Cómo encontrar el área de un paralelogramo si se conoce el ángulo. Área de un paralelogramo

Paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados son paralelos en pares.

En esta figura, los lados y ángulos opuestos son iguales entre sí. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en un punto y lo bisecan. Las fórmulas para el área de un paralelogramo te permiten encontrar el valor a través de los lados, la altura y las diagonales. En casos especiales también se puede presentar un paralelogramo. Se consideran rectángulo, cuadrado y rombo.
Primero, veamos un ejemplo de cómo calcular el área de un paralelogramo por la altura y el lado al que se baja.

Este caso se considera clásico y no requiere investigación adicional. Es mejor considerar la fórmula para calcular el área de dos lados y el ángulo entre ellos. El mismo método se utiliza en los cálculos. Si se dan los lados y el ángulo entre ellos, entonces el área se calcula de la siguiente manera:

Supongamos que nos dan un paralelogramo con lados a = 4 cm, b = 6 cm El ángulo entre ellos es α = 30°. Encontremos el área:

Área de un paralelogramo a través de diagonales

La fórmula para el área de un paralelogramo usando las diagonales te permite encontrar rápidamente el valor.
Para los cálculos, necesitará el tamaño del ángulo ubicado entre las diagonales.

Consideremos un ejemplo de cómo calcular el área de un paralelogramo usando diagonales. Sea un paralelogramo con diagonales D = 7 cm, d = 5 cm El ángulo entre ellas es α = 30°. Sustituyamos los datos en la fórmula:

Un ejemplo de cálculo del área de un paralelogramo a través de la diagonal nos dio un resultado excelente: 8,75.

Conociendo la fórmula para el área de un paralelogramo a través de la diagonal, puedes resolver muchos problemas interesantes. Veamos uno de ellos.

Tarea: Dado un paralelogramo con un área de 92 metros cuadrados. ver El punto F está ubicado en el medio de su lado BC. Encontremos el área del trapecio ADFB, que estará en nuestro paralelogramo. Primero, dibujemos todo lo que recibimos según las condiciones.
Vayamos a la solución:

Según nuestras condiciones, ah =92 y, en consecuencia, el área de nuestro trapezoide será igual a

Paralelogramo llamado cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos entre sí. Las principales tareas en la escuela sobre este tema son calcular el área de un paralelogramo, su perímetro, altura y diagonales. Los valores indicados y las fórmulas para su cálculo se darán a continuación.

Propiedades de un paralelogramo

Los lados opuestos de un paralelogramo, así como los ángulos opuestos, son iguales entre sí:
AB=CD, BC=AD,

Las diagonales de un paralelogramo en el punto de intersección se dividen en dos partes iguales:

AO=OC, OB=OD.

Los ángulos adyacentes a cualquier lado (ángulos adyacentes) suman 180 grados.

Cada una de las diagonales de un paralelogramo lo divide en dos triángulos de igual área y dimensiones geométricas.

Otra propiedad destacable que se suele utilizar a la hora de resolver problemas es que la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de todos los lados:

AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2) .

Las principales características de los paralelogramos:

1. Un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos en pares es un paralelogramo.
2. Un cuadrilátero con lados opuestos iguales es un paralelogramo.
3. Un cuadrilátero con lados opuestos iguales y paralelos es un paralelogramo.
4. Si las diagonales de un cuadrilátero en el punto de intersección se dividen por la mitad, entonces es un paralelogramo.
5. Un cuadrilátero cuyos ángulos opuestos son iguales por pares es un paralelogramo

Bisectrices de un paralelogramo

Las bisectrices de ángulos opuestos en un paralelogramo pueden ser paralelas o coincidentes.

Las bisectrices de ángulos adyacentes (adyacentes a un lado) se cruzan en ángulos rectos (perpendiculares).

altura del paralelogramo

altura del paralelogramo- este es un segmento dibujado desde un ángulo perpendicular a la base. De esto se deduce que desde cada ángulo se pueden trazar dos alturas.

Fórmula del área del paralelogramo

Área de un paralelogramo es igual al producto del lado por la altura dibujada hacia él. La fórmula del área es la siguiente.

La segunda fórmula no es menos popular en los cálculos y se define de la siguiente manera: el área de un paralelogramo es igual al producto de los lados adyacentes por el seno del ángulo entre ellos

Con base en las fórmulas anteriores, sabrás cómo calcular el área de un paralelogramo.

