Triángulo, cuadrado, hexágono: casi todo el mundo conoce estas figuras. Pero no todo el mundo sabe qué es un polígono regular. Pero todos son iguales. Un polígono regular es aquel que tiene ángulos y lados iguales. Hay muchas figuras de este tipo, pero todas tienen las mismas propiedades y se les aplican las mismas fórmulas.
Propiedades de los polígonos regulares
Cualquier polígono regular, ya sea un cuadrado o un octágono, puede inscribirse en una circunferencia. Esta propiedad básica se utiliza a menudo al construir una figura. Además, se puede inscribir un círculo en un polígono. En este caso, el número de puntos de contacto será igual al número de sus lados. Es importante que un círculo inscrito en un polígono regular tenga un centro común con él. Estas figuras geométricas están sujetas a los mismos teoremas. Cualquier lado de un n-gón regular está relacionado con el radio del círculo R que lo rodea. Por lo tanto, se puede calcular usando la siguiente fórmula: a = 2R ∙ sin180°. A través de él puedes encontrar no solo los lados, sino también el perímetro del polígono.
Cómo encontrar el número de lados de un polígono regular
Cualquiera consta de un cierto número de segmentos iguales entre sí que, cuando se conectan, forman una línea cerrada. En este caso, todos los ángulos de la figura resultante tienen el mismo valor. Los polígonos se dividen en simples y complejos. El primer grupo incluye un triángulo y un cuadrado. Los polígonos complejos tienen más lados. Estos también incluyen figuras en forma de estrella. Para polígonos regulares complejos, los lados se encuentran inscribiéndolos en un círculo. Demos una prueba. Dibuja un polígono regular con un número arbitrario de lados n. Dibuja un círculo a su alrededor. Establece el radio R. Ahora imagina que te dan un n-gon. Si los puntos de sus ángulos se encuentran en el círculo y son iguales entre sí, entonces los lados se pueden encontrar usando la fórmula: a = 2R ∙ sinα: 2.
Calcular el número de lados de un triángulo regular inscrito
Un triángulo equilátero es un polígono regular. Se le aplican las mismas fórmulas que a un cuadrado y un n-gón. Un triángulo se considerará regular si sus lados tienen la misma longitud. En este caso, los ángulos son 60⁰. Construyamos un triángulo con una longitud de lado dada a. Conociendo su mediana y su altura, puedes encontrar el valor de sus lados. Para ello utilizaremos el método de hallar mediante la fórmula a = x: cosα, donde x es la mediana o altura. Como todos los lados del triángulo son iguales, obtenemos a = b = c. Entonces será verdadera la siguiente afirmación: a = b = c = x: cosα. De manera similar, puedes encontrar el valor de los lados en un triángulo isósceles, pero x será la altura dada. En este caso, conviene proyectarlo estrictamente sobre la base de la figura. Entonces, conociendo la altura x, encontramos el lado a del triángulo isósceles usando la fórmula a = b = x: cosα. Después de encontrar el valor de a, puedes calcular la longitud de la base c. Apliquemos el teorema de Pitágoras. Buscaremos el valor de la mitad de la base c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Entonces c = 2xtanα. De esta sencilla forma podrás encontrar el número de lados de cualquier polígono inscrito.
Calcular los lados de un cuadrado inscrito en un círculo
Como cualquier otro polígono regular inscrito, un cuadrado tiene lados y ángulos iguales. Se le aplican las mismas fórmulas que a un triángulo. Puedes calcular los lados de un cuadrado usando el valor de la diagonal. Consideremos este método con más detalle. Se sabe que una diagonal divide un ángulo por la mitad. Inicialmente su valor era de 90 grados. Así, después de la división, se forman dos. Sus ángulos en la base serán iguales a 45 grados. En consecuencia, cada lado del cuadrado será igual, es decir: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, donde e es la diagonal del cuadrado, o la base del triángulo rectángulo formado después división. Esta no es la única forma de encontrar los lados de un cuadrado. Inscribamos esta figura en un círculo. Conociendo el radio de este círculo R, encontramos el lado del cuadrado. Lo calcularemos de la siguiente manera: a4 = R√2. Los radios de los polígonos regulares se calculan mediante la fórmula R = a: 2tg (360 o: 2n), donde a es la longitud del lado.
