nada más.
Una región plana se denota estándar con la letra y, por regla general, se especifica analíticamente, mediante varias ecuaciones. (no necesariamente lineal); menos frecuentemente desigualdades. Típico giro de frase: "área cerrada, delimitado por líneas ».
Una parte integral de la tarea en cuestión es la construcción de un área en el dibujo. ¿Cómo hacerlo? Debe dibujar todas las líneas enumeradas (en este caso 3 derecho) y analizar lo sucedido. El área buscada suele estar ligeramente sombreada y su borde está marcado con una línea gruesa: 
La misma área también se puede configurar desigualdades lineales: , que por alguna razón a menudo se escriben como una lista enumerada en lugar de sistema.
Dado que el límite pertenece a la región, entonces todas las desigualdades, por supuesto, flojo.
Y ahora la esencia de la tarea. Imagina que el eje sale recto hacia ti desde el origen. Considere una función que continuo en cada punto de área. La gráfica de esta función representa algunos superficie, Y un poco de felicidad es que para resolver el problema actual no necesitamos saber cómo es esta superficie. Se puede ubicar más arriba, más abajo, cruzar el plano; todo esto no importa. Y lo siguiente es importante: según Teoremas de Weierstrass, continuo V limitado cerradoÁrea donde la función alcanza su mayor valor. (el más alto") y lo menos (el más bajo") valores que es necesario encontrar. Estos valores se logran. o V puntos estacionarios, perteneciente a la regiónD , o en los puntos que se encuentran en el límite de esta área. Esto conduce a un algoritmo de solución simple y transparente:
Ejemplo 1
En limitado zona cerrada
Solución: En primer lugar, es necesario representar el área en el dibujo. Lamentablemente, técnicamente me resulta difícil hacerlo. modelo interactivo tarea, por lo que presentaré inmediatamente la ilustración final, que muestra todos los puntos "sospechosos" encontrados durante el estudio. Por lo general, se enumeran uno tras otro a medida que se descubren: 
Teniendo en cuenta el preámbulo, la decisión puede dividirse convenientemente en dos puntos:
I) Encuentra puntos estacionarios. Esta es una acción estándar que realizamos repetidamente en clase. sobre los extremos de varias variables:
Punto estacionario encontrado perteneceáreas: (márcalo en el dibujo), lo que significa que debemos calcular el valor de la función en un punto dado:
- como en el artículo Los valores más grande y más pequeño de una función en un segmento., resultados importantes Lo pondré en negrita. Conviene calcarlos en una libreta con un lápiz.
Prestemos atención a nuestra segunda felicidad: no tiene sentido comprobarlo. condición suficiente para un extremo. ¿Por qué? Incluso si en un punto la función alcanza, por ejemplo, mínimo local , entonces esto NO SIGNIFICA que el valor resultante será mínimo en toda la región (ver el comienzo de la lección sobre extremos incondicionales) .
¿Qué hacer si el punto estacionario NO pertenece al área? ¡Casi nada! Cabe señalar eso y pasar al siguiente punto.
II) Exploramos la frontera de la región.
Dado que el borde está formado por los lados de un triángulo, conviene dividir el estudio en 3 subsecciones. Pero es mejor no hacerlo de todos modos. Desde mi punto de vista, es más ventajoso considerar primero los segmentos paralelos ejes de coordenadas, y en primer lugar, los que yacen sobre los propios ejes. Para comprender toda la secuencia y la lógica de las acciones, intente estudiar el final "de una vez":
1) Tratemos con el lado inferior del triángulo. Para hacer esto, sustituya directamente en la función:
Alternativamente, puedes hacerlo así: 
Geométricamente esto significa que Plano coordinado (que también está dado por la ecuación)"talla" de superficies una parábola "espacial", cuya parte superior inmediatamente resulta sospechosa. Vamos a averiguar donde esta ubicada:
– el valor resultante “cayó” en el área, y bien puede resultar que en el punto (marcado en el dibujo) la función alcanza el valor más grande o más pequeño en toda la región. De una forma u otra, hagamos los cálculos:
Los otros “candidatos” son, por supuesto, los extremos del segmento. Calculemos los valores de la función en puntos. 
(marcado en el dibujo):
Aquí, por cierto, puede realizar un minicontrol oral utilizando una versión "simplificada": 
2) Para investigación lado derecho sustituimos el triángulo en la función y “ponemos las cosas en orden”:
Aquí realizaremos inmediatamente una verificación aproximada, "haciendo sonar" el final del segmento ya procesado:
, Excelente.
La situación geométrica está relacionada con el punto anterior:
– el valor resultante también “entró en la esfera de nuestros intereses”, lo que significa que debemos calcular a qué es igual la función en el punto que aparece:
Examinemos el segundo extremo del segmento:
Usando la función 
, realicemos una verificación de control: 
3) Probablemente todos puedan adivinar cómo explorar el lado restante. Lo sustituimos en la función y realizamos simplificaciones:
Extremos del segmento 
Ya se han investigado, pero en el borrador aún comprobamos si hemos encontrado la función correctamente. 
:
– coincidió con el resultado del párrafo primero;
– coincidió con el resultado del párrafo segundo.
Queda por saber si hay algo interesante dentro del segmento:
- ¡Hay! Sustituyendo la línea recta en la ecuación, obtenemos la ordenada de este "interés":
Marcamos un punto en el dibujo y encontramos el valor correspondiente de la función:
Comprobemos los cálculos utilizando la versión "presupuesto" 
:
, orden.
Y el paso final: Revisamos CUIDADOSAMENTE todos los números en "negrita", recomiendo a los principiantes incluso hacer una lista única: 
del cual seleccionamos los valores más grandes y más pequeños. Respuesta Anotemos al estilo del problema de encontrar. los valores más grandes y más pequeños de una función en un segmento:
Por si acaso vuelvo a comentar. significado geométrico resultado:
- aquí está lo más punto álgido superficies en el área;
- aquí está lo más punto bajo superficies de la zona.
En la tarea analizada, identificamos 7 puntos "sospechosos", pero su número varía de una tarea a otra. Para una región triangular, el "conjunto de investigación" mínimo consta de Tres puntos. Esto sucede cuando la función, por ejemplo, especifica avión– está completamente claro que no hay puntos estacionarios, y la función puede alcanzar sus valores máximo/menor sólo en los vértices del triángulo. Pero sólo hay uno o dos ejemplos similares; por lo general, hay que lidiar con algún tipo de superficie de segundo orden.
Si intentas resolver un poco este tipo de tareas, entonces los triángulos pueden hacerte girar la cabeza, y es por eso que lo preparé para ti. ejemplos inusuales para que quede cuadrado :))
Ejemplo 2
Encuentra los valores mayor y menor de una función. 
en un área cerrada delimitada por líneas
Ejemplo 3
Encuentre los valores mayor y menor de una función en una región cerrada limitada.
Atención especial Preste atención al orden racional y a la técnica de estudiar los límites de la región, así como a la cadena de comprobaciones intermedias, lo que evitará casi por completo errores de cálculo. En general, puedes resolverlo como quieras, pero en algunos problemas, por ejemplo, en el Ejemplo 2, hay muchas posibilidades de hacerte la vida mucho más difícil. muestra aproximada terminar las tareas al final de la lección.
Sistematicemos el algoritmo de solución; de lo contrario, con mi diligencia como araña, de alguna manera se perdió en el largo hilo de comentarios del primer ejemplo:
– En el primer paso construimos un área, es recomendable sombrearla y resaltar el borde con una línea en negrita. Durante la solución aparecerán puntos que deberán marcarse en el dibujo.
– Encuentra puntos estacionarios y calcula los valores de la función. solo en esos de ellos que pertenecen a la región. Resaltamos los valores resultantes en el texto (por ejemplo, los rodeamos con un lápiz). Si un punto estacionario NO pertenece a la región, marcamos este hecho con un icono o verbalmente. Si puntos estacionarios en absoluto, entonces sacaremos una conclusión escrita de que están ausentes. En cualquier caso, ¡este punto no se puede saltar!
– Estamos explorando la frontera de la región. Primero, es beneficioso comprender las líneas rectas paralelas a los ejes de coordenadas. (si es que hay alguno). También destacamos los valores de la función calculados en puntos “sospechosos”. Se ha dicho mucho anteriormente sobre la técnica de solución y se dirá algo más a continuación: ¡léalo, vuelva a leerlo y profundice en él!
– De los números seleccionados, seleccione los valores mayor y menor y dé la respuesta. A veces sucede que una función alcanza tales valores en varios puntos a la vez; en este caso, todos estos puntos deben reflejarse en la respuesta. Dejemos, por ejemplo, 
y resultó que este es el valor más pequeño. Luego escribimos eso
Los ejemplos finales están dedicados a otros. ideas útiles que será útil en la práctica:
Ejemplo 4
Encuentra los valores mayor y menor de una función en una región cerrada 
.
He conservado la formulación del autor, en la que el área se da en forma de doble desigualdad. Esta condición se puede escribir sistema equivalente o en una forma más tradicional para esta tarea: 
te recuerdo que con no lineal encontramos desigualdades en , y si no comprende el significado geométrico de la notación, no se demore y aclare la situación ahora mismo;-)
Solución, como siempre, comienza con la construcción de un área que representa una especie de “suela”: 
Mmm, a veces hay que masticar no sólo el granito de la ciencia...
I) Encuentra puntos estacionarios: 
El sistema es el sueño de un idiota :) 
Un punto estacionario pertenece a la región, es decir, se encuentra en su límite.
Y entonces, está bien... la lección fue bien: esto es lo que significa beber el té adecuado =)
II) Exploramos la frontera de la región. Sin más preámbulos, comencemos con el eje x:
1) Si, entonces
Encontremos dónde está el vértice de la parábola:
– aprecia esos momentos – “llegas” justo al punto en el que todo ya está claro. Pero todavía no nos olvidamos de comprobar: 
Calculemos los valores de la función en los extremos del segmento: 
2) Tratemos la parte inferior de la "suela" "de una sola vez" - sin ningún complejo la sustituimos en la función, y solo nos interesará el segmento:
Control:
Esto ya aporta algo de emoción a la conducción monótona por la pista estriada. Encontremos puntos críticos:
Vamos a decidir ecuación cuadrática¿Recuerdas algo más sobre esto? ...Sin embargo, recuerda, por supuesto, que de lo contrario no estarías leyendo estas líneas =) Si en los dos ejemplos anteriores los cálculos en decimales(que, por cierto, es raro), entonces aquí nos esperan los habituales fracciones comunes. Encontramos las raíces "X" y usamos la ecuación para determinar las coordenadas de "juego" correspondientes de los puntos "candidatos": 
Calculemos los valores de la función en los puntos encontrados: 
Compruebe usted mismo la función.
Ahora estudiamos detenidamente los trofeos ganados y anotamos. respuesta:
¡Estos son “candidatos”, estos son “candidatos”!
Para decisión independiente:
Ejemplo 5
Encuentra los valores más pequeños y más grandes de una función. 
en un área cerrada 
Grabación de llaves dice así: "un conjunto de puntos tales que".
A veces en ejemplos similares usar Método del multiplicador de Lagrange, pero es poco probable que exista una necesidad real de utilizarlo. Así, por ejemplo, si se da una función con la misma área “de”, luego de sustituirla – con la derivada sin dificultades; Además, todo está redactado en “una línea” (con signos) sin necesidad de considerar por separado los semicírculos superior e inferior. Pero, por supuesto, hay más casos complejos, donde sin la función de Lagrange (donde, por ejemplo, está la misma ecuación de un círculo) Es difícil arreglárselas, ¡como es difícil arreglárselas sin un buen descanso!
¡Que lo paséis bien a todos y nos vemos pronto la próxima temporada!
Soluciones y respuestas:
Ejemplo 2: Solución: Representemos el área en el dibujo:
pequeña y bonita Tarea simple de la categoría de los que sirven como salvavidas para un estudiante flotante. Estamos a mediados de julio en la naturaleza, por lo que es hora de instalarse con su computadora portátil en la playa. Temprano en la mañana empezó a jugar conejito soleado teoría para pronto centrarse en la práctica, que, a pesar de su pretendida facilidad, contiene fragmentos de vidrio en la arena. En este sentido, te recomiendo que consideres concienzudamente los pocos ejemplos de esta página. Para soluciones tareas practicas debe ser capaz de encontrar derivadas y comprender el material del artículo. Intervalos de monotonicidad y extremos de la función..
