− Profesor Dumbadze V.A.
de la escuela 162 del distrito Kirov de San Petersburgo.

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Aplicaciones móviles:

(Dónde incógnita t- tiempo en segundos medido desde el inicio del movimiento). Encuentre su velocidad (en m/s) en el momento del tiempo. t= 9 s.

En t= 9 s tenemos:

¿Por qué omitimos el número 17 de la ecuación original?

Encuentra la derivada de la función original.

no hay el número 17 en la derivada

¿Por qué encontrar la derivada?

La velocidad es la derivada de una coordenada con respecto al tiempo.

El problema te pide encontrar la velocidad.

incógnita- distancia desde el punto de referencia en metros, t- tiempo en segundos medido desde el inicio del movimiento). Encuentre su velocidad en (m/s) en el momento del tiempo. t= 6 s.

Encontremos la ley del cambio de velocidad:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16, no 20

recuerda el procedimiento

¿Desde cuándo es preferible la suma a la resta?

La multiplicación tiene prioridad sobre la suma y la resta. Recuerde el ejemplo de la escuela infantil: 2 + 2 · 2. Permítanme recordarles que aquí no resulta 8, como algunos piensan, sino 6.

No entendiste la respuesta del invitado.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Entonces todo está correcto, haz los cálculos tú mismo.

2) multiplicación/división (depende del orden en la ecuación; lo que viene primero se resuelve primero);

3) suma/resta (de manera similar, depende del orden en el ejemplo).

Multiplicación = división, suma = resta =>

No 54 - (36+2), sino 54-36+2 = 54+2-36 = 20

En primer lugar, para usted: Sergei Batkovich. En segundo lugar, ¿comprendió lo que quería decir y a quién? No te entendí.

Un punto material se mueve rectilíneamente según la ley (donde x es la distancia desde el punto de referencia en metros, t es el tiempo en segundos medido desde el inicio del movimiento). Encuentre su velocidad en (m/s) en el tiempo s.

Encontremos la ley del cambio de velocidad: m/s. Cuando tenemos:

Lección sobre el tema: “Reglas de diferenciación”, 11º grado.

Secciones: Matemáticas

tipo de lección: generalización y sistematización del conocimiento.

Objetivos de la lección:

educativo:
- generalizar y sistematizar el material sobre el tema de la búsqueda de la derivada;
- consolidar las reglas de diferenciación;
- revelar a los estudiantes la importancia politécnica y aplicada del tema;
desarrollo:
- ejercer control sobre la adquisición de conocimientos y habilidades;
- desarrollar y mejorar la capacidad de aplicar conocimientos en una situación modificada;
- desarrollar una cultura del habla y la capacidad de sacar conclusiones y generalizar;
educativo:
- desarrollar el proceso cognitivo;
- Inculcar en los estudiantes precisión en el diseño y determinación.

Equipo:

retroproyector, pantalla;
tarjetas;
computadoras;
mesa;
Tareas diferenciadas en forma de presentaciones multimedia.

I. Revisar la tarea.

1. Escuche los informes de los estudiantes sobre ejemplos del uso de derivados.

2. Considere ejemplos del uso de derivados en física, química, ingeniería y otros campos propuestos por los estudiantes.

II. Actualización de conocimientos.

Maestro:

Definir la derivada de una función.
¿Qué operación se llama diferenciación?
¿Qué reglas de diferenciación se utilizan al calcular la derivada? (Se invita a los estudiantes buscados a venir a la junta directiva).
- derivada de la suma;
- derivada de la obra;
- derivada que contiene un factor constante;
- derivada de cociente;
- derivada de una función compleja;
Dé ejemplos de problemas aplicados que conduzcan al concepto de derivada.

Una serie de problemas particulares de diversos campos de la ciencia.

Tarea número 1. El cuerpo se mueve en línea recta según la ley x(t). Escribe la fórmula para encontrar la velocidad y la aceleración de un cuerpo en el tiempo t.

Tarea número 2. El radio del círculo R varía según la ley R = 4 + 2t 2. Determine la velocidad a la que cambia su área. V momento t = 2 s. El radio de un círculo se mide en centímetros. Respuesta: 603 cm 2 /s.