Cómo calcular el perímetro de un n-gon
El perímetro de un n-gon es la suma de todos sus lados. Es fácil de calcular. Para hacer esto, necesita conocer el significado de todos los lados. Para algunos tipos de polígonos existen fórmulas especiales. Te permiten encontrar el perímetro mucho más rápido. Se sabe que todo polígono regular tiene lados iguales. Por tanto, para calcular su perímetro basta con conocer al menos uno de ellos. La fórmula dependerá del número de lados de la figura. En general, se ve así: P = an, donde a es el valor del lado y n es el número de ángulos. Por ejemplo, para encontrar el perímetro de un octágono regular con un lado de 3 cm, debes multiplicarlo por 8, es decir, P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Para un hexágono con un lado de 5 cm, calculamos. de la siguiente manera: P = 5 ∙ 6 = 30 cm y así para cada polígono.
Encontrar el perímetro de un paralelogramo, cuadrado y rombo
Dependiendo de cuántos lados tenga un polígono regular se calcula su perímetro. Esto facilita mucho la tarea. Efectivamente, a diferencia de otras figuras, en este caso no es necesario buscar todos sus lados, uno es suficiente. Usando el mismo principio, encontramos el perímetro de los cuadriláteros, es decir, un cuadrado y un rombo. A pesar de que se trata de figuras diferentes, la fórmula para ellas es la misma: P = 4a, donde a es el lado. Pongamos un ejemplo. Si el lado de un rombo o cuadrado mide 6 cm, entonces encontramos el perímetro de la siguiente manera: P = 4 ∙ 6 = 24 cm Para un paralelogramo, solo los lados opuestos son iguales. Por tanto, su perímetro se encuentra utilizando un método diferente. Entonces, necesitamos saber el largo a y el ancho b de la figura. Luego aplicamos la fórmula P = (a + b) ∙ 2. Un paralelogramo en el que todos los lados y ángulos entre ellos son iguales se llama rombo.
Encontrar el perímetro de un triángulo equilátero y rectángulo
El perímetro del correcto se puede encontrar usando la fórmula P = 3a, donde a es la longitud del lado. Si se desconoce, se puede encontrar a través de la mediana. En un triángulo rectángulo sólo dos lados tienen el mismo valor. La base se puede encontrar mediante el teorema de Pitágoras. Una vez conocidos los valores de los tres lados calculamos el perímetro. Se puede encontrar usando la fórmula P = a + b + c, donde a y b son lados iguales y c es la base. Recuerde que en un triángulo isósceles a = b = a, lo que significa a + b = 2a, entonces P = 2a + c. Por ejemplo, el lado de un triángulo isósceles mide 4 cm, encontremos su base y perímetro. Calculamos el valor de la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras con = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm. Ahora calcula el perímetro P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.
Cómo encontrar los ángulos de un polígono regular.
Un polígono regular aparece en nuestras vidas todos los días, por ejemplo, un cuadrado, un triángulo o un octágono regulares. Parecería que no hay nada más fácil que construir tú mismo esta figura. Pero esto sólo es sencillo a primera vista. Para construir cualquier n-gón, necesitas saber el valor de sus ángulos. ¿Pero cómo encontrarlos? Incluso los científicos antiguos intentaron construir polígonos regulares. Descubrieron cómo colocarlos en círculos. Y luego se marcaron los puntos necesarios y se conectaron con líneas rectas. Para figuras simples se resolvió el problema constructivo. Se obtuvieron fórmulas y teoremas. Por ejemplo, Euclides, en su famosa obra "Inception", se ocupó de la resolución de problemas de 3, 4, 5, 6 y 15 gónos. Encontró formas de construirlos y encontrar ángulos. Veamos cómo hacer esto para un 15 gon. Primero necesitas calcular la suma de sus ángulos interiores. Es necesario utilizar la fórmula S = 180⁰(n-2). Entonces, nos dan un góno de 15, lo que significa que el número n es 15. Sustituimos los datos que conocemos en la fórmula y obtenemos S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Encontramos la suma de todos los ángulos interiores de un góno de 15. Ahora necesitas obtener el valor de cada uno de ellos. Son 15 ángulos en total. Hacemos el cálculo 2340⁰: 15 = 156⁰. Esto significa que cada ángulo interno es igual a 156⁰, ahora usando una regla y un compás puedes construir un góndola regular de 15. Pero ¿qué pasa con los n-gons más complejos? Durante muchos siglos, los científicos han luchado por resolver este problema. Fue encontrado recién en el siglo XVIII por Carl Friedrich Gauss. Pudo construir un 65537-gon. Desde entonces, el problema se considera oficialmente resuelto por completo.
Cálculo de ángulos de n-gonos en radianes.
Por supuesto, hay varias formas de encontrar los ángulos de los polígonos. La mayoría de las veces se calculan en grados. Pero también se pueden expresar en radianes. ¿Cómo hacerlo? Debe proceder de la siguiente manera. Primero, averiguamos el número de lados de un polígono regular, luego le restamos 2. Esto significa que obtenemos el valor: n - 2. Multiplicamos la diferencia encontrada por el número n ("pi" = 3,14). Ahora solo queda dividir el producto resultante por el número de ángulos en el n-gón. Consideremos estos cálculos usando el mismo decágono como ejemplo. Entonces, el número n es 15. Apliquemos la fórmula S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Por supuesto, esta no es la única forma de calcular un ángulo en radianes. Simplemente puedes dividir el ángulo en grados por 57,3. Después de todo, esto es cuántos grados equivalen a un radianes.
Cálculo de ángulos en grados.
Además de los grados y radianes, puedes intentar encontrar los ángulos de un polígono regular en grados. Esto se hace de la siguiente manera. Resta 2 del número total de ángulos y divide la diferencia resultante por el número de lados de un polígono regular. Multiplicamos el resultado obtenido por 200. Por cierto, prácticamente no se utiliza una unidad de medida de ángulos como los grados.
Cálculo de ángulos externos de n-gonos.
Para cualquier polígono regular, además del interno, también puedes calcular el ángulo externo. Su valor se encuentra de la misma forma que para otras figuras. Entonces, para encontrar el ángulo externo de un polígono regular, necesitas saber el valor del ángulo interno. Además, sabemos que la suma de estos dos ángulos siempre es igual a 180 grados. Por tanto, hacemos los cálculos de la siguiente manera: 180⁰ menos el valor del ángulo interno. Encontramos la diferencia. Será igual al valor del ángulo adyacente a él. Por ejemplo, el ángulo interno de un cuadrado es de 90 grados, lo que significa que el ángulo externo será 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Como vemos, no es difícil de encontrar. El ángulo externo puede tomar un valor de +180⁰ a -180⁰, respectivamente.
En esta lección comenzaremos un nuevo tema e introduciremos un nuevo concepto para nosotros: "polígono". Veremos los conceptos básicos asociados con los polígonos: lados, ángulos de vértice, convexidad y no convexidad. Luego demostraremos los hechos más importantes, como el teorema de la suma de los ángulos internos de un polígono, el teorema de la suma de los ángulos externos de un polígono. Como resultado, nos acercaremos al estudio de casos especiales de polígonos, que se considerarán en lecciones posteriores.
Tema: Cuadriláteros
Lección: Polígonos
En el curso de geometría estudiamos las propiedades de las figuras geométricas y ya hemos examinado las más simples: triángulos y círculos. Al mismo tiempo, también discutimos casos especiales específicos de estas figuras, como los triángulos rectángulos, isósceles y regulares. Ahora es el momento de hablar de figuras más generales y complejas. polígonos.
Con un caso especial polígonos Ya lo sabemos: este es un triángulo (ver Fig. 1).
Arroz. 1. Triángulo
El propio nombre ya indica que se trata de una figura con tres ángulos. Por lo tanto, en polígono puede haber muchos de ellos, es decir Mas de tres. Por ejemplo, dibujemos un pentágono (ver Fig. 2), es decir figura con cinco esquinas.
Arroz. 2. Pentágono. Polígono convexo
Definición.Polígono- una figura que consta de varios puntos (más de dos) y el número correspondiente de segmentos que los conectan secuencialmente. Estos puntos se llaman picos polígono y los segmentos son fiestas. En este caso, no hay dos lados adyacentes que se encuentren en la misma línea recta y no se cruzan dos lados no adyacentes.
Definición.Polígono regular es un polígono convexo en el que todos los lados y ángulos son iguales.
Cualquier polígono Divide el plano en dos áreas: interna y externa. El área interna también se conoce como polígono.
Es decir, por ejemplo, cuando hablan de un pentágono se refieren tanto a toda su región interna como a su frontera. Y la región interna incluye todos los puntos que se encuentran dentro del polígono, es decir el punto también se refiere al pentágono (ver Fig. 2).
Los polígonos a veces también se denominan n-gonos para enfatizar que se considera el caso general de la presencia de un número desconocido de ángulos (n piezas).
Definición. Perímetro del polígono- la suma de las longitudes de los lados del polígono.
Ahora necesitamos familiarizarnos con los tipos de polígonos. Están divididos en convexo Y no convexo. Por ejemplo, el polígono que se muestra en la Fig. 2 es convexo, y en la Fig. 3 no convexos.
Arroz. 3. Polígono no convexo
Definición 1. Polígono llamado convexo, si al trazar una línea recta por cualquiera de sus lados, toda la polígono se encuentra sólo a un lado de esta línea recta. No convexo son todos los demás polígonos.
Es fácil imaginar que al extender cualquier lado del pentágono de la Fig. 2 estará todo a un lado de esta línea recta, es decir es convexo. Pero al trazar una línea recta que pasa por un cuadrilátero de la Fig. 3 ya vemos que lo divide en dos partes, es decir no es convexo.
Pero existe otra definición de convexidad de un polígono.
Definición 2. Polígono llamado convexo, si al elegir dos de sus puntos interiores cualesquiera y conectarlos con un segmento, todos los puntos del segmento son también puntos interiores del polígono.
Se puede ver una demostración del uso de esta definición en el ejemplo de construcción de segmentos en la Fig. 2 y 3.
Definición. Diagonal de un polígono es cualquier segmento que conecta dos vértices no adyacentes.
Para describir las propiedades de los polígonos, existen dos teoremas más importantes sobre sus ángulos: teorema sobre la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo Y teorema sobre la suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo. Mirémoslos.
Teorema. Sobre la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo (norte-gón).
¿Dónde está el número de sus ángulos (lados)?
Prueba 1. Representemos en la Fig. 4 n-gon convexo.
Arroz. 4. N-gon convexo
Desde el vértice trazamos todas las diagonales posibles. Dividen un n-gon en triángulos, porque cada uno de los lados del polígono forma un triángulo, excepto los lados adyacentes al vértice. Es fácil ver en la figura que la suma de los ángulos de todos estos triángulos será exactamente igual a la suma de los ángulos internos del n-gón. Dado que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es, entonces la suma de los ángulos internos de un n-gón es:
Q.E.D.
Prueba 2. Es posible otra prueba de este teorema. Dibujemos un n-gon similar en la Fig. 5 y conecta cualquiera de sus puntos interiores con todos los vértices.
Arroz. 5.
Hemos obtenido una partición del n-gón en n triángulos (tantos lados como triángulos hay). La suma de todos sus ángulos es igual a la suma de los ángulos interiores del polígono y la suma de los ángulos en el punto interior, y este es el ángulo. Tenemos:
Q.E.D.
Probado.
Según el teorema probado, está claro que la suma de los ángulos de un n-gón depende del número de sus lados (en n). Por ejemplo, en un triángulo, la suma de los ángulos es . En un cuadrilátero, y la suma de los ángulos es, etc.
Teorema. Sobre la suma de los ángulos externos de un polígono convexo (norte-gón).
Donde es el número de sus ángulos (lados), y ,…, son los ángulos externos.
Prueba. Representaremos un n-gon convexo en la Fig. 6 y designe sus ángulos internos y externos.
Arroz. 6. N-gon convexo con ángulos externos designados
Porque La esquina exterior está conectada a la interior como adyacente, luego 
y lo mismo para el resto de las esquinas exteriores. Entonces:
Durante las transformaciones utilizamos el teorema ya probado sobre la suma de los ángulos internos de un n-gón.
Probado.
Un hecho interesante se desprende del teorema probado de que la suma de los ángulos externos de un n-gon convexo es igual a 
sobre el número de sus ángulos (lados). Por cierto, a diferencia de la suma de ángulos internos.
Bibliografía
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- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometría, 8vo grado. - M.: Educación, 2011.
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Tarea
Tema: “Polígonos. Tipos de polígonos”.
Noveno grado
SHL No. 20
Profesor: Kharitonovich T.I. Objetivo de la lección: estudiar tipos de polígonos.
Tarea de aprendizaje: actualizar, ampliar y generalizar los conocimientos de los estudiantes sobre polígonos; formarse una idea de las “partes componentes” de un polígono; realizar un estudio del número de elementos constituyentes de polígonos regulares (desde un triángulo hasta un n-gón);
Tarea de desarrollo: desarrollar la capacidad de analizar, comparar, sacar conclusiones, desarrollar habilidades computacionales, habla matemática oral y escrita, memoria, así como independencia en las actividades de pensamiento y aprendizaje, la capacidad de trabajar en parejas y grupos; desarrollar actividades de investigación y educación;
Tarea educativa: cultivar la independencia, la actividad, la responsabilidad por el trabajo asignado, la perseverancia en la consecución de la meta.
Equipo: pizarra interactiva (presentación)
durante las clases
Presentación que muestra: “Polígonos”
“La naturaleza habla el lenguaje de las matemáticas, las letras de este lenguaje... figuras matemáticas”. G.Galliley
Al comienzo de la lección, la clase se divide en grupos de trabajo (en nuestro caso, divididos en 3 grupos)
1.Etapa de llamada-
a) actualizar los conocimientos de los estudiantes sobre el tema;
b) despertar el interés por el tema que se estudia, motivando a cada alumno para las actividades educativas.
Técnica: Juego “¿Crees que…”, organización del trabajo con texto.
Formas de trabajo: frontal, grupal.
"Crees eso..."
1. ... ¿la palabra “polígono” indica que todas las figuras de esta familia tienen “muchos ángulos”?
2. ... ¿Pertenece un triángulo a una gran familia de polígonos, que se distinguen entre la variedad de diferentes formas geométricas en un plano?
3. ... ¿un cuadrado es un octágono regular (cuatro lados + cuatro esquinas)?
Hoy en la lección hablaremos de polígonos. Aprendemos que esta figura está limitada por una línea discontinua cerrada, que a su vez puede ser simple, cerrada. Hablemos del hecho de que los polígonos pueden ser planos, regulares o convexos. Uno de los polígonos planos es un triángulo, con el que usted está familiarizado desde hace mucho tiempo (puede mostrar a los estudiantes carteles que representan polígonos, una línea discontinua, mostrar sus diferentes tipos, también puede usar TSO).
2. Etapa de concepción
Objetivo: obtener nueva información, comprenderla, seleccionarla.
Técnica: zigzag.
Formas de trabajo: individual->pareja->grupo.
A cada miembro del grupo se le entrega un texto sobre el tema de la lección, y el texto se compila de tal manera que incluya tanto información ya conocida por los estudiantes como información completamente nueva. Junto con el texto, los estudiantes reciben preguntas cuyas respuestas deben encontrarse en este texto.
Polígonos. Tipos de polígonos.
¿Quién no ha oído hablar del misterioso Triángulo de las Bermudas, en el que barcos y aviones desaparecen sin dejar rastro? Pero el triángulo, que nos es familiar desde la infancia, está plagado de muchas cosas interesantes y misteriosas.
Además de los tipos de triángulos que ya conocemos, divididos por lados (escaleno, isósceles, equilátero) y ángulos (agudo, obtuso, rectangular), el triángulo pertenece a una gran familia de polígonos, que se distinguen entre muchas formas geométricas diferentes en el avión.
La palabra "polígono" indica que todas las figuras de esta familia tienen "muchos ángulos". Pero esto no basta para caracterizar la figura.
Una recta discontinua A1A2...An es una figura que consta de los puntos A1,A2,...An y los segmentos A1A2, A2A3,... que los conectan. Los puntos se denominan vértices de la polilínea y los segmentos se denominan enlaces de la polilínea. (FIGURA 1)
Una línea discontinua se llama simple si no tiene intersecciones (Fig. 2, 3).
Una polilínea se dice cerrada si sus extremos coinciden. La longitud de una línea discontinua es la suma de las longitudes de sus eslabones (Fig.4)
Una línea discontinua cerrada simple se llama polígono si sus enlaces vecinos no se encuentran en la misma línea recta (Fig. 5).
Sustituye un número específico, por ejemplo 3, en la palabra "polígono" en lugar de la parte "muchos". Obtendrás un triángulo. O 5. Entonces - un pentágono. Fíjate que, cuantos ángulos hay, tantos lados hay, por lo que estas figuras bien podrían denominarse poliláteras.
Los vértices de la línea discontinua se llaman vértices del polígono y los enlaces de la línea discontinua se llaman lados del polígono.
El polígono divide el plano en dos áreas: interna y externa (Fig. 6).
Un polígono plano o área poligonal es la parte finita de un plano delimitado por un polígono.
Dos vértices de un polígono que son extremos de un lado se llaman adyacentes. Los vértices que no son extremos de un lado no son vecinos.
Un polígono con n vértices y, por tanto, n lados, se llama n-gón.
Aunque el menor número de lados de un polígono es 3. Pero los triángulos, cuando se conectan entre sí, pueden formar otras figuras, que a su vez también son polígonos.
Los segmentos que conectan vértices no adyacentes de un polígono se llaman diagonales.
Un polígono se llama convexo si se encuentra en el mismo semiplano con respecto a cualquier recta que contenga su lado. En este caso, se considera que la propia recta pertenece al MEDIO PLANO.
El ángulo de un polígono convexo en un vértice dado es el ángulo formado por sus lados que convergen en este vértice.
Demostremos el teorema (sobre la suma de los ángulos de un n-gón convexo): La suma de los ángulos de un n-gón convexo es igual a 1800*(n - 2).
Prueba. En el caso n=3 el teorema es válido. Sea A1A2...A n un polígono convexo dado y n>3. Dibujemos diagonales en él (desde un vértice). Como el polígono es convexo, estas diagonales lo dividen en n – 2 triángulos. La suma de los ángulos de un polígono es la suma de los ángulos de todos estos triángulos. La suma de los ángulos de cada triángulo es 1800, y el número de estos triángulos n es 2. Por lo tanto, la suma de los ángulos del triángulo convexo n A1A2...A n es 1800* (n - 2). El teorema ha sido demostrado.
El ángulo exterior de un polígono convexo en un vértice dado es el ángulo adyacente al ángulo interior del polígono en este vértice.
Un polígono convexo se llama regular si todos sus lados son iguales y todos sus ángulos son iguales.
Entonces el cuadrado se puede llamar de otra manera: un cuadrilátero regular. Los triángulos equiláteros también son regulares. Estas figuras han despertado durante mucho tiempo el interés de los artesanos que decoraban los edificios. Hicieron bonitos diseños, por ejemplo sobre parquet. Pero no todos los polígonos regulares podrían utilizarse para fabricar parquet. El parquet no se puede fabricar a partir de octágonos regulares. El hecho es que cada ángulo es igual a 1350. Y si algún punto es el vértice de dos de esos octágonos, entonces su parte será 2700, y no hay lugar para que quepa el tercer octágono allí: 3600 - 2700 = 900. Pero para un cuadrado esto es suficiente. Por lo tanto, puedes hacer parquet a partir de octágonos y cuadrados regulares.
Las estrellas también son correctas. Nuestra estrella de cinco puntas es una estrella pentagonal regular. Y si giras el cuadrado 450 alrededor del centro, obtienes una estrella octogonal regular.
¿Qué es una línea quebrada? Explica qué son los vértices y enlaces de una polilínea.
¿Qué línea discontinua se llama simple?
¿Qué línea discontinua se llama cerrada?
¿Cómo se llama un polígono? ¿Cómo se llaman los vértices de un polígono? ¿Cómo se llaman los lados de un polígono?
¿Qué polígono se llama plano? Da ejemplos de polígonos.
¿Qué es n – cuadrado?
Explica qué vértices de un polígono son adyacentes y cuáles no.
¿Cuál es la diagonal de un polígono?
¿Qué polígono se llama convexo?
Explica qué ángulos de un polígono son externos y cuáles son internos.
¿Qué polígono se llama regular? Da ejemplos de polígonos regulares.
¿Cuál es la suma de los ángulos de un n-gón convexo? Pruébalo.
Los estudiantes trabajan con el texto, buscan respuestas a las preguntas planteadas, luego de lo cual se forman grupos de expertos, en los que se trabaja sobre los mismos temas: los estudiantes resaltan los puntos principales, elaboran un resumen de apoyo y presentan información en uno de las formas gráficas. Al finalizar el trabajo, los estudiantes regresan a sus grupos de trabajo.