Primero, brevemente sobre lo principal. En la lección sobre continuidad de la función Di la definición de continuidad en un punto y continuidad en un intervalo. El comportamiento ejemplar de una función en un segmento se formula de manera similar. Una función es continua en un intervalo si:
1) es continua en el intervalo;
2) continuo en un punto a la derecha y en el punto izquierda.
En el segundo párrafo hablamos de los llamados continuidad unilateral funciones en un punto. Hay varios enfoques para definirlo, pero me ceñiré a la línea que comencé antes:
La función es continua en el punto a la derecha, si está definida en un punto dado y su límite derecho coincide con el valor de la función en un punto dado: 
. es continua en el punto izquierda, si se define en un punto dado y su límite por la izquierda igual al valor en este punto: 
Imagina eso puntos verdes- estos son los clavos sobre los que se fija la banda elástica mágica:
Toma mentalmente la línea roja en tus manos. Obviamente, no importa cuánto estiremos la gráfica hacia arriba y hacia abajo (a lo largo del eje), la función seguirá siendo limitado– una valla arriba, una valla abajo y nuestro producto pasta en el prado. De este modo, una función continua en un intervalo está acotada en él. En el curso del análisis matemático, este hecho aparentemente simple se afirma y se demuestra estrictamente. El primer teorema de Weierstrass.... A muchas personas les molesta que en matemáticas se fundamenten tediosamente enunciados elementales, pero esto tiene un significado importante. Supongamos que cierto habitante de la Alta Edad Media arrastrara un gráfico hacia el cielo más allá de los límites de visibilidad, este se insertaría. ¡Antes de la invención del telescopio, la función limitada en el espacio no era nada obvia! De verdad, ¿cómo sabes lo que nos espera en el horizonte? Después de todo, la Tierra alguna vez se consideró plana, por lo que hoy incluso la teletransportación ordinaria requiere pruebas =)
De acuerdo a El segundo teorema de Weierstrass, continuo en un segmentola función alcanza su preciso borde superior y el tuyo borde inferior exacto .
El número también se llama el valor máximo de la función en el segmento y se denotan por , y el número es el valor mínimo de la función en el segmento marcado.
En nuestro caso: 
Nota
: en teoría, las grabaciones son comunes 
.
En términos generales, el valor más grande es donde está el punto más alto del gráfico y el valor más pequeño es donde está el punto más bajo.
¡Importante! Como ya se destacó en el artículo sobre extremos de la función, mayor valor de función Y valor de función más pequeño – NO ES EL MÍSMO, Qué función máxima Y función mínima. Entonces, en el ejemplo considerado, el número es el mínimo de la función, pero no el valor mínimo.
Por cierto, ¿qué pasa fuera del segmento? Sí, incluso una inundación, en el contexto del problema que estamos considerando, no nos interesa en absoluto. La tarea sólo consiste en encontrar dos números. 
¡y eso es!
Además, la solución es puramente analítica, por lo tanto no es necesario hacer un dibujo!
El algoritmo se encuentra en la superficie y se sugiere a partir de la figura anterior:
1) Encuentra los valores de la función en puntos críticos, que pertenecen a este segmento.
Capte otra bonificación: aquí no es necesario verificar la condición suficiente para un extremo, ya que, como se acaba de mostrar, la presencia de un mínimo o un máximo no garantiza todavía, ¿cuál es el mínimo o valor máximo. La función de demostración alcanza un máximo y, por voluntad del destino, el mismo número es el valor más grande de la función en el segmento. Pero, por supuesto, tal coincidencia no siempre ocurre.
Así, en el primer paso, es más rápido y sencillo calcular los valores de la función en los puntos críticos pertenecientes al segmento, sin preocuparse si hay extremos en ellos o no.
2) Calculamos los valores de la función en los extremos del segmento.
3) Entre los valores de función que se encuentran en los párrafos 1 y 2, seleccione el más pequeño y el más Número grande, escribe la respuesta.