Tarea número 3. Un punto material con una masa de 5 kg se mueve rectilíneamente según la ley.

S(t) = 2t+ , donde S— distancia en metros, t– tiempo en segundos. Encuentre la fuerza que actúa sobre el punto en ese momento. t = 4 s.

Respuesta: NORTE.

Tarea número 4. El volante, sujeto por el freno, gira hacia atrás. ts en un ángulo de 3t - 0,1t 2 (rad). Encontrar:

a) velocidad angular de rotación del volante en el momento t = 7 Con;
b) en qué momento se detendrá el volante.

Respuesta: a) 2,86; b) 150 s.

Ejemplos de uso de la derivada también pueden ser problemas de búsqueda: la capacidad calorífica específica de una sustancia de un cuerpo determinado, la densidad lineal y la energía cinética de un cuerpo, etc.

III. Realización de tareas diferenciadas.

Aquellos que quieran completar tareas de nivel “A” se sientan frente a la computadora y completan una prueba con una respuesta programada. ( Solicitud. )

1. Encuentra el valor de la derivada de la función en el punto x 0 = 3.

2. Encuentra el valor de la derivada de la función y = xe x en el punto x 0 = 1.

1) 2e;
2) mi;
3) 1 + mi;
4) 2 + mi.

3. Resuelve la ecuación f / (x) = 0 si f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. Calcule f/(1) si f(x) = (x 2 + 1)(x 3 – x).

5. Encuentra el valor de la derivada de la función f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) en el punto t0 = 1.

6. El punto se mueve rectilíneamente según la ley: S(t) = t 3 – 3t 2. Elija una fórmula que especifique la velocidad de movimiento de este punto en el tiempo t.

1) t 2 – 2t;
2) 3t 2 – 3t;
3) 3t 2 – 6t;
4)t 3 + 6t.

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Aplicación de derivados en física, tecnología, biología, vida.

Presentación para la lección.

¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si está interesado en este trabajo, descargue la versión completa.

Tipo de lección: integrado.

Objetivo de la lección: Estudiar algunos aspectos de la aplicación de derivados en diversos campos de la física, la química y la biología.

Tareas: ampliar los horizontes y la actividad cognitiva de los estudiantes, desarrollar el pensamiento lógico y la capacidad de aplicar sus conocimientos.

Apoyo técnico: pizarra interactiva; computadora y disco.

I. Momento organizacional

II. Establecer un objetivo de lección

– Me gustaría impartir una lección bajo el lema de Alexei Nikolaevich Krylov, matemático y constructor naval soviético: “La teoría sin práctica está muerta o es inútil, la práctica sin teoría es imposible o perjudicial”.

– Repasemos los conceptos básicos y respondamos las preguntas:

– ¿Dime la definición básica de un derivado?
– ¿Qué sabes sobre la derivada (propiedades, teoremas)?
– ¿Conoce algún ejemplo de problemas que utilicen derivadas en física, matemáticas y biología?

Consideración de la definición básica de derivado y su fundamento (respuesta a la primera pregunta):

Derivado – uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas. La capacidad de resolver problemas utilizando derivadas requiere un buen conocimiento del material teórico y la capacidad de realizar investigaciones en diversas situaciones.

Por eso, hoy en la lección consolidaremos y sistematizaremos los conocimientos adquiridos, consideraremos y evaluaremos el trabajo de cada grupo y, usando el ejemplo de algunos problemas, mostraremos cómo utilizar la derivada para resolver otros problemas y problemas no estándar usando la derivada.

III. Explicación del nuevo material.

1. La potencia instantánea es la derivada del trabajo respecto del tiempo:

W = límite ΔA/Δt ΔA – cambio de trabajo.

2. Si un cuerpo gira alrededor de un eje, entonces el ángulo de rotación es función del tiempo. t
Entonces la velocidad angular es igual a:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δ t → 0

3. La fuerza actual es una derivada. Ι = lím Δg/Δt = g′, Dónde gramo– carga eléctrica positiva transferida a través de la sección transversal del conductor durante el tiempo Δt.