Perímetro de un paralelogramo

La fórmula para calcular el perímetro de un paralelogramo es

es decir, el perímetro es igual al doble de la suma de los lados. Los problemas que involucran paralelogramos se discutirán en materiales adyacentes, pero por ahora, estudie las fórmulas. La mayoría de los problemas de cálculo de los lados y diagonales de un paralelogramo son bastante simples y se reducen al conocimiento del teorema de los senos y del teorema de Pitágoras.

Un paralelogramo es una figura cuadrangular cuyos lados opuestos son paralelos e iguales en pares. Sus ángulos opuestos también son iguales, y el punto de intersección de las diagonales del paralelogramo las divide por la mitad, siendo el centro de simetría de la figura. Casos especiales de paralelogramo son formas geométricas como el cuadrado, el rectángulo y el rombo. El área de un paralelogramo se puede encontrar de varias formas, dependiendo de los datos iniciales que acompañen la formulación del problema.

1. En el caso más sencillo, el área de un paralelogramo se define como el producto de su base por su altura.
   

   S = CC ∙ h

   
   

   donde S es el área del paralelogramo;
   a - base;
   h es la altura dibujada hasta la base dada.

   Esta fórmula es muy fácil de entender y recordar si nos fijamos en la siguiente figura.

   

   Como puedes ver en esta imagen, si cortamos un triángulo imaginario a la izquierda del paralelogramo y lo unimos a la derecha, el resultado será un rectángulo. Como sabes, el área de un rectángulo se encuentra multiplicando su longitud por su altura. Solo en el caso de un paralelogramo la longitud será la base y la altura del rectángulo será la altura del paralelogramo bajado a un lado determinado.

2. El área de un paralelogramo también se puede encontrar multiplicando las longitudes de dos bases adyacentes y el seno del ángulo entre ellas:
   

   S = AD∙AB∙sinα

   
   

   donde AD, AB son bases adyacentes que forman un punto de intersección y un ángulo a entre sí;
   α es el ángulo entre las bases AD y AB.

   

3. También puedes encontrar el área de un paralelogramo dividiendo por la mitad el producto de las longitudes de las diagonales del paralelogramo por el seno del ángulo entre ellas.
   

   S = ½∙AC∙BD∙senβ

   
   

   donde AC, BD son las diagonales del paralelogramo;
   β es el ángulo entre las diagonales.

   

4. También existe una fórmula para encontrar el área de un paralelogramo a través del radio del círculo inscrito en él. Está escrito de la siguiente manera:

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Área de un paralelogramo. En muchos problemas de geometría relacionados con el cálculo de áreas, incluidas las tareas del Examen Estatal Unificado, se utilizan fórmulas para el área de un paralelogramo y un triángulo. Hay varios de ellos, los veremos aquí.

Sería demasiado sencillo enumerar estas fórmulas; ya hay suficiente material en libros de referencia y en varios sitios web. Me gustaría transmitir la esencia, para que no los abarrotes, sino que los entiendas y puedas recordarlos fácilmente en cualquier momento. Después de estudiar el material del artículo, comprenderá que no es necesario aprender estas fórmulas en absoluto. Objetivamente hablando, ocurren con tanta frecuencia en las decisiones que permanecen en la memoria durante mucho tiempo.

1. Entonces veamos un paralelogramo. La definición dice:

¿Por qué es así? ¡Es sencillo! Para mostrar claramente cuál es el significado de la fórmula, realicemos algunas construcciones adicionales, es decir, construyamos las alturas:

El área del triángulo (2) es igual al área del triángulo (1), el segundo signo de igualdad de los triángulos rectángulos "a lo largo del cateto y la hipotenusa". Ahora "cortemos" mentalmente el segundo y lo movamos superponiéndolo al primero; obtenemos un rectángulo, cuyo área será igual al área del paralelogramo original:

Se sabe que el área de un rectángulo es igual al producto de sus lados adyacentes. Como puede verse en el boceto, un lado del rectángulo resultante es igual al lado del paralelogramo y el otro es igual a la altura del paralelogramo. Por tanto, obtenemos la fórmula para el área de un paralelogramo S = a∙h a

2. Sigamos, otra fórmula para su área. Tenemos:

Área de una fórmula de paralelogramo

Denotamos los lados como a y b, el ángulo entre ellos es γ "gamma", la altura es h a. Consideremos un triángulo rectángulo: