Trinomio cuadrado. Factorizar un trinomio cuadrático

Desarrollo lección abierta

álgebra en octavo grado

sobre el tema: “Trinomio cuadrado. Descomposición trinomio cuadrático por multiplicadores."

Profesor de matemáticas, Escuela Secundaria No. 16 de KSU, Karaganda

Bekenova G.M.

Karagandá 2015

"Las matemáticas no se aprenden mediante la observación".

Larry Niven - profesor de matemáticas

Tema de la lección:

Trinomio cuadrado.

Factorizar un trinomio cuadrático.

Objetivos de la lección:

1. Lograr la práctica y aplicación exitosa de conocimientos por parte de todos los estudiantes de la clase al factorizar un trinomio cuadrático.

2. Promover: a) el desarrollo del autocontrol y el autoaprendizaje,

b) capacidad de uso tablero interactivo,

c) desarrollo alfabetización matemática, pulcritud.

3. Desarrollar la capacidad de expresar los pensamientos de manera competente y concisa, ser tolerante con el punto de vista de los compañeros y recibir satisfacción por los resultados obtenidos.

Tipo de lección: lección combinada con diferenciada y enfoque individual, con elementos de desarrollo y formación avanzada.

Ubicación de la lección: la tercera lección sobre este tema (principal), en las dos primeras, los estudiantes aprendieron la definición de un trinomio cuadrático, aprendieron a encontrar sus raíces, se familiarizaron con el algoritmo para factorizar un trinomio cuadrático y esto les ayudará en el futuro. resolviendo ecuaciones, fracciones reductoras, transformación de expresiones algebraicas.

Estructura de la lección:

1 Actualización de conocimientos con enfoque diferenciado a los estudiantes.

2 El control es la autoevaluación de los conocimientos previamente adquiridos.

3 La presentación de material nuevo es en parte un método de búsqueda.

4 Consolidación primaria de lo aprendido, enfoque individualmente diferenciado.

5 Comprensión, generalización del conocimiento.

6 Establecer tareas mediante el aprendizaje basado en problemas.

Equipo: pizarra interactiva, pizarra normal, tarjetas de tareas, libro de texto de Álgebra 8, papel para copiar y hojas en blanco, símbolos de fisonomía.

durante las clases

Organizar el tiempo (1 minuto).

1. Saludar a los estudiantes; comprobar su preparación para la lección.

2. Comunicar el propósito de la lección.

Etapa I.

“La repetición es la madre del aprendizaje”.

1. Revisar la tarea. N° 476 (b,d), N° 474, N° 475

2. Trabajo individual en tarjetas (4 personas) (durante la revisión de la tarea) (5 minutos)

Etapa II.

"Confía pero comprueba"

Pruebe el trabajo con autocontrol.

Trabajo de prueba (mediante papel carbón) con autocomprobación.

Opción 1 m II opción

1) 2)

2. Factoriza el trinomio cuadrático:

Respuestas

A trabajo de prueba

"Confía pero comprueba".

1. Encuentra las raíces del trinomio cuadrático:

І opción ІІ variación nortet

2. Factoriza el trinomio cuadrático:

1) (X-3) (X+5); 1) (X+9) (X-7)

2) 9X (X-14); 2) 8X(X-16);

3) 4 (X-6) (X+6). 3) 7 (X-3) (X+3).

Algunas respuestas sorprendentes a tener en cuenta.

Pregunta para estudiantes:

¿Dónde crees que podemos aplicar la factorización de un trinomio cuadrático?

Correcto: al resolver ecuaciones,

al reducir fracciones,

en la transformación de expresiones algebraicas.

Etapa III

” La habilidad y el trabajo lo destruirán todo”.(10 minutos)

1. Considere el uso de factorizar un trinomio cuadrático al reducir fracciones. Los estudiantes trabajan en la pizarra.

Reducir fracción:

2. Ahora consideremos el uso de factorizar un trinomio cuadrático en transformaciones de expresiones algebraicas.

Libro de texto. Álgebra 8. pág. 126 núm. 570 (b)

Ahora muestra cómo se utiliza la factorización de un trinomio cuadrático.