4. deja ΔQ– la cantidad de calor necesaria para cambiar la temperatura en Δt tiempo, entonces lím ΔQ/Δt = Q′ = C – calor específico.

5. Problema sobre la velocidad de una reacción química.

metro(t) – metro(t0) – cantidad de sustancia que reacciona con el tiempo t0 a t

V= lím Δm/Δt = m Δt → 0

6. Sea m la masa de la sustancia radiactiva. Tasa de desintegración radiactiva: V = lím Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

En forma diferenciada, la ley de desintegración radiactiva tiene la forma: dN/dt = – λN, Dónde norte– número de núcleos que no han desintegrado tiempo t.

Integrando esta expresión obtenemos: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = const en t = 0 número de núcleos radiactivos norte = norte0, de aquí tenemos: en N0 = constante, por eso

norte norte = – λt + ln N0.

Potenciando esta expresión obtenemos:

– la ley de la desintegración radiactiva, donde N0– número de núcleos a la vez t0 = 0, norte– número de núcleos que no se han desintegrado durante el tiempo t.

7. Según la ecuación de transferencia de calor de Newton, el caudal de calor dQ/dt es directamente proporcional al área de la ventana S y a la diferencia de temperatura ΔT entre el vidrio interior y exterior e inversamente proporcional a su espesor d:

dQ/dt =A S/d ΔT

8. El fenómeno de la Difusión es el proceso de establecer una distribución de equilibrio.

Dentro de fases de concentración. La difusión va hacia un lado, nivelando las concentraciones.

m = D Δc/Δx c – concentración
m = D c׳x x – coordinar, D - coeficiente de difusión

9. Se sabía que un campo eléctrico excita cargas eléctricas o un campo magnético que tiene una única fuente: la corriente eléctrica. James Clark Maxwell introdujo una enmienda a las leyes del electromagnetismo descubiertas antes que él: también surge un campo magnético cuando cambia el campo eléctrico. Una modificación aparentemente pequeña tuvo enormes consecuencias: apareció un objeto físico completamente nuevo, aunque sólo en la punta del bolígrafo: una onda electromagnética. Maxwell derivó magistralmente, a diferencia de Faraday, que pensaba que su existencia era posible, la ecuación para el campo eléctrico:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = constante t

Un cambio en el campo eléctrico provoca la aparición de un campo magnético en cualquier punto del espacio; en otras palabras, la velocidad de cambio del campo eléctrico determina la magnitud del campo magnético. A mayor corriente eléctrica, hay mayor campo magnético.

IV. Consolidación de lo aprendido

– Tú y yo estudiamos el derivado y sus propiedades. Me gustaría leer la afirmación filosófica de Gilbert: “Cada persona tiene una perspectiva determinada. Cuando este horizonte se estrecha hasta lo infinitesimal, se convierte en un punto. Entonces la persona dice que ese es su punto de vista”.
¡Intentemos medir el punto de vista sobre la aplicación de la derivada!

La trama de "Hoja"(uso de derivado en biología, física, vida)

Consideremos la caída como un movimiento desigual en función del tiempo.

Entonces: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Revisión teórica: significado mecánico de derivada).

1. resolución de problemas

Resuelve los problemas tú mismo.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Escribamos la ley de Porton II y, teniendo en cuenta el significado mecánico de la derivada, la reescribamos en la forma: F = mV′ F = mS″

La trama de "Lobos, tuzas"

Volvamos a las ecuaciones: Consideremos las ecuaciones diferenciales de crecimiento y disminución exponencial: F = ma F = mV’ F = mS"
La solución de muchos problemas en física, biología técnica y ciencias sociales se reduce al problema de encontrar funciones. f"(x) = kf(x), satisfaciendo la ecuación diferencial, donde k = constante .

Fórmula humana

Una persona es tantas veces más grande que un átomo como más pequeña que una estrella:

Resulta que
Ésta es la fórmula que determina el lugar del hombre en el universo. Según él, el tamaño de una persona representa la proporcionalidad media de una estrella y un átomo.

Me gustaría terminar la lección con las palabras de Lobachevsky: "No hay un solo área de las matemáticas, por abstracta que sea, que algún día no sea aplicable a los fenómenos del mundo real".

V. Solución de números de la colección:

Resolución independiente de problemas en el tablero, análisis colectivo de soluciones de problemas:

№ 1 Encuentre la velocidad de movimiento de un punto material al final del tercer segundo, si el movimiento del punto viene dado por la ecuación s = t^2 –11t + 30.

№ 2 El punto se mueve rectilíneamente según la ley s = 6t – t^2. ¿En qué momento su velocidad será cero?

№ 3 Dos cuerpos se mueven rectilínicamente: uno según la ley s = t^3 – t^2 – 27t, el otro según la ley s = t^2 + 1. Determine el momento en que las velocidades de estos cuerpos resultan ser iguales. .

№ 4 Para un automóvil que se mueve a una velocidad de 30 m/s, la distancia de frenado está determinada por la fórmula s(t) = 30t-16t^2, donde s(t) es la distancia en metros, t es el tiempo de frenado en segundos . ¿Cuánto tiempo tarda en frenar hasta que el automóvil se detiene por completo? ¿Qué distancia recorrerá el automóvil desde que comienza a frenar hasta que se detiene por completo?

№5 Un cuerpo que pesa 8 kg se mueve rectilíneamente según la ley s = 2t^2+ 3t – 1. Calcula la energía cinética del cuerpo (mv^2/2) 3 segundos después del inicio del movimiento.

Solución: Encontremos la velocidad de movimiento del cuerpo en cualquier momento:
V = ds / dt = 4t + 3
Calculemos la velocidad del cuerpo en el tiempo t = 3:
Vt=3 = 4 * 3 + 3=15 (m/s).
Determinemos la energía cinética del cuerpo en el momento t = 3:
mv2/2 = 8 – 15^2 /2 = 900 (J).

№6 Encuentre la energía cinética de un cuerpo 4 s después del inicio del movimiento, si su masa es de 25 kg y la ley del movimiento tiene la forma s = 3t^2- 1.

№7 Un cuerpo cuya masa es de 30 kg se mueve rectilíneamente según la ley s = 4t^2 + t. Demuestre que el movimiento de un cuerpo se produce bajo la influencia de una fuerza constante.
Solución: Tenemos s' = 8t + 1, s" = 8. Por lo tanto, a(t) = 8 (m/s^2), es decir, con una ley de movimiento dada, el cuerpo se mueve con una aceleración constante de 8 m /s^2. Además, dado que la masa del cuerpo es constante (30 kg), según la segunda ley de Newton, la fuerza que actúa sobre él F = ma = 30 * 8 = 240 (H) también es un valor constante.

№8 Un cuerpo que pesa 3 kg se mueve rectilíneamente según la ley s(t) = t^3 – 3t^2 + 2. Encuentre la fuerza que actúa sobre el cuerpo en el tiempo t = 4s.

№9 Un punto material se mueve según la ley s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Encuentre su aceleración al final del tercer segundo.

VI. Aplicación de la derivada en matemáticas:

Una derivada en matemáticas muestra una expresión numérica del grado de cambio de una cantidad ubicada en el mismo punto bajo la influencia de diversas condiciones.

La fórmula derivada se remonta al siglo XV. El gran matemático italiano Tartagli, considerando y desarrollando la cuestión de en qué medida depende el alcance de un proyectil de la inclinación del arma, la aplica en sus obras.

La fórmula derivada se encuentra a menudo en las obras de matemáticos famosos del siglo XVII. Fue utilizado por Newton y Leibniz.

El famoso científico Galileo Galilei dedica un tratado completo al papel de las derivadas en matemáticas. Luego se empezó a encontrar la derivada y diversas presentaciones con su aplicación en las obras de Descartes, el matemático francés Roberval y el inglés Gregory. Mentes como L'Hopital, Bernoulli, Langrange y otros hicieron grandes contribuciones al estudio de la derivada.

1. Traza una gráfica y examina la función:

Solución a este problema:

Un momento de relajación

VII. Aplicación de derivada en física:

Al estudiar ciertos procesos y fenómenos, a menudo surge la tarea de determinar la velocidad de estos procesos. Su solución conduce al concepto de derivada, que es el concepto básico del cálculo diferencial.