3. Etapa de reflexión -
a) evaluación del propio conocimiento, desafío al siguiente paso de conocimiento;
b) comprensión y apropiación de la información recibida.
Recepción: trabajo de investigación.
Formas de trabajo: individual->pareja->grupo.
Los grupos de trabajo incluyen especialistas en responder cada apartado de las preguntas propuestas.
Al regresar al grupo de trabajo, el experto presenta las respuestas a sus preguntas a los demás miembros del grupo. El grupo intercambia información entre todos los miembros del grupo de trabajo. Así, en cada grupo de trabajo, gracias al trabajo de expertos, se forma una comprensión general del tema en estudio.
Trabajo de investigación de estudiantes.– completando la tabla.
Polígonos regulares Dibujo Número de lados Número de vértices Suma de todos los ángulos internos Grado medida interna. ángulo Grados medida del ángulo externo Número de diagonales
Un triángulo
b) cuadrilátero
B) cinco hoyos
D) hexágono
D) n-gon
Resolver problemas interesantes sobre el tema de la lección.
1) ¿Cuántos lados tiene un polígono regular, cada uno de cuyos ángulos interiores mide 1350?
2) En un determinado polígono, todos los ángulos interiores son iguales entre sí. ¿La suma de los ángulos interiores de este polígono puede ser: 3600, 3800?
3) ¿Es posible construir un pentágono con ángulos de 100,103,110,110,116 grados?
Resumiendo la lección.
Grabación de tarea: PÁGINA 66-72 No. 15,17 Y TAREA: EN UN CUADRIÁGONO, DIBUJAR UNA LÍNEA RECTA PARA QUE LA DIVIDE EN TRES TRIÁNGULOS.
Reflexión en forma de pruebas (en la pizarra interactiva)
La parte del plano delimitada por una línea discontinua cerrada se llama polígono.
Los segmentos de esta línea discontinua se llaman fiestas polígono. AB, BC, CD, DE, EA (Fig. 1) son los lados del polígono ABCDE. La suma de todos los lados de un polígono se llama perímetro.
El polígono se llama convexo, si está situado a un lado de cualquiera de sus lados, extendido indefinidamente más allá de ambos vértices.
El polígono MNPKO (Fig. 1) no será convexo, ya que está ubicado en más de un lado de la línea recta KR.
Sólo consideraremos polígonos convexos.
Los ángulos formados por dos lados adyacentes de un polígono se llaman interno esquinas, y sus cimas son vértices del polígono.
Un segmento de línea recta que conecta dos vértices no adyacentes de un polígono se llama diagonal del polígono.
AC, AD: diagonales del polígono (Fig. 2).
Los ángulos adyacentes a los ángulos interiores de un polígono se denominan ángulos exteriores del polígono (Fig. 3).
Dependiendo del número de ángulos (lados), el polígono se llama triángulo, cuadrilátero, pentágono, etc.
Se dice que dos polígonos son congruentes si se pueden unir superponiéndolos.
Polígonos inscritos y circunscritos
Si todos los vértices de un polígono se encuentran en una circunferencia, entonces el polígono se llama inscrito en un círculo, y el círculo - descrito cerca del polígono (fig).
Si todos los lados de un polígono son tangentes a una circunferencia, entonces el polígono se llama descrito sobre un círculo, y el círculo se llama inscrito en un polígono (Fig.).
Similitud de polígonos
Dos polígonos del mismo nombre se llaman similares si los ángulos de uno de ellos son respectivamente iguales a los ángulos del otro y los lados similares de los polígonos son proporcionales.
Los polígonos con el mismo número de lados (ángulos) se llaman polígonos del mismo nombre.
Los lados de polígonos similares que conectan los vértices de ángulos correspondientemente iguales se llaman similares (Fig.
Así, por ejemplo, para que el polígono ABCDE sea similar al polígono A'B'C'D'E', es necesario que: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' y, además, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .
Relación de perímetros de polígonos similares
Primero, considere la propiedad de una serie de razones iguales. Tengamos, por ejemplo, las siguientes razones: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 = 2.