Nos sentamos en la orilla mar azul y golpear el agua poco profunda con los talones:
Ejemplo 1
Encuentra los valores mayor y menor de una función en un segmento
Solución:
1) Calculemos los valores de la función en los puntos críticos pertenecientes a este segmento:
Calculemos el valor de la función en el segundo. punto crítico:
2) Calculemos los valores de la función en los extremos del segmento: 
3) Se obtuvieron resultados “negritos” con exponentes y logaritmos, lo que complica significativamente su comparación. Por eso armémonos de una calculadora o Excel y calculemos valores aproximados, sin olvidar que: 
Ahora todo está claro.
Respuesta:
Instancia fraccional-racional para solución independiente:
Ejemplo 6
Encuentre el máximo y valor mínimo funciones en un intervalo
En este artículo hablaré sobre cómo aplicar la habilidad de encontrar al estudio de una función: encontrar su valor mayor o menor. Y luego resolveremos varios problemas de la Tarea B15 de banco abierto tareas para.
Como de costumbre, primero recordemos la teoría.
Al comienzo de cualquier estudio de una función, encontramos que
Para encontrar el valor mayor o menor de una función, es necesario examinar en qué intervalos la función aumenta y en cuáles disminuye.
Para hacer esto, necesitamos encontrar la derivada de la función y examinar sus intervalos de signo constante, es decir, los intervalos en los que la derivada conserva su signo.
Los intervalos en los que la derivada de una función es positiva son intervalos de función creciente.
Los intervalos en los que la derivada de una función es negativa son intervalos de función decreciente.
1 . Resolvamos la tarea B15 (No. 245184)
Para solucionarlo seguiremos el siguiente algoritmo:
a) Encuentra el dominio de definición de la función.
b) Encontremos la derivada de la función.
c) Igualémoslo a cero.
d) Encontremos los intervalos de signo constante de la función.
e) Encuentre el punto en el que la función toma el mayor valor.
f) Encuentre el valor de la función en este punto.
Doy una solución detallada a esta tarea en el VIDEO TUTORIAL:
Probablemente su navegador no sea compatible. Para usar el entrenador " Hora del examen estatal unificado", intenta descargar
Firefox
2. Resolvamos la tarea B15 (No. 282862)
Encuentra el valor más grande de la función. 
en el segmento
Es obvio que la función toma el mayor valor en el segmento en el punto máximo, en x=2. Encontremos el valor de la función en este punto:
Respuesta: 5
3. Resolvamos la tarea B15 (No. 245180):
Encuentra el valor más grande de la función. 
1. título="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}
2. Porque según el dominio de definición de la función original title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}
3. El numerador es igual a cero en . Comprobemos si ODZ pertenece a la función. Para hacer esto, verifiquemos si la condición title="4-2x-x^2>0"> при .!}
Título="4-2(-1)-((-1))^2>0">,
esto significa que el punto pertenece a la función ODZ
Examinemos el signo de la derivada a la derecha e izquierda del punto:
Vemos que la función adquiere su mayor valor en el punto . Ahora encontremos el valor de la función en:
Observación 1. Tenga en cuenta que en este problema no encontramos el dominio de definición de la función: solo fijamos las restricciones y comprobamos si el punto en el que la derivada es igual a cero pertenece al dominio de definición de la función. Esto resultó ser suficiente para esta tarea. Sin embargo, este no es siempre el caso. Depende de la tarea.
Observación 2. Al estudiar el comportamiento de una función compleja, se puede utilizar la siguiente regla:
- Si la función externa de una función compleja es creciente, entonces la función toma su mayor valor en el mismo punto en el que función interna toma el mayor valor. Esto se desprende de la definición de una función creciente: una función aumenta en el intervalo I si valor mas alto el argumento de este intervalo corresponde a un valor mayor de la función.
- Si la función externa de una función compleja es decreciente, entonces la función toma su valor más grande en el mismo punto en el que la función interna toma su valor más pequeño. . Esto se desprende de la definición de función decreciente: una función disminuye en el intervalo I si un valor mayor del argumento de este intervalo corresponde a un valor menor de la función
En nuestro ejemplo, la función externa aumenta en todo el dominio de definición. Bajo el signo del logaritmo hay una expresión - trinomio cuadrático, que, con un coeficiente principal negativo, toma el mayor valor en el punto 
. A continuación, sustituimos este valor de x en la ecuación de la función y encontrar su mayor valor.