El método de cálculo diferencial fue creado en los siglos XVII y XVIII. Los nombres de dos grandes matemáticos, I. Newton y G.V., están asociados con el surgimiento de este método. Leibniz.

Newton llegó al descubrimiento del cálculo diferencial al resolver problemas sobre la velocidad de movimiento de un punto material en un momento dado (velocidad instantánea).

En física, la derivada se utiliza principalmente para calcular los valores mayores o menores de cualquier cantidad.

№1 Energía potencial Ud. el campo de una partícula en el que hay otra, exactamente la misma partícula tiene la forma: U = a/r 2 – b/r, Dónde a Y b- constantes positivas, r- distancia entre partículas. Encontrar: a) valor r0 correspondiente a la posición de equilibrio de la partícula; b) averiguar si esta situación es estable; V) Fmáx el valor de la fuerza de atracción; d) dibujar gráficos de dependencia aproximados U(r) Y F(r).

Solución a este problema: Para determinar r0 correspondiente a la posición de equilibrio de la partícula que estudiamos f = U(r) al extremo.

Usando la conexión entre la energía potencial del campo.

Ud. Y F, Entonces F = – dU/dr, obtenemos F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; al mismo tiempo r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Determinamos el equilibrio estable o inestable por el signo de la segunda derivada:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

Considere el caso en el que se derrama arena de una plataforma llena.
Cambio de impulso en un corto período de tiempo:
Δ p = (M – µ(t + Δ t))(u+ Δ tu) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ t
Término Δ µtu es el impulso de la cantidad de arena que salió de la plataforma durante el tiempo Δ t. Entonces:
Δ pag = MΔ tu – µtΔ tu – Δ µtΔ tu = FΔ t
Dividir por Δ t y pasar al límite Δ t → 0
(M – µt)du/dt = F
O a1= du/dt= F/(M – µt)

Respuesta: a = FM / (M + µt) 2 , a1= F/(M – µt)

VIII. Trabajo independiente:

Encuentra derivadas de funciones:

La recta y = 2x es tangente a la función: y = x 3 + 5x 2 + 9x + 3. Encuentra la abscisa del punto de tangencia.

IX. Resumiendo la lección:

– ¿A qué preguntas se dedicó la lección?
– ¿Qué aprendiste en la lección?
– ¿Qué hechos teóricos se resumieron en la lección?
– ¿Qué tareas consideradas resultaron ser las más difíciles? ¿Por qué?

Referencias:

Amelkin V.V., Sadovsky A.P. Modelos matemáticos y ecuaciones diferenciales. – Minsk: Escuela Superior, 1982. – 272 p.
Amelkin V.V. Ecuaciones diferenciales en aplicaciones. M.: Ciencia. Redacción principal de literatura física y matemática, 1987. – 160 p.
Erugin N.P. Un libro para leer sobre el curso general de ecuaciones diferenciales. – Minsk: Ciencia y Tecnología, 1979. – 744 p.
.Revista “Potencial” Noviembre 2007 No. 11
“Álgebra y principios de análisis” 11º grado S.M. Nikolsky, M.K. Potapov y otros.
“Álgebra y análisis matemático” N.Ya. Vilenkin et al.
"Matemáticas" V.T. Lisichkin, I.L. Soloveichik, 1991

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Significado físico de derivada. ¡Tareas!

Significado físico de derivada. El Examen Estatal Unificado de Matemáticas incluye un grupo de problemas cuya resolución requiere conocimiento y comprensión del significado físico de la derivada. En particular, hay problemas en los que la ley del movimiento de un determinado punto (objeto) está dada, expresada por una ecuación, y se requiere encontrar su velocidad en un momento determinado del tiempo de movimiento, o el tiempo después del cual el objeto adquirirá una determinada velocidad. Las tareas son muy sencillas, se pueden resolver en una sola acción. Entonces:

Sea la ley del movimiento de un punto material x (t) a lo largo del eje de coordenadas, donde x es la coordenada del punto en movimiento, t es el tiempo.

La velocidad en un momento determinado es la derivada de la coordenada con respecto al tiempo. Éste es el significado mecánico de la derivada.

Asimismo, la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo:

Por tanto, el significado físico de la derivada es velocidad. Esta podría ser la velocidad del movimiento, la tasa de cambio de un proceso (por ejemplo, el crecimiento de bacterias), la velocidad del trabajo (y así sucesivamente, hay muchos problemas aplicados).

Además, necesitas conocer la tabla de derivadas (es necesario conocerla al igual que la tabla de multiplicar) y las reglas de derivación. En concreto, para resolver los problemas especificados es necesario el conocimiento de las seis primeras derivadas (ver tabla):

x(t) = t 2 – 7t – 20

donde x es la distancia desde el punto de referencia en metros, t es el tiempo en segundos, medido desde el inicio del movimiento. Encuentre su velocidad (en metros por segundo) en el tiempo t = 5 s.

El significado físico de una derivada es velocidad (velocidad de movimiento, tasa de cambio de un proceso, velocidad de trabajo, etc.)

Encontremos la ley del cambio de velocidad: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

El punto material se mueve rectilíneamente según la ley x (t) = 6t 2 – 48t + 17, donde incógnita- distancia desde el punto de referencia en metros, t- tiempo en segundos medido desde el inicio del movimiento. Encuentre su velocidad (en metros por segundo) en el tiempo t = 9 s.

El punto material se mueve rectilíneamente según la ley x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, donde incógnita- distancia desde el punto de referencia en metros, t- tiempo en segundos medido desde el inicio del movimiento. Encuentre su velocidad (en metros por segundo) en el tiempo t = 6 s.

Un punto material se mueve rectilíneamente según la ley.

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Dónde incógnita- distancia desde el punto de referencia en metros, t- tiempo en segundos medido desde el inicio del movimiento. Encuentre su velocidad (en metros por segundo) en el tiempo t = 3 s.

Un punto material se mueve rectilíneamente según la ley.

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

donde x es la distancia desde el punto de referencia en metros, t es el tiempo en segundos, medido desde el inicio del movimiento. ¿En qué momento (en segundos) su velocidad fue igual a 6 m/s?

Encontremos la ley del cambio de velocidad:

Para saber en qué momento t la velocidad fue de 3 m/s, es necesario resolver la ecuación:

El punto material se mueve rectilíneamente según la ley x (t) = t 2 – 13t + 23, donde incógnita- distancia desde el punto de referencia en metros, t- tiempo en segundos medido desde el inicio del movimiento. ¿En qué momento (en segundos) su velocidad fue igual a 3 m/s?

Un punto material se mueve rectilíneamente según la ley.

x(t) = (1/3)t 3 – 3t 2 – 5t + 3

Dónde incógnita- distancia desde el punto de referencia en metros, t- tiempo en segundos medido desde el inicio del movimiento. ¿En qué momento (en segundos) su rapidez fue igual a 2 m/s?

Me gustaría señalar que no debes centrarte únicamente en este tipo de tareas en el Examen Estatal Unificado. Pueden introducir problemas completamente inesperados que sean opuestos a los presentados. Cuando se dé la ley del cambio de velocidad y la pregunta será encontrar la ley del movimiento.

Sugerencia: en este caso, necesitas encontrar la integral de la función de velocidad (esta también es una tarea de un solo paso). Si necesita encontrar la distancia recorrida en un determinado momento, debe sustituir el tiempo en la ecuación resultante y calcular la distancia. Sin embargo, también analizaremos este tipo de problemas, ¡no te lo pierdas! ¡Buena suerte para ti!

matematikalegko.ru

Álgebra y principios del análisis matemático, grado 11 (S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin) 2009

Página No. 094.

Libro de texto:

Versión OCR de la página del libro de texto (texto de la página ubicada arriba):

De los problemas considerados al principio de este párrafo se desprende que las siguientes afirmaciones son ciertas:

1. Si, durante el movimiento rectilíneo, la trayectoria s recorrida por un punto es función del tiempo t, es decir, s = f(t), entonces la velocidad del punto es la derivada de la trayectoria con respecto al tiempo, es decir, v( t) =

Este hecho expresa el significado mecánico de la derivada.