Encontremos la suma de los términos anteriores de estas relaciones, luego la suma de sus términos posteriores y encontremos la razón de las sumas resultantes, obtenemos:
$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$
Obtenemos lo mismo si tomamos una serie de algunas otras relaciones, por ejemplo: 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 2/3 Encontremos la suma de los términos anteriores de estas relaciones y la suma de las siguientes, y luego encontramos la razón de estas sumas, obtenemos:
$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$
En ambos casos, la suma de los miembros anteriores de una serie de relaciones iguales se relaciona con la suma de los miembros posteriores de la misma serie, así como el miembro anterior de cualquiera de estas relaciones se relaciona con el siguiente.
Derivamos esta propiedad considerando varios ejemplos numéricos. Puede derivarse de forma estricta y general.
Ahora considere la razón de los perímetros de polígonos similares.
Sea el polígono ABCDE similar al polígono A'B'C'D'E' (Fig.
De la similitud de estos polígonos se deduce que
AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’ = DE / D’E’ = EA / E’A’
Con base en la propiedad que derivamos para una serie de razones iguales, podemos escribir:
La suma de los términos anteriores de las relaciones que hemos tomado representa el perímetro del primer polígono (P), y la suma de los términos posteriores de estas relaciones representa el perímetro del segundo polígono (P'), lo que significa P / P ' = AB/A'B'.
Por eso, Los perímetros de polígonos semejantes están relacionados con sus lados semejantes.
Relación de áreas de polígonos similares
Sean ABCDE y A'B'C'D'E' polígonos similares (Fig.
Se sabe que ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' y ΔADE ~ ΔA'D'E'.
Además,
;
Dado que las segundas razones de estas proporciones son iguales, lo que se desprende de la similitud de los polígonos, entonces
Usando la propiedad de una serie de razones iguales obtenemos:
O 
donde S y S’ son las áreas de estos polígonos similares.
Por eso, Las áreas de polígonos semejantes se relacionan como los cuadrados de lados semejantes.
La fórmula resultante se puede convertir a esta forma: S / S’ = (AB / A’B’) 2
Área de un polígono arbitrario
Sea necesario calcular el área de un cuadrilátero arbitrario ABC (Fig.).
Dibujemos una diagonal en él, por ejemplo AD. Obtenemos dos triángulos ABD y ACD, cuyas áreas podemos calcular. Luego encontramos la suma de las áreas de estos triángulos. La suma resultante expresará el área de este cuadrilátero.
Si necesitas calcular el área de un pentágono, hacemos lo mismo: dibujamos diagonales desde uno de los vértices. Obtenemos tres triángulos, cuyas áreas podemos calcular. Esto significa que podemos encontrar el área de este pentágono. Hacemos lo mismo al calcular el área de cualquier polígono.
Área proyectada de un polígono
Recordemos que el ángulo entre una recta y un plano es el ángulo entre una recta dada y su proyección sobre el plano (Fig.).
Teorema. El área de la proyección ortogonal de un polígono sobre un plano es igual al área del polígono proyectado multiplicada por el coseno del ángulo formado por el plano del polígono y el plano de proyección.
Cada polígono se puede dividir en triángulos cuya suma de áreas sea igual al área del polígono. Por tanto, basta con demostrar el teorema de un triángulo.
Dejemos que ΔАВС se proyecte sobre el avión. R. Consideremos dos casos:
a) uno de los lados ΔABC es paralelo al plano R;
b) ninguno de los lados ΔABC es paralelo R.
Consideremos primer caso: sea [AB] || R.
Dibujemos un plano que pase por (AB) R 1 || R y proyectar ortogonalmente ΔАВС en R 1 y en adelante R(arroz.); obtenemos ΔАВС 1 y ΔА'В'С'.
Por la propiedad de proyección tenemos ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С', y por tanto
S Δ ABC1 = S Δ A'B'C'
Dibujemos ⊥ y el segmento D 1 C 1 . Entonces ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ es el valor del ángulo entre el plano ΔABC y el plano R 1 . Es por eso
S Δ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C1D1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ
y por tanto S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.
Pasemos a considerar segundo caso. Dibujemos un avión R 1 || R a través de ese vértice ΔАВС, la distancia desde la cual al avión R el más pequeño (sea este el vértice A).
Proyectemos ΔАВС en el avión. R 1 y R(arroz.); sean sus proyecciones ΔАВ 1 С 1 y ΔА'В'С', respectivamente.
Sea (BC) ∩ pag 1 = D. Entonces
S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ
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