Etapa IV

"¡Golpea mientras el hierro esté caliente!"

Trabajo independiente (13 minutos)

Opción I Opción 1

Reducir fracción:

5. Me di cuenta de que…….

6. Ahora puedo…….

7. Sentí que…..

8. Compré….

9. Aprendí…….

10. Lo hice………

11.Pude….

12. Lo intentaré...

13. Me sorprendió…..

14. Me dio una lección para la vida….

15. Yo quería….

Información sobre tarea: lleva tu tarea a la siguiente lección Trabajo independiente que recibimos hace una semana.

Trabajo independiente en casa.

Opción I Opción 1

№ 560 (a,c) N° 560 (b,d)

№ 564(a,c) N° 564(b,d)

№ 566 (a) Núm. 566 (b)

№ 569 a) Núm. 569 b)

№ 571 (a,c) N° 571 (b,d)

La lección ha terminado.

Factorizar un trinomio cuadrático puede ser útil al resolver desigualdades del problema C3 o del problema con el parámetro C5. También muchos problemas de palabras B13 se resolverá mucho más rápido si conoces el teorema de Vieta.

Este teorema, por supuesto, puede considerarse desde la perspectiva del octavo grado, en el que se enseña por primera vez. Pero nuestra tarea es prepararnos bien para el Examen Estatal Unificado y aprender a resolver las tareas del examen de la manera más eficiente posible. Por lo tanto, esta lección considera un enfoque ligeramente diferente al escolar.

Fórmula para las raíces de la ecuación usando el teorema de Vieta Mucha gente sabe (o al menos ha visto):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

donde `a, b` y `c` son los coeficientes del trinomio cuadrático `ax^2+bx+c`.

Para aprender a utilizar fácilmente el teorema, comprendamos de dónde viene (esto hará que sea más fácil de recordar).

Tengamos la ecuación `ax^2+ bx+ c = 0`. Para mayor comodidad, divídalo por `a` y obtenga `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. tal ecuación se llama ecuación cuadrática reducida.

Idea importante de la lección: cualquier polinomio cuadrático que tenga raíces se puede expandir entre paréntesis. Supongamos que el nuestro se puede representar como `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, donde `k` y ` l` - algunas constantes.

Veamos cómo se abren los corchetes:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Por lo tanto, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Esto es ligeramente diferente de la interpretación clásica. teorema de vieta- en él buscamos las raíces de la ecuación. Propongo buscar términos para descomposición del paréntesis- de esta manera no necesitas recordar el menos de la fórmula (que significa `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Basta con seleccionar dos de esos números, cuya suma sea igual al coeficiente promedio y el producto sea igual al término libre.

Si necesitamos una solución a la ecuación, entonces es obvio: las raíces `x=-k` o `x=-l` (ya que en estos casos uno de los corchetes será cero, lo que significa que toda la expresión será cero ).

Te mostraré el algoritmo como ejemplo: Cómo expandir un polinomio cuadrático entre paréntesis.

Ejemplo uno. Algoritmo para factorizar un trinomio cuadrático

El camino que tenemos es un trinomio de cuadrante `x^2+5x+4`.

Se reduce (coeficiente `x^2` igual a uno). Tiene raíces. (Sin duda, puede estimar el discriminante y asegurarse de que sea mayor que cero).

Pasos adicionales (debe aprenderlos después de completar todos tareas de entrenamiento):

Escribe lo siguiente: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Deja los puntos en su lugar lugar libre, agregaremos allí números y signos adecuados.
Ver todo opciones posibles, ¿cómo se puede descomponer el número "4" en el producto de dos números? Obtenemos pares de "candidatos" para las raíces de la ecuación: "2, 2" y "1, 4".
Averigua de qué par puedes obtener el coeficiente promedio. Obviamente es "1, 4".
Escribe $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
El siguiente paso es colocar carteles delante de los números insertados.
¿Cómo entender y recordar para siempre qué signos deben aparecer antes de los números entre paréntesis? Intente abrirlos (paréntesis). El coeficiente antes de "x" a la primera potencia será "(± 4 ± 1)" (aún no conocemos los signos, tenemos que elegir), y debería ser igual a "5". Obviamente, habrá dos ventajas $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Realice esta operación varias veces (¡hola, tareas de entrenamiento!) y mas problemas esto nunca sucederá.

Si necesitas resolver la ecuación `x^2+5x+4`, ahora resolverla no será difícil. Sus raíces son `-4, -1`.

Ejemplo dos. Factorización de un trinomio cuadrático con coeficientes de diferentes signos

Necesitamos resolver la ecuación `x^2-x-2=0`. De improviso, el discriminante es positivo.

Seguimos el algoritmo.

$$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
Sólo hay una factorización de dos en factores enteros: `2 · 1`.
Nos saltamos el punto: no hay nada para elegir.
$$x^2-x-2=(x \cuadrado 2) (x \cuadrado 1).$$
El producto de nuestros números es negativo (`-2` es el término libre), lo que significa que uno de ellos será negativo y el otro será positivo.
Dado que su suma es igual a `-1` (el coeficiente de `x`), entonces `2` será negativo (la explicación intuitiva es que dos es el mayor de los dos números, "tirará" con más fuerza hacia lado negativo). Obtenemos $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Tercer ejemplo. Factorizar un trinomio cuadrático

La ecuación es `x^2+5x -84 = 0`.

$$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
Descomposición de 84 en factores enteros: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
Como necesitamos que la diferencia (o suma) de los números sea 5, el par "7, 12" es adecuado.
$$x+ 5x-84=(x\cuadrado 12) (x\cuadrado 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Esperanza, expansión de este trinomio cuadrático entre paréntesis Está vacío.

Si necesita una solución a una ecuación, aquí la tiene: `12, -7`.

Tareas de entrenamiento

Les traigo algunos ejemplos que son fáciles de se resuelven utilizando el teorema de Vieta.(Ejemplos tomados de la revista "Matemáticas", 2002.)

`x^2+x-2=0`
`x^2-x-2=0`
`x^2+x-6=0`
`x^2-x-6=0`
`x^2+x-12=0`
`x^2-x-12=0`
`x^2+x-20=0`
`x^2-x-20=0`
`x^2+x-42=0`
`x^2-x-42=0`
`x^2+x-56=0`
`x^2-x-56=0`
`x^2+x-72=0`
`x^2-x-72=0`
`x^2+x-110=0`
`x^2-x-110=0`
`x^2+x-420=0`
`x^2-x-420=0`

Un par de años después de escribir el artículo, apareció una colección de 150 tareas de descomposición. polinomio cuadrático por el teorema de Vieta.

¡Me gusta y haz preguntas en los comentarios!

Trinomio cuadrado se llama polinomio de la forma hacha 2 +bx +C, Dónde X- variable, a,b,C– algunos números y un ≠ 0.

Coeficiente A llamado coeficiente senior, C – miembro gratuito trinomio cuadrado.

Ejemplos de trinomios cuadráticos:

2 x2 + 5x+4(Aquí a = 2, b = 5, C = 4)

x2 – 7x + 5(Aquí a = 1, b = -7, C = 5)

9x 2 + 9x – 9(Aquí a = 9, b = 9, C = -9)

Coeficiente b o coeficiente C o ambos coeficientes pueden ser iguales a cero al mismo tiempo. Por ejemplo:

5 x2 + 3X(Aquía = 5,segundo = 3,c = 0, por lo que no hay ningún valor para c en la ecuación).

6x 2 – 8 (Aquía = 6, b = 0, c = -8)

2x2(Aquía = 2, b = 0, c = 0)

El valor de la variable en la que el polinomio desaparece se llama raíz del polinomio.

Encontrar las raíces de un trinomio cuadrático.hacha 2 + bx + C, necesitamos igualarlo a cero -
es decir, resolver la ecuación cuadráticahacha 2 + bx + c = 0 (ver sección "Ecuación cuadrática").

Factorizar un trinomio cuadrático

Ejemplo:

Factoricemos el trinomio 2 X 2 + 7x – 4.

Vemos: coeficiente A = 2.

Ahora encontremos las raíces del trinomio. Para ello lo igualamos a cero y resolvemos la ecuación

2X 2 + 7x – 4 = 0.

Cómo resolver una ecuación de este tipo: consulte la sección “Fórmulas de las raíces de una ecuación cuadrática”. Discriminante." Aquí indicaremos inmediatamente el resultado de los cálculos. Nuestro trinomio tiene dos raíces:

x1 = 1/2, x2 = –4.

Sustituyamos los valores de las raíces en nuestra fórmula, sacando de paréntesis el valor del coeficiente A, y obtenemos:

2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

El resultado obtenido se puede escribir de otra manera multiplicando el coeficiente 2 por el binomio X – 1/2:

2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

El problema está resuelto: se factoriza el trinomio.

Esta expansión se puede obtener para cualquier trinomio cuadrático que tenga raíces.

¡ATENCIÓN!

Si el discriminante de un trinomio cuadrático igual a cero, entonces este trinomio tiene una raíz, pero al expandir el trinomio, esta raíz se toma como el valor de dos raíces, es decir, como el mismo valor. X 1 yX 2 .

Por ejemplo, un trinomio tiene una raíz igual a 3. Entonces x 1 = 3, x 2 = 3.

Un trinomio cuadrado es un polinomio de la forma ax^2+bx+c, donde x es una variable, a, byc son algunos números y a no es igual a cero.
En realidad, lo primero que necesitamos saber para factorizar el desafortunado trinomio es el teorema. Se ve así: "Si x1 y x2 son las raíces del trinomio cuadrado ax^2+bx+c, entonces ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)". Por supuesto, hay una demostración de este teorema, pero requiere algo de conocimientos teóricos(cuando sacamos el factor a en el polinomio ax^2+bx+c obtenemos ax^2+bx+c=a(x^2+(b/a)x + c/a). Según el teorema de Viette x1 +x2= -(b/a), x1*x2=c/a, por lo tanto b/a=-(x1+x2), c/a=x1*x2 significa x^2+ (b/a)x+c /. a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)-x2(x-x1)= (x-x1)(x-x2 significa ), ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) . A veces los profesores te obligan a aprender la prueba, pero si no es necesario, te aconsejo que simplemente memorices la fórmula final.

Paso 2

Tomemos como ejemplo el trinomio 3x^2-24x+21. Lo primero que debemos hacer es igualar el trinomio a cero: 3x^2-24x+21=0. Las raíces de la ecuación cuadrática resultante serán las raíces del trinomio, respectivamente.

Paso 3

Resolvamos la ecuación 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Entonces, decidamos. Quien no sabe decidir ecuaciones cuadráticas, mira mis instrucciones con 2 formas de resolverlas usando el ejemplo de la misma ecuación. Las raíces resultantes son x1=7, x2=1.

Etapa 4

Ahora que tenemos las raíces del trinomio, podemos sustituirlas con seguridad en la fórmula =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
obtenemos: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Puedes deshacerte del término a poniéndolo entre paréntesis: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
como resultado obtenemos: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Nota: cada uno de los factores resultantes ((x-7), (3x-3) son polinomios de primer grado. Eso es todo el desarrollo =) Si dudas de la respuesta recibida, siempre puedes comprobarla multiplicando los paréntesis.

Paso 5

Comprobando la solución. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. ¡Ahora sabemos con certeza que nuestra decisión es correcta! Espero que mis instrucciones ayuden a alguien =) ¡Buena suerte con tus estudios!

En nuestro caso, en la ecuación D > 0 y obtuvimos 2 raíces. Si hubiera una D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
Si un trinomio cuadrado no tiene raíces, entonces no se puede factorizar, que son polinomios de primer grado.