2. Si en el punto x 0 se traza una tangente a la gráfica de la función y = f (jc), entonces el número f"(xo) es la tangente del ángulo a entre esta tangente y la dirección positiva del eje Ox. , es decir /"(x 0) =

Tga. Este ángulo se llama ángulo tangente.

Este hecho expresa el significado geométrico de la derivada.

EJEMPLO 3. Encontremos la tangente del ángulo de inclinación de la tangente a la gráfica de la función y = 0.5jc 2 - 2x + 4 en el punto con abscisa x = 0.

Encontremos la derivada de la función f(x) = 0.5jc 2 - 2x + 4 en cualquier punto x, usando la igualdad (2):

0,5 2 x - 2 = jc - 2.

Calculemos el valor de esta derivada en el punto x = 0:

Por lo tanto tga = -2. La gráfica x de la función y = /(jc) y la tangente a su gráfica en el punto con la abscisa jc = 0 se muestran en la Figura 95.

4.1 Deje que el punto se mueva rectilíneamente según la ley s = t 2. Encontrar:

a) incremento de tiempo D£ durante el intervalo de tiempo desde t x = 1 hasta £ 2 - 2;

b) incremento de la trayectoria As durante el período de tiempo desde t x = 1 hasta t 2 = 2;

c) velocidad promedio durante el intervalo de tiempo desde t x = 1 hasta t 2 = 2.

4.2 En la tarea 4.1 encuentre:

b) velocidad media durante el intervalo de tiempo de t a t + At;

c) velocidad instantánea en el tiempo t;

d) velocidad instantánea en el tiempo t = 1.

4.3 Deje que el punto se mueva rectilíneamente según la ley:

1) s = 3t + 5; 2) s = t 2 - bt.

a) incremento del recorrido As durante el período de tiempo de t a t + At;

Libro de texto:Álgebra y los inicios del análisis matemático. 11º grado: educativo. para educación general Instituciones: básica y perfil. niveles / [S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin]. - 8ª ed. - M.: Educación, 2009. - 464 p.: enfermo.

El punto se mueve rectilíneamente según la ley. S = t 4 +2t (S - en metros, t- en segundos). Encuentre su aceleración promedio en el intervalo entre momentos. t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, así como su verdadera aceleración en este momento t 3 = 6 s.

Solución.

1. Encuentra la velocidad del punto como derivada de la trayectoria S con respecto al tiempo. t, aquellos.

2. Sustituyendo en lugar de t sus valores t 1 = 5 s y t 2 = 7 s, encontramos las velocidades:

V1 = 4 5 3 + 2 = 502 m/s; V2 = 4 7 3 + 2 = 1374 m/s.

3. Determine el incremento de velocidad ΔV durante el tiempo Δt = 7 - 5 =2 s:

ΔV = V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m/s.

4. Así, la aceleración media del punto será igual a

5. Para determinar el valor real de la aceleración de un punto, tomamos la derivada de la velocidad con respecto al tiempo:

6. Sustituyendo en su lugar t valor t 3 = 6 s, obtenemos aceleración en este momento

a av =12-6 3 =432 m/s 2 .

Movimiento curvilíneo. Durante el movimiento curvilíneo, la velocidad de un punto cambia en magnitud y dirección.

Imaginemos un punto METRO, que durante el tiempo Δt, moviéndose a lo largo de alguna trayectoria curvilínea, se movió a la posición m 1(Figura 6).

Vector de incremento (cambio) de velocidad ΔV voluntad

Para para encontrar el vector ΔV, mueva el vector V 1 al punto METRO y construye un triángulo de velocidades. Determinemos el vector de aceleración promedio:

Vector un miércoles es paralelo al vector ΔV, ya que dividir el vector por una cantidad escalar no cambia la dirección del vector. El verdadero vector de aceleración es el límite hasta el cual la relación entre el vector de velocidad y el intervalo de tiempo correspondiente Δt tiende a cero, es decir

Este límite se llama derivada del vector.

De este modo, la verdadera aceleración de un punto durante el movimiento curvilíneo es igual a la derivada del vector con respecto a la velocidad.

De la Fig. 6 está claro que el vector de aceleración durante el movimiento curvilíneo siempre se dirige hacia la concavidad de la trayectoria.

Para facilitar los cálculos, la aceleración se descompone en dos componentes de la trayectoria del movimiento: a lo largo de una tangente, llamada aceleración tangencial (tangencial) A, y a lo largo de la normal, llamada aceleración normal an (Fig. 7).

En este caso, la aceleración total será igual a

La aceleración tangencial coincide en dirección con la velocidad del punto o es opuesta a él. Caracteriza el cambio de velocidad y, en consecuencia, está determinado por la fórmula

La aceleración normal es perpendicular a la dirección de la velocidad del punto y su valor numérico está determinado por la fórmula

donde r - Radio de curvatura de la trayectoria en el punto considerado.

Dado que las aceleraciones tangenciales y normales son mutuamente perpendiculares, el valor de la aceleración total está determinado por la fórmula

y su dirección

Si , entonces los vectores tangenciales de aceleración y velocidad se dirigen en una dirección y el movimiento se acelerará.

Si , entonces el vector de aceleración tangencial se dirige en la dirección opuesta al vector de velocidad y el movimiento será lento.

El vector aceleración normal siempre está dirigido hacia el centro de curvatura, por eso se le llama centrípeto.

Significado físico de derivada. El Examen Estatal Unificado de Matemáticas incluye un grupo de problemas cuya resolución requiere conocimiento y comprensión del significado físico de la derivada. En particular, hay problemas en los que la ley del movimiento de un determinado punto (objeto) está dada, expresada por una ecuación, y se requiere encontrar su velocidad en un momento determinado del tiempo de movimiento, o el tiempo después del cual el objeto adquirirá una determinada velocidad.Las tareas son muy sencillas, se pueden resolver en una sola acción. Entonces:

Sea la ley del movimiento de un punto material x (t) a lo largo del eje de coordenadas, donde x es la coordenada del punto en movimiento, t es el tiempo.

La velocidad en un momento determinado es la derivada de la coordenada con respecto al tiempo. Éste es el significado mecánico de la derivada.

Asimismo, la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo:

Consideremos las tareas:

x(t) = t 2 – 7t – 20

donde x t es el tiempo en segundos medido desde el inicio del movimiento. Encuentre su velocidad (en metros por segundo) en el tiempo t = 5 s.

El significado físico de una derivada es velocidad (velocidad de movimiento, tasa de cambio de un proceso, velocidad de trabajo, etc.)

Encontremos la ley del cambio de velocidad: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

En t = 5 tenemos:

Respuesta: 3

Decide por ti mismo:

El punto material se mueve rectilíneamente según la ley x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, donde incógnitat- tiempo en segundos medido desde el inicio del movimiento. Encuentre su velocidad (en metros por segundo) en el tiempo t = 6 s.

Un punto material se mueve rectilíneamente según la ley.

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Dónde incógnita- distancia desde el punto de referencia en metros,t- tiempo en segundos medido desde el inicio del movimiento. Encuentre su velocidad (en metros por segundo) en el tiempo t = 3 s.

Un punto material se mueve rectilíneamente según la ley.

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

donde x es la distancia desde el punto de referencia en metros, t es el tiempo en segundos, medido desde el inicio del movimiento. ¿En qué momento (en segundos) su velocidad fue igual a 6 m/s?

Encontremos la ley del cambio de velocidad:

Para saber en qué momentotla velocidad fue de 3 m/s, es necesario resolver la ecuación:

Respuesta: 3

Decide por ti mismo:

Un punto material se mueve rectilíneamente según la ley.

x(t) = (1/3)t 3 – 3t 2 – 5t + 3

Dónde incógnita- distancia desde el punto de referencia en metros, t- tiempo en segundos medido desde el inicio del movimiento. ¿En qué momento (en segundos) su rapidez fue igual a 2 m/s?

Atentamente, Alexander Krutitskikh.

P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.